Asymptotic analysis of phase averaging of a transport process
We investigate asymptotic expansions of solutions of singularly perturbed transport equations in Markov and semi-Markov media.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2855 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508844216549376 |
|---|---|
| author | Pogorui, A. О. Погоруй, А. О. |
| author_facet | Pogorui, A. О. Погоруй, А. О. |
| author_sort | Pogorui, A. О. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:39:03Z |
| description | We investigate asymptotic expansions of solutions of singularly perturbed transport equations in Markov and semi-Markov media. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
A. O. Pohoruj (Ûytomyr. un-t)
ASYMPTOTYÇNYJ ANALIZ
FAZOVOHO USEREDNENNQ PROCESU PERENOSU
Asymptotic expansions of solutions of singularly perturbed equations of transport processes in the
Markov medium and the semi-Markov medium are studied.
Yssledugtsq asymptotyçeskye razloΩenyq reßenyj synhulqrno vozmuwenn¥x uravnenyj pro-
cessov perenosa v markovskoj y polumarkovskoj srede.
1. Vstup. Alhorytmy fazovoho ukrupnennq markovs\kyx ta napivmarkovs\kyx
procesiv, a takoΩ fazovoho userednennq evolgcijnyx system dozvolqgt\ znaç-
no sprostyty analiz skladnyx system, ale pry c\omu vynykagt\ pytannq toç-
nosti takyx aproksymacij. Uperße asymptotyçnyj analiz u vypadku napivmar-
kovs\kyx procesiv vykonav V.0S.0Korolgk, qkyj zaproponuvav metod, wo dozvo-
lqv doslidΩuvaty asymptotyçnu povedinku çasu perebuvannq napivmarkovs\koho
procesu v fiksovanij mnoΩyni staniv [1 – 5]. Al\ternatyvnyj metod dlq asymp-
totyçnoho analizu synhulqrno zburenyx pivhrup rozrobyv A.0F.0Turbin [1, 6, 7].
Asymptotyçnyj analiz fazovoho userednennq napivmarkovs\kyx evolgcij,
wo ©runtu[t\sq na metodi V.0S.0Korolgka, opysano u [8 – 10]. U danij roboti ta-
kyj metod vykorystano dlq markovs\koho vypadku v p.02, a v p.03 dlq napivmar-
kovs\koho vypadku zaproponovano pidxid z vykorystannqm rezul\tativ
A.0F.0Turbina. Takyj pidxid da[ moΩlyvist\ zapysaty koefici[nty asymptotyç-
noho rozkladu vidrazu v qvnij formi, omynagçy rekursyvni obçyslennq.
2. Asymptotyçnyj rozklad rozv’qzku synhulqrno zburenoho rivnqnnq
procesu perenosu v markovs\komu seredovywi. Rozhlqnemo u vymirnomu fa-
zovomu prostori ( , )E F markovs\kyj proces ξε ( )t , t ≥ 0, u sxemi serij z malym
parametrom seri] ε > 0, qkyj zada[t\sq napivmarkovs\kym qdrom
Q x B t P x B e x t( , , ) ( , ) ( )= −
−
ε
λ1 , x E∈ , B ∈F .
Imovirnosti perexodu P x Bε ( , ) vkladenoho lancgha Markova ξε
n , n ≥ 0, zale-
Ωat\ vid ε :
P x B P x B P x Bε ε( , ) ( , ) ( , )= + 1 .
Dali prypuska[mo, wo fazovyj prostir staniv ( , )E F [ zvedenym i ma[ vyhlqd
E Ei
i
k
=
= 1
∪ , Ei ∈F , E Ei j∩ = ∅ , i ≠ j,
a funkciq P x B( , ) [ stoxastyçnym qdrom, qke vyznaça[ opornyj vkladenyj
lancgh Markova ξn , n ≥ 0, u ( , )E F , do toho Ω ce qdro zadovol\nq[ umovu
P x Ei( , ) =
1
0
, ,
, .
x E
x E
i
i
∈
∉
Poznaçymo çerez B banaxovyj prostir vymirnyx obmeΩenyx funkcij na
( , )E F z supremum-normog ϕ = sup ( )x E x∈ ϕ , ϕ ∈B .
Budemo vymahaty vykonannq umovy
© A. O. POHORUJ, 2010
190 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
ASYMPTOTYÇNYJ ANALIZ FAZOVOHO USEREDNENNQ PROCESU PERENOSU 191
U
1
) vkladenyj lancgh Markova ξn rivnomirno erhodyçnyj u koΩnomu kla-
si staniv Ei , i = 1, … , k, iz stacionarnymy rozpodilamy
ρi A( ) = ρi
E
dx P x A
i
( ) ( , )∫ , ρi iE( ) = 1.
U c\omu vypadku opornyj markovs\kyj proces ξ( )t , t ≥ 0, wo zada[t\sq po-
rodΩugçym operatorom
Q x x P x dy y x x
E
ϕ λ ϕ λ ϕ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )= −∫ , ϕ ∈B ,
takoΩ ma[ stacionarnyj rozpodil πi A( ) = λ ρ λ( ) ( )x dx iA
/∫ , de λi = λ( )x
Ei
∫ ×
× ρi dx( ) , i = 1, … , k.
Rozhlqnemo operator Πϕ = ˆ ( )ϕi ii
k
I x
=∑ 1
, ϕ̂i = ϕ π( ) ( )x dxiEi
∫ , I xi ( ) — in-
dykator mnoΩyny Ei . Vidomo [1], wo Π — proektor na qdro ker ( )Q operato-
ra Q; nevaΩko perekonatys\, wo
Π ΠQ Q= = 0 .
U robotax [1, 5] dovedeno, wo isnu[ obmeΩenyj operator R0
1= + −( )Q Π – Π ,
qkyj nazyva[t\sq uzahal\nenym potencialom ξ( )t i zadovol\nq[ umovy
Π ΠR R0 0 0= = ,
R R0 0Q Q I= = − Π .
Zapyßemo operator Qε u vyhlqdi Qε = Q + εQ1 , de Q x1ϕ( ) =
= λ ϕ( ) ( , ) ( )x P x dy y
E 1∫ — operator zburennq. NevaΩko perekonatys\, wo
Π ΠQ x I x P x E dxj
j
k
i i j i
Ei i
1
1
1ϕ ϕ λ ρ( ) ˆ ( ) ( , ) ( )=
= =
∑ ∫
11
k
∑ .
Alhorytm ukrupnennq markovs\koho procesu ξ( )t zada[ ukrupnenyj markov-
s\kyj proces
ˆ( )ξ t , t ≥ 0, v ukrupnenomu fazovomu prostori staniv Ê = 1{ , 3, …
… , k} , z porodΩugçog matryceg Q̂ = q i j Eij , , ˆ∈ , de pij =
= P x E dxjE i
i
1( , ) ( )∫ ρ , q pij i ij= λ , i ≠ j, qii i= −λ .
Rozhlqnemo funkcig m : E E→ ˆ , m x( ) = i, x Ei∈ . Za vykonannq umovy U
1
ma[ misce slabka zbiΩnist\ [1, 5]
m t tξ ε ξε ( / ) ˆ( )( ) ⇒ , ε ↓ 0 .
Nexaj funkciq C u x( , ) , u ∈R , x E∈ , zadovol\nq[ umovu odnoznaçno] roz-
v’qznosti evolgcijnoho rivnqnnq
du t x
dt
C u t x x
( , )
( , ),= ( ) , u x u( , )0 0= ,
dlq koΩnoho fiksovanoho x E∈ . Krim toho, budemo prypuskaty, wo isnugt\
obmeΩeni poxidni ∂ ∂C u x u( , )/ .
Rozhlqnemo stoxastyçnyj proces perenosu u tε ( ) u markovs\komu seredovy-
wi ξε ( )t , qkyj vyznaça[t\sq rivnqnnqm
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
192 A. O. POHORUJ
du t
dt
C u t tε
ε εξ ε
( )
( ), ( )= ( )/ , u uε ( )0 = . (1)
Alhorytm fazovoho ukrupnennq, zastosovanyj do dynamiçno] systemy (1), pry-
vodyt\ do userednennq stoxastyçno] systemy [9 – 11]
du t
dt
C u t t
ˆ( ) ˆ ˆ( ), ˆ( )= ( )ξ , ˆ( )u u0 = , (2)
de
ˆ ( , )C u i = C u x dxiEi
( , ) ( )π∫ , tobto ma[ misce slabka zbiΩnist\ u t u tε ( ) ˆ( )⇒ ,
ε ↓ 0 .
Naßa meta polqha[ u provedenni asymptotyçnoho analizu ci[] zbiΩnosti.
Nexaj f u t( , ) — neskinçenno dyferencijovna po u i t funkciq. Rozhlqne-
mo f u ti
ε ( , ) = E f u t tε εξ ε( ), ( )/( )( u uε ( )0 = , ξε ( )0 = )i i poznaçymo f ε (u , t) =
= f u t i Ei
ε ( , ), ∈{ } . Vidomo [1 – 3, 8, 9], wo f ε ( , )u t zadovol\nq[ rivnqnnq
∂
∂
= + +
t
u t Q Q u t u u tf f fε ε ε
ε
ε( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
1
1 C , (3)
de C( )u = diag C u i
u
( , )
∂
∂
, i E∈
.
Dlq znaxodΩennq asymptotyçnoho rozkladu dlq rozv’qzku (3) skorysta[mos\
metodom, opysanym, napryklad, v [1 – 5, 8], zhidno z qkym f ε ( , )u t zobraΩu[t\-
sq u vyhlqdi
f f f gε ε ε( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( ) ( )u t u t u t u tn n n= + +( )0 /
nn =
∞
∑
1
. (4)
Dodanky f ( )( , )n u t budemo nazyvaty rehulqrnymy, a g( )( , )n u t/ε — synhulqr-
nymy. Pidstavlqgçy rozklad (4) dlq f ε ( , )u t u formulu (3), otrymu[mo dlq
rehulqrnyx çleniv systemu rivnqn\
Q u tf ( )( , )0 0= ,
∂
∂
= + ++
t
u t Q u t Q u t uk k kf f f f( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) ( )1
1 C (( )( , )k u t , (5)
k = 0, 1, 2, … .
Dlq synhulqrnyx çleniv rozkladu (4) ma[mo
∂
∂
=
τ
τ τg g( ) ( )( , ) ( , )1 1u Q u ,
∂
∂
= + ++ +
τ
τ τ τg g g( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) (k k ku Q u Q u u1 1
1 C )) ( , )( )g k u τ , (6)
k = 1, 2, 3, … .
Iz perßoho rivnqnnq systemy (5) vyplyva[, wo f ( )( , )0 u t ∈ ker ( )Q . Zvidsy
oderΩu[mo
Π f f( ) ( )( , ) ( , )0 0u t u t= . (7)
Iz systemy (5) z uraxuvannqm (7) pry k = 0 ma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
ASYMPTOTYÇNYJ ANALIZ FAZOVOHO USEREDNENNQ PROCESU PERENOSU 193
∂
∂
= +
t
u t Q u t u u tf f f( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( ) ( , )0
1
0 0Π Π Π ΠC . (8)
Tut my skorystalys\ tym, wo ΠQ u tf ( )( , )1 = 0.
NevaΩko perekonatys\, wo operator Π ΠQ1 + Π ΠC( )u iz pravo] çastyny
(8) [ infinitezymal\nym operatorom dvokomponentnoho procesu ζ( )t = ˆ( )u t( ,
ˆ( )ξ t ) , de ˆ( )u t opysu[t\sq rivnqnnqm (2),
ˆ( )ξ t — ukrupnenyj markovs\kyj pro-
ces. OtΩe, rozv’qzkom (8) [ pivhrupa operatoriv, wo porodΩena markovs\kym
procesom ζ( )t .
Iz (8) pry k = 0 vyplyva[
f R f R f( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( ) ( , )1
0 1
0
0
0u t Q u t u u t= − +( ) +C rr u t( )( , )1
, (9)
de r u t( )( , )1 ∈ ker ( )Q .
Vykorystovugçy rivnqnnq (9), iz (5) otrymu[mo rekurentne spivvidnoßennq u
vyhlqdi systemy rivnqn\
f ( )( , )k u t = R f f f0
1
1
1 1∂
∂
− −− − −
t
u t Q u t u uk k k( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( ) (C ,, )t
+
+ r u tk( )( , ) ,
(10)
r u t Qk( )( , ) ker ( )∈ , k = 2, 3, … .
Iz (10) f ( )k
vyznaçagt\sq rekurentno z toçnistg do dodankiv r u tk( )( , ) ∈
∈ ker ( )Q .
Rivnqnnq
∂
∂t
u tkf ( )( , ) = Q u tkf ( )( , )+ 1 + Q u tk
1 f ( )( , ) + C( ) ( , )( )u u tkf mno-
Ωymo na proektor Π zliva i z uraxuvannqm (10) oderΩu[mo rivnqnnq dlq
r u tk( )( , ) , a same,
∂
∂t
r u tk( )( , ) = Π Π Π ΠQ u t u u tk k
1 r r( ) ( )( , ) ( ) ( , )+ C , k = 1, 2, 3, … .
Vybir r u tk( )( , ) , k = 1, 2, … , uzhodΩu[t\sq z hranyçnog umovog (1).
Wodo synhulqrnyx çleniv rozkladu (4), to iz (6) ma[mo
g( )( , )1 u t/ε = g( )( , ) exp ( )1 0u Qt/ε −( )Π . (11)
Tut my skorystalys\ tym, wo dlq rivnomirno erhodyçnoho markovs\koho proce-
su lim exp ( )t Qt→ +∞ = Π [1, 5, 12].
OtΩe, v c\omu vypadku g( )( , )1 u t/ε → 0 pry ε ↓ 0 .
Dali, rozv’qzugçy rivnqnnq (6) dlq k > 1, otrymu[mo rekurentne
spivvidnoßennq
g( )( , )k u t+ 1 /ε = g( )( , ) exp ( )k u Qt+ −( )1 0 /ε Π +
+ exp ( ) ( ) ( , )( )Q t s Q u u s ds
t
k/
/
ε
ε
−( ) −( ) +( )∫ Π
0
1 C g .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
194 A. O. POHORUJ
Poznaçymo
fN u tε ( , ) = f f g( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , )0
1
u t u t u tn n n
n
N
+ +( )
=
∑ ε ε/ .
Ocinku dlq zalyßkovoho çlena asymptotyçnoho rozkladu (4) vstanovleno v [1,
8]:
f f( )( , ) ( , )ε ε εu t u t CN
N− ≤ + 1
.
ZauvaΩennq. Inkoly, napryklad dlq evolgcij ruxu çastynky, nas bil\ße
cikavyt\ rozpodil ne f ( )( , )ε u t , a f ( )( , )ε u t = f ( )( , )ε u t I = fii E
u tε ( , )
∈∑ . Z
vyhlqdu g( )( , )k u t/ε nevaΩko perekonatys\, wo g( )( , )n u t/ε = g( )( , )n u t/ε I =
= gi
n
i E
u t( )( , )
∈∑ = 0.
OtΩe, asymptotyçnyj rozklad dlq f ( )( , )ε u t mistyt\ lyße rehulqrni
çleny.
3. Asymptotyçnyj rozklad rozv’qzku synhulqrno zburenoho rivnqnnq
procesu perenosu v napivmarkovs\komu seredovywi. U statti [8] provedeno
asymptotyçnyj analiz dlq fazovoho ukrupnennq napivmarkovs\kyx vypadkovyx
evolgcij. U danomu punkti my proponu[mo inßyj pidxid dlq doslidΩennq ci[]
zadaçi.
Rozhlqnemo vypadok, koly ξε ( )t , t ≥ 0, — napivmarkovs\kyj proces u sxemi
serij z malym parametrom seri] ε > 0, qkyj zada[t\sq na fazovomu prostori
staniv ( , )E F napivmarkovs\kym qdrom
Q x B t P x B G tx( , , ) ( , ) ( )= ε , B ∈F ,
de, qk i u markovs\komu vypadku, P x dyε ( , ) = P x dy( , ) + εP x dy1( , ) — jmovir-
nosti perexodu vkladenoho lancgha Markova ξε
n , n ≥ 0, a G tx ( ) — funkciq
rozpodilu çasu perebuvannq ξε ( )t u stani x .
Za takyx umov proces perenosu u t xε ( , ) , wo opysu[t\sq rivnqnnqm (1), [ vy-
padkovog evolgci[g u napivmarkovs\komu seredovywi ξε ( )t [8 – 13].
Poznaçymo g t( ) = g t x Ex ( ), ∈{ } , M h x1 ( ) = m h xx ( ) , M h x1
1− ( ) =
h x
mx
( )
,
M h xk ( ) = m h xx
k( ) ( ) , k = 1, 2, … .
U podal\ßomu budemo vymahaty vykonannq umov:
U
2
) opornyj markovs\kyj proces ξ0( )t rivnomirno erhodyçnyj, tobto isnu[
operator Π ≠ 0 takyj, wo
lim ( )
t
L u
→ ∞
=0 0 ,
de L u0( ) = Ψ( )t – Π, Ψ( ) ( )t h x = P t dy x h y
E
ξ ξ0 0 0( ) ( ) ( )∈ =( )∫ / ;
U
3
) isnugt\ wil\nosti g tx ( ) =
d
dt
G tx ( ) i moment mx = t g t dtx ( )
0
+∞
∫ ,
mx
( )2 = t g t dtx
2
0
( )
+∞
∫ , mx
( )3 = t g t dtx
3
0
( )
+∞
∫ , dlq vsix x E∈ ;
U
4
) operatory M1 , M1
1−
, M 2 , M 3 obmeΩeni j isnu[
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
ASYMPTOTYÇNYJ ANALIZ FAZOVOHO USEREDNENNQ PROCESU PERENOSU 195
lim ( )
t
t
uR u du R
→ ∞ ∫ = =0
0
1 , R1 < ∞ ,
de R u0( ) = R u M( ) − −
1
1
, R u( ) = g t( ) + g t2( ) + g t3( ) + … , g tk( )( ) =
= g s g t s dsk( )( ) ( )−∞
∫ −1
0
.
Poznaçymo r tx ( ) =
g t
G t
x
x
( )
( )1 −
, τε ( )t = t – sup : ( ) ( )u t u t≤ ≠{ }ξ ξε ε .
Vidomo, wo trykomponentnyj proces ζε ( )t = u t x t tε ε εξ ε τ ε( , ), ( ), ( )/ /( ) [
markovs\kym na fazovomu prostori R × E × 0, ∞[ ) z infinitezymal\nym opera-
torom
A u xε εϕ τ( , , ) = C u x
u
u x( , ) ( , , )
∂
∂
ϕ τε +
+
1
0
ε
τ ϕ ϕ τε ε εr P u x u xx ( ) ( , , ) ( , , )−[ ] +
1
ε τ
ϕ τ
ε
ε
∂
∂
( , , )u x ,
de P u zεϕ( , , )0 = P z dy u y
E ε ϕ( , ) ( , , )∫ 0 , a ϕ τ( , , )u z — neperervno dyferen-
cijovna po u i τ funkciq z obmeΩenymy poxidnymy [1, 5, 12].
OtΩe, obernene rivnqnnq Kolmohorova dlq procesu ζε ( )t ma[ vyhlqd
∂
∂t
t u xϕ τε ε( , , , ) = A t u xε ε εϕ τ( , , , ) =
= C u x
u
t u x r P t u xx( , ) ( , , , ) ( ) ( , , , )
∂
∂
+ϕ τ
ε
τ ϕε ε ε ε ε
1
0 −−[ ]ϕ τε ε( , , , )t u x +
+
1
ε τ
ϕ τ
ε
ε ε
∂
∂
( , , , )t u x ,
(12)
ϕ τ ϕε ε ε( , , , ) ( )0 0u x = .
Tut ϕ τε ( , , , )t u z — neperervno dyferencijovna po t, u i τ funkciq z obme-
Ωenymy poxidnymy.
Poznaçymo çerez U tε εϕ( ) ( )0 = ϕ τε ( , , , )t u z pivhrupu operatoriv markovs\ko-
ho procesu ζε ( )t . Dali, ξ ε τ εε ε( ), ( )t t/ /( ) takoΩ [ markovs\kym procesom z in-
finitezymal\nym operatorom Q xε εϕ τ( , ) =
1
ε
τεrx ( ) P xεϕ( , )0[ – ϕ τε( , )x ] +
+
1
ε τ
ϕ τ
ε
ε
∂
∂
( , )x . Dlq n\oho obernene rivnqnnq Kolmohorova ma[ vyhlqd [1, 5,
13]
∂
∂t
t xϕ τε ε( , , ) = Q t xε ε εϕ τ( , , ) =
=
1
0
ε
τ ϕ ϕ τε ε ε εr P t x t xx ( ) ( , , ) ( , , )−[ ] +
1
ε τ
ϕ τ
ε
ε ε
∂
∂
( , , )t x ,
(13)
ϕ τ ϕε ε ε( , , ) ( )0 0x = � ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
196 A. O. POHORUJ
de ϕ τ( , , )t x — neperervno dyferencijovna po t i τ funkciq z obmeΩenymy
poxidnymy.
Rozv’qzok rivnqnnq (13) [ pivhrupog operatoriv T tε εϕ( ) ( )� 0 = ϕ τε ε( , , )t x z in-
finitezymal\nym operatorom Q xε ετ( , ) =
1
ε
τεrx ( ) P xε εϕ ( , )0[ – ϕ τε ε( , )x ] +
+
1
ε τ
ϕ τ
ε
ε ε
∂
∂
( , )x .
ZauvaΩymo, wo pry fiksovanomu t operator T tε ( ) di[ po zminnyx x , τε .
Budemo poznaçaty T tε ( ) ϕ τε ε( , , , )0 u x = ϕ τε ε
1 ( , , , )t u x . NevaΩko perekona-
tys\, wo
∂
∂t
T t u xε ε εϕ τ( ) ( , , , )0 =
1
0
ε
τ ϕ ϕ τε ε ε ε εr P t u x t u xx ( ) ( , , , ) ( , , , )−[ ] +
+
1
ε τ
ϕ τ
ε
ε ε
∂
∂
( , , , )t u x .
Rozv’qzok rivnqnnq
∂
∂t
t u xϕ τε( , , , ) – C u x( , )
∂
∂u
t u xϕ τε( , , , ) = 0 takoΩ [ piv-
hrupog operatoriv [8 – 10], qku my poznaçymo çerez V t u x( ) ( , , , )( )ϕ τε
2 0 =
= ϕ τε
( )( , , , )2 t u x .
NevaΩko pereviryty, wo rozv’qzok rivnqnnq (12) moΩna podaty u vyhlqdi
ϕ τε ε( , , , )t u x = ϕ τ ϕ τε ε ε
( ) ( )( , , , ) ( , , , )1 2t u x t u x . (14)
Tobto U tε εϕ( ) ( )0 = T t u xε ε εϕ τ( ) ( , , , )( )1 0 V t u x( ) ( , , , )( )ϕ τε
2 0 , de ϕε
( )0 = ϕε
( )(1 0 ,
u x, , )τε ϕ τε
( )( , , , )2 0 u x . Dlq napivhrupy T tε ( ) , a otΩe i dlq ϕ τε ε
( )( , , , )1 t u x ,
asymptotyçnyj rozklad [1, 6] [ vidomym. Poznaçymo A1 = − −Π ΠM P1
1
1 , R0 =
= M P I1
1
0
1− −
− +( )( ) Π – Π.
Pry vykonanni umov U1 – U4 ma[ misce asymptotyçnyj rozklad [1, 6]
T tε ( ) = e M P e M M M IA t A t1 1
0 1
1
1 2 1
1
1
1
2
Π Π+
+ −
− −ε R ( −− −Π Π) M P eA t
1
1
1
1 –
– e M M I P e M MA t A t u1 1
1
2
1
2
2 1
2
1 2 1
2Π Π Π− − −−
− −( ) II P e du
t
A t
∫
0
1
1 Π –
– e M P M M M IA t u1
1
1
1 0 2 1
1
1
1
2
( ) ( )− − −+ −
−
Π ΠR
∫ −
0
1
1
1
1
t
A uM P e duΠ +
+ ε
ε
L u M e du e R u P du
t
A t A t
0 1
1
0 1
1 1( ) ( )
/
Π Π Π Π
∞
−∫
+
tt /ε
∞
∫ +
+ e R u P A e duA t u A u
u
t
1 1
0 1 1
0
( )
/
( )−
∞
∫∫ Π Π
ε
–
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
ASYMPTOTYÇNYJ ANALIZ FAZOVOHO USEREDNENNQ PROCESU PERENOSU 197
– e M P L u M P e duA t u A u
u
t
1 1
1
1
1 0 1
1
1
0
( )
/
( )− − −
∞
∫∫
Π Π
ε
+ O( )ε2
rivnomirno po t T∈[ ]δ, , 0 < δ < T < + ∞.
Zvidsy oderΩu[mo asymptotyçnyj rozklad dlq ϕ τε ε( , , , )t u x .
Teorema. Nexaj krim umov U1 – U4 vykonu[t\sq umova
U5
) funkciq C u s( , ) taka, wo rivnqnnq
∂
∂t
t u xϕ τε( , , , ) – C u x( , )
∂
∂u
tϕ( ,
u x, , )τε = 0 ma[ obmeΩenyj rozv’qzok V t u x( ) ( , , , )( )ϕ τε
2 0 = ϕ τε
( )( , , , )2 t u x
na 0, T[ ] . Todi rivnomirno po t T∈[ ]δ, , 0 < δ < T < + ∞,
ϕ τε ε( , , , )t u x = T t u x V t u xε ε ε εϕ τ ϕ τ( ) ( , , , ) ( ) ( , , , )( ) ( )1 20 0 =
= e V tA t1 0Π ( ) ( )ϕε + ε R0 1
1
1 2 1
1
1
1
1
2
M P e M M M IA t− −
+ −
−Π Π( ) ×
× M P eA t
1
1
1
1− Π – e M M I PA t1
1
2
2 1
2
1Π Π− −
–
– e M M I P e duA t u
t
A t1 1
1
2
2 1
2
0
1
( )− − −
∫ Π Π – e M PA t u
t
1
1
1
1
0
( )− −∫ Π ×
× R0 2 1
1
1 1
1
1
1
2
1+ −
−
− −M M M I M P e dA u( )Π Π uu V t
( ) ( )ϕε
0 +
+ ε
ε
L u M e du e R u P du
t
A t A t
0 1
1
0 1
1 1( ) ( )
/
Π Π Π Π
∞
−∫
+
tt /ε
∞
∫ +
+ e R u P A e duA t u A u
u
t
1 1
0 1 1
0
( )
/
( )−
∞
∫∫ Π Π
ε
–
– e M P L u M P e duA t u A u
u
t
1 1
1
1
1 0 1
1
1
0
( )
/
( )− − −
∞
∫∫
Π Π
ε
V t( ) ( )ϕε
0 + O( )ε2 .
ZauvaΩymo, wo perßyj çlen e V tA t1 Π ( ) c\oho rozkladu vidpovida[ useredne-
nij markovs\kij evolgci] alhorytmu fazovoho userednennq procesu ξε ( )t .
1. Korolgk V. S., Turbyn A. F. Matematyçeskye osnov¥ fazovoho ukrupnenyq sloΩn¥x sys-
tem. – Kyev: Nauk. dumka, 1978. – 220 s.
2. Korolgk V. S., Penev Y. P., Turbyn A. F. Asymptotyçeskoe razloΩenye dlq raspredelenyj
vremeny pohlowenyq cepy Markova // Kybernetyka. – 1973. – 4. – S. 133 – 135.
3. Korolgk V. S., TadΩyev A. Asymptotyçeskoe razloΩenye dlq raspredelenyq vremen pohlo-
wenyq polumarkovskoho processa // Dokl. AN USSR. – 1977. – # 12. – S. 133 – 135.
4. Korolgk V. S., Borovskyx G. V. Analytyçeskye problem¥ asymptotyky veroqtnostn¥x
raspredelenyj. – Kyev: Nauk. dumka, 1981. – 234 s.
5. Korolgk V. S., Turbyn A. F. Process¥ markovskoho vosstanovlenyq v zadaçax nadeΩnosty
system. – Kyev: Nauk. dumka, 1982. – 234 s.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
198 A. O. POHORUJ
6. Turbyn A. F., Levynskyj B. H. Metod asymptotyçeskoho analyza polumarkovskyx processov
v sxeme fazovoho ukrupnenyq // Analytyçeskye metod¥ v teoryy veroqtnostej. – Kyev: Yn-t
matematyky AN USSR, 1981. – S. 133 – 147.
7. Turbyn A. F. Predel\n¥e teorem¥ dlq vozmuwenn¥x poluhrupp y markovskyx processov v
sxeme asymptotyçeskoho fazovoho ukrupnenyq. – Kyev, 1981. – S. 133 – 147. – (Preprynt/AN
USSR. Yn-t matematyky; 80.18).
8. Albeverio S., Koroliuk V., Samoilenko I. Asymptotic expansion of semi-Markov random evolu-
tions. – Bonn, 2006. – 26 p. – Preprint # 277, SFB611.
9. Korolyuk V. S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. – World Sci. Publ., 2005. –
330 p.
10. Korolgk V. S., Svywuk A. V. Polumarkovskye sluçajn¥e πvolgcyy. – Kyev: Nauk. dumka,
1992. – 256 s.
11. Korolyuk V. S., Korolyuk V. V. Stochastic models of systems. – Kluwer Acad. Publ., 1999. – 183 p.
12. Korlat A. N., Kuznecov V. N., Novykov M. M., Turbyn A. F. Polumarkovskye modely vossta-
navlyvaem¥x system y system massovoho obsluΩyvanyq. – Kyßynev: Ítyynca, 1991. – 276 s.
13. Pinsky M. A. Lectures on random evolution. – New Jersey: World Sci. Publ., 1991. – 136 p.
OderΩano 12.02.09,
pislq doopracgvannq — 19.11.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-2855 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:40Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/27/d553b457fcff93669178924a8abd1527.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28552020-03-18T19:39:03Z Asymptotic analysis of phase averaging of a transport process Асимптотичний аналіз фазового усереднення процесу переносу Pogorui, A. О. Погоруй, А. О. We investigate asymptotic expansions of solutions of singularly perturbed transport equations in Markov and semi-Markov media. Исследуются асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений процессов переноса в марковской и полумарковской среде. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2855 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 2 (2010); 190–198 Український математичний журнал; Том 62 № 2 (2010); 190–198 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2855/2462 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2855/2463 Copyright (c) 2010 Pogorui A. О. |
| spellingShingle | Pogorui, A. О. Погоруй, А. О. Asymptotic analysis of phase averaging of a transport process |
| title | Asymptotic analysis of phase averaging of a transport process |
| title_alt | Асимптотичний аналіз фазового усереднення процесу переносу |
| title_full | Asymptotic analysis of phase averaging of a transport process |
| title_fullStr | Asymptotic analysis of phase averaging of a transport process |
| title_full_unstemmed | Asymptotic analysis of phase averaging of a transport process |
| title_short | Asymptotic analysis of phase averaging of a transport process |
| title_sort | asymptotic analysis of phase averaging of a transport process |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2855 |
| work_keys_str_mv | AT pogoruiao asymptoticanalysisofphaseaveragingofatransportprocess AT pogorujao asymptoticanalysisofphaseaveragingofatransportprocess AT pogoruiao asimptotičnijanalízfazovogouserednennâprocesuperenosu AT pogorujao asimptotičnijanalízfazovogouserednennâprocesuperenosu |