Nonuniqueness of the solution of the gellerstedt space problem for one class of many-dimensional hyperbolic-elliptic equations
It is shown that the solution of the Gellerstedt space problem is not unique for one class of multidimensional hyperbolic-elliptic equations.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2862 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508851316457472 |
|---|---|
| author | Aldashev, S. A. Алдашев, С. А. Алдашев, С. А. |
| author_facet | Aldashev, S. A. Алдашев, С. А. Алдашев, С. А. |
| author_sort | Aldashev, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:39:03Z |
| description | It is shown that the solution of the Gellerstedt space problem is not unique for one class of multidimensional hyperbolic-elliptic equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.956
С. А. Алдашев (Актюб. ун-т, Актобе, Казахстан)
НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ
ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ ГЕЛЛЕРСТЕДТА
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МНОГОМЕРНЫХ
ГИПЕРБОЛО-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
We show nonuniqueness of a solution of the Gellerstedt spatial problem for a class of multidimensional
hyperbolic elliptic equations.
Показано неєдинiсть розв’язку просторової задачi Геллерстедта для одного класу багатовимiрних гiпер-
боло-елiптичних рiвнянь.
Проблема корректности смешанных задач для гиперболо-эллиптических уравне-
ний в многомерных областях в настоящее время остается открытой [1, 2]. В данной
работе показано, что однородная пространственная задача Геллерстедта для одно-
го класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений имеет бесчисленное
множество нетривиальных решений.
Пусть D — конечная область евклидова пространства Em+1 точек (x1, . . . , xm, t),
ограниченная в полупространстве t > 0 сферической поверхностью Γ: |x|2 + t2 =
= 1, а при t < 0 конусами K0 : |x| = −t, K1 : |x| = 1 + t, −1/2 ≤ t ≤ 0, где |x| —
длина вектора x = (x1, . . . , xm).
Обозначим через D+ и D− части области D, лежащие соответственно в полу-
пространствах t > 0 и t < 0, через S — общую часть границ областей D+, D−,
представляющих множество {t = 0, 0 < |x| < 1} точек из Em. Часть конусов K0,
K1, ограничивающих области D−, обозначим через S0, S1 соответственно.
В области D рассмотрим многомерные гиперболо-эллиптические уравнения
∆xu + sgn tutt +
m∑
i=1
ai(x, t)uxi + b(x, t)ut + c(x, t)u = 0, (1)
где ∆x — оператор Лапласа по переменным x1, . . . , xm, m ≥ 2.
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1, . . . , xm, t к
сферическим r, θ1, . . . , θm−1, t, r ≥ 0, 0 ≤ θ1 < 2π, 0 ≤ θi ≤ π, i = 2, . . . ,m− 1,
θ = (θ1, . . . , θm−1).
В [1, 2] в качестве многомерного аналога задачи Геллерстедта для уравнения (1)
предложена следующая задача.
Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области D при t 6= 0 из класса
C(D) ∩ C2(D+ ∪D−), удовлетворяющее краевым условиям
u |Γ = 0, u |S0 = 0. (2)
Пусть {Y k
n,m(θ)} — система линейно независимых сферических функций по-
рядка n, 1 ≤ k ≤ kn, (m− 2)!n!kn = (n+m−3)!(2n+m−2), W l
2(S), l = 0, 1, . . . ,
— пространство Соболева.
c© С. А. АЛДАШЕВ, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2 265
266 С. А. АЛДАШЕВ
Через ak
in(r, t), âk
in(r, t), bk
n(r, t), ck
n(r, t), hk
n обозначим коэффициенты раз-
ложения в ряды по сферическим функциям Y k
n,m(θ) соответственно функций
ai(r, θ, t)h(θ), ai
xi
r
h, b(r, θ, t)h, c(r, θ, t)h, h(θ), i = 1, . . . ,m, причем h(θ) ∈
∈ C∞(H), H — единичная сфера в Em.
Если ai(x, t), b(x, t), c(x, t) ∈ W l
2(D
+ ∪ D−), i = 1, . . . ,m, l ≥ m + 1, то
справедлива следующая теорема.
Теорема. Задача 1 имеет бесчисленное множество нетривиальных решений.
Доказательство. В сферических координатах уравнение (1) в области D+
имеет вид [3, 4]
urr +
m− 1
r
ur −
1
r2
δu + utt +
m∑
i=1
ai(r, θ, t)uxi
+ b(r, θ, t)ut + c(r, θ, t)u = 0, (3)
где
δ ≡ −
m−1∑
j=1
1
gj sinm−j−1 θj
∂
∂θj
(sinm−j−1 θj),
g1 = 1, gj = (sin θ1 . . . sin θj−1)2, j > 1.
Решение задачи 1 в области D+ будем искать в виде
u(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
ūk
n(r, t)Y k
n,m(θ), (4)
где ūk
n(r, t) — функции, подлежащие определению.
Подставив (4) в (3), аналогично [3, 5] получим уравнение вида
h1
0ū
1
0rr + h1
0u
1
0tt +
(
m− 1
r
h1
0 +
m∑
i=1
â1
i0
)
ū1
0r + b1
0ū
1
0t + c1
0ū
1
0 +
+
∞∑
n=1
kn∑
k=1
{
hk
nūk
nrr + hk
nūk
ntt +
(
m− 1
r
hk
n +
m∑
i=1
âk
in
)
ūk
nr + bk
nūk
nt +
+
[
ck
n −
λnhk
n
r2
+
m∑
i=1
(
ak
in−1 − nâk
in
)]
ūk
n
}
= 0, λn = n(n + m− 2). (5)
Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений
h1
0ū
1
0rr + h1
0ū
1
0tt +
m− 1
r
h1
0ū
1
0r = 0, (6)
hk
1 ūk
1rr + hk
1 ūk
1tt +
m− 1
r
hk
1 ūk
1r −
λ1
r2
hk
1 ūk
1 =
= − 1
k1
(
m∑
i=1
â1
i0ū
1
0r + b1
0ū
1
0t + c1
0ū
1
0
)
, n = 1, k = 1, k1, (7)
hk
nūk
nrr + hk
nūk
ntt +
m− 1
r
hk
nūk
nr −
λn
r2
hk
nūk
n =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ ГЕЛЛЕРСТЕДТА . . . 267
= − 1
kn
kn−1∑
k=1
{
m∑
i=1
âk
in−1ū
k
n−1r + bk
n−1ū
k
n−1t+
+
[
ck
n−1 +
m∑
i=1
(
ak
in−2 − (n− 1) âk
in−1
)]
ūk
n−1
}
, k = 1, kn, n = 2, 3, . . . . (8)
Нетрудно убедиться, что если {ūk
n}, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , — решение системы
(6) – (8), то оно является и решением уравнения (5).
Учитывая ортогональность сферических функций {Y k
n,m(θ)} [4], первое из
условий (2) записываем в виде
ūk
n
(
r,
√
1− r2
)
= 0, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , 0 ≤ r ≤ 1. (9)
Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (6) – (8) можно представить в
виде
ūk
nrr + ūk
ntt +
m− 1
r
ūk
nr −
λn
r2
ūk
n = f̄k
n(r, t), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , (10)
где f̄k
n(r, t) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом
f̄1
0 (r, t) ≡ 0.
Выполняя в (9), (10) замену переменных ūk
n(r, t) = r(1−m)/2uk
n(r, t), а затем
полагая r = ρ cos ϕ, t = ρ sinϕ, ρ ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ π, получаем
υk
nρρ +
1
ρ
υk
nρ +
1
ρ2
υk
nϕϕ +
λn
ρ2 cos2 ϕ
υk
n = fk
n(ρ, ϕ), (11)
υk
n(1, ϕ) = 0,
υk
n(ρ, ϕ) = uk
n(ρ cos ϕ, ρ sinϕ), λn =
(m− 1)(3−m)− 4λn
4
, (12)
fk
n(ρ, ϕ) = (ρ cos ϕ)(m−1)/2
f̄k
n(ρ cos ϕ, ρ sinϕ), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . .
Сначала рассмотрим случай n = 0, k = 1. Тогда из (11), (12) находим
υ1
0ρρ +
1
ρ
υ1
0ρ +
1
ρ2
υ1
0ϕϕ +
λ0
ρ2 cos2 ϕ
υ1
0 = 0, (13)
υ1
0(1, ϕ) = 0. (14)
Решение задачи (13), (14) будем искать в виде
υ1
0(ρ, ϕ) = R(ρ)φ(ϕ). (15)
Подставляя (15) в (13), имеем
ρ2Rρρ + ρRρ − µR = 0, (16)
φϕϕ +
(
µ +
λ0
cos2 ϕ
)
φ = 0, µ = const . (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
268 С. А. АЛДАШЕВ
Ограниченным решением уравнения (16) является функция
R(ρ) = ρs, µ = s2, 0 ≤ s = const .
Далее, уравнение (17) запишем следующим образом:
φϕϕ =
[
l(l − 1)
cos2 ϕ
− s2
]
φ, l = −m− 3
2
. (18)
Выполняя в уравнении (18) замену переменных ξ = sin2 ϕ, приходим к уравне-
нию
ξ(ξ − 1)gξξ +
[
(α + β + 1)ξ − 1
2
]
gξ + αβg = 0,
g(ξ) =
φ(ϕ)
cosl ϕ
, α =
l + s
2
, β =
l − s
2
,
общее решение которого представимо в виде [6]
gs(ξ) = c1sF
(
α, β,
1
2
; ξ
)
+ c2s
√
ξF
(
α +
1
2
, β +
1
2
,
3
2
; ξ
)
(19)
и периодическое по ϕ, если s = 0, 1, . . . , где c1s, c2s — произвольные независимые
постоянные, а F (α, β, γ; ξ) — гипергеометрическая функция Гаусса.
Таким образом, в силу (15), (19) общее решение уравнения (13) принимает вид
υ1
0(ρ, ϕ) =
∞∑
s=0
ρs cosl ϕ
[
c1sF
(
α, β,
1
2
; sin2 ϕ
)
+
+c2s sinϕF
(
α +
1
2
, β +
1
2
,
3
2
; sin2 ϕ
)]
. (20)
Поскольку
∣∣∣υ1
0
(
ρ,
π
2
)∣∣∣ < ∞, из (20) имеем
c1sF
(
α, β,
1
2
; 1
)
+ c2sF
(
α +
1
2
, β +
1
2
,
3
2
; 1
)
= 0
или
c2s = − 2c1sΓ(1− α)Γ(1− β)
Γ(1/2− α)Γ(1/2− β)
, (21)
где Γ(z) — гамма-функция.
Подставляя (21) в (20), получаем
υ1
0(ρ, ϕ) =
∞∑
s=0
c1sρ
s cosl ϕ
[
F
(
α, β,
1
2
; sin2 ϕ
)
−
− 2Γ(1− α)Γ(1− β)
Γ(1/2− α)Γ(1/2− β)
sinϕF
(
α +
1
2
, β +
1
2
,
3
2
; sin2 ϕ
)]
. (22)
Подчинив функцию (22) граничному условию (14), получим c1s = 0, s =
= 0, 1, . . . , и, значит, υ1
0(r, ϕ) ≡ 0, т. е. u1
0(r, t) ≡ 0. Отсюда следует f
k
1 (r, t) ≡ 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ ГЕЛЛЕРСТЕДТА . . . 269
Далее, из задачи (11), (12) получаем задачу
υk
1ρρ +
1
ρ
υk
1ρ +
1
ρ2
υk
1ϕϕ +
λ1
ρ2 cos2 ϕ
υk
1 = 0,
υk
1 (ρ, ϕ) = 0, n = 1, k = 1, k1,
решение которой также υk
1 (ρ, ϕ) ≡ 0.
Продолжая этот процесс, находим υk
n(ρ, ϕ) ≡ 0, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . .
Таким образом, u(r, θ, t) ≡ 0 ∀(r, θ, t) ∈ D̄+.
Следовательно, задача 1 сводится к задаче Дарбу в области D− для уравнения
∆xu− utt +
m∑
i=1
ai(x, t)uxi
+ b(x, t)ut + c(x, t)u = 0
c данными u |S = 0, u |S0 = 0, имеющей бесчисленное множество нетривиальных
решений [3, 5].
Теорема доказана.
1. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. – М.: Изд-во АН СССР, 1959. – 164 с.
2. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. – М.: Наука, 2006. –
287 с.
3. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. –
Алматы: Гылым, 1994. – 170 с.
4. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. – М.: Физматгиз,
1962. – 254 с.
5. Алдашев С. А. О задачах Дарбу для одного класса многомерных гиперболических уравнений //
Дифференц. уравнения. – 1998. – 34, № 1. – С. 64 – 68.
6. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1965. –
703 с.
Получено 17.06.09,
после доработки — 26.08.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2862 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:46Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8d/ccfe57add23b7a7620fd81e8f0dc1f8d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28622020-03-18T19:39:03Z Nonuniqueness of the solution of the gellerstedt space problem for one class of many-dimensional hyperbolic-elliptic equations Неединственность решения пространственной задачи Геллерстедта для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений Aldashev, S. A. Алдашев, С. А. Алдашев, С. А. It is shown that the solution of the Gellerstedt space problem is not unique for one class of multidimensional hyperbolic-elliptic equations. Показано неєдиність розв'язку просторової задачі Геллерстедта для одного класу багатовимірних гіперболо-еліптичних рівнянь. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2862 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 2 (2010); 265–269 Український математичний журнал; Том 62 № 2 (2010); 265–269 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2862/2476 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2862/2477 Copyright (c) 2010 Aldashev S. A. |
| spellingShingle | Aldashev, S. A. Алдашев, С. А. Алдашев, С. А. Nonuniqueness of the solution of the gellerstedt space problem for one class of many-dimensional hyperbolic-elliptic equations |
| title | Nonuniqueness of the solution of the gellerstedt space problem for one class of many-dimensional hyperbolic-elliptic equations |
| title_alt | Неединственность решения пространственной задачи Геллерстедта для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений |
| title_full | Nonuniqueness of the solution of the gellerstedt space problem for one class of many-dimensional hyperbolic-elliptic equations |
| title_fullStr | Nonuniqueness of the solution of the gellerstedt space problem for one class of many-dimensional hyperbolic-elliptic equations |
| title_full_unstemmed | Nonuniqueness of the solution of the gellerstedt space problem for one class of many-dimensional hyperbolic-elliptic equations |
| title_short | Nonuniqueness of the solution of the gellerstedt space problem for one class of many-dimensional hyperbolic-elliptic equations |
| title_sort | nonuniqueness of the solution of the gellerstedt space problem for one class of many-dimensional hyperbolic-elliptic equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2862 |
| work_keys_str_mv | AT aldashevsa nonuniquenessofthesolutionofthegellerstedtspaceproblemforoneclassofmanydimensionalhyperbolicellipticequations AT aldaševsa nonuniquenessofthesolutionofthegellerstedtspaceproblemforoneclassofmanydimensionalhyperbolicellipticequations AT aldaševsa nonuniquenessofthesolutionofthegellerstedtspaceproblemforoneclassofmanydimensionalhyperbolicellipticequations AT aldashevsa needinstvennostʹrešeniâprostranstvennojzadačigellerstedtadlâodnogoklassamnogomernyhgiperboloélliptičeskihuravnenij AT aldaševsa needinstvennostʹrešeniâprostranstvennojzadačigellerstedtadlâodnogoklassamnogomernyhgiperboloélliptičeskihuravnenij AT aldaševsa needinstvennostʹrešeniâprostranstvennojzadačigellerstedtadlâodnogoklassamnogomernyhgiperboloélliptičeskihuravnenij |