On the sets of branch points of mappings more general than quasiregular
It is shown that if a point $x_0 ∊ ℝ^n, \; n ≥ 3$, is an essential isolated singularity of an open discrete $Q$-mapping $f : D → \overline{ℝ^n}, B_f$ is the set of branch points of $f$ in $D$; and a point $z_0 ∊ \overline{ℝ^n}$ is an asymptotic limit of $f$ at the point $x_0$; then, for any neighbor...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2858 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508847899148288 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:39:03Z |
| description | It is shown that if a point $x_0 ∊ ℝ^n, \; n ≥ 3$, is an essential isolated singularity of an open discrete $Q$-mapping $f : D → \overline{ℝ^n}, B_f$ is the set of branch points of $f$ in $D$; and a point $z_0 ∊ \overline{ℝ^n}$ is an asymptotic limit of $f$ at the point $x_0$; then, for any neighborhood $U$ containing the point $x_0$; the point $z_0 ∊ \overline{f(B_f ∩ U)}$ provided that the function $Q$ has either a finite mean oscillation at the point $x_0$ or a logarithmic singularity whose order does not exceed $n − 1$: Moreover, for $n ≥ 2$; under the indicated conditions imposed on the function $Q$; every point of the set $\overline{ℝ^n}\ f(D)$ is an asymptotic limit of $f$ at the point $x_0$. For $n ≥ 3$, the following relation is true: $\overline{ℝ^n}∖f(D) ⊂\overline{f(B_f ∩ U)}$. In addition, if $∞ ∉ f(D)$, then the set $f B_f$ is infinite and $x_0 ∈ \overline{B_f}$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Е. А. Севостьянов (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
О МНОЖЕСТВАХ ТОЧЕК ВЕТВЛЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ,
БОЛЕЕ ОБЩИХ, ЧЕМ КВАЗИРЕГУЛЯРНЫЕ
We prove that if a point x0 ∈ Rn, n ≥ 3, is an essential isolated singularity of the open discrete Q-mapping
f : D → Rn, Bf is a set of branch points f in D, and a point z0 ∈ Rn is an asymptotic limit of f at x0 then,
for every neighborhood U, containing the point x0, z0 ∈ f(Bf ∩ U) provided that a function Q has a finite
mean oscillation at the point x0 or a logarithmic singularity of the order not higher than n − 1. Moreover,
if the indicated conditions on the function Q hold and n ≥ 2, then every point of the set Rn \ f(D) is an
asymptotic limit of f at point x0, and if n ≥ 3, then Rn \ f(D) ⊂ fBf . In addition, ∞ /∈ f(D), then the
set fBf is nonbounded and x0 ∈ Bf .
Доведено, що якщо точка x0 ∈ Rn, n ≥ 3, є iстотною iзольованою сингулярнiстю вiдкритого дискрет-
ного Q-вiдображення f : D → Rn, Bf — множина точок розгалуження f у D i точка z0 ∈ Rn є асимп-
тотичною границею f у точцi x0, то для будь-якого околу U, що мiстить точку x0, z0 ∈ f(Bf ∩ U)
при умовi, що функцiя Q має скiнченне середнє коливання у точцi x0 або логарифмiчну сингулярнiсть
порядку не вище нiж n − 1. Бiльш того, при вказаних умовах на функцiю Q i n ≥ 2 кожна точка
множини Rn \ f(D) є асимптотичною границею f у точцi x0, i при n ≥ 3 має мiсце спiввiдношення
Rn \ f(D) ⊂ fBf . Якщо, крiм того, ∞ /∈ f(D), то множина fBf є необмеженою i x0 ∈ Bf .
1. Введениe. Как известно, в основу геометрического определения квазиконформ-
ных отображений, заданных в области D из Rn, n ≥ 2, положено условие
M(fΓ) ≤ KM(Γ) (1)
для произвольного семейства Γ кривых γ в области D, где M — конформный
модуль семейства кривых (внешняя мера, определенная на семействах кривых в
Rn), а K ≥ 1 — некоторая постоянная. Другими словами, модуль любого семейства
кривых искажается не более чем в K раз. На языке емкостей соотношение (1)
означает, что отображение f искажает емкость любого конденсатора в D не более
чем в K раз.
Пусть теперь в основе определения рассматриваемого класса отображений
вместо соотношения (1) лежит неравенство вида
M(fΓ) ≤
∫
D
Q(x)ρn(x) dm(x), (2)
где m — мера Лебега в Rn, ρ — произвольная неотрицательная борелевская функ-
ция, такая, что произвольная кривая γ семейства Γ имеет длину, не меньшую 1 в
метрике ρ, т. е.
∫
γ
ρ(x)|d(x)| ≥ 1 для всех γ ∈ Γ, а Q : D → [1,∞] — вещественно-
значная функция (см., например, [1]). В случае, когда Q(x) ≤ K почти всюду, мы
снова приходим к неравенству (1). В общем случае последнее неравенство означа-
ет, что искажение модуля исходного семейства Γ происходит с некоторым весом
Q(x), M(fΓ) ≤ MQ(Γ). По-видимому, впервые неравенство вида (2) было уста-
новлено для квазиконформных отображений на плоскости в работе [2, с. 221], а в
пространстве в работе [3]. Неравенство вида (2) для гомеоморфизмов f ∈ ACLn,
f −1 ∈ ACLn см. также в [4]. Соотношение (2) примечательно тем, что оно харак-
терно для довольно широкого подмножества отображений класса Соболева (см.
последний пункт).
c© Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2 215
216 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Ключевым понятием данной статьи является понятие асимптотического пре-
дела отображения f в граничной точке области D (см., например, раздел 3.13 в
[5] или раздел 2 гл. VII в [6]). Грубо говоря, отображение f, заданное в области
D, имеет своим асимптотическим пределом величину z0 ∈ Rn в некоторой точке
b границы D, если существует кривая, лежащая в D и стремящаяся к b, вдоль
которой отображение f стремится к z0.
Поведение Q-отображений в изолированной существенно особой точке по су-
ществу исследовано автором в контексте обобщения известных теорем Сохоцкого –
Вейерштрасса и Пикара (см. [7]). В частности, при определенных условиях на Q
отображение f(x) в произвольной окрестности существенно особой точки x0 до-
стигает в пределе любого наперед заданного значенияA из Rn при x→ x0.Отсюда,
вообще говоря, не следует существование асимптотического предела в точке x0,
что, в свою очередь, свидетельствует о необходимости более тонких исследований
этого вопроса.
В данной статье решается следующая задача: распространить наиболее важные
результаты из теории квазирегулярных отображений, касающиеся изучения мно-
жеств точек ветвления, на более широкие классы Q-отображений. Основное вни-
мание здесь уделяется взаимосвязи множеств точек ветвления с асимптотически-
ми пределами изучаемого отображения. В частности, показано, что образ fBf
множества точек ветвления Bf открытого дискретного Q-отображения, удовлетво-
ряющего определенным условиям относительно Q и имеющего изолированную
существенно особую точку, является неограниченным множеством. Для квазире-
гулярных отображений подобные теоремы получены О. Мартио, С. Рикманом и
Ю. Вяйсяля (см. раздел 3 в [5] и раздел 2 гл. VII в [6]). По сути в указанных
работах, как и в настоящей статье, использован подход В. А. Зорича [8] и С. Агард,
А. Мардена [9].
2. Основные определения. Всюду далее D — область в Rn, n ≥ 2. Отобра-
жение f : D → Rn называется дискретным, если прообраз f−1(y) каждой точ-
ки y ∈ Rn состоит из изолированных точек, и открытым, если образ любого
открытого множества U ⊆ D является открытым множеством в Rn. Отобра-
жение f : D → Rn называется нульмерным, если каждая компонента связности
{f −1(y)} вырождается в точку. Запись f : D → Rn предполагает, что отображение
f непрерывно, G b D означает, что G — компактное подмножество области D.
Мы будем также предполагать, что отображение f сохраняет ориентацию, т. е.
топологический индекс µ (y, f, G) > 0 для произвольной области G b D и произ-
вольного y ∈ f(G) \ f(∂G). Всюду далее C(E, f) =
{
y ∈ Rn : y = lim
m→∞
f(xm),
xm → x0 ∈ E
}
— предельное множество отображения f : D → Rn на множестве
E ⊂ D. Приведенные выше понятия естественным образом распространяются
на отображения f : D → Rn, где Rn = Rn ∪ ∞ — одноточечная компактифи-
кация Rn. В дальнейшем B(x0, r) =
{
x ∈ Rn : |x − x0| < r
}
, B(r) =
{
x ∈
∈ Rn : |x| < r
}
, Bn =
{
x ∈ Rn : |x| < 1
}
, S(x0, r) =
{
x ∈ Rn : |x − x0| = r
}
,
S(r) =
{
x ∈ Rn : |x| = r
}
, Sn−1 =
{
x ∈ Rn : |x| = 1
}
, (x, y) обозначает скалярное
произведение векторов x, y ∈ Rn, (x, y) :=
∑n
i=1
xiyi, где xi, yi — координаты
точек x и y, m — мера Лебега в Rn, запись g = id для отображения g : D → Rn
означает, что g — тождественное отображение, для множества A ⊂ Rn запись |A|
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
О МНОЖЕСТВАХ ТОЧЕК ВЕТВЛЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ, БОЛЕЕ ОБЩИХ . . . 217
означает меру Лебега в Rn, mes1 (A) обозначает линейную меру Лебега множества
A ⊂ R. Пусть Q : D → [0,∞] — измеримая по Лебегу функция, тогда qx0(r) озна-
чает среднее интегральное значение Q(x) над сферой |x− x0| = r:
qx0(r) :=
1
ωn−1rn−1
∫
|x−x0|=r
Q(x) dS,
−
∫
A
f(x) dm(x) :=
1
|A|
∫
A
f(x) dm(x),
dist(A,B) — евклидово расстояние между множествами A,B ⊂ Rn. Напомним,
что x — точка ветвления отображения f : D → Rn, если ни в одной окрестности
U точки x сужение отображения f |U не является гомеоморфизмом. Совокупность
всех точек ветвления f принято обозначать Bf . Борелева функция ρ : Rn → [0,∞]
называется допустимой для семейства Γ кривых γ в Rn, если∫
γ
ρ(x)|dx| ≥ 1 (3)
для всех кривых γ ∈ Γ. В этом случае пишем ρ ∈ adm Γ. Модулем семейства
кривых Γ называется величина
M(Γ) = inf
ρ∈ adm Γ
∫
D
ρn(x) dm(x).
Пусть E, F ⊆ Rn — произвольные множества. Обозначим через Γ(E,F,D) семей-
ство всех кривых γ : [a, b] → Rn, которые соединяют E и F в D, т. е. γ(a) ∈
∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b). Говорят, что семейство кривых
Γ1 минорируется семейством Γ2 (пишем Γ1 > Γ2), если для каждой кривой
γ ∈ Γ1 существует подкривая, которая принадлежит семейству Γ2. В этом слу-
чае M(Γ1) ≤M(Γ2) (см. теорему 6.4 в [10]). Рассмотрим следующее определение
[1]. Пусть Q : D → [1,∞] — измеримая по Лебегу функция. Говорят, что гомео-
морфизм f : D → Rn является Q-гомеоморфизмом, если выполняется неравен-
ство (2) для любого семейства Γ путей γ в D и для каждой допустимой функции
ρ ∈ adm Γ. Аналогично, непрерывное отображение f : D → Rn, допускающее
ветвления, будем называть Q-отображением, если (2) выполнено для любого се-
мейства Γ путей γ в D и для каждой допустимой функции ρ ∈ adm Γ. Изучение
Q-отображений связано с обширным применением к различным классам отобра-
жений, в частности классам Соболева (см. последний пункт статьи). Рассмотрим
следующее определение (см. [5], а также п. 2 гл. VII в [6]). Будем говорить, что
точка z0 ∈ Rn является асимптотическим пределом отображения f : D → Rn в
точке b ∈ ∂D, если найдется кривая α : [0, 1) → D с α(t) → b при t → 1 такая,
что f(α(t)) → z0 при t → 1. Напомним, что изолированная точка x0 границы
∂D называется существенно особой точкой отображения f : D → Rn, если не су-
ществует конечного или бесконечного предела lim
x→x0
f(x). Говорят, что множество
E ⊂ Rn относительно локально связно, если каждая точка множества E имеет
сколь угодно малые окрестности U такие, что множества U ∩ E связны.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
218 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Предложение 1. Пусть f : D → Rn — локальный гомеоморфизм, Q — одно-
связное и локально линейно связное множество в Rn и P — компонента связности
множества f −1Q такая, что P ⊂ D. Тогда f отображает P на Q гомеоморфно.
Если дополнительно Q относительно локально связно, то f гомеоморфно отобра-
жает P на Q (см. лемму 2.2 раздела 2 в [5]).
Предложение 2. Пусть отображение f : D → Rn нульмерное, A ⊂ f(D)
и существует непрерывное сечение s : A → D отображения f, т. е. f ◦ s = id.
Если A относительно локально связно в точке y ∈ A, то предельное множество
C(s, y) является либо континуумом в ∂D, либо единственной точкой в D (см. [9],
а также лемму 3.10 в [5]).
Предложение 3. Пусть f : D → Rn — локальный гомеоморфизм, F — ком-
пактное множество в D и f |F инъективно. Тогда f также инъективно в некото-
рой окрестности множества F (см. [8, c. 422], а также следствие 3.8 в [5]).
Следующие важные определения можно найти в [6] (раздел 3 гл. II). Пусть
f : D → Rn, β : [a, b) → Rn — некоторая кривая и x ∈ f−1(β(a)).Кривая α : [a, c) →
→ D называется максимальным поднятием кривой β при отображении f с началом
в точке x, если: i) α(a) = x; ii) f ◦α = β|[a,c); iii) если c < c′ ≤ b, то не существует
кривой α′ : [a, c′) → D такой, что α = α′|[a,c) и f ◦ α′ = β|[a,c′). Аналогично мож-
но определить максимальное поднятие кривой β : (b, a] → Rn при отображении
f с концом в точке x (см. раздел 3 гл. II в [6]). Пусть f — открытое дискретное
отображение и x ∈ f−1(β(a)). Тогда кривая β : [a, b) → Rn (или, соответственно,
β : (b, a] → Rn) имеет максимальное поднятие при отображении f с началом в точке
x (или, соответственно, с концом в точке x) (см. следствие 3.3 гл. II в [6]). Кон-
денсатором в Rn, n ≥ 2, называем пару E = (A,C), где A — открытое множество
в Rn, а C — компактное подмножество A. Емкостью конденсатора E называется
величина
capE = cap (A,C) = inf
u∈W0(E)
∫
A
|∇u|n dm(x),
где W0(E) = W0(A,C) — семейство неотрицательных непрерывных функций
u : A→ R с компактным носителем в A таких, что u(x) ≥ 1 при x ∈ C и u ∈ ACL.
Напомним, что отображение f : D → Rn называется абсолютно непрерывным на
линиях (пишем f ∈ ACL), если в любом n-мерном параллелепипеде P с ребрами,
параллельными осям координат, и таком, что P ⊂ D, все координатные функ-
ции f = (f1, . . . , fn) абсолютно непрерывны на почти всех прямых, параллельных
осям координат. Известно, что если f ∈ ACL, то f имеет почти всюду частные
производные в D. Если эти частные производные принадлежат классу Lp
loc(D) для
p ≥ 1, то говорят, что f ∈ ACLp(D), или просто f ∈ ACLp, если недоразумение
невозможно. Говорят, что компакт C в Rn, n ≥ 2, имеет нулевую емкость (пи-
шут capC = 0), если существует ограниченное открытое множество A с C ⊂ A
такое, что cap (A,C) = 0. Аналогично тому, как последнее определение введено
в Rn, можно определить понятие множества емкости нуль в Rn. Для отображе-
ния f : D → Rn, имеющего в D частные производные почти всюду, пусть f ′(x)
— якобиева матрица отображения f в точке x, J(x, f) — якобиан отображения f
в точке x, т. е. детерминант f ′(x). В дальнейшем ‖f ′(x)‖ = max
h∈Rn\{0}
|f ′(x)h|
|h|
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
О МНОЖЕСТВАХ ТОЧЕК ВЕТВЛЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ, БОЛЕЕ ОБЩИХ . . . 219
l (f ′(x)) = min
h∈Rn\{0}
|f ′(x)h|
|h|
. Внешняя дилатация отображения f в точке x есть
величина KO(x, f) =
‖f ′(x)‖n
|J(x, f)|
, если J(x, f) 6= 0, KO(x, f) = 1, если f ′(x) = 0,
и KO(x, f) = ∞ — в остальных точках. Внутренняя дилатация отображения f в
точке x есть величина KI(x, f) =
|J(x, f)|
l (f ′(x))n , если J(x, f) 6= 0, KI(x, f) = 1, если
f ′(x) = 0, и KI(x, f) = ∞ — в остальных точках.
3. Основные леммы.
Лемма 1. Предположим, что областьD содержит начало координат, f : D\
{0} → Rn, n ≥ 2, — Q-отображение в D и при некотором ε0 < dist (0, ∂D) и
ε→ 0 ∫
ε<|x|<ε0
Q(x)ψn(|x|) dm(x) = o (In(ε, ε0)) (4)
для борелевской функции ψ(t) : (0,∞) → (0,∞), удовлетворяющей условию 0 <
< I(ε, ε0) :=
∫ ε0
ε
ψ(t)dt <∞ для произвольного ε ∈ (0, ε0). Пусть Γ — семейство
открытых кривых γ(t) : (0, 1) → Rn таких, что γ(t) → 0 при t → 0 и γ(t) 6≡ 0.
Тогда M(f(Γ)) = 0.
Доказательство. Заметим, что
Γ >
∞⋃
i=1
Γi, (5)
где Γi — семейство кривых αi(t) : (0, 1) → Rn таких, что αi(1) ∈ {0 < |x| = ri <
< ε0}, ri — некоторая последовательность с ri → 0 при i → ∞, и αi(t) → 0 при
t→ 0. Зафиксируем i ≥ 1 и ε ∈ (0, ri). В силу соотношения (4) имеем I(ε, ri) > 0
при всех ε ∈ (0, ri). Положим Ai(ε) =
{
x ∈ Rn : ε < |x| < ri
}
. Заметим, что
борелевская функция
ρ(x) = ρε,i(x) =
ψ (|x|) /I (ε, ri) , x ∈ Ai(ε),
0, x ∈ Rn \Ai(ε),
удовлетворяет условию нормировки вида (3) и, следовательно, по определению
Q-отображения,
M
(
f
(
Γ
(
S(ε), S(ri), Ai(ε)
)))
≤
∫
Ai(ε)
Q(x)ρn
ε,i(x) dm(x) ≤ Fi(ε), (6)
где Fi(ε) =
1
I(ε, ri)
n
∫
ε<|x|<ε0
Q(x)ψn(|x|) dm(x). С учетом (4) имеет место сле-
дующее соотношение:
∫
ε<|x|<ε0
Q(x)ψn(|x|) dm(x) = G(ε)
ε0∫
ε
ψ(t)dt
n
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
220 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
где G(ε) → 0 при ε → 0. Заметим, что Fi(ε) = G(ε)
1 +
∫ ε0
ri
ψ(t)dt∫ ri
ε
ψ(t)dt
n
, где
∫ ε0
ri
ψ(t)dt <∞ — фиксированное число, а
∫ ri
ε
ψ(t)dt→∞ при ε→ 0, поскольку
величина интеграла слева в (4) увеличивается при уменьшении ε. Таким образом,
Fi(ε) → 0. Заметим, что при любом ε ∈ (0, ri)
Γi > Γ (S(ε), S(ri), Ai(ε)) . (7)
Таким образом, при каждом фиксированном i = 1, 2, . . . из (6) и (7) получаем, что
M(fΓi) ≤ Fi(ε) → 0 (8)
при ε→ 0. Однако левая часть неравенства (8) не зависит от ε и поэтомуM(fΓi) =
= 0. Наконец, из (5) и полуаддитивности модуля следует, что M(f(Γ)) = 0.
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть f : D → Rn, n ≥ 3, — открытое дискретное Q-отображе-
ние в D, x0 ∈ ∂D — изолированная существенно особая точка отображения f.
Предположим, что при некотором ε0 < dist (x0, ∂D \ {x0}) и ε→ 0∫
ε<|x−x0|<ε0
Q(x)ψn(|x− x0|) dm(x) = o (In(ε, ε0)) (9)
для некоторой борелевской функции ψ(t) : (0,∞) → (0,∞), удовлетворяющей
условию
0 < I(ε, ε0) :=
ε0∫
ε
ψ(t)dt <∞ ∀ ε ∈ (0, ε0). (10)
Если z0 ∈ Rn является асимптотическим пределом f в точке x0, то z0 ∈
∈ f(Bf ∩ U) для любой окрестности U точки x0.
Доказательство проведем от противного, т. е. предположим, что найдется
окрестность U точки x0, для которой z0 /∈ f(Bf ∩ U). Не ограничивая общности
рассуждений, можно считать, что x0 = z0 = 0. По дискретности f, B(r0) ⊂ U ∩
∩(D∪{0}) и S(r0)∩f −1(0) = ∅ для некоторого r0 > 0. Положим U0 = B(r0)\{0},
g = f |U0 . Поскольку dist (fS(r0), 0) > 0 и, по предположению, 0 /∈ f(Bf ∩ U),
найдется r′ > 0 такое, что
B(r′) ∩ (fS(r0) ∪ gBg) = ∅. (11)
Так как z0 = 0 является асимптотическим пределом отображения f в точке x0 = 0,
найдется кривая α(t) : [0, 1) → U0 с α(t) → 0 при t→ 1 такая, что β(t) = f(α(t)) →
→ 0 при t→ 1. Без ограничения общности можно считать, что 0 < |β(t)| < r′ при
всех t ∈ (0, 1). Тогда в силу (11)
|α| ⊂ U0 \Bg. (12)
Определим при 0 ≤ t ≤ 1 и 0 < ϕ ≤ π так называемые сферические покрытия по
правилу
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
О МНОЖЕСТВАХ ТОЧЕК ВЕТВЛЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ, БОЛЕЕ ОБЩИХ . . . 221
G(t, ϕ) =
{
y ∈ Rn : |y| = |β(t)|, (y, β(t)) > |y|2 cosϕ
}
.
Пусть G∗(t, ϕ) — α(t)-компонента связности множества g−1G(t, ϕ) и ϕt — точная
верхняя грань чисел ϕ ∈ (0, π] таких, что g отображает G∗(t, ϕ) гомеоморфно на
G(t, ϕ). Такое ϕt > 0 существует в силу соотношения (11) и того, что β(t) ∈ f(U0).
Положим G(t) = G(t, ϕt), G∗(t) = G∗(t, ϕt), тогда отображение g определяет при
каждом фиксированном t гомеоморфизм gt : G∗(t) → G(t). Покажем, что для поч-
ти всех r ∈ (0, r′) из равенства |β(t)| = r следует, что 0 /∈ G ∗(t). Предположим,
что 0 ∈ G ∗(t) при некотором t, тогда найдется последовательность xk ∈ G ∗(t) с
xk → 0 при k → ∞. Не ограничивая общности, можно считать, что последова-
тельность f(xk) → yt ∈ G(t) при k →∞. Заметим, что отображение g−1
t является
сечением отображения f на множестве G(t) ⊂ f(U0) и по предложению 2 мно-
жество C(g−1
t , yt) есть континуум, содержащий точку x0 = 0 и, возможно, точки
границы U0. В силу соотношения (11) C(g−1
t , yt) = {0}, т. е. g−1
t (y) → 0 при
y → yt. Пусть Γ(t) — семейство открытых кривых γt(s) : (0, 1) → Rn, соединяю-
щих β(t) и yt в G(t), т. е. γt(0) = yt, γt(1) = β(t) и γt(s) ∈ G(t) при s ∈ (0, 1).
Обозначим Γ ∗(t) = g−1
t Γ(t). Тогда каждая кривая γ ∗t (s) : (0, 1) → U0 семейства
Γ ∗(t) такова, что γ ∗t (s) → 0 при s→ 0. Обозначим
Γ ∗ =
⋃
t : 0∈G ∗(t)
Γ ∗(t).
По лемме 1 M(g(Γ ∗)) = 0. С другой стороны, согласно 10.2 в [10],
M(gΓ ∗) ≥ bn
∫
E
dr
r
,
где постоянная bn зависит только от размерности n и E =
{
|β(t)| : 0 ∈ G ∗(t)
}
при
некотором t. Следовательно, линейная мера Лебега mes1(E) = 0, что и требова-
лось доказать.
Пусть T = {t : 0 ≤ t < 1, |β(t)| /∈ E}. Заметим, что в силу (11) G ∗(t) ⊂ U0\Bg
при t ∈ T. По предложению 1 отображение f отображает G ∗(t) гомеоморфно
на G(t). Кроме того, по предложению 3 f инъективно в некоторой окрестности
G ∗(t). Согласно определению угла ϕt это возможно только в случае ϕt = π.
Следовательно, при каждом t ∈ T множество G ∗(t) = G ∗(t, π) есть поверхность в
U0\Bg, топологически эквивалентная сфере, и f гомеоморфно отображаетG ∗(t) на
S(|β(t)|). Пусть D(t) обозначает ограниченную компоненту множества Rn \G ∗(t).
Положим T0 = {t ∈ T : 0 ∈ D(t)}. Возможны 2 случая: 1 ∈ T0 и 1 /∈ T0.
Случай 1. Предположим, что 1 ∈ T0, тогда найдется возрастающая последо-
вательность tj ∈ T0 такая что tj → 1. Положим rj = |β(tj)| и Dj = D(tj); без
ограничения общности можно считать, что rj+1 < rj и в силу того, что α(tj) → 0
при j →∞, Dj+1 ⊂ Dj . Пусть Aj — сферическое кольцо B(r1)\B(rj). Поскольку
отображение g инъективно в окрестности границы ∂D1, найдется компонента A ∗
j
множества g−1Aj такая, что ∂A ∗
j ⊃ ∂D1. Далее, так как ∂Dj ∩A ∗
j = ∅, A ∗
j ⊂ U0.
Кроме того, в силу того, что Aj ∩ gBg = ∅, A ∗
j ⊂ U0 \ Bg. По предложению 1
f отображает A ∗
j гомеоморфно на Aj . Согласно изложенному выше, существует
сечение sj : Aj → A ∗
j отображения f такое, что sj = sk|Aj
при всех k > j. Сле-
довательно, мы построили сечение s : B(r1) \ {0} → U0 \ Bg отображения f в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
222 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
B(r1) \ {0}. По предложению 2 множество C(s, 0) является либо континуумом в
∂U0, либо единственной точкой в U0. Заметим, что в силу соотношения (11) первая
возможность исключена, если только C(s, 0) не вырождается в точку x0 = 0. Таким
образом, сечение s может быть продолжено до непрерывного отображения s всего
шара B(r1). Заметим также, что в силу условия ∂Dj ∩A ∗
j = ∅ и того, что tj ∈ T0,
точка x0 = 0 всегда принадлежит ограниченной компоненте дополнения кольцевой
области A ∗
j при каждом фиксированном j ∈ N. Далее, так как C(s, 0) =
∞⋂
j=2
A ∗
j ,
случай C(s, 0) = {a} невозможен при a 6= 0. Таким образом, C(s, 0) = {0} и
s(0) = 0. Пусть xk — произвольная последовательность в U0 с xk → 0 при k →∞,
тогда f(xk) → 0 при k → 0. Это означает, что отображение f устранимо в точке
x0 = 0, что противоречит условию леммы.
Случай 2. Предположим теперь, что 1 /∈ T0. Кривую α мы можем продолжить
до кривой α : [−1, 1) → Rn так, что α(−1) ∈ ∂U0 \ {0}, α(−1, 1) ⊂ U0, α|[0,1) = α
и β = f(α(t)) 6= 0 при всех t ∈ [−1, 1). По предположению найдется δ, 0 ≤ δ < 1,
такое, что [δ, 1) ∩ T0 = ∅. Выберем возрастающую последовательность точек
tj ∈ T ∩ [δ, 1) такую, что: 1) tj → 1 при j → ∞; 2) |β(t)| < rj = |β(tj)| при всех
t ∈ (tj , 1); 3) |β(t)| > rj+1 при всех t ∈ [−1, tj ]. Как и выше, положим Dj = D(tj).
Поскольку α(tj) → 0 при j →∞ и последовательность α(tj) можно выбрать моно-
тонно убывающей, случай 2 можно условно разбить на 2 подслучая: a) Dj ⊂ Dj+1
при всех j ∈ N; b) Dj ∩Dj+1 = ∅ для некоторого j ∈ N. Предположим, что имеет
место случай a). Рассуждаем, как и в первом случае. ПустьAj означает сферическое
кольцо B(r1)\B(rj). Поскольку отображение g инъективно в окрестности границы
∂D1, найдется компонента A ∗
j множества g−1Aj такая, что ∂A ∗
j ⊃ ∂D1. В силу
того, что Aj∩gBg = ∅, множество A ∗
j ⊂ U0\Bg. По предложению 1 f отображает
A ∗
j гомеоморфно наAj . Заметим, что α(t1, 1) ⊂ Rn\D1 иA ∗
j ⊂ Dj\D1. Рассуждая,
как и выше, получаем непрерывное сечение s : B(r1) \ {0} → U0 \ Bg отображе-
ния f в B(r1) \ {0}. Имеем C(s, 0) =
∞⋂
j=2
s (Bj \ {0}), следовательно, C(s, 0) —
континуум [11, с. 15]. Заметим также, что континуум C(s, 0) невырожденный, по-
скольку множества A ∗
j образуют монотонно возрастающую последовательность по
включению, и C(s, 0) ∩ S(r0) = ∅ в силу (11), следовательно, C(s, 0) ⊂ U0 ∪ {0}.
Последнее, однако, противоречит предложению 2. Предположим, что имеет место
случай b). Заметим, что в этом случае
α(tj , 1) ⊂ Rn \Dj . (13)
Действительно, если (13) не выполнено, то найдется t′j ∈ (tj , 1) : α(t′j) ∈ ∂Dj и
|β(t′j)| = |β(tj)|, но это невозможно, так как по предположению 2 |β(t′j)| < |β(tj)|.
Положим uj+1 = sup {t : α(tj , t) ⊂ Rn \ Dj+1}. Выберем окрестность Uj+1 гра-
ницы ∂Dj+1 так, что сужение f |Uj+1 инъективно (см. предложение 3). Посколь-
ку β(tj+1, 1) ⊂ B(rj+1), будем иметь g
(
Uj+1 ∩
(
Rn \Dj+1
))
⊂ B(rj+1), ибо
вследствие инъективности g в Uj+1 все связные компоненты множества
g
(
Uj+1 ∩
(
Rn \Dj+1
))
принадлежат одной и той же компоненте связности мно-
жества Rn \ S(rj+1). Следовательно, с учетом условия 3 найдется число v1 =
= max{t : tj < t < uj+1, |β(t)| = rj+1}, причем неравенства tj < v1 < uj+1
строгие, v1 > δ и, по определению, v1 ∈ T, так как β(tj+1) = rj+1 и tj+1 ∈ T.
Покажем, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
О МНОЖЕСТВАХ ТОЧЕК ВЕТВЛЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ, БОЛЕЕ ОБЩИХ . . . 223
D(v1) ⊂ Rn \ (Dj ∪Dj+1). (14)
Заметим прежде всего, что G ∗(v1) не может содержать точку x0 = 0, так как v1 ∈
∈ T, и не может пересекать кривую α в точке α(−1), поскольку α(−1) ∈ ∂U0 \ {0}
и в силу условия (11). Если D(v1) ∩ Dj 6= ∅, то либо G ∗(v1) ∩ G ∗(tj) 6= ∅,
либо D(tj) ⊂ D(v1), либо D(v1) ⊂ D(tj). В первом случае rj+1 = |β(v1)| = rj ,
что невозможно в силу условия 2. Во втором случае G ∗(v1) ∩ α(−1, tj) 6= ∅, что
противоречит условию 3. Третий случай невозможен в силу (13). Следовательно,
D(v1)∩Dj = ∅.Далее, пустьD(v1)∩Dj+1 6= ∅, тогда либоG ∗(v1)∩G ∗(tj+1) 6= ∅,
либо D(tj+1) ⊂ D(v1), либо D(v1) ⊂ D(tj+1). В первом случае α(v1) ∈ Dj+1,
поскольку тогда D(v1) = Dj+1, что противоречит выбору v1. Во втором случае
G ∗(v1) ∩ α(tj+1, 1) 6= ∅, что противоречит условию 2. Наконец, в третьем случае
v1 > uj+1, что снова противоречит выбору v1. Таким образом, соотношение (14)
доказано. В таком случае v′1 = sup
{
t : α(tj , t) ⊂ Rn \D(v1)
}
> tj . Тогда найдется
v2 = max
{
t : tj < t < v′1, |β(t)| = rj+1
}
такое, чтоD(v2) ⊂ Rn\Dj∪Dj+1∪D(v1).
И так далее. Продолжая этот процесс, мы получим бесконечное число компонент
связности G ∗(vi) множества g−1S(rj+1). Заметим, что существует v = lim
j→∞
vj ,
v ∈ (tj , uj+1), такое, что каждая окрестность точки α(v) пересекает бесконечно
много компонент g−1S(rj+1). Последнее невозможно, так как в силу соотноше-
ния (12) отображение f является локальным гомеоморфизмом в точке α(v).
Лемма доказана.
Следующее утверждение доказано автором в [7] (см. лемму 3.1 и теорему 5.1).
Предложение 4. Пусть f : D → Rn, n ≥ 2, — открытое дискретное Q-
отображение в D, x0 ∈ ∂D — изолированная существенно особая точка ото-
бражения f такая, что найдутся ε0 ∈ (0, 1) и функция ψ(t) > 0 такие, что
выполнены условия (9) и (10). Тогда cap
(
Rn \ f(U \ {x0})
)
= 0 для любой окре-
стности U ⊃ {x0} в D.
Лемма 3. Пусть f : D → Rn, n ≥ 2, — открытое дискретное Q-отобра-
жение в D, x0 ∈ ∂D — изолированная существенно особая точка отображения
f, относительно которой найдутся ε0 ∈ (0, 1) и функция ψ(t) > 0 такие, что
выполнены условия (9) и (10). Тогда каждая точка множества Rn \f(D) является
асимптотическим пределом f в точке x0.
Доказательство. Пусть z ∈ Rn \ f(D). Не ограничивая общности, можно
считать, что z = 0. Выберем r0 > 0 так, что B(x0, r0) ⊂ D ∪ {x0}, и положим
U0 = B(x0, r0) \ {x0}. Поскольку 0 /∈ f(D), существует r′ > 0 такое, что
B(r′) ∩ fS(x0, r0) = ∅. (15)
Без ограничения общности можно в дальнейшем считать, что r′ < 1.
По предложению 4 в силу (15) найдется сферическое покрытие G ⊂ S(r′)
такое, что некоторая связная компонента G ∗ множества f −1G содержится в U0.
Для y ∈ S(r′) обозначим через γy : (0, r′] → B(r′) кривую γy(t) = ty. Пусть при
каждом r′y ∈ G элемент γ ∗y есть максимальное поднятие кривой γy с концом в
G ∗, γ ∗y : (ry, r′] → U0. Покажем, что γ ∗y (t) → x0 при t→ ry.
Введем в рассмотрение множество G =
{
x ∈ Rn : x = lim
k→∞
γ ∗y (tk)
}
, где tk ∈
∈ (ry, r′] такие, что lim
k→∞
tk = ry : lim
k→∞
γ ∗y (tk) = x. Заметим, что, переходя к
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
224 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
подпоследовательностям, здесь можно ограничиться монотонными последователь-
ностями tk. Другими словами, G — предельное множество γ ∗y (t) при t→ c−0. Для
x ∈ G∩U0, в силу непрерывности f, будем иметь f
(
γ ∗y (tk)
)
→ f(x) при k → ∞,
где tk ∈ (ry, r′), tk → ry при k → ∞. Однако f
(
γ ∗y (tk)
)
= γy(tk) → γy(ry) при
k → ∞. Отсюда заключаем, что f постоянна на G ∩ U0 в U0. С другой стороны,
по условию Кантора в компакте γ ∗y (см. 3.6 гл. I в [11]) G =
∞⋂
k=1
γ ∗y ((ry, tk]) =
= lim sup
k→∞
γ ∗y ((ry, tk]) = lim inf
k→∞
γ ∗y ((ry, tk]) 6= ∅ в силу монотонности последова-
тельности связных множеств γ ∗y ((ry, tk]) и, таким образом, G является связным
(см. 9.12 гл. I в [11]). Таким образом, вследствие дискретности f и в силу соотно-
шения (15) G не может состоять более чем из одной точки. Пусть G 6= {x0}. Тогда
кривая γ ∗y : (ry, r′] → U0 продолжается до замкнутой кривой γ ∗y : [ry, r′] → U0.
Тогда имеем f
(
γ ∗y (ry)
)
= γy(ry), т. е. γ ∗y (ry) ∈ f−1 (γy) . С другой стороны, мож-
но построить (см. следствие 3.3 главы II в [6]) максимальное поднятие γ ∗ ′y кривой
γy|(0, ry] с концом в точке γ ∗y (ry). Наконец, объединяя поднятия γ ∗y и γ ∗ ′y , получаем
новое поднятие γ ∗ ′′y кривой γy, которое определено на (r′y, r
′], что противоречит
максимальности поднятия γ ∗y . Следовательно, G = {x0} и γ ∗y (t) → x0 при t→ ry.
Для справедливости заключения леммы достаточно показать, что ry = 0 для
почти всех r′y ∈ G. Пусть Ei =
{
y ∈ Sn−1 : r′y ∈ G, ry > 1/i
}
, i = 1, 2, . . . .
Достаточно показать, что Hn−1(Ei) = 0 для каждого i, где Hn−1 — (n − 1)-
мерная мера Хаусдорфа. Для фиксированного i ∈ N обозначим Γi = {γ ∗y : y ∈
∈ Ei}. Согласно изложенному выше, все кривые семейства Γi стремятся к точке
x0, поэтому M(Γi) = 0. По лемме 1 также M(f(Γi)) = 0. Заметим, что семейство
fΓi минорирует семейство ∆ всех отрезков αy : [1/i, r′] → Rn, αy(t) = ty, y ∈ Ei.
Пусть ρ ∈ adm fΓi. При каждом фиксированном y ∈ Ei по неравенству Гельдера
имеем оценку
r′∫
1/i
tn−1ρ(ty) dt ≤
r′∫
1/i
ρn(ty) dt
1/n r′∫
1/i
tn dt
(n−1)/n
≤
≤
r′∫
1/i
ρn(ty) dt
1/n
, (16)
так как
(∫ r′
1/i
tn dt
)(n−1)/n
≤
(
r ′ (n+1)
n+ 1
)(n−1)/n
< 1 ибо r′ < 1. Опять же, по
неравенству Гельдера и по выбору ρ, 1 ≤
∫ r′
1/i
ρ(ty)dt ≤
(∫ r′
1/i
ρn(ty)dt
)1/n
, откуда
следует, что
(∫ r′
1/i
ρn(ty)dt
)1/n
≤
∫ r′
1/i
ρn(ty)dt. Тогда согласно (16)
r′∫
1/i
tn−1ρ(ty) dt ≤
r′∫
1/i
ρn(ty) dt. (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
О МНОЖЕСТВАХ ТОЧЕК ВЕТВЛЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ, БОЛЕЕ ОБЩИХ . . . 225
Используя неравенство (17) и теорему Фубини, получаем
∫
Rn
ρn(x)dm(x) ≥
∫
Sn−1
r′∫
1/i
tn−1ρ(ty) dt
dy ≥ 1
in−1
Hn−1(Fρ), (18)
где Fρ =
{
y ∈ Sn−1 :
∫ r′
1/i
ρ(ty) dt ≥ 1
}
. Заметим, что вследствие выбора ρ имеет
место включение Ei ⊂ Fρ. Поскольку M(fΓi) = 0, из (18) следует Hn−1(Fρ) = 0
и, значит, Hn−1(Ei) = 0.
Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть f : D → Rn, n ≥ 3, — открытое дискретное Q-отобра-
жение в D, x0 ∈ ∂D — изолированная существенно особая точка отображения
f, относительно которой найдутся ε0 ∈ (0, 1) и функция ψ(t) > 0 такие, что
выполнены условия (9) и (10). Тогда Rn \ f(D) ⊂ fBf .
Доказательство легко следует из лемм 2 и 3. Предположим противное, тогда
найдется y ∈
(
Rn \ f(D)
)
\ fBf . Тогда по лемме 3 y является асимптотическим
пределом отображения f в точке x0. Однако по лемме 2 y ∈ f(Bf ∩ U) для любой
окрестности U точки x0, что противоречит сделанному предположению.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть f : D → Rn, n ≥ 3, — открытое дискретное Q-отобра-
жение в D, x0 ∈ ∂D — изолированная существенно особая точка отображения
f, относительно которой найдутся ε0 ∈ (0, 1) и функция ψ(t) > 0 такие, что
выполнены условия (9) и (10). Тогда множество fBf неограничено.
Доказательство. Заметим, что точка y0 = ∞ ∈ Rn \ f(D) и согласно лемме 4
существует последовательность yk ∈ fBf , k = 1, 2, . . . , такая, что yk → ∞ при
k →∞. Тем самым, fBf неограничено, что и требовалось доказать.
Лемма 6. Пусть f : D → Rn, n ≥ 3, — открытое дискретное Q-отобра-
жение в D, x0 ∈ ∂D — изолированная существенно особая точка отображения
f, относительно которой найдутся ε0 ∈ (0, 1) и функция ψ(t) > 0 такие, что
выполнены условия (9) и (10). Тогда x0 ∈ Bf .
Доказательство. Предположим противное, тогда существует окрестность U
точки x0 такая, что
(U \ {x0}) ∩Bf = ∅. (19)
Заметим, что точка y0 = ∞ ∈ Rn\f(U \{x0}). Применим к сужению g := f |U\{x0}
отображения f на множество U \{x0} лемму 4. Тогда найдется последовательность
yk ∈ f (Bf ∩ (U \ {x0})) , k = 1, 2, . . . , такая, что yk → ∞ при k → ∞. Однако
последнее противоречит соотношению (19), ибо тогда f (Bf ∩ (U \ {x0})) 6= ∅ и,
значит, (Bf ∩ (U \ {x0})) 6= ∅.
Лемма доказана.
4. Основные следствия. Следуя работе [12], введем следующее определение.
Будем говорить, что функция ϕ : D → R имеет конечное среднее колебание в точке
x0 ∈ D (пишем ϕ ∈ FMO в x0), если
lim
ε→0
−
∫
B(x0, ε)
∣∣ϕ(x)− ϕε
∣∣ dm(x) <∞,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
226 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
где ϕε = −
∫
B(x0,ε)
ϕ(x)dm(x). Например, функция ϕ имеет конечное среднее коле-
бание в точке x0, если в точке x0 ∈ D выполнено lim
ε→0
−
∫
B(x0, ε)
|ϕ(x)| dm(x) <∞.
Предложение 5. Пусть Q : D → [1,∞] — измеримая по Лебегу функция,
D ⊂ Rn, n ≥ 2, и x0 ∈ ∂D — изолированная точка границы D такие, что либо
Q ∈ FMO(x0), либо qx0(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
при r → 0. Тогда можно указать
ε0 ∈ (0, 1) и функцию ψ(t) > 0 такие, что в точке x0 выполнены условия (9) и (10).
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что x0 = 0. Пусть
Q ∈ FMO(0) и ε0 < min
{
dist
(
0, ∂D \ {0}
)
, e−1
}
. На основании следствия 2.3 из
[12] для функции 0 < ψ(t) =
1
t log (1/t)
имеем
∫
ε<|x|<ε0
Q(x)ψn(|x|) dm(x) = O
(
log log
1
ε
)
.
Заметим также, что I(ε, ε0) :=
∫ ε0
ε
ψ(t) dt = log
log (1/ε)
log (1/ε0)
. Таким образом, пред-
ложение 5 в случае Q ∈ FMO доказано. Покажем его справедливость в случае
qx0(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
при r → 0. Как и прежде, можно считать, что x0 = 0.
Фиксируем ε0 < min {dist (0, ∂D \ {0}) , 1} . Положим ψ(t) =
1
t log (1/t)
. Заме-
тим, что
∫
ε<|x|<ε0
Q(x)dm(x)
(|x| log (1/|x|))n =
ε0∫
ε
∫
|x|=r
Q(x)dm(x)
(|x| log (1/|x|))n dS
dr ≤
≤ ωn−1
ε0∫
ε
dr
r log (1/r)
= ωn−1 log
log (1/ε)
log (1/ε0)
= ωn−1I(ε, ε0),
где I(ε, ε0) :=
∫ ε0
ε
ψ(t) dt.
Предложение 5 доказано.
Комбинируя теперь леммы 2 – 6 с предложением 5, получаем важнейшие след-
ствия данной работы.
Теорема 1. Пусть f : D → Rn, n ≥ 2, — открытое дискретное Q-отобра-
жение в D, x0 ∈ ∂D — изолированная существенно особая точка отображения
f такие, что либо Q ∈ FMO(x0), либо qx0(r) = O
([
log (1/r)
]n−1
)
при r → 0.
Тогда:
1) если n ≥ 3 и точка z0 ∈ Rn является асимптотическим пределом f в
точке x0, то для любой окрестности U ⊂ D, содержащей точку x0, выполнено
z0 ∈ f(Bf ∩ U);
2) каждая точка множества Rn \f(D) является асимптотическим пределом
f в точке x0;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
О МНОЖЕСТВАХ ТОЧЕК ВЕТВЛЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ, БОЛЕЕ ОБЩИХ . . . 227
3) если n ≥ 3, то Rn \ f(D) ⊂ fBf ;
4) если n ≥ 3 и ∞ /∈ f(D), то
a) множество fBf неограничено,
b) x0 ∈ Bf .
5. О точности условий на Q(x), n и отображение f . Следующая теорема
показывает, что условия на функцию Q(x), указанные в теореме 1, являются точ-
ными в том смысле, что их нельзя заменить условием Q(x) ∈ Lp
loc ни для какого
сколь угодно большого p > 1. Здесь используется конструкция А. А. Игнатьева и
В. И. Рязанова из монографии [14, с. 110].
Теорема 2. Для каждого p > 1 найдется открытое дискретное Q-отобра-
жение f : Bn \ {0} → Rn с Q(x) ∈ Lp(Bn), n ≥ 2, для которого точка x0 = 0
является изолированной существенно особой точкой и которое не удовлетворяет
ни одному из заключений теоремы 1, а также заключению предложения 4. Более
того, f является гомеоморфизмом в Bn \ {0}.
Доказательство. Зададим гомеоморфизм f : Bn \ {0} → Rn следующим об-
разом:
f(x) =
1 + |x|α
|x|
x,
или, что то же самое, в сферических координатах
R = 1 + r α, Θ = ϑ,
где α ∈ (0, n/p). Заметим, что f отображает Bn \ {0} на кольцо 1 < |y| < 2 в Rn.
Определим K(x, f) = max
{
KI(x, f),KO(x, f)
}
, тогда K(x, f) = max
{
αr α
1 + r α
,(
1 + r α
αr α
)n−1}
, r = |x|. Кроме того, f ∈ C1 ⊂W 1,n
loc в Bn \{0} и K(x, f) локально
ограничена в Bn \ {0}, поэтому, согласно [13], f −1 ∈ W 1,n
loc . Следовательно, f
является Q-гомеоморфизмом с Q(x) := K(x, f) (см. теоремы 4.6 и 6.10 в [1]). При
малых r
Q(x) = K(x, f) =
(
1 + r α
αr α
)n−1
≤
(
2
α
)n−1 1
rα(n−1)
.
Следовательно, Q(x) ∈ Lp(Bn), поскольку αp < n. Заметим, что все точки сферы
Sn−1 являются асимптотическими пределами отображения f в нуле. Тем не менее,
заключения 1, 3, 4 теоремы 1 не выполнены, ибо Bf = ∅, а заключение 2 нарушено
в силу того, что Rn \f (Bn \ {0}) = {|y| ≤ 1}∪{|y| ≥ 2}. В то же время ни одна из
точек множества Rn \ f
(
Bn \ {0}
)
, кроме точек сферы Sn−1, очевидно, не является
асимптотическим пределом отображения f в точке 0.
Приведенное выше отображение является также контрпримером к теореме Со-
хоцкого (см. предложение 4). Хотя x0 = 0 является изолированной существенно
особой точкой отображения f, предельное множество C(f, 0) есть сфера {|y| =
= 1} 6= Rn и cap
(
Rn \ f (Bn \ {0})
)
> 0.
Теорема доказана.
Известно, что даже для квазирегулярных отображений (т. е. отображений, удов-
летворяющих условию M(fΓ) ≤ KM(Γ) для некоторой постоянной K ≥ 1) за-
ключения лемм 2, 4, 5, 6, а также утверждения 1, 3, 4 теоремы 1 нарушаются при
n = 2 (см. п. 3.23 в [5]). Контрпример: x0 = 0 и f(z) = ez/|z|2 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
228 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Следующая теорема показывает, что условие открытости отображения f во всех
приведенных выше результатах является существенным.
Теорема 3. При каждом n ≥ 2 найдется дискретноеQ-отображение g : Rn \
{0} → Rn, для которого Q ≡ 1, x0 = 0 является изолированной существенно
особой точкой и при этом заключения 1 – 4 a) теоремы 1, а также заключение
предложения 4 не имеют места.
Доказательство. Рассмотрим покрытие пространства Rn кубами с единич-
ными ребрами
Ck1,...,kn
=
n∏
i=1
[ki, ki + 1] , ki ∈ Z.
Пусть x ∈ Ck1,...,kn
. Полагая G0 = σ1 ◦ . . . σn, где σl = σl,sign kl
◦ . . . σl,|kl|sign kl
,
sign kl — знак числа kl, σl,0 = id и σl,m — отражение относительно гиперплоскости
xl = m ∈ Z, получаем, что G0(x) ∈ C0,...,0 для любой точки x ∈ Ck1,...,kn
. Сжатие
G1(x) =
√
n
n
x переводит C0,0,0...,0 в некоторый куб A0, полностью лежащий в Bn.
Положим G2(x) := G1(x) ◦G0(x).
Заметим, что точка z0 = ∞ является изолированной существенно особой точкой
отображения G2(x), причем C(G2,∞) = A0 ⊂ Bn. Тогда отображение
g(x) := G2 ◦G3(x), (20)
гдеG3(x) =
x
|x|2
, имеет изолированную существенно особую точку x0 = 0, причем
C(g, 0) ⊂ Bn. (21)
По построению отображения g, заданного соотношением (20), видно, что оно со-
храняет модуль семейств кривых в Rn, т. е. оно является 1-отображением в терми-
нах соотношения (2). Ясно также, что g — дискретное отображение. Тем не менее,
каждое из утверждений 1 – 4 a) теоремы 1 нарушено, ибо gBg сосредоточено в Bn
и ни одна из точек множества Rn \ Bn не является асимптотическим пределом g в
точке 0 в силу (21).
Теорема доказана.
Замечание 1. Заключение 4 b) теоремы 1 в предыдущем примере выполне-
но, так как Bg — множество гиперплоскостей Bg =
⋃
i,k
Ak,i, где Ak,i =
{
x =
= (x1, x2, . . . , xi, . . . , xn) : xi = k
}
и 0 ∈ Bg. Последнее обстоятельство свиде-
тельствует о том, что из 4 b), вообще говоря, не следует ни одно из остальных
заключений теоремы 1. Более того, если отображение f : D → Rn не удовлетворя-
ло бы условию 4 b) теоремы 1, то f было бы открытым отображением в U \ {x0},
где U — некоторая окрестность существенно особой точки x0. Поэтому пример не-
открытого отображения, которое бы нарушало условие 4 b) теоремы 1 в указанном
выше смысле, не может быть построен.
6. О приложениях к классам Соболева. В этом пункте мы укажем приложения
открытых дискретных Q-отображений к классам Соболева. Такая связь дает нам
определенные основания считать всю изложенную выше теорию Q-отображений
вполне состоятельной и обладающей в известном смысле правом на существование
и свое место в геометрической теории функций.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
О МНОЖЕСТВАХ ТОЧЕК ВЕТВЛЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ, БОЛЕЕ ОБЩИХ . . . 229
Предложение 6. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное отображение
класса W 1,n
loc (D), для которого KO(x, f) ∈ Ln−1
loc и |Bf | = 0. Тогда f является
KI(x, f)-отображением.
Доказательство следует непосредственно из замечания 4.10 и теоремы 6.10
в [1].
Комбинируя теорему 1 с предложением 6, получаем важнейший результат
работы.
Теорема 4. Пусть f : D → Rn, n ≥ 2, — открытое дискретное отобра-
жение класса W 1,n
loc в D, |Bf | = 0, KO(x, f) ∈ Ln−1
loc , x0 ∈ ∂D — изолированная
существенно особая точка отображения f такая, что либоKI(x, f) ∈ FMO(x0),
либо qx0(r) = O
([
log
1
r
]n−1)
при r → 0, qx0(r) — среднее интегральное значение
функции KI(x, f) на сфере |x− x0| = r. Тогда:
1) если n ≥ 3 и точка z0 ∈ Rn является асимптотическим пределом f в точке
x0, то z0 ∈ f(Bf ∩ U) для любой окрестности U ⊂ D, содержащей точку x0;
2) каждая точка множества Rn \f(D) является асимптотическим пределом
f в точке x0;
3) если n ≥ 3, то Rn \f(D) ⊂ fBf , множество fBf неограничено и x0 ∈ Bf .
По теореме 1 в [15] отображение f : D → Rn классаW 1,n
loc такое, что J(x, f) ≥ 0
почти всюду и KO(x, f) ∈ Lp
loc при некотором p > n − 1 является открытым и
дискретным. Поэтому получаем простое следствие из теоремы 4.
Следствие 1. Пусть f : D → Rn — отображение класса W 1,n
loc такое, что
J(x, f) ≥ 0 почти всюду, KO(x, f) ∈ Lp
loc при некотором p > n − 1 и |Bf | = 0.
Предположим, что x0 ∈ ∂D — изолированная существенно особая точка отобра-
жения f такая, что либо KI(x, f) ∈ FMO(x0), либо qx0(r) = O
([
log
1
r
]n−1)
при r → 0, qx0(r) — среднее значение функции KI(x, f) на сфере |x − x0| = r.
Тогда выполнены все заключения теоремы 4.
Замечание 2. Поскольку KI(x, f) ≤ Kn−1
O (x, f) почти всюду (см., например,
[16]), то условия на KI(x, f) в теореме 4 можно заменить условиями Kn−1
O (x, f) ∈
∈ FMO(x0), либо q∗x0
(r) = O
([
log
1
r
]n−1)
при r → 0, q∗x0
(r) — среднее инте-
гральное значение функции Kn−1
O (x, f) на сфере |x− x0| = r.
В частности, все заключения теоремы 4 и следствия 1 имеют место, если при
x→ x0
KO(x, f) = O
(
log
1
|x− x0|
)
.
1. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. Anal. Math.
– 2004. – 93. – P. 215 – 236.
2. Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal mappings in the plane. – New York etc.: Springer, 1973.
3. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math.
and Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420.
4. Стругов Ю. Ф. Компактность классов отображений, квазиконформных в среднем // Докл. АН
СССР. – 1978. – 243, № 4. – C. 859 – 861.
5. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Topological and metric properties of quasiregular mappings // Ann.
Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. – 1971. – 488. – P. 1 – 31.
6. Rickman S. Quasiregular mappings // Results Math. and Relat. Areas. – 1993. – 3, № 26.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
230 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
7. Севостьянов Е. А. Теоремы Лиувилля, Пикара и Сохоцкого для кольцевых отображений // Укр.
мат. вестн. – 2008. – 5, № 3. – С. 366 – 381.
8. Зорич В. А. Теорема М. А. Лаврентьева о квазиконформных отображениях пространства // Мат.
сб. – 1967. – 116, № 3. – С. 415 – 433.
9. Agard S., Marden A. A removable singularity theorem for local homeomorphisms // Indiana Math. J. –
1970. – 20. – P. 455 – 461.
10. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. – 229.
11. Whyburn G. T. Analytic topology. – Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1942.
12. Игнатьев А., Рязанов В. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат. вестн. –
2005. – 2, № 3. – C. 395 – 417.
13. Heinonen J., Koskela P. Sobolev mappings with integrable dilatations // Arch. Ration. Mech. and Anal.
– 1993. – 125. – P. 81 – 97.
14. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer,
2009.
15. Manfredi J. J., Villamor E. An extension of Reshetnyak’s theorem // Indiana Univ. Math. J. – 1998. –
47, № 3. – P. 1131 – 1145.
16. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск:
Наука, 1982.
Получено 20.03.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2858 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:43Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/49/83b92bfc8da07523f85dd904643ced49.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28582020-03-18T19:39:03Z On the sets of branch points of mappings more general than quasiregular О множествах точек ветвления отображений, более общих, чем квазирегулярпые Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. It is shown that if a point $x_0 ∊ ℝ^n, \; n ≥ 3$, is an essential isolated singularity of an open discrete $Q$-mapping $f : D → \overline{ℝ^n}, B_f$ is the set of branch points of $f$ in $D$; and a point $z_0 ∊ \overline{ℝ^n}$ is an asymptotic limit of $f$ at the point $x_0$; then, for any neighborhood $U$ containing the point $x_0$; the point $z_0 ∊ \overline{f(B_f ∩ U)}$ provided that the function $Q$ has either a finite mean oscillation at the point $x_0$ or a logarithmic singularity whose order does not exceed $n − 1$: Moreover, for $n ≥ 2$; under the indicated conditions imposed on the function $Q$; every point of the set $\overline{ℝ^n}\ f(D)$ is an asymptotic limit of $f$ at the point $x_0$. For $n ≥ 3$, the following relation is true: $\overline{ℝ^n}∖f(D) ⊂\overline{f(B_f ∩ U)}$. In addition, if $∞ ∉ f(D)$, then the set $f B_f$ is infinite and $x_0 ∈ \overline{B_f}$. Доведено, що якщо точка$x_0 ∊ ℝ^n, \; n ≥ 3$, є істотною ізольованою сингулярністю відкритого дискретного $Q$-відображення $f : D → \overline{ℝ^n},\; B_f$ — множина точок розгалуження $f$ у $D$ і точка $z_0 ∊ \overline{ℝ^n}$ є асимптотичною границею $f$ у точці $x_0$, то для будь-якого околу $U$, що містить точку $x_0$, $z_0 ∊ \overline{f(B_f ∩ U)}$ при умові, що функція $Q$ має скінченне середнє коливання у точці $x_0$ або логарифмічну сингулярність порядку не вище ніж $n − 1$. Більш того, при вказаних умовах на функцію $Q$ і $n ≥ 2$ кожна точка множини $\overline{ℝ^n}\ f(D)$ є асимптотичною границею $f$ у точці $x_0$, і при $n ≥ 3$ має місце співвідношення $\overline{ℝ^n}∖f(D) ⊂\overline{f(B_f ∩ U)}$. Якщо, крім того, $∞ ∉ f(D)$, то множина $f B_f$ є необмеженою і $x_0 ∈ \overline{B_f}$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2858 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 2 (2010); 215–230 Український математичний журнал; Том 62 № 2 (2010); 215–230 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2858/2468 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2858/2469 Copyright (c) 2010 Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. On the sets of branch points of mappings more general than quasiregular |
| title | On the sets of branch points of mappings more general than quasiregular |
| title_alt | О множествах точек ветвления отображений, более общих, чем квазирегулярпые |
| title_full | On the sets of branch points of mappings more general than quasiregular |
| title_fullStr | On the sets of branch points of mappings more general than quasiregular |
| title_full_unstemmed | On the sets of branch points of mappings more general than quasiregular |
| title_short | On the sets of branch points of mappings more general than quasiregular |
| title_sort | on the sets of branch points of mappings more general than quasiregular |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2858 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea onthesetsofbranchpointsofmappingsmoregeneralthanquasiregular AT sevostʹânovea onthesetsofbranchpointsofmappingsmoregeneralthanquasiregular AT sevostʹânovea onthesetsofbranchpointsofmappingsmoregeneralthanquasiregular AT sevost039yanovea omnožestvahtočekvetvleniâotobraženijboleeobŝihčemkvaziregulârpye AT sevostʹânovea omnožestvahtočekvetvleniâotobraženijboleeobŝihčemkvaziregulârpye AT sevostʹânovea omnožestvahtočekvetvleniâotobraženijboleeobŝihčemkvaziregulârpye |