On conditions for the discreteness of the spectrum of a semiinfinite Jacobi matrix with zero diagonal
We establish sufficient conditions for the discreteness of the spectrum of a second-order self-adjoint difference operator generated by a semiinfinite Jacobi matrix with zero principal diagonal.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2866 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508855446798336 |
|---|---|
| author | Masmaliev, G. M. Khanmamedov, A. Kh. Масмалиев, Г. М. Ханмамедов, А. Х. Масмалиев, Г. М. Ханмамедов, А. Х. |
| author_facet | Masmaliev, G. M. Khanmamedov, A. Kh. Масмалиев, Г. М. Ханмамедов, А. Х. Масмалиев, Г. М. Ханмамедов, А. Х. |
| author_sort | Masmaliev, G. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:39:03Z |
| description | We establish sufficient conditions for the discreteness of the spectrum of a second-order self-adjoint difference operator generated by a semiinfinite Jacobi matrix with zero principal diagonal. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:31:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
Г. М. Масмалиев (Бак. ун-т, Азербайджан),
Аг. Х. Ханмамедов (Ин-т математики и механики НАН Азербайджана, Баку)
ОБ УСЛОВИЯХ ДИСКРЕТНОСТИ СПЕКТРА
ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ МАТРИЦЫ ЯКОБИ
С НУЛЕВОЙ ДИАГОНАЛЬЮ
Встановлено достатнi умови дискретностi спектра самоспряженого рiзницевого оператора другого по-
рядку, що породжений напiвнескiнченною матрицею Якобi, головна дiагональ якої складається з нулiв.
Встановлено достатнi умови дискретностi спектра самоспряженого рiзницевого оператора другого по-
рядку, що породжений напiвнескiнченною матрицею Якобi, головна дiагональ якої складається з нулiв.
Пусть α — некоторое целое число, а `2 [α,∞) — гильбертово пространство после-
довательностей y = {yn}∞α , такое, что
∑
n≥α
|yn|2 < ∞. Через Lα, L̃α обозначим
минимальные замкнутые операторы, порожденные в `2 [α,∞) соответственно раз-
ностными выражениями
(lαy)n = an−1yn−1 + anyn+1, an > 0, n ≥ α,(
l̃αy
)
n
= an−1yn−1 + bnyn + anyn+1, n ≥ α, b̄n = bn,
(1)
и граничным условием
yα−1 = 0. (2)
Будем предполагать операторы Lα, L̃α неограниченными и самосопряженными.
При этом область определения оператора Lα
(
L̃α
)
состоит [1] из тех y ∈ `2 [α,∞) ,
для которых lαy ∈ `2 [α,∞)
(
l̃αy ∈ `2 [α,∞)
)
. Достаточное условие самосопря-
женности оператора L̃α, и тем самым оператора Lα, дает теорема Карлемана (см.,
например, [1]).
Теорема 1. Если bn произвольны, а an таковы, что
∑
n≥α
1
an
= ∞, то
оператор L̃α самосопряжен.
В работе [2] (см. также [3]) на основании теоремы Реллиха [4] установлены
условия дискретности спектра полуограниченного оператора L̃α: самосопряжен-
ный оператор L̃α имеет чисто дискретный спектр, если выполняется одно из сле-
дующих условий:
1) bn − an − an−1 → +∞, n →∞;
2) bn − a2
n → +∞, n →∞.
Отметим также работу [5], в которой найдено достаточное условие дискретности
спектра оператора L̃α при an ≡ 1.
Заметим, что установленные в работах [2 – 5] условия не позволяют исследовать
дискретность спектра оператора Lα. Последний вопрос, насколько нам известно,
остается малоисследованным.
В настоящей работе получены достаточные условия дискретности спектра опе-
ратора Lα. Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема 2. Пусть an → +∞ при n → ∞ и оператор Lα самосопряжен.
Тогда спектр оператора Lα чисто дискретен, если выполняется одно из следую-
щих условий:
c© Г. М. МАСМАЛИЕВ, АГ. Х. ХАНМАМЕДОВ, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2 285
286 Г. М. МАСМАЛИЕВ, АГ. Х. ХАНМАМЕДОВ
lim
n→∞
{
aα+2n
aα+1+2n
,
aα+2+2n
aα+1+2n
}
= q+
α < 1, (3)
lim
n→∞
{
aα+2n
aα+1+2n
,
aα+2+2n
aα+1+2n
}
= q−α > 1. (4)
В первом случае число 0 является собственным значением оператора Lα, во
втором — не является его собственным значением.
Доказательство. Вначале будем считать, что вместо условий (3), (4) соответ-
ственно выполняются условия
sup
n≥0
{
aα+2n
aα+1+2n
,
aα+2+2n
aα+1+2n
}
= r+
α < 1, (3′)
inf
n≥0
{
aα+2n
aα+1+2n
,
aα+2+2n
aα+1+2n
}
= r−α > 1. (4′)
Для определенности докажем теорему для оператора L1. Обозначим через
`2 ([0,∞) ;C) гильбертово пространство вектор-последовательностей y =
{
y1,n,
y2,n
}∞
0
такое, что
∑
n≥α
{
|y1,n|2 + |y2,n|2
}
< ∞, со скалярным произведением
〈x, y〉 =
∑
n≥α
{x1,nȳ1,n + x2,nȳ2,n} .
Рассмотрим оператор L0. Положим
a1,n = a2n, n = 0, 1, . . . ,
a2,n = a2n+1, n = −1, 0, . . . ,
(5)
и введем минимальный замкнутый оператор L′0, действующий в `2 ([0,∞) ;C) по
формуле
(L′0y)1,n = a1,ny2,n + a2,n−1y2,n−1,
(L′0y)2,n = a1,ny1,n + a2,ny1,n+1, n = 0, 1, . . . ,
причем при подсчете (L′0y)1,0 полагаем, что y2,−1 = 0. В силу самосопряжен-
ности оператора L0 и формул (5) оператор L′0 является самосопряженным и его
область определения состоит из тех y = {y1,n, y2,n}∞0 ∈ `2 ([0,∞) ;C) , для кото-
рых
{
(L′0y)1,n , (L′0y)2,n
}∞
0
∈ `2 ([0,∞) ; C) .
Пусть унитарный оператор U из `2 [0,∞) в `2 ([0,∞) ;C) действует по формуле
U {yn}∞0 =
{
y2n, y2n+1
}∞
0
.
Легко видеть, что имеет место равенство L′0 = UL0U
−1, согласно которому
оператор L′0 унитарно эквивалентен L0.
Введем теперь максимальные операторы A и B в `2 ([0,∞) ;C) по формулам
(A y)1,n = a1,ny2,n, (A y)2,n = a1,ny1,n,
(B y)1,n = a2,n−1y2,n−1, (B y)2,n = a2,ny1,n+1, n = 0, 1, . . . ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
ОБ УСЛОВИЯХ ДИСКРЕТНОСТИ СПЕКТРА ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ МАТРИЦЫ ЯКОБИ . . . 287
причем при подсчете (By)1,0 полагаем, что y2,−1 = 0. Области определения опе-
раторов A и B состоят из тех y = {y1,n, y2,n}∞0 ∈ `2 ([0,∞) ;C) , для которых{
(Ay)1,n , (Ay)2,n
}∞
0
∈ `2 ([0,∞) ;C)
и {
(By)1,n , (By)2,n
}∞
0
∈ `2 ([0,∞) ;C)
соответственно. Заметим, что оператор A обратим, причем(
A−1y
)
1,n
= a−1
1,n
y2,n,
(
A−1y
)
2,n
= a−1
1,n
y1,n, n = 0, 1, . . . .
Поскольку an → +∞ при n → +∞, из формул (5) следует, что оператор A−1
является вполне непрерывным.
С другой стороны, (
A−1By
)
1,n
=
a2,n
a1,n
y1,n+1,
(
A−1By
)
1,n
=
a2,n−1
a1,n
y2,n−1, n = 0, 1, . . . , y2,−1 = 0.
Теперь предположим, что неравенство (4′) выполняется при α = 0. Тогда опе-
ратор A−1B является ограниченным, причем∥∥A−1B
∥∥ = sup
n≥0
{
a2,n
a1,n
,
a2,n
a2,n+1
}
< 1. (6)
Более того, оператор L′0 представим в виде
L′0 = A
(
E + A−1B
)
, (7)
где E — единичный оператор. В силу (6), (7) и обратимости оператора A оператор
L′0 имеет ограниченный обратный (L′0)
−1 =
(
E + A−1B
)−1
A−1. Поскольку опе-
ратор A−1 вполне непрерывен, последнее равенство влечет вполне непрерывность
оператора (L′0)
−1
. Отсюда следует, что спектр оператора L′0 дискретен и не содер-
жит точку λ = 0. В силу унитарной эквивалентности L0 и L′0 последнее свойство
имеет также оператор L0.
Пусть Rλ = (L0 − λE)−1 — резольвента оператора L0. Следуя [1], вводим
функцию Вейля m0(λ) = 〈Rλδ0, δ0〉 оператора L0, где δ0 = (1, 0, 0, . . .) ∈ `2 [0,∞).
Поскольку оператор L0 имеет чисто дискретный спектр, функция m0(λ) является
[2] мероморфной, причем ее полюсы совпадают с собственными значениями опе-
ратора L0 и m0(0) = 0.
Обозначим через m1(λ) функцию Вейля оператора L1. Известно [2], что имеет
мест равенство
m1(λ) = a−2
0
(
λ + m−1
0 (λ)
)
,
согласно которому m1(λ) тоже является мероморфной функцией, имеющей прос-
той полюс в точке λ = 0. Следовательно, спектр оператора L1 чисто дискретен и
содержит точку λ = 0.
Таким образом, если справедливо (4′) при α = 0, то оператор L1 имеет чисто
дискретный спектр, содержащий точку λ = 0. Однако оператор L1 не зависит от a0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
288 Г. М. МАСМАЛИЕВ, АГ. Х. ХАНМАМЕДОВ
и поэтому он заведомо имеет чисто дискретный спектр, содержащий точку λ = 0,
если выполняется (3′) при α = 1.
Пусть теперь выполняется условие (4′) при α = 1. Последнее равносильно
неравенству
sup
n≥0
{
a2,n
a1,n
,
a2,n
a2,n+1
}
< 1.
Используя замены a1,n = a2n, a2,n = a2n−1, n = 1, 2, . . . , и унитарный оператор
U ′ из `2 [1,∞) в `2 ([1,∞) ;C) , действующий по формуле
U ′ {yn}∞1 =
{
y2n, y2n−1
}∞
1
,
можем построить оператор L′1 = U ′L1 (U ′)−1
. Проводя те же рассуждения, что и
для оператора L′0, устанавливаем вполне непрерывность оператора (L′1)
−1
. Отсю-
да следует, что при выполнении неравенства (4′) при α = 1 оператор L1 имеет
чисто дискретный спектр. Однако в этом случае число 0 не является собственным
значением оператора L1.
Наконец, предположим, что выполняется одно из условий (3) или (4). Тогда
оператор Lα отличается от удовлетворяющего условию (3′) или (4′) оператора
лишь конечномерным возмущением. Поэтому два последних оператора имеют [6]
одинаковый существенный спектр, который является пустым множеством. Отсюда
следует справедливость теоремы 2.
Замечание. При нарушении условий (3) и (4) теорема 2, вообще говоря, не
является правильной. Например, для оператора L0 с коэффициентом an =
√
n + 1
2
,
n = 0, 1, . . . , имеем
lim
n→∞
{
a2n
a2n+1
,
a2n+2
a2n+1
}
= 1.
Однако такой оператор, как показано в [7], имеет непрерывный спектр, заполняю-
щий всю действительную ось.
С другой стороны, если an = nβ
(
1 +
cn
n
)
, где cn+2 = cn и |c1−c2| ≥ β−1 > 0,
то снова получим q+
α = q−α = 1. Тем не менее, как следует из [8, 9], в этом случае
оператор Lα самосопряжен и его спектр чисто дискретен.
1. Березанский Ю. М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. – Киев:
Наук. думка, 1965.
2. Гусейнов Г. Ш. Определение бесконечной матрицы Якоби по двум спектрам // Мат. заметки. –
1978. – 23, № 5. – P. 709 – 720.
3. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. – М.: Мир, 1968.
4. Молчанов А. М. Об условиях дискретности спектра самосопряженных дифференциальных урав-
нений // Тр. Моск. мат. об-ва. – 1953. – 2. – С. 169 – 200.
5. Кирш В., Молчанов С. А., Пастур Л. А. Одномерный оператор Шредингера с неограниченным
потенциалом: чисто точечный спектр // Функцион. анализ и его прил. – 1990. – 24, № 3. – С. 14 – 25.
6. Kato T. Perturbation theory for linear operators. – Springer-Verlag, 1966.
7. Березанский Ю. М. Одно замечание относительно нагруженной цепочки Тоды // Укр. мат. журн.
– 1985. – 37, № 3. – С. 352 – 355.
8. Костюченко А. Г., Мирзоев К. А. Обобщенные якобиевы матрицы и индексы дефекта обыкновен-
ных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами // Функцион. анализ и
его прил. – 1999. – 33, № 1. – С. 30 – 45.
9. Сильва П. Октавио. Асимптотические методы спектрального анализа эрмитовых матриц Якоби:
Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Санкт-Петербург, 2003.
Получено 01.07.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2866 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:31:50Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a5/babb88a495d31b8153c42b4537c2a2a5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28662020-03-18T19:39:03Z On conditions for the discreteness of the spectrum of a semiinfinite Jacobi matrix with zero diagonal Об условиях дискретности спектра полубесконечной матрицы Якоби с нулевой диагональю Masmaliev, G. M. Khanmamedov, A. Kh. Масмалиев, Г. М. Ханмамедов, А. Х. Масмалиев, Г. М. Ханмамедов, А. Х. We establish sufficient conditions for the discreteness of the spectrum of a second-order self-adjoint difference operator generated by a semiinfinite Jacobi matrix with zero principal diagonal. Встановлено достатні умови дискретності спектра самоспряженого різницевого оператора другого порядку, що породжений напівнескінченною матрицею Якобі, головна діагональ якої складається з нулів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2866 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 2 (2010); 285–288 Український математичний журнал; Том 62 № 2 (2010); 285–288 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2866/2484 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2866/2485 Copyright (c) 2010 Masmaliev G. M.; Khanmamedov A. Kh. |
| spellingShingle | Masmaliev, G. M. Khanmamedov, A. Kh. Масмалиев, Г. М. Ханмамедов, А. Х. Масмалиев, Г. М. Ханмамедов, А. Х. On conditions for the discreteness of the spectrum of a semiinfinite Jacobi matrix with zero diagonal |
| title | On conditions for the discreteness of the spectrum of a semiinfinite Jacobi matrix with zero diagonal |
| title_alt | Об условиях дискретности спектра полубесконечной матрицы Якоби с нулевой диагональю |
| title_full | On conditions for the discreteness of the spectrum of a semiinfinite Jacobi matrix with zero diagonal |
| title_fullStr | On conditions for the discreteness of the spectrum of a semiinfinite Jacobi matrix with zero diagonal |
| title_full_unstemmed | On conditions for the discreteness of the spectrum of a semiinfinite Jacobi matrix with zero diagonal |
| title_short | On conditions for the discreteness of the spectrum of a semiinfinite Jacobi matrix with zero diagonal |
| title_sort | on conditions for the discreteness of the spectrum of a semiinfinite jacobi matrix with zero diagonal |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2866 |
| work_keys_str_mv | AT masmalievgm onconditionsforthediscretenessofthespectrumofasemiinfinitejacobimatrixwithzerodiagonal AT khanmamedovakh onconditionsforthediscretenessofthespectrumofasemiinfinitejacobimatrixwithzerodiagonal AT masmalievgm onconditionsforthediscretenessofthespectrumofasemiinfinitejacobimatrixwithzerodiagonal AT hanmamedovah onconditionsforthediscretenessofthespectrumofasemiinfinitejacobimatrixwithzerodiagonal AT masmalievgm onconditionsforthediscretenessofthespectrumofasemiinfinitejacobimatrixwithzerodiagonal AT hanmamedovah onconditionsforthediscretenessofthespectrumofasemiinfinitejacobimatrixwithzerodiagonal AT masmalievgm obusloviâhdiskretnostispektrapolubeskonečnojmatricyâkobisnulevojdiagonalʹû AT khanmamedovakh obusloviâhdiskretnostispektrapolubeskonečnojmatricyâkobisnulevojdiagonalʹû AT masmalievgm obusloviâhdiskretnostispektrapolubeskonečnojmatricyâkobisnulevojdiagonalʹû AT hanmamedovah obusloviâhdiskretnostispektrapolubeskonečnojmatricyâkobisnulevojdiagonalʹû AT masmalievgm obusloviâhdiskretnostispektrapolubeskonečnojmatricyâkobisnulevojdiagonalʹû AT hanmamedovah obusloviâhdiskretnostispektrapolubeskonečnojmatricyâkobisnulevojdiagonalʹû |