Problem of large deviations for Markov random evolutions with independent increments in the scheme of asymptotically small diffusion
The problem of large deviations for random evolutions with independent increments is solved in the scheme of asymptotically small diffusion by passing to the limit in the nonlinear (exponential) generator of semigroups by using the solution of the problem of singular perturbation for a reducibly inv...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2894 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508887908614144 |
|---|---|
| author | Korolyuk, V. S. Королюк, В. С. |
| author_facet | Korolyuk, V. S. Королюк, В. С. |
| author_sort | Korolyuk, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:39:51Z |
| description | The problem of large deviations for random evolutions with independent increments is solved in the scheme of asymptotically small diffusion by passing to the limit in the nonlinear (exponential) generator of semigroups by using the solution of the problem of singular perturbation for a reducibly invertible operator. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:32:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
В. С. Королюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРОБЛЕМА ВЕЛИКИХ ВIДХИЛЕНЬ
ДЛЯ МАРКОВСЬКИХ ВИПАДКОВИХ ЕВОЛЮЦIЙ
З НЕЗАЛЕЖНИМИ ПРИРОСТАМИ
У СХЕМI АСИМПТОТИЧНО МАЛОЇ ДИФУЗIЇ*
The large deviation problem for random evolutions with independent increments in a scheme of asymptotically
small diffusion is solved by the limiting transition in the nonlinear (exponential) generator of semigroups with
the use of a solution of singular perturbation problem for reducible invertible operator.
Проблема больших отклонений для случайных эволюций с независимыми приращениями в схеме асим-
птотически малой диффузии решается граничным переходом в нелинейном (экспоненциальном) ге-
нераторе полугрупп с использованием решения проблемы сингулярного возмущения для приводимо
обратимого оператора.
1. Вступ. Проблема великих вiдхилень для випадкових процесiв є однiєю з трьох
основних проблем теорiї збiжностi випадкових процесiв, серед яких:
1) проблема усереднення або закон великих чисел;
2) проблема дифузiйної апроксимацiї або центральна гранична теорема;
3) проблема великих вiдхилень або асимптотична поведiнка експоненцiально
малих iмовiрностей.
Проблема великих вiдхилень має давню iсторiю. Iснують рiзноманiтнi мето-
ди дослiдження, якi описано у багатьох монографiях. Ми будемо використовувати
монографiю [1], в якiй розвинуто ефективний метод, що ґрунтується на теорiї збi-
жностi нелiнiйних (експоненцiальних) напiвгруп. У монографiї [2] для випадкових
еволюцiй наведено схеми алгоритмiв фазового укрупнення (усереднення та дифу-
зiйної апроксимацiї), в яких використано розв’язок проблеми сингулярного збурення
звiдно оборотних операторiв.
У данiй роботi пропонується поєднання цих алгоритмiв для розв’язування про-
блеми великих вiдхилень для випадкових еволюцiй з незалежними приростами у
схемi асимптотично малої дифузiї. Вiдповiдна випадкова еволюцiя задається сто-
хастичним адитивним функцiоналом [2] (§ 2.6)
ξ(t) = ξ0 +
t∫
0
η(ds;x(s)), t ≥ 0. (1)
Тут x(t), t ≥ 0, — марковський стрибковий процес перемикань у вимiрному (поль-
ському) просторi (E, E), що визначається генератором
Qϕ(x) = q(x)
∫
E
[ϕ(y)− ϕ(x)]P (x, dy), x ∈ E. (2)
Марковськi процеси з незалежними приростами в евклiдовому просторi Rd, d ≥ 1,
η(t;x), t ≥ 0, x ∈ E, задаються генераторами
*Виконано за пiдтримки гранта DFG Нiмеччини 436 UKR 113/94 та 113/97.
c© В. С. КОРОЛЮК, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5 643
644 В. С. КОРОЛЮК
Γ(x)ϕ(u) =
∫
Rd
[ϕ(u+ z)− ϕ(u)]Γ(dz;x), u ∈ Rd, x ∈ E. (3)
Випадкова еволюцiя (1) визначається генератором двокомпонентного марковського
процесу ξ(t), x(t), t ≥ 0, у виглядi [2] (лема 2.5)
Lϕ(u, x) = Qϕ(·, x) + Γ(x)ϕ(u, ·).
Схема усереднення для випадкової еволюцiї у схемi серiй з малим параметром
серiї ε→ 0 (ε > 0) визначається нормуванням [2] (§ 3.3)
εξ(t/ε), x(t/ε), t ≥ 0, ε→ 0 (ε > 0).
Схема дифузiйної апроксимацiї для випадкової еволюцiї у схемi серiй визнача-
ється нормуванням [2] (§ 3.4)
εξ(t/ε2), x(t/ε2), t ≥ 0, ε→ 0 (ε > 0).
У роботi вивчається проблема великих вiдхилень для випадкових еволюцiй
(1) – (3) у схемi серiй з малим параметром серiї ε → 0 (ε > 0), що визначається
нормуванням (див. [3], а також [1] (§ 10.1.6)):
ε2ξ(t/ε3), x(t/ε2), t ≥ 0, ε→ 0 (ε > 0). (4)
У другому пунктi демонструється ефективнiсть схеми серiй з малим параметром
серiї для розв’язування проблеми великих вiдхилень для процесiв з незалежними
приростами з нормуванням
ε2η(t/ε3), t ≥ 0, ε→ 0 (ε > 0).
У пунктi 3 обчислюється граничний експоненцiальний (нелiнiйний) оператор
для випадкової еволюцiї (1) – (3) з нормуванням (4) при додатковiй умовi (тоталь-
ного) балансу.
У пунктi 4 обчислюється граничний експоненцiальний оператор великих вiдхи-
лень для випадкової еволюцiї з нормуванням (4) при додатковiй умовi (локального)
балансу.
Зауваження 1. Розв’язок проблеми великих вiдхилень вимагає реалiзацiї чо-
тирьох етапiв (див. [1], роздiл 2):
1. Обчислення граничного експоненцiального (нелiнiйного) оператора, що ви-
значає великi вiдхилення.
2. Визначення експоненцiальної компактностi.
3. Визначення принципу порiвняння для граничного оператора.
4. Конструкцiя варiацiйного зображення функцiонала дiї, що визначає великi
вiдхилення.
У зв’язку з тим, що граничний оператор великих вiдхилень для випадкової
еволюцiї (1) є таким самим, як i для асимптотично малої дифузiї (див. [1], § 10.1),
етапи 2 – 4 у розглядуваному випадку реалiзовано в монографiї [1] (частина 1).
Зауваження 2. Обчислення граничного оператора великих вiдхилень для ви-
падкових еволюцiй (1) з асимптотично малою дифузiєю для простоти, не зменшу-
ючи загальностi, достатньо реалiзувати в одновимiрному евклiдовому просторi R,
тобто на числовiй осi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ПРОБЛЕМА ВЕЛИКИХ ВIДХИЛЕНЬ ДЛЯ МАРКОВСЬКИХ ВИПАДКОВИХ ЕВОЛЮЦIЙ . . . 645
2. Процеси з незалежними приростами з асимптотично малою дифузiєю.
Як вiдомо, генератор стрибкових процесiв з незалежними приростами η(t), t ≥ 0,
задається на тест-функцiях ϕ(u), u ∈ R, що належать банаховому просторовi B(R)
з нормою ‖ϕ‖ := supu∈R |ϕ(u)|, у такому виглядi:
Γϕ(u) =
∫
R
[ϕ(u+ z)− ϕ(u)]Γ(dz).
Мiра Левi Γ(dz) для простоти задовольняє умову
∃a > 0:
∫
R
eazΓ(dz) <∞.
Отже,
Γ(R) <∞, b :=
∫
R
zΓ(dz) <∞, B :=
∫
R
z2Γ(z) <∞.
Тодi у схемi усереднення має мiсце збiжнiсть
εη(t/ε)⇒ bt, ε→ 0.
Вiдповiдний генератор процесу
ηε(t) := εη(t/ε), t ≥ 0,
має вигляд
Γεϕ(u) = ε−1
∫
R
[ϕ(u+ εz)− ϕ(u)]Γ(dz).
Отже, на достатньо гладких тест-функцiях має мiсце асимптотичне зображення
Γεϕ(u) = bϕ′(u) + γεϕ(u)
зi знехтуваним членом∣∣γεϕ(u)
∣∣→ 0, ε→ 0, ϕ ∈ C2(R). (5)
У схемi дифузiйної апроксимацiї має мiсце збiжнiсть
εη(t/ε2)− bt/ε⇒ wσ(t), ε→ 0,
де wσ(t) — процес броунiвського руху з дисперсiєю σ2 = B. Вiдповiдний генератор
нормованого процесу
ηε(t) := εη(t/ε2)− bt/ε, t ≥ 0,
має вигляд
Γεϕ(u) = ε−2
∫
R
[
ϕ(u+ εz)− ϕ(u)− εzϕ′(u)
]
Γ(dz).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
646 В. С. КОРОЛЮК
Отже, на достатньо гладких тест-функцiях має мiсце асимптотичне зображення
Γεϕ(u) =
1
2
Bϕ′′(u) + γεϕ(u)
зi знехтуваним членом (5).
Розглянемо тепер процеси з незалежними приростами з асимптотично малою
дифузiєю:
ξε(t) = ε2η(t/ε3)− bt/ε, t ≥ 0, ε→ 0 (ε > 0), (6)
що визначаються генератором
Γεϕ(u) = ε−3
∫
R
[
ϕ(u+ ε2z)− ϕ(u)− ε2zϕ′(u)
]
Γ(dz). (7)
Отже, на достатньо гладких тест-функцiях має мiсце асимптотичне зображення
Γεϕ(u) = ε
1
2
Bϕ′′(u) + εγεϕ(u) (8)
зi знехтуваним членом (5).
Основний член у (8) визначає асимптотично малу дифузiю:
wσ
√
ε(t), t ≥ 0,
з дисперсiєю εB.
Розв’язування проблеми великих вiдхилень для процесiв (6) визначається гра-
ничним переходом в експоненцiальному операторi у схемi серiй (див. [1], роздiл 1)
Hεϕ(u) = e−ϕ(u)/εεΓεeϕ(u)/ε.
Пiсля перетворення з урахуванням вигляду (7) оператора Γε маємо
Hεϕ(u) = ε−2
∫
R
[
e∆εϕ − 1− εzϕ′(u)
]
Γ(dz),
де за означенням ∆εϕ := ε−1[ϕ(u+ ε2z)− ϕ(u)].
Тепер, застосовуючи формулу Тейлора до достатньо гладких тест-функцiй ϕ(u),
отримуємо асимптотичне зображення
Hεϕ(u) =
1
2
B[ϕ′(u)]2 + hεϕ(u)
зi знехтуваним членом
|hεϕ(u)| → 0, ε→ 0, ϕ(u) ∈ C2(R).
Твердження 1. Генератор
Hϕ(u) =
1
2
B[ϕ′(u)]2 (9)
розв’язує проблему великих вiдхилень для асимптотично малої дифузiї процесiв (6).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ПРОБЛЕМА ВЕЛИКИХ ВIДХИЛЕНЬ ДЛЯ МАРКОВСЬКИХ ВИПАДКОВИХ ЕВОЛЮЦIЙ . . . 647
Зауваження 3. Вiдомо (див., наприклад, [1], роздiл 10), що генератор (9) є
розв’язком проблеми великих вiдхилень для броунiвського руху wσ√ε(t), t ≥ 0, з
асимптотично малою дисперсiєю εσ2 = εB.
3. Випадковi еволюцiї з незалежними приростами з марковськими пере-
миканнями. Випадковi еволюцiї у схемi серiй з малим параметром серiї ε → 0
(ε > 0) задаються стохастичним адитивним функцiоналом (1) – (3) з нормуван-
ням (4). Основнi припущення є такими:
Π1. Марковський процес перемикань x(t), t ≥ 0, що задається генератором (2),
є рiвномiрно ергодичним зi стацiонарним розподiлом π(A), A ∈ E .
Π2. Умова тотального балансу:
b(x) :=
∫
R
zΓ(dz;x) ≡ 0.
Твердження 2. Розв’язок проблеми великих вiдхилень для випадкової еволюцiї
ζε(t) := ε2ξ(t/ε3), xε(t) := x(t/ε2), t ≥ 0, (10)
що задається породжуючим генератором
Lεϕ(u, x) = ε−2Qϕ(·, x) + Γε(x)ϕ(u, ·), (11)
де
Γε(x)ϕ(u) = ε−3
∫
R
[ϕ(u+ ε2z)− ϕ(u)]Γ(dz;x), (12)
визначається експоненцiальним генератором
Hϕ(u) =
1
2
B[ϕ′(u)]2.
Тут
B =
∫
E
π(dx)B(x), B(x) =
∫
R
z2Γ(dz;x).
Доведення. Граничний перехiд в експоненцiальному нелiнiйному генераторi
для випадкової еволюцiї (10) реалiзується на збурених тест-функцiях (див. [1],
роздiл 11)
ϕε(u, x) = ϕ(u) + ε ln[1 + εϕ1(u, x)].
Отже, маємо вiдправну формулу
Hεϕε = e−ϕ/ε[1 + εϕ1]−1εLεeϕ/ε[1 + εϕ1]. (13)
В результатi обчислення асимптотичної поведiнки в (13) з урахуванням (11), (12)
отримуємо такий результат.
Лема 1. Має мiсце асимптотичне зображення
Hεϕε = Qϕ1 +
1
2
B(x)[ϕ′(u)]2 + hε(x)ϕ(u)
зi знехтуваним членом
|hε(x)ϕ(u)| → 0, ε→ 0, ϕ(u) ∈ C3(R).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
648 В. С. КОРОЛЮК
Тепер з розв’язку проблеми сингулярного збурення для генератораQ одержуємо
зображення [2] (роздiл 5):
Hεϕε =
1
2
B[ϕ′(u)]2 + hε(x)ϕ(u),
ϕ1(u, x) =
1
2
R0B̃(x)[ϕ′(u)]2.
(14)
Тут B̃(x) := B(x) − B, а потенцiальний оператор R0 визначається розв’язком
рiвняння [2] (роздiл 1)
QR0 = R0Q = Π− I, Πϕ(x) :=
∫
E
π(dx)ϕ(x).
Зображення (14), а також очевидне спiввiдношення
|Hεϕε −Hϕ| → 0, ε→ 0, ϕ(u) ∈ C3(R),
завершують доведення твердження 2.
4. Випадковi еволюцiї з незалежними приростами в умовах локального
балансу. Тепер замiсть умови Π2 тотального балансу має мiсце умова локального
балансу
Π′2) b :=
∫
E
π(dx)b(x), b(x) :=
∫
R
zΓ(dz;x).
Випадкова еволюцiя при умовi Π′2 задається у схемi серiй з малим параметром
серiї ε→ 0 (ε > 0) в такiй формi:
ζε(t) = ε2ξ(t/ε3)− bt/ε, xε(t) = x(t/ε3), t ≥ 0. (15)
Вiдповiдний лiнiйний породжуючий генератор має вигляд
Lεϕ(u, x) =
[
ε−3Q+ Γεb(x)
]
ϕ(u, x), (16)
Γεb(x)ϕ(u) =
= ε−1b̃(x)ϕ′(u) + ε−3
∫
R
[
ϕ(u+ ε2z)− ϕ(u)− ε2zϕ′(u)
]
Γ(dz;x), (17)
b̃(x) := b(x)− b.
Твердження 3. Розв’язок проблеми великих вiдхилень для випадкової еволюцiї
(15) – (17) при умовi Π′2 визначається експоненцiальним генератором броунiвського
руху
Hϕ(u) =
1
2
B[ϕ′(u)]2,
B = B1 +B2, (18)
Bk =
∫
E
π(dx)Bk(x), k = 1, 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ПРОБЛЕМА ВЕЛИКИХ ВIДХИЛЕНЬ ДЛЯ МАРКОВСЬКИХ ВИПАДКОВИХ ЕВОЛЮЦIЙ . . . 649
B1(x) =
∫
R
z2Γ(dz;x), B2(x) = 2b̃(x)R0b̃(x).
Отже, перший доданок у (18) визначає вклад других моментiв еволюцiї, а дру-
гий — вклад флюктуацiй перших моментiв.
Доведення. Граничний перехiд в експоненцiальному генераторi для випадкової
еволюцiї (15) – (17), як i при доведеннi твердження 2, реалiзується на збурених
тест-функцiях
ϕε(u, x) = ϕ(u) + ε ln
[
1 + εϕ1(u, x) + ε2ϕ2(u, x)
]
.
Лема 2. Має мiсце асимптотичне зображення експоненцiального генерато-
ра випадкової еволюцiї (15) – (17)
Hεϕε = ε−1
[
Qϕ1 + b̃(x)ϕ′(u)
]
+
[
Qϕ2 +
1
2
B1(x)[ϕ′(u)]2 − ϕ1Qϕ1
]
+ hε(x)ϕ(u)
зi знехтуваним членом
|hε(x)ϕ(u)| → 0, ε→ 0, ϕ(u) ∈ C3(R).
Тепер розв’язок проблеми великих вiдхилень для випадкової еволюцiї (15) – (17)
в умовах локального балансу Π′2
Πb̃(x) :=
∫
E
π(dx)̃b(x) =
∫
E
π(dx)[b(x)− b] = 0
дають розв’язки проблем сингулярного збурення (див. [2], роздiл 5)
Qϕ1 + b̃(x)ϕ′(u) = 0, ϕ1 = R0b̃(x)ϕ′(u), (19)
Qϕ2 +
1
2
B(x)[ϕ′(u)]2 =
1
2
B[ϕ′(u)]2. (20)
При побудовi рiвняння (20) використано рiвнiсть (див. (19))
ϕ1Qϕ1 = −ϕ1b̃(x)ϕ′(u) =
1
2
B2(x)[ϕ′(u)]2.
Висновок. Експоненцiальний генератор випадкових еволюцiй (15) – (17) допу-
скає асимптотичне зображення
Hεϕε =
1
2
B[ϕ′(u)]2 + hε(x)ϕ(u)
зi знехтуваним членом
|hε(x)ϕ(u)| → 0, ε→ 0, ϕ(u) ∈ C3(R).
Твердження доведено.
Зауваження 4. Твердження 1 – 3 справджуються в евклiдовому просторiRd, d ≥
≥ 2, з iнтерпретацiєю граничного експоненцiального генератора в такiй формi:
Hϕ(u) =
1
2
ϕ′
∗
Bϕ′,
де ϕ′∗ := (ϕ′k(u), 1 ≤ k ≤ d) — вектор-рядок, ϕ′ := (ϕ′k(u), 1 ≤ k ≤ d) — вектор-
стовпчик, B := [Bkr; 1 ≤ k, r ≤ d] — матриця.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
650 В. С. КОРОЛЮК
Отже, експоненцiальний генератор великих вiдхилень для броунiвського руху
має зображення у виглядi квадратичної форми
Hϕ(u) =
d∑
k,i=1
Bkrϕ
′
kϕ
′
r, ϕ′k := ∂ϕ(u)/∂uk. (21)
Зауваження 5. Замкнений щiльно визначений оператор (21) розширюється на
простiр абсолютно неперервних функцiй
C1
b (Rd) :=
{
ϕ(u) ∈ C1(Rd) : ∃ lim
|u|→∞
ϕ(u) ≡ ϕ(∞), lim
|u|→∞
ϕ′(u) = 0
}
,
в якому реалiзується варiацiйне зображення функцiонала дiї, що визначає великi
вiдхилення асимптотично малої дифузiї (див. [1], частина 1).
Зауваження 6. Аналогiчно можна розв’язати проблему великих вiдхилень
для випадкових еволюцiй з локально незалежними приростами (див. [2], роздiл 2)
у схемi локальної асимптотично малої дифузiї.
Автор висловлює подяку проф. Ю. Г. Кондратьєву, який звернув його увагу на
монографiю [1].
1. Feng J., Kurtz T. G. Large deviation for stochastic processes // Math. Surveys and Monographs. – 2006.
– 131.
2. Koroliuk V. S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. – World Sci. Publ., 2005.
3. Моgulskii А. А. Large deviation for processes with independent increments // Ann. Probab. – 1993. –
21. – P. 202 – 215.
Одержано 04.02.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2894 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:32:21Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/68/1bce83dfdfa6113d0140f271fe429a68.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28942020-03-18T19:39:51Z Problem of large deviations for Markov random evolutions with independent increments in the scheme of asymptotically small diffusion Проблема великих відхилень для марковських випадкових еволюцій з незалежними приростами у схемі асимптотично малої дифузії Korolyuk, V. S. Королюк, В. С. The problem of large deviations for random evolutions with independent increments is solved in the scheme of asymptotically small diffusion by passing to the limit in the nonlinear (exponential) generator of semigroups by using the solution of the problem of singular perturbation for a reducibly invertible operator. Проблема больших отклонений для случайных эволюции с независимыми приращениями в схеме асимптотически малой диффузии решается граничным переходом в нелинейном (экспоненциальном) генераторе полугрупп с использованием решения проблемы сингулярного возмущения для приводимо обратимого оператора. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2894 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 5 (2010); 643–650 Український математичний журнал; Том 62 № 5 (2010); 643–650 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2894/2539 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2894/2540 Copyright (c) 2010 Korolyuk V. S. |
| spellingShingle | Korolyuk, V. S. Королюк, В. С. Problem of large deviations for Markov random evolutions with independent increments in the scheme of asymptotically small diffusion |
| title | Problem of large deviations for Markov random evolutions with independent increments in the scheme of asymptotically small diffusion |
| title_alt | Проблема великих відхилень для марковських випадкових еволюцій з незалежними приростами у схемі асимптотично малої дифузії |
| title_full | Problem of large deviations for Markov random evolutions with independent increments in the scheme of asymptotically small diffusion |
| title_fullStr | Problem of large deviations for Markov random evolutions with independent increments in the scheme of asymptotically small diffusion |
| title_full_unstemmed | Problem of large deviations for Markov random evolutions with independent increments in the scheme of asymptotically small diffusion |
| title_short | Problem of large deviations for Markov random evolutions with independent increments in the scheme of asymptotically small diffusion |
| title_sort | problem of large deviations for markov random evolutions with independent increments in the scheme of asymptotically small diffusion |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2894 |
| work_keys_str_mv | AT korolyukvs problemoflargedeviationsformarkovrandomevolutionswithindependentincrementsintheschemeofasymptoticallysmalldiffusion AT korolûkvs problemoflargedeviationsformarkovrandomevolutionswithindependentincrementsintheschemeofasymptoticallysmalldiffusion AT korolyukvs problemavelikihvídhilenʹdlâmarkovsʹkihvipadkovihevolûcíjznezaležnimiprirostamiushemíasimptotičnomaloídifuzíí AT korolûkvs problemavelikihvídhilenʹdlâmarkovsʹkihvipadkovihevolûcíjznezaležnimiprirostamiushemíasimptotičnomaloídifuzíí |