On one result of J. Bourgain

In a linear space of dimension $n$ over the field $\mathbb{F}_2$, we construct a set $A$ of given density such that the Fourier transform of $A$ is large on a large set, and the intersection of $A$ with any subspace of small dimension is small. The results obtained show, in a certain sense, the shar...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Konyagin, S. V., Shkredov, I. D., Конягин, С. В., Шкредов, И. Д.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська Англійська
Опубліковано:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010
Онлайн доступ:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2872
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Репозитарії

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860508864182484992
author	Konyagin, S. V. Shkredov, I. D. Конягин, С. В. Шкредов, И. Д. Конягин, С. В. Шкредов, И. Д.
author_facet	Konyagin, S. V. Shkredov, I. D. Конягин, С. В. Шкредов, И. Д. Конягин, С. В. Шкредов, И. Д.
author_sort	Konyagin, S. V.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:39:19Z
description	In a linear space of dimension $n$ over the field $\mathbb{F}_2$, we construct a set $A$ of given density such that the Fourier transform of $A$ is large on a large set, and the intersection of $A$ with any subspace of small dimension is small. The results obtained show, in a certain sense, the sharpness of one theorem of J. Bourgain.
first_indexed	2026-03-24T02:31:59Z
format	Article
fulltext	УДК 517.5 С. В. Конягин (Мат. ин-т РАН, Москва, Россия), И. Д. Шкредов (Моск. ун-т им. М. В. Ломоносова, Россия) ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА* In a linear space of dimension n over the field F2, we construct a set A of a given density such that the Fourier transform of A is large on a large set and the intersection of A with any subspace of small dimension is small. The results obtained show, in a certain sense, the sharpness of one theorem of J. Bourgain. У лiнiйному просторi розмiрностi n над полем F2 побудовано множину A заданої щiльностi, в якої перетворення Фур’є є великим на великiй множинi i таким, що перетин A з будь-яким пiдпростором невеликої розмiрностi є малим. Одержанi результати показують у певному сенсi точнiсть однiєї теореми Ж. Бургена. 1. Введение. Пусть N, k ≥ 3 — натуральные числа. Пусть также ak(N) = 1 N max { \|A\| : A ⊆ {1, 2, . . . , N}, A не содержит арифметических прогрессий длины k } , где \|A\| — мощность множества A. Поведение величины ak(N) при фиксированном k и N →∞ изучалось в работах различных авторов (см. [1 – 7, 9 – 12, 14, 15, 25, 26, 31, 34, 35]). На сегодняшний день наилучший результат об оценке сверху функции a3(N) принадлежит Ж. Бургену [35]. Он доказал, что a3(N)� (log logN)3 (logN)2/3 . (1) В своей работе Бурген применил оригинальный подход, связанный с использовани- ем множеств Бора (см. работы [34, 35], а также [20, 25, 33]). Напомним определение множества Бора. Пусть G — конечная абелева группа с аддитивной групповой опе- рацией +. Обозначим через Ĝ двойственную группу для G. Иными словами, пусть Ĝ — группа гомоморфизмов ξ из G в R/Z, ξ : x → ξ · x. Известно, что группа Ĝ изоморфна G. Определение 1.1. Пусть S — некоторое подмножество группы Ĝ и ε > 0 — действительное число. Множеством Бора B = B(S, ε) называется множество B(S, ε) = { n ∈ G : ‖ξ · n‖ < ε для всех ξ ∈ S } , где ‖ · ‖ — расстояние до нуля на торе R/Z. Множество Бора B(S, ε) называется регулярным (см. [30, 34]), если для всех η ≤ 2−4\|S\|−1 выполнено 1− 24\|S\|η ≤ \|B(S, (1 + η)ε)\| \|B(S, ε)\| ≤ 1 + 24\|S\|η. Кроме множеств Бора в своей работе Бурген получил несколько новых ре- зультатов о множествах больших тригонометрических сумм (результаты по этой * Первый автор поддержан фондом Освальда Веблена (Oswald Veblen Fund), второй — грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 06-01-00383, грантом Президента РФ МК- 1959.2009.1, грантом им. П. Делиня (фонд Бальзана 2004) и грантом НШ-691.2008.1. c© С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ, 2010 332 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 333 тематике могут быть найдены, например, в работах [16, 21, 30, 35, 43 – 45]). На- помним основные определения. Пусть f — некоторая функция изG в C. Обозначим через f̂(ξ) преобразование Фурье функции f f̂(ξ) = ∑ x∈G f(x)e(−ξ · x), где e(x) = e2πix. Пусть δ, α — действительные числа, 0 < α ≤ δ ≤ 1, и A — некоторое подмножество G мощности δ\|G\|. Будем обозначать той же буквой A ха- рактеристическую функцию этого множества. Рассмотрим множествоRα больших тригонометрических сумм A Rα = Rα(A) = { r ∈ Ĝ : \|Â(r)\| ≥ α\|G\| } . (2) Вопрос о строении таких множеств относится к проблематике обратных задач аддитивной теории чисел (см. [13, 32]). Ясно, что можно также определить аналог множества Rα(f) для произвольной функции f : C→ G. При рассмотрении множества больших тригонометрических сумм оказывается полезным понятие диссоциативности (см. [16, 21, 30, 35, 44, 45]). Пусть R ⊆ G — некоторое множество, R = −R и {0} ∈ R. Множество Λ = {λ1, . . . , λ\|Λ\|} ⊆ G называется R-диссоциативным, если из включения \|Λ\|∑ i=1 εiλi ∈ R, (3) где εi ∈ {−1, 0, 1}, следует, что все εi равны нулю. Если R = {0}, то множе- ство Λ называется диссоциативным. Как упоминалось выше, Бурген в работе [35] использовал подход, связанный с множествами Бора, а также с множествами боль- ших тригонометрических сумм. С помощью своего метода он доказал следующий результат (мы приведем формулировку из работы [30]). Теорема 1.1. Пусть S — некоторое подмножество Ĝ, ε, δ, α — положитель- ные числа, α ≤ δ, B = B(S, ε) — регулярное множество Бора и A ⊆ B(S, ε) — любое множество, \|A\| = δ\|B(S, ε)\|. Пусть также B′ = B(S, ε′) — множество Бора, 2 ( α 2(1 + \|S\|) )64 ε ≤ ε′ ≤ 4 ( α 2(1 + \|S\|) )64 ε, R = { r : \|B̂′(r)\| ≥ \|B′\|/3 } , Λ — R-диссоциативное подмножество множества{ r : \|Â(r)\| ≥ α\|B\| } и \|Λ\| ≥ 27 δ(1 + log(1/δ)) α . Тогда найдутся множество I ⊆ Λ, \|I\| ≤ α\|Λ\| 24δ(1 + log(1/δ)) , и множество Бора B′′ = B(S ∪ I, ε′′), ε′′ ≥ (δ/(2(1 + + \|S\|)))64ε, такие, что для некоторого x ∈ G выполнено∣∣A ∩ (B′′ + x) ∣∣ ≥ (δ + 2−12α\|I\| ) \|B′′\|. (4) Кроме работы [35] теорема 1.1 имеет несколько приложений (см., например, [30]). В настоящей работе мы покажем, что теорема 1.1 является, в некотором смысле, неулучшаемой. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 334 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ Вначале переформулируем результат Бургена в группе Fn2 (обсуждение плодо- творности изучения задач аддитивной теории чисел в группах Fnq (q — простое число) см. в обзоре [24]). Пусть n и N — натуральные числа, N = 2n. Рассмотрим конечную абелеву группу Fn2 = (Z/2Z)n, \|Fnp \| = N. Группа Fn2 является векторным пространством со скалярным произведением x · y = ~x · ~y = 〈~x, ~y 〉 = x1y1 + . . .+ xnyn (mod 2). Преобразование Фурье функции f : Fn2 → C задается формулой f̂(r) = ∑ x∈Fnp f(x)(−1)〈r,x〉. В группе Fn2 понятию множества Бора соответствует аффинное подпростран- ство. Пусть ~v1, . . . , ~vk — некоторые линейно независимые векторы и ε1, . . . , εk — произвольные элементы F2. Аффинным подпространством коразмерности k на- зывается множество P = Pε1,...,εk(~v1, . . . , ~vk) = { ~x ∈ Fn2 : 〈~x,~v1〉 = ε1, . . . , 〈~x,~vk〉 = εk } . Если все εi равны нулю, то иногда будем писать P (~v1, . . . , ~vk) вместо P0,...,0(~v1, . . . . . . , ~vk). Для множества W = (w1, . . . , w\|W \|) пусть P (W ) обозначает P (w1, . . . . . . , w\|W \|). Коэффициенты Фурье множества P = P (W ) вычисляются чрезвычайно просто. Пусть L — линейное пространство размерности k, натянутое на векторы ~v1, . . . , ~vk, и ~r ∈ Fn2 — произвольный вектор. Ясно, что L = P⊥ := { ~x : 〈~x, ~p〉 = 0 ∀~p ∈ P } и для любого r ∈ L выполнено P̂ (r) = \|P \|. Далее, из равенства Парсеваля∑ r∈Fn2 \|P̂ (r)\|2 = \|P \|N следует, что P̂ (r) = 0 для любого r /∈ L. Иными словами, P̂ (r) = L(r)\|P \|. (5) Таким образом, \|P̂ (r)\| равен либо нулю, либо \|P \|. Нам понадобится понятие диссоциативности в группе Fn2 . Определение 1.2. Пусть R ⊆ Fn2 — некоторое множество, {0} ∈ R. Мно- жество Λ = {λ1, . . . , λ\|Λ\|} ⊆ Fn2 принадлежит семейству ΛR(k), если из вклю- чения \|Λ\|∑ i=1 εiλi ∈ R, (6) где εi ∈ {0, 1}, а число ненулевых εi не превышает k, следует, что все εi равны нулю. Если R = {0}, то множество Λ принадлежит семейству Λ(k). Будем обозначать через M1,M2, . . . абсолютные положительные константы. Теорема 1.2 (Бурген, группа Fn2 ). Пусть δ, α — действительные числа, 0 < < α ≤ δ, P0 = P0(~v1, . . . , ~vh) ⊆ Fn2 — подпространство, L0 — линейная оболочка векторов ~v1, . . . , ~vh и A ⊆ P0 — некоторое множество, \|A\| = δ\|P0\|. Пусть также ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 335 Λ — L0-диссоциативное подмножество {r : \|Â\| ≥ α\|P0\|} и \|Λ\| ≥ M1 δ log(1/δ) α . Тогда найдутся множество I ⊆ Λ, M2 α\|Λ\| 2δ log(1/δ) ≤ \|I\| ≤M2 α\|Λ\| δ log(1/δ) , (7) подпространство P = P (I) и вектор x ∈ Fn2 такие, что \|A ∩ (P + x)\| ≥ (δ +M3α\|I\|) \|P \|. (8) Сформулируем наш результат. Теорема 1.3. Пусть δ, α, ε — действительные числа, 0 < α ≤ 2−1000/(1−ε)2δ, δ ≤ 2−4, α ≥ 40N−1/2, ε ∈ (0, 1), и δ α log ( δ α ) ≤ 2−10n. (9) Тогда найдется множество A ⊆ Fn2 , \|A\| = δ0N, δ ≤ δ0 ≤ 4δ, такое, что ∣∣Rα(A) ∣∣ ≥ 2−600 ( δ α )2 log ( 1 δ ) . (10) Далее, пусть Λ — максимальное диссоциативное подмножество Rα(A) из семей- ства Λ ( 4[δα−1] ) . Тогда 2−600 ( δ α )(31+ε)/16 log ( 1 δ ) ≤ \|Λ\| ≤ ( δ α )(31+ε)/16 log ( 1 δ ) . (11) Кроме того, для любого множества I ⊆ Rα(A) такого, что \|I\| ≤ 2−600 ( δ α )(31+ε)/32 , (12) и произвольного x ∈ Fn2 выполнено∣∣A ∩ (P (I) + x) ∣∣ ≤ (δ0 + 21000α\|I\| ) \|P (I)\|. (13) Легко видеть, что при определенных условиях на параметры δ и α ограниче- ния на величину \|I\| из (12) гораздо шире, чем неравенства (7). Таким образом, теорема 1.3 показывает, что теорема Бургена 1.2 не может быть улучшена. Замечание 1.1. Более аккуратный анализ нашего доказательства показывает, что условия на мощность множества I в теореме 1.3 могут быть заменены еще более слабыми. Кроме того, справедлив аналог приведенного результата, в котором множество Λ является диссоциативным, а не просто принадлежащим семейству Λ ( 4[δα−1] ) . Замечание 1.2. Если отказаться от выполнения неравенства (11), то, используя технику так называемых „множеств уровня” И. Ружи (см. работы [21, 29]), можно легко построить множество A, для которого выполняется (13). Действительно, в соответствующем примере Ружи Rα(A) = {0} ⊔ Λ ⊔ (−Λ), где Λ — диссоциатив- ное множество (см. [45]). Поэтому если I ⊆ Rα(A), то легко видеть, что мощность ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 336 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ пересечения линейной оболочки I иRα(A) не превышает по порядку мощности I. Тем не менее в работе [35] Бурген использовал аналог теоремы 1.2 в случае, когда \|Λ\| = o ( \|Rα(A)\| ) (точнее, когда мощностьRα(A) близка к своему экстремальному значению δ/α2). Одна из главных целей настоящей статьи — показать, что и в этом случае результат Бургена не может быть усилен. Коротко остановимся на доказательстве основного результата статьи. Опишем сначала множество Rα(A) из теоремы 1.3. Пусть Λ1, Λ2 — некоторые непересекающиеся множества такие, что их объединение является диссоциативным множеством. Выберем случайным образом множество Q из Λ1 + Λ2, равномерно и независимо: любой элемент принадлежитQ с некоторой вероятностью q.Мы хотим добиться того, чтобы Rα(A) было равно {0} ⊔ Q (на самом деле в теореме 1.3 используется немного другая конструкция). Далее, используя случайные свойства множества Q, доказываем, что для любого подпространства Y не очень большой размерности ρ мощность его пересечения с Q по порядку равна ρ (см. следствие 4.1). Иными словами, в пересечении Y сQ не содержится слишком много „лишних” точек. Грубо говоря, из этого факта и следует неравенство (13). Чтобы построить множество A сRα(A) = {0} ⊔ Q, мы используем модернизи- рованную технику множеств уровня И. Ружи, развитую Б. Грином. Напомним, что оригинальное множество уровня Ружи S(s1, . . . , sm), s1, . . . , sm ∈ (Z/NZ) \ {0}, определяется следующим образом: S(s1, . . . , sm) = x ∈ Z/NZ : m∑ j=1 cos(ajx) > η √ m  = = x : g  m∑ j=1 cos(ajx)  = 1  , (14) где η > 0 — некоторое число и функция g(x) такая, что g(x) = 1, если x > η √ m, и g(x) = 0, если x ≤ η √ m. В работе [21] (см. также [22, 23]) Б. Грин аппроксими- рует функцию g(x) полиномом pd,S(x) степени d, по порядку равной \|S\|, а затем рассматривает функцию f(x) = pd,S (∑m j=1 cos(ajx) ) . После этого он доказыва- ет, что Rα(f) = {0} ⊔ S, и использует в качестве характеристической функции искомого множества A функцию, которая, в некотором смысле, приближает f(x) (см. лемму 2.1). Этот метод работает, если точки s1, . . . , sm выбраны специальным образом, на- пример если множество S = {s1, . . . , sm} является диссоциативным. Вниматель- ный анализ доказательства из статьи [21] показывает, что, грубо говоря, достаточно потребовать выполнения неравенств вида Tp(S) := ∣∣{z1 + . . .+ z2p = 0: zi ∈ S} ∣∣ ≤ Cppp\|S\|p, p = 1, . . . , d, (15) где C — некоторая абсолютная константа. Для диссоциативных множеств оцен- ка (15), разумеется, выполнена, что следует из классического неравенства Рудина [27, 28]. Мы хотим использовать в качестве {s1, . . . , sm} множество Q ⊆ Λ1 + Λ2, которое, конечно, не является диссоциативным. Тем не менее, используя технику из работы [46] и тот факт, что множество Q случайно, мы доказываем справедли- ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 337 вость неравенства (15) для всех p, не превышающих по порядку √ m. Безусловно, это еще не позволяет построить множество A, поскольку, как отмечалось выше, степень полинома pd,S(x) есть величина d� m. Чтобы избежать последнего жест- кого условия, мы выбираем в качестве pd,S(x) многочлен Чебышева Tl(x) (а точнее, функцию 1/2 + 1/2 · Tl(x)), где степень l не превышает √ m. Это позволяет по- строить функцию f(x), и, следовательно, искомое множество A. В пункте 2, используя многочлены Чебышева, мы строим множество A с Rα(A) = {0} ⊔ Q. В пункте 3 доказываем более сильную версию оценки (15) для случая специальных подмножеств Q сумм двух диссоциативных множеств. Основной результат здесь — это лемма 3.5. Наконец, в последней части статьи нам лишь остается убедиться в том, что случайные подмножества сумм диссоциатив- ных множеств обладают всеми свойствами, которые требуются в утверждениях двух предыдущих пунктов. То же самое множество A, что и в теореме 1.3, дает ответ на один вопрос Т. Сандерса о множествах больших тригонометрических сумм. В пункте 4 мы доказывем следующую теорему. Теорема 1.4. Пусть δ, α, ε1, ε2 — действительные числа, 0 < α ≤ ≤ 2−1000/(1−ε1)2δ, δ ≤ 2−4, ε1 ∈ (0, 1), ε2 ∈ (0, 2−8), α ≥ 40N−1/2 и δ α log ( δ α ) ≤ 2−10n. (16) Тогда найдется множество A ⊆ Fn2 , δN ≤ \|A\| ≤ 4δN, такое, что ∣∣Rα(A) ∣∣ ≥ 2−1000 ( δ α )2 log ( 1 δ ) . (17) Далее, пусть Λ — максимальное диссоциативное подмножество Rα(A) из семей- ства Λ ( 4[δα−1] ) . Тогда 2−1000 ( δ α )(31+ε1)/16 log(1/δ) ≤ \|Λ\| ≤ ( δ α )(31+ε1)/16 log ( 1 δ ) (18) и для произвольного подмножества I ⊆ Rα(A), \|I\| ≤ (δ/α)(15+ε1−ε2)/8, выполнено ∣∣Rα(A) ∩ Span (I) ∣∣ ≤ 210\|I\| ε2 . (19) Таким образом, теорема 1.4 показывает, что можно построить множество боль- ших тригонометрических сумм, которое не обладает свойством „непрерывности”. В нашем примере все Rα(A) порождено некоторым множеством Λ, но оболочка любого множества мощности меньше чем \|Λ\|1−ξ, где ξ > 0 — некоторая константа, ξ = ξ(ε1, ε2), практически не пересекается с Rα(A). Мы выражаем благодарность Т. Сандерсу за неоднократные и чрезвычайно полезные обсуждения рассматриваемых вопросов. Авторы благодарны Институту высших исследований (Принстон, США) за гостеприимство и создание прекрасных условий для работы. 2. Множества больших тригонометрических сумм со специальными свой- ствами. Пусть p — натуральное число. Через [p] обозначим отрезок натурального ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 338 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ ряда [p] = {1, 2, . . . , p}. Напомним, что мы пишем [u] также для целой части дей- ствительного числа u.Надеемся, это не вызовет затруднений у читателя. Обозначим через A1 u A2 u . . . u Ad множество, образованное суммой различных элементов из множеств A1, . . . , Ad. Множество, состоящее из суммы d различных элементов множества A, обозначим через d∧A. Напомним определения свертки и линейной оболочки множества. Определение 2.1. Пусть f, g : Fn2 → C — произвольные функции. Обозначим через (f ∗ g)(x) функцию (f ∗ g)(x) = ∑ s f(s)g(x+ s). (20) Далее, определим по индукции операцию ∗k, где k — натуральное число, ∗k = = ∗(∗k−1). Положим функцию f ∗0 f равной f(x). Определение 2.2. Пусть I ⊆ Fn2 — произвольное множество. Обозначим через Span (I) линейную оболочку множества I. Другими словами, Span (I) — это множество всевозможных линейных комбинаций элементов I. Для построения множеств со специально устроенным Rα нам потребуется сле- дующая лемма (см. [21, 36]). Лемма 2.1. Пусть G — абелева группа, \|G\| = N и f : G→ [0, 1] — произволь- ная функция. Тогда найдется множество E ⊆ G с \|E\| = [∑ x∈G f(x) ] такое, что для всех r ∈ G \ {0} выполнено \|Ê(r)− f̂(r)\| ≤ 20 √ N. Пусть d, t — натуральные числа, n = td и e1, . . . , en — стандартный базис Fn2 . Обозначим через Lw подпространство, натянутое на векторы e(w−1)d+1, . . . . . . , e(w−1)d+d, w = 1, . . . , t. Если E ⊆ Fd2 — некоторое множество, то обозначим через Ew копии этого множества в пространствах Lw, w = 1, . . . , t. Пусть Q ⊆ Fn2 — произвольное множество, g — целое неотрицательное, а p ≥ ≥ 2 — натуральное число. Пусть q∗1 , . . . , q ∗ g — некоторые элементы множества Q. Обозначим через N̄p(Q; q∗1 , . . . , q ∗ g) число решений уравнения q1 + . . .+ qp = q∗1 + . . .+ q∗g , (21) где qi ∈ Q, i ∈ [p]. Если g равно нулю, то будем считать, что вместо суммы q∗1 + . . . + q∗g в правой части (21) стоит нуль. В этом случае будем обозначать величину N̄p(Q) через Np(Q). Сформулируем основной результат этого пункта. Предложение 2.1. Пусть δ, α, C1 — действительные числа, C1 ≥ 1, δ ≤ ≤ 1/16, δ ≥ 1/N, α ≥ 80N−1/4, 0 < α ≤ 2−1000δ, t = [log(1/2δ)], n = td, K ≥ 25C1, c = 27 — параметры и δ α log ( δ α ) ≤ 2−10n. (22) Пусть Q — некоторое подмножество Fn2 , 26K−4δ2α−2c−4 ≤ \|Q\| ≤ 2−6K−4δ2 × ×α−2c−2, \|Q\| ≥ 16c2K2, такое, что для всех натуральных p, 2 ≤ p ≤ √ \|Q\|, любого натурального g и произвольных q∗1 , . . . , q ∗ g ∈ Q, q∗1 + . . .+q∗g 6= 0, выполнено N̄p(Q; q∗1 , . . . , q ∗ g) ≤ Cp1pp/2+1\|Q\|(p−1)/2, (23) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 339 а для всех нечетных p величина Np(Q) равна нулю. Тогда существует множество A ⊆ Fn2 , δN ≤ \|A\| ≤ 4δN, для которого 1) \|Rα(A)\| ≥ (cK)−4 ( δ α )2 log(1/δ), 2) Rα(A) = {0} ⊔(⊔t w=1Qw ) , где Qw — копии множества Q в простран- ствах Lw, w = 1, . . . , t. Пусть ρ — натуральное число, M, K ′ — действительные числа, M ≥ 1, K ′ ≥ ≥ 25MK, 26(K ′)−4δ2α−2c−4 ≤ \|Q\| ≤ 2−6(K ′)−4δ2α−2c−2, \|Q\| ≥ 16c2K ′2, \|Q\| ≥ ≥ 8M и ρ ≤ 2−10 √ \|Q\|/M3. Пусть также I — некоторое множество, I ⊆ Rα(A), Y = Span (I), dimY = ρ такие, что для всех p ≤ √ \|Q\| выполнено∑ x∈Fn2 (Q ∗p−1 Q)(x)Y (x) ≤Mpρp(p−1)/2m(p−1)/2. (24) Тогда существует множество A ⊆ Fn2 , δN ≤ \|A\| ≤ 4δN, для которого кроме пунктов 1, 2 выполнено следующее неравенство: для произвольного z ∈ Fn2 имеем∣∣A ∩ (P (I) + z) ∣∣ ≤ (δ0 + 220c2K ′M3αρ ) \|P (I)\|, (25) где δ0 := \|A\|/N, δ ≤ δ0 ≤ 4δ. Доказательство. Пусть m = \|Q\|, j0 = [√ m/(4cK) ] , l = 2j0 + 1 = = 2 [√ m/(4cK) ] + 1. Ясно, что j0 = [l/2] и l = 2j0 + 1 — нечетное число. Пусть также Tl(y) = cos(l arccos y) — многочлен Чебышева. Имеем (см. [37] или [38, с. 4], § 1.1, формула (1.10)) Tl(y) = l 2 [l/2]∑ j=0 (−1)j (l − j − 1)! j!(l − 2j)! 2l−2jyl−2j . Будем считать, что в каждом пространстве Lw находятся копии множества Q = = {q1, . . . , qm}. Обозначим копии множества Q через Qw, w = 1, . . . , t. Пусть также fw(x) = 1 2 + 1 2 Tl ( 1 Km m∑ i=1 (−1)〈x,qi〉 ) , x ∈ Lw, w = 1, . . . , t. Пусть функции fw продолжены на все пространство Fn2 формулой fw(x + x⊥) := := fw(x), где x ∈ Lw, x⊥ ∈ L⊥w . Тогда для всех w ∈ [t] и любого x ∈ Fn2 выполнено 0 ≤ fw(x) ≤ 1. Далее, пусть f(x) = t∏ w=1 fw(x). (26) Очевидно, что f(x) ∈ [0, 1], x ∈ Fn2 . Кроме того, f̂(r) = t∏ w=1 f̂w(r), r ∈ Fn2 , (27) где функции fw снова рассматриваются как заданные на пространствах Lw. Из формулы (27) видно, что для того, чтобы найти все коэффициенты Фурье функции ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 340 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ f, достаточно определить коэффициенты Фурье функций fw. Для всех w ∈ [t] имеем fw(x) = 1 2 + l 4 [l/2]∑ j=0 (−1)j (Km)l−2j (l − j − 1)! j!(l − 2j)! 2l−2j ( m∑ i=1 (−1)〈x,qi〉 )l−2j . (28) Поскольку l — нечетное число и Nv(Q) = 0 для нечетных v, из формулы (28) следует, что f̂(0) = ∑ x f(x) = 2−tN ≥ 2δN. Найдем ненулевые коэффициенты Фурье функции f(x). Как было упомянуто выше, для этого достаточно определить коэффициенты Фурье функций fw. Зафиксируем w и будем считать, для простоты, что копии Qw множества Q в пространствах Lw — это просто множество Q. Пусть N ′ = 2d, α′ = α2t. Ясно, что если r не принадлежит множеству h∧Q, h ≤ l — нечетное, то f̂w(r) = 0. Покажем сначала, что Q ⊆ Rα′(fw). В сумме (28) рассмотрим слагаемое с j = [l/2] = j0. Пусть f (0) w (x) = l 2Km (−1)j0 m∑ i=1 (−1)〈x,qi〉. Тогда f̂ (0) w (r) = (−1)j0 lN ′ 2Km Q(r). Отсюда для всех q ∈ Q выполнено ∣∣f̂ (0) w (q) ∣∣ = = lN ′ 2Km . Используя неравенство \|Q\| ≤ 2−6(K ′)−4δ2α−2c−2 и учитывая, что t = = [ log(1/2δ) ] , получаем оценку ∣∣f̂ (0) w (q) ∣∣ = lN ′ 2Km ≥ √ mN ′ 8cK2m = N ′ 8cK2 √ m ≥ αN ′ δ ≥ 2α2tN ′ = 2α′N ′. Пусть f (1) w (x) = fw(x)−f (0) w (x). Если мы покажем, что для всех q ∈ Q выполняется неравенство ∣∣f̂ (1) w (q) ∣∣ ≤ α′N ′, то включение Q ⊆ Rα′(fw) будет доказано. Пусть q∗ ∈ h∧Q, q∗ 6= 0. Оценим модуль коэффициента Фурье f̂ (1) w (q∗). Имеем f̂ (1) w (q∗) = lN ′ 4 j0−1∑ j=0 (−1)j (Km)l−2j (l − j − 1)! j!(l − 2j)! 2l−2jN̄l−2j(Q; q∗). (29) Так как l = 2j0 + 1, для всех j ≤ j0 − 1 выполнено −l/2 + j ≤ −3/2. Исполь- зуя последнее замечание, оценки l ≤ √ m/2, K ≥ 25C1, формулу Стирлинга и неравенство (23), находим ∣∣f̂ (1) w (q∗) ∣∣ ≤ ≤ lN ′ 4 j0−1∑ j=0 1 (Km)l−2j (l − j − 1)! j!(l − 2j)! (2C1)l−2jm(l−2j−1)/2(l − 2j)(l−2j+2)/2 ≤ ≤ lN ′ 4 j0−1∑ j=0 ( 2C1 K )l−2j ll−2j−1 (l − 2j)(l−2j+2)/2 (l − 2j)! m−l/2+j−1/2 ≤ ≤ lN ′ 4 j0−1∑ j=0 ( 2C1e K )l−2j ll−2j−1(l − 2j)−l/2+j+1m−l/2+j−1/2 ≤ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 341 ≤ lN ′ 8 j0−1∑ j=0 ll−2j−1(l − 2j)−l/2+j+1m−l/2+j−1/2 ≤ ≤ N ′ 8 √ m j0−1∑ j=0 ( l√ m )l−2j ≤ l3 2m2 N ′. (30) По условию l = 2 [√ m/(4cK) ] + 1 ≤ √ m/(cK) и m ≥ 26K−4δ2α−2c−4 ≥ ≥ 26K−6δ2α−2c−6, так как K, c > 1. Кроме того, α′ = α2t, где t = [ log(1/2δ) ] . Значит, α′ ≥ 2−2αδ−1 и l3 2m2 ≤ 1 2(cK)3 √ m ≤ α 16δ ≤ α′ 4 . Применяя последнюю оценку и неравенство (30), имеем∣∣f̂ (1) w (q∗) ∣∣ ≤ α′N ′ 4 . (31) Отсюда Q ⊆ Rα′(fw). Если q∗ ∈ h∧Q, q∗ 6= 0, q∗ /∈ Q, то f̂ (0) w (q∗) = 0. Следо- вательно, из неравенства (31) вытекает равенство Rα′(fw) = {0} ⊔ Q. Используя формулу (27), получаем, что для всех r ∈ ⊔t w=1Qw, r 6= 0, выполнено∣∣f̂(r) ∣∣ ≥ 2−(t−1) 3 2 α′N ≥ 2αN. Применяя теперь лемму 2.1 к функции f(x) и используя оценку α ≥ 80N−1/4, находим множество A такое, что для множества Rα(A) справедливо включе- ние {0} ⊔(⊔t w=1Qw ) ⊆ Rα(A). Если r /∈ {0} ⊔(⊔t w=1Qw ) , то согласно фор- муле (31) для некоторого w ∈ [t] выполнено \|f̂w(r)\| ≤ α′N ′ 4 . Используя тож- дество (27), получаем ∣∣f̂(r) ∣∣ ≤ (1 2 )t−1 α′N 4 = αN 2 . Снова применяя лемму 2.1 и оценку α ≥ 80N−1/4, находим ∣∣Â(r) ∣∣ ≤ 3αN 4 < αN. Значит, Rα(A) = = {0} ⊔(⊔t w=1Qw ) . Отсюда и из неравенства \|Q\| ≥ 26K−4δ2α−2c−4 получа- ем оценку из пункта 1. Нам осталось убедиться в выполнении неравенства (25). Возьмем K ′ ≥ 25KM и используем все рассуждения, приведенные выше. Пусть P = P (I) и z = z1 + . . . . . .+ zt, zw ∈ Lw, w ∈ [t]. Имеем∣∣A ∩ (P + z) ∣∣ = 1 N ∑ r∈Fn2 Â(r)P̂ (r)(−1)〈r,z〉. Для подсчета коэффициентов Фурье множества P применим формулу (5). Тогда∣∣A ∩ (P + z) ∣∣ = ∑ x f(x)P (x+ z) + σ0 = σ′ + σ0, (32) где \|σ0\| ≤ 20 √ N 1 N ∑ r \|P̂ (r)\| ≤ 20 √ N 1 N \|P \| \|P⊥\| ≤ 20 √ N ≤ 20αρ\|P \|. (33) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 342 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ Последнее неравенство в (33) следует из формулы \|P (I)\| = N2−ρ, условия (22), неравенств 80N−1/4 ≤ α ≤ 2−1000δ и оценки ρ ≤ √ \|Q\| ≤ 2−3(K ′)−2c−1 δ α ≤ δ α , так как 20αρ\|P \| ≥ 20α2−ρN ≥ 20 · 2−δ/αN3/4 = 20 · 23n/4−δ/α ≥ 20 · 2n/2 = 20 √ N. По условию I ⊆ Rα(A), а согласно пункту 2 имеемRα(A) = {0} ⊔(⊔t w=1Qw ) . Пусть Yw — аффинное подпространство, натянутое на векторы из I ∩ Lw, w ∈ [t]. Ясно, что каждая характеристическая функция множества Yw зависит только от пе- ременных x(w−1)d+1, . . . , x(w−1)d+d. Имеем Y = Y1 ∗Y2 ∗ . . .∗Yt и P̂ (r) = \|P \|Y (r). Используя две последние формулы и тождество (26), получаем σ′ = \|P \| N t∏ w=1 (∑ x fw(x+ zw)Ŷw(x) ) = \|P \| N t∏ w=1 σw. (34) Пусть ρw = dimYw, w ∈ [t]. Очевидно, что t∑ w=1 ρw = ρ. (35) Зафиксируем w ∈ [t] и найдем σw. Легко видеть, что∑ x Ŷw(x) = Yw(0)2d = 2d. (36) Применяя тождество (36) и формулу (28), находим σw = 2d 2 + l 4 [l/2]∑ j=0 (−1)j (K ′m)l−2j (l − j − 1)! j!(l − 2j)! × ×2l−2j ∑ x ∑ i1,...,il−2j Ŷw(x)(−1)〈x+zw,qi1+...+qil−2j 〉 = = 2d 2 + 2dl 4 [l/2]∑ j=0 (−1)j (K ′m)l−2j (l − j − 1)! j!(l − 2j)! × ×2l−2j ∑ i1,...,il−2j Yw(qi1 + . . .+ qil−2j )(−1)〈zw,qi1+...+qil−2j 〉. Докажем неравенство \|σw\| ≤ 2d ( 1 2 + Mρwl 2K ′m + ρw√ m ( 2eM K ′ )3) . (37) Будем действовать, как и выше. Ясно, что \|σw\| ≤ 2d 2 + 2dl 4 [l/2]∑ j=0 1 (K ′m)l−2j (l − j − 1)! j!(l − 2j)! 2l−2j ∑ x (Qw ∗l−2j−1 Qw)(x)Yw(x). (38) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 343 Применяя формулу (24) с p = 1, получаем, что член с j = j0 во втором слагае- мом формулы (38) не превышает по модулю 2d · Mρwl 2K ′m . Пусть сумма остальных слагаемых в (38), кроме члена 2d 2 , равна σ′′w. Используя оценку (24) и формулу Стирлинга, получаем \|σ′′w\| ≤ 2dlρw 4 j0−1∑ j=0 1 (K ′m)l−2j (l − j − 1)! j!(l − 2j)! × ×2l−2jM l−2j(l − 2j)(l−2j−1)/2m(l−2j−1)/2 ≤ ≤ 2dlρw 4 j0−1∑ j=0 ll−2j−1(l − 2j)−l/2+j−1/2m−l/2+j−1/2 ( 2eM K ′ )l−2j ≤ ≤ 2dρw 4 √ m j0−1∑ j=0 ( 2eM K ′ l√ m )l−2j ≤ 2d ρw√ m ( 2eM K ′ )3 . (39) Отсюда следует неравенство (37). По условию ρ ≤ 2−10M−3 √ m. Кроме того, l = 2 [√ m/(4cK ′) ] + 1 ≤ √ m/(cK ′). Следовательно, t∑ w=1 ( Mρwl 2K ′m + ρw√ m ( 2eM K ′ )3) ≤ Mρl 2K ′m + ρ√ m ( 2eM K ′ )3 ≤ ≤ 2−11M−2c−1(K ′)−2 + 2−7e3(K ′)−3 ≤ 1 4 . (40) Аналогично, используя оценку 26(K ′)−4δ2α−2c−4 ≤ m, находим t∑ w=1 ( Mρwl 2K ′m + ρw√ m ( 2eM K ′ )3) ≤ Mρl 2K ′m + ρ√ m ( 2eM K ′ )3 ≤ ≤ ρ ( M 2c(K ′)2 √ m + 8e3M3 (K ′)3 √ m ) ≤ ≤ cMαδ−1ρ+ 28c2M3αδ−1ρ ≤ 29c2K ′M3αδ−1ρ. (41) Имеем α ≥ 80N−1/4 и \|A\| = δ0N = [∑ x f(x) ] = [2−tN ] > 2−tN − 1. Отсюда 2−t ≤ δ0 + 1/N ≤ δ0 +α. Кроме того, ex ≤ 1 + 2x, если x ∈ [0, 1/2]. Применяя эти оценки, неравенство (40), тождество (35) и формулы (34) и (37), получаем σ′ ≤ \|P \| N N t∏ w=1 ( 1 2 + Mρwl 2K ′m + ρw√ m ( 2eM K ′ )3) ≤ ≤ 2−t\|P \| ( 1 + t∑ w=1 ( 2Mρwl K ′m + 4ρw√ m ( 2eM K ′ )3)) ≤ ≤ δ0\|P \|+ α\|P \|+ 2δ0\|P \| t∑ w=1 ( 2Mρwl K ′m + 4ρw√ m ( 2eM K ′ )3) ≤ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 344 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ ≤ δ0\|P \|+ α\|P \|+ δ0\|P \| 4Mρl K ′m + δ0\|P \| 8ρ√ m ( 2eM K ′ )3 . Используя теперь формулу (41) и оценку δ0 ≤ 4δ, находим σ′ ≤ δ0\|P \|+ 215c2K ′M3αρ\|P \|. Из последнего неравенства и формул (32), (33) следует (25). Предложение доказано. Замечание 2.1. Главное отличие предложения 2.1 от аналогичных утвержде- ний из [21, 45] (см. также [29]) заключается в ограничении p ≤ √ \|Q\|, накладыва- емом на параметр p. Как отмечалось во введении, в предшествовавших работах приходилось проверять справедливость оценки (23) для всех p� \|Q\|. Достаточные условия для выполнения свойства (23) будут обсуждаться в сле- дующем пункте. 3. О числе решений одного уравнения. Настоящий пункт посвящен изуче- нию величины Tp(S) (см. определение (15)) и ее обобщений. Нам понадобятся несколько лемм. Лемма 3.1. Пусть p и r — натуральные числа, r ≤ p. Тогда число разбиений отрезка [p] на r частей не превышает rp/r! ≤ eprp−r. Пусть f : Fn2 → C — произвольная функция. Обозначим через Tk(f) величину Tk(f) = ∑ x \|(f ∗k−1 f)(x)\|2. Простое применение неравенства Гельдера дает нам следующую лемму (см., например, [46]). Лемма 3.2. Пусть s — натуральное число, s ≥ 2, и f1, . . . , fs : Fn2 → R — некоторые функции. Тогда для любого λ ∈ Fn2 выполнено∣∣(f1 ∗ . . . ∗ fs)(λ) ∣∣ ≤ (Ts(f1))1/2s . . . (Ts(fs)) 1/2s. (42) Доказательство. Имеем (̂f ∗ g)(r) = f̂(r)ĝ(r). Используя формулу обраще- ния, находим σ := (f1 ∗ . . . ∗ fs)(λ) = 1 N ∑ r f̂1(r) . . . f̂s(r)(−1)〈r,λ〉. Применяя несколько раз неравенство Гельдера, получаем σ ≤ ( 1 N ∑ r ∣∣f̂1(r) ∣∣2s)1/2s . . . ( 1 N ∑ r ∣∣f̂s(r)∣∣2s)1/2s = = (Ts(f1))1/2s . . . (Ts(fs)) 1/2s. Лемма доказана. Если A1, . . . , Ap ⊆ Fn2 — некоторые множества, то через Tp(A1, . . . , Ap) обо- значим число решений уравнения Tp(A1, . . . , Ap) := ∣∣∣{a1 + . . .+ ap = 0: ai ∈ Ai, i = 1, . . . , p }∣∣∣. Тогда Tp(A, . . . , A) = Tp(A). В работе [46] получен результат об оценке величины Tp(Λ) для диссоциативных множеств Λ. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 345 Предложение 3.1. Пусть k — натуральное число, k ≥ 2 и Λ ⊆ Fn2 — произ- вольное множество из семейства Λ(2k). Тогда для всех натуральных p, 2 ≤ p ≤ k, выполнено Tp(Λ) ≤ pp\|Λ\|p. (43) Кроме того, в той же работе был доказан аналог предыдущего предложения для сумм диссоциативных множеств. Предложение 3.2. Пусть k, d — натуральные числа, k ≥ 2, и Λ ⊆ Fn2 — про- извольное множество из семейства Λ(2dk) такое, что \|Λ\| ≥ 4d2. Пусть также Q — некоторое подмножество d∧Λ. Тогда для всех натуральных p, 2 ≤ p ≤ k, выполнено Tp(Q) ≤ 28dppdp\|Q\|p. (44) К сожалению, непосредственное применение предложения 3.2 недостаточно для целей настоящей работы. Кроме неравенства (44) нам понадобятся более тонкие результаты об оценках аналогов величины Tp(Q), где Q — подмножество сумм двух диссоциативных множеств. Пусть Λ1, Λ2 ⊆ Fn2 — произвольные множества, Q — некоторое подмножество множества Λ1 + Λ2. Пусть Dλ = {µ ∈ Λ2 : λ+ µ ∈ Q}, λ ∈ Λ1, D̃µ = {λ ∈ Λ1 : λ+ µ ∈ Q}, µ ∈ Λ2, и Qλ = { q ∈ Q : q = λ+ µ, µ ∈ Λ2 } , λ ∈ Λ1. Ясно, что Qλ = Dλ + λ. Отсюда \|Qλ\| = \|Dλ\|. Пусть также \|Λ1\| = \|Λ2\| = s. Пусть t — натуральное число, t ≥ 2, h1, h2 — целые неотрицательные числа, а µ(1) 1 , . . . , µ (1) h1 ∈ Λ1, µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 ∈ Λ2 — различные элементы. Обозначим через Nt(Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ;µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 ) число решений уравнения q1 + . . .+ qt = µ (1) 1 + . . .+ µ (1) h1 + µ (2) 1 + . . .+ µ (2) h2 , (45) где q1, . . . , qt ∈ Q. Если h1 = 0, h2 6= 0 или h2 = 0, h1 6= 0, то будем использовать обозначения Nt(Q;µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 ) и Nt(Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ) соответственно. Если, на- конец, h1 = h2 = 0, то будем считать, что вместо суммы µ (1) 1 + . . .+µ (1) h1 +µ (2) 1 + . . . . . .+µ (2) h2 в правой части (45) стоит нуль. В этом случае для числа решений уравне- ния (45) будем использовать обозначениеNt(Q). ЧерезN∗t ( Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ;µ (2) 1 , . . . . . . , µ (2) h2 ) обозначим число решений уравнений (45) с различными q1, . . . , qt. Если ~v = (v1, . . . , vt) — некоторый вектор, то через 〈~v〉 обозначим сумму v1 + . . .+ vt. Лемма 3.3. Пусть k — натуральное число, p — четное, 2 ≤ p ≤ k, Λ1, Λ2 ⊆ Fn2 — произвольные непересекающиеся множества такие, что Λ1 ⊔ Λ2 при- надлежит семейству Λ(4k).Пусть такжеQ— некоторое подмножество Λ1+Λ2. Тогда Np(Q) ≤ pp/2 ∑ 〈λ(1)〉+〈λ(2)〉=0 p/2∏ j=1 ∣∣∣Dλ (1) j ∩D λ (2) j ∣∣∣ , (46) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 346 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ где λ(1) = ( λ (1) 1 , . . . , λ (1) p/2 ) , λ(2) = ( λ (2) 1 , . . . , λ (2) p/2 ) — произвольные векторы из Λ p/2 1 . Далее, пусть µ(1) 1 , . . . , µ (1) h1 — произвольные различные элементы из множества Λ1, h1 ≤ 2k и E = { λ+ µ : Dλ ∩Dµ 6= ∅ } ⊆ Λ1 + Λ1. (47) Тогда Np ( Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ) ≤ ≤ 2ppp/2 ( max λ,µ∈Λ1 \|Dλ ∩Dµ\| )p/2 Np/2 ( E;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ) . (48) Доказательство. Сначала установим неравенство (46). Рассмотрим уравнение q1 + . . .+ qp = 0, (49) где qi ∈ Q, qi = λi + λ′i, λi ∈ Λ1, λ ′ i ∈ Λ2, i ∈ [p]. Ясно, что p — четное, иначе уравнение (49) не имеет решений. Поскольку множества Λ1, Λ2 не пересекаются и их объединение принадлежит множеству Λ(4k), для любого решения уравне- ния (49) выполнено ∑p i=1 λi = ∑p i=1 λ′i = 0. Более того, любое λ′i встречается в векторе (λ′1, . . . , λ ′ p) четное число раз. Ясно, что для любого i ∈ [p] выполнено λ′i ∈ Dλi . Следовательно, произвольному решению уравнения (49) qi = λi + λ′i, i ∈ [p], соответствует вектор (x1, . . . , xp/2), все xi из множества {λ′1, . . . , λ′p}, каж- дый xi принадлежит некоторому множеству Dλi ∩ Dλs , s = s(i). Для любого xi выбор числа s(i) осуществляется не более чем p способами. Отсюда получаем формулу (46). Прежде чем доказывать неравенство (48), сделаем несколько замечаний. Ясно, что для любых векторов λ(1) = ( λ (1) 1 , . . . , λ (1) p/2 ) , λ(2) = ( λ (2) 1 , . . . , λ (2) p/2 ) из Λ p/2 1 выполнено p/2∏ j=1 ∣∣∣Dλ (1) j ∩D λ (2) j ∣∣∣ ≤ ( max λ,µ∈Λ1 \|Dλ ∩Dµ\| )p/2 . Далее, в формуле (46) суммирование ведется по всем векторам λ(1), λ(2) таким, что 〈λ(1)〉 + 〈λ(2)〉 = 0 и для всех j ∈ [p/2] выполнено λ(1) j + λ (2) j ∈ E. Теперь, чтобы получить (48), достаточно заметить, что среди компонент векторов λ(1), λ(2) должны быть элементы µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 , так как множество Λ1 ⊔ Λ2 принадлежит семейству Λ(4k). Наконец, каждое qj ∈ E есть qj = λ (1) j + λ (2) j = λ (2) j + λ (1) j , j ∈ [p/2]. Отсюда в формуле (48) получаем множитель 2p/2 ≤ 2p. Лемма доказана. Замечание 3.1. Легко видеть, что для оценки величины N∗p (Q) справедлив аналог формулы (46), а для оценки величины N∗p (Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ) — аналог фор- мулы (48). В первом случае произведение в (46) берется только по тем j, для которых λ(1) j 6= λ (2) j , а во втором максимум в (48) достаточно брать лишь по λ 6= µ. Заметим еще, что в последнем случае множество E из (47) принадлежит Λ1 u Λ1. Теперь мы докажем одну лемму об аналогах величины Np ( Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ) для множеств Q, принадлежащих сумме двух копий одного диссоциативного мно- ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 347 жества Λ. Такие множества появились, например, в предыдущей лемме (см. опре- деление множества E из формулы (47)). Пусть k — натуральное число, k ≥ 2, и Λ ⊆ Fn2 — произвольное множество из семейства Λ(2k). Пусть также Q ⊆ Λ u Λ, и для любого λ ∈ Λ определим аналог величин Qλ, Dλ: Qλ = { q ∈ Q : q = λu µ ∈ Q } , Dλ = { µ ∈ Λ: λu µ ∈ Q } . Аналогично определяютсяNt(Q) иNt(Q;µ1, . . . , µh), где элементы µi ∈ Λ, i ∈ [h], различны. Пусть еще Ω = { (λ, µ) : Qλ ∩Qµ 6= ∅, λ 6= µ } . Справедлива следующая лемма. Лемма 3.4. Пусть k, p — натуральные числа, 2 ≤ p ≤ k, ε > 0 — действи- тельное число, Λ ⊆ Fn2 — произвольное множество из семейства Λ(2k), \|Λ\| ≥ 16. Пусть также Q ⊆ Λ u Λ и для произвольных λ, µ ∈ Λ, λ 6= µ, выполняется неравенство \|Dλ ∩ Dµ\| ≤ ε\|Q\| \|Λ\| . (50) Тогда Np(Q) ≤ 215ppp\|Q\|p/2εp/2 [p/2]∑ t=0 1 (εp)t (51) и Np(Q) ≤ 215ppp\|Q\|p/2εp/2 ( \|Ω\| \|Λ\|2 )p/4 p/2∑ t=0 \|Λ\|t (εp √ \|Ω\|)t . (52) Доказательство. Ясно, что число p является четным, иначе Np(Q) = 0. Сна- чала убедимся в справедливости оценки (51). Пусть a = [ \|Λ\|/4 ] . По условию \|Λ\| ≥ 16. Отсюда \|Λ\|/a ≤ 8. Кроме того,( \|Λ\| − 2 a− 1 )−1(\|Λ\| a ) = \|Λ\|(\|Λ\| − 1) a(\|Λ\| − a) ≤ 32. (53) Пусть для произвольного множества E символ Ec означает Λ \E. Используя дис- социативность множества Λ и определение операции u, получаем Q(x) = 2−1 ( \|Λ\| − 2 a− 1 )−1 ∑ Λ0⊆Λ, \|Λ0\|=a (Q∩ (Λ0 + Λc0)) (x). Применяя неравенство Гельдера, находим Np(Q) ≤ 2−p ( \|Λ\| − 2 a− 1 )−p(\|Λ\| a )p−1 ∑ Λ0⊆Λ, \|Λ0\|=a Np(Q∩ (Λ0 + Λc0)). (54) Если мы докажем, что для любого Λ0 ⊆ Λ выполнено ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 348 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ Np(Q∩ (Λ0 + Λc0)) ≤ 28ppp\|Q\|p/2εp/2 [p/2]∑ t=0 1 (εp)t , то, подставив это неравенство в (54) и использовав (53), получим Np(Q) ≤ 2−p ( \|Λ\| − 2 a− 1 )−p(\|Λ\| a )p 28ppp\|Q\|p/2εp/2 [p/2]∑ t=0 1 (εp)t ≤ ≤ 215ppp\|Q\|p/2εp/2 [p/2]∑ t=0 1 (εp)t , и первое утверждение леммы 3.4 будет доказано. Пусть Λ0 ⊆ Λ, \|Λ0\| = a — некоторое множество. Положим Λ1 = Λ0, Λ2 = Λ\Λ0 и Q′ = Q ∩ (Λ1 + Λ2). Требуется доказать, что Np(Q′) ≤ 26ppp\|Q\|p/2εp/2 [p/2]∑ t=0 1 (εp)t . Разобьем все решения уравнения q1 + . . . + qp = 0, qi ∈ Q′, i ∈ [p], на группы. Пусть t ≤ p/2 — целое неотрицательное число. Тогда в одну группу попадают решения (q1, . . . , qp), имеющие ровно t пар элементов qi, в каждой паре элементы одинаковы, и при этом все остальные qi различны. Индексы этих различных qi образуют некоторое множество W, при этом число таких множеств не превышает( p p− 2t ) ≤ 2p. Далее, любой элемент пары можно выбрать не более чем \|Q′\| ≤ \|Q\| способами. Кроме того, сумма всех элементов, образующих пары, равна нулю. Суммируя вышеизложенное и используя лемму 3.1, находим Np(Q′) ≤ 2p p/2∑ t=0 N∗p−2t(Q′)e2ttt\|Q\|t ≤ 8p p/2∑ t=0 N∗p−2t(Q′)tt\|Q\|t, (55) где значениеN∗0 (Q′) полагаем равным 1. Для оценки величинN∗p−2t(Q′) применим лемму 3.3. Мы получим множество E ⊆ Λ1 u Λ1, E ⊆ Ω, такое, что N∗p−2t(Q′) ≤ 2p(p− 2t)(p−2t)/2 ( ε\|Q\| \|Λ\| )p/2−t Np/2−t(E) ≤ ≤ 2p(p− 2t)(p−2t)/2 ( ε\|Q\| \|Λ\| )p/2−t Np/2−t(Λ1 u Λ1). (56) Таким образом, если мы оценим Np/2−t(Λ1 u Λ1) сверху, то величина N∗p−2t(Q′) также будет оценена. Ясно, что \|Λ1 u Λ1\| ≤ \|Λ1\|2 ≤ \|Λ\|2. Используя теперь пред- ложение 3.2, получаем Np/2−t(Λ1 u Λ1) ≤ 28(p/2−t) ( 1 2 (p 2 − t ))p/2−t \|Λ\|p/2−t. Объединяя последнюю формулу и неравенства (55), (56), находим ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 349 Np(Q′) ≤ 24p p/2∑ t=0 (p− 2t)(p−2t)/2 ( ε\|Q\| \|Λ\| )p/2−t × ×28(p/2−t) ( 1 2 (p 2 − t ))p/2−t \|Λ\|p/2−ttt\|Q\|t ≤ ≤ 28ppp\|Q\|p/2εp/2 p/2∑ t=0 ε−t(p− 2t)(p−2t)/2(p− 2t)p/2−tpt ≤ ≤ 28ppp\|Q\|p/2εp/2 p/2∑ t=0 1 (εp)t . (57) Нам осталось доказать неравенство (52). Для любого t = 0, 1, . . . , p/2 по лем- ме 3.3 имеем N∗p−2t(Q′) ≤ 2p(p− 2t)(p−2t)/2 ( ε\|Q\| \|Λ\| )p/2−t N(p−2t)/2(Ω). (58) Применяя предложение 3.2, находим N∗p−2t(Q′) ≤ 25p(p− 2t)p−2t\|Ω\|(p−2t)/4 ( ε\|Q\| \|Λ\| )p/2−t . (59) Применяя теперь последнее неравенство и оценку (55), получаем Np(Q′) ≤ 28p p/2∑ t=0 pp−2t\|Ω\| p−2t 4 ( ε\|Q\| \|Λ\| )p/2−t tt\|Q\|t ≤ ≤ 28ppp\|Q\|p/2εp/2 ( \|Ω\| \|Λ\|2 )p/4 p/2∑ t=0 \|Λ\|t( εp √ \|Ω\| )t . (60) Лемма доказана. Следствие 3.1. Пусть в условиях предыдущей леммы выполнено ε ≤ 1/(2p) или ε ≤ \|Λ\|/ ( 2p √ \|Ω\| ) . Тогда Np(Q) ≤ 216ppp/2\|Q\|p/2. Выведем еще одно следствие из леммы 3.4. Следствие 3.2. Пусть k — натуральное число, h — целое, h ≤ 2k, p — четное, 2 ≤ p ≤ k, C∗ — действительное число, Λ ⊆ Fn2 — произвольное множество из семейства Λ(4k), \|Λ\| ≥ 16, и Q ⊆ Λ u Λ — некоторое множество, \|Q\| ≥ 2. Предположим, что для всех λ ∈ Λ выполнено \|Qλ\| ≤ C∗\|Q\| \|Λ\| . (61) Тогда для произвольного целого h и различных µ1, . . . , µh ∈ Λ имеем Np(Q;µ1, . . . , µh) ≤ ≤ 22pph max {( C∗p\|Q\| \|Λ\| )h/2 (Np(Q))(p−h)/p, (Np(Q))(p−h/2)/p } . (62) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 350 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ Если же число p ≥ 3 нечетное и h ≥ 1, то Np(Q;µ1, . . . , µh) ≤ 22p max{%1, %2}, (63) где %1 = ( C∗p\|Q\| \|Λ\| ) max {( C∗p\|Q\| \|Λ\| )(h−1)/2 (Np−1(Q))(p−h)/(p−1), (Np−1(Q))(p−h−1/2)/(p−1) } и %2 = max {( C∗p\|Q\| \|Λ\| )(h−2)/2 (Np−1(Q))(p−h+1)/(p−1), (Np−1(Q))(p−h/2)/(p−1) } . Доказательство. Предположим сначала, что число p является четным, и до- кажем неравенство (62). Рассмотрим уравнение q1 + . . .+ qp = µ1 + . . .+ µh, (64) где qi ∈ Q, qi = λi + λ′i, λi ∈ Λ, λ′i ∈ Λ, i ∈ [p]. Обозначим через σ число решений уравнения (64). По условию множество Λ принадлежит семейству Λ(4k). Отсюда h — четное и h ≤ 2p, иначе σ = 0. Поскольку множество Λ принадлежит семейству Λ(4k), среди элементов λi, λ′i обязательно есть µ1, . . . , µh. ПустьM = = {µ1, . . . , µh}. Пусть также S1, S2 ⊆ [p] — произвольные множества, \|S1\|+ \|S2\| = = h. Число решений уравнения (64), для которого выполнено λi ∈ M, i ∈ S1, λ′j ∈ M, j ∈ S2, обозначим через σ(S1, S2). Зафиксируем множества S1 и S2, а также элементы µi, i ∈ S1, µj , j ∈ S2. Возьмем произвольное i ∈ [p] и определим множество Qi. Если λi, λ′i ∈ M, то пусть Qi — одноэлементное множество {λi u u λ′i}. В противном случае положим Qi = Qλi , если λi ∈ M, и Qi = Qλ′i , если λ′i ∈ M. Наконец, пусть Qi = Q, если λi, λ ′ i /∈ M. Заметим, что Np(Dλ) = = Np(Qλ), λ ∈ Λ. Применяя лемму 3.2 с λ = µ1 + . . .+ µh, получаем σ ≤ ∑ S1⊆[p], S2⊆[p] σ(S1, S2) ≤ 2pph max S1,S2,µi p∏ i=1 T 1/p p/2 (Qi). Пусть x — число всех Qi, не совпадающих с Q и равных некоторым Qλi , а y — число всех одноэлементных Qi. Ясно, что 2y + x = h. Отсюда 0 ≤ y ≤ h/2. Применяя предложение 3.1, находим σ ≤ 2pph max 0≤y≤h/2 {( C∗p\|Q\| \|Λ\| )h/2−y (Np(Q))(p−h+y)/p } = = 2pph max {( C∗p\|Q\| \|Λ\| )h/2 (Np(Q))(p−h)/p, (Np(Q))(p−h/2)/p } . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 351 Пусть теперь p ≥ 3 является нечетным. Тогда p− 1 ≥ 2 — четное. По условию h ≥ 1. Следовательно, найдется по крайней мере одно множество Qi, не совпа- дающее с Q. Пусть это множество Qi равно некоторому Qλi . Без ограничения общности можно считать, что Qλi = Qµ1 . Тогда Np(Q;µ1, . . . , µh) ≤ p ( C∗p\|Q\| \|Λ\| ) Np−1(Q;µ2, . . . , µh) ≤ p%1, так как мы имеем случай, рассмотренный выше. Пусть теперь множество Qi есть одноэлементное множество. Без ограничения общности считаем, что Qi = {µ1 + + µ2}. Тогда Np(Q;µ1, . . . , µh) ≤ pNp−1(Q;µ3, . . . , µh) ≤ p%2, так как мы опять можем применить рассуждения, изложенные выше. Следствие доказано. Кроме множеств Dλ, Qλ, связанных с некоторым Q ⊆ Λ1 + Λ2, Λ1 ⊔ Λ2 ∈ ∈ Λ(4k), нам понадобится множество Ω из Λ1 × Λ1. Пусть Ω := { (λ, µ) ∈ Λ1 × Λ1 : λ 6= µ, Dλ ∩Dµ 6= ∅ } . Заметим, что множество Ω является симметричным в том смысле, что (λ, µ) ∈ Ω тогда и только тогда, когда (µ, λ) ∈ Ω. Аналогично, для любого λ ∈ Λ1 определим Ωλ = {µ ∈ Λ1 : (λ, µ) ∈ Ω}. Пусть еще Ω# := { (λ, µ) ∈ Λ1 × Λ1 : λ 6= µ, Ωλ ∩ Ωµ 6= ∅ } . Наконец, обозначим черезN∗∗t (Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ;µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 ) число решений урав- нения q1 + . . .+ qt = µ (1) 1 + . . .+ µ (1) h1 + µ (2) 1 + . . .+ µ (2) h2 , где q1, . . . , qt ∈ Q и при этом все qr различны, а также qr 6= µ (1) i + µ (2) j , i ∈ [h1], j ∈ [h2]. Ясно, что для всех p имеем оценку Tp(Q) ≥ (Kp)p\|Q\|p с некоторой положи- тельной константой K. В определенном смысле следующая лемма дает некоторые достаточные условия для выполнения обратного неравенства для величин Tp и Np. Доказательство представляет собой развитие подхода из [46]. Лемма 3.5. Пусть k, p, s — натуральные числа, h1, h2 — целые неотрица- тельные числа, C ≥ 1 — действительное число, 2 ≤ p ≤ k, h1, h2 ≤ k, h1 + h2 ≥ ≥ 1, Λ1,Λ2 ⊆ Fn2 , \|Λ1\| = \|Λ2\| = s — произвольные непересекающиеся множе- ства такие, что Λ1 ⊔ Λ2 принадлежит семейству Λ(4k) и µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ∈ Λ1, µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 ∈ Λ2 — различные элементы. Пусть также Q — некоторое подмно- жество Λ1 + Λ2. Предположим, что \|Λ1\| ≥ \|Q\|31/32, \|Q\| ≥ \|Λ1\|, \|Q\| ≥ 2200C50 и 1) для любого λ ∈ Λ1 имеем \|Dλ\| ≤ C\|Q\|/s, а для любого µ ∈ Λ2 выполнено \|D̃λ\| ≤ C\|Q\|/s; . 2) для произвольных λ, µ ∈ Λ1, λ 6= µ, выполняется неравенство \|Dλ ∩Dµ\| ≤ ≤ C; ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 352 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ 3) для любого λ ∈ Λ1 выполнено \|Ωλ\| ≤ C\|Q\|2/s2; 4) для любых λ, µ ∈ Λ1, λ 6= µ, имеет место неравенство \|Ωλ ∩ Ωµ\| ≤ C\|Q\| s (65) и, наконец, 5) \|Ω\| ≥ \|Q\|2/(Cs), \|Q\|3/(Cs2) ≤ \|Ω#\| ≤ C\|Q\|4/s3. Тогда для всех 2 ≤ p ≤ C √ \|Q\| выполнено Np ( Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ;µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 ) ≤ (235C5)ppp/2+1\|Q\|(p−1)/2 (66) и N∗∗p ( Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ;µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 ) ≤ ≤ 220pC4ppp+h/2m3p/4+h2−3h/4s5h/8−5p/8−h2 . (67) Доказательство. Пусть m = \|Q\| и s = \|Λ1\| = \|Λ2\|. Вначале докажем неравен- ство (66). Для определенности будем считать, что h1 ≥ h2. Рассмотрим уравнение q1 + . . .+ qp = µ (1) 1 + . . .+ µ (1) h1 + µ (2) 1 + . . .+ µ (2) h2 , (68) где qi ∈ Q, i = 1, . . . , p. Обозначим через σ число решений уравнения (68). По- скольку Q ⊆ Λ1 + Λ2, для всех q ∈ Q выполнено q = λ1 + λ2, где λ1 ∈ Λ1, λ2 ∈ Λ2. Пусть N∗p (Q) — число решений уравнения (68) с различными qi. Для дока- зательства оценки (66) достаточно показать, что для всех 2 ≤ l ≤ p ≤ C √ m выполняется неравенство N∗l (Q) ≤ (230C5)lpl/2+1m(l−1)/2. (69) Действительно, рассуждая, как и при доказательстве леммы 3.4, разобьем все ре- шения уравнения (68) на группы. Пусть t ≤ p/2 — целое неотрицательное число. Тогда в одну группу попадают решения (q1, . . . , qp), имеющие ровно t пар элемен- тов qi, в каждой паре элементы одинаковы и при этом все остальные qi различны. Индексы этих различных qi образуют некоторое множество W, и число таких мно- жеств не превышает ( p p− 2t ) ≤ 2p. Далее, любой элемент пары можно выбрать не более чем m способами. Кроме того, сумма всех элементов, образующих пары, равна нулю. Суммируя вышеизложенное и используя для подсчета всех вариантов разбиения множества [2t] на пары лемму 3.1, находим σ ≤ 8p [p/2]∑ t=0 N∗p−2t(Q)ttmt ≤ ≤ g + 8p(230C5)p [p/2]−1∑ t=0 m(p−1)/2−tpp/2−t+1ptmt ≤ ≤ g + (234C5)ppp/2+1m(p−1)/2, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 353 где g ≤ 8pN∗1 (Q)p(p−1)/2m(p−1)/2 ≤ 8pp(p−1)/2m(p−1)/2, если p — нечетное, и g = 0, если p — четное. В любом случае получаем неравенство (66). Указанные оценки для величин g и N∗1 (Q) следуют из того факта, что h1 + h2 ≥ 1. Далее, предположим, что найдутся i ∈ [h1], j ∈ [h2] такие, что µ(1) i + µ (2) j ∈ Q, и пусть N∗∗p (Q) — число решений уравнения (68) с различными qr и такими, что qr 6= µ (1) i + µ (2) j , r ∈ [p]. Поскольку m ≥ 28C2, то p ≤ C √ m ≤ m. Величина N∗p (Q) может быть оценена сверху через N∗∗l (Q): N∗p (Q) ≤ h2∑ t=0 ( p t )( h2 t ) t! ( Cm s )t N∗∗p−t(Q). (70) Действительно, разобьем наборы (q1, . . . , qp), где элементы qr различны и удовле- творяют уравнению (68), на группы. Пусть t ≤ h2 ≤ h1 — целое неотрицательное число. Тогда в одну группу попадают решения (q1, . . . , qp), имеющие ровно t эле- ментов qr, равных некоторым µ (1) i + µ (2) j , i ∈ [h1], j ∈ [h2]. Очевидно, что места для этих qr мы можем выбрать не более чем ( p t ) способами, а элементы µ (1) i , µ (2) j — не более чем ( h1 t )( h2 t ) способами. Далее мы можем переставлять элементы µ (1) i , что дает еще t! вариантов. Используя первый пункт леммы, грубо оценива- ем оставшиеся возможности для µ(2) j числом (Cm/s)t. Отсюда получаем формулу (70). Имеем m ≥ 2200C50, p ≤ C √ m и s ≥ m31/32, откуда s ≥ C3/2m3/4 ≥ Cm1/2p1/2. (71) Теперь ясно, что достаточно установить справедливость аналога оценки (69) для величины N∗∗p (Q), а именно, N∗l (Q) ≤ (225C5)lpl/2+1m(l−1)/2, l ∈ [p], так как тогда N∗p (Q) ≤ h2∑ t=0 ( p t )( h2 t ) t! ( Cm s )t N∗∗p−t(Q) ≤ ≤ g′ + (226C5)p h2∑ t=0 ptpp/2+1−t/2m(p−1)/2−t/2 ( Cm s )t ≤ ≤ g′ + (229C5)ppp/2+1m(p−1)/2, (72) где g′ ≤ ( p h2 − 1 ) (h2 − 1)! ( Cm s )h2 N∗∗1 (Q), если p — нечетное, и g′ ≤ ( p h2 ) × ×h2! ( Cm s )h2 , если p — четное. В первом случае t = h2 − 1 и, следовательно, N∗∗1 (Q) = 0, а во втором g′ ≤ 22pph2 ( Cm s )h2 ≤ 22ppp ( Cm s )p ≤ (227C5)ppp/2+1m(p−1)/2, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 354 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ так как справедлива оценка (71). Мы опять получаем неравенство (66). Пусть σ∗ — число решений уравнения (68) с различными qr, qr 6= µ (1) i +µ (2) j , i ∈ [h1], j ∈ [h2]. Заметим, что если h1 + h2 > p, то величина σ∗ равна нулю. Рассмотрим случай, когда h1 +h2 = p. Последнее равенство возможно, если только p является четным. В этом случае, используя оценки (71), p ≤ Cm1/2, а также пункты 1 и 2 леммы, находим σ∗ ≤ Cp/2 ( p h1 ) h1!h2! ( Cm s )h2 ≤ 2pCp/2ph1+h2 ( Cm s )h2 = = 2pCp/2pp ( Cm s )h2 ≤ 2pCp/2pp/2+1m(p−1)/2, (73) и неравенство (66) выполнено. В дальнейшем будем считать, что h1 + h2 < p. Среди решений (q1, . . . , qp) уравнения (68) найдутся элементы qr(i) такие, что qr(i) = µ̃i+µ (2) i , i ∈ [h2]. Элементы µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 можно расставить в соответству- ющих qi не более чем ( p h2 ) h2! ≤ ph2 способами. Из свойства 1 следует, что число всех µ̃i не превышает (Cm/s)h2 . Не ограничивая общности, считаем, что различ- ными среди элементов µ̃1, . . . , µ̃h2 являются элементы µ̃1, . . . , µ̃h′2 , где h′2 ≤ h2 и h2 − h′2 ≡ 0 (mod 2). Пусть p2 = (p − h2)/2, ∆ = h2 − h′2 ≥ 0, h = h1 + h2 и h′ = h1 + h′2. Ясно, что h — четное, а число p2 — натуральное, иначе уравнение (68) не имеет решений. Тогда h′ = h − ∆ является четным. Применяя лемму 3.3 (см. также замечание 3.1) и условие 2, находим σ∗ ≤ 22pCppp2+h2 ( Cm s )h2 max µ̃1,...,µ̃h′2 ∈Λ1 Np2 ( Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 , µ̃1, . . . , µ̃h′2 ) , (74) где Q = {λ u µ : (λ, µ) ∈ Ω} ⊆ Λ1 u Λ1. Согласно пунктам 3 и 5 имеем \|Ω\| ≥ ≥ m2/(Cs) и для всех λ ∈ Λ1 выполнено \|Ωλ\| ≤ Cm2/s2. Отсюда m2 2Cs ≤ \|Q\| ≤ ∑ λ∈Λ1 \|Qλ\| ≤ ∑ λ∈Λ1 \|Ωλ\| ≤ Cm2 s . Согласно четвертому условию леммы для произвольных λ, µ ∈ Λ1, λ 6= µ, выпол- няется неравенство \|Ωλ ∩Ωµ\| ≤ Cm s . Cледовательно, для любых λ, µ ∈ Λ1, λ 6= µ, выполнено \|Dλ ∩ Dµ\| ≤ \|Ωλ ∩ Ωµ\| ≤ ε\|Q\| s , (75) где ε = 2C2s/m. Применяя оценку из пункта 3 еще раз, находим ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 355 \|Dλ\| = \|Qλ\| ≤ \|Ωλ\| ≤ 2C2\|Q\| s = C∗\|Q\| s , (76) где C∗ = 2C2. Несложно видеть, что случай p2 = 1 возможен только лишь (при условии h < p) когда p = 3, h1 = h2 = 1. В этом случае неравенства (66), (67) следуют из пунктов 1 (или 2)) леммы 3.5. Поэтому в дальнейшем будем считать, что p2 ≥ ≥ 2. Предположим, что p2 — четное. В этом случае, используя следствие 3.2 и оценку (76), находим Np2 ( Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 , µ̃1, . . . , µ̃h′2 ) ≤ ≤ 22pph ′ max {( C∗p\|Q\| s )h′2 (Np2(Q))(p2−h′)/p2 , (Np2(Q))(p2−h′/2)/p2 } (77) для любых µ̃1, . . . , µ̃h′2 . Предположим сначала, что Np2(Q) ≥ ( C∗p\|Q\|/s )p2 . Тогда Np2(Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 , µ̃1, . . . , µ̃h′2) ≤ 22pph ′ Np2(Q)(Np2(Q))−h ′/2p2 . (78) По условию \|Ω#\| ≥ m3/(Cs2). Отсюда p ≥ 2 ≥ s/(2ε\|Ω#\|). Пусть Ω = { (λ, µ) : Qλ ∩Qµ 6= ∅, λ 6= µ } . Ясно, что Ω = Ω#. По свойству 5 имеем \|Ω#\| ≤ Cm4/s3. Применяя лемму 3.4 и оценку (75), находим Np2(Q) ≤ 210ppp2(\|Q\|ε)p2/2 ( \|Ω#\| s2 )p2/4 ≤ 211pCppp2m3p2/2s−5p2/4. (79) Подставляя последнее неравенство в (78), а затем используя неравенство (74), по- лучаем σ∗ ≤ 216pC3ppp (m s )h2 ph ′ m3p2/2s−5p2/4 ( pp2m3p2/2s−5p2/4 )−h′/2p2 = = 216pC3ppp+h/2m3p/4+h2−3h/4s5h/8−5p/8−h2 ( s5/8 m3/4 )h2−∆( 1 √ p )∆ = σ1σ2. (80) Поскольку s ≤ m, то σ2 ≤ max{s5h2/8m−3h2/4, p−h2/2} = σ̃2 ≤ 1. Проверим, что для всех p ≤ C √ m выполняется неравенство σ∗ ≤ σ1σ2 ≤ (235C4)ppp/2+1\|Q\|(p−1)/2. (81) Если максимум в σ̃2 достигается на первой величине, то, применяя оценку p ≤ ≤ C √ m, получаем, что для проверки (81) достаточно установить неравенство mp/4+h/4−1/2+3p/4+h2−3h/4−p/2+1/2−3h2/4 = = mp/2−h1/2−h2/4 ≤ s5p/8−5h/8+h2−5h2/8 = s5p/8−5h1/8−h2/4. (82) По условию m ≤ s1+1/31 = s1+α0 . С учетом последней оценки неравенство (82) принимает вид α0 ( p 2 − h1 2 − h2 4 ) ≤ p 8 − h1 8 , что верно для всех h1, h2, h2 ≤ h1, h1 + h2 ≤ p и α0 ≤ 1/4. Если же максимум в σ̃2 достигается на его второй величине, то достаточно проверить, что ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 356 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ mp/4+h/4−1/2+3p/4+h2−3h/4−p/2+1/2−h2/4 = = mp/2−h1/2+h2/4 ≤ s5p/8−5h/8+h2 = s5p/8−5h1/8+3h2/8 (83) или α0 ( p 2 − h1 2 + h2 4 ) ≤ p 8 − h1 8 + h2 8 . Последнее неравенство следует из оценки α0 ≤ 1/4. Поэтому если Np2(Q) ≥ ≥ (C∗p\|Q\|/s)p/2 и число p2 — четное, то неравенство (66) доказано. Пусть теперь p — любое, p ≤ C √ m, p2 — четное и Np2(Q) ≤ (C∗p\|Q\|/s)p2 . Тогда Np2(Q) ≤ ( C∗p\|Q\| s )p2 ≤ 2pC2ppp2 (m s )p−h2 . (84) Используя последнюю оценку и неравенства (74), (77), находим σ∗ ≤ 216pC4ppp (m s )h2 ph ′ ( pm2 s2 )h′/2 (m s )p−h2 ( pm2 s2 )−h′ = = 216pC4ppp+h/2mp+h2−hs−p−h2+h ( s m )h2−∆ ( 1 √ p )∆ = σ3σ ′ 3 = σ4. (85) Так как s ≤ m, то σ′3 ≤ max { sh2m−h2 , p−h2/2 } = σ̃′3 ≤ 1. Если максимум в σ̃′3 достигается на второй величине, то σ∗ ≤ σ3σ ′ 3 ≤ 216pC4ppp+h/2mp+h2−hs−p−h2+hp−h2/2 ≤ Cpσ1p −h2/2, (86) что, очевидно, не превышает Cpσ1σ̃2. Неравенство (86) эквивалентно α0 ( p 4 − h 4 ) ≤ p 8 − h 8 (87) и следует из оценки α0 ≤ 1/2. Если же максимум в σ′3 достигается на его первой величине, то σ∗ ≤ σ3σ ′ 3 ≤ 216pC4ppp+h/2mp+h2−hs−p−h2+hsh2m−h2 ≤ ≤ (235C5)ppp/2+1m(p−1)/2, (88) так как mp+h2−h−h2−(p−1)/2+p/4+h/4−1/2 = m3p/4−3h/4 ≤ sp+h2−h−h2 = sp−h. (89) Неравенство (89) эквивалентно α0 ( 3p 4 − 3h 4 ) ≤ p 4 − h 4 (90) и следует из оценки α0 ≤ 1/3. Из неравенств (86), (88) и (81) получаем неравен- ство (66) в случае четного p2. Пусть теперь число p2 — нечетное. Тогда p2 ≥ 3, и мы можем применить след- ствие 3.2. Нетрудно проверить, что в случае нечетного p2 получающиеся оценки ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 357 для σ∗ не слишком отличаются от ситуации, когда p2 является четным. Пусть, на- пример, в формуле (63) максимум достигается на величине %1, а максимум в %1 — на его второй величине. Используя (79) и (80) с p2 = p2 − 1, h′ = h′ − 1, находим σ∗ ≤ σ1σ2 C∗Cpm 2 s2 s5/8 p3/2m3/4 ≤ σ1σ2 C∗Cm 5/4 s11/8 ≤ σ1σ2, так как s ≥ m31/32 и m ≥ 2200C50. Если максимум в %1 достигается на его первой величине, то, используя (84), (85) с p2 = p2 − 1, h′ = h′ − 1, получаем σ∗ ≤ σ3σ ′ 3 C∗Cpm 2 s2 s p3/2m ≤ σ3σ ′ 3 C∗Cm s = σ3σ ′ 3σ ′′ 3 . Из-за наличия множителя σ′′3 , σ ′′ 3 > 1, неравенства (87), (90) примут вид α0 ( p 4 − h 4 + 1 ) ≤ p 8 − h 8 и α0 ( 3p 4 − 3h 4 + 1 ) ≤ p 4 − h 4 . Последние неравенства выполнены, так как h < p и α0 ≤ 1/31. Пусть теперь максимум в формуле (63) достигается на величине %2. Пусть, кроме того, максимум в самом %2 достигается на его второй величине. Используя (79) и (80) с p2 = p2 − 1, h′ = h′ − 2, находим σ∗ ≤ σ1σ2 p2 ≤ σ1σ2. Если максимум в %2 достигается на его первой величине, то, используя (84), (85) с p2 = p2 − 1, h′ = h′ − 2, получаем σ∗ ≤ σ3σ ′ 3 p2 ≤ σ3σ ′ 3. Таким образом, случай нечетного p2 проанализирован полностью. Одновременно мы убедились в выполнении неравенства (67). Действительно, σ1σ2 ≤ σ1, σ3σ ′ 3 ≤ ≤ σ3 и по неравенству (86) имеем σ3 ≤ σ1. Следовательно, для h < p N∗∗p ( Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ;µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 ) ≤ ≤ σ1 ≤ 220pC4ppp+h/2m3p/4+h2−3h/4s5h/8−5p/8−h2 . Кроме того, из оценки (73) в случае h = p следует, что N∗∗p ( Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ;µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 ) ≤ ≤ 2pCp/2pp ( Cm s )h2 ≤ (2C)pp3p/2 (m s )h2 = = (2C)ppp+h/2m3p/4+h2−3h/4s5h/8−5p/8−h2 . Лемма доказана. Нам потребуется одно утверждение из теории графов, которое используется в доказательстве леммы 3.6, приведенной ниже. Мы благодарны С. Еханину за сообщение нам доказательства этой леммы. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 358 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ Напомним, что обхват g неориентированного конечного графа Γ = (V,E) — это длина минимального цикла. Связь между количеством вершин, числом ребер и обхватом изучалась во многих работах (см., например, [39 – 42]). Нам понадобится одно предложение из [42]. Предложение 3.3. Пусть Γ = (V,E) — конечный граф с обхватом g и k = = [ \|E\|/\|V \| ] ≥ 2. Тогда g ≤ 2 + 2 logk(\|E\|/4). Заметим, что если g ≤ 4, то оценка g ≤ 2 + 2 logk(\|E\|/4) является очевидной. С помощью предложения 3.3 мы доказываем следующую лемму. Лемма 3.6. Пусть Λ, A1, A2 ⊆ Fn2 — некоторые множества, Λ ⊆ A1 + A2 и \|A1\| = \|A2\| = t ≥ 16. Пусть также множество Λ принадлежит семейству Λ(2 + 2 log t). Тогда \|Λ\| < 4t. Доказательство. Предположим противное. Пусть \|Λ\| ≥ 4t и Λ′ ⊆ Λ — про- извольное множество мощности 4t. Ясно, что Λ′ принадлежит семейству Λ(2 + + 2 log t). Построим неориентированный граф Γ = (V,E). Множество вершин графа Γ — это объединение множеств A1 и A2, а вершина x соединена с верши- ной y тогда и только тогда, когда x + y ∈ Λ′. Если некоторый элемент λ ∈ Λ′ представляется в виде суммы x + y несколькими способами, то соединим ребром лишь одну пару таких вершин. Тогда \|E\| = 4t, \|V \| = 2t и \|E\|/\|V \| = 2. Приме- няя предложение 3.3, находим в графе Γ цикл длины g, g ≤ 2 + 2 log t. Пусть (z1, z2), (z2, z3), . . . , (zg−1, zg), (zg, z1) — этот цикл, zg+1 := z1 и λi = zi+zi+1, i = = 1, . . . , g. Ясно, что все λi ∈ Λ′ различны. Кроме того, ∑g i=1 λi = 2 ∑g i=1 zi = 0. Получили противоречие с тем фактом, что Λ ∈ Λ(2 + 2 log t). Лемма доказана. Лемма 3.6 будет использована нами при доказательстве теорем 1.3 и 1.4. В завершение настоящего пункта приведем простую лемму. Лемма 3.7. Пусть N, t, k — натуральные числа, k ≤ t и N > ( t k ) 2k. Тогда семейство Λ(k) содержит некоторое множество из t элементов. Доказательство. Рассмотрим все наборы длины t — (a1, . . . , at), где ai ∈ Fn2 . Ясно, что существует ровно N t таких наборов. Далее, существует не более ( t k ) 2k уравнений t∑ i=1 aiεi = 0, ai ∈ Fn2 , εi ∈ {0, 1}, (91) с коэффициентами εi, ∑t i=1 εi ≤ k. Любому уравнению (91), не все коэффи- циенты которого нулевые, удовлетворяет не более Nk−1N t−k = N t−1 решений (a1, . . . , at). Кроме того, N t−1 ( t k ) 2k < N t. Значит, найдется набор (a1, . . . , at), удовлетворяющий только одному уравнению (91), а именно, уравнению с нулевыми коэффициентами. Легко видеть, что все элементы в наборе (a1, . . . , at) различны. Отсюда множество Λ = {a1, . . . , at}, состоящее из t элементов, принадлежит семейству Λ(k). Лемма доказана. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 359 4. Доказательство основного результата. Примером множеств Q, удовлетво- ряющих условиям леммы 3.5, являются случайные подмножества Λ1 + Λ2. Для доказательства нам понадобится широко известное неравенство Бернштейна [17] (см. также [36]) об оценках вероятностей больших уклонений суммы независимых случайных величин. Нужный нам вариант этого неравенства содержится в [19]. Теорема 4.1. Пусть X1, . . . , Xn — последовательность независимых случай- ных величин, каждая из которых имеет нулевое математическое ожидание EXj = = 0 и конечный второй момент E\|Xj \|2 = σ2 j . Пусть σ2 = σ2 1 + . . .+ σ2 n и для всех j ∈ [n] выполнено \|Xj \| ≤ 1. Пусть, наконец, t — вещественное число такое, что σ2 ≥ 6nt. Тогда P (∣∣∣∣X1 + . . .+Xn n ∣∣∣∣ ≥ t) ≤ 4e−n 2t2/8σ2 . Построим случайное множество U ⊂ [s]×[s] следующим образом. Зафиксируем m ∈ (s, s2]. Возьмем s2 независимых случайных величин ξi,j , i, j ∈ [s], таких, что для всех i, j выполнено ξi,j ∈ {0, 1}, P(ξi,j = 1) = m s2 . Пусть U = { (i, j) : ξi,j = 1 } . Лемма 4.1. Пусть s, m, ρ,K — положительные целые числа такие, что m > s, ρm < s2, K = κρ и, более того, κ ≥ 2 log(m/s) log(s2/(mρ)) + 2, (92) κ ≥ 5. (93) Тогда событие max I⊂[s],J⊂[s], \|I\|=\|J\|=ρ ∣∣(I × J) ∩ U ∣∣ ≥ K имеет вероятность < 2−ρ. Доказательство. Возьмем произвольные множества I ⊂ [s] и J ⊂ [s] такие, что \|I\| = \|J \| = ρ. Вероятность PI,J события \|(I×J)∩U \| ≥ K может быть оценена следующим образом: PI,J ≤ ( ρ2 K )(m s2 )K . Далее, ∑ I,J PI,J ≤ ( s ρ )2( ρ2 K )(m s2 )K ≤ ≤ ( es ρ )2ρ( eρ2 K )K (m s2 )K = ( es ρ )2ρ (eρm κs2 )κρ = Πρ 1Πρ 2, где Π1 = (ρm s2 )κ−2 m2 s2 , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 360 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ Π2 = eκ+2 κκ . Согласно (92) имеем Π1 ≤ 1. Аналогично, по (93) выполнено Π2 < 1/2. Таким образом, ∑ I,J PI,J < 2−ρ, и лемма 4.1 доказана. Пусть Λ1, Λ2 — произвольные непересекающиеся подмножества Fn2 , \|Λ1\| = = \|Λ2\| = s и Λ1 ⊔ Λ2 ∈ Λ(2ρ+ 2). Пусть также Λν = { λν1 , . . . , λ ν s } ν = 1, 2. Используя построенное выше множество U, получаем случайное множество Q = { λ1 i + λ2 j : (i, j) ∈ U } . Следствие 4.1. Пусть условия леммы 4.1 выполнены. Тогда событие, заклю- чающееся в том, что существует подпространство Fn2 размерности ρ, имеющее не менее K общих элементов с Q, имеет вероятность меньше 2−ρ. Доказательство. Возьмем произвольное подпространство Y ⊂ Fn2 размерно- сти ρ, и пусть E — максимальное линейно независимое подмножество векторов из (Λ1 + Λ2) ∩ Y. Очевидно, что \|E\| ≤ ρ, и мы находим множества H ⊆ [s], J ⊆ [s] такие, что \|H\| = \|J \| = ρ и Y ∩Q ⊆ { λ1 i + λ2 j ∈ Q : i ∈ H, j ∈ J } . Теперь осталось применить лемму 4.1. Следствие доказано. Покажем, что построенное выше случайное множество Q удовлетворяет всем условиям леммы 3.5. Сохраним все обозначения леммы 3.5. Лемма 4.2. Пусть Q — такое же, как в предыдущей лемме, s ≥ 16, s ≥ ≥ m31/32 и m ≥ 220s log s. Тогда с вероятностью больше 1/2 для всех λ, λ′ ∈ Λ1, λ 6= λ′, выполняется неравенство \|Dλ ∩Dλ′ \| ≤ 4, (94) для любого λ ∈ Λ1 имеем \|Dλ\| ≤ 4m/s, а для произвольного µ ∈ Λ2 выполнено \|D̃µ\| ≤ 4m/s. Далее, для любого λ ∈ Λ1 выполнено \|Ωλ\| ≤ 16m2/s2, для произволь- ных λ, λ′ ∈ Λ1, λ 6= λ′, имеем \|Ωλ ∩ Ωλ′ \| ≤ 64m s (95) и m/2 ≤ \|Q\| ≤ 2m, \|Ω\| ≥ m2/(32s), m3/(218s2) ≤ \|Ω#\| ≤ 28m4/s3. Доказательство. Пусть K = 4 и q = m/s. Возьмем произвольные λ, λ′ ∈ ∈ [s], λ 6= λ′. Вероятность pλ,λ′ события \|Dλ ∩Dλ′ \| ≥ K оценивается следующим образом: pλ,λ′ ≤ ( s K )(m s2 )2K . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 361 По условию s ≥ m31/32. Следовательно, ∑ λ,λ′∈Λ1 pλ,λ′ ≤ s2 (es K )K(m s2 )2K = s2 ( em2 Ks3 )K ≤ (e 4 )4 < 1 4 < 1, и мы видим, что с вероятностью больше 3/4 неравенство (94) выполнено. Докажем, что для любого λ ∈ Λ1 выполнено m/(4s) ≤ \|Dλ\| ≤ 4m/s. При- меняя теорему 4.1 с t = m/(12s2), получаем, что вероятность противоположного события, заключающегося в том, что \|Dλ\| > 4m/s или \|Dλ\| < m/(4s) (константу 4 можно заменить числом, близким к 1) для какого-либо λ ∈ Λ1, не превышает 4se−2−12q. Напомним, что D̃µ = {λ ∈ Λ1 : λ+ µ ∈ Q}, µ ∈ Λ2. Аналогично вышеизложенному, вероятность события \|D̃µ\| > 4m/s или \|D̃µ\| < < m/(4s) для какого-либо µ ∈ Λ2 не больше 4se−2−12q.По условиюm ≥ 220s log s. Отсюда 8se−2−12q < 1/16 и, следовательно, с вероятностью больше 15/16 для всех λ ∈ Λ1 выполнено m/(4s) ≤ \|Dλ\| ≤ 4m/s; подобным образом с вероятностью больше 15/16 для любого µ ∈ Λ2 имеем m/(4s) ≤ \|D̃µ\| ≤ 4m/s. Значит, для про- извольного λ ∈ Λ1 имеет место неравенство \|Ωλ\| ≤ \|Dλ\|maxµ∈Λ2 \|D̃µ\| ≤ 16m2/s2. Действуя, как и выше, получаем, что вероятность события \|Q\| > 2m или \|Q\| < m/2 не превышает 4e−2−12m. Поскольку m ≥ 220s log s, то 4e−2−12m < 1/32. Проверим выполнение неравенства (95). Пусть K ′ = 11 и t = [4m/s]. Возьмем λ, λ′ ∈ Λ1, λ 6= λ′. Тогда вероятность того, что m/4s ≤ \|D̃µ\| ≤ 4m/s при всех µ ∈ Λ2, далее, \|Dλ1 ∩Dλ′1 \| ≤ 4 для всевозможных λ1, λ ′ 1 ∈ Λ1, λ1 6= λ′1 и при этом \|Ωλ ∩ Ωλ′ \| больше 64m/s, не превышает P { \|(Ωλ ∩ Ωλ′) \ {λ, λ′}\| > 64m s − 2 } ≤ ≤ P ∑ ν∈Dλ ∣∣∣∣∣∣ D̃ν ∩  ⋃ ν′∈Dλ′ , ν′ 6=ν D̃ν′ \ {λ, λ′} ∣∣∣∣∣∣ > 64m s − 2− ∑ ν∈Dλ∩Dλ′ \|D̃ν \|  ≤ ≤ P ∑ ν∈Dλ ∣∣∣∣∣∣ D̃ν ∩  ⋃ ν′∈Dλ′ , ν′ 6=ν D̃ν′  \ {λ, λ′} ∣∣∣∣∣∣ > 4m s K ′ , поскольку Ωλ ⊆ ⋃ ν∈Dλ D̃ν , Ωλ′ ⊆ ⋃ ν′∈Dλ′ D̃ν′ и все D̃ν здесь содержат элемент λ, а все D̃ν′ — элемент λ′. По условию s ≥ m31/32. Отсюда вероятность события P  ∣∣∣∣∣∣ ⋃ ν∈Dλ D̃ν ∩  ⋃ ν′∈Dλ′ , ν′ 6=ν D̃ν′  \ {λ, λ′} ∣∣∣∣∣∣ > 4m s K ′  не превышает s ( s K ′ )(m s2 )2K′ tK ′ ≤ s ( em2t K ′s3 )K′ < 1 16s2 и, значит, с вероятностью больше 5/8 выполнено ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 362 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ m 4s ≤ \|D̃µ\| ≤ 4m s ∀µ ∈ Λ2,∣∣Dλ1 ∩Dλ′1 ∣∣ ≤ 4 ∀λ1, λ ′ 1 ∈ Λ1, λ1 6= λ′1, (96) ∣∣Ωλ ∩ Ωλ′ ∣∣ ≤ 64m s ∀λ, λ′ ∈ Λ1, λ 6= λ′. Докажем неравенство \|Ω#\| ≤ 28m4/s3. Имеем s ( 16m2 s2 )2 ≥ ∑ λ∈Λ1 \|Ωλ\|2 = ∑ λ (∑ x Ωλ(x) )2 = = ∑ x,y ∣∣Ωx ∩ Ωy ∣∣ ≥ ∑ (x,y)∈Ω# ∣∣Ωx ∩ Ωy ∣∣ ≥ \|Ω#\|, и мы получили оценку \|Ω#\| ≤ 28m4/s3. Нам осталось доказать, что \|Ω\| ≥ m2/(32s) и m3/(220s2) ≤ \|Ω#\|. Второе неравенство вытекает из первого. Действительно, применяя неравенство Коши – Буняковского, находим \|Ω\|2 = (∑ λ∈Λ1 \|Ωλ\| )2 = (∑ λ∈Λ1 ∑ x∈Λ1 Ωλ(x) )2 ≤  ∑ λ,λ′∈Λ1 \|Ωλ ∩ Ωλ′ \| s. Из последнего неравенства и оценки (96) следует, что \|Ω\|2 s ≤ \|Ω\|+ ∑ (λ,λ′)∈Ω# \|Ωλ ∩ Ωλ′ \| ≤ \|Ω\|+ 64m s \|Ω#\|. Считая доказанным неравенство \|Ω\| ≥ m2/(32s) и используя оценкуm ≥ 220s log s, получаем \|Ω\|2/s− \|Ω\| ≥ \|Ω\|2/2s и, следовательно, \|Ω#\| ≥ m3/(220s2). Докажем, что \|Ω\| ≥ m2/(32s). Используя формулу \|D̃λ\| = \|Qλ\|, учитывая \|D̃λ\| ≥ m/4s и (94), находим m2 16s ≤ ∑ λ∈Λ2 \|D̃λ\|2 = ∑ λ∈Λ2 (∑ x∈Λ1 Q(x+ λ) )2 = ∑ x,y∈Λ1 ∑ λ∈Λ2 Dx(λ)Dy(λ) = = ∑ x,y∈Λ1, x 6=y \|Dx ∩Dy\|+ \|Q\| ≤ 4\|Ω\|+ \|Q\|. (97) Еще раз применяя неравенство m ≥ 220s log s, оценку \|Q\| ≤ 2m и используя (97), получаем \|Ω\| ≥ m2/(32s). Итак, все утверждения леммы 4.2 выполнены с вероятностью не меньшей 5 8 − 1 32 − 1 16 = 17 32 > 1 2 > 0. Лемма доказана. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 363 Замечание 4.1. Выше были доказаны не совпадающие по порядку неравен- ства m3/(218s2) ≤ \|Ω#\| ≤ 28m4/s3. Можно получить верхнюю оценку для мощ- ности множества Ω# вида Mm3/s2, где M — некоторая абсолютная константа, но нам это более тонкое неравенство не потребуется. Итак, построенное множество Q удовлетворяет всем условиям леммы 3.5 и, следовательно, для него выполнена оценка (66). Использовав этот факт, докажем обобщение леммы 4.1. Лемма 4.3. Пусть p — нечетное число, ρ — натуральное число и Y — под- пространство размерности ρ. Пусть Q — такое же, как в предыдущей лемме, а C — число из леммы 3.5. Предположим, что ρ ≤ √ s и s ≥ m31/32, s ≥ 2500. Тогда для всех p ≤ C √ m с положительной вероятностью выполнено∑ x∈Fn2 (Q ∗p−1 Q)(x)Y (x) ≤ (2100κC5)pρp(p−1)/2m(p−1)/2. (98) Доказательство. Пусть C1 = 235C5. Будем доказывать неравенство (98) ин- дукцией по p. Для p = 1 последнее неравенство было получено в следствии 4.1. Предположим, что p ≥ 3. Так как s ≥ 2500, то s3/8m−1/4 ≤ √ s/2. Допол- няя пространство Y базисными векторами, добиваемся выполнения неравенств s3/8m−1/4 ≤ ρ ≤ √ s. Пусть H и J — такие же, как и в следствии 4.1. Други- ми словами, они обладают тем свойством, что для множества E — максимального линейно независимого подмножества векторов из Y ∩ (Λ1 + Λ2) — выполнено E ⊆ {λ1 i + λ2 j : λ1 i ∈ Λ1, λ 2 j ∈ Λ2, i ∈ H, j ∈ J}. Пусть также Λ′1 = {λi ∈ Λ1 : i ∈ H}, Λ′2 = {λi ∈ Λ2 : i ∈ J}. Требуется оценить число решений уравнения q1 + . . .+ qp = y = µ (1) 1 + . . .+ µ (1) h1 + µ (2) 1 + . . .+ µ (2) h2 , (99) где h1, h2 ≤ p — нечетные, y ∈ Y, qj ∈ Q, j ∈ [p], µ (1) i ∈ Λ′1, i ∈ [h1] и µ (2) i ∈ Λ′2, i ∈ [h2]. Очевидно, можно считать, что все элементы µ (1) i , µ (2) i раз- личны. При этом порядок µ(1) i , µ (2) i в уравнении не имеет значения. Всюду ниже будем предполагать, для определенности, что h2 ≤ h1. Обозначим число реше- ний уравнения (99) через Ñp(Q) := σ, а число решений (99) с фиксированными µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 , µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 через Ñp ( Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ;µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 ) . Аналогично обозначим количество решений (99) с различными qi через Ñ∗p (Q), число реше- ний (99) с различными qr, qr 6= µ (1) i + µ (2) j , i ∈ [h1], j ∈ [h2], через Ñ∗∗p (Q), а также определим соответствующие величины Ñ∗p ( Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ;µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 ) , Ñ∗∗p (Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ;µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 ). Для доказательства (98) достаточно показать, что для всех 2 ≤ l ≤ p выполняется неравенство Ñ∗l (Q) ≤ (215C2)lκlρp(l−1)/2m(l−1)/2. Действительно, применяя лемму 3.1, следствие 4.1 и рассуждая, как и при доказа- тельстве леммы 3.4, находим σ ≤ 8pÑ∗1 (Q)p(p−1)/2m(p−1)/2 + 8p (p−3)/2∑ t=0 Ñ∗p−2t(Q)ttmt ≤ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 364 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ ≤ 8pκρp(p−1)/2m(p−1)/2 + 8p(κ215C2)pρ (p−3)/2∑ t=0 p(p−1)/2−tm(p−1)/2−tptmt ≤ ≤ (220κC2)pρp(p−1)/2m(p−1)/2. Пусть h = h1 + h2. Если мы докажем теперь, что для всех p выполнено Ñ∗∗p (Q) ≤ (κC2)ppp+h/2m3p/4+h2−3h/4s5h/8−5p/8−h2 ρh1+h2 h1!h2! , (100) то, использовав лемму 4.1, получим Ñ∗p (Q) ≤ g + h2∑ t=0 ( p t ) t! Ñ∗∗p−t(Q) ( [κρ] t ) ≤ ≤ g + 22p h2∑ t=0 ρpt t!(h1 − t)!(h2 − t)! (κC2)p−tpp−t+h/2−t× ×m3(p−t)/4+h2−t−3h/4+3t/2s5h/8−5t/4−5p/8+5t/8−h2+tρh−2t(κρ)t = = g + (8κC2)p h2! ρ √ pm h2∑ t=0 h2! t!(h1 − t)!(h2 − t)! × ×pp+h/2−tm3p/4+h2−3h/4−t/4s5h/8−5p/8−h2+3t/8ρh−t, (101) g ≤ p! ( [κρ] p ) ≤ (κρ)p ≤ κpρm(p−1)/2 ≤ κpρp(p−1)/2m(p−1)/2, так как ρ ≤ √ s ≤ √ m. Ясно, что h1 ≤ p, поскольку в противном случае уравне- ние (99) не имеет решений. Отсюда (h1− t)!pt ≥ h1! для любого t ≤ h2. Применяя последнее неравенство и оценку s3/8m−1/4 ≤ ρ, находим Ñ∗p (Q) ≤ (24κC2)p h1!h2! ρ √ pm pp+h/2m3p/4+h2−3h/4s5h/8−5p/8−h2ρh = σ̃. (102) Небольшое вычисление показывает, что последнее выражение не превышает (215C2)pκpρp(p−1)/2m(p−1)/2. Действительно, предположим сначала, что h ≤ p/8, и не будем учитывать множитель 1/(h1!h2!) в неравенстве (102). По условию ρ ≤ √ s и p ≤ C √ m. С учетом последних неравенств и оценки (102) достаточ- но проверить, что s5p/8+h2−5h/8−h/2 = s5p/8+h2−9h/8 ≥ ≥ m3p/4+h2−3h/4−(p−1)/2+p/4+h/4 = mp/2+h2−h/2. (103) Имеем s32/31 = s1+α0 ≥ m. Значит, неравенство (103) принимает вид α0 ( p 2 + h2 − h 2 ) ≤ p 8 − 5h 8 . (104) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 365 Последнее неравенство, очевидно, выполнено, поскольку α0 ≤ 1/31 и h ≤ p/8. Пусть теперь h ≥ p/8. Тогда 1 h1!h2! = 1 (h1 + h2)! ( h1 + h2 h1 ) ≤ 2p (h1 + h2)! ≤ (2e)p (h1 + h2)h1+h2 ≤ 26pp−h. Снова используя оценки ρ ≤ √ s, p ≤ C √ m, записываем неравенство (102) в виде s5p/8+h2−5h/8−h/2 = s5p/8+h2−9h/8 ≥ mp/2+h2−h/2−h/2 = mp/2+h2−h. (105) Для проверки последнего неравенства достаточно убедиться в том, что α0 (p 2 − h1 ) ≤ p 8 − h 8 . (106) Если h1 ≥ p/2, то последнее неравенство выполнено. Если же h1 < p/2, то нера- венство (106) принимает вид α0 ≤ 1 4 ( 1 + h1 − h2 p− 2h1 ) , что верно, поскольку α0 ≤ 1/4. Итак, достаточно оценить величину Ñ∗∗p (Q) = ∗∑ µ (1) 1 ,...,µ (1) h1 , µ (2) 1 ,...,µ (2) h2 Ñ∗∗p ( Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ;µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 ) , где ∑∗ означает, что мы не учитываем перестановки элементов µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 , µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 . Ясно, что Ñ∗∗p (Q) = ∗∑ µ (1) 1 ,...,µ (1) h1 , µ (2) 1 ,...,µ (2) h2 N∗∗p (Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ;µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 ) ≤ ≤ max µ (1) 1 ,...,µ (1) h1 , µ (2) 1 ,...,µ (2) h2 N∗∗p (Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ;µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 ) ρh1+h2 h1!h2! . Применяя неравенство (67) для любого набора µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 , µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 , на- ходим N∗∗p (Q;µ (1) 1 , . . . , µ (1) h1 ;µ (2) 1 , . . . , µ (2) h2 ) ≤ ≤ Cp2pp+h/2m3p/4+h2−3h/4s5h/8−5p/8−h2 ρh1+h2 h1!h2! , и мы получили (100). Лемма доказана. Перейдем к доказательству основного результата настоящей статьи. Доказательство теоремы 1.3. Пусть C = 220, C1 = 235C5 = 2135, M = = 2100 ·8·C5 = 2203, а такжеK = 25C1 = 2140 и c = 27. Положим t = [ log ( 1 2δ )] , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 366 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ n = td, d — натуральное число,m = [ 2−7K−4δ2α−2c−2 ] , k = [√ m ] ≤ [δα−1] = k′ и s = dm(31+ε)/32e ≥ m31/32.Пусть Λ1, Λ2 — непересекающиеся множества равной мощности s такие, что их объединение принадлежит семейству Λ(4k′). Множества Λ1, Λ2 с указанным свойством существуют, поскольку из неравенства (9) следует, что [N/t] ≥ ( s 4k′ ) 24k′ , и мы можем применить лемму 3.7. Выберем в качестве Q случайное подмножество суммы Λ1 + Λ2 так, чтобы каждый элемент принадлежал Q с вероятностью m/s2. Тогда для множества Q справедливы все леммы этого пункта. Поскольку s ≥ m31/32, можно взять в ка- честве числа κ в лемме 4.1 и следствии 4.1, например, число 8, так как для всех ρ ≤ √ s имеем 2 log(m/s) log(s2/(mρ)) + 2 ≤ 4 29 + 2 < 3. По условию α ≤ 2−1000/(1−ε)2δ. Отсюда \|Q\| ≥ m/2 ≥ 16c2K2, m ≥ 21000/(1−ε)2 и, следовательно, m ≥ 220s log s. Применяя лемму 4.2, получаем, что все условия леммы 3.5 выполнены с константой C = 220. Далее, из леммы 4.3 следует, что множество Q удовлетворяет неравенству (98). Значит, мы имеем оценку (24), при- чем константа M в этой оценке равна 2100κC5 = 2203. Следовательно, мы можем применить предложение 2.1 и построить множество A, для которого справедливы пункты 1 и 2 этого предложения, а также выполнена оценка (25). Отсюда следует неравенство (10). Имеем 0 < α ≤ 2−1000/(1−ε)2δ. Используя неравенство (9), легко видеть, что 2 + 2 log s ≤ 4k′. Применяя лемму 3.6, получаем, что любое множество из се- мейства Λ(4k′), принадлежащее Λ1 + Λ2, имеет мощность не больше 4s. Отсюда максимальное диссоциативное подмножество Rα(A), принадлежащее семейству Λ(4k′), имеет мощность не больше 4st и мы получаем (11). Еще раз используя условие α ≤ 2−1000/(1−ε)2δ, находим √ s ≤ 2−10M−3 √ m. В лемме 4.3 на параметр ρ накладывается ограничение ρ ≤ √ s. Значит, при усло- вии (12) неравенство (13) выполнено. Теорема доказана. Аналогичным образом доказывается теорема 1.4. Доказательство теоремы 1.4. Как и в доказательстве теоремы 1.3, возьмем C = 220, C1 = 235C5 = 2135, M = 2100 · 8 · C5 = 2203, K = 25C1 = 2140, K ′ = 25MK = 2348, c = 27, t = [ log ( 1 2δ )] , n = td, d — натуральное число, m = [ 2−7(K ′)−4δ2α−2c−2 ] , k = [√ m ] ≤ [δα−1] = k′ и s = dm(31+ε1)/32e ≥ ≥ m31/32. Пусть Λ1, Λ2 — непересекающиеся множества равной мощности s та- кие, что их объединение принадлежит семейству Λ(4k′). Действуя, как и выше, убеждаемся, что любое множество из семейства Λ(4k′), принадлежащее Λ1 + Λ2, имеет мощность не больше 4s. Выберем в качестве Q случайное подмножество суммы Λ1 + Λ2 так, чтобы каждый элемент принадлежал Q с вероятностью m/s2. Тогда для множества Q справедливы все леммы этого пункта. Значит, Q удов- летворяет условиям леммы 3.5 и, следовательно, имеет место неравенство (23). Используя предложение 2.1, получаем множество A, для которого выполнены не- равенства (17), (18). Нам осталось доказать неравенство (19). По условию I ⊆ Rα(A), s ≥ m31/32 и ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 ОБ ОДНОМ РЕЗУЛЬТАТЕ Ж. БУРГЕНА 367 \|I\| ≤ ( δ α )15+ε1−ε2 8 ≤ s2m−(1+ε2/16) < s2 m . Из пункта 2 следует, что Rα(A) = {0} ⊔(⊔t w=1Qw ) . Пусть Yw — аффинное подпространство, натянутое на векторы из I ∩ Lw, ρw = dimYw, w ∈ [t]. Пусть также ρ = \|I\| и κ = 2 log(m/s) log(s2/(mρ)) + 2. Применяя следствие 4.1, получаем, что \|Yw ∩Qw\| ≤ κρw. Отсюда ∣∣Span (I) ∩Rα(A) ∣∣ ≤ t∑ w=1 \|Yw ∩Qw\| ≤ κρ ≤ 210\|I\| ε2 . Теорема доказана. 1. Behrend F. A. On sets of integers which contain no three terms in arithmetic progression // Proc. Nat. Acad. Sci. – 1946. – 23. – P. 331 – 332. 2. Erdös P., Turán P. On some sequences of integers // J. London Math. Soc. – 1936. – 11. – P. 261 – 264. 3. Frankl P., Graham G., Rödl V. On sets of abelian groups with no 3-term arithmetic progressions // J. Combin. Theory. – 1987. – 45, Ser. A. – P. 157 – 161. 4. Furstenberg H. Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory. – Princeton, N.J., 1981. 5. Furstenberg H. Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic progressions // J. Anal. Math. – 1977. – 31. – P. 204 – 256. 6. Furstenberg H., Katznelson Y. An ergodic Szemerédi theorem for commuting transformations // Ibid. – 1978. – 34. – P. 275 – 291. 7. Furstenberg H., Ornstein D., Katznelson Y. The ergodic theoretical proof of Szemerédi’s theorem // Bull. Amer. Math. Soc. – 1982. – 7, № 3. – P. 527 – 552. 8. Gowers W. T. Rough structure and classification // Geom. Funct. Anal. Special Volume GAFA2000 “Visions in Mathematics”, Tel Aviv. – 1999. – Pt I. – P. 79 – 117. 9. Gowers W. T. A new proof of Szemerédi’s theorem for arithmetic progressions of length four // Geom. Funct. Anal. – 1998. – 8. – P. 529 – 551. 10. Gowers W. T. A new proof of Szemerédi’s theorem // Ibid. – 2001. – 11. – P. 465 – 588. 11. Lev V. F. Progressions-free sets in finite abelian groups // J. Number Theory. – 2004. – 104, № 1. – P. 162 – 169. 12. Meshulam R. On subsets of finite abelian groups with no 3-term arithmetic progressions // J. Combin. Theory. – 1995. – 71, Ser. A. – P. 168 – 172. 13. Nathanson M. Additive number theory. Inverse problems and the geometry of sumsets // Grad. Texts Math. – 1996. – 165. 14. Rankin R. A. Sets of integers containing not more than a given number of terms in arithmetic progression // Proc. Roy. Soc. Edinburgh A. – 1961. – 65, № 4. – P. 332 – 344. 15. Roth K. F. On certain sets of integers // J. London Math. Soc. – 1953. – 28. – P. 245 – 252. 16. Chang M.-C. A polynomial bound in Freiman’s theorem // Duke Math. J. – 2002. – 113, № 3. – P. 399 – 419. 17. Bernstein S. Sur une modification de l’inéqualité de Tchebichef // Ann. Sci. Inst. Sav. Ukr. Sect. Math. I. – 1924. 18. Spencer J. Six standard deviations suffice // Trans. Amer. Math. Soc. – 1985. – 289. – P. 679 – 706. 19. Green B. Arithmetic progressions in sumsets // Geom. Funct. Anal. – 2002. – 12, № 3. – P. 584 – 597. 20. Green B. A Szemerédi-type regularity lemma in abelian groups // Ibid. – 2005. – 15, № 2. – P. 340 – 376. 21. Green B. Some constructions in the inverse spectral theory of cyclic groups // Combin. Probab. Comput. – 2003. – 12, № 2. – P. 127 – 138. 22. Green B. Spectral structure of sets of integers // Fourier Analysis and Convexity (Survey Article, Milan 2001). Appl. Numer. Harmon. Anal. – Boston, MA: Birkhäuser, 2004. – P. 83 – 96. 23. Green B. Structure theory of set addition // ICMS Instruct. Conf. Comb. Aspects Math. Anal. (Edinburgh, March 25 – April 5, 2002). – P. 1 – 27. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 368 С. В. КОНЯГИН, И. Д. ШКРЕДОВ 24. Green B. Finite field model in additive combinatorics // Surv. Combinatorics. LMS Lect. Notes. – 2005. – 329. – P. 1 – 29. 25. Green B., Tao T. An inverse theorem for the Gowers U3-norm, with applications // Proc. Edinburgh Math. Soc. Ser. 2. – 2008. – 51, № 1. – P. 73 – 153. 26. Green B., Tao T. New bounds for Szemerédi’s theorem, II: A new bound for r4(N) // Anal. Number Theory. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2009. – P. 180 – 204. 27. Rudin W. Fourier analysis on groups. – Wiley, 1990 (репринт издания 1962 года). 28. Rudin W. Trigonometric series with gaps // J. Math. and Mech. – 1960. – 9. – P. 203 – 227. 29. Ruzsa I. Arithmetic progressions in sumsets // Acta Arithm. – 1991. – 60, № 2. – P. 191 – 202. 30. Sanders T. Appendix to ‘Roth’s theorem on progressions revisited’ by J. Bourgain // J. Anal. Math. – 2008. – 104, № 1. – P. 193 – 206. 31. Szemerédi E. On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression // Acta Arithm. – 1975. – 27. – P. 299 – 345. 32. Tao T., Vu V. Additive combinatorics. – Cambridge Univ. Press, 2006. 33. Tao T. Lecture notes 5 for Math 254A // UCLA 2003, available at http://math.ucla.edu/ tao/254a.1.03w/notes5.dvi 34. Bourgain J. On triples in arithmetic progression // Geom. Funct. Anal. – 1999. – 9. – P. 968 – 984. 35. Bourgain J. Roth’s theorem on progressions revisited. – Preprint, 2007. 36. Spencer J. Six standard deviations suffice // Trans. Amer. Math. Soc. – 1985. – 289. – P. 679 – 706. 37. Szegö G. Orthogonal polynomials. – New York: Amer. Math. Soc., 1939. 38. Rivlin T. J. Chebyshev polynomials // Approxim. Theory Algebra and Number Theory. – New York: John Wiley and Sons, 1990. – 249 p. 39. Turan P. Eine Extremalaufgabe aus der Graphentheorie // Mat. Fiz. Lapok. – 1941. – 48. – P. 436 – 452. 40. Bollobás B. Ket fuggelten kort nem tartalmazo grafokrol // Mat. Lapok. – 1963. – 14. – P. 311 – 321. 41. Bollobás B. Extremal graph theory. – New York: Acad. Press, 1978. 42. Dutton R. D., Brigham R. C. Edges in graphs with large girth // Graphs and Combinatorics. – 1991. – 7. – P. 315 – 321. 43. Шкредов И. Д. О множествах больших тригонометрических сумм // Докл. АН СССР. – 2006. – 411, № 4. – С. 455 – 459. 44. Шкредов И. Д. О множествах больших тригонометрических сумм // Изв. РАН. Сер. мат. – 2008. – 72, № 1. – С. 161 – 182. 45. Шкредов И. Д. Некоторые примеры множеств больших тригонометрических сумм // Мат. сб. – 2007. – 198, № 12. – С. 105 – 140. 46. Shkredov I. D. On sumsets of dissociated sets // Online J. Anal. Combinatorics. – 2009. – 4. – P. 1 – 27. Получено 29.12.09 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
id	umjimathkievua-article-2872
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	rus English
last_indexed	2026-03-24T02:31:59Z
publishDate	2010
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/d1/9aa7c378f8415004c1e431f04aa418d1.pdf
spelling	umjimathkievua-article-28722020-03-18T19:39:19Z On one result of J. Bourgain Об одном результате Ж. Бургена Konyagin, S. V. Shkredov, I. D. Конягин, С. В. Шкредов, И. Д. Конягин, С. В. Шкредов, И. Д. In a linear space of dimension $n$ over the field $\mathbb{F}_2$, we construct a set $A$ of given density such that the Fourier transform of $A$ is large on a large set, and the intersection of $A$ with any subspace of small dimension is small. The results obtained show, in a certain sense, the sharpness of one theorem of J. Bourgain. У лінійному просторі розмірності $n$ над полем $\mathbb{F}_2$ побудовано множину $A$ заданої щільності, в якої перетворення Фур'є є великим на великій множині і таким, що перетин $A$ з будь-яким підпростором невеликої розмірності є малим. Одержані результати показують у певному сенсі точність однієї теореми Ж. Бургена. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2872 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 3 (2010); 332–368 Український математичний журнал; Том 62 № 3 (2010); 332–368 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2872/2495 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2872/2496 Copyright (c) 2010 Konyagin S. V.; Shkredov I. D.
spellingShingle	Konyagin, S. V. Shkredov, I. D. Конягин, С. В. Шкредов, И. Д. Конягин, С. В. Шкредов, И. Д. On one result of J. Bourgain
title	On one result of J. Bourgain
title_alt	Об одном результате Ж. Бургена
title_full	On one result of J. Bourgain
title_fullStr	On one result of J. Bourgain
title_full_unstemmed	On one result of J. Bourgain
title_short	On one result of J. Bourgain
title_sort	on one result of j. bourgain
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2872
work_keys_str_mv	AT konyaginsv ononeresultofjbourgain AT shkredovid ononeresultofjbourgain AT konâginsv ononeresultofjbourgain AT škredovid ononeresultofjbourgain AT konâginsv ononeresultofjbourgain AT škredovid ononeresultofjbourgain AT konyaginsv obodnomrezulʹtatežburgena AT shkredovid obodnomrezulʹtatežburgena AT konâginsv obodnomrezulʹtatežburgena AT škredovid obodnomrezulʹtatežburgena AT konâginsv obodnomrezulʹtatežburgena AT škredovid obodnomrezulʹtatežburgena

On one result of J. Bourgain

Репозитарії

Схожі ресурси