Kernels of derivations of polynomial rings and Casimir elements
We propose an algorithm for the evaluation of elements of the kernel of an arbitrary derivation of a polynomial ring. The algorithm is based on an analog of the well-known Casimir element of a finite-dimensional Lie algebra. By using this algorithm, we compute the kernels of Weitzenböck derivation $...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2878 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508868830822400 |
|---|---|
| author | Bedratyuk, L. P. Бедратюк, Л. П. |
| author_facet | Bedratyuk, L. P. Бедратюк, Л. П. |
| author_sort | Bedratyuk, L. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:39:35Z |
| description | We propose an algorithm for the evaluation of elements of the kernel of an arbitrary derivation of a polynomial ring. The algorithm is based on an analog of the well-known Casimir element of a finite-dimensional Lie algebra. By using this algorithm, we compute the kernels of Weitzenböck derivation $d(x_i ) = x_{i−1},\; d(x_0) = 0,\;i = 0,…, n$, for the cases where $n ≤ 6$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:32:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 512.714
L. P. Bedratgk (Xmel\nyc. nac. un-t)
QDRA DYFERENCIGVAN| POLINOMIAL|NYX KILEC|
TA ELEMENTY KAZYMIRA
We propose an algorithm for the calculation of elements of a kernel of arbitrary derivation of a
polynomial ring that is based on an analog of the well-known Casimir element of the finite-dimensional
Lie algebra. By using the obtained algorithm, the kernels of Weitzenböck derivation d x xi i( ) = −1 ,
d x( ) =0 0 , i n= …0, , , are calculated in the cases where n ≤ 6.
Predlahaetsq alhorytm v¥çyslenyq πlementov qdra proyzvol\noho dyfferencyrovanyq kol\-
ca mnohoçlenov, kotor¥j osnovan na analohe yzvestnoho πlementa Kazymyra koneçnomernoj
alhebr¥ Ly. S pomow\g poluçennoho alhorytma qdra dyfferencyrovanyq Vejtcenbeka
d x xi i( ) = −1 , d x( ) =0 0 , i n= …0, , , v¥çyslen¥ v sluçaqx n ≤ 6.
1. Vstup. Nexaj K X[ ] : = K x x xn0 1, , ,…[ ] — kil\ce mnohoçleniv nad polem
K nul\ovo] xarakterystyky. Dyferencigvannqm kil\cq mnohoçleniv K X[ ]
nazyva[t\sq K-linijne vidobraΩennq D : K X[ ] → K X[ ] , qke zadovol\nq[ pra-
vylo Lejbnica. Dlq dovil\noho naboru mnohoçleniv ( ,f f0 1 , … , fn ) ∈ K X n[ ] + 1
isnu[ [dyne dyferencigvannq D kil\cq K X[ ] , dlq qkoho D xi( ) = fi , i = 0, …
… , n, a same,
D f fn n= ∂ + … + ∂0 0 , ∂ =
∂
∂i
ix
: .
Poznaçymo çerez K X D[ ] kil\ce konstant dyferencigvannq D:
K X D[ ] = f X D f∈ [ ] ={ }K ; ( ) 0 .
Bahato vaΩlyvyx matematyçnyx zadaç moΩut\ buty transformovani do pytannq
znaxodΩennq kilec\ konstant dyferencigvan\. Vidmitymo lyße deqki z nyx —
problema qkobiana, invarianty ta kovarianty binarno] formy, çotyrnadcqta
problema Hil\berta, centr universal\no] ohortugço] alhebry Li, polinomial\ni
rozv’qzky avtonomnyx system dyferencial\nyx rivnqn\ (detal\niße dyv. [1 –
3]). Problemu opysu kil\cq K X D[ ] dlq dovil\noho dyferencigvannq D ne
rozv’qzano navit\ u vypadku n = 2.
V roboti zaproponovano zahal\nyj pidxid do znaxodΩennq elementiv qdra do-
vil\noho dyferencigvannq D kil\cq mnohoçleniv K X[ ] , v qkomu vykorysta-
no vidome v teori] alhebr Li ponqttq elementa Kazymira. Nahada[mo, wo elemen-
tom Kazymira skinçennovymirno] alhebry Li L nazyva[t\sq element ]] centra
Z L( ) universal\no] ohortugço] alhebry U L( ) vyhlqdu u ui ii
∗∑ , de ui{ } i
ui
∗{ } — dual\ni bazysy realizovanyx v U L( ) kontrahredi[ntnyx L-moduliv vid-
nosno pry[dnano] di] alhebry L . VidobraΩennq symetryzaci] zada[ izomorfizm
L-moduliv U L( ) i S L( ) , pry qkomu centr Z L( ) perexodyt\ v alhebru inva-
riantiv S L L( ) symetryçno] alhebry S L( ) . Alhebra S L( ) izomorfna kil\cg
mnohoçleniv vid bazysnyx elementiv alhebry L, qka di[ na S L( ) pry[dnanymy
dyferencigvannqmy ad ( )x , x L∈ , do toho Ω S L L( ) = S L x
x L
( ) ( )ad
∈∩ . Pry
symetryzaci] dual\ni bazysy perexodqt\ v dual\ni bazysy, tomu element Kazymi-
ra vidobraΩa[t\sq v invariant analohiçno] struktury. OtΩe , u bil\ß zahal\no-
© L. P. BEDRATGK, 2010
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 435
436 L. P. BEDRATGK
mu vypadku elementy qdra K X D[ ] dovil\noho dyferencigvannq D kil\cq
K X[ ] slid ßukaty u vyhlqdi
u u uk k1 1 2 2v v v+ + … + , ui , vi X∈ [ ]K ,
de mnohoçleny ui , vi porodΩugt\ kontrahredi[ntni D -invariantni pidprosto-
ry rozmirnosti k v K X[ ] .
U p.B2 dlq dovil\noho dyferencigvannq D vvedeno ponqttq D-modulq v
K X[ ] , dual\nyx D-moduliv i dano oznaçennq elementa Kazymira. Dovedeno, wo
bud\-qkyj element Kazymira dyferencigvannq D naleΩyt\ qdru K X D[ ] . Po-
kazano, wo dlq bud\-qkoho linijnoho dyferencigvannq ma[ misce obernene
tverdΩennq: bud\-qkyj element qdra takoho dyferencigvannq bude elementom
Kazymira.
U p.B3 vyvçagt\sq elementy Kazymira bazysnoho dyferencigvannq
Vejtcenbeka d, tobto linijnoho lokal\no nil\potentnoho dyferencigvannq,
matryceg qkoho [ odna Ωordanova klitka z nulqmy na holovnij diahonali. Dlq
c\oho dyferencigvannq koΩen d-modul\ pryrodno vklada[t\sq v sl2 -modul\.
Todi koΩen element qdra dyferencigvannq Vejtcenbeka d bude starßym
vektorom deqkoho nezvidnoho sl2 -modulq v K X[ ] . Rozmirnist\ c\oho sl2 -
modulq ta joho starßa vaha [ vaΩlyvymy çyslovymy xarakterystykamy ele-
menta qdra.
U p.BB4 dovil\nomu elementu z stepenq deg ( )z z qdra dyferencigvannq d
stavyt\sq u vidpovidnist\ deqka sim’q τi z( ) elementiv qdra. Oskil\ky stepeni
τi z( ) dorivnggt\ deg ( )z + 1, to, poçavßy z elementa qdra x0 perßoho ste-
penq, moΩna utvoryty vsi elementy qdra vywyx stepeniv. Na osnovi c\oho pro-
cesu pobudovy elementiv qdra, qkyj [ analohom vidomoho Ω-procesu klasyçno]
teori] invariantiv (dyv. [4]), zaproponovano alhorytm obçyslennq minimal\no]
systemy porodΩugçyx elementiv kil\cq K X d[ ] .
Qdro dyferencigvannq Vejtcenbeka aktyvno vyvçalosq ostannim çasom u
riznyx robotax. Skinçenna porodΩenist\ alhebry K X d[ ] vyplyva[ z vidomo]
teoremy Vejtcenbeka [5], qka stverdΩu[, wo bud\-qka linijna diq adytyvno]
hrupy ( , )?K + na alhebra]çnomu mnohovydi An
ma[ skinçennoporodΩene kil\ce
invariantiv. Iz vykorystannqm alhorytmu van den Essena u knyzi [1] pry dopo-
mozi systemy komp’gterno] alhebry CoCoa znajdeno minimal\ni systemy porod-
Ωugçyx alhebry K X d[ ] dlq n ≤ 4. U systemi komp’gterno] alhebry
SINGULAR u vyhlqdi procedury invariantRing implementovano alhorytm z robo-
ty [6], za qkym takoΩ znaxodqt\ minimal\nu porodΩugçu systemu qdra dyfe-
rencigvannq Vejtcenbeka dlq n ≤ 4. Prote dlq vypadku n > 4 vkazani alho-
rytmy ne [ efektyvnymy, oskil\ky vysoki stepeni porodΩugçyx alhebry K X d[ ]
ne dozvolqgt\ zastosovuvaty texniku bazysiv Hr\obnera, qka leΩyt\ v osnovi
cyx alhorytmiv. Vypadok n = 5 rozhlqnuto v roboti [7].
U p.B5 z dopomohog rozroblenoho alhorytmu obçysleno minimal\ni systemy
porodΩugçyx qdra dyferencigvannq Vejtcenbeka u vypadku n ≤ 6. Otrymani
minimal\ni systemy porodΩugçyx zbihagt\sq z raniße otrymanymy rezul\tata-
my inßyx avtoriv, a obçyslennq dlq vypadku n = 6 [ novym rezul\tatom. Dlq
vypadkiv n = 7, 8 minimal\ni systemy porodΩugçyx obçysleno v robotax [8, 9].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
QDRA DYFERENCIGVAN| POLINOMIAL|NYX KILEC| … 437
2. Elementy Kazymira dyferencigvannq. Dlq dovil\noho dyferencig-
vannq D alhebry K X[ ] navedemo zahal\nyj sposib pobudovy elementiv qdra
K X D[ ] . Vvedemo neobxidni ponqttq.
Oznaçennq 2.1. Skinçennovymirnyj vektornyj prostir V X⊂ [ ]K nazyva-
[t\sq D-modulem, qkwo D V V( ) ⊆ .
Pryklad 2.1. Prypustymo, wo D — lokal\no nil\potentne dyferencig-
vannq. Todi vektornyj prostir
C D x x D x D x D xs
s( , ) : , ( ), ( ), , ( )= …2 , x X∈ [ ]K ,
[ d-modulem.
Pryklad 2.2. Vyznaçymo dyferencigvannq d za pravylom d xi( ) = xi − 1 ,
d x( )0 = 0, i ≤ n. Todi dlq koΩnoho i vektornyj prostir Xi : = Kx0 + Kx1 + …
… + Kxi bude d-modulem. Dyferencigvannq d nazyva[t\sq dyferencigvan-
nqm Vejtcenbeka.
Na dovil\nomu D-moduli V dyferencigvannq D di[ qk linijnyj operator.
Zafiksuvavßy deqkyj bazys prostoru V, poznaçymo çerez DV matrycg opera-
tora D v c\omu bazysi. Zokrema, matryceg dyferencigvannq d v d-moduli Xi
[ Ωordanova klitka Ji + 1 0( ) .
Oznaçennq 2.2. D-modul\ V ∗
nazyva[t\sq dual\nym do D - modulq V ,
qkwo v V i V ∗
isnugt\ taki bazysy vi{ } , vi
∗{ } , wo matryci operatora D
v cyx bazysax pov’qzani spivvidnoßennqm
D DV V
T
∗ = −( ) .
Bazysy vi{ } , vi
∗{ } takoΩ budemo nazyvaty vza[mno dual\nymy bazysamy.
Matrycq dyferencigvannq d v d-moduli Xk [ Ωordanovog klitkog Jk + 1 0( ) ,
tomu joho matrycq v dual\nomu prostori Xk
∗
, zhidno z oznaçennqm dual\noho
modulq, ma[ vyhlqd −( )+Jk
T
1 0( ) . OtΩe, operator d tak di[ na elementax xi
∗
dual\noho bazysu Xk
∗
: d xi( )∗ = − +
∗xi 1 , d xk( )∗ = 0.
Oznaçennq 2.3. Dva D-moduli V , W nazyvagt\sq izomorfnymy, qkwo is-
nu[ izomorfizm vektornyx prostoriv V, W, qkyj perestavnyj z di[g opera-
tora D.
Teorema 2.1. d-Moduli Xm
∗
ta Xm izomorfni dlq koΩnoho m ≤ n.
Dovedennq. Zadamo linijne vidobraΩennq ϕ : Xm
∗
→ Xm , qke na bazysnyx
vektorax di[ takym çynom: ϕ( )xi
∗ = ( )− −1 i
m ix . Todi d xiϕ( )∗( ) = d xi
m i( )−( )−1 =
= ( )− − −1 1
i
m ix i
ϕ d xi( )∗( ) = ϕ( )− +
∗xi 1 = − − +
− −( )1 1
1
i
m ix = ( ) ( )− − +1 1
i
m ix = d xiϕ( )∗( ) .
OtΩe, ϕ — izomorfizm prostoriv Xm
∗
ta Xm , qkyj [ perestavnym z dyferen-
cigvannqm d, tomu X Xm m
∗ � , a bazysy xi
∗{ } i ( )−{ }−1 i
m ix , i = 0, … , m , [
vza[mno dual\nymy.
Teoremu dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
438 L. P. BEDRATGK
Oznaçennq 2.4. Nexaj V = vi{ } , V ∗ = vi
∗{ } — dva dual\nyx D -moduli v
K X[ ] , zadani svo]my vza[mno dual\nymy bazysamy. Todi element
∆( , ) :V V i i
i
∗ ∗= ⋅∑ v v
nazyva[t\sq elementom Kazymira dyferencigvannq D.
Oskil\ky vi ta vi
∗
naleΩat\ K X[ ] , to dobutok v vi i⋅ ∗
vyznaçeno ko-
rektno.
Na pidstavi teoremyB2.1 otrymu[mo nastupnu serig elementiv Kazymira dru-
hoho stepenq dlq dyferencigvannq d:
∆( , ) : ( )X X x xk k
i
i k i
i
k
∗
−
=
= − ⋅∑ 1
0
.
Lehko pereviryty, wo ∆( , )X Xk k
∗ ∈ K X d[ ] .
Pryklad 2.3. Dlq n = 4 dyferencigvannq d ma[ dva nenul\ovyx elementy
Kazymira stepenq 2:
∆( , )X X x x x2 2 0 2 1
22∗ = − ,
∆( , )X X x x x x x4 4 0 4 1 3 2
22 2∗ = − + .
Nastupna teorema pokazu[, wo bud\-qkyj element Kazymira dyferencigvan-
nq D naleΩyt\ qdru K X D[ ] .
Teorema 2.2. Nexaj U i U∗
— dva dual\nyx D -moduli v K X[ ] . Todi
∆( , )U U∗ ∈ K X D[ ] .
Dovedennq. Prypustymo, wo U, U∗
zadano svo]my dual\nymy bazysamy
ui{ } , ui
∗{ } i DU = λi j,{ } , i, j = 0, … , n, λi j, ∈ K. Todi
D ui( ) = λi j j i
j
n
u D u, , ( )∗
=
∑
0
= ( ),−
=
∑ λ j i j
j
n
u
0
.
OtΩe,
D U U∆( , )∗( ) = D u ui i
i
n
∗
=
∑
0
= D u u u D ui i i i
i
n
( ) ( )∗ ∗
=
+( )∑
0
=
= ( ) ( ),λi j j i i i
j
n
i
n
u u u D u∗ ∗
==
+
∑∑
00
= ( ) ( ),λ j i i j i i
j
n
i
n
u u u D u∗ ∗
==
+
∑∑
00
=
= u u D ui i j j
j
n
i
i
n
λ , ( )∗
=
∗
=
∑∑
+
00
= 0.
Teoremu dovedeno.
MoΩna takoΩ pokazaty (dyv. [10]), wo element Kazymira ne zaleΩyt\ vid vy-
boru dual\nyx bazysiv u U i U∗ , tomu oznaçennq 2.4 [ korektnym.
Dlq linijnoho dyferencigvannq D, tobto takoho dyferencigvannq, dlq
qkoho vykonugt\sq spivvidnoßennq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
QDRA DYFERENCIGVAN| POLINOMIAL|NYX KILEC| … 439
D x xi i j j i j
j
n
( ) ,, ,= ∈
=
∑ λ λ
0
K , i = 0, … , n,
spravdΩu[t\sq tverdΩennq, obernene do teoremy 2.2.
Teorema 2.3. Nexaj D — linijne dyferencigvannq kil\cq K X[ ] , todi ko-
Ωen element qdra K X D[ ] [ elementom Kazymira.
Dovedennq. Vidomo, wo vsi dyferencigvannq kil\cq K X[ ] vyhlqdu
f f fn n0 0 1 1∂ + ∂ + … + ∂ , ∂ =
∂
∂i
ix
: , f Xi ∈ [ ]K ,
utvorggt\ alhebru Li vidnosno operaci] komutuvannq dyferencigvan\. Komu-
tator dvox dyferencigvan\ vyznaça[t\sq formulog
f gi i i i
i
n
i
n
∂ ∂
==
∑∑ ,
00
= f g g fj j i j j
j
n
i
j
n
i
n
i∂ − ∂
∂
===
∑∑∑ ( ) ( )
000
, fi , g Xi ∈ [ ]K .
Lehko pereviryty, vraxovugçy D = D x( )0 0∂ + D x( )1 1∂ + … + D xn n( ) ∂ , wo dlq
koΩnoho i ≤ n vykonu[t\sq
D i ji j
j
n
, ∂[ ] = − ∂
=
∑ λ
0
.
Nexaj z — netryvial\nyj element z K X D[ ] . Todi vektornyj prostir
∂ = ∂ … ∂z nz z: ( ), , ( )0
[ D-modulem, dual\nym do D-modulq Xn = x xn0, ,… . Dlq dovedennq do-
statn\o pereviryty umovu vza[mno] dual\nosti vybranyx bazysiv. Vraxovugçy,
wo D z( ) = 0 , ma[mo
D zi∂( )( ) = D z D zi i, ( ) ( )∂[ ] + ∂ ( ) = − ∂
=
∑ λ ji j
j
n
z
0
( ) ,
tobto matryci D z∂( ) , DXn
dyferencigvannq D u prostorax ∂( )z i Xn po-
v’qzani miΩ sobog spivvidnoßennqm −( )∂D z
T
( ) = DXn
, wo i potribno bulo po-
kazaty.
Oskil\ky dyferencigvannq D [ linijnym, to deg ( )D f( ) = deg ( )f dlq
f X D∉ [ ]K . Tomu bez vtraty zahal\nosti moΩna obmeΩytysq lyße odnoridny-
my mnohoçlenamy. Moduli Xn i ∂( )z dual\ni, otΩe, moΩna utvoryty ]xnij
element Kazymira. Zastosuvavßy teoremu Ejlera pro odnoridni funkci], ot-
ryma[mo
∆( , )Xn z∂ = x z x z0 0 1 1∂ + ∂( ) ( ) + … + x z z zn n∂ =( ) deg ( ) .
Zvidsy bezposeredn\o vyplyva[, wo z =
1
deg ( )z
∆( , )Xn z∂ , tobto z [ elementom
Kazymira dyferencigvannq D.
Teoremu dovedeno.
3. Elementy Kazymira dyferencigvannq Vejtcenbeka . Dali budemo roz-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
440 L. P. BEDRATGK
hlqdaty lyße dyferencigvannq Vejtcenbeka d: d xi( ) = xi − 1 , d x( )0 = 0, i =
= 0, … , n. Oskil\ky d — linijne dyferencigvannq, to z teorem 2.1, 2.3 vyply-
va[, wo zadaça znaxodΩennq elementiv qdra K X d[ ] ekvivalentna zadaçi znaxod-
Ωennq realizacij d-moduliv Xk v K X[ ] . Pid realizaci[g Xk rozumi[t\sq
bud\-qkyj d-modul\ v K X[ ] , qkyj izomorfnyj do d-modulq Xk . NyΩçe nave-
deno ob©runtuvannq sposobu pobudovy takyx realizacij.
Teorema 3.1. Bud\-qkyj d-modul\ V Xn≅ moΩna vklasty v sl2 -modul\,
de sl2 — prosta tryvymirna alhebra Li nad polem K.
Dovedennq. Vvedemo na Vn = v v0, ,… n , d i( )v = vi − 1 , d( )v0 = 0, dva
dodatkovyx operatory d̂ i e:
ˆ( )d iv = ( ) ( )i n i i+ − +1 1v , e n ii i( ) ( )v v= − 2 .
Bezposerednq perevirka pokazu[, wo dlq vsix i
d d ei i, ˆ ( ) ( ) =v v ,
d e di i, ( ) ( )[ ] = −v v2 ,
ˆ, ( ) ˆ( )d e di i =v v2 .
Ci komutacijni spivvidnoßennq zbihagt\sq z vidomymy komutacijnymy spivvidno-
ßennqmy miΩ bazysnymy elementamy alhebry Li sl2 . OtΩe, prostir Vn razom
z trijkog operatoriv d, d̂ , e [ sl2 -modulem.
Dyferencigvannq d̂ ta e vyznaçagt\ dvi vaΩlyvi çyslovi funkci] na d-
moduli K X[ ] — porqdok ta vahu mnohoçlena.
Oznaçennq 3.1. Porqdkom ord (z) mnohoçlena z X∈ [ ]K nazvemo take
najmenße natural\ne çyslo s, wo
ˆ ( )d zs ≠ 0 , ale ˆ ( )d zs + 1 = 0.
Vykorystavßy formulu Lejbnica, otryma[mo, wo ord (a b) = ord (a) + ord (b)
dlq vsix a, b X∈ [ ]K .
Pryklad 3.1. Nexaj ord ( )x0 = n. Dlq n = 4 ma[mo ord ∆( , )X X2 2
∗( ) = 4 i
ord ∆( , )X X4 4
∗( ) = 0.
NevaΩko pereviryty, wo dlq dyferencigvannq e koΩen monom x x0 1
0 1α α
…
… xn
nα
[ vlasnym vektorom iz vlasnym znaçennqm
n ni n
i
n
α α α α− ⋅ + ⋅ + … + ⋅
=
∑ 2 0 10 1
0
( ) ,
qke nazyva[t\sq vahog c\oho monoma. Odnoridnyj mnohoçlen z nazyva[t\sq izo-
barnym, qkwo vsi joho monomy magt\ odnakovu vahu. Z roboty [1, s. 71] vyply-
va[, wo K X d[ ] porodΩu[t\sq odnoridnymy izobarnymy mnohoçlenamy.
Oznaçennq 3.2. Vahog ω( )z izobarnoho mnohoçlena z nazyva[t\sq vaha
joho dovil\noho monoma.
Lehko pereviryty, wo dlq dvox dovil\nyx izobarnyx mnohoçleniv a i b
vykonu[t\sq rivnist\ ω( )ab = ω( )a + ω( )b .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
QDRA DYFERENCIGVAN| POLINOMIAL|NYX KILEC| … 441
Pryklad 3.2. Lehko baçyty, wo ω( )xi = n – 2i.
Nastupna teorema pokazu[, wo koΩen odnoridnyj izobarnyj mnohoçlen z qd-
ra K X d[ ] vyznaça[ deqku sim’g d-moduliv.
Teorema 3.2. Dlq dovil\noho odnoridnoho izobarnoho mnohoçlena z X d∈ [ ]K
vektornyj prostir
V z z z zm m( ) : ( ), ( ), , ( )= …v v v0 1 , vi
iz
i
i z
d z( )
( ) !
! ( )
ˆ ( )=
−( )ω
ω
z
,
v0( ) :z z= , m = 0, … , s + 1,
[ d-modulem, izomorfnym do Xm . Tut ω( )z i s — vaha i porqdok z.
Dovedennq. Bezposeredn\og perevirkog moΩna perekonatysq v spravedly-
vosti spivvidnoßen\
e d z z i d zi iˆ ( ) ( ) ˆ ( )( ) = −( )ω 2 ,
d d z i z i d zi iˆ ( ) ( ) ˆ ( )( ) = − +( ) −ω 1 1 .
Pidberemo teper αi z( ) ∈K tak, wob vektornyj prostir
V z z z zm m( ) ( ), ( ), , ( )= …v v v0 1 ,
de vi z( ) = αi z( ) ˆ ( )d zi
, stav d-modulem. Dlq c\oho neobxidno, wob dlq vsix i
vykonuvalas\ rivnist\ d ziv ( )( ) = vi z− 1( ) . Oskil\ky
d ziv ( )( ) = d z d zi
iα ( ) ˆ ( )( ) = α ωi
iz i z i d z( ) ( ) ˆ ( )−( ) − 1
,
to dlq αi z( ) otrymu[mo rekurentne spivvidnoßennq
i z i ziω α( ) ( )−( ) = αi z− 1( ) , α0 1( )z = ,
rozv’qzugçy qke, znaxodymo
α
ω
ωi z
z i
i z
( )
( ) !
! ( )!
=
−( )
.
Teoremu dovedeno.
Naslidok. Dlq dovil\noho odnoridnoho izobarnoho mnohoçlena z X d∈ [ ]K
joho vaha i porqdok rivni miΩ sobog.
Dovedennq. Oskil\ky
ˆ ( )( )d zzord + 1 = 0 i
ˆ ( )( )d zzord ≠ 0, to z totoΩnosti
0 1= ( )+d d zzˆ ( )( )ord = ord ord ord( ) ( ( ) ( )) ˆ ( )( )z z z d zz+( ) −1 ω = 0
vyplyva[ w z z( ) ( )= ord , wo j dovodyt\ naslidok.
Analohiçno moΩna pokazaty, wo ω vi z( )( ) = ord ( )z – 2i .
Pryklad 3.3. Poklademo n = 4, z = ∆ X X2 2, ∗( ) = 2 0 2x x – x1
2
. Todi
v0( )z = z = 2 0 2x x – x1
2 , ω v0 4 2 2 2 4( )z( ) = ⋅ − ⋅ = ,
v1( )z =
( )!
! !
ˆ( )
4 1
1 4
−
d z = − +x x x x1 2 3 03 , ω v1 2( )z( ) = ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
442 L. P. BEDRATGK
v2
24 2
2 4
( )
( )!
! !
ˆ ( )z d z=
−
= x x x x x1 3 2
2
0 42− + , ω v2 0( )z( ) = ,
v3( )z =
( )!
! !
ˆ ( )
4 3
3 4
3−
d z = 2 1 4 2 3x x x x− , ω v3 2( )z( ) = − ,
v4 ( )z =
( )!
! !
ˆ( )
4 4
4 4
−
d z = 2
3
2
2 4 3
2x x x− , ω v4 4( )z( ) = − .
Oskil\ky d ziv ( )( ) = vi z− 1( ) , d zv0( )( ) = 0, to d-modul\
V z4 ( ) = v v v v v0 1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( ), ( )z z z z z
izomorfnyj do X4 .
OtΩe, znagçy elementy qdra dyferencigvannq d, moΩna buduvaty netry-
vial\ni realizaci] d-moduliv v K X d[ ] . Z inßoho boku, znagçy realizaci] d-mo-
duliv i vykorystovugçy teoremy 2.1, 2.3, moΩna konstrugvaty elementy qdra
dyferencigvannq d. Cq obstavyna, qk bude pokazano nyΩçe, dozvolyt\ rozro-
byty efektyvnyj iteracijnyj alhorytm znaxodΩennq qdra K X d[ ] .
4. VidobraΩennq ττi . Rezul\taty poperedn\oho punktu dagt\ moΩlyvist\
korektno vyznaçyty sim’g vidobraΩen\ τi : K X d[ ] → K X d[ ] . Dovil\nomu odno-
ridnomu izobarnomu elementu qdra z postavymo u vidpovidnist\ element Ka-
zymira
τi i iz X V z( ) : , ( )= ( )∗∆ = x z x zi i0 1 1v v( ) ( )− − + …
… + ( ) ( )−1 0
i
ix zv , 0 ≤ i ≤ min ( ),ord z n( ) ,
vi ( )z =
ω
ω
( ) !
! ( )!
ˆ ( )
z i
i z
d zi−( )
, v0( ) :z z= .
Zvidsy lehko otrymu[mo τi Cz( ) = C ziτ ( ) dlq C ∈K . Oskil\ky koΩen mnoho-
çlen iz K X d[ ] [ sumog odnoridnyx izobarnyx mnohoçleniv, to vidobraΩennq
τi , naspravdi, [ linijnym vidobraΩennqm na K X d[ ] .
Pryklad 4.1. Nexaj z = 2 0 2x x – x1
2
. Todi (dyv. pryklad 3.3)
τ0 0( )z x z= ,
τ1 0 1 1( ) ( )z x z x z= −v = − + +3 0 1 2 3 0
2
1
33x x x x xx ,
τ2 0 2 1 1 2( ) ( ) ( )z x z x z x z= − +v v = − − + −x x x x xx0 4 0 1 3 2
22 2( ) ,
τ3( )z = x z0 3v ( ) – x z1 2v ( ) + x z2 1v ( ) – x z3 = 0,
τ4 ( )z = x z0 4v ( ) – x z1 3v ( ) + x z2 2v ( ) – x z3 1v ( ) + x z4 =
= 6 0 2 4x x x –
9
2
0 3
2x x – 3 1
2
4x x + 3 1 2 3x x x – x2
3 .
ZauvaΩymo, wo ∂ ( )4 4τ ( )z = 3z ∈ K X d[ ] . TakoΩ zrozumilo, wo τi z( ) [ odnorid-
nym izobarnym mnohoçlenom.
Lema 4.1. Nexaj z — odnoridnyj izobarnyj mnohoçlen z qdra dyferencig-
vannq d. Todi:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
QDRA DYFERENCIGVAN| POLINOMIAL|NYX KILEC| … 443
1) ord τi z( )( ) = n + ord ( )z – 2i, qkwo τi z( ) ≠ 0;
2) ord ∂( )i z( ) = ord ( )z + i, qkwo ∂i z( ) ≠ 0.
Dovedennq. 1. Vaha elementa
τi z( ) = x zi0v ( ) + … + ( ) ( )− −1 k
k i kx zv + … + ( ) ( )−1 i
k ix zv ,
za oznaçennqm, dorivng[ vazi bud\-qkoho dodanka ci[] sumy. Ale
ω x zk i kv −( )( ) = ω ω( ) ( )x zi + = n k z i k− + − −2 2ord ( ) ( ) =
= n z i+ −ord ( ) 2 ,
wo i potribno bulo dovesty.
2. Dovedennq provedemo dlq vypadku i = n. Prypustymo, wo z mistyt\ mo-
nom x x0 1
0 1α α
B… xn
nα , αn ≠ 0. Todi joho vaha ω( )z dorivng[ n ii
α∑( ) – 2 1(α +
+ 2 2α + … + n nα ) . Çastynna poxidna ∂n z( ) mistyt\ monom x x0 1
0 1α α
B… xn
nα − 1
i joho vaha
n i
i
α −
∑ 1 – 2 2 11 2α α α+ + … + −( )n n( ) =
= n i
i
α∑
– 2 21 2α α α+ + … +( )n n + n.
OtΩe, ord ∂( )n z( ) = ord ( )z + n.
Inßi vypadky rozhlqdagt\sq analohiçno.
Lemu dovedeno.
Dlq dovil\noho pidkil\cq T X d⊆ [ ]K poznaçymo çerez τ( )T pidkil\ce,
qke porodΩene elementamy τi z( ) , z T∈ , i ≤ min ( )n z, ord( ) . Qdro K X d[ ] [
hradujovanym kil\cem
K X d[ ] = K K KX X Xd d d
i
[ ]( ) + [ ]( ) + … + [ ]( ) + …
0 1
,
de K X d
i
[ ]( ) — vektornyj pidprostir, porodΩenyj odnoridnymy elementamy qd-
ra stepenq i, zokrema K X d[ ]( )
0
= K, K X d[ ]( )
1
= Kx0 .
Vyqvlq[t\sq, vidobraΩennq τ sgr’[ktyvno vidobraΩa[ komponentu
K X d
i
[ ]( ) v komponentu K X d
i
[ ]( ) + 1
. Ma[ misce nastupna teorema.
Teorema 4.1. SpravdΩu[t\sq rivnist\
τ K X d
i
[ ]( )( ) = K X d
i
[ ]( ) + 1
.
Dovedennq. Oskil\ky, oçevydno, τ K X d
i
[ ]( )( ) ⊆ K X d
i
[ ]( ) + 1
, to dostatn\o
pokazaty, wo dovil\nyj element z X d∈ [ ]K moΩna podaty u vyhlqdi
z = τ τ τn n n nc c c( ) ( ) ( )+ + … +− −1 1 1 1
dlq deqkyx c Xn
d∈ [ ]K , deg ( )cn = deg ( )z – 1. MoΩna vvaΩaty, wo z [ odno-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
444 L. P. BEDRATGK
ridnym izobarnym mnohoçlenom. Rozhlqnemo poslidovnist\ mnohoçleniv
c zn( ) ( )0 = ∂ , c i( ) = ∂ −n i z( ) + ( ) ( )− −+
=
∑ 1 1
1
k
k
k
i
c i k , i = 0, … , n,
de
c i
c i k
k c i
d c ik
k( )
( ) !
! ( ) !
ˆ ( )=
( ) −( )
( ) ( )ω
ω
, c i c i0( ) ( )= ,
[ bazysnymy vektoramy d-moduliv V c ik ( )( ) (dyv. teoremu 3.2).
Oskil\ky operatory ∂n i d komutugt\ miΩ sobog, to
d c d z d zn n( ) ( ) ( )0 0( ) = ∂( ) = ∂ ( ) = .
Dali, ma[mo c( )1 = ∂ −n z1( ) + c1 0( ) . Vraxovugçy, wo d zn∂( )− 1( ) = −∂n z( ) i
d c1 0( )( ) = c0 0( ) = c( )0 , otrymu[mo
d c( )1( ) = −∂ +n z c( ) ( )0 = − +c c( ) ( )0 0 = 0.
Spoçatku pokaΩemo, wo d c i( )+( )1 = 0 dlq i ≤ n – 1. Zapyßemo element c i( +
+ 1) u vyhlqdi
c i( )+ 1 = ∂ + − + −− +
+
=
+
∑n i
k
k
i
kz c i k( )( ) ( ) ( )1
1
1
1
1 1 =
= ∂ + + − + −− +
+
=
+
∑n i
k
k
i
kz c i c i k( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
1
2
1
1 1 .
Vraxovugçy, wo d c ik ( )( ) = c ik − 1( ) i d zn i∂( )− +( )( )1 = −∂ −n i z( ) , ma[mo
d c i( )+( )1 = d zn i∂( )− +( )( )1 + d c i kk
k
k
i
( ) ( )− + −
+
=
+
∑ 1 11
2
1
+ d c i1( )( ) =
= −∂ −n i z( ) + ( ) ( ) ( )− + − ++
−
=
+
∑ 1 11
1
2
1
k
k
k
i
c i k c i =
= − ∂ + − −
−
+
=
∑n i
k
k
k
i
z c i k( ) ( ) ( )1 1
1
+ c i( ) = −c i( ) + c i( ) = 0.
Perejdemo do dovedennq teoremy indukci[g za stepenem z. Dlq elementa qdra
x0 perßoho stepenq, oçevydno, ma[mo x0 = τ1 1( ) . Prypustymo, wo tverdΩen-
nq spravdΩu[t\sq dlq vsix mnohoçleniv qdra, stepeni qkyx menßi za stepin\ z.
Oskil\ky ∂n z( ) = c( )0 i ord ∂( )n z( ) = ord ( )z + n ≥ n, to isnu[ element Kazymira
τn c( )0( ) :
τn c( )0( ) = x c x c x cn n
n
n( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 01 1 0− + … + −− .
Todi, vraxovugçy, wo deg ( )z z = x zn n∂ ( ) + x zn n− −∂1 1( ) + … + x z0 0∂ ( ) , ot-
rymu[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
QDRA DYFERENCIGVAN| POLINOMIAL|NYX KILEC| … 445
deg ( )z z – τn c( )0( ) = x z cn n− ∂ +( )1 1 0( ) ( ) + x z cn n− −∂ −( )2 2 2 0( ) ( ) + …
… + x z cn
n0 0 1 0∂ − −( )( ) ( ) ( ) .
OtΩe, my vyklgçyly zminnu xn iz pravo] çastyny ostann\oho vyrazu, pryçomu
joho liva çastyna, oçevydno, naleΩyt\ qdru. Teper sprobu[mo vyklgçyty iz
pravo] çastyny zminnu xn −1 tak, wob u pravij çastyni buv element qdra.
Koefici[nt bilq xn −1 dorivng[ ∂n z( ) + c1 0( ) = c( )1 ∈ K X d[ ] , tomu moΩna
pobuduvaty vidpovidnyj element Kazymira, u qkoho koefici[nt bilq xn −1 ta-
koΩ dorivng[ c( )1 :
τn c− ( )1 1( ) = x c x cn n− −−1 0 2 11 1( ) ( ) + … + ( ) ( )− −
−1 11
0 1
n
nx c .
Vidnqvßy vid livo] i pravo] çastyny τn c− ( )1 1( ) , my vyklgçymo xn −1 iz pravo]
çastyny:
deg ( )z z – τ τn nc c( ) ( )0 11( ) + ( )( )− = x z c cn n− −∂ − +( )2 2 2 10 1( ) ( ) ( ) + …
… + x z c ci i
i
i
i
i∂ − − − −( )−
−( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 11
1 + …
… + x z c cn
n
n
n0 0
1
11 0 1 1∂ − − − −( )−
−( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
= x c x z c cn
n
n
n
n−
−
−( ) + … + ∂ − − − −2 0 0
1
12 1 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( )1( ) .
ProdovΩugçy cej proces, na n-mu kroci oderΩu[mo
deg ( )z z – τ τ τn nc c c n( ) ( ) ( )0 1 11 1( ) + ( ) + … + −( )( )− =
= x z c n c n cn
n0 0 1 2
11 1 0∂ + − − + … + −( )+( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = x c n0 ( ) .
Oskil\ky deg c n( )( ) = deg ( )z – 1, to za prypuwennqm indukci] mnohoçlen c n( )
moΩna podaty u vyhlqdi
c n( ) = τ τ τn n n nc c c( ) ( ) ( )′ + ′ + … + ′− −1 1 1 1
dlq deqkyx ′ ∈ [ ]c Xi
dK . Ale
x c n x c x ci i
i
i i
i
0 0 0( ) ( ) ( )= ′ = ′∑ ∑τ τ ,
tomu
deg ( )z z = τ τ τn nc c c n x c n( ) ( ) ( ) ( )0 1 11 1 0+ ( ) + … + −( ) +( )− =
= τn nc x c( )0 0+ ′( ) + τn nc x c− −+ ′( )1 0 11( ) + … + τ1 0 11c n x c( )− + ′( ) .
Zvidsy znaxodymo
z =
1
0 10 1 0 1
deg ( )
( ) ( )
z
c x c c x cn n n nτ τ+ ′( ) + + ′( ) + … +− − ττ1 0 11c n x c( )− + ′( )( ) .
Teoremu dovedeno.
Na osnovi ci[] teoremy moΩna rozrobyty efektyvnyj alhorytm obçyslennq
qdra dyferencigvannq Vejtcenbeka, qkyj bude rozhlqnuto v nastupnomu
punkti.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
446 L. P. BEDRATGK
5. Alhorytm obçyslennq qdra K X d[[ ]] . Qdro K X d[ ] [ skinçennoporod-
Ωenym kil\cem, tomu pryrodno vynyka[ zadaça vydilennq joho minimal\no] po-
rodΩugço] systemy elementiv. Qk bulo pokazano vywe, vykorystovugçy vidob-
raΩennq τ, moΩna lehko heneruvaty elementy qdra dovil\noho stepenq. Tomu
potribno maty zruçnyj kryterij toho, çy znajdeni elementy qdra porodΩugt\
vse qdro, çy we ne porodΩugt\, i potribno prodovΩuvaty ßukaty novi elementy
qdra.
Ma[ misce nastupna teorema.
Teorema 5.1. Nexaj T — pidkil\ce v K X d[ ] , qke mistyt\ x0 i dlq qkoho
τ( )T T⊆ . Todi K X d[ ] = T.
Dovedennq. Dostatn\o pokazaty, wo K X Td[ ] ⊆ . Za umovog x T0 ∈ . Pry-
pustymo, wo teorema spravdΩu[t\sq dlq vsix mnohoçleniv stepenq s. Nexaj z
ma[ stepin\ s + 1. Todi za teoremog 4.1 element z moΩna zobrazyty u vyhlqdi
sumy mnohoçleniv vyhlqdu τi iz( )′ , de ′zi — elementy stepenq s . Tomu za
prypuwennqm indukci] z T∈ , a otΩe, i K X Td[ ] ⊆ .
Teoremu dovedeno.
VidobraΩennq τi dozvolqgt\ orhanizuvaty iteracijnyj proces obçyslennq
qdra K X d[ ] . Dlq dovil\noho pidkil\cq B qdra çerez B poznaçymo kil\ce
B B∪ τ( ) . Dlq koΩnoho ciloho m ≥ 0 induktyvno vyznaçymo poslidovnist\ pid-
kilec\:
B X0 0= [ ]K ,
B Bm m= − 1 .
Otrymu[mo zrostagçyj rqd kilec\
B B B0 1 2⊆ ⊆ … .
Iz poperedn\o] teoremy, a takoΩ iz skinçenno] porodΩenosti qdra dyferencig-
vannq Vejtcenbeka vyplyva[ spravedlyvist\ nastupnoho tverdΩennq.
Teorema 5.2. Isnu[ k take, wo Bk = Bk + 1 = K X d[ ] .
Dlq realizaci] alhorytmu potribno vmity efektyvno obçyslgvaty alhebru
τ( )Bi , znagçy porodΩugçu mnoΩynu mnohoçleniv dlq Bi . Vvedemo deqki ne-
obxidni ponqttq.
Oznaçennq 5.1. Dovil\nyj element z X d∈ [ ]K , qkyj moΩna vyrazyty qk
mnohoçlen vid elementiv Bi menßoho abo rivnoho stepeniv, nazyva[t\sq zvid-
nym vidnosno Bi . V protyleΩnomu vypadku z nazyva[t\sq nezvidnym ele-
mentom.
Oznaçennq 5.2. Skinçenna mnoΩyna elementiv K X d[ ] taka , wo koΩen
element qdra [ zvidnym vidnosno ci[] systemy, nazyva[t\sq povnog nezvidnog
systemog.
Oznaçennq 5.3. Povna nezvidna systema elementiv qdra nazyva[t\sq mini-
mal\nog, qkwo pislq vyluçennq z ne] xoça b odnoho elementa vona peresta[ bu-
ty povnog.
Zrozumilo, wo povna minimal\na systema nezvidnyx elementiv zbiha[t\sq z de-
qkog minimal\nog porodΩugçog systemog kil\cq K X d[ ] .
Deqki vypadky, koly moΩna vstanovyty, çy danyj element qdra [ zvidnym,
rozhlqnuto v nastupnij teoremi.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
QDRA DYFERENCIGVAN| POLINOMIAL|NYX KILEC| … 447
Teorema 5.3. Nexaj u, v ∈ [ ]K X d
[ nezvidnymy vidnosno Bi . Todi:
1) qkwo ord ( )u = 0, to element u v [ zvidnym vidnosno Bi + 1 ;
2 ) element τi u( )v zvidnyj vidnosno Bi + 1 dlq vsix i ≤ min ( )ord u( ,
ord ( )v ) ;
3) element qdra τi iu u u( )1 2 1… + , u Bk i∈ , zavΩdy zvidnyj vidnosno Bi + 1 .
Dovedennq. 1. Vyplyva[ z toho, wo koly ord ( )u = 0, to τi u( )v = u iτ ( )v .
2. PokaΩemo, wo pry i ≤ min ( )ord u( , ord ( )v ) ma[ misce rivnist\
τi u( )v = u ci i k k
k
i
τ τ( ) ( )v + ′−
=
−
∑
1
1
dlq deqkyx ′ ∈ [ ]c Xk
dK . Spravdi, poklavßy αi z( ) : =
ω
ω
( ) !
! ( )!
z i
i z
−( )
dlq dovil\no-
ho odnoridnoho izobarnoho elementa z, otryma[mo
τi u( )v – u iτ ( )v = ( ) ( ) ˆ ( )− −
=
− −∑ 1
0
i k
k
i
i k i k
ku x d uα v v –
– u x di k
k
i
i k i k
k( ) ( ) ˆ ( )−
−
=
− −∑ 1
0
α v v =
= x u u x d ui
i k
k
i
i k i k
kv v v+ − −
=
− −∑ ( ) ( ) ˆ ( )1
1
α –
– u x x di
i k
k
i
i k i k
kv v v+ −
−
=
− −∑ ( ) ( ) ˆ ( )1
1
α =
= ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ− −−
=
− − −∑ 1
1
i k
k
i
i k i k
k
i k
kx u d u u dα αv v v (( )v( ) .
Prava çastyna rivnosti naleΩyt\ qdru qk riznycq dvox elementiv qdra, tomu,
vykorystavßy teoremu 4.1, otryma[mo potribnyj rezul\tat.
3. Qkwo sered mnohoçleniv u1 , u2 , … , ui + 1 [ mnohoçleny nul\ovoho po-
rqdku, to mnohoçlen τi u u1 2( … ui + )1 zvidnyj zhidno z perßym tverdΩennqm
teoremy; qkwo Ω vsi vony magt\ nenul\ovi porqdky, to porqdok u u1 2 … ui + 1
bil\ßyj abo dorivng[ i, tomu τi u u1 2( … ui + )1 zvidnyj za tverdΩennqm 2
teoremy.
Teoremu dovedeno.
Dlq znaxodΩennq porodΩugçyx mnohoçleniv alhebry Bm + 1 potribno vydi-
lyty sered mnohoçleniv z τ( )Bm ti, qki [ nezvidnymy i ne naleΩat\ do Bm .
Oznaçennq 5.4. Mnohoçlen z alhebry τ( )Bm nazyva[t\sq dopustymym dlq
alhebry Bm , qkwo vin nezvidnyj i ne naleΩyt\ do Bm .
Nexaj Bm = K f1[ , … , fr , g1, … , gs] , de g1, … , gs — dopustymi mnoho-
çleny dlq Bm − 1 . Z teoremy 5.3 vyplyva[ nastupne tverdΩennq.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
448 L. P. BEDRATGK
Teorema 5.4. Mnohoçlen τ α α
i f f1 2
1 2( B… f gr
rα β
1
1
B… gs
sβ ) ne moΩe buty dopus-
tymym dlq Bm , qkwo:
1) αkk∑ + βkk∑ > i ;
2) βkk∑ = 0;
3) deqki z fi , gk magt\ nul\ovyj porqdok, ale pry c\omu αi ≠ 0 , βk ≠ 0 ;
4) f f f g gr s
r s
1 2 1
1 2 1α α α β β
moΩna podaty u vyhlqdi dobutku dvox mnohoçleniv,
odyn z qkyx ma[ porqdok bil\ßyj za i .
Z vykladenoho vywe vyplyva[ takyj alhorytm obçyslennq alhebry K X d[ ] .
Poznaçymo çerez B{ } porodΩugçu mnoΩynu alhebry B.
1. B x0 0{ } = { } .
2. Prypustymo, wo porodΩugçi elementy alhebry Bi vΩe obçysleno i
B f f g gi r s{ } = …{ } …{ }1 1, , , ,∪ ,
de g gs1, ,…{ } — vsi dopustymi mnohoçleny dlq Bi .
3. Rozhlqnemo skinçennu mnoΩynu
B f g m p s k n m ni
m
k q p
( ) : , , , ,= ( ) + = ≤ ≤ ≤{ }τ α βα β .
4. Vykorystovugçy teoremy 5.3, 5.4, budu[mo mnoΩynu H tyx mnohoçleniv z
Bi
m( ) , m ≤ n, qki [ dopustymymy.
5. Qkwo H = ∅ , to K X d[ ] = Bi . Inakße Bi + 1 = f fr1, ,…{ } ∪ g1{ , …
… , gs} ∪ H.
6. Obçyslennq K X d[[ ]] dlq n < 7. Zminymo poznaçennq z x0 na t.
Teorema 6.1. B1 = K t t, ( )τ2[ , τ4 ( )t , … , τ2 2n t/[ ] ( ) , n > 2.
Dovedennq. Zrozumilo, wo dopustymymy mnohoçlenamy dlq B1 moΩut\
buly lyße taki mnohoçleny τi t( ) , i ≤ n. Pry neparnyx i vsi τi t( ) , qk nevaΩko
perekonatysq, dorivnggt\ nulg. Dlq dovedennq toho, wo τ2( )t , τ4 ( )t , …
… , τ2 2n t/[ ]( ) razom z t [ minimal\nog porodΩugçog mnoΩynog, potribno po-
kazaty, wo miΩ cymy mnohoçlenamy i t 2
nema[ linijnyx spivvidnoßen\. Pry-
pustymo, wo isnu[ netryvial\na linijna kombinaciq
α τ α τ α τ β2 2 4 4 2 2 2 2
2 0( ) ( ) ( )t t t tn n+ + … + + =[ ] [ ]/ / .
Vraxuvavßy te, wo τi t( ) = 2 t xi + Ai , de mnohoçlen Ai ne zaleΩyt\ vid t,
otryma[mo
α τ α τ α τ β2 2 4 4 2 2 2 2
2( ) ( ) ( )t t t tn n+ + … + +[ ] [ ]/ / =
= 2 2 2 4 4 2 2 2 2t x x x tn n( )α α α β+ + … + +[ ] [ ]/ / +
+ α2 2A + … + α2 2 2 2n nA/ /[ ] [ ] .
Rivnist\ nulg moΩlyva lyße pry nul\ovomu nabori koefici[ntiv, otΩe, systema
porodΩugçyx mnohoçleniv [ linijno nezaleΩnog i tomu vkazana systema porod-
Ωugçyx [ minimal\nog.
Teoremu dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
QDRA DYFERENCIGVAN| POLINOMIAL|NYX KILEC| … 449
Teorema 6.1 pidtverdΩu[ rezul\tat roboty [11] pro te, wo rozmirnist\ pros-
toru kvadratyçnyx invariantiv avtomorfizmu exp ( )td dorivng[ n/2[ ] .
Vsi obçyslennq provodylys\ v Maple.
n = 0, 1.
Vypadky n = 0, 1 xarakteryzugt\sq tym, wo dlq nyx, oçevydno, τ( )B0 = 0.
Tomu B B1 0= , tobto K X d[ ] = K t[ ] .
n = 2.
B1 = K t d, v[ ] , de dv : = τ2( )t = t x x2 1
22− . Oskil\ky ord ( )dv = 0, to v B1
nema[ dopustymyx elementiv. Tomu B B2 1= i K X d[ ] = K t d, v[ ] .
n = 3.
B1 = K t d, v[ ] , de dv = τ2( )t . Oskil\ky ord ( )dv = 2, to dopustymymy ele-
mentamy dlq B1 moΩut\ buty lyße τ1( )dv , τ2( )dv i τ3
2( )dv . Ale τ3
2( )dv =
= 0 i τ2( )dv = 0, tomu zalyßa[t\sq odyn element t r : = τ1( )dv . Element dv
ne naleΩyt\ do B1 , oskil\ky Ωodna linijna kombinaciq elementiv tret\oho
stepenq v B t1
3− i tdv ne da[ v rezul\tati t r, tomu ce dopustymyj element i
B2 = K t d tr, v,[ ] .
Dopustymym elementom dlq B2 moΩe buty lyße element ch = τ3( )tr .
Oskil\ky ord ( )ch = 0, a v B2 ne mistyt\sq elementiv nul\ovoho porqdku, to
ch ne naleΩyt\ do B2 . Zvidsy otrymu[mo, wo B3 = K t d tr ch, ,v,[ ] . Oskil\ky
ord ( )ch = 0, a B3 ne ma[ dopustymyx elementiv, to B B4 3= , otΩe, K X d[ ] =
= K t d tr ch, ,v,[ ] , de
d t x xv = − +2 2 1
2 ,
tr t x x t x x= − + +3 31 2
2
3 1
3 ,
ch t x x x t x x t x x x x= − + + + −18 8 9 6 31 2 3 2
3
3
2 2
1
3
3 1
3
2
2 .
n = 4.
B1 = K t d d, v , v1 2[ ] , de
d tv1 2= τ ( ) , ord ( )dv1 4= ,
d tv2 4= τ ( ) , ord ( )dv2 0= .
Dopustymymy elementamy dlq B1 moΩut\ buty lyße τi d( )v1 , i = 1, … , 4. Bez-
poserednq perevirka pokazu[, wo τ2 1( )dv = t dv2 i τ3 1( )dv = 0. Poklademo
tr d1 1 1= τ ( )v , ord ( )tr1 6= ,
tr d2 4 1= τ ( )v , ord ( )tr2 0= .
Stepeni elementiv t 3
, td1 , td2 dorivnggt\ 3, a porqdky — vidpovidno 8, 8,
4, i tomu tr1 , tr2 ne naleΩat\ do B1 , otΩe, B2 = K t d d tr tr, , ,v , v1 2 1 2 .
Oskil\ky ord ( )dv2 = ord ( )tr2 = 0, to dopustymymy moΩut\ buty lyße elemen-
ty τi t r( )1 , i = 1, … , 4. Ale τ2 1( )tr = 0, τ2 4( )tr = 0, a
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
450 L. P. BEDRATGK
τ1 1 2
2
1
2( )tr d t d= +v v ,
τ3 2 1 2 2( )tr d d t tr= − ⋅v v .
Tomu τ( )B2 ⊆ B2 , B B3 2= i K X d[ ] = K t d d tr tr, , ,v , v1 2 1 2 ,
d t x xv1 2 1
22= − + ,
d t x x x xv2 4 1 3 2
22 2= − + − ,
tr t x x x t x1 1 2 3
2
1
33 3= − + + ,
tr x t x x t x x x x x x2 2 4 3
2
1
2
4 1 2 3 2
312 9 6 6 2= − − + − .
n = 5.
Z teoremy 6.1 ma[mo, wo B1 = K t d d, v , v1 2[ ] , de
d tv1 2: ( )= τ , ord ( )dv1 6= ,
d tv2 4: ( )= τ , ord ( )dv2 2= .
Dopustymymy elementamy dlq B1 moΩut\ buty lyße taki 10 elementiv:
B d i d ii i1
1
1 21 5 1 2( ) ( ), , , ; ( ), ,= = … ={ }τ τv v ,
B d ii1
2
2
2 3 4( ) ( ), ,= ={ }τ v ,
B d1
3
5 2
3( ) ( )= { }τ v .
Bezposerednq perevirka pokazu[, wo
τ2 1 2
6
5
( )d t dv v= − , τ5 1 0( )dv = ,
τ τ( ) ( )d dv v2 3 15= , τ τ2 2 4 1
5
4
( ) ( )d dv v= − .
Poznaçymo
tr d1 4 1: ( )= τ v , ord ( )tr1 3= , tr d2 3 1: ( )= τ v , ord ( )tr2 5= ,
tr d3 1 1: ( )= τ v , ord ( )tr3 9= , p d1 4 2
2: ( )= τ v , ord ( )p1 1= ,
p d2 3 2
2: ( )= τ v , ord ( )p2 3= , si d1 5 2
3: ( )= τ v , ord ( )si1 1= .
OtΩe,
B t d d tr p si2 1 2 1 3 1 2 1= − −K , , , ,v , v .
Lehko pokazaty, wo cq systema [ minimal\nog systemog porodΩugçyx dlq B2 .
Znaxodymo dopustymi elementy dlq B2 :
B tr tr tr tr2
1
3 1 5 2 4 3 5 3
( ) ( ), ( ), ( ), ( )= { }τ τ τ τ ,
B d tr d p tr2
2
4 2 1 5 2 2 4 1
2( ) ( ), ( ), ( )= { }τ τ τv v ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
QDRA DYFERENCIGVAN| POLINOMIAL|NYX KILEC| … 451
B d p d tr d si2
3
5 2
2
1 5 2
2
1 5 2
2
1 5
( ) ( ), ( ), ( ),= τ τ τ τv v v (( ), ( )tr p si p p si1 1 1 5 1 2 1τ{ } ,
B2
4( ) = ∅{ } .
Bezposerednq perevirka pokazu[, wo nastupni elementy dorivnggt\ nulg:
τ2 1( )tr , τ5 2 1( )d trv , τ5 1
2( )tr , τ5 2
2
1( )d pv , τ5 1 1 1( )tr p si .
Poznaçymo
c tr1 5 2: ( )= τ , ord ( )c1 0= , c tr2 4 3: ( )= τ , ord ( )c2 4= ,
c tr3 5 3: ( )= τ , ord ( )c3 6= , s d tr1 4 2 1: ( )= τ v , ord ( )s1 2= ,
v v1 5 2 2: ( )= τ d p , ord ( )v1 0= , v v2 5 2
2
1: ( )= τ d tr , ord ( )v2 2= ,
d d siv v: ( )= τ5 12
2 , ord ( )dv = 0 , vis p p si: ( )= τ5 1 2 1 , ord ( )vis = 0 .
OtΩe,
B t d d tr tr tr c c c p p s3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1= K , , , , , , , , , ,v , v ,, , , ,si d is1 1 2v v v, v .
Nastupni elementy [ dopustymymy dlq B3 :
p c3 2 3: ( )= τ , ord ( )p3 7= , s p2 1 1: ( )= τ , ord ( )s2 4= ,
si s2 1 1: ( )= τ , ord ( )si2 5= , dev v: ( )= τ2 2 , ord ( )dev = 3 ,
od s d: ( )= τ5 1 2
2v , ord ( )od = 1, trn d: ( )= τ5 2 2
2v v , ord ( )trn = 1.
MoΩna pokazaty, vykorystovugçy rozroblenu texniku, wo
B t d tr c p s si4 1 2 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2= − − − − − − −K , , , , , , ,, v dde od d trn isv v, v, , , ,
τ( )B4 ⊂ B4 i vkazana systema 23 mnohoçleniv [ minimal\nog systemog porod-
Ωugçyx dlq K X d[ ] dlq n = 5.
n = 6.
Qk i dlq vypadku n = 5, poslidovno otryma[mo B1 = K t d d d, ,v , v v1 2 3[ ] , de
d tv1 6: ( )= τ , ord ( )dv1 0= , d tv2 4: ( )= τ , ord ( )dv2 4= ,
d tv3 2: ( )= τ , ord ( )dv3 8= ;
B2 = K t d tr p, ,v ,1 3 1 4 1 2− − − , de
tr d1 6 3: ( )= τ v , ord ( )tr1 2= , tr d2 4 3: ( )= τ v , ord ( )tr2 6= ,
tr d3 4 3: ( )= τ v , ord ( )tr3 8= ,
tr d4 1 3: ( )= τ v , ord ( )tr4 12= , p d1 6 2
2: ( )= τ v , ord ( )p1 2= ,
p d2 5 2
2: ( )= τ v , ord ( )p2 4= ;
B3 = K t d, v1 3− , tr1 4− , c1 4− , p1 2− , s1 3− , si1 2− , vi , dev , de1 2− , d anv ,
de
c tr1 6 2: ( )= τ , ord ( )c1 0= , c tr2 5 3: ( )= τ , ord ( )c2 4= ,
c tr3 6 4: ( )= τ , ord ( )c3 6= , c tr4 4 4: ( )= τ , ord ( )c4 10= ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
452 L. P. BEDRATGK
s d tr1 6 2 1: ( )= τ v , ord ( )s1 0= , s d tr2 3 2 1: ( )= τ v , ord ( )s2 6= ,
s p3 1 1: ( )= τ , ord ( )s3 6= , si tr1 4 1
2: ( )= τ , ord ( )si1 2= ,
si tr2 3 1
2: ( )= τ , ord ( )si2 4= , v vi d p: ( )= τ6 2 2 , ord ( )vi = 2 ,
de tr pv : ( )= τ4 1 2 , ord ( )dev = 4 , de tr1 6 1
3: ( )= τ , ord ( )de1 0= ,
de tr2 5 1
3: ( )= τ , ord ( )de2 2= , d an tr pv : ( )= τ5 1
2
1 , ord ( )d anv = 2 .
Dopustymymy mnohoçlenamy dlq B3 budut\ lyße 2 mnohoçleny:
p c3 4 4: ( )= τ , ord ( )p3 8= ,
pt si si: ( )= τ6 1 2 , ord ( )pt = 0 .
Mnohoçlen pt ma[ stepin\ 15, sklada[t\sq iz 1370 dodankiv i [ nezvidnym.
OtΩe,
B t d tr c p s si i d4 1 3 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2= − − − − − −K , , , , , , ,v , v ee de d an ptv v, , ,1 2− .
Opysanymy metodamy moΩna pereviryty, wo τ( )B4 ⊆ B4 , i tomu vkazani 26
mnohoçleniv [ minimal\nog systemog porodΩugçyx elementiv dlq alhebry
K X d[ ] pry n = 6.
1. Nowicki A. Polynomial derivation and their ring of constants. – Torun: UMK, 1994. – 170 p.
2. van den Essen A. Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture // Progr. Math. – 2000. –
190. – 329 p.
3. Freudenburg G. Algebraic theory of locally nilpotent derivations // Encycl. Math. Sci. – 2006. –
136. – 260 p.
4. Hilbert D. Theory of algebraic invariants. – Cambridge Univ. Press, 1993. – 191 p.
5. Weitzenböck R. Über die Invarianten von linearen Gruppen // Acta math. – 1932. – 58. – P. 231 –
293.
6. Greuel G.-M., Pfister G. Geometric quotients of unipotent group actions // Proc. London Math.
Soc. – 1993. – 67, # 1. – P. 75 – 105.
7. Cerezo A. Tables des invariants algébriqueset rationnels d’une matrice nilpotente de petite dimen-
sion // Prépubl. Math. Univ. Nice. – 1987. – 146.
8. Bedratyuk L. A complete minimal system of covariants for the binary form of degree 7 // J.
Symbol Comput. – 2009. – 44, # 2. – P. 211 – 220.
9. Bedratgk L. P., Bedratgk S. L. Povna systema kovariantiv binarno] formy vos\moho po-
rqdku // Mat. visn. NTÍ. – 2008. – 5. – S. 11 – 22.
10. Bedratgk L. P. Elementy Kazymira dyferencigvan\ kil\cq mnohoçleniv // Mat. stud. –
2007. – 27. – S. 115 – 119.
11. Bavula V. V., Lenagan T. H. Quadratic and cubic invariants of unipotent affine automorphisms // J.
Algebra. – 2008. – 320, # 12. – P. 4132 – 4155.
OderΩano 04.04.05,
pislq doopracgvannq — 04.01.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
|
| id | umjimathkievua-article-2878 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:32:03Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/91/e62ff68f934f0b51177c23e0d7995591.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28782020-03-18T19:39:35Z Kernels of derivations of polynomial rings and Casimir elements Ядра диференціюнапь поліпоміальних кілець та елементи Казиміра Bedratyuk, L. P. Бедратюк, Л. П. We propose an algorithm for the evaluation of elements of the kernel of an arbitrary derivation of a polynomial ring. The algorithm is based on an analog of the well-known Casimir element of a finite-dimensional Lie algebra. By using this algorithm, we compute the kernels of Weitzenböck derivation $d(x_i ) = x_{i−1},\; d(x_0) = 0,\;i = 0,…, n$, for the cases where $n ≤ 6$. Предлагается алгоритм вычисления элементов ядра произвольного дифференцирования кольца многочленов, который основан на аналоге известного элемента Казимира конечномерной алгебры Ли. С помощью полученного алгоритма ядра дифференцирования Вейтценбека $d(x_i ) = x_{i−1},\; d(x_0) = 0,\;i = 0,…, n$, вычислены в случаях $n ≤ 6$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2878 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 4 (2010); 435–452 Український математичний журнал; Том 62 № 4 (2010); 435–452 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2878/2507 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2878/2508 Copyright (c) 2010 Bedratyuk L. P. |
| spellingShingle | Bedratyuk, L. P. Бедратюк, Л. П. Kernels of derivations of polynomial rings and Casimir elements |
| title | Kernels of derivations of polynomial rings and Casimir elements |
| title_alt | Ядра диференціюнапь поліпоміальних кілець та елементи Казиміра |
| title_full | Kernels of derivations of polynomial rings and Casimir elements |
| title_fullStr | Kernels of derivations of polynomial rings and Casimir elements |
| title_full_unstemmed | Kernels of derivations of polynomial rings and Casimir elements |
| title_short | Kernels of derivations of polynomial rings and Casimir elements |
| title_sort | kernels of derivations of polynomial rings and casimir elements |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2878 |
| work_keys_str_mv | AT bedratyuklp kernelsofderivationsofpolynomialringsandcasimirelements AT bedratûklp kernelsofderivationsofpolynomialringsandcasimirelements AT bedratyuklp âdradiferencíûnapʹpolípomíalʹnihkílecʹtaelementikazimíra AT bedratûklp âdradiferencíûnapʹpolípomíalʹnihkílecʹtaelementikazimíra |