Quadruples of orthoprojectors connected by a linear relationship
In the explicit form, we deduce formulas for all quadruples of orthoprojectors $P_1, P_2, P_3$, and $P_4$ irreducible to within unitary equivalence and connected by the linear relationship $α_1 P_1 + α_2 P_2 + α_3 P_3 + α_4 P_4 = λ I$, where $(α_1, α_2, α_3, α_4) ∈ ℝ^{+}$.
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2861 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508847270002688 |
|---|---|
| author | Yusenko, A. A. Юсенко, А. А. |
| author_facet | Yusenko, A. A. Юсенко, А. А. |
| author_sort | Yusenko, A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:39:03Z |
| description | In the explicit form, we deduce formulas for all quadruples of orthoprojectors $P_1, P_2, P_3$, and $P_4$ irreducible to within unitary equivalence and connected by the linear relationship $α_1 P_1 + α_2 P_2 + α_3 P_3 + α_4 P_4 = λ I$, where $(α_1, α_2, α_3, α_4) ∈ ℝ^{+}$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.98
A. A. Gsenko (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
ÇETVIRKY ORTOPROEKTORIV,
WO POV’QZANI LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM
Exact formulas in the explicit form are obtained for all quadruples of orthoprojectors P1 , P2 , P3 , P4 ,
which are irreducible up to the unitary equivalence and are connected by the linear relation α1 1P +
+ α2 2P + α 3 3P + α 4 4P = λI, where ( , , , )α α α α1 2 3 4 ∈ R+
.
Poluçen¥ formul¥ v qvnom vyde dlq vsex nepryvodym¥x, s toçnost\g do unytarnoj πkvyva-
lentnosty, çetverok ortoproektorov P1 , P2 , P3 , P4 , svqzann¥x lynejn¥m sootnoßenyem
α1 1P + α2 2P + α 3 3P + α 4 4P = λI, hde ( , , , )α α α α1 2 3 4 ∈ R+
.
Vstup. Roboty [1, 2] prysvqçeno vyvçenng linijno pov’qzanyx naboriv orto-
proektoriv u hil\bertovomu prostori. Zokrema, doslidΩuvalos\ pytannq pro is-
nuvannq naboriv ortoproektoriv P1 , P2 , … , Pn u hil\bertovomu prostori H,
dlq qkyx
α α λ1 1P P In n+ … + = ,
de ( , , )α α1 … n ∈ R+
n
— deqkyj fiksovanyj vektor, λ ∈ +R , a takoΩ vlasty-
vosti takyx naboriv (uzahal\neni rozmirnosti, qvni formuly ta in.).
Dlq n < 4 opys mnoΩyny parametriv, dlq qkyx isnu[ rozv’qzok, ta vsix zob-
raΩen\ [ vidomym (vidpovidna klasyfikacijna zadaça ma[ skinçennyj typ). U ro-
boti [2] otrymano opys mnoΩyny moΩlyvyx znaçen\ λ u vypadku, koly α1 = …
… = αn = 1, ta pokazano, wo pry n > 4 zadaça opysu vsix zobraΩen\ [ duΩe
skladnog (*-dykog). U robotax [3, 4] doslidΩeno zadaçu opysu mnoΩyny para-
metriv λ pry n = 4.
Bil\ß toho, u vypadku α1 = α2 = α3 = α4 u [5] navedeno qvni formuly dlq
vidpovidnyx proektoriv. U roboti [6] takoΩ otrymano formuly dlq vypadku do-
vil\nyx ( , , )α α1 4… ∈ R+
n
i λ =
1
2
1 2(α α+ + α α3 4+ ) .
Naßa meta — pobuduvaty vsi, z toçnistg do unitarno] ekvivalentnosti, ne-
zvidni zobraΩennq u vypadku, koly n = 4. U perßomu punkti opysano vsi moΩ-
lyvi vektory uzahal\neno] rozmirnosti u( vypadku, koly λ ≠
1
2
1 2 3(α α α+ + +
+ α4 )) . U druhomu punkti dlq serij vektoriv uzahal\neno] rozmirnosti, opysa-
nyx u perßomu punkti, pobudovano qvni formuly dlq zobraΩen\.
1. Vektory uzahal\neno] rozmirnosti.
Oznaçennq 1. Nexaj Pi , i = 1, … , n, — nabir ortoproektoriv u deqkomu
skinçennovymirnomu hil\bertovomu prostori H. Vektorom uzahal\neno] roz-
mirnosti zadanoho naboru ortoproektoriv nazyvatymemo vektor d = (d0 ;
d dn1, , )… ∈ Zn + 1
, komponenty qkoho vyznaçagt\sq takym çynom:
d0 = dim ( )H , d Pi i= dim ( ) , i = 1, … , n.
Opyßemo mnoΩynu vektoriv uzahal\neno] rozmirnosti dlq nezvidnoho naboru
ortoproektoriv P P1 4, ,… , wo zadovol\nqgt\ linijne spivvidnoßennq
α α λ1 1 4 4P P I+ … + = (1)
dlq dovil\noho fiksovanoho vektora ( , , )α α1 4… , 0 ≤ αi ≤ 1.
© A. A. GSENKO, 2010
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2 255
256 A. A. GSENKO
Usi nezvidni zobraΩennq linijno pov’qzanyx çetvirok proektoriv [ skinçenno-
vymirnymy (dyv. [1]), do toho Ω dlq koΩnoho vektora uzahal\neno] rozmirnosti,
wo vidminnyj vid (2; 1, 1, 1, 1), isnu[ lyße odne zobraΩennq z toçnistg do uni-
tarno] ekvivalentnosti (dyv., napryklad, [3]), a dlq vektora (2; 1, 1, 1, 1) isnu[
neperervna seriq zobraΩen\ [6]. Nezvidni nabory z vektorom rozmirnosti, vidmin-
nym vid (2; 1, 1, 1, 1), otrymugt\ di[g funktora Kokstera na deqkyj odnovy-
mirnyj nabir [3]. Tomu dlq opysu vsix moΩlyvyx vektoriv uzahal\neno] roz-
mirnosti dostatn\o vyvçyty dynamiku di] funktoriv Kokstera na vektorax uza-
hal\neno] rozmirnosti.
Dlq çotyr\ox proektoriv dig funktoriv Kokstera na vektorax uzahal\neno]
rozmirnosti vyznaçagt\ takym çynom:
Φ+
=
= − ∑( )d d d j
j
0 0
1
4
3 , Φ+ = −( )d d di i0 ,
Φ−
=
= −∑( )d d dj
j
0
1
4
0 , Φ−
= ≠
= −∑( )
,
d d di i
j j1 1
4
0 .
TverdΩennq 1. Dlq nezvidnyx naboriv ortoproektoriv P P1 4, ,… , qki za-
dovol\nqgt\ (1), moΩlyvi vektory uzahal\neno] rozmirnosti [ takymy:
d k k k k kk( , ) ( ; , , , )2 1 0 2 1+ = + ,
d k k k k kk( , ) ( ; , , , )2 1 1 2 1 1+ = + + ,
d k k k k kk( , ) ( ; , , , )2 1 2 2 1 1+ = + + , (2)
d k k k k kk( , ) ( ; , , , )2 1 3 2 1 1+ = + + ,
d k k k k kk( , ) ( ; , , , )2 1 4 2 1 1+ = + + ,
qkwo rozmirnist\ prostoru dim ( )H = 2k + 1, i
d k k k k kk( , ) ( ; , , , )2 1 2 1= − ,
d k k k k kk( , ) ( ; , , , )2 2 2 1= − ,
(3)
d k k k k kk( , ) ( ; , , , )2 3 2 1= − ,
d k k k k kk( , ) ( ; , , , )2 4 2 1= − ,
qkwo rozmirnist\ prostoru dim ( )H = 2k .
Dovedennq. Oskil\ky vsi nezvidni (krim vektora (2; 1, 1, 1, 1)) zobraΩennq
otrymugt\ z odnovymirnyx, to rozhlqdatymemo moΩlyvi odnovymirni vektory
uzahal\neno] rozmirnosti dlq zadanoho naboru ortoproektoriv, a same: (1; 0, 0, 0,
0), (1; 1, 0, 0, 0), (1; 0, 1, 0, 0), (1; 0, 0, 1, 0), (1; 0, 0, 0, 1), (1; 1, 1, 1, 0), (1; 1, 1,
0, 1), (1; 1, 0, 1, 1), (1; 0, 1, 1, 1) (vektory typu (1; 1, 1, 0, 0) ne rozhlqda[mo,
tomu wo vony invariantni vidnosno di] funktoriv Kokstera).
Dovedemo za indukci[g, wo vektor (1; 0, 0, 0, 0) pid di[g funktora Kokstera
Φ+
k raziv ( k ∈N ) matyme vyhlqd d k( , )2 1 0+ = (2 1k + ; k k k k, , , ) . Qkwo n =
= 1, to d ( , )1 0 = ( ; , , , )1 0 0 0 0 . Prypustymo, wo pry n = k – 1 d k( , )2 1 0− =
= (2 1k − ; k – 1, k – 1, k – 1, k − 1) . Dovedemo pravyl\nist\ formuly pry n = k .
Dijsno, vykorystovugçy funktory Kokstera na vektorax uzahal\neno] rozmir-
nosti, ma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
ÇETVIRKY ORTOPROEKTORIV, WO POV’QZANI LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM 257
d k
0
2 0( , ) = 3 0
2 1 0 2 1 0
1
4
d dk
j
k
j
( , ) ( , )− −
=
− ∑ = 6 3 4 4k k− − + = 2 1k + ,
di
k( , )2 0 = d dk
i
k
0
2 1 0 2 1 0( , ) ( , )− −− = 2 1 1k k k− − + = .
Dlq inßyx vektoriv uzahal\neno] rozmirnosti dovedennq provodyt\sq analo-
hiçno.
TverdΩennq dovedeno.
ZauvaΩymo, wo dlq fiksovanoho vektora ( , , )α α1 4… ∈ R+
4
ne vsi opysani
vektory (2), (3) [ vektoramy uzahal\neno] rozmirnosti.
2. Nezvidni zobraΩennq çotyr\ox linijno pov’qzanyx ortoproektoriv . U
vypadku vektora uzahal\neno] rozmirnosti (2; 1, 1, 1, 1) zobraΩennq çotyr\ox
proektoriv, wo zadovol\nqgt\ spivvidnoßennq
α α λ1 1 4 4P P I+ … + = ,
de 0 ≤ αi ≤ 1, i = 1, … , 4, bulo pobudovano u roboti [6]. Pobudu[mo zobraΩennq
dlq vsix inßyx vektoriv uzahal\neno] rozmirnosti.
Oskil\ky vidomo [3], wo dlq koΩno] uzahal\neno] rozmirnosti isnu[ ne bil\ß
niΩ odne nezvidne zobraΩennq, to dlq oderΩannq opysu nam dostatn\o navesty
dovil\nyj nabir proektoriv z zadanog uzahal\nenog rozmirnistg.
Qk bulo zaznaçeno, vsi zobraΩennq çetvirok proektoriv, wo zadovol\nqgt\
linijne spivvidnoßennq, [ skinçennovymirnymy. U vypadku, koly rozmirnist\
prostoru zobraΩennq dim ( )H = 2k + 1, k ∈N , ßukatymemo proektory u vyh-
lqdi
P Q Q Q
n1 11 2
= ⊕ ⊕ … ⊕ ⊕γ γ γ ε ,
P Q Q Q
n2 2 1 2
= ⊕ ⊕ ⊕ … ⊕ε β β β ,
(4)
P R R R
n3 3 1 2
= ⊕ ⊕ ⊕ … ⊕′ ′ ′ε β β β ,
P R R R
n4 41 2
= ⊕ ⊕ … ⊕ ⊕′ ′ ′γ γ γ ε .
U vypadku parno] rozmirnosti ( dim ( )H = 2k ) proektory magt\ vyhlqd
P Q Q Q
n1 1 21 2 1
= ⊕ ⊕ ⊕ … ⊕ ⊕−ε εγ γ γ ,
P R R R
n4 3 41 2 1
= ⊕ ⊕ ⊕ … ⊕ ⊕′ ′ ′ −ε εγ γ γ ,
(5)
P Q Q Q
n2 1 2
= ⊕ ⊕ … ⊕β β β ,
P R R R
n3 1 2
= ⊕ ⊕ … ⊕′ ′ ′β β β ,
de εi — odnovymirni proektory (εi = 0 abo εi = 1), a Qk ta Rk — dvovymirni
proektory, matryçnyj zapys qkyx [ takym:
Q
k k k
k k k
k =
−
− −
( )
( )
,
1
1 1
(6)
R
k k k
k k k
k =
− −
− − −
( )
( )
,
1
1 1
0 < k < 1.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
258 A. A. GSENKO
Dovedemo nastupnu teoremu.
Teorema 1. Dlq bud\-qkoho vektora
�
α = ( , , , )α α α α1 2 3 4 ∈ R+
4
isnu[ ne-
zvidne zobraΩennq naboru ortoproektoriv P P1 4, ,… , wo zadovol\nq[ (1), qke
zada[t\sq, z toçnistg do unitarno] ekvivalentnosti, rivnostqmy (4), (5) z de-
qkymy parametramy εi , γ i , ′γ i , βi , ′βi , [dynymy dlq koΩnoho vektora
�
α .
Dovedennq. Vidomo [3], wo dlq koΩnoho vektora uzahal\neno] rozmirnosti,
krim vektora (2; 1, 1, 1, 1), isnu[ lyße odne nezvidne, z toçnistg do unitarno] ek-
vivalentnosti, zobraΩennq, tomu dostatn\o pobuduvaty dlq koΩnoho vektora
xoça b odne i pokazaty, wo vono zadovol\nq[ vsi moΩlyvi znaçennq vektora
�
α .
Budemo buduvaty nabir proektoriv u vyhlqdi (4), (5). Naklademo na proekto-
ry dodatkovi umovy: sumy α α1 1 4 4P P+ ta α α2 2 3 3P P+ — diahonal\ni opera-
tory. Otryma[mo spivvidnoßennq miΩ koefici[ntamy
α γ γ1 1j j( )− = α γ γ4 1′ − ′j j( ) ,
(7)
α β β2 1j j( )− = α β β3 1′ − ′j j( ) .
Pobudovani proektory povynni zadaty zobraΩennq, tobto vykonu[t\sq riv-
nist\ α1 1P + α2 2P + α3 3P + α4 4P = λI. Pryrivnqvßy vidpovidni koefici[nty v
matryçnyx zobraΩennqx ortoproektoriv, otryma[mo systemu linijnyx rivnqn\
α γ α γ α ε α ε λ1 1 4 1 2 2 3 3+ ′ + + = ,
α α α γ α γ α β α β λ1 4 1 1 4 1 2 1 3 1+ − + ′ + + ′ =( ) ,
α α α β α β α γ α γ λ2 3 2 1 3 1 1 2 4 2+ − + ′ + + ′ =( ) ,
………………………………………………………
α γ α γ α α α β α β λ1 4 2 3 2 1 3 1j j j j+ ′ + + − + ′ =− −( ) ,
α α α γ α γ α β α β λ1 4 1 4 2 3+ − + ′ + + ′ =( )j j j j ,
………………………………………………………
α α α β α β α ε α ε λ2 3 2 3 1 1 4 4+ − + ′ + + =( )n n ,
j = 1, 2, … , k .
Vykonavßy peretvorennq, budemo maty
α γ α γ λ α ε α ε1 1 4 1 2 2 3 3+ ′ = − +( ) ,
α β α β λ α ε α ε α α2 1 3 1 2 2 3 3 1 42+ ′ = − + − +( ) ( ) ,
α γ α γ λ α ε α ε α1 2 4 2 2 2 3 33+ ′ = − + −( ) ,
………………………………………………………
α γ α γ1 4j j+ ′ = ( ) ( ) ( )2 1 12 2 3 3j j− − + − −λ α ε α ε α ,
α β α β2 3j j+ ′ = 2 12 2 3 3 1 4j jλ α ε α ε α α α− + − − − +( ) ( ) ( ) ,
………………………………………………………
λ
α α α ε α ε α ε α ε
= −
− + + +
+2
2
2 1
1 1 2 2 3 3 4 4/ ( )
n
,
de j = 1, 2, … , k , α = α1 + … + α4 .
Poznaçymo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
ÇETVIRKY ORTOPROEKTORIV, WO POV’QZANI LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM 259
Bj j j= + ′α γ α γ1 4 , C j j j= + ′α β α β2 3 . (8)
Rozv’qzavßy systemu rivnqn\ (7), (8), oderΩymo
γ
α
α α αj
j j
j
B B
B
=
−
− +( )
( )
( )
4
1 1 42
,
′ =
−
− +( )γ
α
α α αj
j j
j
B B
B
( )
( )
1
4 1 42
,
β
α
α α αj
j j
j
C C
C
=
−
− +( )
( )
( )
3
2 2 32
,
′ =
−
− +( )β
α
α α αj
j j
j
C C
C
( )
( )
2
3 2 32
,
a z umov (6) na koefici[nty matryc\ znajdemo
β
α α α α α α
α α α α
j ∈
( ] +[ ) <
( ] +[
0
0
1 4 1 4 1 4
4 1 1 4
; ; , ,
; ;
∪
∪ )) ≥
, ,α α1 4
C j ∈
( ] +[ ) <
( ] +[
0
0
2 3 2 3 2 3
3 2 2 3
; ; , ,
; ;
α α α α α α
α α α α
∪
∪ )) ≥
, .α α2 3
Takym çynom, vykorystovugçy pobudovanu sxemu zadannq proektoriv, moΩna
zadavaty nezvidni zobraΩennq çotyr\ox proektoriv, wo zadovol\nqgt\ linijne
spivvidnoßennq u skinçennovymirnomu prostori neparno] rozmirnosti.
Analohiçnym çynom budugt\sq çotyry proektory u skinçennovymirnomu
prostori H parno] rozmirnosti.
Dlq fiksovanoho vektora uzahal\neno] rozmirnosti, vidminnoho vid (2; 1, 1,
1,O1), budu[mo zobraΩennq takym çynom:
1) vykorystovugçy rivnist\ slidu, znaxodymo znaçennq λ;
2) pidstavlq[mo znaçennq λ v otrymani systemy ta perevirq[mo obmeΩennq
na Bj , C j (qkwo systema ne ma[ rozv’qzku çy obmeΩennq ne vykonu[t\sq, to
dlq danoho vektora zobraΩennq nema[).
Zastosovugçy cg sxemu, moΩna otrymaty qvni formuly nezvidnyx zobra-
Ωen\ ortoproektoriv dlq riznyx vektoriv uzahal\neno] rozmirnosti.
Lema 1. Navedeni nyΩçe qvni formuly çetvirky ortoproektoriv P P1 4, ,… ,
wo zadovol\nqgt\ linijne spivvidnoßennq (1), z toçnistg do unitarno] ekviva-
lentnosti, vyçerpugt\ vsg mnoΩynu moΩlyvyx zobraΩen\.
Dovedennq. Dlq vektoriv uzahal\neno] rozmirnosti, opysanyx u perßomu
punkti, zapyßemo qvni formuly zobraΩen\ ortoproektoriv:
1. Dlq seri] vektoriv uzahal\neno] rozmirnosti d k( , )2 1 1+ = (2k + 1; k + 1, k,
k, k ), k ∈N :
ε1 1= , ε ε ε2 3 4 0= = = , λ
α α α
= −
−
+
2
2
2 2 1
1
( )k
.
Vidpovidno
γ
λ α λ α α
αj
j j j j
=
− − −( ) − − − −( )( ) ( ) ( ) ( )
(
2 1 1 2 1 1
2 2
4
1 jj j− − −( ) − +( )1 1 1 4) ( ) ( )λ α α α
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
260 A. A. GSENKO
′ =
− − −( ) − − − −( )γ
λ α λ α α
αj
j j j j( ) ( ) ( ) ( )
(
2 1 1 2 1 1
2
1
4 22 1 1 1 4j j− − −( ) − +( )) ( ) ( )λ α α α
,
β
λ α α α λ α α
α λ α αj
j j j j
j j
=
− + + − +
− +
( ( )) ( )
(
2 2
4 2
2 3 2
2 2 ++ α3)
,
′ =
− + + − +
− +
β
λ α α α λ α α
α λ α αj
j j j j
j j
( ( )) ( )
(
2 2
4 2
2 3 3
3 22 3+ α )
ta obmeΩennq na k :
k <
+
−
α α
α α
2 3
4 12( )
, k <
− +
α
α α α
2
1 22( )
.
2. Dlq seri] d k( , )2 1 2+ = (2k + 1; k, k + 1, k, k ) :
ε2 1= , ε ε ε1 3 4 0= = = , λ
α α α
= −
−
+2
2
2 2 1
2
( )k
.
Vidpovidno
γ
λ α α λ α α α
j
j j j j
=
− − − −( ) − − − − +( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 1 2 1 12 2 4 ))
( ) ( ) ( )
( )
− − − −( ) − +( )α λ α α α α1 2 1 42 2 1 1j j
,
′ =
− − − −( ) − − − − +
γ
λ α α λ α α α
j
j j j j( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 1 2 1 12 2 11
4 2 1 42 2 1 1
)
( ) ( ) ( )
( )
− − − −( ) − +( )α λ α α α αj j
,
β
λ α α λ α
α λ α α αj
j j j j
j j
=
− + −
− + −
( ) ( )
( )
2 2
4 2
3
2 3 2
,
′ =
− + − + −
− + −
β
λ α α λ α α α
α λ α αj
j j j j
j j
( ) ( )
(
2 2
4 2
3 3 2
3 3 αα2 )
ta obmeΩennq na k :
k <
− −
−
α α α
α α
2 3
3 22( )
, k <
− +
α
α α α
1
1 22( )
.
3. Dlq seri] d k( , )2 1 3+ = (2k + 1; k, k, k + 1, k ) :
ε3 1= , ε ε ε1 2 4 0= = = , λ
α α α
= −
−
+2
2
2 2 1
3
( )n
.
Vidpovidno
γ
λ α α λ α α α
j
j j j j
=
− − − −( ) − − − − +( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 1 2 1 13 3 4 ))
( ) ( ) ( )
( )
− − − −( ) − +( )α λ α α α α1 3 1 42 2 1 1j j
,
′ =
− − − −( ) − − − − +
γ
λ α α λ α α α
j
j j j j( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 1 2 1 13 3 11
4 3 1 42 2 1 1
)
( ) ( ) ( )
( )
− − − −( ) − +( )α λ α α α αj j
,
β
λ α α λ α α α
α λ α α αj
j j j j
j j
=
− + − + −
− + −
( ) ( )
(
2 2
4 2
2 2 3
2 2 33)
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
ÇETVIRKY ORTOPROEKTORIV, WO POV’QZANI LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM 261
′ =
− + −
− + −
β
λ α α λ α
α λ α α αj
j j j j
j j
( ) ( )
( )
2 2
4 2
2
3 2 3
ta obmeΩennq na k :
k <
− +
α
α α α
1
1 32( )
.
4. Dlq seri] d k( , )2 1 4+ = (2k + 1; k, k, k, k + 1) :
ε4 1= , ε ε ε1 2 3 0= = = , λ
α α α
= −
−
+2
2
2 2 1
4
( )n
.
Vidpovidno
γ
λ α λ α α
αj
j j j j
=
− − −( ) − − − −( )( ) ( ) ( ) ( )
(
2 1 1 2 1 1
2 2
4
1 jj j− − −( ) − +( )1 1 1 4) ( ) ( )λ α α α
,
′ =
− − −( ) − − − −( )γ
λ α λ α α
αj
j j j j( ) ( ) ( ) ( )
(
2 1 1 2 1 1
2
1
4 22 1 1 1 4j j− − −( ) − +( )) ( ) ( )λ α α α
,
β
λ α α α λ α α
α λ α αj
j j j j
j j
=
− + +( ) − +
− +
2 2
4 2
2 3 2
2 2
( ) ( )
( ++ α3)
,
′ =
− + +( ) − +
− +
β
λ α α α λ α α
α λ α αj
j j j j
j j
2 2
4 2
2 3 3
3
( ) ( )
( 22 3+ α )
ta obmeΩennq na k :
qkwo α α2 3+ > α α1 4+ , to k <
− +
α
α α α
1
1 42( )
; qkwo Ω α α2 3+ ≤
≤ α α1 4+ , to k ∈N .
5. Dlq seri] d k( , )2 1 5+ = (2k + 1; k, k, k, k ) :
ε ε ε ε1 2 3 4 0= = = = , λ
α α
= −
+2 2 2 1( )k
.
Vidpovidno
γ
λ α λ α α
αj
j j j j
=
− − −( ) − − − −( )( ) ( ) ( ) ( )
(
2 1 1 2 1 1
2 2
4
1 jj j− − −( ) − +( )1 1 1 4) ( ) ( )λ α α α
,
′ =
− − −( ) − − − −( )γ
λ α λ α α
αj
j j j j( ) ( ) ( ) ( )
(
2 1 1 2 1 1
2
1
4 22 1 1 1 4j j− − −( ) − +( )) ( ) ( )λ α α α
,
β
λ α α α λ α α
α λ α αj
j j j j
j j
=
− + +( ) − +
− +
2 2
4 2
2 3 2
2 2
( ) ( )
( ++ α3)
,
′ =
− + +( ) − +
− +
β
λ α α α λ α α
α λ α αj
j j j j
j j
2 2
4 2
2 3 3
3
( ) ( )
( 22 3+ α )
ta obmeΩennq na k :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
262 A. A. GSENKO
dlq λ
α α
= −
−
2 2 4 1( )k
k <
−
α
α α
4
44
;
dlq λ
α α
= −
+
2 2 4 1( )k
, qkwo α α2 3+ > α α1 4+ , to k <
<
α α
α α α
1 4
1 42 4
+
− +( )
, k <
−
−
α α
α α
4
44
, k <
−
α
α α
2
24
, qkwo α α2 3+ ≤ α α1 4+ ,
to k <
−
−
α α
α α
4
44
, k <
−
α
α α
2
24
.
6. Dlq seri] d k( , )2 1 = (2k, k, k, k, k – 1 ) :
ε1 1= , ε ε ε2 3 4 0= = = , λ
α α
= −
2 2
4
n
.
Vidpovidno
γ
λ α α λ α
α λ α α αi
i i i i
i i
=
− + −
− + −
( ) ( )
( )
2 2
4 2
4
1 4 1
,
′ =
− + − + −
− + −
γ
λ α α λ α α α
α λ α αi
i i i i
i i
( ) ( )
(
2 2
4 2
4 4 1
4 4 αα1)
,
β
λ α α λ α α α
i
i i i i
=
− − − −( ) − − − − −(( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 11 1 3))
− − − −( ) − +( )α λ α α α α2 1 3 22 2 1 1( ) ( ) ( )i i
,
′ =
− − − −( ) − − − − −
β
λ α α λ α α α
i
i i i i( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 11 1 2(( )
− − − −( ) − +( )α λ α α α α3 1 3 22 2 1 1( ) ( ) ( )i i
ta obmeΩennq na k :
k <
−
α
α α
4
4 1
, k <
− +
α
α α α
4
1 22 ( )
.
7. Dlq seri] d k( , )2 2 = (2k, k – 1, k, k, k ) :
ε3 1= , ε ε ε1 2 4 0= = = , λ
α α
= −
2 2
1
n
.
Vidpovidno
γ
λ α α λ α α α
α λj
j j j j
j
=
− − +( ) − − + −( )
−
2 1 2 1
2 2
1 1 4
1
( ) ( )
(( ) ( )j − +( ) − +( )1 1 1 4α α α α
,
′ =
− − +( ) − −( )
− −
γ
λ α α λ α
α λj
j j j j
j j
2 1 2 1
2 2 1
1
4
( ) ( )
( )αα α α α+( ) − +( )1 1 4( )
,
β
λ α α λ α α α
j
j j j j
=
− − − −( ) − − − − +( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 1 2 1 14 4 3))
( ) ( ) ( )
( )
− − − −( ) − +( )α λ α α α α2 4 3 22 2 1 1j j
,
′ =
− − − −( ) − − − − +
β
λ α α λ α α α
j
j j j j( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 1 2 1 14 4 22
3 4 3 22 2 1 1
)
( ) ( ) ( )
( )
− − − −( ) − +( )α λ α α α αj j
ta obmeΩennq na k :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
ÇETVIRKY ORTOPROEKTORIV, WO POV’QZANI LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM 263
qkwo α α1 4+ > α α2 3+ , to k <
α
α α α
1
4 12 ( )+ −
, qkwo Ω α α1 4+ ≤
≤ α α2 3+ , to k ∈N .
8. Dlq seri] d k( , )2 3 = (2k, k, k – 1, k, k ) :
ε3 1= , ε ε ε1 2 4 0= = = , λ
α α
= −
2 2
2
n
.
Vidpovidno
γ
λ α α λ α α α
j
j j j j
=
− − − −( ) − − − − −(( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 13 3 4))
− − − −( ) − +( )α λ α α α α1 3 1 42 2 1 1( ) ( ) ( )j j
,
′ =
− − − −( ) − − − − −
γ
λ α α λ α α α
j
j j j j( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 13 3 1(( )
− − − −( ) − +( )α λ α α α α4 3 1 42 2 1 1( ) ( ) ( )j j
,
β
λ α α λ α α α
α λ α αj
j j j j
j j
=
− +( ) − + −
− + −
2 2
2 2
2 2 3
2 2
( )
( ) (( )α α3 2+( ) ,
′ =
− +( ) −
− + − +
β
λ α α λ α
α λ α α α αj
j j j j
j j
2 2
2 2
2
3 2 3
( )
( ) ( 22 )( )
ta obmeΩennq na k :
k <
− +
α
α α α
2
1 32 ( )
.
9. Dlq seri] d k( , )2 4 = (2k, k, k, k – 1, k ) :
ε1 1= , ε ε ε2 3 4 0= = = , λ
α α
= −
2 2
3
n
.
Vidpovidno
γ
λ α α λ α α α
j
j n j n
=
− − − −( ) − − − − +( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 1 2 1 12 2 4 ))
( ) ( ) ( )
( )
− − − −( ) − +( )α λ α α α α1 2 1 42 2 1 1j n
,
′ =
− − − −( ) − − − − +
γ
λ α α λ α α α
j
j n j n( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 1 2 1 12 2 11
4 2 1 42 2 1 1
)
( ) ( ) ( )
( )
− − − −( ) − +( )α λ α α α αj n
,
β
λ α α λ α
α λ α α α αj
j j j j
j j
=
− +( ) −
− + − +
2 2
2 2
3
2 3 3 2
( )
( ) ( ))( ) ,
′ =
− +( ) − + −
− +
β
λ α α λ α α α
α λ α αj
j j j j
j j
2 2
2 2
3 3 2
3 3
( )
( ) −− +( )( )α α3 2
ta obmeΩennq na k :
k <
− +
α
α α α
3
1 32 ( )
, k <
−
α
α α
3
3 2
.
Takym çynom my pobuduvaly zobraΩennq dlq vsix moΩlyvyx vektoriv uza-
hal\neno] rozmirnosti. Oskil\ky mnoΩyna znaçen\ λ ta obmeΩennq na rozmir-
nosti zobraΩen\ zbihagt\sq z vidpovidnymy znaçennqmy, opysanymy v roboti [3],
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
264 A. A. GSENKO
to pobudovani zobraΩennq dlq çetvirky ortoproektoriv P P1 4, ,… , wo zado-
vol\nqgt\ linijne spivvidnoßennq (1), z toçnistg do unitarno] ekvivalentnosti,
vyçerpugt\ vsg mnoΩynu moΩlyvyx zobraΩen\.
Lemu dovedeno.
Navedeni qvni formuly dlq naboriv ortoproektoriv ta lemaO1 dovodqt\ teo-
remuO1.
1. Albeverio S., Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. On functions on graphs and representations of a certain
class of *-algebras // J. Algebra. – 2007. – 308. – P. 567 – 582.
2. Kruhlqk S. A., Rabanovyç V.Y., Samojlenko G. S. O summax proektorov // Funkcyon. analyz
y eho pryl. – 2002. – 36, v¥p. 3. – S. 20 – 35.
3. Gsenko K. A. Pro çetvirky proektoriv, pov’qzanyx linijnym spivvidnoßennqm // Ukr. mat.
Ωurn. – 2006. – 58, # 9. – S. 1289 – 1295.
4. Kyryçenko A. A. Pro linijni kombinaci] ortoproektoriv // Uçen. zap. Tavr. nac. un-ta. – 2002.
– 54, # 2. – S. 31 – 39.
5. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representations of finitely presented *-
algebras. 1. Representations by bounded operators // Rev. Math. and Math. Phys. – Amsterdam:
Harwood Acad. Publ., 1999. – 11, Pt. 1. – 261 p.
6. Kruglyak S. A., Nazarova L. A., Roiter A. V. On regular locally scalar representations of the graph 4
in Hilbert spaces // arXiv: math. RT/0610931.
OderΩano 21.09.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-2861 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:42Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/23/291362c5abe3f4f22fa8e4ea61e4ad23.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28612020-03-18T19:39:03Z Quadruples of orthoprojectors connected by a linear relationship Четвірки ортопроекторів, що пов'язані лінійним співвідношенням Yusenko, A. A. Юсенко, А. А. In the explicit form, we deduce formulas for all quadruples of orthoprojectors $P_1, P_2, P_3$, and $P_4$ irreducible to within unitary equivalence and connected by the linear relationship $α_1 P_1 + α_2 P_2 + α_3 P_3 + α_4 P_4 = λ I$, where $(α_1, α_2, α_3, α_4) ∈ ℝ^{+}$. Получены формулы в явном виде для всех неприводимых, с точностью до унитарной эквивалентности, четверок ортопроекторов $P_1, P_2, P_3, P_4$, связанных линейным соотношением $α_1 P_1 + α_2 P_2 + α_3 P_3 + α_4 P_4 = λ I$, где $(α_1, α_2, α_3, α_4) ∈ ℝ^{+}$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2861 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 2 (2010); 255–264 Український математичний журнал; Том 62 № 2 (2010); 255–264 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2861/2474 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2861/2475 Copyright (c) 2010 Yusenko A. A. |
| spellingShingle | Yusenko, A. A. Юсенко, А. А. Quadruples of orthoprojectors connected by a linear relationship |
| title | Quadruples of orthoprojectors connected by a linear relationship |
| title_alt | Четвірки ортопроекторів, що пов'язані лінійним співвідношенням |
| title_full | Quadruples of orthoprojectors connected by a linear relationship |
| title_fullStr | Quadruples of orthoprojectors connected by a linear relationship |
| title_full_unstemmed | Quadruples of orthoprojectors connected by a linear relationship |
| title_short | Quadruples of orthoprojectors connected by a linear relationship |
| title_sort | quadruples of orthoprojectors connected by a linear relationship |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2861 |
| work_keys_str_mv | AT yusenkoaa quadruplesoforthoprojectorsconnectedbyalinearrelationship AT ûsenkoaa quadruplesoforthoprojectorsconnectedbyalinearrelationship AT yusenkoaa četvírkiortoproektorívŝopov039âzanílíníjnimspívvídnošennâm AT ûsenkoaa četvírkiortoproektorívŝopov039âzanílíníjnimspívvídnošennâm |