On the theory of the third-order equation with multiple characteristics containing the second time derivative
We construct a fundamental solution of the third-order equation with multiple characteristics containing the second time derivative, establish the estimates valid for large values of the argument, and study some properties of fundamental solutions necessary for the solution of boundary-value problem...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2842 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508829591011328 |
|---|---|
| author | Apakov, Yu. P. Dzhuraev, T. D. Апаков, Ю. П. Джураев, Т. Д.. Апаков, Ю. П. Джураев, Т. Д.. |
| author_facet | Apakov, Yu. P. Dzhuraev, T. D. Апаков, Ю. П. Джураев, Т. Д.. Апаков, Ю. П. Джураев, Т. Д.. |
| author_sort | Apakov, Yu. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:38:45Z |
| description | We construct a fundamental solution of the third-order equation with multiple characteristics containing the second time derivative, establish the estimates valid for large values of the argument, and study some properties of fundamental solutions necessary for the solution of boundary-value problems. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.951.2
Т. Д. Джураев
(Ин-т математики и информ. технологий Академии наук Республики Узбекистан, Ташкент),
Ю. П. Апаков (Наманган. инж.-пед. ин-т, Узбекистан)
К ТЕОРИИ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ, СОДЕРЖАЩЕГО
ВТОРУЮ ПРОИЗВОДНУЮ ПО ВРЕМЕНИ
We construct the fundamental solution of a third-order equation with multiple characteristics that contains the
second time derivative. We obtain estimates for large values of an argument and investigate some properties
of the fundamental solution which are necessary to solve boundary-value problems.
Побудовано фундаментальний розв’язок для рiвняння третього порядку з кратними характеристиками,
яке мiстить другу похiдну за часом. Одержано оцiнки при великих значеннях аргументу та вивчено
деякi властивостi фундаментального розв’язку, необхiднi для розв’язання крайових задач.
1. Введениe. Уравнение третьего порядка с кратными характеристиками, содер-
жащее вторую производную по времени
Uxxx − Uyy = 0 (1)
впервые было рассмотрено в работах [1 – 3]. Затем полученные результаты были
обобщены для уравнения (2n+ 1)-го порядка в работе [4]. С помощью суперпози-
ции специально подобранных элементарных решений и асимптотического метода
были построены фундаментальные решения, которые при n = 1 имеют вид [4]
U(x, y; ξ, η) = |y − η|1/3f(t), V (x, y; ξ, η) = |y − η|1/3ϕ(t),
где
f(t) =
3
2
t1/2
∞∫
t
τ−3/2f∗(τ)dτ + c+, t > 0,
f(t) =
3
2
|t|1/2
t∫
−∞
|τ |−3/2f∗(τ)dτ + c−, t < 0,
ϕ(t) =
3
2
|t|1/2
t∫
−∞
|τ |−3/2ϕ∗(τ)dτ + c, t < 0,
f∗(t) =
∞∫
0
exp
(
−λ
3/2
√
2
)
cos
(
λ3/2
√
2
+ λt
)
dλ, −∞ < t <∞,
ϕ∗(t) =
∞∫
0
[
exp
(
λt− λ3/2
)
+ exp
(
−λ
3/2
√
2
)
sin
(
λ3/2
√
2
+ λt
)]
dλ, t < 0,
t = (x− ξ)|y − η|−2/3,
c±, c — константы.
c© Т. Д. ДЖУРАЕВ, Ю. П. АПАКОВ, 2010
40 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
К ТЕОРИИ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 41
Из этих фундаментальных решений видно, что ядра содержат двойной несоб-
ственный интеграл, поэтому при исследовании необходимо проводить громоздкие
вычисления.
В работе [5] построены фундаментальные решения уравнения (1), выраженные
через вырожденные гипергеометрические функции, которые имеют вид
U(x, y; ξ, η) = |y − η|1/3f(t), −∞ < t <∞,
V (x, y; ξ, η) = |y − η|1/3ϕ(t), t < 0.
(2)
Здесь
f(t) =
2 3
√
2√
3π
tΨ
(
1
6
,
4
3
; τ
)
,
ϕ(t) =
36Γ (1/3)√
3π
tΦ
(
1
6
,
4
3
; τ
)
, τ =
4
27
t3, t =
x− ξ
|y − η|2/3
,
Ψ(a, b;x), Φ(a, b;x) — вырожденные гипергеометрические функции (см. [6, 7]).
В данной работе получены оценки фундаментальных решений (2) при больших
значениях аргумента и изучены некоторые свойства, необходимые для решения
краевых задач.
2. Схема построения фундаментального решения и формулировки основ-
ных результатов. Для уравнения (1) рассмотрим следующие линейные задачи.
Задача А. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условию
u(x, 0) =
{
1 при x ≥ 0,
0 при x < 0.
Задача В. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условию
u(0, y) = 1, u(x, 0) = 0.
Решение. Введем новую переменную t = xy−2/3. Вычисляя производные
uxxx = y−2u′′′(t), uyy = t2yu
′′(t) + tyyu
′(t)
и подставляя в уравнение (1), получаем
u′′′ − 4
9
t2u′′ − 10
9
tu′ = 0.
Полагая u′(t) = cϕ(t), имеем
ϕ′′ − 4
9
t2ϕ′ − 10
9
tϕ = 0. (3)
Краевые условия для задачи А имеют вид
u(−∞) = 0, u(+∞) = 1.
Отсюда получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
42 Т. Д. ДЖУРАЕВ, Ю. П. АПАКОВ
u(t) = c
t∫
−∞
ϕ(τ)dτ, c =
+∞∫
−∞
ϕ(τ)dτ
−1
.
Краевые условия для задачи B имеют вид
u(−∞) = 0, u(0) = 1,
откуда находим
u(t) = c
t∫
−∞
ϕ(τ)dτ, c =
0∫
−∞
ϕ(τ)dτ
−1
.
Переходя к новым переменным по формуле
ϕ(t) = tZ(ξ), ξ =
4
27
t3,
приходим к уравнению
ξZ ′′ +
(
4
3
− ξ
)
Z ′ − 7
6
Z = 0. (4)
Уравнение (4) является вырожденным гипергеометрическим уравнением, его ли-
нейно независимые решения имеют вид (см. [7, с. 321])
Z1(ξ) = Φ
(
7
6
,
4
3
; ξ
)
, Z2(ξ) = Ψ
(
7
6
,
4
3
; ξ
)
.
Возвращаясь к старым переменным, находим выражения для ϕ(y) :
ϕ1(t) = tΦ
(
7
6
,
4
3
; ξ
)
, ϕ2(t) = tΨ
(
7
6
,
4
3
; ξ
)
, ξ =
4
27
t3.
При решении линейных задач в [5] получены функции источника
U∗(x, y; ξ, η) =
1
|y − η|2/3
f∗(t), −∞ < t < +∞,
V ∗(x, y; ξ, η) =
1
|y − η|2/3
ϕ∗(t), t < 0,
(5)
где
f∗(t) =
3
√
2
9
√
3π
tΨ
(
7
6
,
4
3
;
4
27
t3
)
, −∞ < t <∞,
ϕ∗(t) =
2Γ
(
1
3
)
√
3π
tΦ
(
7
6
,
4
3
;
4
27
t3
)
, t < 0, t =
x− ξ
|y − η|2/3
,
и фундаментальные решения
U(x, y; ξ, η) = |y − η|1/3f(t), −∞ < t <∞,
V (x, y; ξ, η) = |y − η|1/3ϕ(t), t < 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
К ТЕОРИИ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 43
где
f(t) =
2 3
√
2√
3π
tΨ
(
1
6
,
4
3
; τ
)
, ϕ(t) =
36Γ(1/3)√
3π
tΦ
(
1
6
,
4
3
; τ
)
,
τ =
4
27
t3, t =
x− ξ
|y − η|2/3
,
Ψ(a, b;x), Φ(a, b;x) — вырожденные гипергеометрические функции (см. [6, 7]).
Функции U(x, y; ξ, η), V (x, y; ξ, η) связаны с функциями U∗(x, y; ξ, η), V ∗(x, y;
ξ, η) соотношениями
Uy(x, y; ξ, η) = U∗(x, y; ξ, η) sgn(y − η),
Vy(x, y; ξ, η) = V ∗(x, y; ξ, η) sgn(y − η).
В работе [5] вычислены следующие интегралы:
∞∫
0
f∗(τ)dτ =
1
3
,
0∫
−∞
f∗(τ)dτ =
2
3
,
∞∫
−∞
f∗(τ)dτ = 1,
0∫
−∞
ϕ∗(τ)dτ = 1.
(6)
Для функций f(t) и f∗(t), а также ϕ(t) и ϕ∗(t) имеют место соотношения [5]
f ′′(t) +
2
3
tf∗(t) = 0, ϕ′′(t) +
2
3
tϕ∗(t) = 0. (7)
Для фундаментального решения справедливы следующие утверждения.
Теорема 1. При |t| → ∞ для фундаментального решения U(x, y; ξ, η) выпол-
няются следующие оценки:∣∣∣∣ ∂h+k
∂xh∂yk
U(x, y; ξ, η)
∣∣∣∣ ≤ Chk|y − η|(1−(−1)k)/2|x− ξ|−1/2{2h+3k−1+(3/2)[1−(−1)k]}.
(8)
Теорема 2. Для любой функции ϕ(x) ∈ C[a; b] при любых x 6= ξ, y 6= η
lim
x→x0
η→y
b∫
a
U∗(x, y; ξ, η)ϕ(ξ)dξ = ϕ(x0). (9)
Теорема 3. При ω(y) ∈ C[0, l] имеют место равенства
lim
x→ξ
l∫
0
Uxx(x, y; ξ, η)ω(η)dη =
−2
3
ω(y), x > ξ,
4
3
ω(y), x < ξ,
0, x = ξ,
(10)
lim
x→ξ
l∫
0
Vxx(x, y; ξ, η)ω(η)dη =
2ω(y), x < ξ,
0, x = ξ.
(11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
44 Т. Д. ДЖУРАЕВ, Ю. П. АПАКОВ
3. Доказательство полученных результатов. Доказательство теоремы 1.
Используя оценки (см. [6, с. 226; 7, с. 322])
Ψ(a, c;x) = x−a
[
1 +O(|x−1|)
]
, Rex→ ±∞,
Φ(a, c;x) =
Γ(c)
Γ(c− a)
(−x)−a
[
1 +O(|x−1|)
]
, Rex→ −∞,
(12)
и формулы дифференцирования вырожденной гипергеометрической функции (см. [7,
с. 324])
dn
dxn
Ψ(a, c;x) = (−1)n(a)nΨ(a+ n, c+ n;x),
dn
dxn
Φ(a, c;x) =
(a)n
(c)n
Φ(a+ n, c+ n;x),
(13)
получаем необходимые оценки.
С учетом оценок для Ψ(a, c;x) из (12) оценим функцию f∗(t) при |t| → ∞ :
|f∗(t)| ≤
3
√
2
9
√
3π
∣∣∣∣tΨ(7
6
,
4
3
;
4
27
t3
)∣∣∣∣ ≤ 3
√
2
9
√
3π
|t|
(
4
27
|t|3
)−7/6
≤ C1|t|−5/2.
Дифференцируя f∗(t) по формуле (13), имеем
f∗′(t) =
3
√
2
9
√
3π
[
Ψ
(
7
6
,
4
3
;
4
27
t3
)
+ tΨ′
(
7
6
,
4
3
;
4
27
t3
)]
=
=
3
√
2
9
√
3π
[
Ψ
(
7
6
,
4
3
;
4
27
t3
)
− 91
81
t3Ψ
(
13
6
,
7
3
;
4
27
t3
)]
.
С учетом (12) получаем оценку
|f∗′(t)| ≤
3
√
2
9
√
3π
[(
4
27
|t|3
)−7/6
+
91
81
(
4
27
|t|3
)−13/6
|t|3
]
≤
≤
3
√
2
9
√
3π
[
C11|t|−7/2 + C12|t|−7/2
]
≤ C1|t|−5/2−1.
Аналогично находим
|f∗(ν)(t)| ≤ C1ν |t|−5/2−ν , ν = 0, 1, 2, . . . , |t| → ∞. (14)
С учетом оценок для Φ(a, c;x) из (12) оценим функцию ϕ∗(t) при t→ −∞ :
|ϕ∗(t)| ≤ 2Γ(1/3)√
3π
∣∣∣∣tΦ(7
6
,
4
3
;
4
27
t3
)∣∣∣∣ ≤
≤ 2Γ(1/3)√
3π
|t|Γ(4/3)
Γ(1/6)
(
4
27
|t|3
)−7/6
≤ C1|t|−5/2.
Дифференцируя ϕ∗(t) по формуле (13), имеем
ϕ∗′(t) =
2Γ(1/3)√
3π
[
Φ
(
7
6
,
4
3
;
4
27
t3
)
+
13
36
t3Φ
(
13
6
,
7
3
;
4
27
t3
)]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
К ТЕОРИИ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 45
С помощью (12) получаем оценки
∣∣ϕ∗′(t)∣∣ ≤ 2Γ(1/3)√
3π
[
Γ(4/3)
Γ(1/6)
(
4
27
|t|3
)−7/6
+
13
36
Γ(7/3)
Γ(1/6)
(
4
27
|t|3
)−13/6
|t|3
]
≤
≤ 2Γ(1/3)√
3
[
C21t
−7/2 + C22t
−7/2
]
≤ C2t
−5/2−1.
Аналогично имеем
|ϕ∗(ν)(t)| ≤ C2ν |t|−5/2−ν , ν = 0, 1, 2, . . . , t→ −∞. (15)
Оценки для функций f(t) и ϕ(t) получим в виде
|f (ν)(t)| ≤ C3ν |t|−1/2−ν при |t| → ∞,
|ϕ(ν)(t)| ≤ C4ν |t|−1/2−ν при t→ −∞.
(16)
Теперь установим оценки фундаментальных решений.
Учитывая (12), при |t| → ∞ имеем
|U(x, y; ξ, η)| ≤ |y − η|1/3|f(t)| ≤ |y − η|1/3 2 3
√
2√
3π
∣∣∣∣tΨ(1
6
,
4
3
;
4
27
t3
)∣∣∣∣ ≤
≤ 2 3
√
2√
3π
|y − η|1/3|t|
(
4
27
|t|3
)−1/6
≤ C5|y − η|1/3|t|1/2 ≤ C5|x− ξ|1/2.
Дифференцируя по x, получаем
∂
∂x
U(x, y; ξ, η) =
=
2 3
√
2√
3π
|y − η|1/3
[
t′xΨ
(
1
6
,
4
3
;
4
27
t3
)
+ tΨ′
(
1
6
,
4
3
;
4
27
t3
)
4
9
t2
1
|y − η|2/3
]
=
=
2 3
√
2√
3π
1
|y − η|1/3
[
Ψ
(
1
6
,
4
3
;
4
27
t3
)
+
7
81
t3Ψ
(
7
6
,
7
3
;
4
27
t3
)]
.
Отсюда ∣∣∣∣ ∂∂xU(x, y; ξ, η)
∣∣∣∣ ≤
≤ 2 3
√
2√
3π
1
|y − η|1/3
[∣∣∣∣Ψ(1
6
,
4
3
;
4
27
t3
)∣∣∣∣+
7
81
|t|3
∣∣∣∣Ψ(7
6
,
7
3
;
4
27
t3
)∣∣∣∣] ≤
≤ 2 3
√
2√
3π
1
|y − η|1/3
[(
4
27
t3
)−1/6
+
7
81
|t|3
(
4
27
t3
)−7/6
]
≤
≤ C51
1
|y − η|1/3
|t|−1/2 = C51|x− ξ|1/2−1.
Аналогично имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
46 Т. Д. ДЖУРАЕВ, Ю. П. АПАКОВ∣∣∣∣ ∂h∂xhU(x, y; ξ, η)
∣∣∣∣ ≤ Ch|x− ξ|1/2−h. (17)
Дифференцируя по y, находим
∂
∂y
U(x, y; ξ, η) =
2 3
√
2√
3π
[
1
3
|y − η|−2/3tΨ
(
1
6
,
4
3
;
4
27
t3
)
+
+| y − η|1/3t′yΨ
(
1
6
,
4
3
;
4
27
t3
)
+ |y − η|1/3tΨ′
(
1
6
,
4
3
;
4
27
t3
)
4
9
t2t′y
]
=
=
3
√
2
9
√
3π
|y − η|−2/3tΨ
(
7
6
,
4
3
;
4
27
t3
)
.
Оценивая при |t| → ∞, получаем∣∣∣∣ ∂∂yU(x, y; ξ, η)
∣∣∣∣ ≤ 3
√
2
9
√
3π
∣∣∣∣|y − η|−2/3tΨ
(
7
6
,
4
3
;
4
27
t3
)∣∣∣∣ ≤
≤
3
√
2
9
√
3π
|y − η|−2/3t
(
4
27
t3
)−7/6
≤ C52
|y − η|
|x− ξ| 52
.
Аналогично имеем∣∣∣∣ ∂k∂ykU(x, y; ξ, η)
∣∣∣∣ ≤ Ck|y − η|(1−(−1)k)/2|x− ξ|−1/2{3k−1+(3/2)[1−(−1)k]}. (18)
Объединяя (17) и (18), получаем окончательные оценки для функцииU(x, y; ξ, η)
при |t| → ∞:∣∣∣∣ ∂h+k
∂xh∂yk
U(x, y; ξ, η)
∣∣∣∣ ≤ Chk|y − η|(1−(−1)k)/2|x− ξ|−1/2{2h+3k−1+(3/2)[1−(−1)k]}.
(19)
Теорема 1 доказана.
Для функции V (x, y; ξ, η)таким же образом получим аналогичные оценки при
x− ξ
|y − η|2/3
→ −∞.
Доказательство теоремы 2. Будем считать, что y > η (при y < η доказа-
тельство аналогично). Вследствие непрерывности ϕ(x) в точке x0 существует δ(ε)
такое, что ∣∣ϕ(x)− ϕ(x0)
∣∣ < ε,
если
|x− x0| < δ.
Разбив промежуток интегрирования на части, представим интеграл в виде трех
слагаемых:
x1∫
a
1
(y − η)2/3
f∗
(
x− ξ
(y − η)2/3
)
ϕ(ξ)dξ +
x2∫
x1
. . . dξ +
b∫
x2
. . . dξ = I1 + I2 + I3,
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
К ТЕОРИИ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 47
x1 = x0 − δ, x2 = x0 + δ.
Главное слагаемое этой суммы I2 можно представить в виде
ϕ(x0)
x2∫
x1
1
(y − η)2/3
f∗
(
x− ξ
(y − η)2/3
)
dξ+
+
x2∫
x1
1
(y − η)2/3
f∗
(
x− ξ
(y − η)2/3
)[
ϕ(ξ)− ϕ(x0)
]
dξ =
= I21 + I22.
Интеграл I21 вычисляется непосредственно, если выполнить замену переменных
t =
x− ξ
(y − η)2/3
, ξ = x− t(y − η)2/3, dξ = −(y − η)2/3dt.
Тогда
I21 = ϕ(x0)
x−x1
(y−η)2/3∫
x−x2
(y−η)2/3
f∗(t)dt.
Как только |x− x0| < δ, верхний предел становится положительным, а нижний —
отрицательным, и при η → y − 0 верхний предел стремится к +∞, а нижний — к
−∞. Отсюда, учитывая (6), получаем
lim
η→y−0
x→x0
I21 = ϕ(x0).
Покажем, что остальные интегралы I22, I1, I3 стремятся к нулю.
Оценим прежде всего интеграл I22 :
|I22| ≤
x2∫
x1
∣∣∣∣ 1
(y − η)
2
3
f∗
(
x− ξ
(y − η)2/3
)∣∣∣∣ |ϕ(ξ)− ϕ(x0)| dξ.
Поскольку x1 < ξ < x2, то |ξ − x0| < δ, поэтому
|I22| ≤ ε
x−x1
(y−η)2/3∫
x−x2
(y−η)2/3
∣∣f∗(t)∣∣dt.
Учитывая оценку (10) для функции f∗(t), получаем
lim
η→y−0
x→x0
I22 = 0.
Оценим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
48 Т. Д. ДЖУРАЕВ, Ю. П. АПАКОВ
|I1| ≤
∣∣∣∣∣∣
x1∫
a
1
(y − η)2/3
f∗
(
x− ξ
(y − η)2/3
)
ϕ(ξ)dξ
∣∣∣∣∣∣ ≤ N
x−a
(y−η)2/3∫
x−x1
(y−η)2/3
∣∣f∗(t)∣∣dt→ 0
при x → x0, η → y − 0 (в силу непрерывности функции ϕ(x) на отрезкe следует
еe ограниченность, т. е. |ϕ(x)| ≤ N ), так как если x → x0, то x − x1 > 0, а если
η → y − 0, то верхний и нижний пределы стремятся к +∞.
Аналогично
|I3| ≤
∣∣∣∣∣∣
b∫
x2
1
(y − η)2/3
f∗
(
x− ξ
(y − η)2/3
)
ϕ(ξ)dξ
∣∣∣∣∣∣ ≤ N
x−x2
(y−η)2/3∫
x−b
(y−η)2/3
|f∗(t)| dt→ 0
при x→ x0, η → y − 0, что и требовалось установить.
Теорема 2 доказана.
Доказательство теоремы 3. Установим равенство (10):
J =
l∫
0
Uxx(x, y; ξ, η)ω(η)dη =
= ω(y)
l∫
0
Uxx(x, y; ξ, η)dη +
l∫
0
Uxx(x, y; ξ, η)
[
ω(η)− ω(y)
]
dη =
= J1(x, y) + J2(x, y).
Используя равенство (7), вычисляем J1(x, y) :
J1(x, y) = ω(y)
l∫
0
Uxx(x, y; ξ, η)dη =
= ω(y)
l∫
0
1
|y − η|
f ′′
(
x− ξ
|y − η|2/3
)
dη =
= ω(y)
l∫
0
(
−2
3
)
x− ξ
|y − η|5/3
f∗
(
x− ξ
|y − η|2/3
)
dη =
= ω(y)
y∫
0
+
l∫
y
(−2
3
)
x− ξ
|y − η|5/3
f∗
(
x− ξ
|y − η|2/3
)
dη.
Выполняя замену переменных интегрирования по формуле
t =
x− ξ
|y − η|2/3
, dt =
(
−2
3
)
x− ξ
|y − η|5/3
sgn(y − η)dη,
имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
К ТЕОРИИ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 49
J1(x, y) = ω(y) lim
ε1→+0
x−ξ
|y−l|2/3∫
x−ξ
ε1
−
x−ξ
ε1∫
x−ξ
y2/3
f∗(t)dt.
Переходя к пределу при x > ξ и используя равенство (6), получаем
lim
x→ξ+0
J1(x, y) = −ω(y)
+∞∫
0
f∗(t)dt+ ω(y)
0∫
+∞
f∗(t)dt =
= −2ω(y)
+∞∫
0
f∗(t)dt = −2
3
ω(y).
Переходя к пределу при x < ξ, имеем
lim
x→ξ−0
J1(x, y) = −ω(y)
−∞∫
0
f∗(t)dt+ ω(y)
0∫
−∞
f∗(t)dt =
= 2ω(y)
0∫
−∞
f∗(t)dt =
4
3
ω(y).
Рассмотрим J2(x, y) :
J2 (x, y) =
l∫
0
Uxx (x, y; ξ, η)
[
ω(η)− ω(y)
]
dη =
=
l∫
0
1
|y − η|
f ′′
(
x− ξ
|y − η|2/3
)[
ω (η)− ω(y)
]
dη =
=
l∫
0
(
−2
3
)
x− ξ
|y − η|5/3
f∗
(
x− ξ
|y − η|2/3
)[
ω (η)− ω (y)
]
dη =
=
y∫
0
+
l∫
y
(−2
3
)
x− ξ
|y − η|5/3
f∗
(
x− ξ
|y − η|2/3
)[
ω (η)− ω(y)
]
dη.
Выполняя замену переменных интегрирования, находим
J2 (x, y) = − lim
ε1→+0
x−ξ
ε1∫
x−ξ
y2/3
f∗(t)
[
ω
(
y −
(
x− ξ
t
)3/2)
− ω(y)
]
dt+
+ lim
ε1→+0
x−ξ
|y−l|2/3∫
x−ξ
ε1
f∗(t)
[
ω
(
y −
(
x− ξ
t
)3/2)
− ω(y)
]
dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
50 Т. Д. ДЖУРАЕВ, Ю. П. АПАКОВ
= − lim
ε1→+0
x−ξ
ε1∫
x−ξ
y2/3
+
x−ξ
ε1∫
x−ξ
|y−l|2/3
f∗(t)
[
ω
(
y −
(
x− ξ
t
)3/2)
− ω(y)
]
dt.
Пусть ω(y) ∈ C[0, l], тогда при
(
x− ξ
t
)3/2
< δ, т. е. при t >
x− ξ
δ3/2
, имеем
∣∣∣∣∣ω
(
y −
(
x− ξ
t
)3/2)
− ω(y)
∣∣∣∣∣ < ε.
Учитывая это, получаем
J2(x, y) =
= − lim
ε1→+0
x−ξ
δ2/3∫
x−ξ
y2/3
+
x−ξ
ε1∫
x−ξ
δ2/3
f∗(t)
[
ω
(
y −
(
x− ξ
t
)3/2)
− ω (y)
]
dt−
− lim
ε1→+0
x−ξ
δ2/3∫
x−ξ
|y−l|2/3
+
x−ξ
ε1∫
x−ξ
δ2/3
f∗(t)
[
ω
(
y −
(
x− ξ
t
)3/2)
− ω (y)
]
dt.
Тогда ∣∣J2(x, y)
∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣∣∣∣
x−ξ
δ2/3∫
x−ξ
y2/3
f∗(t)
[
ω
(
y −
(
x− ξ
t
)3/2)
− ω(y)
]
dt
∣∣∣∣∣∣∣∣+ lim
ε1→+0
x−ξ
ε1∫
x−ξ
δ2/3
|f∗(t)| εdt+
+
∣∣∣∣∣∣∣∣
x−ξ
δ2/3∫
x−ξ
|y−l|2/3
f∗(t)
[
ω
(
y −
(
x− ξ
t
)3/2)
− ω(y)
]
dt
∣∣∣∣∣∣∣∣ + lim
ε1→+0
x−ξ
ε1∫
x−ξ
δ2/3
|f∗(t)| εdt.
Переходя к пределу при x→ ξ + 0, имеем
|J2 (x, y)| ≤ 2ε
+∞∫
0
|f∗(t)| dt,
откуда с учетом оценки (14) для функции f∗(t) следует lim
x→ξ+0
J2(x, y) = 0.
Аналогично при x → ξ − 0 получаем J2(x, y) → 0 (в обоих интегралах при
x→ ξ первое слагаемое равно нулю). Итак, равенство (10) доказано. Равенство (11)
доказывается аналогично.
Теорема 3 доказана.
Полученные соотношение для фундаментального решения были использованы
при решении краевых задач для уравнения (1) в работах [8, 9].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
К ТЕОРИИ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 51
1. Block H. Sur les equations lineaires aux derivees partielles a carateristiques multiples. Notes 1 – 3 // Ark.
mat., astron. och. fys. – 1912. – 7, № 13, 21; 1912 – 1913. – 8, № 23.
2. Del Vecchio E. Sulle equazioni Zxxx − Zy + ϕ1(x, y) = 0, Zxxx − Zyy + ϕ2(x, y) = 0 // Mem.
Real Accad. Sci. Torino. Ser. 2. – 1915. – 66. – P. 1 – 41.
3. Del Vecchio E. Sur deux problemes d’integration pour les equations paraboliques Zξξξ − Zη = 0,
Zξξξ − Zηη = 0 // Ark. mat., astron. och. fys. – 1916. – 11.
4. Cattabriga L. Potenziali di linea e di dominio per equazioni non paraboliche in due variabili a caratteri-
stiche multiple // Rend. Semin mat. Univ. Padova. – 1961. – 31. – P. 1 – 45.
5. Джураев Т. Д., Апаков Ю. П. Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с
кратными характеристиками // Вестн. Самар. гос. тех. ун-та. Физ.-мат. науки. – 2007. – № 2(15). –
С. 18 – 26.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: В 2 т. – М.: Наука, 1973. – Т. 1. – 296 с.
7. Справочник по специальным функциям. – M.: Наука, 1979. – 830 с.
8. Апаков Ю. П. Об одном методе решения краевой задачи для квазиэллиптического уравнения // Тез.
докл. междунар. конф. „Совр. пробл. вычислит. математики и мат. физики” (Москва, 16 – 18 июня
2009 г.). – С. 129 – 130.
9. Джураев Т. Д., Апаков Ю. П. О решении одной краевой задачи для квазиэллиптического уравнения
// Укр. мат. конгр. – 2009 // http://www.imath.kiev.ua/congress2009/.
Получено 23.06.08,
после доработки — 16.10.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2842 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:26Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/77/8cfb1ab69aa26e67f7e24e6117265677.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28422020-03-18T19:38:45Z On the theory of the third-order equation with multiple characteristics containing the second time derivative К теории уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, содержащего вторую производную по времени Apakov, Yu. P. Dzhuraev, T. D. Апаков, Ю. П. Джураев, Т. Д.. Апаков, Ю. П. Джураев, Т. Д.. We construct a fundamental solution of the third-order equation with multiple characteristics containing the second time derivative, establish the estimates valid for large values of the argument, and study some properties of fundamental solutions necessary for the solution of boundary-value problems. Побудовано фундаментальний розв'язок для рівняння третього порядку з кратними характеристиками, яке містить другу похідну за часом. Одержано оцінки при великих значеннях аргументу та вивчено деякі властивості фундаментального розв'язку, необхідні для розв'язання крайових задач. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2842 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 1 (2010); 40 - 51 Український математичний журнал; Том 62 № 1 (2010); 40 - 51 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2842/2436 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2842/2437 Copyright (c) 2010 Apakov Yu. P.; Dzhuraev T. D. |
| spellingShingle | Apakov, Yu. P. Dzhuraev, T. D. Апаков, Ю. П. Джураев, Т. Д.. Апаков, Ю. П. Джураев, Т. Д.. On the theory of the third-order equation with multiple characteristics containing the second time derivative |
| title | On the theory of the third-order equation with multiple characteristics containing the second time derivative |
| title_alt | К теории уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, содержащего вторую производную по времени |
| title_full | On the theory of the third-order equation with multiple characteristics containing the second time derivative |
| title_fullStr | On the theory of the third-order equation with multiple characteristics containing the second time derivative |
| title_full_unstemmed | On the theory of the third-order equation with multiple characteristics containing the second time derivative |
| title_short | On the theory of the third-order equation with multiple characteristics containing the second time derivative |
| title_sort | on the theory of the third-order equation with multiple characteristics containing the second time derivative |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2842 |
| work_keys_str_mv | AT apakovyup onthetheoryofthethirdorderequationwithmultiplecharacteristicscontainingthesecondtimederivative AT dzhuraevtd onthetheoryofthethirdorderequationwithmultiplecharacteristicscontainingthesecondtimederivative AT apakovûp onthetheoryofthethirdorderequationwithmultiplecharacteristicscontainingthesecondtimederivative AT džuraevtd onthetheoryofthethirdorderequationwithmultiplecharacteristicscontainingthesecondtimederivative AT apakovûp onthetheoryofthethirdorderequationwithmultiplecharacteristicscontainingthesecondtimederivative AT džuraevtd onthetheoryofthethirdorderequationwithmultiplecharacteristicscontainingthesecondtimederivative AT apakovyup kteoriiuravneniâtretʹegoporâdkaskratnymiharakteristikamisoderžaŝegovtoruûproizvodnuûpovremeni AT dzhuraevtd kteoriiuravneniâtretʹegoporâdkaskratnymiharakteristikamisoderžaŝegovtoruûproizvodnuûpovremeni AT apakovûp kteoriiuravneniâtretʹegoporâdkaskratnymiharakteristikamisoderžaŝegovtoruûproizvodnuûpovremeni AT džuraevtd kteoriiuravneniâtretʹegoporâdkaskratnymiharakteristikamisoderžaŝegovtoruûproizvodnuûpovremeni AT apakovûp kteoriiuravneniâtretʹegoporâdkaskratnymiharakteristikamisoderžaŝegovtoruûproizvodnuûpovremeni AT džuraevtd kteoriiuravneniâtretʹegoporâdkaskratnymiharakteristikamisoderžaŝegovtoruûproizvodnuûpovremeni |