On the modularity of a lattice of $τ$-closed $n$-ultiply $ω$-composite formations

Let $n ≥ 0$, let $ω$ be a nonempty set of prime numbers and let $τ$ be a subgroup functor (in Skiba’s sense) such that all subgroups of any finite group $G$ contained in $τ (G)$ are subnormal in $G$. It is shown that the lattice of all $τ$-closed $n$-multiply $ω$-composite formations is algebraic an...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
Hauptverfasser:	Vorob'ev, N. N., Tsarev, A. A., Воробьев, Н. Н., Царёв, A. A.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch Englisch
Veröffentlicht:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010
Online Zugang:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2879
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Institution

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860508870217039872
author	Vorob'ev, N. N. Tsarev, A. A. Воробьев, Н. Н. Царёв, A. A. Воробьев, Н. Н. Царёв, A. A.
author_facet	Vorob'ev, N. N. Tsarev, A. A. Воробьев, Н. Н. Царёв, A. A. Воробьев, Н. Н. Царёв, A. A.
author_sort	Vorob'ev, N. N.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:39:35Z
description	Let $n ≥ 0$, let $ω$ be a nonempty set of prime numbers and let $τ$ be a subgroup functor (in Skiba’s sense) such that all subgroups of any finite group $G$ contained in $τ (G)$ are subnormal in $G$. It is shown that the lattice of all $τ$-closed $n$-multiply $ω$-composite formations is algebraic and modular.
first_indexed	2026-03-24T02:32:04Z
format	Article
fulltext	UDK 512.542 N. N. Vorob\ev ∗∗∗∗ , A. A. Carev (Vytebsk. hos. un-t ym. P. M. Maßerova, Belarus\) O MODULQRNOSTY REÍETKY ττττ - ZAMKNUTÁX n - KRATNO ωωωω - KOMPOZYCYONNÁX FORMACYJ Let n ≥ 0 , ω be a nonempty set of prime numbers, and τ be a subgroup functor (in the sense of A. N. Skiba) such that, for any finite group G, all subgroups contained in τ ( )G , are subnormal in G. It is proved that the lattice of all τ-closed n-multiply ω-composition formations is algebraic and modular. Nexaj n ≥ 0 , ω — neporoΩnq mnoΩyna prostyx çysel i τ — pidhrupovyj funktor (v sensi A./M. Skyby) takyj, wo dlq bud\-qko] skinçenno] hrupy G vsi pidhrupy, wo vxodqt\ do τ ( )G , [ subnormal\nymy v G. Dovedeno, wo ©ratka vsix τ-zamknenyx n-kratno ω - kompozycijnyx for- macij [ alhebra]çnog ta modulqrnog. Vvedenye. V rabote [1] ustanovleno, çto reßetka vsex (nas¥wenn¥x) for- macyj modulqrna. V dal\nejßem πtot rezul\tat poluçyl razvytye v razlyçn¥x napravlenyqx. V monohrafyy L. A. Íemetkova y A. N. Skyb¥ [2] dokazana mo- dulqrnost\ reßetky vsex n-kratno nas¥wenn¥x formacyj, v rabote A. Balles- tera-Bolynße y L. A. Íemetkova [3] — modulqrnost\ reßetky vsex ω-nas¥- wenn¥x formacyj. Modulqrnost\ reßetky vsex τ- zamknut¥x n-kratno nas¥- wenn¥x formacyj ustanovlena A. N. Skyboj [4]. V dal\nejßem A. N. Skyboj y L./A. Íemetkov¥m [5, 6] dokazana modulqrnost\ reßetok n-kratno ω-nas¥- wenn¥x formacyj y n-kratno �- kompozycyonn¥x formacyj sootvetstvenno. Pozdnee Y. P. Íabalynoj [7] ustanovlena modulqrnost\ reßetky vsex τ-zamk- nut¥x n-kratno ω-nas¥wenn¥x formacyj, a M. V. ZadoroΩngk [8] — modu- lqrnost\ reßetky vsex τ-zamknut¥x ω-kompozycyonn¥x formacyj. Modulqr- nost\ reßetky vsex total\no nas¥wenn¥x formacyj, a takΩe reßetky vsex τ-zamknut¥x total\no nas¥wenn¥x formacyj dokazana V. H. Safonov¥m [9, 10]. V nastoqwej rabote s pomow\g funktornoho podxoda razvyvagtsq metod¥ teo- ryy modulqrn¥x reßetok çastyçno kompozycyonn¥x formacyj: dokazano, çto reßetka vsex τ-zamknut¥x n-kratno ω-kompozycyonn¥x formacyj alhebrayç- na y modulqrna (teorema/3.1). Krome toho, ustanovlena ynduktyvnost\ ukazan- noj reßetky (teorema/2.1). Zametym, çto specyal\n¥my sluçaqmy teorem¥/3.1 qvlqgtsq vse pryvedenn¥e v¥ße rezul\tat¥ o modulqrn¥x reßetkax formacyj (sm. sledstvyq/3.1 – 3.4). M¥ budem yspol\zovat\ standartnug termynolohyg, prynqtug v [2, 4 – 6, 11, 12]. Vse rassmatryvaem¥e v rabote hrupp¥ koneçn¥. 1. Predvarytel\n¥e svedenyq. Napomnym, çto formacyej naz¥vaetsq klass hrupp, zamknut¥j otnosytel\no homomorfn¥x obrazov y koneçn¥x pod- prqm¥x proyzvedenyj. V dal\nejßem ω oboznaçaet nekotoroe nepustoe mnoΩestvo prost¥x çysel y ′ω = P \ ω . Symvolom π ( )G oboznaçeno mnoΩestvo vsex razlyçn¥x pros- t¥x delytelej porqdka hrupp¥ G, π ( )� — obæedynenye mnoΩestv π ( )G dlq vsex hrupp G yz � , [ ]K H — poluprqmoe proyzvedenye hrupp¥ K s nekotoroj ee hruppoj operatorov H, A B� — rehulqrnoe spletenye hrupp¥ A s hruppoj B. Dlq proyzvol\noho klassa hrupp � ⊇ ( )1 çerez G� oboznaçeno pereseçe- nye vsex takyx normal\n¥x podhrupp N, çto G N/ ∈� , a çerez G� — proyz- ∗ PodderΩan Belorusskym respublykanskym fondom fudamental\n¥x yssledovanyj (hrant F08M-118). © N. N. VOROB\|EV, A. A. CAREV, 2010 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 453 454 N. N. VOROB\|EV, A. A. CAREV vedenye vsex normal\n¥x �-podhrupp hrupp¥ G. V çastnosty, O Gp( ) = G p� y F Gp( ) = G p p� �′ . Symvol¥ �p , �, � ′p y �cp oboznaçagt sootvetstven- no klass vsex p-hrupp, klass vsex hrupp, klass vsex ′p -hrupp y klass vsex ta- kyx hrupp, u kotor¥x vse hlavn¥e p-faktor¥ central\n¥. Lgbaq funkcyq vyda f : ω ω∪ { }′ → { }formacyy hrupp naz¥vaetsq ω-kompozycyonn¥m sputnykom [6]. Kak y v [11], çerez C Gp( ) obo- znaçeno pereseçenye centralyzatorov vsex tex hlavn¥x faktorov hrupp¥ G, kompozycyonn¥e faktor¥ kotor¥x ymegt prostoj porqdok p ( C Gp( ) = G , esly v G net hlavn¥x faktorov s takym svojstvom ) . Symvolom R Gω ( ) obozna- çena naybol\ßaq normal\naq razreßymaq ω-podhruppa hrupp¥ G ; Com( )G — klass vsex prost¥x abelev¥x hrupp A takyx, çto A H K≅ / dlq nekotoroho kompozycyonnoho faktora H K/ hrupp¥ G . Sohlasno [6], proyzvol\nomu ω- kompozycyonnomu sputnyku f sopostavlqgt klass hrupp CF fω ( ) = ( G G R G/ ( )ω ∈ f ( )′ω y G C Gp/ ( ) ∈ f p( ) dlq vsex p G∈ω π∩ ( )( )Com ) . Esly formacyq � takova, çto � = CF fω ( ) dlq nekotoroho ω-kompozycyon- noho sputnyka f, to hovorqt, çto ona ω-kompozycyonna, a f — ω-kompozycyon- n¥j sputnyk πtoj formacyy [6]. Esly pry πtom vse znaçenyq f leΩat v � , to sputnyk f naz¥vaetsq vnutrennym. Sohlasno koncepcyy kratnoj lokalyzacyy, predloΩennoj A. N. Skyboj (sm. [13, 6]), lgbaq formacyq sçytaetsq 0-kratno ω-kompozycyonnoj, a pry n > 0 formacyq � naz¥vaetsq n-kratno ω-kompozycyonnoj, esly � = CF fω ( ) , hde vse nepust¥e znaçenyq funkcyy f qvlqgtsq ( )n − 1 -kratno ω-kompozycyon- n¥my formacyqmy. Pust\ Θ — polnaq reßetka formacyj. Tohda symvolom Θ form� obozna- çaetsq pereseçenye vsex tex formacyj yz Θ, kotor¥e soderΩat sovokupnost\ hrupp �. V çastnosty, pyßut Θ formG v sluçae, kohda � = { }G . Lgbaq for- macyq takoho vyda naz¥vaetsq odnoporoΩdennoj formacyej, prynadleΩawej Θ. Znak Θ opuskaetsq, esly Θ — sovokupnost\ vsex formacyj. Napomnym, çto sputnyk f naz¥vaetsq Θ-znaçn¥m, esly vse eho znaçenyq prynadleΩat Θ. Sleduq [6], symvolom Θωc budem oboznaçat\ polnug reßetku formacyj, yme- gwyx Θ-znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk. Dlq proyzvol\noj sovokupnosty hrupp � polahagt (sm. [6]) �( )C p = form ComG C G G p p p/ ( ) ( ( ) , ( ) , ∈( ) ∈ ∅ ∉ � �esly , esly π π CCom( ))� .     Pust\ � = CF Fω ( ) , hde F( )′ω = � y F p( ) = � �p pC( ) dlq vsex p ∈ω . Tohda sputnyk F naz¥vaetsq kanonyçeskym ω - kompozycyonn¥m sputnykom [6]. Napomnym neskol\ko yzvestn¥x utverΩdenyj, kotor¥e potrebugtsq dlq do- kazatel\stva osnovnoho rezul\tata. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 O MODULQRNOSTY REÍETKY τ - ZAMKNUTÁX … 455 Lemma-1.1 ([6], lemma/8). Pust\ Θ — takaq polnaq reßetka formacyj, çto Θ Θωc ⊆ , y dlq lgboj formacyy � ∈Θ formacyq � �p ∈Θ pry lg- bom p ∈ω . Tohda esly � = CF F c ω ω( ) ∈Θ , to sputnyk F Θ-znaçen. Lemma-1.2 ([6], lemma/4). Esly � = CF fω ( ) y G O G f pp/ ( ) ( )∈ ∩ � dlq nekotoroho p ∈ω , to G ∈� . Lemma-1.3 ([6], zameçanye/1). Lgbaq ω-kompozycyonnaq formacyq ymeet kanonyçeskyj ω-kompozycyonn¥j sputnyk. V proyzvol\noj hruppe G v¥berem systemu podhrupp τ ( )G . Hovorqt, çto τ — podhruppovoj funktor (v sm¥sle A. N. Skyb¥ [4]), esly v¥polnqgtsq sledu- gwye uslovyq: 1) G G∈τ ( ) ; 2) dlq lgboho πpymorfyzma ϕ : A B� y dlq lgb¥x hrupp H A∈τ ( ) , T B∈τ ( ) ymeet mesto H Bϕ τ∈ ( ) y T Aϕ τ − ∈ 1 ( ) . Esly τ ( ) { }G G= , to funktor τ naz¥vaetsq tryvyal\n¥m. Formacyq � naz¥- vaetsq τ-zamknutoj [4], esly τ ( )G ⊆ � dlq lgboj hrupp¥ G yz �. M¥ budem rassmatryvat\ lyß\ takye podhruppov¥e funktor¥ τ, çto dlq lgboj hrupp¥ G vse podhrupp¥, vxodqwye v τ ( )G , subnormal\n¥ v G. Otnosytel\no vklgçenyq ⊆ sovokupnost\ vsex τ-zamknut¥x n-kratno ω- kompozycyonn¥x formacyj c nω τ qvlqetsq polnoj reßetkoj. Symvolamy cω τ 0 y cn ω budem oboznaçat\ sootvetstvenno reßetku vsex τ-zamknut¥x formacyj y reßetku vsex n-kratno ω-kompozycyonn¥x formacyj. Zametym, çto esly τ — tryvyal\n¥j podhruppovoj funktor, to c nω τ = cn ω . Pust\ { }\|f i Ii ∈ — nabor vsex ω-kompozycyonn¥x c nω τ −1 -znaçn¥x sputny- kov formacyy �. V sylu lemm¥/2 [6] f = fii I∈∩ — ω-kompozycyonn¥j c nω τ −1 - znaçn¥j sputnyk formacyy �, naz¥vaem¥j mynymal\n¥m. Sledugwee utverΩdenye daet sposob postroenyq mynymal\noho c nω τ −1 -znaç- noho sputnyka formacyy � = c nω τ form� . Lemma-1.4 ([6], lemma/5). Pust\ � = c nω τ form� y π = ω π∩ ( )( )Com � . Tohda mynymal\n¥j ω-kompozycyonn¥j c nω τ −1 -znaçn¥j sputnyk f formacyy � takov, çto: 1) f ( )′ω = c G R G G nω τ ω− ∈ 1 form ( / )( ) � ; 2) f p( ) = c G C G G n p ω τ − ∈ 1 form ( / )( ) � dlq vsex p ∈π ; 3) f p( ) = ∅ dlq vsex p ∈ω π\ ; 4) esly � = CF hω ( ) y sputnyk h c nω τ −1 -znaçen, to dlq vsex p ∈π yme- et mesto f p( ) = c A A h p O A n pω τ − ∈ = 1 1form ( )( ) , ( )∩ � y ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 456 N. N. VOROB\|EV, A. A. CAREV f ( )′ω = c A A h R A nω τ ωω − ∈ ′ = 1 1form ( )( ) , ( )∩ � . Lemma-1.5 ([4], sledstvye/1.2.24). Dlq lgboj sovokupnosty τ-zamknut¥x formacyj { }� i i I∈ ymeet mesto τ form � i i I∈     ∪ = form � i i I∈     ∪ . Lemma-1.6 ([12], teorema/2.2). Dlq lgboho klassa � ymeet mesto raven- stvo form � = QR0 � . Polahagt f ≤ h [6], esly f a h a( ) ( )⊆ dlq vsex a ∈ ′ω ω∪ { }. Lemma-1.7 ([6], lemma/6). Pust\ f1 y f2 — mynymal\n¥e ω-kompozy- cyonn¥e c nω τ −1 -znaçn¥e sputnyky formacyj �1 y �2 sootvetstvenno. Tohda � �1 2⊆ v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda f1 ≤ f2 . Lemma-1.8 ([6], lemma/10). Formacyq � n-kratno ω-kompozycyonna toh- da y tol\ko tohda, kohda ona obladaet takym sputnykom f, vse znaçenyq f a( ) kotoroho ( )n − 1 -kratno ω-kompozycyonn¥ dlq vsex a ∈ω . Lemma-1.9 ([6], lemma/2). Pust\ � = �ii I∈∩ , hde �i = CF fiω ( ) . Tohda � = CF fω ( ) , hde f = fii I∈∩ . 2. Ynduktyvnost\ reßetky c nωω ττ . Napomnym opredelenye ynduktyvnoj reßetky formacyj. Pust\ Θ — polnaq reßetka formacyj. Dlq proyzvol\noj sovokupnosty formacyj { }�i i I∈ yz Θ polahagt ∨ ∈Θ ( )�i i I = Θ form �i i I∈     ∪ . Pust\ { }f i Ii ∈ — nekotoraq sovokupnost\ Θ -znaçn¥x sputnykov. Tohda çerez ∨ ∈Θ ( )f i Ii oboznaçagt takoj sputnyk f, çto f a( ) = Θ form f ai i I ( ) ∈     ∪ dlq vsex a ∈ ′ω ω∪ { }. Sleduq [4], polnug reßetku formacyj Θ budem naz¥vat\ ynduktyvnoj, es- ly dlq lgboho nabora { }�i i I∈ formacyj �i c∈Θω y dlq lgboho nabora { }f i Ii ∈ vnutrennyx Θ -znaçn¥x ω-kompozycyonn¥x sputnykov fi , hde fi — ω-kompozycyonn¥j sputnyk formacyy �i , ymeet mesto ∨ ∈ Θωc i i I( )� = CF f i Iiω ( ( ))∨ ∈Θ . V dannom punkte m¥ dokaΩem svojstvo ynduktyvnosty reßetky vsex τ-zamk- nut¥x n-kratno ω-kompozycyonn¥x formacyj, kotoroe leΩyt v osnove dokaza- tel\stva modulqrnosty ukazannoj reßetky. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 O MODULQRNOSTY REÍETKY τ - ZAMKNUTÁX … 457 Lemma-2.1. Pust\ � = CF Fω ( ) — τ -zamknutaq n-kratno ω -kompozy- cyonnaq formacyq, n ≥ 1. Tohda sputnyk F c nω τ −1 -znaçen. Dokazatel\stvo. Sohlasno lemme/1.1 dostatoçno lyß\ proveryt\, çto dlq lgboho p ∈P y dlq lgboj τ-zamknutoj n-kratno ω-kompozycyonnoj forma- cyy � ( )n ≥ 0 formacyq � = � �p qvlqetsq τ-zamknutoj n-kratno ω-kom- pozycyonnoj. Zametym, çto poskol\ku dlq lgboho p ∈P formacyq � �p τ -zamknuta, hde � — τ-zamknutaq formacyq, to v sluçae n = 0 utverΩdenye spravedlyvo. Pust\ n > 0 y pry n – 1 utverΩdenye lemm¥ spravedlyvo. PokaΩem sna- çala, çto formacyq � n-kratno ω-kompozycyonna. Pust\ � = CF hω ( ) , hde h — vnutrennyj c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk. Formacyq �p ymeet takoj vnutrennyj ω -kompozycyonn¥j sputnyk f, çto f p( ) = ( )1 , f ( )′ω = ( )1 y f q( ) = ∅ dlq vsex q p∈ω \{ } . Netrudno pokazat\, çto forma- cyq � ymeet takoj sputnyk m, çto m p( ) = � , m ( )′ω = � y m q( ) = ∅ dlq vsex q p∈ω \{ } (sm. [6], teorema/6). No sohlasno predpoloΩenyg � = = � �p — ( )n − 1 -kratno ω-kompozycyonnaq formacyq. Znaçyt, � — n-krat- no ω-kompozycyonnaq formacyq. DokaΩem teper\, çto formacyq � τ-zamknuta. PredpoloΩym protyvnoe. Tohda najdutsq takye hruppa G ∈� y podhruppa H G∈τ ( ) , çto H ∉� . Poskol\ku G p∈ =� � � , to G p � �∈ y G G/ � �∈ . Poskol\ku formacyq � po predpoloΩenyg τ-zamknuta, to dlq lgboj hrupp¥ H G G∈τ( / )� ymeet mesto H ∈� . No HG G G G� � �/ ( / )∈τ . Sledovatel\no, HG G� �/ ≅ H H G/ ∩ � ∈ �. Vmeste s tem H G H∩ �� y H G∩ � — p-hruppa. Poπtomu H G∩ � ⊆ ⊆ O Hp( ) . Znaçyt, H � ⊆ O Hp( ) , t. e. H p � �∈ . Otsgda H p∈� � = �. Protyvoreçye. Sledovatel\no, formacyq � τ-zamknuta. Pust\ F — kanonyçeskyj cn−1 ω -znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk τ-zam- knutoj n-kratno ω-kompozycyonnoj formacyy � . PokaΩem, çto formacyq F a( ) qvlqetsq τ-zamknutoj. Esly a = { }′ω , to formacyq F( )′ω = � τ - zamknuta sohlasno dopuwenyg. Dopustym, çto a = p ∈ω . Rassmotrym hruppu G F p∈ ( ) y H G∈τ ( ) . Pust\ P — needynyçnaq hruppa y D = P G� = [ ]K G , hde K — baza rehulqr- noho spletenyq D. Tohda H K D∈τ ( ) . Dejstvytel\no, pust\ ϕ : /D D K→ — kanonyçeskyj πpymorfyzm hrupp¥ D na D K/ . Tohda H K K/ = H ϕ . Poπto- mu H K K D K/ ( / )∈τ . A tak kak H K = ( / )H K K ϕ−1 — poln¥j proobraz pod- hrupp H K K/ pry πpymorfyzme ϕ , to H K D∈τ ( ) . Poskol\ku sputnyk F qvlqetsq vnutrennym y G ≅ D K/ ≅ D O Dp/ ( ) ∈ ∈ F p( ) , po lemme/1.2 D ∈� . Tak kak formacyq � τ-zamknuta, to H K ∈� . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 458 N. N. VOROB\|EV, A. A. CAREV Pust\ M = H K . Tohda M C M F pp/ ( ) ( )∈ , hde p M∈π( )( )Com . Poskol\ku K — normal\naq p-podhruppa hrupp¥ M, to K O Mp∩ ′ ( ) = 1. Znaçyt, O Mp′ ( ) ⊆ ⊆ C KM ( ) . Po svojstvu rehulqrn¥x spletenyj C K KG ( ) ⊆ . Sledovatel\no, O Mp′ ( ) = 1. Znaçyt, O Mp( ) = F Mp( ) = C Mp( ) . Tak kak O Mp( ) = O M Mp( ) ∩ = O M KHp( ) ∩ = K O M Hp( )( ) ∩ y O M Hp( ) ∩ ⊆ O Hp( ) , to O Mp( ) = K O M Hp( )( ) ∩ ⊆ KO Hp( ) ⊆ O Mp( ) . Znaçyt, KO Hp( ) = O Mp( ) . Tohda M C Mp/ ( ) = KH O Mp/ ( ) = KH KO Hp/ ( ) ≅ H O H K Hp/ ( )( ) ∩ = = H O H F pp/ ( ) ( )∈ = �p F p( ) , t. e. H F pp p∈� �( )( ) = ( ) ( )� �p p F p = �p F p( ) = F p( ) . Sledovatel\no, formacyq F p( ) τ-zamknuta. Lemma dokazana. V sluçae, kohda Θ = c nω τ , symvol ∨ c nω τ budem oboznaçat\ kak ∨ω τ n . Opysanye sputnyka reßetoçnoho obæedynenyq dvux τ-zamknut¥x n-kratno ω-kompozycyonn¥x formacyj predstavlqet sledugwaq lemma. Lemma-2.2. Pust\ �i = CF fiω ( ) , hde fi — vnutrennyj c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk formacyy �i , pryçem fi ( )′ω = �i , i = 1, 2. Tohda esly � = � �1 2∨ω τ n , to � = CF fω ( ) , hde f = f f n 1 2 1 ∨ −ω τ . Dokazatel\stvo. Pust\ hi — mynymal\n¥j c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycy- onn¥j sputnyk formacyy �i = CF fiω ( ) , i = 1, 2. Pust\ p ∈ω . V sylu lemm/2.1 y 1.3 v¥polnqetsq vklgçenye h pi ( ) ⊆ f pi ( ) ⊆ �p ih p( ) = F pi ( ) ∈ c nω τ −1 , hde Fi — kanonyçeskyj c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk formacyy �i , i = 1, 2. Pust\ � = CF Fω ( ) , hde F — kanonyçeskyj c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycy- onn¥j sputnyk formacyy �, y h — mynymal\n¥j c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozy- cyonn¥j sputnyk formacyy �. Po lemme/1.4 h p( ) = c C n p ω τ −1 1 2form (( )( ))� �∪ = c C C n p p ω τ −1 1 2form ( ( ) ( ))� �∪ = = c h p h p nω τ −1 1 2form ( ( ))( ) ∪ ⊆ f p( ) ⊆ � p c h p h p nω τ −1 1 2form ( ( ))( ) ∪ ⊆ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 O MODULQRNOSTY REÍETKY τ - ZAMKNUTÁX … 459 ⊆ �p h p( ) = F p( ) . Takym obrazom, h p( ) ⊆ f p( ) ⊆ F p( ) dlq vsex p ∈ω . Oçevydno, h( )′ω ⊆ ⊆ f ( )′ω ⊆ F( )′ω . Znaçyt, h a( ) ⊆ f a( ) ⊆ F a( ) dlq vsex a ∈ ′ω ω∪ { }. Ytak, h ≤ f ≤ F y poπtomu � = CF fω ( ) . Lemma dokazana. Teorema-2.1. Reßetka vsex τ-zamknut¥x n-kratno ω -kompozycyonn¥x formacyj ynduktyvna. Dokazatel\stvo. Pust\ { }�i i I∈ — proyzvol\n¥j nabor τ-zamknut¥x n-kratno ω-kompozycyonn¥x formacyj y fi — nekotor¥j vnutrennyj c nω τ −1 - znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk formacyy �i . Yndukcyej po i doka- Ωem, çto spravedlyvo ravenstvo ∨ ∈ω τ n i i I( )� = CF f i I n iω ω τ( ( ))∨ − ∈ 1 . Esly i = 2, to teorema verna v sylu lemm¥/2.2. Pust\ i > 2 y dlq i r= − 1 utverΩdenye teorem¥ v¥polnqetsq. Tohda spravedlyvo ravenstvo � �1 1∨ ∨… −ω τ ω τ n n r = CF f f n n rω ω τ ω τ( )1 1 1 1 ∨ ∨ − − … − . No po lemme/2.2 � = � �1 ∨ ∨…ω τ ω τ n n r = c n n n r rω τ ω τ ω τform (( ) )� � �1 1∨ ∨… − ∪ = C F fω ( ) , hde f a( ) = c f a f a f a n n n r rω τ ω τ ω τ − − − ∨ ∨… − 1 1 1 1 1form (( )( ) ( ) (∪ ))) = = f a f a n n r1 1 1 ( ) ( )∨ ∨ − − …ω τ ω τ = ( )( )f f a n n r1 1 1 ∨ ∨ − − …ω τ ω τ pry lgbom a ∈ ′ω ω∪ { }. Poπtomu f = f f n n r1 1 1 ∨ ∨ − − …ω τ ω τ . Vsledstvye proyzvol\nosty v¥bora r teorema dokazana. 3. Osnovnoj rezul\tat. Dlq dokazatel\stva osnovnoho rezul\tata nam po- trebugtsq dva vspomohatel\n¥x utverΩdenyq, ustanavlyvagwye τ-zamknutost\ formacyy, ymegwej vnutrennyj c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk, a takΩe tot fakt, çto reßetka c nω τ qvlqetsq polnoj podreßetkoj reßet- ky// cn ω . Lemma-3.1. Pust\ � — n-kratno ω -kompozycyonnaq formacyq. Esly � ymeet vnutrennyj c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk, to � — τ-zam- knutaq formacyq. Dokazatel\stvo. Pust\ � — n-kratno ω-kompozycyonnaq formacyq s vnutrennym c nω τ −1 -znaçn¥m ω-kompozycyonn¥m sputnykom f. PokaΩem, çto � τ-zamknuta. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 460 N. N. VOROB\|EV, A. A. CAREV Pust\ G ∈� y H G∈τ ( ) . Poskol\ku dlq lgboho a ∈ ′ω ω∪ { } forma- cyq f a( ) τ-zamknuta, to H R H/ ( )ω = H R G H/ ( )( )ω ∩ ≅ H R G R Gω ω( ) ( )/ ∈ τ ω( / )( )G R G . Tak kak G ∈� , to G R G f/ ( ) ( )ω ω∈ ′ . Sledovatel\no, H R H f/ ( ) ( )ω ω∈ ′ . Pust\ teper\ p H∈ω π∩ ( ( ))Com . Tohda C Gp ( ) = G cp� . Vsledstvye oh- ranyçenyq na podhruppovoj funktor τ H G�� . Tohda H cp� = G H cp� ∩ . Sledovatel\no, H H cp / � = H G H cp / ( )� ∩ ≅ HG G G G cp cp cp� � �/ ( / )∈τ = τ( / )( )G C Gp . Tak kak G ∈� , to G C G f pp/ ( ) ( )∈ . Znaçyt, H C Hp/ ( ) = H H f p cp / ( )� ∈ . Ytak, H R H f/ ( ) ( )ω ω∈ ′ y dlq lgboho p H∈ω π∩ ( ( ))Com ymeet mesto H C H f pp/ ( ) ( )∈ . Sledovatel\no, H ∈� , t. e. formacyq � τ-zamknuta. Lemma dokazana. Lemma-3.2. Reßetka c nω τ qvlqetsq polnoj podreßetkoj reßetky cn ω . Dokazatel\stvo provedem yndukcyej po n. Sohlasno lemme/1.5 ymeem c i i I ω τ 0 form � ∈     ∪ = τ form � i i I∈     ∪ = form � i i I∈     ∪ = c i i I 0 ωform � ∈     ∪ . Sledovatel\no, pry n = 0 lemma spravedlyva. Pust\ n > 0 y pry n − 1 utverΩdenye verno. Pust\ { }� i i I∈ — proyz- vol\n¥j nabor τ-zamknut¥x n-kratno ω-kompozycyonn¥x formacyj y mi — mynymal\n¥j c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk formacyy � i . Voz\mem v teoreme/2.1 v kaçestve τ tryvyal\n¥j podhruppovoj funktor. Tohda ∨ ∈n i i Iω( )� = C F m i In iω ω( ( ))∨ − ∈1 . No v sylu predpoloΩenyq pry lgbom p ii I ∈ ( )( )∈ ω π∩ ∪Com � formacyy ∨ − ∈n im i I p1 ω ( )( ) y ( ( ))( )∨ − ∈ ′n im i I1 ω ω τ-zamknut¥. Sledovatel\no, po lemme/3.1 formacyq ∨ ∈n i i Iω( )� qvlqetsq τ-zamknutoj. Lemma dokazana. Osnovn¥m rezul\tatom rabot¥ qvlqetsq sledugwaq teorema. Teorema-3.1. Reßetka vsex τ-zamknut¥x n-kratno ω -kompozycyonn¥x formacyj alhebrayçna y modulqrna. Dokazatel\stvo. Snaçala pokaΩem, çto reßetka c nω τ alhebrayçna. Za- metym, çto lgbaq τ-zamknutaq n-kratno ω-kompozycyonnaq formacyq est\ obæedynenye svoyx odnoporoΩdenn¥x τ-zamknut¥x n-kratno ω-kompozycyon- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 O MODULQRNOSTY REÍETKY τ - ZAMKNUTÁX … 461 n¥x podformacyj v reßetke c nω τ . Yndukcyej po n pokaΩem, çto kaΩdaq odnoporoΩdennaq τ-zamknutaq n-kratno ω-kompozycyonnaq formacyq � qvlqetsq kompaktn¥m πlementom v reßetke c nω τ . Pust\ � = c G nω τ form ⊆ � = c n i i I ω τ form � ∈     ∪ , hde �i — τ-zamknutaq n-kratno ω-kompozycyonnaq formacyq. Pust\ n = 0 . Tohda v sylu lemm/1.5 y 1.6 G c i i I ∈    ∈ ω τ 0 form �∪ = form �i i I∈     ∪ = QR0 �i i I∈     ∪ . Sledovatel\no, G T N≅ / dlq nekotoroj hrupp¥ T i I i∈ ∈R0( )∪ � . Znaçyt, najdutsq takye yndeks¥ i i Ik1, ,… ∈ , çto T i ik ∈ …R0 1 ( )� �∪ ∪ . Poπtomu G i ik ∈ …form ( )� � 1 ∪ ∪ . Sledovatel\no, v sylu lemm¥/1.5 � ⊆ form � �i ik1 ∪ ∪…( ) = τ form � �i ik1 ∪ ∪…( ) . Pust\ teper\ n > 0 y odnoporoΩdenn¥e formacyy yz c nω τ −1 qvlqgtsq kompaktn¥my πlementamy v reßetke c nω τ −1 . Pust\ fi — mynymal\n¥j c nω τ −1 - znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk formacyy �i , f — mynymal\n¥j c nω τ −1 - znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk formacyy � y m — mynymal\n¥j c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk formacyy � . Po lemme/1.4 f a( ) = c G C G a a c n n a ω τ ω π ω π − ∈ ∅ ∈ 1 form ( / ) \ ( ) , , , , esly esly −− = ′        1 τ ω ωform ( / ) { }( ) , ,G R G aesly hde π = ω π∩ ( )( )Com G . Sohlasno lemme/1.7 f ≤ m . V sylu teorem¥/2.1 ymeet mesto ravenstvo m = = ∨ − ∈ω τ n f i Ii 1 ( ) . Znaçyt, dlq kaΩdoho p ∈ ω π∩ ( )( )Com G najdutsq takye yndeks¥ i i Ir1, ,… ∈ , çto G C G f p f pp i i n n r / ( ) ( ) ( )∈ …∨ ∨ − −1 1 1ω τ ω τ . Tak kak π( )( )Com G — koneçnoe mnoΩestvo, najdutsq takye yndeks¥ j j Is1, ,… ∈ , çto G j j n n s ∈ …∨ ∨� � 1 ω τ ω τ . Poπtomu � ⊆ � �j j n n s1 ∨ ∨…ω τ ω τ . Ytak, reßetka c nω τ alhebrayçna, y ee kompaktn¥my πlementamy qvlqgtsq od- noporoΩdenn¥e τ-zamknut¥e n-kratno ω-kompozycyonn¥e formacyy. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 462 N. N. VOROB\|EV, A. A. CAREV DokaΩem teper\ vtoroe utverΩdenye teorem¥. Yndukcyej po n pokaΩem, çto dlq lgb¥x τ-zamknut¥x n-kratno ω-kompozycyonn¥x formacyj �, � , � takyx, çto � ⊆ � , v¥polnqetsq toΩdestvo � � �∩ ( )∨ω τ n = � � �∨ω τ n ( )∩ . Vsledstvye modulqrnosty reßetky vsex formacyj (sm./[1]) pry n = 0 ut- verΩdenye teorem¥ spravedlyvo dlq tryvyal\noho podhruppovoho funktora τ. Znaçyt, reßetka c0 ω = c0 modulqrna. Sohlasno lemme/3.2 reßetka cω τ 0 qvlqetsq podreßetkoj v c0 ω . Sledovatel\no, reßetka cω τ 0 modulqrna. Pust\ n > 0 y vtoroe utverΩdenye teorem¥ verno pry n − 1. Pust\ �i = = CF Fiω ( ) , i = 1, 2, 3, — τ-zamknutaq n-kratno ω-kompozycyonnaq formacyq y � �2 1⊆ . PokaΩem, çto � � �1 2 3∩ ( )∨ω τ n = � � �2 1 3∨ω τ n ( )∩ . Pust\ fi — takoj ω-kompozycyonn¥j c nω τ −1 -znaçn¥j sputnyk formacyy �i , çto fi ( )′ω = �i = Fi ( )′ω y f pi ( ) = c C n i p ω τ −1 form( )( )� pry vsex p ∈ω . V sy- lu lemm¥/1.8 ymeet mesto ravenstvo �i = CF fiω ( ) . Pust\ r1 = f f n 2 3 1 ∨ −ω τ . Po teoreme/2.1 � �2 3∨ω τ n = CF f f n ω ω τ( )2 3 1 ∨ − = CF rω ( )1 . Po lemme/1.9 h1 = f r2 1∩ — vnutrennyj ω-kompozycyonn¥j c nω τ −1 -znaçn¥j sputnyk formacyy � � �1 2 3∩ ( )∨ω τ n . Ponqtno, çto f a2( ) ⊆ f a1( ) pry vsex a ∈ ′ω ω∪ { }. Znaçyt, sohlasno predpoloΩenyg pry vsex a ∈ ′ω ω∪ { } f a f a f a n 1 2 3 1 ( ) ( ) ( )∩ ∨ − ( )ω τ = f a f a f a n 2 1 3 1 ( ) ( ) ( )∨ − ( )ω τ ∩ . Sledovatel\no, h1 = f f f n 2 1 3 1 ∨ −ω τ ( )∩ . No f f1 3∩ — vnutrennyj ω-kompozy- cyonn¥j c nω τ −1 -znaçn¥j sputnyk formacyy � �1 3∩ . Znaçyt, sohlasno teoreme/2.1 � � �2 1 3∨ω τ n ( )∩ = CF hω ( )1 . Takym obrazom, pry lgb¥x cel¥x neotrycatel\n¥x n reßetka c nω τ modulqrna. Teorema dokazana. V sluçae n = 1 poluçaem takoe sledstvye. Sledstvye-3.1 [8]. Reßetka vsex τ-zamknut¥x ω-kompozycyonn¥x for- macyj alhebrayçna y modulqrna. Esly τ — tryvyal\n¥j podhruppovoj funktor, to, uçyt¥vaq sledstvye/1 y zameçanye/3 yz [6], poluçaem sledugwee utverΩdenye. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 O MODULQRNOSTY REÍETKY τ - ZAMKNUTÁX … 463 Sledstvye-3.2 [6]. Reßetka vsex n-kratno � -kompozycyonn¥x formacyj alhebrayçna y modulqrna. V sluçae ω = P dlq tryvyal\noho podhruppovoho funktora τ spravedlyvo takoe utverΩdenye. Sledstvye-3.3. Reßetka vsex n-kratno kompozycyonn¥x formacyj al- hebrayçna y modulqrna. Pry n = 1 y ω = P dlq tryvyal\noho podhruppovoho funktora τ spraved- lyvo takoe sledstvye. Sledstvye-3.4. Reßetka vsex kompozycyonn¥x formacyj alhebrayçna y modulqrna. 1. Skyba A. N. O lokal\n¥x formacyqx dlyn¥ /5 // Aryfmetyçeskoe y podhruppovoe stroe- nye koneçn¥x hrupp. – Mynsk: Nauka y texnyka, 1986. – S. 135 – 149. 2. Íemetkov L. A., Skyba A. N. Formacyy alhebrayçeskyx system. – M.: Nauka, 1989. – 254 s. 3. Ballester-Bolinches A., Shemetkov L. A. On lattices of p-local formations of finite groups // Math. Nachr. – 1997. – 186. – S. 57 – 65. 4. Skyba A. N. Alhebra formacyj. – Mynsk: Belarus. navuka, 1997. – 240 s. 5. Skyba A. N., Íemetkov L. A. Kratno ω -lokal\n¥e formacyy y klass¥ Fyttynha koneçn¥x hrupp // Mat. trud¥. – 1999. – 2, # 2. – S./114 – 147. 6. Skyba A. N., Íemetkov L. A. Kratno �-kompozycyonn¥e formacyy koneçn¥x hrupp // Ukr. mat. Ωurn. – 2000. – 52, # 6. – S./783 – 797. 7. Íabalyna Y. P. O reßetke τ-zamknut¥x n-kratno ω-lokal\n¥x formacyj koneçn¥x hrupp // Visci NAN Belarusi. Ser. fiz.-mat. navuk. – 2003. – # 1. – S./28 – 30. 8. ZadoroΩngk M. V. Ob πlementax v¥sot¥ 3 reßetky τ-znaçn¥x ω-kompozycyonn¥x formacyj // Vestn. Hrodnen. un-ta. – 2008. – # 2. – S./16 – 21. 9. Safonov V. G. On modularity of the lattice of totally saturated formations of finite groups // Communs Algebra. – 2007. – 35, # 11. – P. 3495 – 3502. 10. Safonov V. H. O modulqrnosty reßetky τ-zamknut¥x total\no nas¥wenn¥x formacyj koneçn¥x hrupp // Ukr. mat. Ωurn. – 2006. – 58, # 6. – S./852 – 858. 11. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. – Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992. – 891 p. 12. Íemetkov L. A. Formacyy koneçn¥x hrupp. – M.: Nauka, 1978. – 272 s. 13. Skyba A. N. Xarakteryzacyq koneçn¥x razreßym¥x hrupp zadannoj nyl\potentnoj dlyn¥ // Vopros¥ alhebr¥. – 1987. – V¥p./3. – S./21 – 23. Poluçeno 12.09.09 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
id	umjimathkievua-article-2879
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	rus English
last_indexed	2026-03-24T02:32:04Z
publishDate	2010
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/51/85b70ccabd57fd01023cfdc81984d251.pdf
spelling	umjimathkievua-article-28792020-03-18T19:39:35Z On the modularity of a lattice of $τ$-closed $n$-ultiply $ω$-composite formations О модулярности решетки $τ$-замкнутых $n$-кратно $ω$-композициопных формаций Vorob'ev, N. N. Tsarev, A. A. Воробьев, Н. Н. Царёв, A. A. Воробьев, Н. Н. Царёв, A. A. Let $n ≥ 0$, let $ω$ be a nonempty set of prime numbers and let $τ$ be a subgroup functor (in Skiba’s sense) such that all subgroups of any finite group $G$ contained in $τ (G)$ are subnormal in $G$. It is shown that the lattice of all $τ$-closed $n$-multiply $ω$-composite formations is algebraic and modular. Нехай $n ≥ 0$, $ω$ — непорожня множина простих чисел і $τ$ — підгруповий функтор (в сенсі A. М. Скиби) такий, що для будь-якої скінченної групи $G$ всі підгрупи, що входять до $τ (G)$, є субнормальиими в $G$. Доведено, що і'ратка всіх $τ$-замкпених $n$-кратно $ω$-композиційних формацій е алгебраїчною та модулярною. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2879 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 4 (2010); 453–463 Український математичний журнал; Том 62 № 4 (2010); 453–463 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2879/2509 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2879/2510 Copyright (c) 2010 Vorob'ev N. N.; Tsarev A. A.
spellingShingle	Vorob'ev, N. N. Tsarev, A. A. Воробьев, Н. Н. Царёв, A. A. Воробьев, Н. Н. Царёв, A. A. On the modularity of a lattice of $τ$-closed $n$-ultiply $ω$-composite formations
title	On the modularity of a lattice of $τ$-closed $n$-ultiply $ω$-composite formations
title_alt	О модулярности решетки $τ$-замкнутых $n$-кратно $ω$-композициопных формаций
title_full	On the modularity of a lattice of $τ$-closed $n$-ultiply $ω$-composite formations
title_fullStr	On the modularity of a lattice of $τ$-closed $n$-ultiply $ω$-composite formations
title_full_unstemmed	On the modularity of a lattice of $τ$-closed $n$-ultiply $ω$-composite formations
title_short	On the modularity of a lattice of $τ$-closed $n$-ultiply $ω$-composite formations
title_sort	on the modularity of a lattice of $τ$-closed $n$-ultiply $ω$-composite formations
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2879
work_keys_str_mv	AT vorob039evnn onthemodularityofalatticeoftclosednultiplyōcompositeformations AT tsarevaa onthemodularityofalatticeoftclosednultiplyōcompositeformations AT vorobʹevnn onthemodularityofalatticeoftclosednultiplyōcompositeformations AT carëvaa onthemodularityofalatticeoftclosednultiplyōcompositeformations AT vorobʹevnn onthemodularityofalatticeoftclosednultiplyōcompositeformations AT carëvaa onthemodularityofalatticeoftclosednultiplyōcompositeformations AT vorob039evnn omodulârnostirešetkitzamknutyhnkratnoōkompoziciopnyhformacij AT tsarevaa omodulârnostirešetkitzamknutyhnkratnoōkompoziciopnyhformacij AT vorobʹevnn omodulârnostirešetkitzamknutyhnkratnoōkompoziciopnyhformacij AT carëvaa omodulârnostirešetkitzamknutyhnkratnoōkompoziciopnyhformacij AT vorobʹevnn omodulârnostirešetkitzamknutyhnkratnoōkompoziciopnyhformacij AT carëvaa omodulârnostirešetkitzamknutyhnkratnoōkompoziciopnyhformacij

On the modularity of a lattice of $τ$-closed $n$-ultiply $ω$-composite formations

Institution

Ähnliche Einträge