Linear system of differential equations with turning point
A system of linear differential equations with small parameter as a coefficient of a part of derivatives is reduced to the canonical form and the properties of the transformation matrix are investigated.
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2893 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508888781029376 |
|---|---|
| author | Klyuchnyk, I. H. Ключник, І. Г. |
| author_facet | Klyuchnyk, I. H. Ключник, І. Г. |
| author_sort | Klyuchnyk, I. H. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:39:51Z |
| description | A system of linear differential equations with small parameter as a coefficient of a part of derivatives is reduced to the canonical form and the properties of the transformation matrix are investigated. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:32:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.928
I. Г. Ключник (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ
A system of linear differential equations with a small parameter of a part of derivatives is reduced to a
canonical form and properties of the transformation matrix are studied.
Система линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных сводит-
ся к каноничной форме, а также изучаются свойства матрицы преобразования.
У роботах [1, 2] розглянуто сингулярно збуренi системи з простою, кратною та дво-
ма точками звороту. В цих випадках в [1, 2] запропоновано асимптотичне зведення
сингулярно збуреної системи до деякого канонiчного вигляду, а також розглянуто
можливостi формальної блочної дiагоналiзацiї системи. При цьому використано
функцiї Ейрi, Вебера та Уiттекера. До основних методiв побудови асимптотичного
iнтегрування лiнiйних диференцiальних рiвнянь з точками звороту вiдносяться ме-
тоди Р. Лангера, В. Вазова, А. А. Дороднiцина, Цваана – Федорюка, метод зшивання
та узгодження асимптотик. Основнi iдеї цих методiв i огляд лiтератури з методiв
асимптотичного iнтегрування задач з точками звороту наведено в [1 – 4]. У роботi
[5] запропоновано явний вигляд функцiй Ai(x), якi є розв’язком диференцiального
рiвняння ym = xy (m > 2, m — парне), i через цi функцiї виражено фундаменталь-
ну матрицю системи рiвнянь Z ′ = B(x)Z, в якiй B(x) — (m×m)-вимiрна матриця,
яка має вигляд B(x) = xI1 + N, N — нiльпотентна матриця, I1 — матриця з єди-
ним ненульовим елементом {I1}m1 = 1. У роботi [6] викладено метод зведення
сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь з простою точкою звороту
розмiрностi m, m > 2, вигляду
εy′ = A(x, ε)y
до системи з основною матрицею B0(x), яка визначається рiвнiстю B0(x) = xI2 +
+ N, в якiй I2 — (m×m)-вимiрна матриця, елементи якої визначаються з рiвностi
{I2}m1 = 1, {I2}mj = xaj(x), aj(0) 6= 0, j = 2,m.
У статтi [7] уперше розглянуто лiнiйну систему диференцiальних рiвнянь з
малим параметром при частинi похiдних вигляду
ỹ′ = Ã(x)ỹ + Ã1(x)y1,
εy′1 =
(
B(x) + εB1(x)
)
y1 + εB̃2(x)ỹ,
(1)
де ỹ ∈ Rp, y1 ∈ R2; Ã(x), Ã1(x), B1(x), B̃2(x) — матрицi, якi голоморфнi при
|x| ≤ x0; B(x) — матриця вигляду B̃(x) =
(
0 1
x 0
)
, ε — малий дiйсний параметр.
За допомогою перетворення
(
ỹ
y1
)
= Φ(x, ε)
(
u
v
)
система (1) зводиться до системи
вигляду
u′ = C(ε)v,
εv′ = B(x)v + εD(ε)u,
де C(ε), D(ε), Φ(x, ε) є формальними рядами
c© I. Г. КЛЮЧНИК, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5 625
626 I. Г. КЛЮЧНИК
C(ε) =
∞∑
n=0
εnCn, D(ε) =
∞∑
n=0
εnDn, Φ(x, ε) =
∞∑
n=0
εnΦn(x),
в яких Cn, Dn — сталi, а матрицi Φn(x) голоморфнi при |x| ≤ x0 i det Φ0(x) ≡ 1.
У данiй статтi розглядається лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з малим
параметром при частинi похiдних вигляду (1), для якої ỹ ∈ Rp, y1 ∈ Rm, m —
парне додатне число, а B(x) — (m×m)-вимiрна матриця рiвняння з [5]. Для роз-
глядуваної системи пропонується зведення системи диференцiальних рiвнянь (1)
з точкою звороту до деякої канонiчної форми. Доведено нескiнченну диференцi-
йовнiсть матриць, якi входять в одержану систему, по дiйсних значеннях малого
додатного параметра, а також нескiнченну диференцiйовнiсть матрицi перетворен-
ня за дiйсними незалежною змiнною та параметром.
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь (1), в якiй ỹ ∈ Rp, y1 ∈ Rm;
Ã(x), Ã1(x), B1(x), B̃2(x) — голоморфнi матрицi при |x| ≤ x0; B(x) = xI1 +N ; ε
— малий дiйсний додатний параметр i 0 ≤ ε ≤ ε0. Будемо вважати, що
trB1(x) = tr Ã(x) ≡ 0, (2)
оскiльки цього завжди можна досягнути за допомогою перетворень
y = exp
1
p
x∫
0
tr Ã(x)dx
z, y1 = exp
1
m
x∫
0
trB1(x)dx
z1,
якi переводять матрицi Ã(x), B1(x) вiдповiдно в матрицi Ã(x) − 1
p
tr(Ã(x))I,
B1(x)− 1
m
tr(B1(x))I.
Виконуючи в (1) замiну за формулою ỹ = Ωx0(Ã(x))y i позначаючи A1(x) =
=
(
Ωx0(Ã(x))
)−1
Ã1(x), B2(x) = B̃2(x)Ωx0(Ã(x)), маємо
y′ = A1(x)y1, (3)
εy′1 =
(
B(x) + εB1(x)
)
y1 + εB2(x)y.
У роботi буде показано, як за допомогою перетворення
(
y
y1
)
= Φ(x, ε)
(
cu
v
)
сис-
тему (3) можна звести до вигляду
u′ = C1(ε)v, (4)
εv′ = B(x)v + εD1(ε)u, (5)
де Φ(x, ε) — блочна матриця вигляду
Φ(x, ε) =
(
U(x, ε) V1(x, ε)
U1(x, ε) V (x, ε)
)
, (6)
а матрицi U(x, ε), V1(x, ε), U1(x, ε), V (x, ε) мають розвинення за степенями ε :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 627
U(x, ε) = U(x) +
∞∑
n=1
εnUn(x), U1(x, ε) =
∞∑
n=1
εnUn1(x),
V (x, ε) = V (x) +
∞∑
n=1
εnVn(x), V1(x, ε) =
∞∑
n=1
εnVn1(x).
(7)
Матрицi C1(ε), D1(ε), Φj(x, ε), j = 1, 4, за аналогiєю з [8] за коефiцiєнтами фор-
мальних рядiв
∑∞
n=0
Cnε
n,
∑∞
n=0
Dnε
n та (7), якi будуть визначенi у п. 1, побу-
дуємо у виглядi збiжних рядiв
C1(ε) = C0 +
∞∑
n=1
B̃nε
n
‖B̃n‖ε+ p5n∆n
, D1(ε) = D0 +
∞∑
n=1
Ãnε
n
‖Ãn‖ε+ p6n∆n1
, (8)
Φ1(x, ε) = U(x) +
∞∑
n=1
F1n(x)εn
‖F1n(x)‖0ε+ p1n∆̃n1
,
Φj(x, ε) =
∞∑
n=1
Fjn(x)εn
‖Fjn(x)‖0ε+ pjn∆̃nj
, j = 2, 3, (9)
Φ4(x, ε) = V (x) +
∞∑
n=1
F4n(x)εn
‖F4n(x)‖0ε+ p4n∆̃n4
,
де
B̃n = Cn +K1n, Ãn = Dn +K2n, F1n(x) = Un(x) +Kn1(x),
F2n(x) = Vn1(x) +Kn2(x), F3n(x) = Un1(x) +Kn3(x),
F4n(x) = Vn(x) +Kn4(x), n ≥ 1, (10)
∆n =
‖B̃n‖, якщо B̃n 6= 0,
1, якщо B̃n = 0,
∆n1 =
‖Ãn‖, якщо Ãn 6= 0,
1, якщо Ãn = 0,
∆̃nj =
‖Fjn(x)‖0, якщо ‖Fjn(x)‖0 6= 0,
1, якщо ‖Fjn(x)‖0 = 0,
j = 1, 4, n ≥ 1;
K1n, K2n, Knj(x), j = 1, 4, — коефiцiєнти при εn у розвиненнi вiдповiдно рацiо-
нальних функцiй
n−1∑
i=1
B̃iε
i
‖B̃i‖ε+ p5i∆i
,
n−1∑
i=1
Ãiε
i
‖Ãi‖ε+ p6n∆i1
,
n−1∑
i=1
Fji(x)εi
‖Fji(x)‖0ε+ pji∆̃ij
(11)
за зростаючими степенями ε, K11 = K21 = K1j(x) ≡ 0, j = 1, 4; ‖Fjn(x)‖0 =
= max
x
∥∥Fjn(x)
∥∥;
pjn =
1
‖Fjn(x)‖0
, якщо ‖Fjn(x)‖0 6= 0,
1, якщо ‖Fjn(x)‖0 = 0,
j = 1, 4,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
628 I. Г. КЛЮЧНИК
p5n =
1
‖B̃n‖0
, якщо B̃n 6= 0,
1, якщо B̃n = 0,
p6n =
1
‖Ãn‖0
, якщо Ãn 6= 0,
1, якщо Ãn = 0.
(12)
У випадку B̃n 6= 0 оцiнимо n-й член одного iз рядiв (8) таким чином:∥∥∥∥∥ B̃nε
n
‖B̃n‖ε+ p5n∆n
∥∥∥∥∥ ≤ εn−1
0 .
Отже, ряди (8) рiвномiрно збiжнi при 0 ≤ ε ≤ ε0. Ряд, одержаний почленним
диференцiюванням ряду з (8) k разiв, має вигляд
∞∑
n=1
′ B̃n
‖B̃n‖
k−1∑
j=0
(−1)jCjkj!n(n− 1) . . . (n− k + j + 1)εn−k+j
(ε+ p5n)j+1
+
(−1)kk!εn
(ε+ p5n)k+1
,
(13)
де Cjk — число сполук з k елементiв по j;
∑′
— сума ненульових елементiв. Кожен
член ряду (13) при n ≥ k + 1 мажорується так:∥∥∥∥∥∥
(
B̃nε
n
‖B̃n‖(ε+ p5n)
)(k)
∥∥∥∥∥∥ ≤ fknεn−k−1
0 ,
де
fkn = k! +
k−1∑
j=0
Cjkj!n(n− 1) . . . (n− k + j + 1).
Таким чином, матричнi функцiї C1(ε), D1(ε), Φj(x, ε), j = 1, 4, є нескiнченно
диференцiйовними при |x| ≤ x0, 0 ≤ ε ≤ ε0. Використовуючи (11), знаходимо
явний вигляд матрицi K1n:
K1n =
n−1∑
j=1
(−1)n−j+1B̃j
‖B̃j‖pn+1−j
5j
, n ≥ 2. (14)
Враховуючи (14), записуємо матрицю C1(ε) у виглядi
C1(ε) = C0 +
m∑
n=1
B̃nε
n
‖B̃n‖ε+ p5n∆n
+
∞∑
n=m+1
B̃nε
n
‖B̃n‖ε+ p5n∆n
=
= C0 +
B̃1ε
‖B̃1‖p51
+
m∑
n=2
′
εn
(
B̃n
‖B̃n‖p5n
−K1n
)
+
+
m∑
n=1
′ B̃nε
n
‖B̃n‖
∞∑
r=m−n+1
(−1)rεr
pr+1
5n
+
∞∑
n=m+1
B̃nε
n
‖B̃n‖ε+ p5n∆n
=
=
m∑
n=0
Cnε
n +
m∑
n=1
′ B̃nε
n
‖B̃n‖
∞∑
r=m−n+1
(−1)rεr
pr+1
5n
+
∞∑
n=m+1
B̃nε
n
‖B̃n‖ε+ p5n∆n
. (15)
З (15) та аналогiчного зображення функцiй (9) випливає, що матричнi функцiї
C1(ε), D1(ε), Φj(x, ε), j = 1, 4, мають асимптотичнi розвинення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 629
C1(ε) ∼
∞∑
n=0
Cnε
n, D1(ε) ∼
∞∑
n=0
Dnε
n,
Φ1(x, ε) ∼ U(x) +
∞∑
n=1
εnUn(x), Φ2(x, ε) ∼
∞∑
n=1
εnVn1(x), (16)
Φ3(x, ε) ∼
∞∑
n=1
εnUn1(x), Φ4(x, ε) ∼ V (x) +
∞∑
n=1
εnVn(x)
при ε→ 0 на множинi |x| ≤ x0.
1. Формальне зведення системи (3) до системи (4), (5). Згiдно з виглядом
рiвнянь (3) – (5) матриця Φ(x, ε) задовольняє матричне диференцiальне рiвняння
εΦ′ + Φ
(
0 εC1(ε)
εD1(ε) B(x)
)
=
(
0 εA1(x)
εB2(x) B(x) + εB1(x)
)
Φ. (17)
Пiдставляючи (7), (15) в (17) i зрiвнюючи коефiцiєнти при нульовому степенi ε,
одержуємо рiвняння
U ′(x) = 0, (18)
U(x)C0 + V11(x)B(x) = A1(x)V (x), (19)
V (x)D0 = B2(x)U(x) +B(x)U11(x), (20)
V (x)B(x) = B(x)V (x). (21)
З рiвнянь (18) i (21) знаходимо
U(x) ≡ Ĩ , V (x) = q0m(x)I +
m−1∑
r=1
q0r(x)Bm−r(x), (22)
де q0i(x), i = 1,m, — довiльнi голоморфнi функцiї в областi |x| ≤ x0, Ĩ, I —
одиничнi матрицi. Для визначення q0i(x), i = 1,m, використаємо рiвняння, якi
одержують, зрiвнюючи в (17) з урахуванням (7), (15) коефiцiєнти при першому
степенi параметра ε :
U ′1(x) + V11(x)D0 = A1(x)U11(x), (23)
V ′11(x) + U(x)C1 + U1(x)C0 + V21(x)B(x) = A1(x)V1(x), (24)
U ′11(x) + V (x)D1 + V1(x)D0 = B2(x)U1(x) +B1(x)U11(x) +B(x)U21(x), (25)
V ′(x) + V1(x)B(x) = B(x)V1(x) +B1(x)V (x). (26)
Згiдно з лемами з [6] для iснування розв’язку рiвнянь (26) необхiдно i достатньо
виконання наступних умов:
tr
(
(V ′(x)−B1(x)V (x))Bk(x)
)
= 0, k = 0,m− 1, (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
630 I. Г. КЛЮЧНИК
а також можна довести спiввiдношення
tr
(
Bj(x)
)
=
0, 1 ≤ j ≤ m− 1,
0, j > m,
mx, j = m,
tr
(
Bj(x)B′(x)
)
=
0, 1 ≤ j < m− 1,
0, j ≥ m,
1, j = m− 1,
j = 1, 2m− 2.
(28)
Пiдставляючи (22) в рiвняння (26) i використовуючи умови iснування (27) для одер-
жаних рiвнянь, а також спiввiдношення tr
(
B1(x)Bm+i(x)
)
= x tr
(
B1(x)Bi(x)
)
,
i = 0,m− 2, i (28), отримуємо рiвняння для знаходження функцiй q0i(x), i = 1,m :
mq′0m(x) =
m−1∑
r=0
bm−r−1(x)q0,r+1(x),
(29)
mxq′0,j−1(x) =
j−2∑
r=1
xbj−r−1(x)q0r(x)+
+
m−j∑
r=0
bm−r−1(x)q0,j+r(x) + xb0(x)q0,j−1(x)− (m− j + 1)q0,j−1(x), j = 2,m,
де b0(x) = trB1(x), bi(x) = tr (B1(x)Bi(x)), i = 1,m− 1. Записуючи (29) у
матричному виглядi i домножаючи обидвi частини одержаного рiвняння злiва на
матрицю B(x), маємо
xq′0(x) = H(x)q0(x), (30)
де H(x) = T1 +
1
m
B(x)T2(x); T1 — стала дiагональна матриця з дiагональними
елементами {T1}rr = −m− r
m
, r = 1,m, а матриця T2(x) визначається таким
чином: {T2}kr = tr(B1(x)Bm−1+k−r(x)), k = 1,m, r = 1,m. З явного вигляду
матрицi H(x) випливає, що матриця H(0) має власнi значення λi = −m− i
m
,
i = 1,m, тому згiдно з теорiєю диференцiальних рiвнянь з регулярною особливiстю
з [1] випливає, що система (30) має ненульовий голоморфний в областi |x| ≤ x0
розв’язок q0(x) такий, що q0m(0) = 1, q0i(0) = 0, i = 1,m− 1. Пiдставивши
знайденi функцiї U(x), V (x) у виглядi (22) в рiвняння (19), (20), одержимо рiвняння
для визначення C0, D0, U11(x), V11(x). Помноживши (19) справа на матрицю
Bm−1(x), а (20) злiва на Bm−1(x) i поклавши в одержаних рiвняннях x = 0,
визначимо елементи матриць C0, D0 за формулами
{C0}i1 =
{
A1(0)V (0)
}
i1
, {C0}ij = 0, {D0}mi =
{
B2(0)Ĩ
}
mi
,
{D0}si = 0, i = 1, p, j = 2,m, s = 1,m− 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 631
Вигляд матриць C0, D0 дає можливiсть записати формули для V11(x), U11(x)
V11(x) =
1∫
0
F ′(tx)dt, U11(x) =
1∫
0
G′(tx)dt,
якi визначають голоморфнi функцiї в областi |x| ≤ x0, де
F (x) = A1(x)V (x)Bm−1(x)− ĨC0B
m−1(x),
G(x) = Bm−1(x)V (x)D0 −Bm−1(x)B2(x)Ĩ .
Для знаходження коефiцiєнтiв розвинень (7) при ε у першому степенi маємо
систему рiвнянь (23) – (26). Покладаючи U1(0) = 0, з рiвняння (23) однозначно
знаходимо U1(x), а загальний розв’язок рiвняння (26) визначається за формулою
V1(x) = q1m(x)I +
m−1∑
r=1
q1r(x)Bm−r(x) +W1(x), (31)
де W1(x) — частинний розв’язок рiвняння (26). Зрiвнюючи коефiцiєнти при ε у
другому степенi в (7), (17), маємо рiвняння
V ′1(x) + U11(x)C0 + V2(x)B(x) = B(x)V2 +B2(x)V11 +B1(x)V1(x). (32)
Пiдставивши (31) в умову iснування розв’язку рiвняння (32) i помноживши знайде-
нi спiввiдношення злiва на матрицю B(x), одержимо неоднорiдну диференцiальну
систему рiвнянь з регулярною особливiстю вигляду
xq′1(x) = H(x)q1(x) + F (1)(x), (33)
де
F (1)(x) =
1
m
B(x)f (1)(x),
{
f (1)(x)
}
i
= tr
((
B1(x)W1(x) +B2(x)V11(x)−
−U11(x)C0 −W ′1(x)
)
Bi−1(x)
)
, i = 1,m,
q1(x) — вектор з компонентами q1i(x), i = 1,m. Система рiвнянь (33) має голоморф-
ний в областi |x| ≤ x0 розв’язок q1(x) i q1m(0) = 0. Матрицi V21(x), U21(x), C1,
D1 однозначно знаходяться з рiвнянь (24), (25). Можна довести, що за вказаним
алгоритмом однозначно знаходяться довiльнi коефiцiєнти розвинень (7) i вони є
голоморфними функцiями в областi |x| ≤ x0.
Матриця (6) при ε = 0 має вигляд Φ(x, 0) =
(
U(x) 0
0 V (x)
)
, де U(x), V (x)
визначаються за формулами (22). Використовуючи явний вигляд (22) матрицi V (x),
знаходимо похiдну вiд визначника матрицi V (x) i в одержаних визначниках Ij ,
j = 1,m, виконуємо наступнi перетворення при x 6= 0. А саме, у визначнику Ij ,
j = 1,m− 1, j-й рядок помножимо на mx i скористаємося (29). В одержаному
визначнику i-й рядок при i = 1, j − 1 помножимо на −xbj−i(x), а i-й рядок при
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
632 I. Г. КЛЮЧНИК
i = j + 1,m — на −bj+m−i(x) i додамо до j-го рядка, а потiм запишемо цей ви-
значник у виглядi суми двох визначникiв. У визначнику Im m-й рядок помножимо
на m i скористаємося (29). В одержаному визначнику j-й рядок помножимо на
−bm−j(x), j = 1,m− 1, i додамо до m-го рядка. В результатi отримаємо
Ij =
b0(x)
m
detV (x) +
1
mx
detLj ,
Im =
b0(x)
m
detV (x) +
1
m
detLm, j = 1,m− 1,
(34)
де
{Lj}ji =
(j − i)xq0,j−i(x), i = 1, j,
(j − i)q0,j+m−i, i = j + 1,m,
mx, j = m,
{Lm}mi = (m− i)q0,m−i(x),
{Lj}ki = {V (x)}ki, k = 1,m, k 6= j, i = 1,m.
Далi визначник detLj , j = 1,m, розкладемо по j-му рядку i одержаний вираз
згрупуємо при q01(x), q02(x), . . . , q0,m−1(x). При q01(x) маємо вираз
q01(x)
mx
((m− 1) detL11 − detL21 − . . .− detLm1),
де {L11}k1i = {L1}ki, k = 2,m, k1 = k − 1, i = 1,m− 1; {L21}k2i2 = {L2}ki,
i2 = i − 1, i = 2,m, k2 = k = 1, k2 = k − 1 при k = 3,m {Lm1}kim = {Lm}ki,
k = 1,m− 1, im = i, i = 1,m− 2, im = i− 1 при i = m.
За допомогою перестановок рядкiв i стовпцiв, використовуючи iдею з [9],
визначники матриць detLi1(x), i = 2,m, зводимо до detL11, звiдки одержуємо∑m
j=1
detLj = 0. Пiдставляючи (34) в (detV (x))′ i враховуючи останню рiвнiсть,
маємо (
detV (x)
)′
=
(
trB1(x)
)
detV (x), x 6= 0.
Оскiльки q0i(0) = 0, q0m(0) = 1, i = 1,m− 1, то iз формули (34) випливає, що
Ij(0) = q′0m(0), а також при x = 0 знаходимо q′0m(0) =
trB1(0)
m
. З останнiх двох
рiвностей маємо (detV (x))′|x=0 = trB1(0), що означає справедливiсть рiвностi
(detV (x))′ = (trB1(x)) detV (x) для кожного x з областi |x| ≤ x0.
За допомогою замiни u = Ṽ (ε)ω система (4), (5) зводиться до вигляду
ω′1 = c1(ε)v1, ω′i = 0, i = 2, p,
εv′ = B(x)v + εD2(ε)ω,
(35)
де v — m-вимiрний вектор з компонентами vi; cs(ε) = {C1(ε)}s1, s = 1, p, iншi
елементи матрицi C1(ε) дорiвнюють нулю; Ṽ (ε) — (p×p)-матриця з дiагональними
елементами, що дорiвнюють одиницi, в якої {Ṽ (ε)}i1 = γi(ε), а всi iншi елементи
дорiвнюють нулю, γi(ε) =
ci(ε)
c1(ε)
, i = 2, p, γ1(ε) ≡ 1 при умовi, що c1(ε) 6= 0;
D2(ε) = D1(ε)Ṽ (ε), D2(ε) — (m× p)-матриця, до того ж
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 633
d1j(ε) =
{
D2(ε)
}
pj
, d1j(ε) = d0j(ε) +
∞∑
n=1
anjε
n
‖Ãn‖ε+ p6n∆n1
, j = 2, p,
d11(ε) =
p∑
r=1
γr(ε)
(
d0r +
∞∑
n=1
anrε
n
‖Ãn‖ε+ p6n∆n1
)
,
iншi елементи матрицi D2(ε) дорiвнюють нулю; dnj = {Dn}pj , anj = {Ãn}pj ,
j = 1, p, iншi елементи матрицi Ãn дорiвнюють нулю.
Таким чином, доведено наступну теорему.
Теорема 1. Нехай матрицi системи рiвнянь (1) голоморфнi в областi |x| ≤
≤ x0. Тодi система рiвнянь (1) зводиться до системи (35) за допомогою пере-
творення
(
y
y1
)
= Φ(x, ε)
(
u
v
)
. Матриця Φ(x, ε) задовольняє систему диференцi-
альних рiвнянь (17) i є голоморфною за змiнною x в областi |x| ≤ x0, 0 ≤ ε ≤ ε0,
а також det Φ(x, 0) ≡ 1. Коефiцiєнти C1(ε), D1(ε) системи (17) зображають-
ся у виглядi рiвномiрно збiжних при 0 ≤ ε ≤ ε0 рядiв (8), в яких числа Cn, Dn,
n = 0, 1, . . . , визначаються з алгебраїчних рiвнянь (18) – (21), (23) – (26), (32). Мат-
рицi C1(ε), D1(ε) є нескiнченно диференцiйовними при 0 ≤ ε ≤ ε0 i мають асимп-
тотичнi розвинення (16).
2. Нескiнченна диференцiйовнiсть матрицi перетворення. Розглянемо блоч-
ну матрицю Φ∗(x, ε) вигляду
Φ∗(x, ε) =
Φ1(x, ε) Φ2(x, ε)
Φ3(x, ε) Φ4(x, ε)
, (36)
де Φj(x, ε), j = 1, 4, визначено в (9).
Виконаємо в системi (17) замiну
Φ(x, ε) = Z(x, ε) + Φ∗(x, ε),
де Z(x, ε) — блочна матриця з елементами Zj(x, ε), j = 1, 4. Тодi одержимо дифе-
ренцiальнi рiвняння
Z ′1 = A1(x)Z3 − Z2D1(ε) + F1(x, ε),
εZ ′2 = −Z2B(x)− εZ1C1(ε) + εA1(x)Z4 + F2(x, ε),
εZ ′3 = (B(x) + εB1(x))Z3 − εZ4D1(ε) + εB2(x)Z1 + F3(x, ε),
εZ ′4 = −Z4B(x) + (B(x) + εB1(x))Z4 − εZ3C1(ε) + εB2(x)Z2 + F4(x, ε),
(37)
де
F1(x, ε) = −Φ′1(x, ε)− Φ2(x, ε)D1(ε) +A1(x)Φ3(x, ε),
F2(x, ε) = −εΦ′2(x, ε)− εΦ1(x, ε)C1(ε)− Φ2(x, ε)B(x) + εA1(x)Φ4(x, ε),
F3(x, ε) = −εΦ′3(x, ε)− εΦ4(x, ε)D1(ε) + εB2(x)Φ1(x, ε)+
+εB1(x)Φ3(x, ε) +B(x)Φ3(x, ε),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
634 I. Г. КЛЮЧНИК
F4(x, ε) = −εΦ′4(x, ε)− εΦ3(x, ε)C1(ε)− Φ4(x, ε)B(x)+
+εB2(x)Φ2(x, ε) + εB1(x)Φ4(x, ε) +B(x)Φ4(x, ε).
Пiдставивши у вирази для Fi(x, ε), i = 1, 4, матрицi Φj , j = 1, 4, C1(ε), D1(ε)
вигляду (9), (15), одержимо, що Fi(x, ε) ∼ 0, i = 1, 4. При ε 6= 0 запишемо
еквiвалентнi до (37) iнтегральнi рiвняння
Z1(x, ε) =
∫
Γ(x)
(A1(t)Z3 − Z2D1(ε))dt+H1(x, ε),
Z2(x, ε) =
∫
Γ(x)
(A1(t)Z4 − Z1C1(ε))(Ṽ T (t, ε))−1dtṼ T (x, ε) +H2(x, ε),
(38)
Z3(x, ε) = Ũ(x, ε)
∫
Γ(x)
Ũ−1(t, ε)(B1(t)Z3 − Z4D1(ε)+
+B2(t)Z1)dt+H3(x, ε),
Z4(x, ε) = Ũ(x, ε)
∫
Γ(x)
Ũ−1(t, ε)(B1(t)Z4 − Z3C1(ε)+
+B2(t)Z2)(Ṽ T (t, ε))−1dtṼ T (x, ε) +H4(x, ε),
де Hi(x, ε), i = 1, 4, — вiдомi матрицi, до того ж Hi(x, ε) ∼ 0 при ε → 0; Ũ(x, ε),
Ṽ (x, ε) — фундаментальнi матрицi вiдповiдних диференцiальних рiвнянь εŨ ′ =
= B(x)Ũ , εṼ ′ = −BT (x)Ṽ ; Ṽ T (x, ε) — матриця, транспонована до Ṽ (x, ε); Γ(x)
— набiр шляхiв iнтегрування, кiнцi яких збiгаються з точкою x.
Згiдно з лемою з [5] у секторi
π(m− 1)
m+ 1
< arg(xε−m/(m+1)) <
π(m+ 3)
m+ 1
(39)
матрицi Ũ(x, ε), Ṽ (x, ε) можна записати у виглядi
Ũ(x, ε) = Λ1(ε)(xε−m/(m+1))σ(x,ε)Ω0Û(xε−m/(m+1))Ξ(x(m+1)/m, ε),
Ṽ (x, ε) = ΠŨ(x, ε),Ξ(x, ε) =
= diag
(
Ξ1(x, ε), . . . ,Ξm(x, ε)
)
= exp
(
m
m+ 1
xε−1Ωm+1
1
)
,
а в секторi
− 3π
m+ 1
< arg(xε−m/(m+1)) <
π
m+ 1
(40)
— у виглядi
Ũ(x, ε) = Λ1(ε)(xε−m/(m+1))σ(x,ε)Ω0Û(xε−m/(m+1))Ξ(x(m+1)/m, ε),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 635
Ṽ (x, ε) = ΠŨ(x, ε),Ξ(x, ε) = diag
(
Ξ1(x, ε), . . . ,Ξm(x, ε)
)
=
= exp
(
m
m+ 1
xε−1Ω
m/2
1
)
,
де σ(x, ε) =
0, якщо |xε−m/(m+1)| ≤ z0,
1, якщо |xε−m/(m+1)| > z0,
Λ1(ε), Ω0, Ωm+1
1 , Ω
m/2
1 — дiаго-
нальнi (m × m)-матрицi з дiагональними елементами {Λ1(ε)}jj = ε(j−1)/(m+1),
{Ω0}jj =
2j −m− 1
2m
, {Ωm+1
1 }jj = −ω−m+j−1
m , {Ωm/21 }jj = −ω−m/2+j
m , ωm =
= e2πi/m, j = 1,m; ненульовi елементи матрицi Π визначаються рiвностями
{Π}j,m+1−j = (−1)j ; матрицi Û(xε−m/(m+1)), Û−1(xε−m/(m+1)) рiвномiрно обме-
женi в областях (39), (40).
Виконавши в (38) замiну за формулами
W1(x, ε) = ε−(m−1)/(m+1)Z1(x, ε),
W2(x, ε) = Z2(x, ε)(Ṽ ∗
T
(x, ε))−1ε−(m−1)/(m+1),
(41)
W3(x, ε) = Ũ∗
−1
(x, ε)Z3(x, ε)ε−(m−1)/(m+1),
W4(x, ε) = Ũ∗
−1
(x, ε)Z4(x, ε)(Ṽ ∗
T
(x, ε))−1,
Ũ∗(x, ε) = Λ1(ε)(xε−m/(m+1))σ(x,ε)Ω0Û(xε−m/(m+1)),
Ṽ ∗(x, ε) = ΠŨ∗(x, ε),
одержимо iнтегральнi рiвняння вiдносно W (x, ε) вигляду
W (x, ε) = £(W (x, ε)) +H(x, ε), (42)
де
W (x, ε) =
W1(x, ε)
W2(x, ε)
W3(x, ε)
W4(x, ε)
, H(x, ε) =
H1(x, ε)
H2(x, ε)
H3(x, ε)
H4(x, ε)
,
£(W (x, ε)) =
L̃1(x, ε)
L̃2(x, ε)
L̃3(x, ε)
L̃4(x, ε)
,
L̃1(x, ε) = −
∫
Γ(x)
W2(t, ε)Ṽ ∗
T
(t, ε)D1(ε)dt+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
636 I. Г. КЛЮЧНИК
+
∫
Γ(x)
A1(t)Ũ∗(t, ε)W3(t, ε)dt+ ε−(m−1)/(m+1)H1(x, ε),
L̃2(x, ε) = −
∫
Γ(x)
W1(t, ε)C1(ε)
(
Ṽ ∗
T
(t, ε)
)−1
Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)dt+
+ε−(m−1)/(m+1)
∫
Γ(x)
A1(t)Ũ∗(t, ε)W4(t, ε)Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)dt+
+H2(x, ε)(Ṽ ∗
T
(x, ε))−1ε−(m−1)/(m+1),
L̃3(x, ε) =
∫
Γ(x)
Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)Ũ∗
−1
(t, ε)B1(t)Ũ∗(t, ε)W3(t, ε)dt−
−ε−(m−1)/(m+1)
∫
Γ(x)
Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)W4(t, ε)Ṽ ∗
T
(t, ε)D1(ε)dt+
+
∫
Γ(x)
Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)Ũ∗
−1
(t, ε)B2(t)W1(t, ε)dt+
+ε−(m−1)/(m+1)Ũ∗
−1
(x, ε)H3(x, ε),
L̃4(x, ε) =
∫
Γ(x)
Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)Ũ∗
−1
(t, ε)B1(t)×
×Ũ∗(t, ε)W4(t, ε)Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)dt−
−ε(m−1)/(m+1)
∫
Γ(x)
Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)W3(t, ε)C1(ε)×
×
(
Ṽ ∗
T
(t, ε)
)−1
Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)dt+
+ε(m−1)/(m+1)
∫
Γ(x)
Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)Ũ∗
−1
(t, ε)B2(t)×
×W2(t, ε)Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)dt+
+Ũ∗
−1
(x, ε)H4(x, ε)
(
Ṽ ∗
T
(x, ε)
)−1
.
Розв’язок рiвняння (42) будуємо методом послiдовних наближень, беручи за
нульове наближення W (0)(x, ε) ≡ 0,
W (l+1)(x, ε) = £(W (l)(x, ε)) +H(x, ε).
Основна мета подальших викладок полягає в тому, щоб встановити нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 637∥∥W (l+1)(x0, ε)−W (l)(x0, ε)
∥∥
0
≤
∥∥P (x0, ε)
∥∥∥∥W (l)(x0, ε)−W (l−1)(x0, ε)
∥∥
0
,
в якiй ‖P (x0, ε)‖ < 1. Використавши (42), оцiнимо норми ‖W (l+1)
j (x, ε)‖0, j =
= 1, 4 :
∥∥W (l+1)
1 (x, ε)
∥∥
0
≤ m
(∥∥W (l)
2 (x, ε)
∥∥
0
‖ÛT (xε−m/(m+1))‖0‖D1(ε)‖×
×
∫
j(x)
‖(tε−m/(m+1))σ(t,ε)Ω0Λ1(ε)‖|dt|+
+‖A1(x)‖0
∥∥W (l)
3 (x, ε)
∥∥
0
∥∥Û(xε−m/(m+1))
∥∥
0
×
×
∫
j(x)
‖Λ1(ε)(tε−m/(m+1))σ(t,ε)Ω0‖|dt|
)
+ ε−(m−1)/(m+1)‖H1(x, ε)‖0,
∥∥W (l+1)
2 (x, ε)
∥∥
0
≤ m
(∥∥C1(ε)
∥∥∥∥(Û(xε−m/(m+1))
)−1∥∥
0
×
×
∥∥W (l)
1 (x, ε)
∥∥
0
+ ‖A1(x)‖0
∥∥Û(xε−m/(m+1))
∥∥
0
∥∥W (l)
4 (x, ε)
∥∥
0
)
×
×
m∑
s=1
∫
js(x)
ε
(m−1)(σ(t,ε)−2)
2(m+1) |t|
(1−m)σ(t,ε)
2m Ξs(x
(m+1)/m − t(m+1)/m)||dt|
+
+ ε−(m−1)/(m+1)
∥∥H2(x, ε)
(
Ṽ ∗
T
(x, ε)
)−1∥∥
0
, (43)
∥∥W (l+1)
3 (x, ε)
∥∥
0
≤ m2
(
m
∥∥(Û(xε−m/(m+1))
)−1∥∥
0
∥∥B1(x)
∥∥
0
∥∥Û(xε−m/(m+1))
∥∥
0
×
×
∥∥W (l)
3 (x, ε)
∥∥
0
m∑
s=1
∫
js(x)
|t|
(1−m)σ(t,ε)
m ε
(m−1)(σ(t,ε)−1)
m+1 ×
×
∣∣Ξs(x(m+1)/m − t(m+1)/m)
∣∣|dt|+
+
(∥∥ÛT (xε−m/(m+1))
∥∥
0
‖D1‖‖W (l)
4 (x, ε)‖0+
+
∥∥(Û(xε−m/(m+1))
)−1∥∥
0
‖B2(x)‖0
∥∥W (l)
1 (x, ε)
∥∥
0
)
×
×
m∑
s=1
∫
js(x)
|t|
(1−m)σ(t,ε)
2m ε
(m−1)(σ(t,ε)−2)
2(m+1)
∣∣Ξs(x(m+1)/m − t(m+1)/m
)∣∣|dt|)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
638 I. Г. КЛЮЧНИК
+ε−(m−1)/(m+1)
∥∥(Ũ∗(x, ε))−1H3(x, ε)
∥∥
0
,
∥∥W (l+1)
4 (x, ε)
∥∥
0
≤ m2
∥∥(Û(xε−m/(m+1))
)−1∥∥
0
‖B1(x)‖0
∥∥Û(xε−m/(m+1))
∥∥
0
×
×
∥∥W (l)
4 (x, ε)
∥∥
0
m∑
k=1
m∑
s=1
∫
jks(x)
|t|
(1−m)σ(t,ε)
m ε
(m−1)(σ(t,ε)−1)
m+1 ×
×
∣∣∣Ξs(x(m+1)/m − t(m+1)/m)Ξk(x(m+1)/m − t(m+1)/m)
∣∣∣|dt|
+
+
(
‖C1(ε)‖
∥∥ÛT (xε−m/(m+1))
∥∥
0
‖W (l)
3 (x, ε)‖0+
+
∥∥(Û(xε−m/(m+1))
)−1∥∥
0
‖B2(x)‖0
∥∥W (l)
2 (x, ε)
∥∥
0
)
×
×
m∑
k=1
m∑
s=1
∫
jks(x)
|t|
(1−m)σ(t,ε)
2m ε
(m−1)σ(t,ε)
2(m+1) ×
×
∣∣Ξs(x(m+1)/m − t(m+1)/m) Ξk(x(m+1)/m − t(m+1)/m)
∣∣|dt|
+
+
∥∥(Ũ∗(x, ε))−1
H4(x, ε)
(
Ṽ ∗
T
(x, ε)
)−1∥∥,
де j(x) — вiдрiзок, який з’єднує точки 0 i x, а js(x), jks(x), k, s = 1,m, — набiр
шляхiв, кiнцi яких збiгаються з точкою x.
Будемо вибирати шляхи iнтегрування таким чином, щоб iнтеграли, якi мiстяться
в (43), були обмеженими при ε→ 0. Виконаємо замiну змiнних за формулами
τ = t(m+1)/m, ξ = x(m+1)/m. (44)
Область, яка визначена нерiвностями |x| ≤ x0, (39), при замiнi (44) переходить в
область δ +
π(m− 1)
m
≤ arg ξ ≤ π(m+ 3)
m
− δ, |ξ| ≤ x
(m+1)/m
0 . Тодi в облас-
тi
π(m− 1)
m
+ δ ≤ arg τ ≤ π(m+ 3)
m
− δ, |τ | ≤ x
(m+1)/m
0 , можна побудува-
ти вiдрiзки δs(ξ), s = 1,m, визначенi рiвняннями τ = ξ − ρeiϕs , в яких ρ =
= |ξ− τ |, ϕs — направляючий кут вiдрiзка δs(ξ), i на яких виконуються нерiвностi
Re
(
(ξ − τ)e2πi/m(s−1)
)
> 0, i кривi λks(ξ), k, s = 1,m, на яких виконуються не-
рiвностi Re
(
(ξ − τ)
(
e2πi(k−1)/m + e2πi(s−1)/m)
)
> 0. За js(x), jks(x), k, s = 1,m,
вiзьмемо шляхи, що є прообразами шляхiв δs(ξ), λks(ξ) при вiдображеннi (44).
Тодi експоненти в (43) будуть обмеженi вздовж вiдповiдних шляхiв iнтегрування.
Вкажемо методи оцiнювання iнтегралiв, якi мiстяться в (43), при цьому бу-
демо окремо розглядати випадки, коли величина |xε−m/(m+1)| обмежена, тобто
|xε−m/(m+1)| ≤ z0, i коли |xε−m/(m+1)| > z0. Увiвши позначення es =
2πi(s− 1)
m
,
оцiнимо iнтеграл
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 639
I =
m∑
s=1
∫
js(x)
|ε|
(m−1)(σ(t,ε)−2)
2(m+1) |t|
(1−m)σ(t,ε)
2m
∣∣e−m(x(m+1)/m−t(m+1)/m)es
ε(m+1)
∣∣|dt| =
=
m
m+ 1
m∑
s=1
∫
δs(ξ)
|ε|
(m−1)(σ(t,ε)−2)
2(m+1) |τ |−
2+(m−1)σ(t,ε)
2(m+1) |e
−m(ξ−τ)es
|ε|(m+1) ||dτ |. (45)
При |xε−m/(m+1)| ≤ z0 iнтеграл I1 вигляду (45) має оцiнку
I1 =
m|ε|
1−m
m+1
m+ 1
m∑
s=1
∫
δ1s(ξ)
|τ |−
1
m+1 e
−mRe((ξ−τ)es)
|ε|(m+1) |dτ | ≤
≤ 2m2|ε|
1−m
m+1
m+ 1
z
(m+1)/m
0 |ε|∫
0
|τ |−
1
m+1 |dτ | = 2mz0|ε|
1
m+1 .
При |xε−m/(m+1)| > z0 iнтеграл I2 вигляду (45) має оцiнку
I2 =
m|ε|
1−m
2(m+1)
m+ 1
m∑
s=1
∫
δ2s(ξ)
|τ |− 1
2
∣∣e−m(ξ−τ)es
|ε|(m+1)
∣∣ |dτ | ≤
≤ 2m|ε|−
m
m+1 z
− 1+m
2m
0
m+ 1
m∑
s=1
x
(m+1)/m
0 ∫
0
e
−mρ| cos(ϕs+(2π(s−1))/m)|
|ε|(m+1) dρ =
= 2z
− 1+m
2m
0 |ε|
1
m+1
m∑
s=1
(
1− e
−mx(m+1)/m
0 | cos(ϕs+(2π(s−1))/m)|
|ε|(m+1)
)
| cos(ϕs + (2π(s− 1))/m)|
,
де δjs(ξ), j = 1, 2,— частини шляху, що лежать вiдповiдно в областях |tε−m/(m+1)| ≤
≤ z0 i |tε−m/(m+1)| > z0.
Аналогiчно оцiнюється iнтеграл
m∑
k=1
m∑
s=1
∫
jks(x)
|t|
(1−m)σ(t,ε)
m |ε|
(m−1)(σ(t,ε)−1)
m+1 e
−mRe((x(m+1)/m−t(m+1)/m)(ek+es))
ε(m+1) |dt| =
=
m
m+ 1
m∑
k=1
m∑
s=1
∫
λks(ξ)
|τ |−
(m−1)σ(t,ε)+1
m+1 |ε|
(m−1)(σ(t,ε)−1)
m+1 e
−mRe((ξ−τ)(ek+es))
(m+1)|ε| |dτ | ≤
≤ m
m+ 1
m∑
k=1
m∑
s=1
∫
λks(ξ)
|τ |−
(m−1)σ(t,ε)+1
m+1 |ε|
(m−1)(σ(t,ε)−1)
m+1 |dτ | ≤
≤ 2m3x
1
m
0 + 2m2z0|ε|
1
m+1 . (46)
З (45), (46), врахувавши, що Hj(x, ε) ∼ 0, j = 1, 4, при ε → 0 отримаємо оцiнки
для норм ‖W (l+1)
j (x, ε)‖0 у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
640 I. Г. КЛЮЧНИК
∥∥W (l+1)
j (x, ε)
∥∥
0
≤
4∑
k=1
Ljk(x0, ε)
∥∥W (l)
k (x, ε)
∥∥
0
+ cjε
mj , (47)
де mj — невiд’ємнi цiлi числа, cj — сталi, l = 0, 1, 2, . . . ,
L14 = L23 = L32 = L41 = L11 = L22 = 0,
L12(x0, ε) = 2mε
m−1
2(m+1)
(
z0
√
ε+
2mx
(m+1)/2m
0
m+ 1
)∥∥ÛT (xε−m/(m+1))
∥∥
0
‖D1(ε)‖,
L13(x0, ε) = 2mε
m−1
2(m+1)
(
z0
√
ε+
2mx
(m+1)/2m
0
m+ 1
)
‖A1(x)‖0
∥∥Û(xε−m/(m+1))
∥∥
0
,
L21(x0, ε) = 2mε1/(m+1)L1(x0, ε)‖C1(ε)‖
∥∥(ÛT (xε−m/(m+1)))−1
∥∥
0
,
L24(x0, ε) = 2mε1/(m+1)L1(x0, ε)‖A1(x)‖0
∥∥Û(xε−m/(m+1))
∥∥
0
,
L34(x0, ε) = 2m2ε1/(m+1)L1(x0, ε)
∥∥ÛT (xε−m/(m+1))
∥∥
0
‖D1(ε)‖,
L33(x0, ε) = 2m4
(
z0ε
1/(m+1) +mx
1/m
0
)∥∥(Û(xε−m/(m+1)))−1
∥∥
0
×
×‖B1(x)‖0
∥∥Û(xε−m/(m+1))
∥∥
0
,
L31(x0, ε) = 2m2ε1/(m+1)L1(x0, ε)
∥∥(Û(xε−m/(m+1)))−1
∥∥
0
‖B2(x)‖0,
L44(x0, ε) = 2m5
(
mx
1/m
0 + z0ε
1/(m+1)
)
×
×
∥∥(Û(xε−m/(m+1)))−1
∥∥
0
‖B1(x)‖0
∥∥Û(xε−m/(m+1))
∥∥
0
,
L43(x0, ε) = 2m4ε
m−1
2(m+1)
(
z0ε
1/2 +
2m
m+ 1
x
(m+1)/2m
0
)
×
×‖C1(ε)‖
∥∥(ÛT (xε−m/(m+1))
)−1∥∥
0
,
L42(x0, ε) = 2m4ε
m−1
2(m+1)
(
z0ε
1/2 +
2m
m+ 1
x
(m+1)/2m
0
)
×
×
∥∥(Û(xε−m/(m+1))
)−1∥∥
0
‖B2(x)‖0,
в яких для сектора (39) функцiя L1(x0, ε) має вигляд
L1(x0, ε) = mz0 + z
−(1+m)/2m
0
m∑
s=1
1− e−
mx
(m+1)/m
0 | cos(ϕs+2π(s−1)/m)|
ε(m+1)
| cos(ϕs + 2π(s− 1)/m)|
,
а для сектора (40) — вигляд
L1(x0, ε) = mz0 + z
−(1+m)/2m
0
m∑
s=1
1− e−
mx
(m+1)/m
0 | cos(ϕs+π(2s−m)/m)|
ε(m+1)
| cos(ϕs + π(2s−m)/m)|
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 641
Склавши рiзницi W (l+1)(x, ε)−W (l)(x, ε), j = 1, 4, у рiвняннi (42), одержимо
оцiнки у виглядi∥∥W (l+1)(x0, ε)−W (l)(x0, ε)
∥∥
0
≤ ‖P (x0, ε)‖
∥∥W (l)(x0, ε)−W (l−1)(x0, ε)
∥∥
0
, (48)
в яких (4× 4)-матриця має вигляд P (x0, ε) = (Ljk(x0, ε)), j, k = 1, 4. Числа x0 i ε
вибираємо так, щоб виконувалась нерiвнiсть∥∥P (x0, ε)
∥∥ < 1, (49)
що забезпечить рiвномiрну збiжнiсть послiдовностей W
(l)
j (x, ε), j = 1, 4, l =
= 0, 1, 2, . . . , до функцiй Wj(x, ε) при |x| ≤ x0, 0 < ε ≤ ε0,
π(m− 1)
m+ 1
<
< arg(xε−m/(m+1)) <
π(m+ 3)
m+ 1
, − 3π
m+ 1
< arg(xε−m/(m+1)) <
π
m+ 1
. Мож-
на довести нескiнченну диференцiйовнiсть по x, ε iтерацiй W
(l)
j (x, ε), j = 1, 4,
l = 0, 1, . . . , а потiм, застосувавши теорему Арцела, одержати нескiнченну дифе-
ренцiйовнiсть функцiй Wj(x, ε) по x, ε при |x| ≤ x0, 0 < ε ≤ ε0,
π(m− 1)
m+ 1
<
< arg(xε−m/(m+1)) <
π(m+ 3)
m+ 1
, − 3π
m+ 1
< arg(xε−m/(m+1)) <
π
m+ 1
. Дови-
значимо функцiї Wj(x, ε), j = 1, 4, в точцi ε = 0 i |x| ≤ x0 таким чином:
W̃j(x, ε) =
Wj(x, ε), якщо 0 < ε ≤ ε0,
0, якщо ε = 0.
Тодi
∂W̃j(x, ε)
∂ε
∣∣∣∣
ε=0
= lim
ε→0
W̃j(x, ε)
ε
= lim
ε→
εmj−1C̃j(x, ε),
де C̃j(x, ε) = lim
l→∞
C̃
(l)
j (x, ε), C̃
(l)
j (x, ε) =
W
(l)
j (x, ε)
εmj
, j = 1, 4. Математичною
iндукцiєю можна довести нескiнченну диференцiйовнiсть по x i ε функцiї W̃j(x, ε)
при |x| ≤ x0 i ε = 0, до того ж
∂kW̃j(x, ε)
∂εk
∣∣∣∣
ε=0
=
(
εmj−k
∂kC̃j(x, ε)
∂εk
)∣∣∣∣∣
ε=0
= 0.
Тодi iз спiввiдношень (41) випливає нескiнченна диференцiйовнiсть розв’язкiв рiв-
нянь (37) по x i ε при |x| ≤ x0, 0 ≤ ε ≤ ε0,
π(m− 1)
m+ 1
< arg(xε−m/(m+1)) <
<
π(m+ 3)
m+ 1
, − 3π
m+ 1
< arg(xε−m/(m+1)) <
π
m+ 1
.
Таким чином, доведено наступну теорему.
Теорема 2. Якщо справджуються теорема 1 i нерiвнiсть (49), то матриця
U(x) +
∞∑
n=1
εnUn(x)
∞∑
n=1
εnVn1(x)
∞∑
n=1
εnUn1(x) V (x) +
∞∑
n=1
εnVn(x)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
642 I. Г. КЛЮЧНИК
є асимптотичним розвиненням при ε → 0 матрицi Φ(x, ε) у крузi |x| ≤ x0, яка є
розв’язком рiвняння (17). Матриця Φ(x, ε) є нескiнченно диференцiйовною по x, ε
в областi |x| ≤ x0, 0 ≤ ε ≤ ε0 дiйсних змiнних x, ε.
Висновки. У данiй статтi за допомогою замiни змiнних з матрицею перетво-
рення Φ(x, ε), яка є нескiнченно диференцiйовною по x i ε в областi |x| ≤ x0,
0 ≤ ε ≤ ε0 дiйсних змiнних x, ε, систему рiвнянь (1) зведено до системи (4), (5),
яка мiстить нескiнченно диференцiйовнi матрицi C1(ε), D1(ε) при 0 ≤ ε ≤ ε0.
1. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. –
М.: Мир, 1968. – 464 с.
2. Wasow W. Linear turning point theary. – New York Ins.: Springer, 1985. – 243 p.
3. Найфэ А. Методы возмущений. – М.: Мир, 1976. – 456 с.
4. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных урав-
нений. – М.: Наука, 1983. – 352 с.
5. Kohno M., Ohkohchi S., Kohmoto T. On full uniform simplification of even order linear differential
equations with a parameter // Hiroshima Math. J. – 1979. – 9. – P. 747 – 767.
6. Wasow W. Simplification of turning point problems for systems of linear differential // Trans. Amer.
Math. Soc. – 1963. – 106. – P. 100 – 114.
7. Самойленко А. М. Об асимптотическом интегровании одной системы линейных дифференциаль-
ных уравнений с малым параметром при части производных // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 11.
– С. 1505 – 1516.
8. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. – М.: Наука, 1990. – 528 с.
9. Ключник I. Г. Асимптотичнi розв’язки лiнiйної системи з малим параметром при частинi похiдних
// Нелiнiйнi коливання. – 2010. – 13, № 1. – С. 30 – 38.
Одержано 02.03.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2893 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:32:22Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/bb/0dc9cbddaf8533bd5957a8d4403acabb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28932020-03-18T19:39:51Z Linear system of differential equations with turning point Лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту Klyuchnyk, I. H. Ключник, І. Г. A system of linear differential equations with small parameter as a coefficient of a part of derivatives is reduced to the canonical form and the properties of the transformation matrix are investigated. Система линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных сводится к каноничной форме, а также изучаются свойства матрицы преобразования. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2893 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 5 (2010); 625–642 Український математичний журнал; Том 62 № 5 (2010); 625–642 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2893/2537 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2893/2538 Copyright (c) 2010 Klyuchnyk I. H. |
| spellingShingle | Klyuchnyk, I. H. Ключник, І. Г. Linear system of differential equations with turning point |
| title | Linear system of differential equations with turning point |
| title_alt | Лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту |
| title_full | Linear system of differential equations with turning point |
| title_fullStr | Linear system of differential equations with turning point |
| title_full_unstemmed | Linear system of differential equations with turning point |
| title_short | Linear system of differential equations with turning point |
| title_sort | linear system of differential equations with turning point |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2893 |
| work_keys_str_mv | AT klyuchnykih linearsystemofdifferentialequationswithturningpoint AT klûčnikíg linearsystemofdifferentialequationswithturningpoint AT klyuchnykih líníjnasistemadiferencíalʹnihrívnânʹztočkoûzvorotu AT klûčnikíg líníjnasistemadiferencíalʹnihrívnânʹztočkoûzvorotu |