Summation of p-Faber series by the Abel–poisson method in the integral metric
We establish conditions on the boundary \( \Gamma \) of a bounded simply connected domain \( \Omega \subset \mathbb{C} \) under which the p-Faber series of an arbitrary function from the Smirnov space \( {E_p}\left( \Omega \right),1 \leqslant p < \infty \), can be summed by the Abel–Poisson m...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2896 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508890423099392 |
|---|---|
| author | Savchuk, V. V. Savchuk, M. V. Савчук, В. В. Савчук, М. В. |
| author_facet | Savchuk, V. V. Savchuk, M. V. Савчук, В. В. Савчук, М. В. |
| author_sort | Savchuk, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:39:51Z |
| description | We establish conditions on the boundary \( \Gamma \) of a bounded simply connected domain \( \Omega \subset \mathbb{C} \) under which the p-Faber series of an arbitrary function from the Smirnov space \( {E_p}\left( \Omega \right),1 \leqslant p < \infty \), can be summed by the Abel–Poisson method on the boundary of the domain up to the limit values of the function itself in the metric of the space \( {L_p}\left( \Gamma \right) \). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:32:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. В. Савчук (Iн-т математики НАН України, Київ),
М. В. Савчук (Iн-т пiдготовки кадрiв держ. служби зайнятостi України, Київ)
ПIДСУМОВУВАННЯ МЕТОДОМ АБЕЛЯ – ПУАССОНА
p-ФАБЕРОВИХ РЯДIВ В IНТЕГРАЛЬНIЙ МЕТРИЦI
We find conditions on a boundary Γ of a bounded simply connected domain Ω ⊂ C under which a p-Faber
series of arbitrary function from the Smirnov space Ep(Ω), 1 ≤ p < ∞, can be summed up by the Abel –
Poisson method on the boundary of the domain up to the limit values of the function itself in the metric of the
space Lp(Γ).
Найдены условия на границу Γ ограниченной односвязной области Ω ⊂ C, при которых p-фаберовый
ряд любой функции из пространства Смирнова Ep(Ω), 1 ≤ p < ∞, суммируется методом Абеля –
Пуассона на границе области до предельных значений самой функции в метрике пространства Lp(Γ).
1. У данiй роботi наведено результати дослiджень, пов’язаних з таким питанням.
Нехай Ω — обмежена однозв’язна область у комплекснiй площинi C зi спрямлюва-
ною жордановою межею Γ = ∂Ω, функцiя f ∈ Lp(Γ), 1 ≤ p ≤ ∞, i
C(f)(z) =
1
2πi
∫
Γ
f(ζ)
ζ − z
dζ, z ∈ Ω,
— її iнтеграл типу Кошi. Якщо вiдомо, що послiдовнiсть {fn}∞n=1 аналiтичних в
Ω функцiй, якi мають майже скрiзь на Γ кутовi граничнi значення, рiвномiрно
збiгається в Ω до C(f), то що можна сказати про limn→∞ fn(ζ), коли ζ ∈ Γ?
Бiльш точно, в роботi роль послiдовностi {fn}∞n=1 вiдiграє послiдовнiсть{
A%,p(f)
}
0≤%<1
, % = 1− 1/n, середнiх Абеля – Пуассона p-фаберового ряду функ-
цiї f з простору Смiрнова Ep, 1 ≤ p <∞, тобто
A%,p(f)(z) :=
∞∑
k=0
%kf̂k,pFk,p(z), 0 < % < 1,
i з’ясовується, за яких умов на межу Γ послiдовнiсть A%,p(f) збiгатиметься в p-
середньому на Γ до граничних значень функцiї f ∈ Ep, тобто матиме мiсце рiвнiсть
lim
%→1−
‖f −A%,p(f)‖Lp(Γ) = 0. (1)
Розглянуто також питання: коли обмеженiсть величини
Mp(f) := sup
0<%<1
∫
Γ
|A%,p(f)(z)|p |dz|
1/p
є критерiєм належностi iнтеграла типу Кошi C(f), f ∈ Lp(Γ), простору Ep?
Опишемо коротко будову статтi. В п. 2 наведено низку тверджень, якi мож-
на розцiнювати як попереднi вiдомостi щодо питань збiжностi середнiх Абеля –
Пуассона p-фаберових рядiв. Основний результат цього пункту (теорема 1) ствер-
джує, що для рiвностi (1) область Ω необхiдно має бути областю Смiрнова. В п. 3
дослiджено величини Mp(f) на предмет виконання еквiвалентностi: Mp(f) < ∞
c© В. В. САВЧУК, М. В. САВЧУК, 2010
660 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ПIДСУМОВУВАННЯ МЕТОДОМ АБЕЛЯ – ПУАССОНА p-ФАБЕРОВИХ РЯДIВ . . . 661
∀f ∈ Lp(Γ) ⇔ C(f) ∈ Ep ∀f ∈ Lp(Γ). Основний результат цього пункту (тео-
рема 2) стверджує, що така еквiвалентнiсть має мiсце при всiх скiнченних p > 1,
якщо межа Γ є регулярною кривою. В п. 4, який є основним у роботi, показано, що
вiдома умова С. Я. Альпера на межу Γ є достатньою умовою виконання рiвностi (1)
при p = 1 для всiх f ∈ E1.
2. Нехай Φ — функцiя, яка конформно i однолисто вiдображає область Ω− :=
:= Ĉ \ Ω на область D− := {w ∈ C : |w| > 1} так, що Φ(∞) = ∞, Φ′(∞) >
> 0, i нехай Ψ := Φ−1 — функцiя, обернена до Φ. Скрiзь далi довжина кривої Γ
покладається рiвною 2π, тобто
∫
T
|Ψ′(w)||dw| = 2π, де T := {w ∈ C : |w| = 1}
(щодо iнтегровностi функцiї Ψ′ див., наприклад, [1, с. 173]).
Простiр Смiрнова Ep = Ep(Ω), 1 ≤ p < ∞ (див., наприклад, [1, с. 203]), — це
простiр усiх аналiтичних в Ω функцiй f, для кожної з яких знайдеться послiдовнiсть
{Ωj}j≥1, Ωj ⊂ Ω, однозв’язних областей зi спрямлюваними жордановими межами
∂Ωj , яка вичерпує зсередини область Ω, така, що
sup
j
∫
∂Ωj
|f(w)|p|dw| <∞.
Аналогiчно означається простiр Ep(Ω−).
Через E∞(Ω) позначимо простiр обмежених аналiтичних в Ω функцiй, а через
A(Ω) — простiр функцiй, аналiтичних в Ω i неперервних в Ω з нормою ‖f‖A(Ω) =
= max
{
|f(z)| : z ∈ Ω
}
.
У випадку, коли Ω = D, простiр Смiрнова є простором Гардi i Ep(D) = Hp.
Вiдомо (див., наприклад, [1, с. 205]), що кожна функцiя f ∈ Ep(Ω) має майже
скрiзь на межi Γ кутовi граничнi значення, якi позначатимемо тiєю самою лiтерою
f. До того ж f ∈ Lp(Γ) i
‖f‖Ep
= ‖f‖p := ‖f‖Lp(Γ) :=
1
2π
∫
Γ
|f(ζ)|p|dζ|
1/p
<∞, якщо 1 ≤ p <∞,
i
‖f‖E∞ := sup
z∈Ω
|f(z)| = ‖f‖∞ := ‖f‖L∞(Γ) := ess sup
z∈Γ
|f(z)|.
Нехай 1 ≤ p ≤ ∞. p-Фаберовим многочленом степеня k, k = 0, 1, . . . , для
областi Ω називається многочлен Fk,p (див., наприклад, [2 – 4]), який збiгається з
правильною частиною розкладу функцiї Φk ·(Φ′)1/p в ряд Лорана в околi нескiнчен-
но вiддаленої точки. Таким чином,
F0,p(z) = (Φ′(∞))1/p, z ∈ Ω−,
i
Fk,p(z) = Φk(z) · (Φ′(z))1/p −Qk,p(z), k = 1, 2, . . . , z ∈ Ω−,
де Qk,p — певна функцiя з Ep(Ω−) така, що Qk,p(∞) = 0.
Для спрощення записiв покладемо Fk := Fk,∞.
Нехай ΓR := {z ∈ C : |Φ(z)| = R} , ΩR := int ΓR i Ω−R := ext ΓR, R ≥ 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
662 В. В. САВЧУК, М. В. САВЧУК
Нагадаємо основнi iнтегральнi рiвностi для p-фаберових многочленiв, якi ви-
пливають безпосередньо з означення та теореми Кошi:
1
2πi
∫
ΓR
Φk(ζ) (Φ′(ζ))
1/p dζ
ζ − z
=
Rk+1
2πi
∫
T
ζk(Ψ′(Rζ))1−1/p
Ψ(Rζ)− z
dζ =
=
0, z ∈ ΩR, k = −1,−2, . . . ,
Fk,p(z), z ∈ ΩR, k = 0, 1, 2, . . . ,
−Φk(z) · (Φ′(z))1/p, z ∈ Ω−R, k = −1,−2, . . . ,
Fk,p(z)− Φk(z) · (Φ′(z))1/p, z ∈ Ω−R, k = 0, 1, 2, . . . ,
(2)
де R ≥ 1, а iнтегрування проводиться в додатному напрямку.
Зазначимо, що при R = 1 пiд Ψ′(ζ), ζ ∈ T, розумiються кутовi граничнi
значення функцiї Ψ′, якi внаслiдок спрямлюваностi кривої Γ iснують майже в
кожнiй точцi кола T.
З рiвностей (2) легко отримати розвинення в ряд Лорана
(Ψ′(ζ))1−1/p
Ψ(ζ)− z
=
∞∑
k=0
Fk,p(z)
ζk+1
, (3)
який для даного фiксованого z ∈ ΩR, R ≥ 1, збiгається рiвномiрно й абсолютно
вiдносно ζ в областi {ζ : |ζ| > R}. До того ж для ζ ∈ T, тобто якщо ζ = eit,
t ∈ [0, 2π], ряд у правiй частинi (3) при z ∈ Ω є рядом Фур’є вiдповiдної функцiї,
тобто
(Ψ′(eit))1−1/p
Ψ(eit)− z
∼
∞∑
k=0
Fk,p(z)e
−i(k+1)t.
Нехай f ∈ Lp(Γ), 1 ≤ p ≤ ∞. Означимо послiдовнiсть чисел
f̂k,p :=
1
2πi
∫
T
(f ◦Ψ)(ζ)(Ψ′(ζ))1/pζ−k−1dζ, k ∈ Z,
i покладемо f̂k := f̂k,∞.
Послiдовностi
{
f̂k,p
}∞
k=−∞ i
{
f̂k
}∞
k=−∞ — це послiдовностi коефiцiєнтiв Фур’є
функцiй f ◦ Ψ · (Ψ′)1/p i f ◦ Ψ вiдповiдно, визначених та сумовних на колi T :=
:= {w ∈ C : |w| = 1}.
Розглянемо iнтеграл типу Кошi
C(f)(z) :=
1
2πi
∫
Γ
f(ζ)
ζ − z
dζ, z ∈ Ω,
в якому f ∈ L1(Γ).
Твердження 1. Нехай Ω — обмежена однозв’язна область зi спрямлюваною
жордановою межею Γ i f ∈ Lp(Γ), p ≥ 1. Тодi ряд
∞∑
k=0
f̂k,pFk,p (4)
збiгається до C(f) рiвномiрно всерединi областi Ω, якщо 1 < p <∞, i поточково
в Ω, якщо p = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ПIДСУМОВУВАННЯ МЕТОДОМ АБЕЛЯ – ПУАССОНА p-ФАБЕРОВИХ РЯДIВ . . . 663
Нагадаємо, що пiд рiвномiрною збiжнiстю всерединi областi розумiється рiвно-
мiрна збiжнiсть на будь-яких компактах, якi лежать в областi.
Позначимо через d(z,Γ) вiдстань вiд точки z до кривої Γ i покладемо
d(K,Γ) := min
z∈K
d(z,Γ).
Доведення. Нехай 1 < p <∞. За формулою (2) маємо рiвнiсть
C(f)(z)−
n−1∑
k=0
f̂k,pFk,p(z) =
1
2πi
∫
Γ
(
f(ζ)−
n−1∑
k=−n+1
f̂k,pΦ
k(ζ)(Φ′(ζ))1/p
)
dζ
ζ − z
,
з якої й випливає спiввiдношення∣∣∣∣∣C(f)(z)−
n−1∑
k=0
f̂k,pFk,p(z)
∣∣∣∣∣ ≤
≤ 1
d(K,Γ)
∥∥∥∥∥(f ◦Ψ)(·)(Ψ′(·))1/p −
n−1∑
k=−n+1
f̂k,pek(·)
∥∥∥∥∥
Lp(T)
→ 0, n→∞,
для всiх z на будь-якому компактi K ⊂ Ω. Тут покладено ek(ζ) := ζ−k, а також
використано той факт, що ряди Фур’є функцiй з Lp(T), 1 < p <∞, збiгаються до
своїх функцiй за Lp-нормою.
Нехай тепер p = 1. Факт поточкової збiжностi доводиться на основi формули
C(f)(z)−
n−1∑
k=0
f̂k,1Fk,1(z) =
=
1
2π
2π∫
0
(f ◦Ψ) (eit)Ψ′(eit)
(
1
Ψ(eit)− z
−
n−1∑
k=0
Fk,1(z)e−i(k+1)t
)
eitdt
з урахуванням того, що для кожного фiксованого z ∈ Ω функцiя t 7→ (Ψ(eit) −
−z)−1 є абсолютно неперервною на вiдрiзку [0, 2π], а отже, її ряд Фур’є збiгається
рiвномiрно на [0, 2π].
Ряд (4) називається p-фаберовим рядом, або рядом за p-фаберовими многочле-
нами iнтеграла типу Кошi (аналiтичної функцiї) C(f). Аналогiчно, якщо функцiя
f ∈ L∞(Γ), то iнтегралу типу Кошi C(f) можна поставити у вiдповiднiсть ряд
∞∑
k=0
f̂kFk(z), z ∈ Ω, (5)
який називається рядом Фабера функцiї C(f).
Розглянемо середнi Абеля – Пуассона рядiв (4) i (5):
A%,p(f)(z) :=
∞∑
k=0
%kf̂k,pFk,p(z), 0 < % < 1, 1 ≤ p ≤ ∞.
Твердження 2. Нехай 1 ≤ p < ∞, Ω — однозв’язна область, межею якої є
замкнена жорданова спрямлювана крива Γ i f ∈ Lp(Γ). Тодi середнi A%,p(f) при
%→ 1− збiгаються рiвномiрно всерединi областi Ω до C(f).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
664 В. В. САВЧУК, М. В. САВЧУК
Доведення за суттю збiгається з доведенням теореми 3 з [5] (гл. IX, § 3) iз
незначною модифiкацiєю до випадку p-фаберових многочленiв. Тому розглянемо
лише ключовi моменти.
Покладемо
fΨ := fΨ,p := f ◦Ψ · (Ψ′)1/p
i
ω(fΨ, t)p := sup
|h|≤t
∥∥fΨ(·)− fΨ(·eih)
∥∥
Lp(T)
, t ≥ 0.
Тодi для будь-якого z ∈ Ω
C(f)(z)−A%,p(f)(z) =
=
1
2π
2π∫
0
1
2π
∫
T
(
fΨ(ζ)− fΨ(ζeit)
)
(Ψ′(ζ))1/q
Ψ(ζ)− z
dζ
1− %2
|1− %eit|2
dt,
де 1/p+ 1/q = 1.
Внутрiшнiй iнтеграл оцiнимо за допомогою нерiвностi Гельдера:
1
2π
∣∣∣∣∣∣
∫
T
(
fΨ(ζ)− fΨ(ζeit)
)
(Ψ′(ζ))1/q
Ψ(ζ)− z
dζ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
1
2π
∫
T
∣∣fΨ(ζ)− fΨ(ζeit)
∣∣p |dζ|
1/p 1
2π
∫
T
|Ψ′(ζ)|
|Ψ(ζ)− z|q
dζ
1/q
≤
≤ 1
d(z,Γ)
ω(fΨ, t)p.
Отже, оскiльки ядро Пуассона (1− %2)/|1− %w|2 є δ-подiбним, для будь-якого
компакта K ⊂ Ω маємо спiввiдношення
max
z∈K
∣∣C(f)(z)−A%,p(f)(z)
∣∣ ≤
≤ 1
2πd(K,Γ)
2π∫
0
ω(fΨ, t)p
1− %2
|1− %eit|2
dt→ 0, %→ 1−,
яке й доводить твердження 2.
В [6] показано, що для будь-якої функцiї f ∈ A(Ω) її ряд Фабера поточково
пiдсумовується методом Абеля – Пуассона в Ω до f, тобто для будь-якої функцiї
f ∈ A(Ω)
lim
%→1−
A%,∞(f)(z) = f(z) ∀z ∈ Ω.
Нашою метою є з’ясування умов на межу Γ областi Ω, за яких рiвнiсть (1)
справджується для будь-якої функцiї f ∈ Ep(Ω).
Для функцiй f з простору Ep(Ω), p > 0, граничнi значення яких належать
L∞(Γ), будемо дослiджувати середнi A%,∞(f) також на предмет їх збiжностi в
слабкiй топологiї простору L∞(Γ), тобто на предмет виконання рiвностi
lim
%→1−
∫
Γ
A%,∞(f)gdσ =
∫
Γ
fgdσ, (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ПIДСУМОВУВАННЯ МЕТОДОМ АБЕЛЯ – ПУАССОНА p-ФАБЕРОВИХ РЯДIВ . . . 665
де g — будь-яка функцiя з L1(Γ), σ — нормована мiра Лебега на Γ.
На вiдмiну вiд збiжностi всерединi областi збiжнiсть середнiх A%,p в Lp(Γ)
iстотно залежить вiд геометричних властивостей кривої Γ. Ми покажемо, що ко-
жна з рiвностей (1) i (6) не може мати мiсця для всiх однозв’язних областей зi
спрямлюваними жордановими межами.
Нагадаємо наступнi означення i деякi факти.
Нехай ψ — конформне вiдображення круга D на область Ω. Оскiльки межа Γ є
спрямлюваною кривою, то похiдна ψ′ належить H1 i має канонiчну факторизацiю
вигляду (див, наприклад, [1, с. 111, 220])
ψ′ = λSQ,
де λ — число, |λ| = 1,
S(z) = exp
− 2π∫
0
eit + z
eit − z
dµ(t)
,
µ — обмежена неспадна функцiя, для якої µ′ = 0 майже скрiзь на [0, 2π] i
Q(z) = exp
1
2π
2π∫
0
eit + z
eit − z
log |ψ′(eit)|dt
.
Область Ω називається областю Смiрнова, якщо S ≡ 1, тобто, коли dµ — нуль-
мiра.
Вiдомо [7], що для щiльностi множини алгебраїчних многочленiв у просторi
Ep(Ω), 1 ≤ p <∞, необхiдно i достатньо, щоб область Ω була областю Смiрнова.
Областi Смiрнова вiдiграють головну роль також i у принципi максимуму для
аналiтичних функцiй з простору Ep(Ω), p > 0. А саме, як показали В. I. Смiрнов
[8] (див. також [1, с. 260]) i П. Дюрен [9], для аналiтичних функцiй простору Ep(Ω),
якi мають граничнi значення з простору L∞(Γ), принцип максимуму виконується
тодi i тiльки тодi, коли Ω є областю Смiрнова.
Як вперше показали М. В. Келдиш i М. О. Лаврентьєв [10] (див. також [1,
с. 229]), iснують обмеженi однозв’язнi областi зi спрямлюваними жордановими
межами, якi не є областями Смiрнова.
Теорема 1. Нехай Ω — обмежена однозв’язна область зi спрямлюваною жор-
дановою межею. Для того щоб рiвнiсть (1) виконувалась для будь-якої функцiї
f ∈ Ep(Ω), 1 ≤ p < ∞, а рiвнiсть (6) — для будь-якої функцiї f ∈ Ep(Ω), p > 0,
такої, що її граничнi значення f належать L∞(Γ), необхiдно, щоб область Ω була
областю Смiрнова.
Наступне твердження потрiбне для доведення теореми 1, проте воно має й
самостiйний iнтерес.
Лема 1. Нехай Ω — обмежена однозв’язна область зi спрямлюваною жорда-
новою межею, f — функцiя, аналiтична в Ω, яка має кутовi граничнi значення на
Γ з простору L∞(Γ). Якщо можна вказати таку послiдовнiсть функцiй {fn}∞n=1,
що:
1) fn ∈ E∞(Ω), n = 1,∞;
2) в кожнiй точцi z ∈ Ω fn(z)→ f(z) при n→∞;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
666 В. В. САВЧУК, М. В. САВЧУК
3) граничнi значення fn на межi Γ збiгаються при n → ∞ до граничних
значень f у слабкiй топологiї простору L∞(Γ),
то модуль функцiї f не досягає свого найбiльшого значення всерединi областi Ω i
|f(z)| ≤ ‖f‖L∞(Γ) ∀z ∈ Ω,
до того ж якщо хоча б в однiй точцi z ∈ Ω виконується рiвнiсть, то f ≡ const .
Наслiдок 1. Нехай Ω — обмежена однозв’язна область зi спрямлюваною жор-
дановою межею. Якщо для будь-якої функцiї f ∈ Ep(Ω), 1 ≤ p <∞, яка має гра-
ничнi значення з L∞(Γ), виконуються усi умови леми 1, то Ω — область Смiрнова.
Доведення леми 1. Нехай {fn}∞n=1 — послiдовнiсть, яка задовольняє умови 1 –
3, z — довiльна точка в Ω i ϕ — будь-яке конформне вiдображення Ω на D. Тодi
функцiя
ϕz(·) =
ϕ(·)− ϕ(z)
1− ϕ(z)ϕ(·)
здiйснює конформне вiдображення Ω на D так, що ϕz(z) = 0. Нехай ψz — кон-
формне вiдображення, обернене до ϕz. Тодi для кожної функцiї fn, n = 1, 2, . . . ,
внаслiдок того, що fn ◦ψz ∈ H∞, за теоремою про середнє справджується рiвнiсть
fn(z) = (fn ◦ ψz)(0) =
1
2πi
∫
T
(fn ◦ ψz)(w)
dw
w
=
=
1
2πi
∫
Γ
fn(ζ)
ϕ′z(ζ)
ϕz(ζ)
dζ =
∫
Γ
fn(ζ)|ϕ′z(ζ)|dσ(ζ), (7)
де
dσ(ζ) =
ϕ′z(ζ)
2πi|ϕ′z(ζ)|ϕz(ζ)
dζ ≥ 0 i
∫
Γ
dσ(ζ) =
1
2πi
∫
T
|ψ′z(w)|dw
w
= 1.
На пiдставi умов 2 i 3 граничним переходом при n → ∞ в рiвностях (7)
отримуємо формулу
f(z) =
∫
Γ
f(ζ)|ϕ′z(ζ)|dσ(ζ) ∀z ∈ Ω.
Звiдси маємо оцiнку
|f(z)| ≤
∫
Γ
|f(ζ)||ϕ′z(ζ)|dσ(ζ) =
=
∫
Γ
|f(ζ)ϕ′(ζ)| 1− |ϕ(z)|2∣∣∣1− ϕ(z)ϕ(ζ)
∣∣∣2 dσ(ζ) ≤ ‖f‖L∞(Γ) ∀z ∈ Ω. (8)
Оскiльки останнiй iнтеграл є гармонiчною мажорантою субгармонiчної функцiї |f |,
то за принципом максимуму для субгармонiчних функцiй усi рiвностi в (8) можливi
лише у випадку, коли f ≡ const .
Доведення теореми 1. Нехай f — довiльна функцiя з Ep(Ω). Покладемо f% =
=
∑∞
k=0
%kf̂k,pFk,p. Для даного ε > 0 виберемо % ∈ (0, 1) так, щоб ‖f−f%‖Ep(Ω) <
< ε. Оскiльки функцiя f% є аналiтичною в областi Ω1/%, то за теоремою Уолша
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ПIДСУМОВУВАННЯ МЕТОДОМ АБЕЛЯ – ПУАССОНА p-ФАБЕРОВИХ РЯДIВ . . . 667
(див., наприклад, [11, с. 53]) знайдеться алгебраїчний многочлен P% такий, що
‖f% − P%‖A(Ω) ≤ ε i тим бiльше ‖f% − P%‖Ep(Ω) < ε. Тому
‖f − P%‖Ep(Ω) ≤ ‖f − f%‖Ep(Ω) + ‖f% − P%‖Ep(Ω) < 2ε.
Отже, множина алгебраїчних многочленiв є щiльною в Ep(Ω), звiдки й випливає
за теоремою В. I. Смiрнова, що Ω — область Смiрнова.
Нехай тепер f — довiльна функцiя з Ep(Ω) така, що її граничнi значення нале-
жать L∞(Γ). Покладемо
fn(z) = A%,∞(f)(z), z ∈ Ω,
де % = 1− 1/n, n = 1, 2, . . . .
Зрозумiло, що функцiї fn належать A(Ω), n = 1, 2, . . . , i
|fn(z)| = |A%(f)(z)| = 1
2π
∣∣∣∣∣∣
∫
T
(f ◦Ψ)(w)
Ψ′(w/%)
Ψ(w/%)− z
dw
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ ‖f‖∞
d(n)
<∞ ∀z ∈ Ω,
де d(n) — вiдстань вiд кривої Γ до лiнiї рiвня Γ1−1/n.
Збiжнiсть fn(z)→ f(z) при n→∞ в областi Ω випливає зi спiввiдношення
|f(z)− fn(z)| ≤ ‖f‖∞
1
2π
∫
T
∣∣∣∣ Ψ′(w)
Ψ(w)− z
− Ψ′(w/%)
Ψ(w/%)− z
∣∣∣∣ |dw| ∀z ∈ D
за теоремою Ф. Рiса (див., наприклад, [1, с. 89]) на пiдставi того факту, що для
будь-якого фiксованого z ∈ Ω функцiя w 7→ Ψ′(w)/(Ψ(w)− z) належить простору
Гардi H1(D−).
Отже, якщо до того ж для функцiї f виконується й рiвнiсть (6), то послiдовнiсть
{fn}∞n=1 задовольняє одночасно всi умови леми 1.
Внаслiдок довiльностi функцiї f за наслiдком 1 це означає, що Ω — область
Смiрнова.
3. Нехай f ∈ Lp(Γ), 1 ≤ p <∞. Покладемо
Mp(f) := Mp(f,Ω) := sup
0<%<1
∫
Γ
|A%,p(f)(z)|p |dz|
1/p
.
Зауважимо, що у випадку, коли Ω = D
Mp(f) = sup
0<%<1
∫
T
|f(%z)|p |dz|
1/p
,
i за означенням f належить Hp тодi i тiльки тодi, коли Mp(f) <∞.
Природно виникає питання: чи збережеться така характеристична властивiсть
функцiоналiв Mp(·) i для функцiй iз простору Смiрнова?
Нагадаємо наступне означення. Спрямлювана жорданова крива Γ називається
регулярною, якщо iснує стала K > 0 така, що для будь-якого ζ ∈ Γ i r > 0
довжина тiєї її частини, яка мiститься у крузi {z ∈ C : |z−ζ| ≤ r}, не перевищує
числа Kr.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
668 В. В. САВЧУК, М. В. САВЧУК
Теорема 2. Нехай 1 < p <∞ i Ω — обмежена однозв’язна область зi спрям-
люваною жордановою межею Γ. Наступнi твердження є рiвносильними:
1) Γ — регулярна крива;
2) C(f) ∈ Ep(Ω) для будь-якої функцiї f ∈ Lp(Γ);
3) Mp(f) <∞ для будь-якої функцiї f ∈ Lp(Γ).
Рiвносильнiсть тверджень 1 i 2 – це вiдоме твердження Г. Давiда [12] (тео-
рема 3).
Доведення iмплiкацiї 1) =⇒ 3). Покладемо
G%(f)(ζ) := G%,p,Ω(f)(ζ) := (Φ′(ζ))1/p
∞∑
k=−∞
%|k|f̂k,p (Φ(ζ))
k
, ζ ∈ Γ.
Зрозумiло, що G%(f) ∈ Lp(Γ) i згiдно з (2)
A%,p(f)(z) =
1
2πi
∫
Γ
G%(f)(ζ)
dζ
ζ − z
∀z ∈ Ω, 0 ≤ % < 1.
Оскiльки у випадку регулярних кривих граничнi значення iнтеграла типу Кошi
для будь-якої функцiї з Lp(Γ) iснують майже скрiзь на Γ, то за теоремою Привалова
[1, с. 188] для майже всiх z ∈ Γ
A%,p(f)(z) = C(G%(f))(z) +
1
2
G%(f)(z), (9)
де C(G%)(f) — сингулярний iнтеграл типу Кошi функцiї G%(f).
Згiдно з [12] iснує число K > 0, незалежне вiд % i таке, що ‖C(G%(f))‖Lp(Γ) ≤
≤ K‖G%(f)‖Lp(Γ). Тут i далi символом K позначено константи в нерiвностях, якi
можуть бути рiзними для кожного окремого випадку.
Для Lp(Γ)-оцiнки другого доданка в правiй частинi (9) виконаємо замiну змiн-
них iнтегрування i зауважимо, що сума ряду
∑∞
k=−∞
%|k|f̂k,pw
k, w ∈ T, є iнте-
гралом Пуассона функцiї f ◦Ψ · (Ψ′)1/p. Тому
‖G%(f)‖pLp(Γ) =
1
2π
∫
T
∣∣∣∣∣
∞∑
k=−∞
%|k|f̂k,pw
k
∣∣∣∣∣
p
|dw| ≤
≤
∥∥∥f ◦Ψ · (Ψ′)1/p
∥∥∥p
Lp(T)
= ‖f‖pLp(Γ) ∀% ∈ [0, 1).
Отже,
Mp(f) ≤ K‖f‖Lp(Γ).
Доведення iмплiкацiї 3) =⇒ 2). Нехай %, r ∈ (0, 1) i ψ — будь-яке конформне
вiдображення круга D на область Ω. Покладемо для зручностi g% = A%,p(f). Вiдомо
(див., наприклад, [1, с. 204]), що g% ∈ Ep(Ω)⇔ g% ◦ ψ · (ψ′)1/p ∈ Hp. З останнього
випливає низка нерiвностей∫
Γr
|A%,p(f)(z)|p |dz| =
∫
T
|(g% ◦ ψ)(rw)|p|ψ′(rw)||dw| ≤
≤ sup
0<r<1
∫
T
|(g% ◦ ψ)(rw)|p|ψ′(rw)||dw| =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ПIДСУМОВУВАННЯ МЕТОДОМ АБЕЛЯ – ПУАССОНА p-ФАБЕРОВИХ РЯДIВ . . . 669
=
∫
T
|(g% ◦ ψ)(w)|p|ψ′(w)||dw| =
=
∫
Γ
|A%,p(f)(z)|p |dz| ≤Mp
p (f) <∞.
Згiдно з твердженням 2 A%,p(f) ⇒ f в областi Ω. Тому, переходячи до границi при
%→ 1 — у вищенаведених нерiвностях, за лемою Фату отримуємо спiввiдношення∫
Γr
|f(z)|p |dz| ≤Mp
p (f) <∞ ∀r ∈ (0, 1),
з якого й випливає, що f ∈ Ep(Ω).
Зауваження 1. Iмплiкацiя f ∈ Ep(Ω) =⇒ Mp(f) < ∞, взагалi кажучи, не
має мiсця для областей Ω, якi не є областями Смiрнова (областi з регулярними
межами складають пiдклас областей Смiрнова). Це видно з такого прикладу. Нехай
f = (ϕ′)1/p, де ϕ — конформне вiдображення Ω на D i {fn}∞n=1 — послiдовнiсть
функцiй, якi означаються формулою
fn(z) = A%,p(f)(z), z ∈ Ω, % = 1− 1/n.
Зрозумiло, що f ∈ Ep(Ω), fn ∈ A(Ω) i згiдно з твердженням 1 fn(z) ⇒ f(z),
n → ∞, в областi Ω. Якщо припустити до цього, що й Mp(f) < ∞, то будуть
виконанi всi умови теореми 15.3.1 в [1, с. 253], за якою Ω є областю Смiрнова.
Зауваження 2. Якщо Γ — регулярна крива, то за теоремою Привалова згiдно
з рiвнiстю (9) для будь-якої функцiї f ∈ Lp(Γ), 1 < p <∞, маємо
f(z)−A%,p(f)(z) =
1
2
(
f(z)−G%(f)(z)
)
+ C
(
f −G%(f)
)
(z)
для майже всiх z ∈ Γ. Звiдси на основi фактiв, викладених в доведеннi iмплiкацiї
1)⇒ 3), отримуємо нерiвнiсть
‖f −A%,p(f)‖pLp(Γ) ≤
K
2π
∫
T
∣∣∣∣∣(f ◦Ψ)(w)(Ψ′(w))1/p −
∞∑
k=−∞
%|k|f̂k,pw
k
∣∣∣∣∣
p
|dw|,
з якої випливає спiввiдношення (1).
4. Нехай θ(s) — кут мiж додатним напрямком дiйсної осi i дотичною до гладкої
кривої Γ у точцi M, яка по довжинi дуги на кривiй Γ знаходиться на вiдстанi s вiд
фiксованої точки кривої.
Спрямлювана гладка крива Γ називається кривою Альпера, якщо модуль непе-
рервностi ω(t, θ) функцiї θ(·) задовольняє умову
1∫
0
ω(t, θ)
1
t
ln
1
t
dt <∞.
Теорема 3. Нехай Ω — обмежена однозв’язна область, межею якої є кри-
ва Альпера. Тодi для будь-якої функцiї f ∈ E1(Ω) справджується рiвнiсть (1) i
M1(f) <∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
670 В. В. САВЧУК, М. В. САВЧУК
Доведення теореми ґрунтується на наступних твердженнях, в яких використано
такi позначення:
g%(w) :=
1
2π
2π∫
0
g(eit)
1− %2
|1− %e−itw|2
dt =
∞∑
k=−∞
%|k|ĝkw
k, w ∈ T, g ∈ L1(T),
i
F (w, ζ) :=
Ψ′(w)ζ
Ψ(w)−Ψ(ζ)
− ζ
w − ζ
.
Лема 2. Нехай Ω — обмежена однозв’язна область зi спрямлюваною жорда-
новою межею i R > 1. Тодi для будь-якої функцiї f ∈ E1(Ω) у майже всiх точках
w ∈ T справджуються рiвностi
∞∑
k=0
1
Rk
f̂k,1Fk,1(Ψ(w))Ψ′(w) =
= (f ◦Ψ ·Ψ′)1/R(w) +
1
2πi
∫
T
f ◦Ψ(ζ)Ψ′(ζ)(F (Rw, ζ)− F (w,Rζ))
dζ
ζ
. (10)
Доведення. На основi розвинення (3) маємо рiвнiсть
R
2πi
∫
T
(f ◦Ψ)(ζ)Ψ′(ζ)
(
Ψ′(w)
Ψ(Rζ)−Ψ(w)
− 1
Rζ − w
)
dζ =
=
∞∑
k=0
1
Rk
f̂k,1Fk,1(Ψ(w))Ψ′(w)−
∞∑
k=0
1
Rk
f̂k,1w
k,
а на основi теореми Смiрнова [1, с. 205] — рiвнiсть
1
2πi
∫
T
(f ◦Ψ)(ζ)Ψ′(ζ)
(
Ψ′(Rw)
Ψ(ζ)−Ψ(Rw)
− 1
ζ −Rw
)
dζ =
=
−1
2πi
∫
T
(f ◦Ψ)(ζ)Ψ′(ζ)
ζ −Rw
dζ =
∞∑
k=1
1
Rk
f̂−k,1w
−k ∀R > 1.
Вiднявши вiд першої рiвностi другу, пiсля елементарних перетворень отримає-
мо (10).
Лема 3. Нехай Ω — обмежена однозв’язна область, межею якої є крива
Альпера. Тодi
sup
1<R≤2
sup
ζ∈T
‖F (R·, ζ)‖L1(T) <∞, (11)
sup
1<R≤2
sup
w∈T
‖F (w,R·)‖L1(T) <∞, (12)
sup
1<R≤2
sup
ζ∈T
‖F (·, Rζ)‖L1(T) <∞ (13)
i для будь-якого ζ ∈ T
lim
R→1+
∥∥F (R·, ζ)− F (·, Rζ)
∥∥
L1(T)
= 0. (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ПIДСУМОВУВАННЯ МЕТОДОМ АБЕЛЯ – ПУАССОНА p-ФАБЕРОВИХ РЯДIВ . . . 671
Доведення. Спiввiдношення (11) по сутi доведене в [13]. Для доведення (12) i
(13) нагадаємо такi факти.
В [14, 15] (див. також [16], гл. VIII, § 1) показано, що за умов леми 3 похiдна
Ψ′ є неперервною i вiдмiнною вiд нуля в замкненiй областi T ∪ D−, а її модуль
неперервностi
ω(t,Ψ′) := sup
{
|Ψ′(w)−Ψ′(ζ)| : w, ζ ∈ T ∪ D−, |w − ζ| ≤ t
}
в цiй областi задовольняє умову
1∫
0
ω(t,Ψ′)
t
dt <∞. (15)
Зрозумiло, що внаслiдок цього iснують двi сталi K1 i K2 такi, що
0 < K1 ≤ |Ψ′(w)| ≤ K2 <∞ ∀w ∈ T ∪ D− (16)
i, як наслiдок останнього, iснують двi сталi K3 i K4 такi, що
0 < K3 ≤
|Ψ(w)−Ψ(ζ)|
|w − ζ|
≤ K4 <∞ ∀w, ζ ∈ T ∪ D−. (17)
Повертаючись до доведення (12), зазначимо, що для будь-яких w, ζ ∈ T i R > 1
справджується рiвнiсть
Ψ′(w)(w −Rζ)− (Ψ(w)−Ψ(Rζ)) =
=
w∫
Rζ
(Ψ′(w)−Ψ′(τ))dτ = −
∫
γ
+
∫
I
(Ψ′(w)−Ψ′(τ))dτ,
в якiй iнтегрування проводиться вздовж кривої, яка складається з меншої дуги
γ := ˜(z1, z2) кола T , що з’єднує точки z1 = w i z2 = ζ, та вiдрiзка I := I[z2, z3],
що з’єднує точки z2 i z3 = Rζ. На основi цiєї рiвностi та спiввiдношень (16) i (17)
для будь-яких w, ζ ∈ T i R ∈ (1, 2] отримуємо оцiнку
|F (w,Rζ)| = R
|Ψ′(w)(w −Rζ)− (Ψ(w)−Ψ(Rζ))|
|w −Rζ|2
|w −Rζ|
|Ψ(w)−Ψ(Rζ)|
≤
≤ 2
K3
|Ψ′(w)(w −Rζ)− (Ψ(w)−Ψ(Rζ))|
|w −Rζ|2
≤
≤ 2
K3|w − ζ|2
∫
γ
|Ψ′(w)−Ψ′(τ)||dτ |+ 4K2
K3
R− 1
|w −Rζ|2
≤
≤ 2ω (|1− wζ|,Ψ′)
K3|1− wζ|
+
12K2
K3
R2 − 1
|1−Rwζ|2
.
Iнтегруванням останнiх нерiвностей вiдносно w переконуємось у правильностi
(12), а iнтегруванням вiдносно ζ — у правильностi (13).
Покажемо тепер, що для будь-яких w, ζ ∈ T i R > 1 справджується рiвнiсть
F (Rw, ζ)− F (w,Rζ) =
1
2π
2π∫
0
(
F (we−it, ζ)− F (w, ζe−it)
) R2 − 1
|R− eit|2
dt. (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
672 В. В. САВЧУК, М. В. САВЧУК
В [15] показано, що
sup
ζ∈T
‖F (·, ζ)‖L1(T) <∞. (19)
Дослiвним повторенням мiркувань, використаних в доведеннi цього спiввiдношен-
ня, можна показати, що й
sup
w∈T
‖F (w, ·)‖L1(T) <∞.
Разом останнi два факти доводять iснування iнтеграла у правiй частинi (18).
Доведенi вище спiввiдношення (11) i (12) означають, що при кожному фiксо-
ваному ζ ∈ T функцiя F (·, ζ) є аналiтичною в D− i належить простору Гардi
H1(D−). Її граничнi значення iснують в усiх точках w ∈ T, оскiльки похiдна Ψ′ є
неперервною в T∪D−, можливо, за винятком точки w = ζ, i збiгаються з F (w, ζ).
Аналогiчно, при кожному фiксованому w ∈ T аналiтична в D− функцiя F (w, ·) на-
лежить простору Гардi H1(D−). Її граничнi значення iснують в усiх точках ζ ∈ T,
можливо, за винятком точки ζ = w, i збiгаються з F (w, ζ). Цi факти дозволяють
застосувати теорему Фiхтенгольца (див., наприклад, [1, с. 98]) до функцiй F (·, ζ) i
F (w, ·) вiдповiдно, за якою
F (Rw, ζ) =
1
2π
2π∫
0
F (eit, ζ)
R2 − 1
|R− e−itw|2
dt ∀R > 1, w ∈ T,
F (w,Rζ) =
1
2π
2π∫
0
F (w, eit)
R2 − 1
|R− e−itζ|2
dt ∀R > 1, ζ ∈ T.
Виконавши замiни змiнних iнтегрування в кожному з цих iнтегралiв i вiднявши
вiд першої рiвностi другу, отримаємо (18).
Оцiнюючи праву частину (18) за iнтегральною нерiвнiстю Мiнковського, отри-
муємо спiввiдношення
∥∥F (R·, ζ)− F (·, Rζ)
∥∥
L1(T)
≤ 1
2π
2π∫
0
∥∥F (·e−it, ζ)− F (·, ζe−it)
∥∥
L1(T)
R2 − 1
|R− eit|2
dt.
Звiдси внаслiдок δ-подiбностi ядра Пуассона (R2 − 1)/|R − eit|2 безпосередньо
випливає (14), оскiльки для будь-якого ζ ∈ T∥∥F (·e−it, ζ)− F (·, ζe−it)
∥∥
L1(T)
→ 0, t→ 0.
Справдi, для будь-якого ζ ∈ T∥∥F (·e−it, ζ)− F (·, ζe−it)
∥∥
L1(T)
≤
≤
∥∥F (·e−it, ζ)− F (·, ζ)
∥∥
L1(T)
+
∥∥F (·, ζ)− F (·, ζe−it)
∥∥
L1(T)
.
Перший доданок у правiй частинi нерiвностi прямує до нуля внаслiдок того, що
функцiя F (·, ζ) належить L1(T), i вiдомого твердження про iнтегральний модуль
гладкостi. Прямування до нуля другого доданка доводимо, застосовуючи теорему
Лебега про обмежену збiжнiсть на пiдставi спiввiдношення (19) i той факт, що для
всiх w ∈ T \ {ζ} F (w, ζ)− F (w, ζe−it)→ 0, t→ 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ПIДСУМОВУВАННЯ МЕТОДОМ АБЕЛЯ – ПУАССОНА p-ФАБЕРОВИХ РЯДIВ . . . 673
Доведення теореми 3. З формули (10) за допомогою iнтегральної нерiвностi
Мiнковського легко отримати оцiнку∥∥∥∥∥f −
∞∑
k=0
%kf̂k,1Fk,1
∥∥∥∥∥
L1(Γ)
≤
∥∥f ◦Ψ ·Ψ′ − (f ◦Ψ ·Ψ′)1/R
∥∥
L1(T)
+
+
1
2π
∫
T
|f ◦Ψ(ζ)Ψ′(ζ)| ‖F (R·, ζ)− F (·, Rζ)‖L1(T) |dζ|,
де % = 1/R, R > 1.
Перший доданок у правiй частинi цiєї нерiвностi прямує до нуля при R → 1+
за вiдомою теоремою (див., наприклад, [17, с. 54]). У другому доданку позначимо
через ϕR(ζ) пiдiнтегральний вираз. Згiдно з лемою 3 ϕR(ζ) → 0, R → 1+ для
всiх точок ζ ∈ T, в яких модуль |f ◦ Ψ(ζ)| є величиною скiнченною, тобто майже
скрiзь на T. До того ж для майже всiх ζ ∈ T ϕR(ζ) ≤ K|f ◦ Ψ(ζ)Ψ′(ζ)|, де стала
K є сумою величин у лiвих частинах (11) i (13). Отже, за теоремою Лебега про
обмежену збiжнiсть i другий доданок прямує до нуля при R→ 1 + .
1. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. – М.; Л.: Гостехиздат, 1950. – 336 с.
2. Кокилашвили В. М. О приближении аналитических функций класса Ep // Докл. АН СССР. – 1967.
– 177, № 2. – C. 261 – 264.
3. Дынькин Е. М. Скорость полиномиальной аппроксимации в Ep(G) // Докл. АН СССР. – 1976. –
231, № 3. – C. 529 – 531.
4. Andersson J.-E. On the degree of polynomial approximation in Ep(D) // J. Approxim. Theory. – 1977.
– 19. – P. 61 – 68.
5. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. – М.: Наука,
1977. – 508 с.
6. Tietz H. Zur Summierbarkeit von Faber – Reihen // Abh. Braunschweig. wiss. Ges. – 1992. – 43. –
S. 35 – 43.
7. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. – М.:
Наука, 1964. – 440 с.
8. Смирнов В. И. Избранные труды: Комплексный анализ. Математическая теория дифракции. – Л.:
Изд-во Ленингр. ун-та, 1988. – 280 с.
9. Duren P. Smirnov domains and conjugate functions // J. Approxim. Theory. – 1972. – 5. – P. 393 – 400.
10. Keldysch, Lavrentieff. Sur la représentation conforme des domaines limites par des courbes rectifiables
// Ann. sci. Ecole norm. supér. – 1937. – 54. – P. 1 – 38.
11. Уолш Дж. Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области.
– М.: Изд-во иностр. лит., 1961. – 508 с.
12. David G. Operateurs integraux singulers sur certaines courbex du plan complexe // Ann. sci. Ecole norm.
supér. – 1984. – 17, № 4. – P. 157 – 189.
13. Савчук М. В. Пiдсумовування методом типу Абеля – Пуассона рядiв за многочленами Фабера
другого роду в iнтегральнiй метрицi // Зб. пр. Iн-ту математики НАН України. – 2008. – 5, № 1. –
С. 324 – 333.
14. Warshawski S. Über das Randverhalten der Ableitung der Abbildungsfunktion bei konformer Abbildung
// Math. Z. – 1932. – 35. – P. 321 – 456.
15. Альпер С. Я. О равномерных приближениях функций комплексного переменного в замкнутой
области // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1955. – 19, № 6. – С. 423 – 444.
16. Суетин П. К. Ряды по многочленам Фабера. – М.: Наука, 1984. – 336 с.
17. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. – М.: Изд-во иностр. лит., 1963. –
311 с.
Одержано 04.12.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2896 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:32:24Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/23/770b76172e1e74b5d32476a9c09d6d23.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-28962020-03-18T19:39:51Z Summation of p-Faber series by the Abel–poisson method in the integral metric Підсумовування методом Абеля - Пуассона p-фаберових рядів в інтегральній метриці Savchuk, V. V. Savchuk, M. V. Савчук, В. В. Савчук, М. В. We establish conditions on the boundary \( \Gamma \) of a bounded simply connected domain \( \Omega \subset \mathbb{C} \) under which the p-Faber series of an arbitrary function from the Smirnov space \( {E_p}\left( \Omega \right),1 \leqslant p < \infty \), can be summed by the Abel–Poisson method on the boundary of the domain up to the limit values of the function itself in the metric of the space \( {L_p}\left( \Gamma \right) \). Найдены условия на границу \( \Gamma \) ограниченной односвязной области \( \Omega \subset \mathbb{C} \), при которых p-фаберовый ряд любой функции из пространства Смирнова \( {E_p}\left( \Omega \right),1 \leqslant p < \infty \), суммируется методом Абеля-Пуассона на границе области до предельных значений самой функции в метрике пространства \( {L_p}\left( \Gamma \right) \). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2896 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 5 (2010); 660–673 Український математичний журнал; Том 62 № 5 (2010); 660–673 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2896/2543 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2896/2544 Copyright (c) 2010 Savchuk V. V.; Savchuk M. V. |
| spellingShingle | Savchuk, V. V. Savchuk, M. V. Савчук, В. В. Савчук, М. В. Summation of p-Faber series by the Abel–poisson method in the integral metric |
| title | Summation of p-Faber series by the Abel–poisson method in the integral metric |
| title_alt | Підсумовування методом Абеля - Пуассона p-фаберових
рядів в інтегральній метриці |
| title_full | Summation of p-Faber series by the Abel–poisson method in the integral metric |
| title_fullStr | Summation of p-Faber series by the Abel–poisson method in the integral metric |
| title_full_unstemmed | Summation of p-Faber series by the Abel–poisson method in the integral metric |
| title_short | Summation of p-Faber series by the Abel–poisson method in the integral metric |
| title_sort | summation of p-faber series by the abel–poisson method in the integral metric |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2896 |
| work_keys_str_mv | AT savchukvv summationofpfaberseriesbytheabelpoissonmethodintheintegralmetric AT savchukmv summationofpfaberseriesbytheabelpoissonmethodintheintegralmetric AT savčukvv summationofpfaberseriesbytheabelpoissonmethodintheintegralmetric AT savčukmv summationofpfaberseriesbytheabelpoissonmethodintheintegralmetric AT savchukvv pídsumovuvannâmetodomabelâpuassonapfaberovihrâdívvíntegralʹníjmetricí AT savchukmv pídsumovuvannâmetodomabelâpuassonapfaberovihrâdívvíntegralʹníjmetricí AT savčukvv pídsumovuvannâmetodomabelâpuassonapfaberovihrâdívvíntegralʹníjmetricí AT savčukmv pídsumovuvannâmetodomabelâpuassonapfaberovihrâdívvíntegralʹníjmetricí |