Block-diagonal reduction of matrices over an $n$-simple Bézout domain $(n ≥ 3)$
It is known that a simple Bézout domain is the domain of elementary divisors if and only if it is 2-simple. The block-diagonal reduction of matrices over an $n$ -simple Bézout domain $(n ≥ 3)$ is realized.
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2864 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508851770490880 |
|---|---|
| author | Domsha, O.V. Zabavskii, B. V. Домша, О. В. Забавський, Б. В. |
| author_facet | Domsha, O.V. Zabavskii, B. V. Домша, О. В. Забавський, Б. В. |
| author_sort | Domsha, O.V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:39:03Z |
| description | It is known that a simple Bézout domain is the domain of elementary divisors if and only if it is 2-simple. The block-diagonal reduction of matrices over an $n$ -simple Bézout domain $(n ≥ 3)$ is realized. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 552.12
О. В. Домша, Б. В. Забавський (Львiв. нац. ун-т)
БЛОЧНО-ДIАГОНАЛЬНА РЕДУКЦIЯ МАТРИЦЬ
НАД n-ПРОСТОЮ ОБЛАСТЮ БЕЗУ (n ≥ 3)
It is known that simple Bezout domain is elementary divisors domain if and only if it is 2-simple. In this work
block-diagonal reduction of matrices over n-simple Bezout domain (n ≥ 3) is showed.
Известно, что простая область Безу является областью элементарных делителей тогда и только тогда,
когда она 2-простая. В работе показана блочно-диагональная редукция матриц над n-простой областью
Безу (n ≥ 3).
Нехай R — просте кiльце. Тодi для довiльного ненульового елемента a ∈ R RaR =
= R, тобто iснують такi елементи u1, u2, . . . , un, v1, v2, . . . , vn ∈ R, що u1av1 +
+ u2av2 + . . . + unavn = 1. Якщо для кожного ненульового елемента a ∈ R
iснує натуральне число n таке, що u1av1 + . . . + unavn = 1, до того ж число n є
найменшим зi всiх можливих, то кiльце R називається n-простим [1]. У роботi [2]
показано, що проста область Безу є областю елементарних дiльникiв тодi i тiльки
тодi, коли вона є 2-простою.
Нагадаємо, що права (лiва) область Безу — це область, в якiй довiльний скiнчен-
нопороджений правий (лiвий) iдеал є головним. Областю Безу називається область,
яка є правою i лiвою областю Безу одночасно [2].
Поставимо питання редукцiї матриць над n-простою областю Безу. У загально-
му випадку n ≥ 3 вiдповiддю на це питання є наступна теорема [3].
Теорема 1. Нехай R — n-проста область Безу (n ≥ 3), А — довiльна квадрат-
на матриця порядку m, m ≥ n. Тодi iснують зворотнi матрицi P, Q порядку m
такi, що
PAQ =
1 0 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0
0 1 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0 0 . . . 1 . . . 0 0 . . . 0
0 0 . . . 0 . . . A1 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
. . . Ak
0 0 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0 0 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0
,
де A1, . . . , Ak — деякi трикутнi матрицi порядку n.
Перш нiж доводити теорему, доведемо наступний результат.
Теорема 2. Нехай R — n-проста область. Тодi для довiльних ненульових
елементiв a1, a2, . . . , an ∈ R iснують такi елементи u1, . . . , un, v1, . . . , vn ∈ R,
що
u1a1v1 + u2a2v2 + . . . + unanvn = 1.
c© О. В. ДОМША, Б. В. ЗАБАВСЬКИЙ, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2 275
276 О. В. ДОМША, Б. В. ЗАБАВСЬКИЙ
Доведення. Оскiльки R — область i a1 6= 0, . . . , an 6= 0, то a1a2 . . . an 6= 0.
Внаслiдок того, що R є n-простою, iснують елементи x1, . . . , xn, y1, . . . , yn ∈ R
такi, що
x1a1 . . . any1 + . . . + xna1 . . . anyn = 1.
Покладемо
x1 = u1,
a2 . . . any1 = v1,
x2a1 = u2,
a3 . . . any2 = v2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x1a1 . . . an−1 = un,
yn = vn.
Тодi u1a1v1 + u2a2v2 + . . . + unanvn = 1, що й потрiбно було довести.
Область називається правою (лiвою) ермiтовою, якщо над даною областю всi
(1×2) ((2×1))-матрицi мають дiагональну редукцiю. Область Ермiта — це область,
яке є правою i лiвою ермiтовою [4].
Доведення теореми 1 проведемо iндукцiєю по числу m. Нехай m = n. Оскiль-
ки область Безу є областю Ермiта, то можна вважати, що матриця A має вигляд
A =
a11 0 0 . . . 0
a21 a22 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
an1 an2 an3 . . . ann
.
Розглянемо можливi випадки.
1. Нехай a11 = 0, тобто матриця A має вигляд
A =
0 0 0 . . . 0
a21 a22 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
an1 an2 an3 . . . ann
.
Оскiльки R — область Ермiта, то для матрицi
A′ =
a21 a22 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
an1 an2 an3 . . . ann
iснує зворотна матриця Q′ порядку n− 1 така, що A′Q′ = B — трикутна матриця.
Отже, матриця A еквiвалентна матрицi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
БЛОЧНО-ДIАГОНАЛЬНА РЕДУКЦIЯ МАТРИЦЬ НАД n-ПРОСТОЮ ОБЛАСТЮ БЕЗУ (n ≥ 3) 277B O
0 0
,
що й потрiбно було довести.
2. Нехай aii = 0, де i > 1, тобто матриця A має вигляд
A =
a11 0 . . . 0 0 0 . . . 0
a21 a22 . . . 0 0 0 . . . 0
ai1 ai2 . . . aii−1 0 0 . . . 0
ai+11 ai+12 . . . 0 0 ai+1i+1 . . . 0
...
... . . .
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ani−1 ani ani+1 . . . ann
.
Тодi для рядка ai1, ai2, . . . , aii−1 iснує зворотна матриця Q′′ порядку i− 1 така, що
(ai1, ai2, . . . , aii−1)Q′′ = (a′i1, 0, . . . , 0) i матриця A еквiвалентна матрицi
A′ =
a11 0 . . . 0 0
a21 a22 . . . 0 0
...
... . . .
. . .
...
a′i1 0 . . . 0 0
...
... . . .
. . .
...
an1 an2 . . . ann−1 ann
.
Переставляючи рядки, бачимо, що A′ еквiвалентна матрицi
a11 0 . . . 0
a′i1 0 . . . 0
...
... . . .
...
an1 an2 . . . ann
.
Оскiльки для стовпчика
(
a11
a′i1
)
iснує зворотна матриця P така, що
P
(
a11
a′i1
)
=
(
0
a′′i1
)
для деякого a′′i1 ∈ R, то матриця A′, а отже i матриця A, еквiвалентна матрицi(
B O
0 0
)
,
де B — деяка трикутна матриця порядку m = n, що й доводить твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
278 О. В. ДОМША, Б. В. ЗАБАВСЬКИЙ
3. Нехай A з точнiстю до еквiвалентностi матриць має вигляд
a11 0 . . . 0 . . . 0
a21 a22 . . . 0 . . . 0
...
... . . .
...
. . .
...
ai1 ai2 . . . aii . . . 0
...
... . . .
...
. . .
...
an1 an2 . . . ani . . . ann
,
де a11 6= 0, a22 6= 0, . . . , ann 6= 0. Покажемо, що тодi iснує матриця T порядку n
така, що
AT =
ε1 0 . . . 0
0 ε2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . εn
для деяких елементiв ε1, ε2, . . . , εn ∈ R.
Нехай a21 6= 0. Оскiльки область Безу є областю Оре [2], то для елементiв
a21, a22 ∈ R iснують ненульовi елементи x, y ∈ R такi, що a21x = −a22y. Тодi
a11 0 . . . 0
a21 a22 . . . 0
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ann
x 0 0 . . . 0
y 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 1
=
=
a11 x 0 . . . 0
0 a22 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
an1 an2 an3 . . . ann
.
Очевидно, що a11x 6= 0. Отже, випадок a21 6= 0 зводиться до випадку, коли a21 = 0.
Продовжуючи даний процес, рухаючись вниз по матрицi, отримуємо матрицю T
таку, що
AT =
ε1 0 0 . . . 0
0 ε2 0 . . . 0
0 0 ε3 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . εn
,
де ε1 6= 0, ε2 6= 0, . . . , εn 6= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
БЛОЧНО-ДIАГОНАЛЬНА РЕДУКЦIЯ МАТРИЦЬ НАД n-ПРОСТОЮ ОБЛАСТЮ БЕЗУ (n ≥ 3) 279
Оскiльки область R є n-простою, то для елементiв ε1, ε2, . . . , εn iснують такi
u1, u2, . . . , un, v1, v2, . . . , vn ∈ R, що
u1ε1v1 + . . . + unεnvn = 1.
Тодi
(u1 . . . un)
ε1 0 0 . . . . . . 0
0 ε2 0 . . . . . . 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 . . . εn . . . 0
v1
...
vn
= 1.
Звiдси
(u1 . . . un)AT
v1
...
vn
= 1.
Нехай
T
v1
...
vn
=
w1
...
wn
для деяких елементiв w1, w2, . . . , wn ∈ R. З рiвностi
(u1 . . . un)
ε1 0 0 . . . . . . 0
0 ε2 0 . . . . . . 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 . . . εn . . . 0
v1
...
vn
= 1
випливає, що Rw1 + . . . + Rwn = R.
Оскiльки R — область Ермiта, то, згiдно з [4], рядок u1 . . . un i стовпчик
v1 . . . vn можна доповнити до зворотних матриць U i V вiдповiдно. Звiдси UAV =
=
1 ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
.
Очевидно, що матрицю UAV елементарними перетвореннями можна звести до
вигляду
1 0 0
...
0 A′
. Таким чином, базу iндукцiї доведено.
Iндукцiя за розмiрами матрицi завершує доведення теореми.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
280 О. В. ДОМША, Б. В. ЗАБАВСЬКИЙ
1. Olszewski J. On ideals of products of rings // Demonst. Math. Poland. – 1994. – 27, № 1. – P. 1 – 7.
2. Забавский Б. В. Простые кольца елементарных делителей // Мат. студ. – 2004. – 22, № 2. –
С. 129 – 133.
3. Zabavsky B. V. Almost diagonal matrices over n-simple Besout domains // Groups and Group Rings
(XI Bedlewo, Poland, June, 4). – 2005. – P. 22.
4. Amitsur S. A. Remarks of principal ideal rings // Osaka Math. J. – 1963. – 15. – P. 59 – 69.
5. Zabavsky B. V. Diagonalizability theorem for matrices over rings with finite stable range // Algebra and
Discrete Math. – 2005. – № 1. – P. 134 – 148.
Одержано 21.05.09,
пiсля доопрацювання — 26.11.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2864 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:47Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/25/b57b12a6561ab72e83cb39506e928225.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28642020-03-18T19:39:03Z Block-diagonal reduction of matrices over an $n$-simple Bézout domain $(n ≥ 3)$ Блочно-діагональна редукція матриць над $n$-простою областю Безу $(n ≥ 3)$ Domsha, O.V. Zabavskii, B. V. Домша, О. В. Забавський, Б. В. It is known that a simple Bézout domain is the domain of elementary divisors if and only if it is 2-simple. The block-diagonal reduction of matrices over an $n$ -simple Bézout domain $(n ≥ 3)$ is realized. Известно, что простая область Безу является областью элементарных делителей тогда и только тогда когда она 2-простая. В работе показана блочно-диагональная редукция матриц над $n$-простой областьк Безу $(n ≥ 3)$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2864 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 2 (2010); 275–280 Український математичний журнал; Том 62 № 2 (2010); 275–280 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2864/2480 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2864/2481 Copyright (c) 2010 Domsha O.V.; Zabavskii B. V. |
| spellingShingle | Domsha, O.V. Zabavskii, B. V. Домша, О. В. Забавський, Б. В. Block-diagonal reduction of matrices over an $n$-simple Bézout domain $(n ≥ 3)$ |
| title | Block-diagonal reduction of matrices over an $n$-simple Bézout domain $(n ≥ 3)$ |
| title_alt | Блочно-діагональна редукція матриць над $n$-простою
областю Безу $(n ≥ 3)$ |
| title_full | Block-diagonal reduction of matrices over an $n$-simple Bézout domain $(n ≥ 3)$ |
| title_fullStr | Block-diagonal reduction of matrices over an $n$-simple Bézout domain $(n ≥ 3)$ |
| title_full_unstemmed | Block-diagonal reduction of matrices over an $n$-simple Bézout domain $(n ≥ 3)$ |
| title_short | Block-diagonal reduction of matrices over an $n$-simple Bézout domain $(n ≥ 3)$ |
| title_sort | block-diagonal reduction of matrices over an $n$-simple bézout domain $(n ≥ 3)$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2864 |
| work_keys_str_mv | AT domshaov blockdiagonalreductionofmatricesoverannsimplebezoutdomainn3 AT zabavskiibv blockdiagonalreductionofmatricesoverannsimplebezoutdomainn3 AT domšaov blockdiagonalreductionofmatricesoverannsimplebezoutdomainn3 AT zabavsʹkijbv blockdiagonalreductionofmatricesoverannsimplebezoutdomainn3 AT domshaov bločnodíagonalʹnaredukcíâmatricʹnadnprostoûoblastûbezun3 AT zabavskiibv bločnodíagonalʹnaredukcíâmatricʹnadnprostoûoblastûbezun3 AT domšaov bločnodíagonalʹnaredukcíâmatricʹnadnprostoûoblastûbezun3 AT zabavsʹkijbv bločnodíagonalʹnaredukcíâmatricʹnadnprostoûoblastûbezun3 |