Inverse problem of spectral analysis of conflict dynamical systems
For conflict dynamical systems, we study the problem of the existence and description of initial measures that converge to measures with given spectral distributions.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2847 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508833266270208 |
|---|---|
| author | Kharchenko, N. V. Харченко, Н. В. |
| author_facet | Kharchenko, N. V. Харченко, Н. В. |
| author_sort | Kharchenko, N. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:38:45Z |
| description | For conflict dynamical systems, we study the problem of the existence and description of initial measures that converge to measures with given spectral distributions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Н. В. Харченко
(Iн-т математики НАН України, Київ)
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛIЗУ
ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ
For conflict dynamical systems, we study the problem of the existence and the problem of the description of
initial measures converging to measures that have prescribed spectral distributions.
Для динамических систем конфликта исследуется вопрос о существовании и задача об описании на-
чальных мер, которые сходятся к мерам, имеющим наперед заданные спектральные распределения.
1. Вступ. У роботах [1, 2] введено поняття динамiчної системи конфлiкту в термi-
нах iмовiрнiсних мiр:
µ
N−1
> ν = µN , ν
N−1
> µ = νN , N = 1, 2, . . . ,
де > позначає операцiю конфлiктної взаємодiї, а граничнi значення записуються у
виглядi
µ
∞
> ν = µ∞, ν
∞
> µ = ν∞.
У згаданих роботах (див. також [3 – 5]) доведено iснування граничних станiв та
дослiджено пряму задачу — аналiз спектральної структури граничних розподiлiв.
Зокрема, показано, що носiї граничних iмовiрнiсних мiр µ∞, ν∞, як правило,
мають фрактальну структуру, а мiри є сингулярно неперервними.
У данiй роботi будемо дослiджувати обернену задачу. Нехай задано пару мiр
µ′, ν′ ∈ Mss (означення класу структурно подiбних мiр Mss див. у п. 2), що є
граничною для деякої динамiчної системи конфлiкту (див. властивостi у п. 4).
Задача полягає в доведеннi iснування та описi такої пари ймовiрнiсних мiр µ та ν,
для яких граничною для динамiчної системи конфлiкту є наперед задана пара µ′, ν′.
2. Структурно подiбнi мiри. Розглянемо структурно подiбну мiру µ ∈ Mss,
де ss — абревiатура вiд similar structure. Поняття структурно подiбної мiри було
введено в роботi [6] (див. також [7]). Коротко нагадаємо означення структурно
подiбної мiри на сегментi ∆0 = [0, 1].
Нехай G = {Gik}n
i=1, k = 1, 2, . . . , 2 ≤ n < ∞, позначає сiм’ю стискiв на
прямiй R1, що має наступнi властивостi. Для всiх k:
а) 0 < g ≤ gik < 1, де gik позначає коефiцiєнт стиску для Gik;
б) ∆0 =
⋃n
i=1 Gik∆0;
в) λ(Gik∆0
⋂
Gi′k∆0) = 0, i 6= i′, де λ — мiра Лебега.
Позначимо
Ui1...ik,i′1...i′k
:= Gi11 . . . Gikk(Gi′11
. . . Gi′kk)−1, 1 ≤ ik, i′k ≤ n.
Говоримо, що множина S ⊆ ∆0 є структурно подiбною, якщо для фiксованої
сiм’ї стискiв G з зазначеними вище властивостями множина S припускає нескiн-
ченну послiдовнiсть зображень
S =
n⋃
i1=1
si1 , si1 =
n⋃
i2=1
si1i2 , . . . , si1...ik−1 =
n⋃
ik=1
si1i2...ik
, . . . , (1)
c© Н. В. ХАРЧЕНКО, 2010
112 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛIЗУ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ 113
де для кожного фiксованого k = 1, 2, . . . всi непорожнi пiдмножини si1i2...ik
є
подiбними мiж собою:
si1...ik
= Ui1...ik,i′1...i′k
si′1...i′k
. (2)
Зауважимо, що на вiдмiну вiд поняття самоподiбної множини (див. [9, 10])
пiдмножини si1 , si1i2 , . . . , si1...ik
, . . . , взагалi кажучи, не є подiбними. Зокрема, у
загальному випадку вони не є подiбними до всiєї множини S.
Iмовiрнiсну мiру µ на ∆0 називаємо структурно подiбною, якщо її носiй
suppµ = Sµ = S є структурно подiбною множиною i, крiм того,
µ(si1...ik
∩ si′1...i′k
) = 0, (3)
якщо il 6= i′l принаймнi для одного 1 ≤ l ≤ k та визначенi для непорожнiх множин
вiдношення
µ(si1...ik−1ik
)
µ(si1...ik−1)
=: pikk > 0 (si0 ≡ ∆0),
n∑
i=1
pik = 1 ∀k ∈ N (4)
є незaлежними вiд iндексiв i1, . . . , ik−1. Покладаємо pikk = 0 для порожнiх пiд-
множин si1...ik
. Множину всiх структурно подiбних мiр позначаємо через Mss.
Таким чином, для фiксованої сiм’ї стискiв G з властивостями а) – в) кожна
структурно подiбна мiра µ асоцiйована з стохастичною матрицею
P ≡ {pk}∞k=1 = {pik}n,∞
i=1, k=1, (5)
ненульовi елементи якої задано формулами (4).
Далi сiм’ю стискiв G вважаємо фiксованою. Для мiр з класу Mss пишемо
µ ∈ Mpp,Mac,Msc (позначенням ss нехтуємо), якщо мiра µ є чисто точковою
(µ = µpp), чисто абсолютно неперервною (µ = µac), або чисто сингулярно непе-
рервною (µ = µsc) вiдповiдно. Позначимо
Pmax(µ) :=
∞∏
k=1
max
i
{pik}, ρ(µ,G) :=
∞∏
k=1
(
n∑
i=1
√
pikgik
)
,
де gik — коефiцiєнт стиску перетворення Gik з фiксованої сiм’ї стискiв G.
Теорема 1 [8]. Кожна мiра µ ∈Mss має чистий спектральний тип:
a) µ ∈Mpp, тодi i тiльки тодi Pmax(µ) > 0,
б) µ ∈Mac, тодi i тiльки тодi ρ(µ, G) > 0,
в) µ ∈Msc, тодi i тiльки тодi Pmax(µ) = 0 та ρ(µ, G) = 0.
3. Динамiчна система конфлiкту. Розглянемо довiльну пару структурно по-
дiбних мiр µ, ν ∈ Mss. Визначимо конструктивно послiдовнiсть пар мiр µN , νN ,
N = 1, 2, . . . , що формують динамiчну систему конфлiкту
{µN−1, νN−1} >−→ {µN , νN}, N = 1, 2, . . . , (6)
де вiдображення
>−→ (композицiя конфлiкту) позначає перетворення у просторi
Mss × Mss пар структурно подiбних мiр. Тому всi мiри µN , νN є структурно
подiбними. Вони будуються iтеративно, виходячи з пари початкових мiр µ = µ0,
ν = ν0, якi пов’язанi iз стохастичними матрицями P ≡ P 0 та R ≡ R0 вигляду (5).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
114 Н. В. ХАРЧЕНКО
Елементи матриць PN та RN , з якими взаємно однозначно пов’язанi мiри µN , νN ,
визначаються композицiєю > згiдно з формулами
pN
ik =
pN−1
ik (1− rN−1
ik )
1− (pN−1
k , rN−1
k )
, rN
ik =
rN−1
ik (1− pN−1
ik )
1− (pN−1
k , rN−1
k )
, (7)
де (·, ·) — скалярний добуток в Rn, p0
k ≡ pk, r0
k ≡ rk ∈ Rn, p0
ik ≡ pik, r0
ik ≡ rik,
i = 1, 2, . . . , n, k = 1, 2, . . . . Зрозумiло, що для коректностi формул (7) необхiдно
припускати, що
(pk, rk) 6= 1, k = 1, 2, . . . . (8)
Неважко перевiрити, що за умови (8) (pN
k , rN
k ) 6= 1 для всiх N = 1, 2, . . . та
k = 1, 2, . . . .
Теорема 2 [1, 4]. Для довiльної пари стохастичних матриць P, R вигляду (5),
якi задовольняють умову (8), для визначених в (7) послiдовностей iснують границi
при N →∞ :
p∞ik = lim
N→∞
pN
ik, r∞ik = lim
N→∞
rN
ik, i = 1, . . . , n, k = 1, 2, . . . . (9)
При цьому граничнi вектори p∞k , r∞k з координатами p∞ik , r∞ik з необхiднiстю
ортогональнi, p∞k ⊥ r∞k , якщо pk 6= rk, а якщо pk = rk, то p∞k = r∞k i, бiльш
того, всi ненульовi координати цих векторiв рiвнi мiж собою.
З теореми 2, яка по сутi є теоремою iснування, випливає iснування граничних
стохастичних матриць
P∞ = lim
N→∞
PN , R∞ = lim
N→∞
RN ,
з якими однозначно пов’язанi структурно подiбнi мiри µ∞, ν∞ ∈Mss. Як наслiдок,
це означає, що кожна траєкторiя динамiчної системи конфлiкту (6) збiгається до
нерухомої точки.
Наступна теорема (див. [3]) описує структуру мiр µ∞ i ν∞, тобто дає формули
для граничних значень координат p∞ik , r∞ik .
Введемо деякi позначення:
dik = pik − rik, N+,k := {i : dik > 0},
N−,k := {i : dik < 0}, N0,k := {i : dik = 0}
та
Dk :=
∑
i∈N+,k
dik = −
∑
i∈N−,k
dik.
Теорема 3 [3]. Якщо pk 6= rk, то
p∞ik =
dik/Dk, i ∈ N+,k,
0, i ∈ N−,k
⋃
N0,k,
(10)
r∞ik =
−dik/Dk, i ∈ N−,k,
0, i ∈ N+,k
⋃
N0,k.
(11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛIЗУ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ 115
Якщо pk = rk, то
p∞ik = r∞ik = 1/mk, (12)
де mk = #{i : pik = rik 6= 0} — кiлькiсть ненульових координат векторiв pk, rk.
Використовуючи теореми 2, 3 та формули (7), за допомогою яких визначається
перетворення конфлiкту, легко встановити справедливiсть наступних тверджень.
Твердження 1. Пара стохастичних векторiв p′k, r′k є парою граничних
векторiв деякої траєкторiї динамiчної системи конфлiкту (тобто p′k = p∞k ,
r′k = r∞k ), якщо виконується одна з умов: або p′k ⊥ r′k, або p′k = r′k i при цьому в
останньому випадку всi ненульовi координати векторiв є рiвними мiж собою.
Твердження 2. Стохастичний вектор p′k є граничним вектором деякої тра-
єкторiї динамiчної системи конфлiкту тодi i тiльки тодi, коли виконується хоча
б одна з наступних умов: усi його координати є рiвними мiж собою, або вiн має
принаймнi одну координату, що дорiвнює нулю.
Твердження 3. Якщо граничний вектор p∞k деякої траєкторiї динамiчної си-
стеми конфлiкту має всi координати вигляду 1/n, то початковi вектори rk i pk,
тобто такi, що pk
∞
> rk = p∞k , з необхiднiстю є рiвними.
Твердження 4. Якщо вектор pk має нульову координату pik = 0, а rk — будь-
який стохастичний вектор такий, що (pk, rk) 6= 1, то вектор p∞k = pk
∞
> rk
також має нульову i-ту координату: p
(∞)
ik = 0.
4. Обернена задача для пари структурно подiбних мiр. У роботах [1 – 5] вве-
дено поняття динамiчної системи конфлiкту в термiнах iмовiрнiсних мiр, доведено
iснування граничних станiв та розв’язано пряму задачу, яка полягає в дослiдженнi
спектральної структури граничних розподiлiв.
У данiй роботi дослiджується обернена задача, яка полягає в доведеннi iсну-
вання та описi всiх пар iмовiрнiсних структурно подiбних мiр µ та ν, для яких
граничною для динамiчної системи конфлiкту є наперед задана пара µ′, ν′ ∈Mss.
Зауважимо, що кожна ймовiрнiсна структурно подiбна мiра асоцiйована зi сто-
хастичною матрицею. Пара ймовiрнiсних мiр µ′, ν′ ∈ Mss, асоцiйованих з матри-
цями P ′ = {p′k}∞k=1, R′ = {r′k}∞k=1, буде граничною тодi i тiльки тодi, коли кожна
пара вектор-стовпчикiв p′k, r′k є парою граничних векторiв динамiчної системи
конфлiкту, якi описанi у твердженнi 1.
Розглянемо спочатку частинний випадок оберненої задачi. Нехай задано ймо-
вiрнiснi мiри µ та µ′, для яких елементи вiдповiдних матриць P = {pk}∞k=1 та
P ′ = {p′k}∞k=1 задовольняють умову
pjk = 0 ⇒ p′jk = 0 ∀j ∈ [1, n], k ∈ N, (13)
тобто якщо для деяких j ∈ [1, n], k ∈ N pjk = 0, то виконується рiвнiсть p′jk = 0.
Задача полягає в описi всiх iмовiрнiсних мiр ν таких, що µ
∞
> ν = µ′ ≡ µ∞.
Зафiксувавши k, далi можемо розглядати поставлену задачу в термiнах сто-
хастичних векторiв. А саме, нехай задано стохастичний вектор pk та вектор p′k,
координати якого задовольняють умову (13). Задача полягає в описi всiх стохастич-
них векторiв rk таких, що pk
∞
> rk = p′k ≡ p∞k .
Досить легко отримати розв’язок даної задачi для стохастичних векторiв з прос-
тору Rn
+, n = 2. Дiйсно, у просторi R2
+ iснують лише три iнварiантнi стани дина-
мiчної системи конфлiкту:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
116 Н. В. ХАРЧЕНКО
1) p∞k = (0, 1), r∞k = (1, 0),
2) p∞k = (1, 0), r∞k = (0, 1),
3) p∞k = r∞k =
(
1
2
,
1
2
)
.
Легко переконатися, що до першої пари збiгаються всi пари стохастичних век-
торiв, для яких виконується наступне: p1k < r1k, p2k > r2k. Аналогiчно, до другої
пари збiгаються всi пари стохастичних векторiв таких, що p1k > r1k, p2k < r2k.
А до третьої пари збiгаються всi пари рiвних мiж собою векторiв: pk = rk (за
винятком пар, для яких (pk, rk) = 1). Отже, кожна з iнварiантних точок (1) – (3) є
граничною для нескiнченної кiлькостi рiзних траєкторiй.
Далi будемо розглядати простiр Rn
+ з n ≥ 3.
З теореми 2 випливає, що множини N+,k, N−,k, N0,k можна означити еквiва-
лентним чином:
N+,k := {i : dik > 0} = {i : p
(∞)
ik 6= 0},
N−,k := {i : dik < 0} = {i : r
(∞)
ik 6= 0},
N0,k := {i : dik = 0} = {i : p
(∞)
ik = r
(∞)
ik },
(14)
де dik = pik − rik.
Теорема 4. Нехай задано стохастичнi вектори pk,p′k ∈ Rn, n ≥ 3, до того
ж вектор p′ є граничним вектором деякої траєкторiї динамiчної системи конф-
лiкту та для всiх координат векторiв p i p′ виконується умова (13). Тодi iснує
стохастичний вектор rk такий, що pk
∞
> rk = p′k ≡ p∞k , i множина усiх таких
векторiв описується покоординатно таким чином:
rik = pik − p′ikDk, i ∈ N+,k, (15)
pjk ≤ rjk ≤ 1, j /∈ N+,k,
де параметр Dk змiнюється у межах
0 < Dk ≤ ck
(
ck = min
i∈N+,k
{
pik
p′ik
})
, (16)
а множину N+,k визначено в (14).
Зокрема, якщо N+,k = ∅, то вектор rk = pk.
Доведення. Нехай вектор p′k мiстить нульовi координати. Позначимо через sk
кiлькiсть ненульових координат вектора p′k. Очевидно, sk < n.
Розглянемо випадок, коли ненульовi координати вектора p′k не є рiвномiрно
розподiленими. Тодi множина N+,k має вигляд N+,k = {i1, i2, . . . , isk
}. Для ви-
значення координат шуканого вектора rk скористаємося формулою (7) з p′k = p∞k .
Отримаємо систему sk рiвнянь вiдносно величин di1k, di2k, . . . , disk
k:
di1k = p′i1k ·Dk,
di2k = p′i2k ·Dk,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
disk
k = p′isk
k ·Dk,
(17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛIЗУ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ 117
де Dk =
∑
i∈N+,k
dik. В системi (17) не всi рiвняння є незалежними. Дiйсно,
додавши, наприклад, до першого рiвняння iншi sk−1 рiвняння, отримаємо лiнiйну
залежнiсть невiдомих di1k, di2k, . . . , disk
k :∑
i∈N+,k
dik = Dk
∑
i∈N+,k
p′ik.
Враховуючи, що
∑
i∈N+,k
dik = Dk, а також
∑
i∈N+,k
p′ik = 1 (оскiльки вектор
p′k є стохастичним), робимо висновок, що система (17) має одну незалежну змiнну.
За незалежну змiнну можна вибрати величину di1k. Але оскiльки
di1k = p′i1k ·Dk,
то далi будемо вважати, що незалежною змiнною є Dk.
Тепер розв’язок системи (17) можна записати у виглядi
ditk = p′itk ·Dk, it ∈ N+,k,
Dk ∈ R,
(18)
де межi змiни параметра Dk треба дослiдити.
Перепишемо (18) з використанням координат вектора rk:
ritk = pitk − p′itk ·Dk, it ∈ N+,k,
Dk ∈ R.
За теоремою 3 та внаслiдок стохастичностi вектора rk для всiх i ∈ N+,k повинна
виконуватись умова 0 ≤ rik < pik. Вона, очевидно, є еквiвалентною умовi pik ≥
≥ dik > 0. Звiдси одержуємо
0 <
dik
p′ik
≤ pik
p′ik
, (19)
де враховано те, що p′ik > 0 для усiх i ∈ N+,k.
Згiдно з (18) для параметра Dk виконується система рiвностей Dk =
dik
p′ik
, i ∈
∈ N+,k. Оскiльки разом з цим повиннi виконуватись умови (19), то незалежна
змiнна Dk має задовольняти всi нерiвностi:
0 < Dk ≤
pik
p′ik
, i ∈ N+,k.
Це означає, що параметр Dk, як незалежна змiнна в системi рiвнянь (17), повинен
задовольняти умови
Dk ∈ (0, ck],
де
ck = min
i∈N+,k
{
pik
p′ik
}
.
Отже, доведено, що координати r1k, r2k, . . . , rskk вектора rk мають вигляд (15).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
118 Н. В. ХАРЧЕНКО
Iншими n − sk координатами вектора rk є будь-якi невiд’ємнi числа, але такi,
що rjk ≥ pjk, j /∈ N+,k, i при цьому повинна виконуватись умова стохастичностi
вектора rk:
∑n
i=1
rik = 1.
Неважко переконатись, що значення rjk, j /∈ N+,k, якi задовольняють нерiвнос-
тi rjk ≥ pjk, j /∈ N+,k, завжди iснують. Дiйсно, оскiльки згiдно з (15) для rik,
i ∈ N+,k, виконується рiвнiсть∑
i∈N+,k
rik =
∑
i∈N+,k
pik −Dk
∑
i∈N+,k
p′ik,
то внаслiдок стохастичностi маємо∑
j /∈N+,k
rjk =
∑
j /∈N+,k
pjk + Dk
∑
i∈N+,k
p′ik.
Отже, ∑
j /∈N+,k
rjk >
∑
j /∈N+,k
pjk,
оскiльки Dk > 0. Тому будь-якi значення rjk ≥ pjk, j /∈ N+,k, при умовi∑n
i=1
rik = 1 можна вибрати в якостi координат вектора rk.
Розглянемо випадок, коли всi ненульовi координати вектора p′k є рiвними мiж
собою.
Припустимо, що iснує такий iндекс i, що координата p′ik = 0, а pik 6= 0. Тодi
за теоремою 3 вектор rk є таким, що rik > pik, тобто початковi вектори є рiзними.
Тобто можемо скористатись формулами (10), (11), а отже, доведення теореми є
аналогiчним випадку, коли координати вектора p′k не є рiвними мiж собою.
Тепер припустимо, що для всiх iндексiв i таких, що p′ik = 0, вiдповiднi коор-
динати вектора pk також дорiвнюють нулю, pik = 0. Тобто кiлькiсть ненульових
координат вектора pk та вектора p′k є однаковою. Позначимо кiлькiсть ненульових
координат векторiв через mk. За теоремою 3 координати граничного вектора p′k
мають вигляд p′ik = 1/mk, де mk — кiлькiсть ненульових координат початкового
вектора pk, лише у випадку, коли початковi вектори рiвнi, тобто pk = rk. Оскiльки
у випадку, що розглядається, множина N+,k = ∅, то вирази (15), що описують
координати вектора rk, можна переписати у виглядi нерiвностi
pjk ≤ rjk ≤ 1, j /∈ N+,k.
Дiйсно, оскiльки N+,k = N−,k = ∅, внаслiдок стохастичностi вектора pk отри-
маємо
pjk = rjk ≤ 1, j ∈ N0,k.
Теорему доведено.
Приклад. Нехай pk, rk ∈ R3. Не втрачаючи загальностi можемо вважати, що
для p∞k можливi лише два випадки:
1) p∞k = (1, 0, 0);
2) p∞k = (a, b, 0), a, b 6= 0, a + b = 1.
Очевидно, що для першого випадку в теоремi 4 коефiцiєнт ck = p1k. Тодi вектор
rk, який є розв’язком оберненої задачi, матиме координати, що задовольняють
умови
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛIЗУ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ 119
r1k = p1k −Dk,
p2k ≤ r2k ≤ 1,
p3k ≤ r3k ≤ 1.
де параметр Dk змiнюється у межах 0 < Dk ≤ p1k.
Розглянемо другий випадок. Тут коефiцiєнт ck = min
i∈N+,k
{p1k
a
,
p2k
b
}
, а пара-
метр Dk змiнюється у межах 0 < Dk ≤ ck. Тодi координати вектора rk будуть
визначатися таким чином:
r1k = p1k − a ·Dk,
r2k = p2k − b ·Dk,
p3k ≤ r3k ≤ 1.
Отже, якщо задано вектори pk та p∞k так, що для вектора p∞k виконується
умова (13) для всiх j ∈ [1, 2, . . . , n], то теорема 4 описує всi вектори rk такi, що
pk
∞
> rk = p∞k .
Тепер розглянемо обернену задачу в повному обсязi. Нехай задано пару ймовiр-
нiсних мiр µ′, ν′ ∈Mss, що є граничною для деякої динамiчної системи конфлiкту,
тобто вектор-стовпчики асоцiйованих з ними матриць P ′ та R′ задовольняють умо-
ви твердження 1. Зафiксуємо ймовiрнiсну мiру µ ∈Mss таку, що асоцiйована з нею
стохастична матриця P складається з вектор-стовпчикiв pk, що задовольняє умо-
ву (13). Тодi обернена задача зводиться до вiдшукання всiх таких iмовiрнiсних мiр
ν, що µ
∞
> ν = µ′ ≡ µ∞ та ν
∞
> µ = ν′ ≡ ν∞, з перебором всiх вказаних вище
мiр µ.
Зафiксуємо k i розглянемо дану задачу в термiнах стохастичних векторiв. Нехай
задано пару векторiв p′k, r′k ∈ Rn, що є граничними для деякої динамiчної системи
конфлiкту (див. твердження 1). Якщо зафiксувати стохастичний вектор pk, що
задовольняє умову (13), то вектор p′k буде для нього граничним. А тому обернена
задача зводиться до вiдшукання векторiв rk таких, що pk
∞
> rk = p′k ≡ p∞k та
rk
∞
> pk = r′k ≡ r∞k , з перебором всiх вказаних вище pk.
Очевидно, якщо граничнi вектори p′k, r′k рiвнi, то всi їхнi ненульовi координати
є рiвними мiж собою. Якщо для векторiв pk, p′k виконується умова (13), то за
теоремою 1 пара p′k, r′k є граничною для всiх пар векторiв pk, rk, де rk = pk.
Отже, далi будемо вважати, що p′k 6= r′k.
Теорема 5. Нехай задано вектори pk,p′k, r′k ∈ Rn, n ≥ 2, де p′k, r′k — пара гра-
ничних векторiв деякої траєкторiї динамiчної системи конфлiкту. Припустимо,
що для всiх координат вектора p′k виконується умова (13). Тодi iснує стохасти-
чний вектор rk такий, що
pk
∞
> rk = p′k ≡ p∞k ,
rk
∞
> pk = r′ ≡ r∞k .
При цьому, якщо p′k ⊥ r′k, координати вектора r′k описуються таким чином:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
120 Н. В. ХАРЧЕНКО
rik = pik − p′ikDk, i ∈ N+,k,
rjk = pjk + r′jkDk, j ∈ N−,k,
rlk = plk, l ∈ N0,k,
де параметр Dk змiнюється у межах
0 < Dk ≤ c′k, c′k = min
i∈N+,k,j∈N−,k
{
pik
p′ik
,
1− pjk
r′jk
}
.
Якщо p′k = r′k, то pk = rk.
Доведення. З теореми 4 (див. також твердження 4) випливає, що
N0,k = {i : p′ik = r′ik = 0},
N−,k = {i : dik < 0} = {i : p′ik = 0, r′ik 6= 0}.
Згiдно з теоремою 4, координати rik, i ∈ N+,k, вектора rk визначаються рiвнiс-
тю (15):
rik = pik − p′ikDk, i ∈ N+,k,
де параметр Dk змiнюється у межах 0 < Dk ≤ ck
(
ck = mini∈N+,k
{
pik
p′ik
})
.
Для зручностi позначимо N+,k = {i1, i2, . . . , isk
}, N−,k = {j1, j2, . . . , jtk
}.
Для координат j ∈ N−,k, використовуючи формули (10), (11), записуємо
dj1k = −r′j1kDk,
dj2k = −r′j2kDk,
. . . . . . . . . . . . . . . .
djtk = −r′jtk
Dk,
де Dk = −
∑
j∈,k
djk.
Як i при доведеннi теореми 4, отримуємо розв’язок у виглядi
Dk ∈ R,
rj1k = pj1k + r′j1kDk,
rj2k = pj2k + r′j2kDk,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
rjtk = pjtk + r′jtk
Dk.
(20)
За теоремою 3 та внаслiдок стохастичностi вектора rk для всiх j ∈ N−,k по-
винна виконуватись умова pjk < rjk ≤ 1, тобто pjk < pjk + r′jkDk ≤ 1, звiдки,
враховуючи, що r′jk > 0, знаходимо
0 < Dk ≤
1− pjk
r′jk
. (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛIЗУ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ 121
Оскiльки умови (21) повиннi виконуватись для всiх j ∈ N−,k, то незалежна
змiнна Dk повинна задовольняти нерiвностi
0 < Dk ≤ c′′k , c′′k = min
j∈N−,k
{
1− pjk
r′jk
}
.
Зауважимо, що тут Dk = −
∑
j∈N−,k
djk =
∑
i∈N+,k
dik, тобто параметр Dk
повинен також задовольняти умову 0 < Dk ≤ ck
(
ck = mini∈N+,k
{
pik
p′ik
})
.
Запишемо остаточно
0 < Dk ≤ c′k, c′k = min
i∈N+,k,j∈N−,k
{
pik
p′ik
,
1− pjk
r′jk
}
.
Якщо p′k = r′k, то всi ненульовi координати векторiв є рiвними мiж собою, оскiльки
за припущенням теореми пара векторiв є граничною для деякої траєкторiї дина-
мiчної системи конфлiкту. За теоремою 3 в такому випадку початковi вектори є
рiвними мiж собою, тобто pk = rk.
Теорему доведено.
Твердження 5. Умови теореми 5 є симетричними вiдносно векторiв pk та rk.
Доведення. Зафiксуємо вектори p′k та rk. Користуючись алгоритмом доведення
теореми 5, легко показати, що координати вектора pk визначаються за формулами,
наведеними в теоремi:
pik = rik + p′ikDk, i ∈ N+,k,
pjk = rjk − r′jkDk, j ∈ N−,k,
rlk = plk, l ∈ N0,k.
Перевiримо, чи збiгаються умови, визначенi для параметра Dk.
Для i ∈ N+,k внаслiдок стохастичностi вектора pk rik < pik ≤ 1, звiдки
випливає, що 0 < Dk ≤
1− rik
p′ik
.
Для j ∈ N−,k аналогiчно 0 ≤ pjk < rjk, звiдки 0 < D ≤ rjk
p′jk
.
Отже,
0 < Dk ≤ c′k, c′k = min
i∈N+,k,j∈N−,k
{
1− rik
p′ik
,
rjk
p′jk
}
.
Твердження доведено.
З теореми 5 випливає, що до фiксованої точки, iнварiантної вiдносно композицiї
конфлiкту, збiгається безлiч рiзних траєкторiй.
Нехай µ′, ν′ — пара ймовiрнiсних мiр, що є граничною для динамiчної системи
конфлiкту. P ′, R′ — стохастичнi матрицi, асоцiйованi вiдповiдно з мiрами µ′, ν′.
Якщо перебрати всi стохастичнi мiри µ, ν такi, що для кожного вектор-стовпчика
асоцiйованих з ними матриць P та R виконуються умови теореми 5, то одержимо
розв’язок оберненої задачi для довiльних структурно подiбних мiр. Тобто пари мiр
µ, ν будуть початковими точками таких траєкторiй динамiчної системи конфлiкту,
що збiгаються до наперед заданої пари мiр µ′, ν′.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
122 Н. В. ХАРЧЕНКО
1. Koshmanenko V. The theorem of conflict for probability measures // Math. Meth. Oper. Res. – 2004. –
59, № 2. – P. 303 – 313.
2. Кошманенко В. Д., Харченко Н. В. Iнварiантнi точки динамiчної системи конфлiкту в просторi
рiвномiрно розподiлених мiр // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 4. – С. 927 – 938.
3. Albeverio S., Bodnarchyk M., Koshmanenko V. Dynamics of discrete conflict interactions between non-
annihilating opponent // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2005. – 11, № 4. – P. 309 – 319.
4. Кошманенко В. Д. Теорема про конфликт для пары стохастических векторов // Укр. мат. журн. –
2003. – 55, № 4. – С. 555 – 560.
5. Koshmanenko V., Kharchenko N. Spectral properties of image measures after conflict interactions //
Theory Stochast. Process. – 2004. – 10, № 3-4. – P. 73 – 81.
6. Кошманенко В. Д. Вiдновлення спектрального типу граничних розподiлiв у динамiчних системах
конфлiкту // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 6. – С. 771 – 784.
7. Karataeva T., Koshmanenko V. Origination of the singular continuous spectrum in the conflict dynamical
systems // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2009. – 14, № 1. – P. 309 – 319.
8. Albeverio S., Koshmanenko V., Pratsiovytyi M., Torbin G. eQ-representation of real numbers and fractal
probability distributions. – Bonn, 2002. – 12 p. – (Preprint / Univ. Bonn, SFB611).
9. Hutchinson J. E. Fractals and selfsimilarity // Indiana Univ. Math. J. – 1981. – 30. – P. 713 – 747.
10. Triebel H. Fractals and spectra related to Fourier analysis and functional spaces. – Basel etc: Birhäuser,
1997.
Одержано 30.12.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2847 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:29Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/83/820bf9820df5701a28d293dea3b86e83.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28472020-03-18T19:38:45Z Inverse problem of spectral analysis of conflict dynamical systems Обернена задача спектрального аналізу динамічних систем конфлікту Kharchenko, N. V. Харченко, Н. В. For conflict dynamical systems, we study the problem of the existence and description of initial measures that converge to measures with given spectral distributions. Для динамических систем конфликта исследуется вопрос о существовании и задача об описании начальных мер, которые сходятся к мерам, имеющим наперед заданные спектральные распределения. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2847 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 1 (2010); 112–122 Український математичний журнал; Том 62 № 1 (2010); 112–122 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2847/2446 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2847/2447 Copyright (c) 2010 Kharchenko N. V. |
| spellingShingle | Kharchenko, N. V. Харченко, Н. В. Inverse problem of spectral analysis of conflict dynamical systems |
| title | Inverse problem of spectral analysis of conflict dynamical systems |
| title_alt | Обернена задача спектрального аналізу динамічних систем конфлікту |
| title_full | Inverse problem of spectral analysis of conflict dynamical systems |
| title_fullStr | Inverse problem of spectral analysis of conflict dynamical systems |
| title_full_unstemmed | Inverse problem of spectral analysis of conflict dynamical systems |
| title_short | Inverse problem of spectral analysis of conflict dynamical systems |
| title_sort | inverse problem of spectral analysis of conflict dynamical systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2847 |
| work_keys_str_mv | AT kharchenkonv inverseproblemofspectralanalysisofconflictdynamicalsystems AT harčenkonv inverseproblemofspectralanalysisofconflictdynamicalsystems AT kharchenkonv obernenazadačaspektralʹnogoanalízudinamíčnihsistemkonflíktu AT harčenkonv obernenazadačaspektralʹnogoanalízudinamíčnihsistemkonflíktu |