On the order of relative approximation of classes of differentiable periodic functions by splines
In the case where $n → ∞$, we obtain order equalities for the best $L_q$ -approximations of the classes $W_p^r ,\; 1 ≤ q ≤ p ≤ 2$, of differentiable periodical functions by splines from these classes.
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2851 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508836011442176 |
|---|---|
| author | Babenko, V. F. Parfinovych, N. V. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. |
| author_facet | Babenko, V. F. Parfinovych, N. V. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. |
| author_sort | Babenko, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:39:03Z |
| description | In the case where $n → ∞$, we obtain order equalities for the best $L_q$ -approximations of the classes $W_p^r ,\; 1 ≤ q ≤ p ≤ 2$, of differentiable periodical functions by splines from these classes. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. Ф. Бабенко (Днепропетр. нац. ун-т, Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк),
Н. В. Парфинович (Днепропетр. нац. ун-т)
О ПОРЯДКЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ СПЛАЙНАМИ
In the case where n → ∞, we obtain order equalities for the best Lq-approximations of classes W r
p ,
1 ≤ q ≤ p ≤ 2, of differentiable periodical functions by splines from these classes are found.
Отримано порядковi рiвностi при n → ∞ для найкращих Lq-наближень класiв W r
p , 1 ≤ q ≤ p ≤ 2,
диференцiйовних перiодичних функцiй сплайнами з цих класiв.
Пусть C и Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, — пространства 2π-периодических функций f : R→ R
с соответствующими нормами ‖ · ‖C и ‖ · ‖Lp
= ‖ · ‖p.
Наилучшим приближением функции f ∈ Lp множеством H ⊂ Lp в метрике
пространства Lp называется величина
E(f,H)p := inf
h∈H
‖f − h‖p.
Если H — подпространство констант, то вместо E(f,H)p будем писать E(f)p.
Наилучшее приближение класса функций M ⊂ Lp множеством H ⊂ Lp в мет-
рике Lp определяется равенством
E(M,H)p := sup
f∈M
E(f,H)p.
Для n ∈ N и центрально-симметричного класса M ⊂ Lp n-поперечником по Кол-
могорову в пространстве Lp называется величина
dn(M,Lp) := inf
Hn
E(M,Hn)p, (1)
где точная нижняя грань берется по всем подпространствам пространства Lp, раз-
мерность которых не превышает n.
Подпространства, реализующие инфимум в (1), называются экстремальными
подпространствами. Последовательность подпространств {Hn} такая, что
dn(M,Lp) � E(M,Hn)p, n→∞,
называется экстремальной по порядку.
Пусть теперь M, M ′ ⊂ Lp — некоторые классы функций. Рассмотрим величину
dn(M,Lp,M
′) := inf
Hn
E(M,Hn ∩M ′)p, (2)
где точная нижняя грань берется по всем подпространствам пространства Lp, раз-
мерность которых не превышает n.
Величину (2) называют относительным поперечником класса M в метрике
пространства Lp. Отметим, что эти величины введены в рассмотрение В. Н. Коно-
валовым [1].
c© В. Ф. БАБЕНКО, Н. В. ПАРФИНОВИЧ, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2 147
148 В. Ф. БАБЕНКО, Н. В. ПАРФИНОВИЧ
Как и для поперечников по Колмогорову, подпространства, реализующие ин-
фимум в правой части (2), называются экстремальными подпространствами для
относительных поперечников, а последовательность подпространств {Hn}, для
которой
dn(M,Lp,M
′) � E(M,Hn ∩M ′)p, n→∞,
называется экстремальной по порядку.
Если r ∈ N, то через W r
p обозначим класс функций f ∈ Lp, имеющих локаль-
но абсолютно непрерывную производную f (r−1) (f (r−1) ∈ ACloc) и таких, что
‖f (r)‖p ≤ 1.
Известно (см., например, [2]), что для всех r ∈ N и 1 ≤ p ≤ ∞
dn(W r
p , Lp) � n−r, n→∞. (3)
Кроме того, для любого r ∈ N
dn(W r
2 , L2,W
r
2 ) = dn(W r
2 , L2) � n−r, n→∞. (4)
Однако поведение относительных поперечников dn(W r
∞, L∞,W
r
∞) и dn(W r
1 ,
L1,W
r
1 ) при n → ∞ существенно отличается от поведения колмогоровских попе-
речников (3). Так, В. Н. Коновалов [1] доказал, что для всех r = 2, 3, . . .
dn(W r
∞, L∞,W
r
∞) � n−2, n→∞. (5)
Затем В. Ф. Бабенко [3] установил, что при r = 3, 4, . . .
dn(W r
1 , L1,W
r
1 ) � n−2, n→∞. (6)
Такое различие в поведении колмогоровских и относительных поперечников
привлекло интерес к исследованию поведения при n→∞ величин dn(W r
p , Lq,W
r
s )
при разных значениях 1 ≤ p, q, s ≤ ∞. Обзор известных результатов и дальнейшие
ссылки можно найти, например, в [4 – 7]. При этом вопрос о поведении величин
dn(W r
p , Lp,W
r
p ) при p 6= 1, 2,∞ остается открытым.
Обозначим через S2n,m, m ∈ N, пространство 2π-периодических полиномиаль-
ных сплайнов порядка m дефекта 1 с узлами в точках
kπ
n
, k ∈ Z.
Отметим, что при p = 1 и p = ∞ наряду с подпространствами тригонометри-
ческих полиномов порядка не выше n− 1, которые являются экстремальными для
поперечников d2n−1(W r
p , Lp) и d2n(W r
p , Lp), экстремальными для поперечников
d2n(W r
p , Lp) являются также подпространства сплайнов S2n,m, m ≥ r − 1 (см.,
например, [8], теорема 5.4.8).
Известно также (см. [3, 9, 10]), что подпространства S2n,r являются экстре-
мальными по порядку в соотношениях (5) и (6). Кроме того, как следует из ре-
зультата Ю. Н. Субботина [11], подпространства S2n,2r−1 реализуют поперечники
d2n(W r
2 , L2,W
r
2 ).
Наличие таких хороших аппроксимативных свойств у пространств S2n,m на-
водит на мысль о применении их в решении задач о поведении поперечников
dn(W r
p , Lp,W
r
p ) при p 6= 1,∞.
Сплайны из S2n,r−1 не принадлежат классам W r
p , поэтому имеет смысл иссле-
довать задачу о приближении классов W r
p сплайнами из S2n,m, m ≥ r.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
О ПОРЯДКЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ . . . 149
В данной работе мы изучим порядковое поведение при n→∞ последователь-
ности величин E(W r
p , S2n,r ∩W r
p )q при 1 ≤ q ≤ p ≤ 2, p 6= 1, и покажем, что
последовательность подпространств {S2n,r} не является экстремальной по порядку
по крайней мере для поперечников dn(W r
2 , L2,W
r
2 ) при r ≥ 3.
Теорема 1. Для всех r = 3, 4, . . . и 1 ≤ q ≤ p ≤ 2 справедливы порядковые
равенства
E(W r
p , S2n,r ∩W r
p )q � n−2, n→∞.
Замечание. Отметим, что при p = q = 1 этот результат получен В. Ф. Бабенко
в [10].
Доказательство. Для сокращения записи будем полагать
En := E(W r
p , S2n,r ∩W r
p )q.
Пусть q′ =
q
q − 1
. Используя теорему двойственности для наилучших Lp-
приближений выпуклым множеством [8] (предложение 1.4.1) и учитывая то, что
множество S2n,r ∩W r
p содержит константы, нетрудно установить, что
En = sup
f∈W r
p
sup
‖g‖
q′≤1
g⊥1
2π∫
0
f(t)g(t) dt− sup
h∈S2n,r∩W r
p
2π∫
0
g(t)h(t) dt
.
После r-кратного интегрирования по частям получим
En = sup
‖f‖p≤1
f⊥1
sup
g∈W r
q′
2π∫
0
f(t)g(t) dt− sup
h∈S2n,r∩W r
p
2π∫
0
g(t)h(r)(t) dt
.
Учитывая, что r-я производная сплайна h ∈ S2n,r кусочно-постоянна
(
принимает
значение ck на интервале
(
(k − 1)π
n
,
kπ
n
)
, k = 1, . . . , 2n
)
, и полагая c = (c1, . . .
. . . , c2n), условие h ∈ S2n,r ∩W r
p записываем в виде c ∈
(n
π
)1/p
C, где
C :=
{
c = (c1, c2, . . . , c2n) ∈ R2n :
2n∑
k=1
ck = 0,
2n∑
k=1
|ck|p ≤ 1
}
.
Теперь, используя теорему двойственности для наилучшего приближения вектора(∫ π/n
0
g(t) dt,
∫ 2π/n
π/n
g(t) dt, . . . ,
∫ 2π
(2n−1)π/n
g(t) dt
)
векторами (λ, λ, . . . , λ) ∈ R2n,
получаем
En = sup
g∈W r
q′
E(g)p′ −
(n
π
)1/p
sup
c∈C
2n∑
k=1
ck
kπ/n∫
(k−1)π/n
g(t) dt
=
= sup
g∈W r
q′
E(g)p′ −
(n
π
)1/p
inf
λ∈R
2n∑
k=1
∣∣∣∣∣∣∣
kπ/n∫
(k−1)π/n
g(t) dt− λ
∣∣∣∣∣∣∣
p′
1/p′
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
150 В. Ф. БАБЕНКО, Н. В. ПАРФИНОВИЧ
= sup
g∈W r
q′
E(g)p′ −
(n
π
)1/p
inf
λ∈R
2n∑
k=1
∣∣∣∣∣∣∣
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
g(t)− λn
π
)
dt
∣∣∣∣∣∣∣
p′
1/p′
=
= sup
g∈W r
q′
E
(
g − λ0(g)n
π
)
p′
−
(n
π
)1/p
×
×
2n∑
k=1
∣∣∣∣∣∣∣
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
g(t)− λ0(g)n
π
)
dt
∣∣∣∣∣∣∣
p′
1/p′
,
где λ0(g) таково, что
inf
λ∈R
2n∑
k=1
∣∣∣∣∣∣∣
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
g(t)− λn
π
)
dt
∣∣∣∣∣∣∣
p′
1/p′
=
=
2n∑
k=1
∣∣∣∣∣∣∣
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
g(t)− λ0(g)n
π
)
dt
∣∣∣∣∣∣∣
p′
1/p′
.
Пусть W r,0
p — класс функций f ∈ W r
p таких, что λ0(g) = 0. Учитывая, что(
g(t)− λ0(g)n
π
)
∈W r,0
p , можем записать
En = sup
g∈W r,0
q′
E(g)p′ −
(n
π
)1/p 2n∑
k=1
∣∣∣∣∣∣∣
kπ/n∫
(k−1)π/n
g(t) dt
∣∣∣∣∣∣∣
p′
1/p′
. (7)
Введем обозначение gn(t) для 2π-периодической функции, которая на интерва-
ле
(
(k − 1)π
n
,
kπ
n
)
принимает значение
n
π
∫ kπ/n
(k−1)π/n
g(t) dt, k = 1, . . . , 2n. Тогда
из (7) получим
En = sup
g∈W r,0
q′
E(g)p′ −
(
π
n
2n∑
k=1
|gn(t)|
p′
dt
)1/p′
=
= sup
g∈W r,0
q′
{
E(g)p′ − ‖gn‖p′
}
≤ sup
g∈W r,0
q′
{
‖g‖p′ − ‖gn‖p′
}
. (8)
С помощью неравенства Гельдера нетрудно убедиться в том, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
О ПОРЯДКЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ . . . 151
‖g‖p′ − ‖gn‖p′ ≥ 0. (9)
Применяя теорему Лагранжа, можно записать
‖g‖p′ − ‖gn‖p′ =
(
‖g‖p
′
p′
)1/p′
−
(
‖gn‖
p′
p′
)1/p′
=
=
(ξn)1/p
′−1
p′
(
‖g‖p
′
p′ − ‖gn‖
p′
p′
)
, (10)
где ξn принадлежит интервалу
(
‖gn‖
p′
p′ , ‖g‖
p′
p′
)
.
Теперь из (8) и (10) будем иметь
En ≤ sup
g∈W r,0
q′
‖gn‖
1−p′
p′
p′
(
‖g‖p
′
p′ − ‖gn‖
p′
p′
)
. (11)
Поскольку ‖gn‖p′ → ‖g‖p′ при n → ∞, для достаточно больших n ‖gn‖p′ ≥
≥ 1
2
‖g‖p′ . Тогда из (11) получим
En ≤ sup
g∈W r,0
q′
‖g‖1−p
′
p′
21−p′ · p′
(
‖g‖p
′
p′ − ‖gn‖
p′
p′
)
. (12)
Теперь разность ‖g‖p
′
p′ − ‖gn‖
p′
p′ оценим сверху.
Пусть tk — точка из интервала
[
(k − 1)π
n
,
kπ
n
]
такая, что
kπ/n∫
(k−1)π/n
g(t) dt = g(tk)
π
n
,
а σk =
(2k − 1)π
2n
, тогда
‖g‖p
′
p′ − ‖gn‖
p′
p′ = ‖g‖p
′
p′ −
2n∑
k=1
π
n
|g(tk)|p
′
=
=
2n∑
k=1
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
|g(t)|p
′
− |g(σk)|p
′
+ |g(σk)|p
′
− |g(tk)|p
′
)
dt ≤
≤
2n∑
k=1
∣∣∣∣∣∣∣
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
|g(t)|p
′
− |g(σk)|p
′
)
dt
∣∣∣∣∣∣∣+
+
2n∑
k=1
kπ/n∫
(k−1)π/n
∣∣∣|g(σk)|p′ − |g(tk)|p′ ∣∣∣ dt. (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
152 В. Ф. БАБЕНКО, Н. В. ПАРФИНОВИЧ
Известно (см., например, [12, с. 209, 210]), что для любой дважды непрерывно
дифференцируемой на
(
(k − 1)π
n
,
kπ
n
)
функции G(t)
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
G(t)−G(σk)
)
dt ≤ 1
24
‖G′′‖C
(π
n
)3
. (14)
Поскольку при p′ ≥ 2 функция |g(t)|p′ дважды непрерывно дифференцируема,
используя (14), получаем∣∣∣∣∣∣∣
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
|g(t)|p
′
− |g(σk)|p
′
)
dt
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 1
24
(
p′(p′ − 1)‖g‖p
′−2
∞ ‖g′‖2∞ + p′‖g‖p
′−1
∞ ‖g′′‖∞
)(π
n
)3
.
Учитывая, что для функции из классаW r,0
q′ при 0 ≤ k ≤ r и α =
r − k − 1/q′
r − 1/q′ + 1/p′
имеет место неравенство (см. [13], теоремы 4.3.1 и 6.8.1)
‖g(k)‖∞ ≤ K‖g‖αp′‖g(r)‖1−αq′ (15)
с константой K, не зависящей от g, приходим к оценке∣∣∣∣∣∣∣
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
|g(t)|p
′
− |g(σk)|p
′
)
dt
∣∣∣∣∣∣∣ ≤ C1‖g‖
p′r−2−p′/q′
r−1/q′+1/p′
p′
(π
n
)3
, (16)
где C1 не зависит от n.
Аналогично, с помощью (14) оценим разность
π
n
|g(tk)− g(σk)| =
∣∣∣∣∣∣∣
kπ/n∫
(k−1)π/n
(g(t)− g(σk)) dt
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
1
24
‖g′′‖∞
(π
n
)3
,
откуда
|g(tk)− g(σk)| ≤
1
24
‖g′′‖∞
(π
n
)2
. (17)
Применив снова теорему Лагранжа, оценим разность∣∣∣|g(σk)|p′ − |g(tk)|p′ ∣∣∣ = p′ |g(τk)|p
′−1 ||g(tk)| − |g(σk)|| ≤
≤ p′ |g(τk)|p
′−1 |g(tk)− g(σk)| ,
где τk таково, что |g(τk)| принадлежит промежутку с концами |g(tk)| и |g(σk)|.
Из последней оценки и (17) получим∣∣∣|g(σk)|p′ − |g(tk)|p′ ∣∣∣ ≤ p′‖g‖p′−1
∞
1
24
‖g′′‖∞
(π
n
)2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
О ПОРЯДКЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ . . . 153
Из последнего неравенства и неравенства (15) непосредственно следует, что
kπ/n∫
(k−1)π/n
∣∣∣|g(σk)|p′ − |g(tk)|p′∣∣∣ dt ≤ C2‖g‖
p′r−2−p′/q′
r−1/q′+1/p′
p′
(π
n
)3
, (18)
где C2 не зависит от n.
Сопоставляя (13), (16) и (18), заключаем, что
‖g‖p
′
p′ −
2n∑
k=1
π
n
|g(tk)|p
′
≤ C3‖g‖
p′r−2−p′/q′
r−1/q′+1/p′
p′
(π
n
)2
, (19)
где C3 не зависит от n.
Из (12) и (19) при достаточно больших n будем иметь
En ≤ sup
g∈W r,0
q′
‖g‖1−p
′
p′
21−p′p′
C3‖g‖
p′r−2−p′/q′
r−1/q′+1/p′
p′
(π
n
)2
= sup
g∈W r,0
q′
‖g‖
1/p′−1/q′+r−3
r−1/q′+1/p′
p′
21−p′p′
C3
(π
n
)2
.
Нетрудно видеть, что при 1 ≤ q ≤ p ≤ 2 и r ≥ 3 будет
1
p′
− 1
q′
+ r − 3 ≥ 0, и,
следовательно,
En ≤
C4
n2
, (20)
где C4 не зависит от n.
Необходимая оценка сверху для En получена.
Установим для En оценку снизу.
Пусть ϕ0(x) = sgn sinx. Обозначим через ϕr(x) r-й 2π-периодический интег-
рал от ϕ0(x) с нулевым средним значением на периоде. Ясно, что
(
1
2π
)1/q′
ϕr ∈
∈W r
q′ . Тогда из (7) получим
En = sup
g∈W r,0
q′
E(g)p′ −
(n
π
)1/p 2n∑
k=1
∣∣∣∣∣∣∣
kπ/n∫
(k−1)π/n
g(t) dt
∣∣∣∣∣∣∣
p′
1/p′
≥
≥
(
1
2π
)1/q′
E(ϕr)p′ −
2π∫
0
∣∣ϕr,n(t)∣∣p′ dt
1/p′
=
=
(
1
2π
)1/q′{
‖ϕr‖p′ −
∥∥ϕr,n(t)∥∥p′} , (21)
где через ϕr,n(t) обозначена функция, принимающая на промежутке
[
(k − 1)π
n
,
kπ
n
)
значение
n
π
∫ kπ/n
(k−1)π/n
ϕr(t) dt, k = 1, . . . , 2n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
154 В. Ф. БАБЕНКО, Н. В. ПАРФИНОВИЧ
Отметим, что, рассматривая подходящий сдвиг функции ϕr, мы без ограниче-
ния общности можем считать, что ϕr(0) = 0 и на
(
0,
π
2
)
функция ϕr возрастает.
Как следует из (9),
‖ϕr‖p′ − ‖ϕr,n‖p′ ≥ 0. (22)
Применяя теорему Лагранжа, получаем
‖ϕr‖p′ − ‖ϕr,n‖p′ =
(
‖ϕr‖p
′
p′
)1/p′
−
(
‖ϕr,n‖
p′
p′
)1/p′
=
=
(ξn)1/p
′−1
p′
(
‖ϕr‖p
′
p′ − ‖ϕr,n‖
p′
p′
)
, (23)
где ξn — некоторая точка из интервала
(
‖ϕr,n‖
p′
p′ , ‖ϕr‖
p′
p′
)
.
Теперь из (21) и (23) с учетом (22) имеем
En ≥
(
1
2π
)1/q′ ‖ϕr‖1−p
′
p′
p′
(
‖ϕr‖p
′
p′ − ‖ϕr,n‖
p′
p′
)
. (24)
Пусть tk — точка из интервала
[
(k − 1)π
n
,
kπ
n
]
, k = 1, . . . , 2n, такая, что
kπ/n∫
(k−1)π/n
ϕr(t) dt = ϕr(tk)
π
n
.
Тогда
‖ϕr‖p
′
p′ − ‖ϕr,n‖
p′
p′ = 2
n∑
k=1
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
|ϕr(t)|p
′
− |ϕr (tk)|p
′)
dt =
= 2
n∑
k=1
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
(ϕ2
r(t))
p′/2 −
(
ϕ2
r (tk)
)p′/2)
dt. (25)
Используя неравенство Гельдера, нетрудно установить, что
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
|ϕr(t)|p
′
− |ϕr (tk)|p
′)
dt ≥ 0, k = 1, . . . , n. (26)
Поэтому для порядковой оценки снизу последнего выражения в (25), с учетом (26),
достаточно оценить только те слагаемые, для которых[
(k − 1)π
n
,
kπ
n
]
⊂ [α, β], (27)
где α, β – некоторые фиксированные числа, такие, что 0 < α < β <
π
2
.
Пусть k таково, что выполнено (27). Тогда, применяя теорему Лагранжа, полу-
чаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
О ПОРЯДКЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ . . . 155
kπ/n∫
(k−1)π/n
((
ϕ2
r(t)
)p′/2 − (ϕ2
r(tk)
)p′/2)
dt =
=
tk∫
(k−1)π/n
((
ϕ2
r(t)
)p′/2 − (ϕ2
r(tk)
)p′/2)
dt+
+
kπ/n∫
tk
((
ϕ2
r(t)
)p′/2 − (ϕ2
r(tk)
)p′/2)
dt =
=
p′
2
tk∫
(k−1)π/n
(
ϕ2(ξk(t))
)p′/2−1(
ϕ2
r(t)− ϕ2
r(tk)
)
dt+
+
kπ/n∫
tk
(
ϕ2(ηk(t))
)p′/2−1(
ϕ2
r(t)− ϕ2
r(tk)
)
dt
, (28)
где, c учетом возрастания на [α, β] функции ϕ2
r (t) ,
ϕ2
r(t) < ξk(t) < ϕ2
r(tk),
(k − 1)π
n
< t < tk,
и
ϕ2
r(tk) < ηk(t) < ϕ2
r(t), tk < t <
kπ
n
.
Поскольку функция ϕ2
r (t) монотонно возрастает на [α, β] и разность ϕ2
r(t)− ϕ2
r(tk)
на этом промежутке меняет знак с „−” на „+” ровно один раз в точке tk, имеем
kπ/n∫
(k−1)π/n
((
ϕ2
r(t)
)p′/2 − (ϕ2
r(tk)
)p′/2)
dt ≥
≥ p′
2
(ϕ2(tk)
)p′/2−1
tk∫
(k−1)π/n
(
ϕ2
r(t)− ϕ2
r(tk)
)
dt+
+
(
ϕ2(tk)
)p′/2−1
kπ/n∫
tk
(
ϕ2
r(t)− ϕ2
r(tk)
)
dt
=
=
p′
2
(
ϕ2
r(tk)
)p′/2−1
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
ϕ2
r(t)− ϕ2
r(tk)
)
dt ≥
≥ p′
2
(
ϕ2
r(α)
)p′/2−1
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
ϕ2
r(t)− ϕ2
r(tk)
)
dt. (29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
156 В. Ф. БАБЕНКО, Н. В. ПАРФИНОВИЧ
Нетрудно видеть, что
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
ϕ2
r(t)− ϕ2
r(tk)
)
dt =
kπ/n∫
(k−1)π/n
(ϕr(t)− ϕr(tk))2 dt. (30)
Теперь для каждого k из (27) с учетом выпуклости вверх функции ϕr(t) на [α, β]
можно записать
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
ϕr(t)− ϕr(tk)
)2
dt =
kπ/n∫
(k−1)π/n
(
ϕ′r(ζk(t))
)2(t− tk)2dt ≥
≥ (ϕ′r(β))2
π/2n∫
0
t2 dt ≥ (ϕ′r(β))2
3
( π
2n
)3
=
C5
n3
, (31)
где ζk(t) — некоторая точка из промежутка с концами t и tk, C5 — константа, не
зависящая от n.
Сопоставляя (29), (30) и (31), имеем
kπ/n∫
(k−1)π/n
((
ϕ2
r(t)
)p′/2 − (ϕ2
r(tk)
)p′/2)
dt ≥ C6
n3
, (32)
где C6 не зависит от n.
Из (25) и (32) с учетом того, что при достаточно больших n количество интер-
валов, удовлетворяющих условию (27), не меньше
(β − α)n
2π
, получаем
‖ϕr‖p′ − ‖ϕr,n‖p′ ≥
≥ 2
p′
‖ϕr‖1/p
′−1
p′ 4
∑ ′
kπ/n∫
(k−1)π/n
((
ϕ2
r(t)
)p′/2 − (ϕ2
r(tk)
)p′/2)
dt ≥
≥ 1
p′
‖ϕr‖1/p
′−1
p′
4(β − α)n
π
C6
n3
=
C7
n2
. (33)
В (33)
∑ ′
означает, что суммирование ведется только по тем k, для которых
выполнено (27).
Из (21) и (33) следует необходимая оценка снизу
En ≥
C8
n2
. (34)
Сопоставляя (20) и (34), получаем
En := E(W r
p , S2n,r ∩W r
p )q � n−2, n→∞.
Теорема доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
О ПОРЯДКЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ . . . 157
1. Коновалов В. Н. Оценка поперечников типа Колмогорова для классов дифференцируемых перио-
дических функций // Мат. заметки. – 1984. – 35, вып. 3. – С. 369 – 380.
2. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. –
304 с.
3. Бабенко В. Ф. Приближение в среднем при наличии ограничений на производные приближающих
функций // Вопросы анализа и приближений. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1989. – С. 9 – 18.
4. Парфинович Н. В. Относительные приближения функциональных классов: Дис. . . . канд. физ.-мат.
наук. – Днепропетровск, 2002. – 140 с.
5. Бабенко В. Ф., Парфинович Н. В. О наилучших L1-приближениях функциональных классов
сплайнами при наличии ограничений на их производные // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 4. –
С. 435 – 444.
6. Parfinovich N. V. On the best approximation of classes of periodic functions by splines under restrictions
on their derivatives // East J. Approxim. – 1999. – 5, № 3. – P. 267 – 278.
7. Парфинович Н. В. О точных асимптотиках наилучших относительных приближений классов
периодических функций сплайнами // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 4. – С. 489 – 500.
8. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 424 с.
9. Бабенко В. Ф. О наилучших равномерных приближениях сплайнами при наличии ограничений на
их производные // Мат. заметки. – 1991. – 50, вып. 6. – С. 24 – 30.
10. Бабенко В. Ф. Наилучшие L1-приближения классов W r
1 сплайнами из W r
1 // Укр. мат. журн. –
1994. – 46, № 10. – C. 1410 – 1413.
11. Субботин Ю. Н. Экстремальные задачи теории приближения функций при неполной информации
// Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1980. – 145. – С. 152 – 168.
12. Дороговцев А. Я. Введение в дифференциальное и интегральное исчисление. – Киев, 2005. – 224 с.
13. Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их
приложения. – Киев: Наук. думка, 2003. – 590 с.
Получено 30.03.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2851 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:32Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/bd/94c40910eb7c15946a302b9d3c5027bd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28512020-03-18T19:39:03Z On the order of relative approximation of classes of differentiable periodic functions by splines О порядке относительных приближений классов дифференцируемых периодических функций сплайнами Babenko, V. F. Parfinovych, N. V. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. In the case where $n → ∞$, we obtain order equalities for the best $L_q$ -approximations of the classes $W_p^r ,\; 1 ≤ q ≤ p ≤ 2$, of differentiable periodical functions by splines from these classes. Отримано порядкові рівності при $n → ∞$ для найкращих $L_q$-наближень класів $W_p^r ,\; 1 ≤ q ≤ p ≤ 2$, диференційовних періодичних функцій сплайнами з цих класів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2851 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 2 (2010); 147–157 Український математичний журнал; Том 62 № 2 (2010); 147–157 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2851/2454 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2851/2455 Copyright (c) 2010 Babenko V. F.; Parfinovych N. V. |
| spellingShingle | Babenko, V. F. Parfinovych, N. V. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. On the order of relative approximation of classes of differentiable periodic functions by splines |
| title | On the order of relative approximation of classes of differentiable periodic functions by splines |
| title_alt | О порядке относительных приближений классов дифференцируемых периодических функций сплайнами |
| title_full | On the order of relative approximation of classes of differentiable periodic functions by splines |
| title_fullStr | On the order of relative approximation of classes of differentiable periodic functions by splines |
| title_full_unstemmed | On the order of relative approximation of classes of differentiable periodic functions by splines |
| title_short | On the order of relative approximation of classes of differentiable periodic functions by splines |
| title_sort | on the order of relative approximation of classes of differentiable periodic functions by splines |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2851 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf ontheorderofrelativeapproximationofclassesofdifferentiableperiodicfunctionsbysplines AT parfinovychnv ontheorderofrelativeapproximationofclassesofdifferentiableperiodicfunctionsbysplines AT babenkovf ontheorderofrelativeapproximationofclassesofdifferentiableperiodicfunctionsbysplines AT parfinovičnv ontheorderofrelativeapproximationofclassesofdifferentiableperiodicfunctionsbysplines AT babenkovf ontheorderofrelativeapproximationofclassesofdifferentiableperiodicfunctionsbysplines AT parfinovičnv ontheorderofrelativeapproximationofclassesofdifferentiableperiodicfunctionsbysplines AT babenkovf oporâdkeotnositelʹnyhpribliženijklassovdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijsplajnami AT parfinovychnv oporâdkeotnositelʹnyhpribliženijklassovdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijsplajnami AT babenkovf oporâdkeotnositelʹnyhpribliženijklassovdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijsplajnami AT parfinovičnv oporâdkeotnositelʹnyhpribliženijklassovdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijsplajnami AT babenkovf oporâdkeotnositelʹnyhpribliženijklassovdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijsplajnami AT parfinovičnv oporâdkeotnositelʹnyhpribliženijklassovdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijsplajnami |