On some systems of nonlinear integral Hammerstein-type equations on the semiaxis
We prove the existence for a one-parameter family of solutions of a system of nonlinear integral Hammerstein-type equations on the positive semiaxis and study the asymptotic behavior of the obtained solutions at infinity.
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2887 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508879238987776 |
|---|---|
| author | Khachatryan, Kh. A. Хачатрян, Х. А. Хачатрян, Х. А. |
| author_facet | Khachatryan, Kh. A. Хачатрян, Х. А. Хачатрян, Х. А. |
| author_sort | Khachatryan, Kh. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:39:35Z |
| description | We prove the existence for a one-parameter family of solutions of a system of nonlinear integral Hammerstein-type equations on the positive semiaxis and study the asymptotic behavior of the obtained solutions at infinity. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:32:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.968.72
Х. А. Хачатрян (Ин-т математики НАН Армении, Ереван)
О НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ НЕЛИНЕЙНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ГАММЕРШТЕЙНА
НА ПОЛУОСИ
We prove the existence of a one-parameter family of solutions of a system of nonlinear integral Hammerstein-
type equations of the positive semiaxis. We also investigate asymptotic behavior of the obtained solutions at
infinity.
Доведено iснування однопараметричної сiм’ї розв’язкiв системи нелiнiйних iнтегральних рiвнянь типу
Гаммерштейна на додатнiй пiвосi та дослiджено асимптотичну поведiнку отриманих розв’язкiв на
нескiнченностi.
1. Введение. Нелинейные интегральные уравнения вида
f(x) =
b∫
a
K(x, t)Y (t, f(t))dt, x ∈ (a, b), (1)
называемые уравнениями Гаммерштейна, имеют многочисленные применения в
различных областях естествознания (см., например, [1, 2]). В случае, когда преде-
лы a, b конечны и Y (t, z) удовлетворяет определенным условиям гладкости, причем
соответствующий нелинейный интегральный оператор (в некоторых случаях и его
линейная миноранта) вполне непрерывен, изучению и решению уравнения (1) по-
священы многочисленные работы (см., например, [3 – 7] и библиографию в них).
В конце прошлого столетия, в связи с бурным развитием современной физиче-
ской кинетики, возрос интерес к нелинейным интегральным уравнениям вида (1),
в которых a = 0, b = +∞, а соответствующий оператор не является вполне
непрерывным в рассматриваемых банаховых пространствах. Такие уравнения воз-
никают, например, в кинетической теории газов, в теории переноса излучения, в
спектральных линиях, в эконометрике, в p-адической теории струны (см. [8 – 11]).
В случае, когда a = 0, b = +∞, 0 ≤ K(x, t) ≡ K0(x − t), K0(−x) = K0(x),
x > 0,
∫ +∞
−∞
K0(τ)dτ = 1, а Y (t, z) не зависит от переменной t и имеет вид
Y (z) = z − ω(z), где 0 ≤ ω ∈ L1(0,+∞) ∩ C0(0,+∞), ω ↓ по z, уравнение (1)
было исследовано в [12].
Сравнительно недавно, в случае, когда a = 0, b = +∞, 0 ≤ K(x, t) ≡ K1(x −
− t),
∫ +∞
−∞
K1(τ)dτ = 1, ν(K1) ≡ v.p.
∫ +∞
−∞
xK1(x)dx < 0 (последний интеграл
понимается в смысле главного значения Коши), а Y (t, z) ≡ G(z), где G(z) —
измеримая функция на (−∞,+∞), причем существует число η > 0 такое, что
0 ≤ G ∈ C[0, η], G(x) ≥ x, x ∈ [0, η], G(η) = η G ↑ на [0, η], уравнение (1) было
изучено в работе автора [13].
Первая часть настоящей работы посвящена исследованию системы нелинейных
интегральных уравнений
ϕi(x) =
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)Bij(t, ϕj(t))dt, i = 1, . . . ,m, x > 0, (2)
c© Х. А. ХАЧАТРЯН, 2010
552 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
О НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 553
относительно искомой вектор-функции ϕ(x) =
(
ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕm(x)
)T
(T —
знак транспонирования). Здесь K(x) =
(
Kij(x)
)m×m
i,j=1
— измеримая матрица-функ-
ция на (−∞,+∞), удовлетворяющая следующим условиям:
0 ≤ Kij ∈ L1(−∞,+∞) ∩M(−∞,+∞), A ≡
+∞∫
−∞
K(x)dx, r(A) = 1, (3)
где через r(A) обозначен спектральный радиус матрицы A, т. е. модуль наиболь-
шего по модулю собственного значения матрицы A.
Матрица-функция B(t, z) =
(
Bij(t, z)
)m×m
i,j=1
, определенная на множестве
(0,+∞)× (−∞,+∞), имеет вид
Bij(t, z) = z − ωij(t, z), i, j = 1, 2, . . . ,m, (4)
где функции ωij удовлетворяют следующим условиям:
α1) существует число ρ0 > 0 такое, что
ωij(t, z) ≥ 0, (t, z) ∈ (0,+∞)× [ρ0,+∞) ≡ Ωρ0 , i, j = 1, 2, . . . ,m;
α2) ωij(t, z) ↓ по z на [ρ0,+∞) при каждом фиксированном t > 0;
α3) функции ωij(t, z) удовлетворяют условию Каратеодори на множестве Ωρ0 ,
т. е. ωij(t, z) при каждом фиксированном z ∈ [ρ0,+∞) измерима по t > 0 и почти
при всех t > 0 непрерывна по z ∈ [ρ0,+∞) (об этом более подробно см. в [6]);
α4) существуют функции
◦
ω ij ∈ L1(0,+∞) ∩ C0(0,+∞),
m1(
◦
ω ij) ≡
∞∫
0
x
◦
ω ij(x)dx < +∞, ◦
ω ij ↓ на [ρ0,+∞),
такие, что
ωij(t, z) ≤
◦
ω ij(t+ z), (t, z) ∈ Ωρ0 , i, j = 1, 2, . . . ,m. (5)
В данной работе методы теории интегральных уравнений Винера – Хопфа в со-
четании с методами теории функций действительной переменной и теории матриц
дают возможность построить однопараметрическое семейство решений
{ϕγ(x)}γ∈4
(
ϕγ(x) = (ϕγ1(x), ϕγ2(x), . . . , ϕγm(x))T
)
системы (2) и описать асимп-
тотическое поведение этих решений в бесконечности. Удалось также описать мно-
жество параметров 4. Доказано, что если дополнительно ωij ↓ по t, то ϕγj (x) ↑ по
x, j = 1, 2, . . . ,m.
Во второй части работы рассматривается более общая нелинейная система урав-
нений
fi(x) =
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)Wij(t, fj(t))dt, i = 1, 2, . . . ,m, x > 0, (6)
относительно искомой вектор-функции f(x) =
(
f1(x), . . . , fm(x)
)T
, где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
554 Х. А. ХАЧАТРЯН
Wij(t, z) = G(z)− ωij(t, z),
G(z) — измеримая функция на (−∞,+∞), удовлетворяющая вышеприведенным
условиям. С помощью полученных результатов для уравнения (2), а также некото-
рых новых априорных оценок доказывается, что система (6) имеет положительное
и ограниченное решение.
2. Обозначения и некоторые вспомогательные факты из теории матриц
и теории интегральных уравнений Винера – Хопфа. 2.1. Рассмотрим классы
интегральных операторов. Пусть Rm и Rm, m ∈ N, — пространства m-мерных
вещественных вектор-столбцов и вектор-строк соответственно, а Rn×n — алгебра
вещественных (n × n)-матриц с единицей I. Обозначим через K̃ ⊂ Rm×m конус
матриц с неотрицательными компонентами, вводящий частичный порядок ≥ в
своем пространстве. Запись A � 0 означает, что A ≥ 0 и A 6= 0, а запись A > 0
— что все компоненты A положительны. Пусть Kp ⊂ K̃ — класс примитивных
матриц (см. [14]): A ∈ Kp, если A ∈ K̃ и существует p ∈ N такое, что Ap > 0.
В дальнейшем мы неоднократно будем использовать следующую известную
теорему Перрона: Если A ∈ Kp, то r(A) является ее наибольшим по модулю прос-
тым собственным значением, а соответствующий собственный вектор можно
выбрать положительным: существует ζ > 0 такое, что Aζ = r(A)ζ. Суще-
ствует также (единственная с точностью до постоянного множителя) вектор-
строка ξ > 0 такая, что ξA = r(A)ξ.
В дальнейшем будем предполагать, что A ∈ Kp.
Обозначим через E одно из следующих банаховых пространств: Lp(0,+∞),
p ≥ 1, M(0,+∞), CM (0,+∞). Пусть Ω, Ω± — следующие классы интегральных
операторов, действующих в E×m = E × E × . . .× E :
K ∈ Ω, U ∈ Ω+, V ∈ Ω−,
(Kf)(x) =
∞∫
0
K(x− t)f(t)dt, (7)
(Uf)(x) =
x∫
0
U(x− t)f(t)dt, (8)
(Vf)(x) =
∞∫
x
V (t− x)f(t)dt, (9)
где f ∈ E×m, K ∈ Lm×m1 (−∞,+∞) — пространство (m×m)-матриц-функций с
компонентами из L1(−∞,+∞), а U, V ∈ Lm×m1 (0,+∞) — пространство (m×m)-
матриц-функций с компонентами из L1(0,+∞). Будем говорить, что ядро K (опе-
ратора K ∈ Ω) удовлетворяет условию консервативности, если
K ≥ 0, A =
+∞∫
−∞
K(x)dx ∈ Kp, r(A) = 1. (10)
Пусть K ∈ Ω — интегральный оператор с консервативным ядром K(x). Тогда,
как известно (см. [15, 16]), оператор J − K допускает следующую вольтеррову
факторизацию:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
О НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 555
J −K = (J − V)(J − U), (11)
где J — единичный матричный оператор, а V ∈ Ω−, U ∈ Ω+ — вольтерровы
операторы вида (9), (8), ядра V, U ∈ Lm×m1 (0,+∞) которых определяются из
нелинейных уравнений факторизации Н. Б. Енгибаряна
U(x) = K+(x) +
∞∫
0
V (t)U(x+ t)dt,
V (x) = K−(x) +
∞∫
0
V (x+ t)U(t)dt, x ≥ 0,
(12)
K±(x) = K(±x), x ≥ 0.
Более того, итерации
Un+1(x) = K+(x) +
∞∫
0
Vn(t)Un(x+ t)dt,
Vn+1(x) = K−(x) +
∞∫
0
Vn(x+ t)Un(t)dt, U0 = V0 = 0, n = 0, 1, 2, . . .
(12′)
(монотонно возрастая по n) сходятся к функциям U, V, причем (1−γ−)(1−γ+) = 0,
где γ− = r(β), γ+ = r(α), β ≡
∫ ∞
0
V (t)dt, α ≡
∫ ∞
0
U(t)dt.Далее, если абсолютно
сходится интеграл
ν(K) ≡
+∞∫
−∞
xK(x)dx, (13)
то (см. [16])
ν(K) ≺ 0⇔ γ+ < 1, γ− = 1, (14)
ν(K) = 0⇔ γ± = 1, (15)
ν(K) � 0⇔ γ+ = 1, γ− < 1. (16)
В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1. Если ядро K(x) = (Kij(x))m×mi,j удовлетворяет условиям (3), (10),
(14), то U, V ∈ Lm×m1 (0,+∞) ∩Mm×m(0,+∞), где Mm×m(0,+∞) — простран-
ство (m×m)-матриц-функций с компонентами из M(0,+∞).
Доказательство. Достаточно доказать, что функции U, V принадлежат
Mm×m(0,+∞), так как остальные свойства функций U, V непосредственно следу-
ют из вышеуказанных фактов. Из (14) следует, что существует (I−α)−1. Обозначим
C = sup
x∈R
K(x) и по индукции покажем, что
Vn(x) ≤ C(I − α)−1, n = 0, 1, 2, . . . . (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
556 Х. А. ХАЧАТРЯН
Действительно, при n = 0 неравенство (17) очевидно. Предположим, что оно
выполняется при n = k, и докажем его для n = k + 1. Из итераций (12′) получаем
Vn+1(x) ≤ C + C(I − α)−1
∞∫
0
Un(t)dt ≤ C + C(I − α)−1α = C(I − α)−1.
Устремляя в (17) n→∞, имеем
V (x) ≤ C(I − α)−1. (18)
Из (12) с учетом (18) находим
U(x) ≤ C + C(I − α)−1α = C(I − α)−1.
Лемма доказана.
2.2. Рассмотрим теперь систему линейных интегральных уравнений Вине-
ра – Хопфа
Fi(x) = 2qi(x+ ρ0) +
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)Fj(t)dt, (19)
x ∈ (0,+∞), i = 1, 2, . . . ,m,
где
qi(x) ≡ max
k
◦
w ki(x), i = 1,m. (20)
С помощью факторизации (11) решение системы (19) сводится к последовательно-
му решению следующих систем связанных уравнений типа Вольтерра:
ψi(x) = 2qi(x+ ρ0) +
m∑
j=1
∞∫
x
Vij(t− x)ψj(t)dt, (21)
Fi(x) = ψi(x) +
m∑
j=1
x∫
0
Uij(x− t)Fj(t)dt. (22)
Поскольку q̃i(x) ≡ qi(x + ρ0) ≥ 0, q̃i ∈ L1(0,+∞), m1(q̃i) < +∞, то если интег-
рал (13) абсолютно сходится и ν(K) ≺ 0, из результатов работы [16] следует, что
система (21) имеет неотрицательное решение ψ(x) =
(
ψ1(x), . . . , ψm(x)
)T
, причем
ψj ∈ L1(0,+∞), j = 1,m. Из свойств функции q̃i(x) с учетом леммы 1 следует
также, что функции ψj принадлежат M(0,+∞), причем lim
x→∞
ψj(x) = 0, j = 1,m.
Рассмотрим теперь систему (22). Если ν(K) ≺ 0, то из (14) следует, что γ+ < 1.
Значит, система (22) имеет единственное решение вида
Fi(x) = ψi(x) +
m∑
j=1
x∫
0
φij(x− t)ψj(t)dt ∈ L1(0,+∞) ∩M(0,+∞), i = 1,m,
где Φ(x) =
(
φij(x)
)m×m
i,j=1
— резольвентная функция оператора J − U, причем Φ ∈
∈ Lm×m1 (0,+∞). Нетрудно убедиться, что lim
x→∞
Fi(x) = 0, i = 1,m. Действи-
тельно, это следует из равенства lim
x→∞
ψi(x) = 0 и известных свойств оператора
свертки.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
О НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 557
2.3. Рассмотрим однородное векторное интегральное уравнение Винера –
Хопфа
Si(x) =
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)Sj(t)dt, i = 1,m, x ∈ (0,+∞). (23)
Факторизация (11) сводит решение уравнения (23) к решению уравнений
Li(x) =
m∑
j=1
∞∫
x
Vij(t− x)Lj(t)dt, x > 0, i = 1,m, (24)
Si(x) = Li(x) +
m∑
j=1
x∫
0
Uij(x− t)Sj(t)dt, x > 0, i = 1,m. (25)
Если ν(K) ≺ 0, то γ− = 1, γ+ < 1, следовательно, согласно теореме Перрона
существует вектор ζ = (ζ1, ζ2, . . . , ζm)T , ζj > 0, j = 1,m, такой, что βζ = ζ (ибо
α, β ∈ Kp, так как A ∈ Kp). Из структуры системы (24) следует, что Li(x) ≡ ζi
удовлетворяет (24). В силу линейности (24) заключаем, что
Li(x) ≡ γζi, i = 1,m,
где γ ∈
[
max
i
max(c0, δi)
ζi
,+∞
)
— любое число, также будет удовлетворять систе-
ме (24). Здесь через c0 обозначено некоторое число из множества [ρ0,+∞), для
которого qi(c0) < c0 (такое число всегда существует в силу свойств функции qi), а
δi = sup
x>0
Fi(x), i = 1,m. Подставляя значение Li(x) в (25), получаем диссипатив-
ное векторное уравнение восстановления
Si(x) = γζi +
m∑
j=1
x∫
0
Uij(x− t)Sj(t)dt, i = 1,m, x > 0. (26)
Как известно (см. [16]), если γ+ < 1, то (26) имеет положительное монотонно
возрастающее и ограниченное решение вида
Si(x) = γ(ζi +
m∑
j=1
x∫
0
φij(z)dzζj), (27)
причем
γζ ≤ S(x) ≤ γ(I − α)−1ζ, (28)
S(x) = (S1(x), . . . , Sn(x))T , более того,
S ↑ γ(I − α)−1ζ, (29)
γ ∈ 4 ≡
[
max
i
max(c0, δi)
ζi
,+∞
)
. (30)
Свойства (27) – (30) будут существенно использованы в дальнейшем.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
558 Х. А. ХАЧАТРЯН
2.4. Введем в рассмотрение следующую вспомогательную систему инте-
гральных уравнении типа свертки:
ϕ∗i (x) = 2qi(x+ Si(x)) + λi(x)
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)ϕ∗j (t)dt, (31)
i = 1, . . . ,m, x > 0,
относительно искомой вектор-функции ϕ∗(x) =
(
ϕ∗1(x), . . . , ϕ∗m(x)
)T
, где
λi(x) = 1− qi(x+ Si(x))
Si(x)
. (32)
Установим некоторые свойства функций λi(x).
Лемма 2. Справедливы следующие свойства функций λi(x) :
1) 0 < 1− qi(c0)
c0
≤ λi(x) ≤ 1, i = 1,m, x > 0;
2) (1− λi(x))xj ∈ L1(0,+∞), i = 1,m, j = 0, 1;
3) λi(x) ↑ по x lim
x→+∞
λi(x) = 1, i = 1,m.
Доказательство. 1. Имеем λi(x) ≥ 1 − qi(c0)
Si(x)
≥ 1 − qi(c0)
c0
> 0, так как из
(28) следует, что
Si(x) ≥ γζi ≥ max(c0, δi) ≥ c0, c0 ≥ ρ0,
а qi ↓ на [ρ0,+∞). Неравенство λi(x) ≤ 1 непосредственно следует из неотрица-
тельности qi и из положительности Si(x).
2. Имеем 0 ≤ (1 − λi(x))xj ≤ x+ c0
c0
qi(x + c0) ∈ L1(0,+∞), i = 1, 2, . . . ,m,
j = 0, 1, поскольку m1(qi) < +∞.
3. Предположим, что x1, x2 > 0, x1 > x2, — произвольные числа. Тогда из (32)
получаем
λi(x1)− λi(x2) =
qi(x2 + Si(x2))
S(x2)
− qi(x1 + Si(x1))
S(x1)
≥
≥ (Si(x1)− Si(x2))qi(x1 + Si(x1))
Si(x1)Si(x2)
≥ 0, i = 1, 2, . . . ,m,
т. е. λi ↑ по x. С другой стороны, из неравенства
1− qi(x+ c0)
c0
≤ λi(x) ≤ 1
с учетом того, что lim
x→∞
qi(x) = 0, имеем lim
x→∞
λi(x) = 1.
Лемма доказана.
Теперь рассмотрим итерации
ϕ∗i,(n+1)(x) = 2qi(x+ Si(x)) + λi(x)
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)ϕ∗j,(n)(t)dt, (33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
О НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 559
ϕ∗i,(0) ≡ 0, n = 0, 1, 2, . . . , i = 1, . . . ,m, x > 0.
Из (33) с учетом условий α4) и
0 ≤ qi(x+ Si(x)) ≤ qi(x+ c0) ≤ qi(x+ ρ0), i = 1, . . . ,m,
по индукции нетрудно убедиться, что: 1) ϕ∗i,(n)(x) ↑ по n, 2) 2qi(x + Si(x)) ≤
≤ ϕ∗i,(n)(x) ≤ Fi(x), n = 1, 2, . . . , i = 1, 2, . . . ,m.
Следовательно, последовательность функций
{
ϕ∗i,(n)(x)
}∞
n=0
имеет точечный
предел
lim
n→∞
ϕ∗i,(n)(x) ≡ ϕ∗i (x), i = 1, 2, . . . ,m,
и этот предел представляет собой решение системы (31), причем
2qi(x+ Si(x)) ≤ ϕ∗i (x) ≤ Fi(x), i = 1, 2, . . . ,m. (34)
2.5. Рассмотрим теперь систему
Qi(x) = λi(x)
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)Qj(t)dt, x > 0, i = 1, . . . ,m, (35)
относительно искомой вектор-функции Q(x) = (Q1(x), . . . , Qm(x))T . Непосред-
ственной проверкой убедимся, что функции
Q̃i(x) = 2Si(x)− ϕ∗i (x), i = 1, 2, . . . ,m,
удовлетворяют системе (35). Из (31), (32) с учетом (35) имеем
λi(x)
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)Q̃j(t)dt = λi(x)
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)
(
2Sj(t)− ϕ∗j (t)
)
dt =
= 2
(
1− qi(x+ Si(x))
Si(x)
)
Si(x) + 2qi(x+ Si(x))− ϕ∗i (x) =
= 2S∗i (x)− ϕ∗i (x) = Q̃i(x).
Поскольку
Si(x) ≥ γζi ≥ max(c0, δi) ≥ δi = sup
x>0
Fi,
из (34) и (35) непосредственно следует, что
Q̃i(x) ≥ 2Si(x)− Fi(x) ≥ Si(x).
Рассмотрим итерации
Q
(n+1)
i (x) = λi(x)
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)Q(n)
j (t)dt,
Q
(0)
i (x) = 2Si(x), i = 1, . . . ,m, n = 0, 1, 2, . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
560 Х. А. ХАЧАТРЯН
По индукции нетрудно убедиться, что
Q
(n)
i (x) ↓ по n,
Q̃i(x) ≤ Q(n)
i (x) ≤ 2λi(x)Si(x), n = 1, 2, . . . , i = 1, 2, . . . ,m.
Следовательно, существует
lim
n→∞
Q
(n)
i (x) = Qi(x) и Q̃i(x) ≤ Qi(x) ≤ 2λi(x)Si(x). (36)
Из теоремы Б. Леви (см. [17]) следует, что Qi(x), i = 1, . . . ,m, удовлетворяют
системе (35). Заметим, что тогда функции
Pi(x) ≡ Qi(x)
λi(x)
, i = 1, . . . ,m,
будут удовлетворять системе уравнений
Pi(x) =
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)λj(t)Pj(t)dt, i = 1, . . . ,m,
и неравенствам
Si(x) ≤ Q̃i(x) ≤ Q̃i(x)
λi(x)
≤ Pi(x) ≤ 2Si(x), i = 1, . . . ,m. (37)
Докажем следующую лемму.
Лемма 3. Имеет место формула
lim
x→∞
Q̃i(x)
λi(x)
= 2γ
ζi +
m∑
j=1
ρijζj
, (38)
где (I − α)−1 = I + ρ, ρ = (ρij)
m×m
i,j=1 , а ζ = (ζ1, ζ2, . . . , ζm)T — неподвижный
вектор матрицы β (см. п. 2.3), γ ∈ 4.
Доказательство. Действительно, так как lim
n→∞
ϕ∗i (x) = 0, i = 1, . . . ,m, ибо
0 ≤ ϕ∗i (x) ≤ Fi(x), а lim
x→∞
Fi(x) = 0, i = 1, 2, . . . ,m (см. п. 2.2), учитывая (29) и
лемму 2, из цепочки неравенств∣∣∣∣∣∣ Q̃i(x)
λi(x)
− 2γ
ζi +
m∑
j=1
ρijζj
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ c0
c0 − qi(c0)
∣∣∣∣∣∣Q̃i(x)− 2γλi(x)
ζi +
m∑
j=1
ρijζj
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ c0
c0 − qi(c0)
∣∣∣∣∣∣Q̃i(x)− 2γ
ζi +
m∑
j=1
ρijζj
∣∣∣∣∣∣ +
+2γ
ζi +
m∑
j=1
ρijζj
|1− λi(x)|
−→
x→∞
0, i = 1, 2, . . . ,m,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
О НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 561
получаем формулу (38).
Лемма доказана.
Таким образом, из (36) с учетом (29) и леммы 3 имеем
lim
x→∞
Pi(x) = 2γ
(
ζi +
m∑
j=1
ρijζj
)
, i = 1, . . . ,m, (39)
где
γ ∈ 4, βζ = ζ, ζ = (ζ1, ζ2, . . . , ζm)T ,
(I − α)−1 = I + ρ, ρ = (ρij)
m×m
i,j=1 .
3. Формулировки и доказательства основных результатов. 3.1. Справедлива
следующая теорема.
Теорема 1. Система (1) при выполнении условий (10), ν(K) ≺ 0, (3), и
α1) –α4) имеет однопараметрическое семейство решений
{
ϕγ(x)
}
γ∈4, ϕγ(x) =
=
(
ϕγ1(x), . . . , ϕγm(x)
)T
, причем каждая вектор-функция из этого семейства об-
ладает следующими свойствами:
1) ϕγi (x) ≥ 0, i = 1, 2, . . . ,m, γ ∈ 4, ϕγi (x) = O(1), x→∞;
2) lim
x→∞
ϕγi (x) = 2γ
(
ζi +
∑m
j=1
ρijζj
)
;
3) ϕγi (x) ↑ по γ на 4 =
[
max
i
max(c0, δi)
ζi
,+∞
)
,
где c0 — фиксированное число из [ρ0,+∞), для которого qi(c0) < c0, δi = sup
x>0
Fi(x),
βζ = ζ, ζ = (ζ1, ζ2, . . . , ζm)T , ζj > 0, i = 1, 2, . . . ,m. Более того, если дополни-
тельно ωij(t, z) ↓ по t, то ϕγi (x) ↑ по x.
Доказательство. Рассмотрим итерации
ϕ
(n+1)
i (x) =
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)Bij(t, ϕ(n)
j (t))dt, (40)
ϕ
(0)
i (x) = 2Si(x), n = 0, 1, 2, . . . , x > 0, i = 1, . . . ,m.
Убедимся в достоверности следующих фактов:
ϕ
(n)
i (x) ≥ Pi(x), n = 0, 1, 2, . . . , i = 1, . . . ,m, x > 0, (41)
ϕ
(n)
i (x) ↓ по n. (42)
В случае n = 0 неравенства (41) непосредственно следуют из цепочек неравенств
(37). Пусть ϕni (x) ≥ Pi(x) для некоторого n ∈ N. Тогда с учетом условий α1) –α4),
(20), (37) из (40) получаем
ϕ
(n+1)
i (x) ≥
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)
(
Pj(t)− ωij(t, Pj(t))
)
dt ≥
≥
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)Pj(t)dt−
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)
◦
w ij(t+ Pj(t))dt ≥
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
562 Х. А. ХАЧАТРЯН
≥
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)Pj(t)dt−
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)qj(t+ Pj(t))dt ≥
≥
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)Pj(t)dt−
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)(1− λj(t))Pj(t)dt =
=
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)λj(t)Pj(t)dt = Pi(x).
Теперь убедимся в справедливости (42). Имеем
ϕ
(1)
i (x) ≤
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)ϕ(0)
i (t)dt = 2Si(x) = ϕ
(0)
i (x), i = 1, . . . ,m.
Предполагая, что ϕ(n)
i (x) ≤ ϕ(n−1)
i (x), и используя монотонность ωij(t, z) по z на
[ρ0,+∞), получаем
ϕ
(n+1)
i (x) ≤
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)Bij(t, ϕ(n−1)
j (t))dt = ϕ
(n)
i (x).
Таким образом, последовательность вектор-функций
{
ϕ(n)(x)
}∞
n=0
, ϕ(n)(x) =
=
(
ϕ
(n)
1 , ϕ
(n)
2 , . . . , ϕ
(n)
m
)T
, имеет предел
ϕ(x) ≡ ϕγ(x) = lim
n→∞
ϕ(n)(x),
причем
Pi(x) ≤ ϕi(x) ≤ 2Si(x), i = 1, 2, . . . ,m.
Поскольку lim
x→∞
Pi(x) = 2γ
(
ζi +
∑m
j=1
ρijζj
)
, из (39) с учетом (29) находим
lim
x→∞
ϕi(x) = 2γ
ζi +
m∑
j=1
ρijζj
.
Используя теорему Б. Леви, нетрудно убедиться, что предельная вектор-функция
удовлетворяет системе (1). Докажем теперь, что если γ1, γ2 ∈ 4, γ1 > γ2, то
ϕγ1i (x) > ϕγ2i (x), i = 1, . . . ,m. С этой целью сначала по индукции убедимся в
выполнении неравенств
ϕ
γ
(n)
1
i (x)− ϕγ
(n)
2
i (x) ≥ 2
(
Sγ1i (x)− Sγ2i (x)
)
=
=
2(γ1 − γ2)ζi + 2(γ1 − γ2)
m∑
j=1
x∫
0
φij(z)dzζj
, n = 0, 1, 2, . . . . (43)
При n = 0 неравенства (43) непосредственно следуют из (40). Пусть неравен-
ства (43) выполняются при n = p. Тогда из (40) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
О НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 563
ϕ
γ
(p+1)
1
i (x)− ϕγ
(p+1)
2
i (x) =
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)
(
ϕ
γ
(p)
1
j (t)− ϕγ
(p)
2
j (t)
)
dt+
+
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)
(
ωij
(
t, ϕ
γ
(p)
2
j (t)
)
− ωij
(
t, ϕ
γ
(p)
1
j (t)
))
dt ≥
≥
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)
(
ϕ
γ
(p)
1
j (t)− ϕγ
(p)
2
j (t)
)
dt ≥ 2
(
Sγ1i (x)− Sγ2i (x)
)
.
В неравенствах (43), устремляя n → ∞, получаем ϕγ1i (x) − ϕγ2i (x) ≥ 2(Sγ1i (x) −
− Sγ2i (x)) > 0. Для завершения доказательства осталось убедиться, что если
ωij(t, z) ↓ по z, то ϕi(x) ↑ по x. Сначала докажем по индукции, что ϕ(n)
i (x) ↑ по
x. При n = 0 этот факт следует из (29). Пусть ϕ(n)
i (x) ↑ по x. Возьмем x1, x2 > 0,
x1 > x2. Тогда
ϕ
(n+1)
i (x1)− ϕ(n+1)
i (x2) =
=
m∑
j=1
x1∫
−∞
Kij(t)
(
ϕ
(n)
j (x1 − t)− ωij
(
x1 − t, ϕ(n)
j (x1 − t)
))
dt−
−
m∑
j=1
x2∫
−∞
Kij(t)
(
ϕ
(n)
j (x2 − t)− ωij
(
x2 − t, ϕ(n)
j (x2 − t)
))
dt ≥
≥
m∑
j=1
x2∫
−∞
Kij(t)
(
ϕ
(n)
j (x1 − t)− ϕ(n)
j (x2 − t)
)
dt+
+
m∑
j=1
x2∫
−∞
Kij(t)
(
ωij
(
x2 − t, ϕ(n)
j (x2 − t)
)
− ωij
(
x1 − t, ϕ(n)
j (x1 − t)
))
dt ≥ 0.
Следовательно, ϕ(n+1)
i (x1) ≥ ϕ(n+1)
i (x2), где при n→∞ ϕi(x1) ≥ ϕi(x2).
Теорема доказана.
3.2. В этом пункте с помощью теоремы 1 докажем следующую теорему су-
ществования для более общего уравнения (6).
Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Предположим, что
существует число η ≥ 2 max
i
(
ζi +
∑m
j=1
ρijζj
)
max
i
max(c0, δi)
ζi
≡ l такое, что:
β1) G ∈ C[0, η], G ↑ [0, η];
β2) G(x) ≥ x, x ∈ [0, η], G(η) = η.
Тогда система (6) имеет положительное и ограниченное решение f(x) =
=
(
f1(x), . . . , fm(x)
)T
, причем fi(x) ≤ η, i = 1, 2, . . . ,m.
Доказательство. Сначала рассмотрим систему (1). Поскольку η ≥ l (опреде-
ление числа l см. в формулировке теоремы 2), из теоремы 1 следует, что существует
положительное решение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
564 Х. А. ХАЧАТРЯН
ϕγ∗(x) =
(
ϕγ∗1 , ϕγ∗2 , . . . , ϕγ∗m
)T
, γ∗ =
η
2 max
i
(
ζi +
∑m
j=1
ρijζj
) ∈ 4,
с пределом
lim
x→∞
ϕγ∗i (x) = 2γ∗
ζi +
m∑
j=1
ρijζj
≤ η.
Рассмотрим итерации
f
(n+1)
i (x) =
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)Wij
(
t, f
(n)
j (t)
)
dt, (44)
f
(0)
i (x) ≡ η, n = 0, 1, 2, . . . , x > 0, i = 1, . . . ,m.
Поскольку A =
∫ +∞
−∞
K(x)dx ∈ Kp, r(A) = 1, по теореме Перрона существует
вектор ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξm)T с положительными компонентами ξj > 0 такой, что
Aξ = ξ
или в раскрытом виде
m∑
j=1
aijξj = ξi, i = 1, 2, . . . ,m. (45)
Обозначим χ ≡ max
i
ξi. Тогда из (45) получаем неравенство
m∑
j=1
aijξj ≤ χ,
из которого, в свою очередь, следует, что
m∑
j=1
aij ≤ 1, i = 1, 2, . . . ,m. (46)
Неравенства (46) используем ниже. По индукции докажем, что
ϕγ∗i (x) ≤ f (n)i (x) ≤ η, n = 0, 1, 2, . . . . (47)
С этой целью сначала докажем,что если τ ∈ [c0, η], то
G(τ) ≥ ωij(t, τ), i, j = 1,m. (48)
Действительно,
ωij(t, τ) ≤ ◦w ij(t+ τ) ≤ qj(c0) < c0 ≤ τ ≤ G(τ).
С другой стороны, из неравенств
ϕγ∗i (x) ≥ Pi(x) ≥ Si(x) ≥ γ∗ζi ≥ c0
заключаем, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
О НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 565
c0 ≤ ϕγ∗i (x) ≤ η, i = 1, 2, . . . ,m.
Теперь перейдем к доказательству неравенств (47). При n = 0 они очевидны.
Предположив, что они выполняются при некотором n ∈ N, установим их при n+1.
Из (44) с учетом (46), (48) и свойств β1), β2) имеем
f
(n+1)
i (x) ≤
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)
(
G(η)− ωij(t, η)
)
dt ≤
≤ η
m∑
j=1
x∫
−∞
Kij(t)dt ≤ η
m∑
j=1
aij ≤ η.
С другой стороны,
f
(n+1)
i (x) ≥
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)
(
G(ϕγ∗j (t))− ωij(t, ϕγ∗j (t))
)
dt ≥
≥
m∑
j=1
∞∫
0
Kij(x− t)
(
ϕγ∗j (t)− ωij(t, ϕγ∗j (t))
)
dt = ϕγ∗i (x).
Теперь докажем, что f
(n)
i ↓ по n. Действительно, неравенство f
(1)
i (x) ≤ f
(0)
i (x)
следует из (47). Пусть f (n)i (x) ≤ f (n−1)i (x). Тогда, учитывая монотонность функций
G и ωij , из (44) получаем f
(n+1)
i (x) ≤ f
(n)
i (x). Итак, последовательность вектор-
функций
{
f (n)(x)
}∞
n=0
, f (n)(x) = (f
(n)
i , . . . , f
(n)
i )T , почти всюду в (0,+∞) имеет
предел
lim
n→∞
f (n)(x) = f(x) = (f1, f2, . . . , fm)T
и из предельной теоремы Б. Леви следует, что функция f(x) удовлетворяет систе-
ме (6). С другой стороны, из (47) получаем
ϕγ∗i (x) ≤ fi(x) ≤ η, i = 1, . . . ,m.
Теорема доказана.
Замечание. Как и в теореме 1, если здесь дополнительно предположить, что
ωij(t, z) ↓ по t, то fi(x) ↑ по x. Последнее утверждение доказывается аналогичным
образом.
Приведем несколько примеров функций G и ωij :
G(x) = ηex/η−1, G(x) = η
√
x
η
, G(x) = x+ sin
πx
η
,
ωij(t, z) = sij(t, z)
◦
ωij(t+ z),
где 0 ≤ sij ≤ 1, sij ↓ по z на R+×[ρ0,+∞) — функции, удовлетворяющие условию
Каратеодори.
Автор выражает благодарность проф. Н. Б. Енгибаряну за полезные советы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
566 Х. А. ХАЧАТРЯН
1. Hammerstein A. Nichtlineare Integralgleich ungen nebst Anwendungen // Acta Math. – 1929. – 54. – С.
117 – 176.
2. Урысон П. С. Об одном типе нелинейных интегральных уравнений // Мат. сб. – 1924. – 31. –
С. 236 – 255.
3. Красносельский М. А. Признаки непрерывности некоторых нелинейных операторов // Укр. мат.
журн. – 1950. – 2, № 3. – С. 70 – 86.
4. Забрейко П. П. О непрерывности нелинейного оператора // Сиб. мат. журн. – 1964. – 5, № 4. –
С. 958 – 960.
5. Забрейко П. П. О непрерывности и полной непрерывности операторов Урысона // Докл. АН СССР.
– 1965. – 161, № 5. – С. 1007 – 1010.
6. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные
операторы в пространствах суммируемых функций. – М.: Наука, 1966. – 500 с.
7. Забрейко П. П., Пустыльник Е. И. О непрерывности и полной непрерывности нелинейных инте-
гральных операторов в пространствах Lp // Успехи мат. наук. – 1964. – 19, № 2. – С. 204 – 205.
8. Енгибарян Н. Б., Хачатрян А. Х. Вопросы нелинейной теории динамики разреженного газа // Мат.
моделирование. – 2004. – 16, № 1. – С. 67 – 74.
9. Енгибарян Н. Б. Об одной задаче нелинейного переноса излучения // Астрофизика. – 1966. – 2,
№ 1. – С. 31 – 36.
10. Sargan J. D. The distribution of wealth // Econometrica. – 1957. – 25. – P. 568 – 590.
11. Владимиров В. С. Об уравнении p-адической открытой струны для скалярного поля тахионов //
Изв. РАН. Сер. мат. – 2005. – 69, № 3. – С. 55 – 80.
12. Арабаджян Л. Г. Решения одного интегрального уравнения типа Гаммерштейна // Изв. НАН
Армении. Математика. – 1997. – 32, № 1. – С. 21 – 28.
13. Khachatryan Kh. A. Sufficient conditions for the solvability of the Urysohn integral equation on a
half-line // Dokl. Mat. – 2009. – 79, № 2. – P. 246 – 249.
14. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Мир, 1978. – 280 с.
15. Арабаджян Л. Г., Енгибарян Н. Б. Уравнения в свертках и нелинейные функциональные уравнения
// Итоги науки и техники. Мат. анализ. – 1984. – 22. – С. 175 – 242.
16. Енгибарян Н. Б., Арабаджян Л. Г. Системы интегральных уравнений Винера – Хопфа и нелиней-
ные уравнения факторизации // Мат. сб. – 1984. – 124, № 2. – C. 189 – 216.
17. Колмогоров А. Н., Фомин В. С. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.:
Наука, 1976. – 544 с.
Получено 21.09.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2887 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:32:13Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b5/97a20df05d4428235fddd583966491b5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28872020-03-18T19:39:35Z On some systems of nonlinear integral Hammerstein-type equations on the semiaxis О некоторых системах нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна на полуоси Khachatryan, Kh. A. Хачатрян, Х. А. Хачатрян, Х. А. We prove the existence for a one-parameter family of solutions of a system of nonlinear integral Hammerstein-type equations on the positive semiaxis and study the asymptotic behavior of the obtained solutions at infinity. Доведено існування однопараметричної сім'ї розв'язків системи нелінійних інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна на додатній півосі та досліджено асимптотичну поведінку отриманих розв'язків на нескінченності. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2887 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 4 (2010); 552–566 Український математичний журнал; Том 62 № 4 (2010); 552–566 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2887/2525 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2887/2526 Copyright (c) 2010 Khachatryan Kh. A. |
| spellingShingle | Khachatryan, Kh. A. Хачатрян, Х. А. Хачатрян, Х. А. On some systems of nonlinear integral Hammerstein-type equations on the semiaxis |
| title | On some systems of nonlinear integral Hammerstein-type equations on the semiaxis |
| title_alt | О некоторых системах нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна на полуоси |
| title_full | On some systems of nonlinear integral Hammerstein-type equations on the semiaxis |
| title_fullStr | On some systems of nonlinear integral Hammerstein-type equations on the semiaxis |
| title_full_unstemmed | On some systems of nonlinear integral Hammerstein-type equations on the semiaxis |
| title_short | On some systems of nonlinear integral Hammerstein-type equations on the semiaxis |
| title_sort | on some systems of nonlinear integral hammerstein-type equations on the semiaxis |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2887 |
| work_keys_str_mv | AT khachatryankha onsomesystemsofnonlinearintegralhammersteintypeequationsonthesemiaxis AT hačatrânha onsomesystemsofnonlinearintegralhammersteintypeequationsonthesemiaxis AT hačatrânha onsomesystemsofnonlinearintegralhammersteintypeequationsonthesemiaxis AT khachatryankha onekotoryhsistemahnelinejnyhintegralʹnyhuravnenijtipagammerštejnanapoluosi AT hačatrânha onekotoryhsistemahnelinejnyhintegralʹnyhuravnenijtipagammerštejnanapoluosi AT hačatrânha onekotoryhsistemahnelinejnyhintegralʹnyhuravnenijtipagammerštejnanapoluosi |