Approximations of classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of functions of many variables by entire functions in the space $L_q (R^d)$
Exact-order estimates are obtained for the best approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of functions of many variables by entire functions of the exponential type in the space $L_q (R^d)$.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2848 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508834322186240 |
|---|---|
| author | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. |
| author_facet | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. |
| author_sort | Yanchenko, S. Ya. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:38:45Z |
| description | Exact-order estimates are obtained for the best approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of functions of many variables by entire functions of the exponential type in the space $L_q (R^d)$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
С. Я. Янченко (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ BΩ
p,θ ФУНКЦIЙ
БАГАТЬОХ ЗМIННИХ ЦIЛИМИ ФУНКЦIЯМИ
У ПРОСТОРI Lq(Rd)
Exact-order estimates are obtained for the best approximations of classes BΩ
p,θ of multivariable functions by
entire functions of exponential type in the space Lq(Rd).
Получены точные по порядку оценки наилучших приближений классов BΩ
p,θ функций многих пере-
менных целыми функциями экспоненциального типа в пространстве Lq(Rd).
У роботi проводиться дослiдження найкращих наближень класiв BΩ
p,θ функцiй ба-
гатьох змiнних у просторi Lq(Rd), 1 < p < q <∞ та 1 < q < p <∞, p ≥ 2, цiлими
функцiями експоненцiального типу. Одержанi результати доповнюють оцiнки вiд-
повiдних величин, якi отримано в [1] для iншого спiввiдношення мiж параметрами
p та q.
Наведемо необхiднi позначення, означення класiв BΩ
p,θ, а також апроксиматив-
них характеристик, якi будуть дослiджуватися.
Нехай Rd — d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами x = (x1, . . . , xd) i (x, y) =
= x1y1+. . .+xdyd. Через Lq(Rd), 1 ≤ q ≤ ∞, позначимо простiр вимiрних функцiй
f(x) = f(x1, . . . , xd) зi скiнченною нормою
‖f‖q :=
∫
Rd
|f(x)|qdx
1/q
, 1 ≤ q <∞,
‖f‖∞ := ess sup
x∈Rd
|f(x)|.
Для f ∈ Lq(Rd)
∆l
hj
f(x) :=
l∑
n=0
(−1)l−nCn
l f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd)
— рiзниця l-го порядку, l ∈ N, функцiї f(x) з кроком hj за змiнною xj .
Тодi кратна рiзниця l-го порядку з векторним кроком h = (h1, . . . , hd) визнача-
ється рiвнiстю
∆l
hf(x) = ∆l
hd
(
∆l
hd−1
. . . (∆l
h1
f(x))
)
i, вiдповiдно,
Ωl(f, t)q := sup
|h|≤t
‖∆l
hf(x)‖q
— мiшаний модуль неперервностi функцiї f ∈ Lq(Rd). Тут t = (t1, . . . , td), tj ≥ 0,
j = 1, d (далi будемо писати t ≥ 0), |h| = (|h1|, . . . , |hd|) i нерiвнiсть |h| ≤ t
означає, що |hj | ≤ tj , j = 1, d.
Нехай Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) — функцiя типу мiшаного модуля неперервностi
порядку l, тобто визначена на Rd
+ функцiя, що задовольняє такi умови:
1) Ω(t) > 0, t > 0 i Ω(t) = 0, якщо
∏d
j=1
tj = 0;
c© С. Я. ЯНЧЕНКО, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1 123
124 С. Я. ЯНЧЕНКО
2) Ω(t) зростає за кожною змiнною;
3) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤
(∏d
j=1
mj
)l
Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d;
4) Ω(t) неперервна на Rd
+.
Також будемо вважати, що Ω(t) задовольняє умови (S) та (Sl), якi називають
умовами Барi – Стєчкiна [2] i якi полягають у наступному.
Функцiя однiєї змiнної ϕ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (S), якщо ϕ(τ)/τα майже
зростає з деяким α > 0, тобто iснує така не залежна вiд τ1 i τ2 стала C1 > 0, що
ϕ(τ1)
τα
1
≤ C1
ϕ(τ2)
τα
2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Функцiя ϕ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (Sl), l > 0, якщо ϕ(τ)/τ l−γ майже спадає
з деяким 0 < γ < l, тобто iснує така не залежна вiд τ1 i τ2 стала C2 > 0, що
ϕ(τ1)
τ l−γ
1
≥ C2
ϕ(τ2)
τ l−γ
2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Будемо вважати, що Ω(t) задовольняє умови (S) i (Sl), якщо Ω(t) задовольняє
цi умови за кожною змiнною tj за фiксованих ti, i 6= j. Стверджуючи це (також i
для функцiї ω(t) однiєї змiнної), будемо використовувати запис Ω ∈ Ψl, l > 0.
Прикладом функцiї, яка задовольняє умови 1 – 4, (S) i (Sl), є функцiя
Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) =
∏d
j=1
t
rj
j{
log(1/tj)
}bj
+
, якщо tj > 0, j = 1, d,
0, якщо
∏d
j=1
tj = 0,
де {log τ}+ = max{1; log τ}, а bj ∈ R.
Нехай, далi, ed := {1, 2, . . . , d}, d ∈ N, i e := {j1, . . . , jm}, m ≤ d, m ∈ N,
1 ≤ j1 < j2 < . . . < jm ≤ d, e ⊂ ed, t
e = (tj1 , . . . , tjm
), t̄e := (t̄1, . . . , t̄d), де
t̄i =
ti, i ∈ e,
1, i ∈ ed\e.
Отже, для 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i функцiї Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) типу мiшаного
модуля неперервностi порядку l покладемо
BΩ
p,θ :=
{
f ∈ Lp(Rd) : ‖f‖BΩ
p,θ
≤ 1
}
,
де
‖f‖BΩ
p,θ
:= ‖f‖p +
∑
e⊂ed
2∫
0
· · ·
2∫
0
(
Ωle(f, te)p
Ω(t̄e)
)θ∏
j∈e
dtj
tj
1/θ
, (1)
якщо 1 ≤ θ <∞, та
‖f‖BΩ
p,∞
:= ‖f‖p +
∑
e⊂ed
sup
te>0
Ωle(f, te)p
Ω(t̄e)
. (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ BΩ
p,θ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ ЦIЛИМИ ФУНКЦIЯМИ . . . 125
Зазначимо також, що
Ωle(f, te)q := sup
|he|≤te
∥∥∆le
hef(x)
∥∥
q
, he := (hj1 , . . . , hjm
),
∆le
hef(x) = ∆l
hjm
(
∆l
hjm−1
. . .
(
∆l
hj1
f(. . . , xj1 , . . . , xjm , . . .)
))
.
Тепер наведемо означення апроксимативної характеристики, яка буде дослiджу-
ватись у роботi.
Для s = (s1, . . . , sd), sj ∈ Z+, j = 1, d, покладемо
ρ(s) :=
{
k = (k1, . . . , kd) : η(sj)2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , kj ∈ Z, j = 1, d
}
i
Q2s :=
{
λ ∈ Rd : η(sj)2sj−1 ≤ |λj | < 2sj , j = 1, d
}
,
де η(0) = 0 i η(t) = 1, t > 0.
Для n ∈ N введемо позначення
Q1
n =
⋃
‖s‖1<n
Q2s ,
де ‖s‖1 = s1 + . . . + sd. Множина Q1
n породжує в Rd так званий схiдчастий
гiперболiчний хрест.
Нехай, далi, f ∈ Lq(Rd), 1 < q <∞. Позначимо через Ff перетворення Фур’є
функцiї f, а через F−1f її обернене перетворення. Покладемо
Gq(Q1
n) :=
{
f ∈ Lq(Rd) : Ff ⊆ Q1
n
}
.
Множина Gq(Q1
n) є пiдпростором в Lq(Rd), а її елементами є цiлi функцiї експо-
ненцiального типу.
Величина
En(f)q := E
(
f,Gq(Q1
n)
)
q
:= inf
g∈Gq(Q1
n)
‖f − g‖q
називається найкращим наближенням функцiї f ∈ Lq(Rd) функцiями iз Gq(Q1
n).
Покладемо
En(F )q = sup
f∈F
En(f)q, F ⊂ Lq(Rd). (3)
Отриманi результати будемо формулювати в термiнах порядкових спiввiдно-
шень. Для додатних функцiй µ1(N) та µ2(N) запис µ1 � µ2 означає, що iснує
стала C > 0 така, що µ1(N) ≤ Cµ2(N). Спiввiдношення µ1 � µ2 рiвносильне
тому, що виконуються порядковi нерiвностi µ1 � µ2 та µ1 � µ2.
Всi сталi Ci, i = 1, 2, . . . , якi будуть зустрiчатися в роботi, можуть залежати
лише вiд параметрiв, що входять в означення класу i метрики, в якiй вимiрюється
похибка наближення, та розмiрностi d простору Rd.
Для подальшого викладу нам знадобляться наступнi вiдомi твердження.
НехайA ⊂ Rd — деяка множина. Позначимо через χ
A
характеристичну функцiю
множини A i для f ∈ Lq(Rd) запишемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
126 С. Я. ЯНЧЕНКО
δ∗s (f, x) = F−1(Ff · χQ2s ).
Теорема А (Лiттлвуда – Пелi) (див., наприклад, [3, c. 81]). Нехай задано 1 <
< p <∞. Iснують додатнi числа C3, C4 такi, що для кожної функцiї f ∈ Lp(Rd)
виконуються спiввiдношення
C3‖f‖p ≤
∥∥∥∥∥∥∥
∑
s≥0
|δ∗s (f, ·)|2
1/2
∥∥∥∥∥∥∥
p
≤ C4‖f‖p.
Як наслiдок з теореми А легко отримують спiввiдношення (див., наприклад, [4,
c. 17])
‖f‖p �
∑
s≥0
‖δ∗s (f, ·)‖p0
p
1/p0
, p0 = min{p, 2}. (4)
У подальшому нам буде зручно користуватися еквiвалентними до (1) та (2)
зображеннями норми функцiй iз просторiв BΩ
p,θ, 1 ≤ θ < ∞, та BΩ
p,∞. Має мiсце
наступне твердження.
Теорема Б [1]. Нехай 1 < p < ∞ i Ω(t) — функцiя типу мiшаного модуля
неперервностi порядку l, Ω ∈ Ψl, l ∈ N. Функцiя f належить класу BΩ
p,θ, 1 ≤ θ <
<∞, тодi i тiльки тодi, коли∑
s≥0
Ω−θ(2−s)‖δ∗s (f, ·)‖θ
p
1/θ
<∞,
до того ж
‖f‖BΩ
p,θ
�
∑
s≥0
Ω−θ(2−s)‖δ∗s (f, ·)‖θ
p
1/θ
,
де Ω(2−s) = Ω(2−s1 , . . . , 2−sd).
Функцiя f належить класу BΩ
p,∞ тодi i тiльки тодi, коли
sup
s≥0
‖δ∗s (f, ·)‖p
Ω(2−s)
<∞,
до того ж
‖f‖BΩ
p,∞
� sup
s≥0
‖δ∗s (f, ·)‖p
Ω(2−s)
.
Таким чином, далi класи BΩ
p,θ — це множина функцiй f ∈ Lp(Rd), для якої
‖f‖BΩ
p,θ
≤ 1.
Зазначимо, що для Ω(t) =
∏d
j=1
t
rj
j , rj > 0, класи BΩ
p,θ збiгаються з класами
Sr
p,θB, якi були розглянутi Т. I. Амановим [5]; подальшi їх дослiдження отримали
розвиток у роботах П. I. Лiзоркiна, С. М. Нiкольського [6], Sun Yongsheng, Wang
Heping [7] та iн. Вiдзначимо також роботи [8, 9], в яких дослiджувалися аналоги
величини (3) для класiв Br
p,θ та BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ BΩ
p,θ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ ЦIЛИМИ ФУНКЦIЯМИ . . . 127
Теорема 1. Нехай 1 < p < q < ∞, Ω(t) ∈ Ψl з деяким α > β, де β =
1
p
− 1
q
.
Тодi якщо f належить класу BΩ
p,θ, то f належить класу BΩ1
q,θ, Ω1(t) = Ω(t)t−β i
‖f‖
B
Ω1
q,θ
� ‖f‖BΩ
p,θ
.
Зауважимо, що доведення даної теореми проводиться аналогiчно доведенню
вiдповiдної теореми в перiодичному випадку [9] (теорема 4).
Лема А [1]. Нехай Λ(t) = λ(t1 . . . td), де λ(τ) — задана функцiя типу модуля
неперервностi порядку l, що задовольняє умову (S) з деяким α > 0, тодi ∑
‖s‖1≥n
Λa(2−s)
1/a
� λ(2−n)n(d−1)/a, a > 0.
У подальших мiркуваннях ми використаємо лему, яка отримана в [7] i є анало-
гом вiдповiдної леми у перiодичному випадку [10, c. 25].
Лема Б. Нехай задано 1 < p < q <∞ i f ∈ Lq(Rd). Тодi
‖f‖q �
∑
s≥0
‖δ∗s (f, ·)‖q
p 2‖s‖1(1/p−1/q)q
1/q
.
Тепер перейдемо до встановлення оцiнок величини (3), коли в якостi F вико-
ристовують класи BΩ
p,θ. Попередньо зробимо наступне зауваження.
Для f ∈ Lq(Rd) покладемо
Sn(f, x) := Snf =
∑
‖s‖1<n
δ∗s (f, x).
Тодi якщо 1 < q <∞ i f ∈ Lq(Rd), то (див., наприклад, [6])
‖f − Snf‖q � En(f)q. (5)
Теорема 2. Нехай 1 < p < q < ∞ i задано Ω(t) = ω
(∏d
j=1
tj
)
, де ω ∈ Ψl з
деяким α >
1
p
− 1
q
. Тодi для 1 ≤ θ ≤ ∞ мають мiсце порядковi спiввiдношення
En(BΩ
p,θ)q � sup
f∈BΩ
p,θ
‖f − Snf‖q � ω(2−n)2n(1/p−1/q)n(d−1)(1/q−1/θ)+ ,
де a+ = max{a; 0}.
Доведення. Спочатку отримаємо оцiнки зверху. Згiдно з означенням величин
En(f)q i ‖f−Snf‖q необхiдну оцiнку зверху достатньо встановити для ‖f − Snf‖q,
f ∈ BΩ
p,θ.
Нехай f ∈ BΩ
p,θ, 1 ≤ θ ≤ ∞, тодi, використавши лему Б, отримаємо
‖f − Snf‖q =
∥∥∥∥∥∥
∑
‖s‖1≥n
|δ∗s (f, ·)|
∥∥∥∥∥∥
q
�
∑
‖s‖1≥n
‖δ∗s (f, ·)‖q
p 2‖s‖1(1/p−1/q)q
1/q
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
128 С. Я. ЯНЧЕНКО
=
∑
‖s‖1≥n
‖δ∗s (f, ·)‖q
pΩ
−q(2−s) 2‖s‖1(1/p−1/q)qΩq(2−s)
1/q
=: J1.
Для оцiнки J1 розглянемо кiлька випадкiв. Нехай q < θ <∞. Тодi, застосував-
ши до J1 нерiвнiсть Гельдера з показником
θ
q
, одержимо
J1 �
∑
‖s‖1≥n
‖δ∗s (f, ·)‖θ
pΩ
−θ(2−s)
1/θ
×
×
∑
‖s‖1≥n
(
2‖s‖1(1/p−1/q) Ω(2−s)
)qθ/(θ−q)
1/q−1/θ
≤
≤ ‖f‖BΩ
p,θ
∑
‖s‖1≥n
(
2‖s‖1(1/p−1/q) Ω(2−s)
)qθ/(θ−q)
1/q−1/θ
.
Далi, якщо покласти
2‖s‖1(1/p−1/q)Ω(2−s) = Λ(2−s),
де Λ(t) = λ(t1 . . . td) i
λ(τ) = ω(τ)τ−1/p+1/q,
то Λ(2−s) задовольнятиме умову (S) з деяким α = α− 1
p
+
1
q
> 0. Тодi на пiдставi
леми А отримаємо оцiнку
J1 � ‖f‖BΩ
p,θ
ω(2−n)2n(1/p−1/q)n(d−1)(1/q−1/θ) ≤
≤ ω(2−n)2n(1/p−1/q)n(d−1)(1/q−1/θ).
У випадку θ = ∞ для f ∈ BΩ
p,∞ згiдно з спiввiдношенням
‖δ∗s (f, ·)‖p � Ω(2−s)
та лемою А можемо записати
J1 �
∑
‖s‖1≥n
(
2‖s‖1(1/p−1/q)Ω(2−s)
)q
1/q
� ω(2−n)2n(1/p−1/q)n(d−1)/q.
Насамкiнець розглянемо випадок 1 ≤ θ ≤ q. Використовуючи нерiвнiсть [11,
с. 43] (∑
k
|ak|v2
)1/v2
≤
(∑
k
|ak|v1
)1/v1
, 0 < v1 ≤ v2 <∞,
та беручи до уваги, що ω ∈ Ψl з α >
1
p
− 1
q
, одержуємо оцiнку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ BΩ
p,θ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ ЦIЛИМИ ФУНКЦIЯМИ . . . 129
J1 �
∑
‖s‖1≥n
‖δ∗s (f, ·)‖θ
pΩ
−θ(2−s)2‖s‖1(1/p−1/q)θΩθ(2−s)
1/θ
�
�
∑
‖s‖1≥n
‖δ∗s (f, ·)‖θ
pΩ
−θ(2−s)
1/θ
sup
‖s‖1≥n
2‖s‖1(1/p−1/q)Ω(2−s) ≤
≤ ‖f‖BΩ
p,θ
sup
‖s‖1≥n
2‖s‖1(1/p−1/q)Ω(2−s) � ω(2−n)2n(1/p−1/q).
Оцiнки зверху встановлено.
Перейдемо до встановлення вiдповiдних оцiнок знизу. Зауважимо, що згiдно
з (5) оцiнки знизу достатньо також отримати лише для величини ‖f − Snf‖q,
f ∈ BΩ
p,θ.
Для k ∈ Nd розглянемо функцiю
Dk(x) =
d∏
j=1
Dkj
(xj),
де
Dkj (xj) =
√
2
π
(
2 sin
xj
2
cos
2kj + 1
2
xj
)
x−1
j
та
D 1
2
(xj) := D0(xj) :=
√
2
π
sinxj
xj
.
Тодi для перетворення Фур’є функцiї Dk(x) можемо записати [7]
FDk(x) = χk(x) =
d∏
j=1
χkj
(xj),
де
χkj
(xj) =
1, kj < |xj | < kj + 1,
1
2
, |xj | = kj або |xj | = kj + 1,
0 в iнших випадках,
χ0(xj) =
1, |xj | < 1,
1
2
, |xj | = 1,
0, |xj | > 1.
Вiдповiдно для оберненого перетворення будемо мати
F−1χk(t) = Dk(x).
Нехай спочатку θ = ∞. Розглянемо функцiю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
130 С. Я. ЯНЧЕНКО
fp,n(x) = C5
∑
‖s‖1≥n
Ω(2−s)2−‖s‖1/p′
∑
k∈ρ(s)
Dk(x),
де
1
p
+
1
p′
= 1, i покажемо, що для певного вибору сталої C5 > 0 дана функцiя
належить класу BΩ
p,θ.
Використавши вiдому оцiнку [7]∥∥∥∥∥∥
∑
k∈ρ(s)
Dk(·)
∥∥∥∥∥∥
q
� 2‖s‖1/q′ , (6)
можемо записати
‖δ∗s (fp,n, ·)‖p �
∥∥∥∥∥∥Ω(2−s)2−‖s‖1/p′
∑
k∈ρ(s)
Dk(·)
∥∥∥∥∥∥
p
=
= Ω(2−s)2−‖s‖1/p′
∥∥∥∥∥∥
∑
k∈ρ(s)
Dk(·)
∥∥∥∥∥∥
p
� Ω(2−s).
Звiдси отримуємо
‖fp,n‖BΩ
p,∞
= sup
s≥0
‖δ∗s (fp,n, ·)‖p
Ω(2−s)
≤ C6, C6 > 0,
i тому fp,n належить класу BΩ
p,∞ з деякою сталою C5 > 0.
Покладемо
∆(s) =
{
x : 2−sj−1 ≤ xj < 2−sj , j = 1, d
}
i зауважимо, що ∆(s) ∩ ∆(s′) = ∅, якщо s 6= s′. Таким чином, беручи до уваги,
що Snfp,n = 0, i використовуючи теорему A, маємо
En(fp,n)q �
∥∥fp,n − Snfp,n‖q = ‖fp,n
∥∥
q
�
∥∥∥∥∥∥∥
∑
‖s‖1≥n
|δ∗s (fp,n, ·)|2
1/2
∥∥∥∥∥∥∥
q
�
�
∑
‖s‖1≥n
∫
∆(s)
∣∣δ∗s (fp,n, x)
∣∣qdx
1/q
. (7)
Далi, оскiльки∫
∆(s)
∣∣δ∗s (fp,n, x)
∣∣qdx = Ωq(2−s)2−‖s‖1q/p′
∫
∆(s)
∣∣∣∣∣∣
∑
k∈ρ(s)
Dk(x)
∣∣∣∣∣∣
q
dx =: J2,
оцiнимо спочатку пiдiнтегральний вираз∣∣∣∣∣∣
∑
k∈ρ(s)
Dk(x)
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
∑
k∈ρ(s)
d∏
j=1
Dkj
(xj)
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
d∏
j=1
2sj−1∑
k=η(sj)2
sj−1
Dkj
(xj)
∣∣∣∣∣∣ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ BΩ
p,θ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ ЦIЛИМИ ФУНКЦIЯМИ . . . 131
=
∣∣∣∣∣∣
d∏
j=1
√
2
π
sin 2sjxj − sin η(sj)2sj−1xj
xj
∣∣∣∣∣∣�
�
∣∣∣∣∣∣
d∏
j=1
sin 2sj−2xj
xj
∣∣∣∣∣∣� 2‖s‖1 . (8)
Тодi для J2 з використанням оцiнки (8) можемо записати
J2 � Ωq(2−s) 2−‖s‖1q/p′
∫
∆(s)
2‖s‖1qdx = Ωq(2−s) 2−q‖s‖1(1/p′−1)
∫
∆(s)
dx�
� Ωq(2−s) 2‖s‖1q/p 2−‖s‖1 = Ωq(2−s) 2−q‖s‖1(1/q−1/p). (9)
Пiдставляючи оцiнку (9) в (7) та використовуючи лему А, отримуємо
En(fp,n)q �
∑
‖s‖1≥n
(
Ω(2−s)2−‖s‖1(1/q−1/p)
)q
1/q
� ω(2−n) 2n(1/p−1/q)n(d−1)/q.
(10)
Нехай тепер 1 ≤ θ ≤ q. У цьому випадку розглянемо функцiю
gp,n(x) = C7ω(2−n)2−n/p′
∑
k∈ρ(s)
Dk(x),
де s = (n, 0, . . . , 0), C7 > 0 — деяка стала.
Легко переконатися, що за певного вибору сталої C7 > 0 функцiя gp,n належить
класу BΩ
p,θ.
Оскiльки ‖s‖1 = n, то згiдно з (6)
‖gp,n‖BΩ
p,θ
� ω(2−n)2−n/p′
∥∥∥∥∥∥
∑
k∈ρ(s)
Dk(·)
∥∥∥∥∥∥
θ
p
Ω−θ(2−s)
1/θ
�
� ω(2−n)2−n/p′ω−1(2−n)2n/p′ = 1.
Отже, з отриманого спiввiдношення випливає, що gp,n належить класу BΩ
p,θ.
Беручи до уваги, що Sngp,n = 0, знаходимо
En(gp,n)q � ‖gp,n − Sngp,n‖q = ‖gp,n‖q � ω(2−n)2−n/p′
∥∥∥∥∥∥
∑
k∈ρ(s)
Dk(·)
∥∥∥∥∥∥
q
�
� ω(2−n)2−n/p′2n/q′ = ω(2−n)2n(1/p−1/q).
Насамкiнець, нехай q ≤ θ <∞. Розглянемо функцiю
ϕp,θ,n(x) = C8ω(2−n)n−(d−1)/θ2−n/p′
∑
‖s‖1=n
∑
k∈ρ(s)
Dk(x)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
132 С. Я. ЯНЧЕНКО
i покажемо, що за певного вибору сталої C8 > 0 функцiя ϕp,θ,n належить кла-
су BΩ
p,θ.
Використовуючи спiввiдношення (6), отримуємо
‖ϕp,θ,n‖BΩ
p,θ
� ω(2−n)n−(d−1)/θ2−n/p′
∑
‖s‖1=n
Ω−θ(2−s)
∥∥∥∥∥∥
∑
k∈ρ(s)
Dk(·)
∥∥∥∥∥∥
θ
p
1/θ
�
� ω(2−n)n−(d−1)/θ2−n/p′ω−1(2−n)
∑
‖s‖1=n
2−‖s‖1θ/p′
1/θ
�
� 2−n/p′2n/p′n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1=n
1
1/θ
� 1.
Отже, ϕp,θ,n ∈ BΩ
p,θ.
Враховуючи, що Snϕp,θ,n = 0, та проводячи мiркування, аналогiчнi до тих, що
використовувалися при встановленнi оцiнки (10), одержуємо
En(BΩ
p,θ)q ≥ En(ϕp,θ,n)q � ‖ϕp,θ,n‖q � ω(2−n)2n(1/p−1/q)n(d−1)(1/q−1/θ).
Оцiнки знизу встановлено.
Теорему доведено.
Зауваження 1. Оцiнку з теореми 2 у випадку Ω(t) = tr := tr1
1 . . . tr1
d , r =
= (r1, . . . , r1) > 0, тобто коли класи BΩ
p,θ збiгаються з класами Sr
p,θB, встановле-
но в [7].
Теорема 3. Нехай 1 < q < p < ∞, p ≥ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω(t) = ω(t1 . . . td), де
ω ∈ Ψl, l ∈ N. Тодi мають мiсце порядковi спiввiдношення
En(BΩ
p,θ)q � sup
f∈BΩ
p,θ
‖f − Snf‖q � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ)+ .
Доведення. Оцiнки зверху, внаслiдок нерiвностi ‖ · ‖q < ‖ · ‖p, q < p, зводяться
до оцiнки зверху величини sup
f∈BΩ
p,θ
‖f − Snf‖p (див. [1]), тобто
En(BΩ
p,θ)q < En(BΩ
p,θ)p ≤ sup
f∈BΩ
p,θ
‖f − Snf‖p � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ)+ .
Для одержання оцiнок знизу скористаємося спiввiдношенням, яке встановле-
не в [7].
Лема B. Нехай 1 < p <∞. Тодi для функцiї
f(x) =
∑
k≥0
ck
d∏
j=1
D2kj−1(xj)
виконується спiввiдношення
‖f‖p �
∑
k≥0
|ck|2
1/2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ BΩ
p,θ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ ЦIЛИМИ ФУНКЦIЯМИ . . . 133
Для одержання вiдповiдної оцiнки знизу у випадку 2 ≤ θ <∞ розглянемо
функцiю
ψθ,n(x) = C9n
−(d−1)/θω(2−n)
∑
‖s‖1=n
d∏
j=1
D2sj−1(xj).
Покажемо, що функцiя ψθ,n належить класу BΩ
p,θ з деякою сталою C9 > 0.
Оскiльки ∥∥∥∥∥∥
d∏
j=1
D2sj−1(xj)
∥∥∥∥∥∥
p
�
∥∥∥∥∥∥
d∏
j=1
∣∣∣∣ sin(xj/2)
xj
∣∣∣∣
∥∥∥∥∥∥
p
� 1,
то
‖ψθ,n‖BΩ
p,θ
�
∑
‖s‖1=n
Ω−θ(2−s)
∥∥∥δ∗s (ψθ,n, ·)
∥∥∥θ
p
1/θ
=
=
∑
‖s‖1=n
Ω−θ(2−s)
∥∥∥∥∥∥n−(d−1)/θω(2−n)
d∏
j=1
D2sj−1(·)
∥∥∥∥∥∥
θ
p
1/θ
=
= n−(d−1)/θω(2−n)
∑
‖s‖1=n
Ω−θ(2−s)
∥∥∥∥∥∥
d∏
j=1
D2sj−1(·)
∥∥∥∥∥∥
θ
p
1/θ
�
� n−(d−1)/θω(2−n)ω−1(2−n)
∑
‖s‖1=n
1
1/θ
� 1.
Далi, зважаючи на те, що Snψθ,n = 0, та використовуючи лему B, одержуємо
En(BΩ
p,θ)q � sup
f∈BΩ
p,θ
‖f − Snf‖q ≥ ‖ψθ,n − Snψθ,n‖q = ‖ψθ,n‖q �
� n−(d−1)/θω(2−n)
∥∥∥∥∥∥
∑
‖s‖1=n
d∏
j=1
D2sj−1(xj)
∥∥∥∥∥∥
q
�
� n−(d−1)/θω(2−n)
∑
‖s‖1=n
1
1/2
�
� ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ).
Якщо θ = ∞, то розглянемо функцiю
ψ̃n(x) = C10ω(2−n)
∑
‖s‖1=n
d∏
j=1
D2sj−1(xj),
де C10 > 0 — деяка стала.
Оскiльки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
134 С. Я. ЯНЧЕНКО
∥∥ψ̃n
∥∥
BΩ
p,∞
� sup
‖s‖1=n
∥∥δ∗s (ψ̃n, ·)
∥∥
p
Ω(2−s)
= sup
‖s‖1=n
ω(2−n)
∥∥∥∥∏d
j=1
D2sj−1(xj)
∥∥∥∥
p
Ω(2−s)
≤ C11,
то функцiя ψ̃n належить класу BΩ
p,∞ з деякою сталою C10 > 0.
Беручи до уваги, що Snψ̃n = 0, та використовуючи лему B, отримуємо
En(BΩ
p,∞)q ≥ ‖ψ̃n − Snψ̃n‖q = ‖ψ̃n‖q � ω(2−n)
∥∥∥∥∥∥
∑
‖s‖1=n
d∏
j=1
D2sj−1(xj)
∥∥∥∥∥∥
q
�
� ω(2−n)
∑
‖s‖1=n
1
1/2
� ω(2−n)n(d−1)/2.
Насамкiнець, для встановлення оцiнки знизу величини En(BΩ
p,θ)q у випадку
1 ≤ θ < 2 розглянемо функцiю
ϕ̃n(x) = C12ω(2−n)
d∏
j=1
D2sj−1(xj),
де s1 + . . .+ sd = n, C12 > 0 — деяка стала.
Для функцiї ϕ̃n будемо мати
‖ϕ̃n‖BΩ
p,θ
�
Ω−θ(2−s)
∥∥∥∥∥∥ω(2−n)
d∏
j=1
D2sj−1(xj)
∥∥∥∥∥∥
θ
p
1/θ
�
� ω−1(2−n)ω(2−n)
∥∥∥∥∥∥
d∏
j=1
D2sj−1(xj)
∥∥∥∥∥∥
θ
p
1/θ
≤ C13.
Отже, ϕ̃n належить класу BΩ
p,θ з деякою сталою C12 > 0.
Оскiльки Snϕ̃n = 0, то
En(BΩ
p,θ)q � sup
f∈BΩ
p,θ
‖f − Snf‖q ≥ ‖ϕ̃n − Snϕ̃n‖q = ‖ϕ̃n‖q � ω(2−n).
Оцiнки знизу встановлено.
Теорему доведено.
На завершення сформулюємо такий наслiдок.
Наслiдок 1. Нехай 1 < q < p < ∞, p ≥ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω(t) = tr = tr1
1 . . . t
r1
d ,
r = (r1, . . . , r1) > 0. Тодi має мiсце спiввiдношення
En(Sr
p,θB)q � 2−nr1n(d−1)(1/2−1/θ)+ , (11)
де a+ = max{a, 0}.
Зауважимо, що оцiнка (11) доповнює результати, встановленi в роботi [7].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ BΩ
p,θ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ ЦIЛИМИ ФУНКЦIЯМИ . . . 135
1. Стасюк С. А., Янченко С. Я. Найкраще наближення класiв BΩ
p,θ функцiй багатьох змiнних в
просторi Lp(Rd) // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2008. – 5, № 1. – С. 367 – 384.
2. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопря-
женных функций // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – C. 483 – 522.
3. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука,
1969. – 480 c.
4. Temlyakov V. N. Approximation of periodic function. – New York: Nova Sci. Publ., Inc., 1993. – 419 p.
5. Аманов Т. И. Теоремы представления и вложения для функциональных пространств S
(r)
p,θB(Rn)
и S
(r)∗
p,θ B (0 ≤ xj ≤ 2π, j = 1, . . . , n) // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1965. – 77. – С. 5 – 34.
6. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозици-
онной точки зрения // Там же. – 1989. – 187. – C. 143 – 161.
7. Wang Heping, Sun Yongsheng. Approximation of multivariate functions with a certain mixed smoothness
by entire functions // Northeast. Math. J. – 1995. – 11(4). – P. 454 – 466.
8. Романюк А. С. Приближение классов Бесова периодических функций многих переменных в про-
странстве Lq // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 10. – С. 1398 – 1408.
9. Sun Yongsheng, Wang Heping. Representation and approximation of multivariate periodic functions
with bounded mixed moduli of smoothness // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1997. – 219. – С. 356 – 377.
10. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та
АН СССР. – 1986. – 178. – C. 1 – 112.
11. Харди Г. Г., Литтлвуд Дж. Е., Полиa Г. Неравенства. – М.: Изд-во иностр. лит., 1948. – 456 c.
Одержано 12.02.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2848 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:30Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/84/b8049eb065d93034a9ee19830b2ce684.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28482020-03-18T19:38:45Z Approximations of classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of functions of many variables by entire functions in the space $L_q (R^d)$ Наближення класів $B^{Ω}_{p,θ}$ в функцій багатьох змінних цілими функціями у просторі $L_q (R^d)$ Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. Exact-order estimates are obtained for the best approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of functions of many variables by entire functions of the exponential type in the space $L_q (R^d)$. Получены точные по порядку оценки наилучших приближений классов $B^{Ω}_{p,θ}$ функций многих переменных целыми функциями экспоненциального типа в пространстве $L_q (R^d)$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2848 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 1 (2010); 123–135 Український математичний журнал; Том 62 № 1 (2010); 123–135 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2848/2448 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2848/2449 Copyright (c) 2010 Yanchenko S. Ya. |
| spellingShingle | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. Approximations of classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of functions of many variables by entire functions in the space $L_q (R^d)$ |
| title | Approximations of classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of functions of many variables by entire functions in the space $L_q (R^d)$ |
| title_alt | Наближення класів $B^{Ω}_{p,θ}$ в функцій багатьох змінних цілими функціями у просторі $L_q (R^d)$ |
| title_full | Approximations of classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of functions of many variables by entire functions in the space $L_q (R^d)$ |
| title_fullStr | Approximations of classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of functions of many variables by entire functions in the space $L_q (R^d)$ |
| title_full_unstemmed | Approximations of classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of functions of many variables by entire functions in the space $L_q (R^d)$ |
| title_short | Approximations of classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of functions of many variables by entire functions in the space $L_q (R^d)$ |
| title_sort | approximations of classes $b^{ω}_{p,θ}$ of functions of many variables by entire functions in the space $l_q (r^d)$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2848 |
| work_keys_str_mv | AT yanchenkosya approximationsofclassesbōpthoffunctionsofmanyvariablesbyentirefunctionsinthespacelqrd AT ânčenkosâ approximationsofclassesbōpthoffunctionsofmanyvariablesbyentirefunctionsinthespacelqrd AT yanchenkosya nabližennâklasívbōpthvfunkcíjbagatʹohzmínnihcílimifunkcíâmiuprostorílqrd AT ânčenkosâ nabližennâklasívbōpthvfunkcíjbagatʹohzmínnihcílimifunkcíâmiuprostorílqrd |