Solvability of the boundary-value problem for the second-order elliptic differential-operator equation with spectral parameter in the equation and boundary conditions
We investigate the solvability of a boundary-value problem for second-order elliptic operator differential equation with a spectral parameter in the equation and boundary conditions. We also study the asymptotic behavior of eigenvalues corresponding to a homogeneous boundary-value problem.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2839 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508824386928640 |
|---|---|
| author | Aliev, B. A. Алиев, Б. А. Алиев, Б. А. |
| author_facet | Aliev, B. A. Алиев, Б. А. Алиев, Б. А. |
| author_sort | Aliev, B. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:38:45Z |
| description | We investigate the solvability of a boundary-value problem for second-order elliptic operator differential equation with a spectral parameter in the equation and boundary conditions. We also study the asymptotic behavior of eigenvalues corresponding to a homogeneous boundary-value problem. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Б. А. Алиев (Ин-т математики и механики НАН Азербайджана, Баку)
РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-
ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ В УРАВНЕНИИ
И В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ
We investigate the solvability of a boundary-value problem for second-order elliptic operator differential
equation with a spectral parameter in the equation and boundary conditions. We also study the asymptotic
behavior of eigenvalues corresponding to a homogeneous boundary-value problem.
Дослiджено розв’язнiсть крайової задачi для елiптичного диференцiально-операторного рiвняння дру-
гого порядку зi спектральним параметром у рiвняннi i в граничних умовах, а також асимптотичну
поведiнку власних значень, що вiдповiдають однорiднiй крайовiй задачi.
1. Введение. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений были
рассмотрены во многих работах (см., например, [1 – 17]). В этих работах коэффици-
енты в краевых условиях являются либо комплексными числами, либо линейными
ограниченными операторами.
В данной работе изучается краевая задача для эллиптических дифференциально-
операторных уравнений второго порядка в случае, когда один и тот же спектраль-
ный параметр входит и в уравнение, и в одно из граничных условий.
Итак, в сепарабельном гильбертовом пространстве H рассмотрим краевую за-
дачу на [0, b], 0 < b < +∞, для эллиптического дифференциально-операторного
уравнения второго порядка со спектральным параметром
L(λ,D)u := λu(x)− u′′(x) +Au(x) = f(x), x ∈ [0, b], (1.1)
L1(λ)u := λu′ (0)− αu(0) = f1,
L2u := u(b) = f2, (1.2)
где λ — спектральный параметр, α — некоторое комплексное число из правой части
комплексной плоскости, A — линейный самосопряженный положительно опреде-
ленный оператор в H, D :=
d
dx
. Найдем достаточные условия для разрешимости
задачи (1.1), (1.2) (в действительности докажем изоморфизм), установим некоторые
оценки (относительно u и λ) для решения задачи (1.1), (1.2) в Lp ((0, b);H) . Да-
лее, изучим асимптотическое поведение собственных значений однородной задачи,
соответствующей задаче (1.1), (1.2).
Отметим, что краевые задачи для эллиптических дифференциально-оператор-
ных уравнений второго порядка со спектральным параметром в уравнении и в
граничных условиях в разных аспектах рассмотрены в работах [18 – 24].
В работе [25] изучена полнота систем корневых функций краевых задач для эл-
липтических уравнений в частных производных, содержащих спектральный пара-
c© Б. А. АЛИЕВ, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1 3
4 Б. А. АЛИЕВ
метр как в уравнении, так и в граничных условиях одного порядка в ограниченной
области G ⊂ Rn с достаточно гладкой границей, причем спектральный параметр
находится перед граничным дифференциальным выражением, порядок которого
наивысший.
В работе [26] в ограниченной области G ⊂ Rn с достаточно гладкой границей
Γ для уравнения Лапласа изучается спектральная задача
−∆u = λu в G, (1.3)
−u = λ
∂u
∂ν
на Γ, (1.4)
где ν — внутренная нормаль к границе Γ.
В этой работе доказано, что спектр краевых задач (1.3), (1.4) дискретен и со-
стоит из двух серий собственных значений, сходящихся соответственно к нулю и
к +∞.
Пусть E0 и E1 — два банаховых пространства, непрерывно вложенных в ба-
наховое пространство E : E0 ⊂ E, E1 ⊂ E. Два таких пространства называются
интерполяционной парой {E0, E1}.
Рассмотрим банахово пространство
E0 + E1 :=
{
u : u ∈ E, ∃uj ∈ Ej , j = 0, 1, где u = u0 + u1,
‖u‖E0+E1 := inf
u=u0+u1,
uj∈Ej
(
‖u0‖E0 + ‖u1‖E1
)}
.
Согласно утверждению 1.3.1 из [27] функционал
K(t, u) := inf
u=u0+u1,
uj∈Ej
(
‖u0‖E0 + t‖u1‖E1
)
, u ∈ E0 + E1,
непрерывен на (0,∞) относительно t, и имеет место оценка
min{1, t}‖u‖E0+E1 ≤ K(t, u) ≤ max{1, t}‖u‖E0+E1 .
Интерполяционное пространство для {E0, E1} по K-методу определяется как
(E0, E1)θ,p :=
u : u ∈ E0 + E1, ‖u‖(E0,E1)θ,p
:=
=
∞∫
0
t−1−θpKp(t, u)dt
1/p
<∞
, 0 < θ < 1, 1 ≤ p <∞.
Пусть E и F — банаховы пространства. Множество E +̇ F всех векторов вида
(u, υ), где u ∈ E и υ ∈ F, с обычными линейными операциями по координатам и
нормой
‖(u, υ)‖E+̇F := ‖u‖E + ‖υ‖F
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО . . . 5
является банаховым пространством и называется прямой суммой банаховых про-
странств E и F.
Пусть A — линейный замкнутый оператор в сепарабельном гильбертовом про-
странстве H с областью определения D(A). D(A) превращается в гильбертово
пространство H(A) относительно нормы
‖u‖H(A) :=
(
‖u‖2H + ‖Au‖2H
)1/2
.
Пусть E1 и E — банаховы пространства. Через B(E1, E) обозначим банахово
пространство всех ограниченных операторов, действующих из E1 в E, с обычной
операторной нормой. В частном случае B(E) := B(E,E).
Через Lp
(
(0, b);H
)
, 1 < p < ∞, обозначим банахово пространство (при p = 2
гильбертово пространство) функций x → u(x) : [0, b] → H, сильно измеримых и
суммируемых в p-й степени, с нормой
‖u‖Lp((0,b);H) :=
b∫
0
‖u(x)‖pH dx
1/p
<∞.
Через W l
p((0, b);H), 1 < p < ∞ (0 ≤ l — целые числа), обозначим банахо-
во пространство функций u(x) со значениями в H, которые имеют обобщенные
производные l-го порядка на (0, b), с нормой
‖u‖W l
p((0,b);H) :=
l∑
k=0
b∫
0
∥∥∥u(k)(x)
∥∥∥p
H
dx
1/p
.
Пространство
W 2
p
(
(0, b);H(A),H
)
:=
{
u : u ∈ Lp ((0, b);H(A)) , u′′ ∈ Lp ((0, b);H)
}
с нормой
‖u‖W 2
p ((0,b);H(A),H) := ‖u‖Lp((0,b);H(A)) + ‖u′′‖Lp((0,b);H)
является банаховым (для более общих пространств см. [27], лемма 1.8.1, а также
[5], раздел 1.7.7).
2. Однородное уравнение. Рассмотрим сначала следующую краевую зада-
чу в H :
L(λ,D)u := λu (x)− u′′(x) +Au(x) = 0, x ∈ [0, b], (2.1)
L1(λ)u := λu′ (0)− αu (0) = f1,
L2u := u(b) = f2. (2.2)
Теорема 2.1. Пусть выполнены следующие условия:
1) A является самосопряженным положительно определенным оператором(
A = A∗ ≥ γ2I
)
в сепарабельном гильбертовом пространстве H;
2) |arg λ| ≤ ϕ
2
для каждого фиксированного 0 ≤ ϕ <
π
2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
6 Б. А. АЛИЕВ
Тогда задача (2.1), (2.2) для f1 ∈
(
H(A),H
)
1/2+1/2p,p
, f2 ∈
(
H(A),H
)
1/2p,p
,
p ∈ (1,∞), при достаточно больших |λ| из угла |arg λ| ≤ ϕ <
π
2
имеет един-
ственное решение, которое принадлежит пространству W 2
p
(
(0, b);H(A),H
)
, и
для этих λ для решения задачи (2.1), (2.2) имеет место оценка
|λ|‖u‖Lp((0,b);H) + ‖u′′‖Lp((0,b);H) + ‖Au‖Lp((0,b);H) ≤
≤ Cϕ
[
1
|λ|
(
‖f1‖(H(A),H)1/2+1/2p,p
+ |λ|1/2−1/2p‖f1‖H
)
+
+ ‖f2‖(H(A),H)1/2p,p
+ |λ|1−1/2p ‖f2‖H
]
. (2.3)
Доказательство. Поскольку A = A∗ ≥ γ2I в H, по спектральной теореме
(см., например, [28], гл. V, раздел 5 и 6 и гл. VI, раздел 5) существует оператор-
нозначная функция f(A) =
∫ +∞
γ2
f(µ)dEµ для любых измеримых ограниченных
комплекснозначных функций f(µ). Более того, f(A) — ограниченный оператор
в H и ‖f(A)‖ ≤ ess sup
γ2≤µ<∞
|f(µ)|. Тогда из условия 1 следует, что для любого ψ,
0 ≤ ψ < π, существует Cψ > 0 такая, что∥∥R(λ,A)
∥∥ ≤ Cψ (1 + |λ|)−1
, | arg λ| ≥ π − ψ,
где R(λ,A) = (λI −A)−1 — резольвента оператора A. Тогда в силу леммы 5.4.2/6
[5] для |arg λ| ≤ ϕ <
π
2
существует голоморфная для x > 0 и сильно непрерывная
для x ≥ 0 полугруппа e−x(A+λI)1/2
. В силу леммы 5.3.2/1 [5] произвольное решение
уравнения (2.1) при |arg λ| ≤ ϕ <
π
2
, принадлежащее W 2
p
(
(0, b);H(A),H
)
, имеет
вид
u(x) = e−x(A+λI)1/2
g1 + e−(b−x)(A+λI)1/2
g2, (2.4)
где gk ∈
(
H(A),H
)
1/2p,p
.
Докажем теперь обратное, т. е. что функция u(x) вида (2.4) c gk ∈
(
H(A),
H
)
1/2p,p
принадлежит W 2
p
(
(0, b);H(A),H
)
. Из теоремы 5.4.2/1 и леммы 1.2.9/3 из
[5], а также (2.4) находим
‖u‖
W 2
p
(
(0,b);H(A),H
) ≤
≤
(∥∥A(A+ λI)−1
∥∥+ 1
)
b∫
0
∥∥∥(A+ λI)e−x(A+λI)1/2
g1
∥∥∥p
H
dx
1/p
+
+
b∫
0
∥∥∥(A+ λI)e−(b−x)(A+λI)1/2
g2
∥∥∥p
H
dx
1/p
≤
≤ C
2∑
k=1
(
‖gk‖(H(A),H)1/2p,p
+ |λ|1−1/2p ‖gk‖H
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО . . . 7
Потребуем, чтобы функция u(x) в виде (2.4) удовлетворяла условиям (2.2).
Тогда получим систему для элементов g1 и g2, которую в пространстве H2 =
= H +̇H можно записать в виде
(
A(λ) +R(λ)
)(g1
g2
)
=
(
f1
f2
)
, (2.5)
где A(λ) и R(λ) — операторные матрицы размера 2× 2 :
A(λ) =
(
−
[
α+ λ(A+ λI)1/2
]
0
0 I
)
,
R(λ) =
0
[
−α+ λ(A+ λI)1/2
]
e−b(A+λI)1/2
e−b(A+λI)1/2
0
.
В силу леммы 5.4.2/6 из [5] для |arg λ| ≤ ϕ <
π
2
и |λ| → ∞
∥∥R(λ)
∥∥
B(H2)
≤ ce−δ|λ|
1/2
,
∥∥R(λ)
∥∥
B([H(A)]2)
≤ Ce−δ|λ|
1/2
, δ > 0. (2.6)
Очевидно, что
α+ λ(A+ λI)1/2 = λ (A+ λI)1/2
(
I + αλ−1(A+ λI)−1/2
)
. (2.7)
Легко можно показать, что для |arg λ| ≤ ϕ <
π
2
оператор
(
I + αλ−1(A+ λI)−1/2
)
имеет ограниченный обратный и выполняются оценки∥∥∥(I + αλ−1(A+ λI)−1/2
)−1
∥∥∥
B(H)
≤ C,
∥∥∥(I + αλ−1(A+ λI)−1/2
)−1
∥∥∥
B(H(A))
≤ C.
(2.8)
Тогда из (2.7) в силу (2.8) для |arg λ| ≤ ϕ <
π
2
имеем
∥∥∥[α+ λ(A+ λI)1/2
]−1
∥∥∥
B(H)
≤ C
|λ|3/2
,
∥∥∥[α+ λ(A+ λI)1/2
]−1
∥∥∥
B(H(A))
≤ C
|λ|3/2
.
(2.9)
В силу (2.9)
A(λ)−1 =
−[α+ λ(A+ λI)1/2
]−1 0
0 I
.
Из (2.6) и (2.9) следует, что для |arg λ| ≤ ϕ и |λ| → ∞
∥∥R(λ)A(λ)−1
∥∥
B(H2)
→
→ 0. Отсюда согласно тождеству Неймана для |arg λ| ≤ ϕ и |λ| → ∞ имеем(
A(λ) +R(λ)
)−1 = A(λ)−1
(
I +R(λ)A (λ)−1
)−1
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
8 Б. А. АЛИЕВ
= A(λ)−1
∞∑
k=0
(
−R(λ)A (λ)−1
)k
.
Следовательно, система (2.5) имеет единственное решение для достаточно боль-
ших |λ| из угла |arg λ| ≤ ϕ, которое может быть представлено в виде
gk =
[
Ck1(λ) +Rk1(λ)
]
f1 +
[
Ck2(λ) +Rk2 (λ)
]
f2, k = 1, 2, (2.10)
где C11(λ) = −
[
α+ λ(A+ λI)1/2
]−1
, C12(λ) = C21(λ) = 0, C22(λ) = I; Rkj(λ),
k, j = 1, 2, — некоторые ограниченные операторы как в H, так и в H(A).
Из (2.8) в силу интерполяционной теоремы [27] (теорема 1.3.3/а) следует, что
оператор
(
I + αλ−1(A+ λI)−1/2
)−1
ограниченно действует из
(
H(A),H
)
θ,p
в(
H(A),H
)
θ,p
при любом θ ∈ (0, 1) и имеет место оценка∥∥∥(I + αλ−1(A+ λI)−1/2
)−1
∥∥∥
B((H(A),H)θ,p)
≤ C. (2.11)
Из представлений R(λ) и A(λ)−1 в силу оценок (2.6) и (2.9) следует, что для
|arg λ| ≤ ϕ и |λ| → ∞
‖Rkj(λ)‖B(H) ≤ Ce−δ|λ|
1/2
, ‖Rkj(λ)‖B(H(A)) ≤ Ce−δ|λ|
1/2
, δ > 0. (2.12)
Из (2.12) согласно интерполяционной теореме операторы Rkj(λ) ограничены в
пространстве
(
H(A),H
)
θ,p
при любом θ ∈ (0, 1) и для |arg λ| ≤ ϕ, |λ| → ∞
‖Rkj(λ)‖B(H(A),H)θ,p
≤ ce−δ|λ|
1/2
. (2.13)
Подставляя (2.10) в (2.4), имеем
u(x) =
2∑
k=1
{
e−x(A+λI)1/2
(Ck1(λ) +Rk1(λ))+
+e−(b−x)(A+λI)1/2
(Ck2(λ) +Rk2(λ))
}
fk.
Затем для достаточно больших |λ| из угла |arg λ| ≤ ϕ <
π
2
получаем
|λ|‖u‖Lp((0,b);H) + ‖u′′‖Lp((0,b);H) + ‖u′′‖Lp((0,b);H) ≤
≤ C
2∑
k=1
|λ|
b∫
0
∥∥∥e−x(A+λI)1/2
C1k(λ)fk
∥∥∥p
H
dx
1/p
+
+
b∫
0
∥∥∥e−x(A+λI)1/2
R1k(λ)fk
∥∥∥p
H
dx
1/p
+
+
b∫
0
∥∥∥e−(b−x)(A+λI)1/2
C2k(λ)fk
∥∥∥p
H
dx
1/p +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО . . . 9
+
b∫
0
∥∥∥e−(b−x)(A+λI)1/2
R2k(λ)fk
∥∥∥p
H
dx
1/p
+
+
(
1 +
∥∥A(A+ λI)−1
∥∥)
b∫
0
∥∥∥(A+ λI)e−x(A+λI)1/2
C1k(λ)fk
∥∥∥p
H
dx
1/p
+
+
b∫
0
∥∥∥(A+ λI)e−(b−x)(A+λI)1/2
R1k(λ)fk
∥∥∥p
H
dx
1/p
+
+
b∫
0
∥∥∥(A+ λI)e−(b−x)(A+λI)1/2
C2k(λ)fk
∥∥∥p
H
dx
1/p
+
+
b∫
0
∥∥∥(A+ λI)e−(b−x)(A+λI)1/2
R2k(λ)fk
∥∥∥p
H
dx
1/p
. (2.14)
Учитывая оценки (2.8) и (2.11), согласно теореме 5.4.2/1 из [5] для первого
слагаемого в правой части неравенства (2.14) имеем
|λ|
b∫
0
∥∥∥e−x(A+λI)1/2
C11(λ)f1
∥∥∥p
H
dx
1/p
=
= |λ| 1
|λ|
b∫
0
∥∥∥∥e−x(A+λI)1/2
(A+ λI)−1/2
(
I + αλ−1(A+ λI)−1/2
)−1
f1
∥∥∥∥p
H
dx
1/p ≤
≤ C (1 + |λ|)−1
(∥∥∥∥(I + αλ−1(A+ λI)−1/2
)−1
f1
∥∥∥∥
((H(A),H)1/2+1/2p,p)
+
+|λ|1/2−1/2p
∥∥∥∥(I + αλ−1(A+ λI)−1/2
)−1
f1
∥∥∥∥
H
)
≤
≤ C|λ|−1
(
‖f1‖(H(A),H)1/2+1/2p,p
+ |λ|1/2−1/2p‖f1‖H
)
.
По той же теореме для третьего слагаемого в правой части неравенства (2.14)
получаем
|λ|
b∫
0
∥∥∥e−x(A+λI)1/2
C22(λ)f2
∥∥∥p
H
dx
1/p
≤
≤ C
(
‖f2‖(H(A),H)1/2p,p
+ |λ|1−1/2p‖f2‖H
)
.
Учитывая оценки (2.12) и (2.13), в силу теоремы 5.4.2/1 из [5] легко можно
показать, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
10 Б. А. АЛИЕВ
|λ|
2∑
k=1
b∫
0
∥∥∥e−x(A+λI)1/2
R1k(λ)fk
∥∥∥p
H
dx
1/p
≤
≤ C|λ|−1
(
‖f1‖(H(A),H)1/2+1/2p,p
+ |λ|1/2−
1
2p ‖f1‖H
)
+
+ C
(
‖f2‖(H(A),H)1/2p,p
+ |λ|1−1/2p ‖f2‖H
)
.
Аналогично оцениваются остальные слагаемые в правой части неравенства (2.14).
Следовательно, доказана оценка (2.3).
Теорема 2.1 доказана.
3. Неоднородные уравнения. Рассмотрим теперь краевую задачу для неодно-
родного уравнения с параметром
L(λ,D)u := λu(x)− u′′(x) +Au(x) = f(x), x ∈ [0, b], (3.1)
L1(λ)u := λu′ (0)− αu (0) = f1,
L2u := u(b) = f2. (3.2)
Теорема 3.1. Пусть выполняются следующие условия:
1) A является самосопряженным положительно определенным оператором в
сепарабельном гильбертовом пространстве H;
2) |arg λ| ≤ ϕ
2
для каждого фиксированного 0 ≤ ϕ <
π
2
.
Тогда оператор L(λ) : u→ L(λ)u := (L(λ,D)u, L1(λ)u, L2u) при достаточно
больших |λ| из угла |arg λ| ≤ ϕ <
π
2
является изоморфизмом изW 2
p
(
(0, b);H(A),H
)
на Lp ((0, b);H) +̇
(
H(A),H
)
1/2+1/2p,p
+̇
(
H(A),H
)
1/2p,p
и для этих λ справедлива
следующая оценка для решения задачи (3.1), (3.2):
|λ| ‖u‖Lp((0,b);H) + ‖u′′‖Lp((0,b);H) + ‖Au‖Lp((0,b);H) ≤
≤ Cϕ
[
‖f‖Lp((0,b);H) +
1
|λ|
(
‖f1‖(H(A),H)1/2+1/2p,p
+ |λ|1/2−1/2p ‖f1‖H
)
+
+ ‖f2‖(H(A),H)1/2p,p
+ |λ|1−1/2p ‖f2‖H
]
. (3.3)
Доказательство. Инъективность следует из теоремы 2.1. Определим f̃(x) :=
:= f(x), если x ∈ [0, b], и f̃(x) = 0, если x /∈ [0, b]. Решение задачи (3.1), (3.2),
принадлежащее W 2
p ((0, b);H(A),H) , представим в виде суммы u(x) = u1(x) +
+ u2(x), где u1(x) — сужение на [0, b] решения уравнения
L(λ,D)ũ1(x) = f̃(x), x ∈ R = (−∞,+∞) , (3.4)
а u2(x) — решение задачи
L(λ,D)u2 = 0,
L1(λ)u2 = f1 − L1(λ)u1, (3.5)
L2u2 = f2 − L1u1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО . . . 11
Решение уравнения (3.4) дается формулой
ũ1(x) =
1
2π
∫
R
eiµxL (λ, iµ)−1
F f̃(µ)dµ,
где F f̃ — преобразование Фурье функции f̃(x), а L (λ, σ) — характеристический
оператор уравнения (3.4), т. е. L (λ, σ) = −σ2 +A+ λI. Можно показать, что (см.,
например, [5], раздел 5.4.4) для |arg λ| ≤ ϕ
|λ|
∥∥ũ1
∥∥
Lp(R;H)
+
∥∥ũ1
∥∥
W 2
p (R;H(A),H)
≤ C
∥∥f̃∥∥
Lp(R;H)
, (3.6)
и поэтому u1 ∈W 2
p ((0, b);H(A),H).
В силу теоремы 1.7.7/1 [5] и неравенства (3.6) имеем
u
(s)
1 (x0) ∈ (H(A),H)s/2+1/2p,p ∀x0 ∈ [0, 1] , s = 0, 1.
Отсюда L1(λ)u1 ∈ (H(A),H)1/2+1/2p,p, так как (H(A),H)1/2p,p ⊂ (H(A),
H)1/2+1/2p,p, L2u1 ∈ (H(A),H)1/2p,p. Таким образом, в силу теоремы 2.1 при
достаточно больших |λ| из угла |arg λ| ≤ ϕ задача (3.5) имеет единственное ре-
шение u2(x), которое принадлежит W 2
p ((0, b);H(A),H) . Более того, используя
технику, имеющуюся в [5] (раздел 5.4.4), можно показать, что для решения задачи
(3.5) при |arg λ| ≤ ϕ, |λ| → ∞, имеет место оценка
|λ| ‖u2‖Lp((0,b);H) + ‖u′′‖Lp((0,b);H) + ‖Au‖Lp((0,b);H) ≤
≤ C
[
‖f‖Lp((0,b);H) +
1
|λ|
(
‖f1‖(H(A),H)1/2+1/2p,p
+ |λ|1/2−1/2p‖f1‖H
)
+
+‖f2‖(H(A),H)1/2p,p
+ |λ|1−1/2p ‖f2‖H
]
. (3.7)
Из (3.6) при |arg λ| ≤ ϕ следует, что
|λ| ‖u1‖Lp((0,b);H) + ‖u1‖W 2
p ((0,b);H(A),H) ≤ C‖f‖Lp((0,b);H). (3.8)
Затем из (3.7) и (3.8) следует (3.3).
Теорема 3.1 доказана.
4. Асимптотика собственных значений. Рассмотрим краевую задачу
L(λ,D)u := −u′′(x) +Au(x) = λu(x), x ∈ [0, b], (4.1)
L1(λ)u := λu′ (0) + αu (0) = 0,
L2u := u(b) = 0, (4.2)
где λ > 0 — спектральный параметр, α — вещественное число.
Теорема 4.1. Пусть A = A∗ ≥ γ2I в H и A−1 вполне непрерывен в H. Тогда:
1) если α > 0, то задача (4.1), (4.2) имеет две серии собственных значений,
стремящихся соответственно к нулю и к бесконечности: λk =
α
√
µk
+o
(
1
√
µk
)
и
λn,k ∼ µk +
π2
b2
(
n+
1
2
)2
, где µk = µk(A) — собственные значения оператора A;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
12 Б. А. АЛИЕВ
2) если α < 0, то задача (4.1), (4.2) имеет лишь одну серию собственных
значений λn,k ∼ µk +
π2
b2
(
n− 1
2
)2
;
3) если α = 0, то задача (4.1), (4.2) имеет лишь одну серию собственных
значений λn,k = µk +
π2
b2
(
1
2
+ n
)2
.
Доказательство. Собственные элементы оператора A, соответствующие соб-
ственным значениям µk(A), обозначим через ϕk. Известно, что {ϕk} образует
ортонормированный базис в H. Тогда, учитывая спектральное разложение, для
коэффициентов ũk = (u, ϕk) получим задачу
−ũ′′k(x) + (µk − λ) ũk(x) = 0, x ∈ [0, b], (4.3)
λũ′k (0) + αũk (0) = 0,
ũk(b) = 0. (4.4)
Таким образом, нахождение собственных значений краевой задачи (4.1), (4.2)
сводится к нахождению собственных значений краевой задачи (4.3), (4.4).
Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения (4.3) имеет вид
ũk(x) = c1e
−x
√
µk−λ + c2e
−(b−x)
√
µk−λ, (4.5)
где ci, i = 1, 2, — произвольные постоянные.
Подставив (4.5) в (4.4), получим систему относительно ci, i = 1, 2, определи-
тель которой имеет вид
K(λ) =
(
α− λ
√
µk − λ
)
−
(
α+ λ
√
µk − λ
)
e−2b
√
µk−λ.
Собственные значения краевой задачи (4.3), (4.4) состоят из тех вещественных
λ 6= µk, которые хотя бы при одном µk удовлетворяют уравнению(
α− λ
√
µk − λ
)
−
(
α+ λ
√
µk − λ
)
e−2b
√
µk−λ = 0. (4.6)
Перепишем уравнение (4.6) в виде
λ
√
µk − λ ch b
√
µk − λ− α sh b
√
µk − λ = 0. (4.7)
Найдем собственные значения задачи (4.3), (4.4), меньшие µk.Положим
√
µk − λ =
= y. Уравнение (4.7) в этом случае эквивалентно уравнению
(µk − y2)y cth by − α = 0, 0 < y <
√
µk. (4.8)
Рассмотрим функции fk(y) =
(
µk − y2
)
y cth by − α, y ∈
(
0,
√
µk
)
. Пусть
α > 0. Производная f ′k(y) =
(
µk − 3y2
) ch by
sh by
−
(
µk − y2
) by
sh2 by
< 0 при y ∈
∈
(√
µk
3
,
√
µk
)
, т. е. fk(y) монотонно убывает на
(√
µk
3
,
√
µk
)
. Учитывая, что
fk
(√
µk
3
)
> 0, fk
(√
µk
)
< 0, заключаем, что в промежутке
(√
µk
3
,
√
µk
)
урав-
нение (4.8), начиная с некоторого k, имеет точно один нуль yk. Покажем, что yk
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО . . . 13
асимптотически ведет себя как
√
µk −
α
2µk
, т. е. yk =
√
µk −
α
2µk
+ o
(
1
µk
)
. Для
этого достаточно, чтобы
lim
k→∞
fk
(
√
µk −
α
2µk
+ 0
(
1
µk
))
= 0.
Действительно, так как при достаточно больших µk
cth b
(
√
µk −
α
2µk
+ 0
(
1
µk
))
∼ 1,
то
lim
k→∞
fk
(
√
µk −
α
2µk
+ 0
(
1
µk
))
= lim
k→∞
[
µk −
(
√
µk −
α
2µk
+ 0
(
1
µk
))2
]
×
×
(
√
µk −
α
2µk
+ 0
(
1
µk
))
− α = 0.
Отсюда получаем λk =
α
√
µk
+ o
(
1
µk
)
.
Очевидно, что если α ≤ 0, то при каждом k и при всех y ∈
(
0,
√
µk
)
fk(y) > 0.
Поэтому уравнение (4.8) ни при каких k не имеет решений на интервале
(
0,
√
µk
)
.
Изучим теперь те собственные значения задачи (4.3), (4.4), которые больше µk.
В этом случае уравнение (4.7) примет вид
α tg bz − z
(
z2 + µk
)
= 0, z ∈ (0,∞), (4.9)
где z =
√
λ− µk.
Рассмотрим функции ϕk(z) = α tg bz − z
(
z2 + µk
)
, z ∈ (0,∞) .
Пусть α < 0. Поскольку в каждом промежутке
(
π
b
(
n− 1
2
)
,
π
b
(
n+
1
2
))
ϕk(z) пробегает значения от −∞ до +∞, а ϕ′k(z) < 0, то в нем при каждом k
функция ϕk(z) имеет только один нуль zn,k:
π
b
(
n− 1
2
)
< zn,k <
π
b
(
n+
1
2
)
.
Отсюда для собственных значений получаем асимптотическую формулу λn,k ∼
∼ µk +
π2
b2
(
n− 1
2
)2
.
Если α > 0, то можно показать, что λn,k ∼ µk +
π2
b2
(
n+
1
2
)2
.
Если α = 0, то из (4.9) имеем λn,k = µk +
π2
b2
(
1
2
+ n
)2
.
Теорема 4.1 доказана.
1. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука,
1967.
2. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. – М.: Наука, 1980.
3. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. – Баку: Элм,
1985.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
14 Б. А. АЛИЕВ
4. Yakubov S. Completeness of root functions of regular differential operators. – New York: Longman,
1994.
5. Yakubov S., Yakubov Ya. Differential-operator equations. Ordinary and partial differential equations. –
Boca Raton: Chapman and Hall/CRC, 2000.
6. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений.
– Киев: Наук. думка, 1984.
7. Shklyar A. Ya. Complete second order linear differential equations in Hilbert spaces. – Basel: Birkhäuser,
1997.
8. Лаптев Г. И. Сильно эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве // Лит. мат. сб. –
1968. – 8, № 1. – С. 87 – 99.
9. Соболевский П. Е. Эллиптические уравнения в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения.
– 1968. – 4, № 7. – С. 1346 – 1348.
10. Гасымов М. Г. О разрешимости краевых задач для одного класса операторно-дифференциальных
уравнений // Докл. АН СССР. – 1977. – 235, № 3. – С. 505 – 508.
11. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных
уравнений эллиптического типа в пространстве вектор-функций // Укр. мат. журн. – 1976. – 28,
№ 3. – С. 313 – 324.
12. Ильин В. А., Филиппов В. С. О характере спектра самосопряженного расширения оператора Лап-
ласа в ограниченной области // Докл. АН СССР. – 1970. – 191, № 2. – С. 167 – 169.
13. Amann H. Dual semigroups and second order linear elliptic boundary value problems // Isr. J. Math. –
1983. – 45. – P. 225 – 254.
14. Aibeche A. Coerciveness estimates for a class of nonlocal elliptic problems // Different. Equat. and
Dynam. Syst. – 1993. – 4, № 1. – P. 341 – 351.
15. Yakubov S. Problems for elliptic equations with operator-boundary conditions // Integr. Equat. and Oper.
Theory. – 2002. – 43. – P. 215 – 236.
16. Dore G., Yakubov S. Semigroup estimates and noncoercive boundary value problems // Semigroup
Forum. – 2000. – 60. – P. 93 – 121.
17. Якубов С. Я., Алиев Б. А. Краевая задача с оператором в краевых условиях для эллиптического
дифференциально-операторного уравнения второго порядка // Сиб. мат. журн. – 1985. – 26, № 4. –
С. 176 – 188.
18. Брук В. М. Об одном классе краевых задач со спектральным параметром в граничном условии //
Мат. сб. – 1976. – 100(142), № 2(6). – С. 210 – 216.
19. Горбачук В. И., Рыбак М. А. О граничных задачах для операторного уравнения Штурма – Лиувилля
со спектральным параметром в уравнении и в граничном условии // Прямые и обратные задачи
теории рассеяния. – Киев, 1981. – С. 3 – 16.
20. Рыбак М. А. Об асимптотическом распределении собственных значений некоторых граничных
задач для операторного уравнения Штурма – Лиувилля // Укр. мат. журн. – 1980. – 32, № 2. –
С. 248 – 252.
21. Алиев Б. А. Асимптотическое поведение собственных значений одной краевой задачи для эллип-
тического дифференциально-операторного уравнения второго порядка // Там же. – 2006. – 58, № 8.
– С. 1146 – 1152.
22. Aliev B. A. Asymptotic behavior of eigen-values of a boundary value problem with spectral parameter
in the boundary conditions for the second order elliptic differential-operator equation // Trans. NAS
Azerbaijan. Ser. Phys-Tech. and Math. Sci. – 2005. – 25, № 7. – P. 3 – 8.
23. Олейник Л. А. Неоднородные граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений
со спектральным параметром в граничных условиях // Спектральная теория дифференциально-
операторных уравнений. – Киев, 1986. – С. 25 – 28.
24. Aliev B. A., Yakubov Ya. Elliptic differential-operator problems with a spectral parameter in both the
equation and boundary-operator conditions // Adv. Different. Equat. – 2006. – 11, № 10. – P. 1081 – 1110.
25. Котко Л. А., Крейн С. Г. О полноте системы собственных и присоединенных функций краевых
задач с параметром в граничных условиях // Докл. АН СССР. – 1976. – 227, № 2. – С. 288 – 300.
26. Кожевников А. Н. Раздельная асимптотика двух серий собственных значений одной эллиптической
краевой задачи // Мат. заметки. – 1977. – 22, № 5. – С. 699 – 711.
27. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы.
– М.: Мир, 1971.
28. Морен К. Методы гильбертова пространства. – М.: Мир, 1965.
Получено 20.12.07,
после доработки — 22.06.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2839 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:21Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fb/605d6bb2b8112ab8fe84a936327168fb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28392020-03-18T19:38:45Z Solvability of the boundary-value problem for the second-order elliptic differential-operator equation with spectral parameter in the equation and boundary conditions Разрешимость краевой задачи для эллиптического дифференциально - операторного уравнения второго порядка со спектральным параметром в уравнении и в граничных условиях Aliev, B. A. Алиев, Б. А. Алиев, Б. А. We investigate the solvability of a boundary-value problem for second-order elliptic operator differential equation with a spectral parameter in the equation and boundary conditions. We also study the asymptotic behavior of eigenvalues corresponding to a homogeneous boundary-value problem. Досліджено розв'язність крайової задачі для еліптичного диференціально-операторного рівняння другого порядку зі спектральним параметром у рівнянні і в граничних умовах, а також асимптотичну поведінку власних значень, що відповідають однорідній крайовій задачі. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2839 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 1 (2010); 3 - 14 Український математичний журнал; Том 62 № 1 (2010); 3 - 14 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2839/2430 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2839/2431 Copyright (c) 2010 Aliev B. A. |
| spellingShingle | Aliev, B. A. Алиев, Б. А. Алиев, Б. А. Solvability of the boundary-value problem for the second-order elliptic differential-operator equation with spectral parameter in the equation and boundary conditions |
| title | Solvability of the boundary-value problem for the second-order elliptic differential-operator equation with spectral parameter in the equation and boundary conditions |
| title_alt | Разрешимость краевой задачи для эллиптического дифференциально - операторного уравнения второго порядка со спектральным параметром в уравнении и в граничных условиях |
| title_full | Solvability of the boundary-value problem for the second-order elliptic differential-operator equation with spectral parameter in the equation and boundary conditions |
| title_fullStr | Solvability of the boundary-value problem for the second-order elliptic differential-operator equation with spectral parameter in the equation and boundary conditions |
| title_full_unstemmed | Solvability of the boundary-value problem for the second-order elliptic differential-operator equation with spectral parameter in the equation and boundary conditions |
| title_short | Solvability of the boundary-value problem for the second-order elliptic differential-operator equation with spectral parameter in the equation and boundary conditions |
| title_sort | solvability of the boundary-value problem for the second-order elliptic differential-operator equation with spectral parameter in the equation and boundary conditions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2839 |
| work_keys_str_mv | AT alievba solvabilityoftheboundaryvalueproblemforthesecondorderellipticdifferentialoperatorequationwithspectralparameterintheequationandboundaryconditions AT alievba solvabilityoftheboundaryvalueproblemforthesecondorderellipticdifferentialoperatorequationwithspectralparameterintheequationandboundaryconditions AT alievba solvabilityoftheboundaryvalueproblemforthesecondorderellipticdifferentialoperatorequationwithspectralparameterintheequationandboundaryconditions AT alievba razrešimostʹkraevojzadačidlâélliptičeskogodifferencialʹnooperatornogouravneniâvtorogoporâdkasospektralʹnymparametromvuravneniiivgraničnyhusloviâh AT alievba razrešimostʹkraevojzadačidlâélliptičeskogodifferencialʹnooperatornogouravneniâvtorogoporâdkasospektralʹnymparametromvuravneniiivgraničnyhusloviâh AT alievba razrešimostʹkraevojzadačidlâélliptičeskogodifferencialʹnooperatornogouravneniâvtorogoporâdkasospektralʹnymparametromvuravneniiivgraničnyhusloviâh |