Properties of reciprocal derivatives
New properties of reciprocal derivatives are established.
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2902 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508899232186368 |
|---|---|
| author | Katsala, R. A. Pahirya, M. M. Кацала, Р. А. Пагіря, М. М. |
| author_facet | Katsala, R. A. Pahirya, M. M. Кацала, Р. А. Пагіря, М. М. |
| author_sort | Katsala, R. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:39:51Z |
| description | New properties of reciprocal derivatives are established. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:32:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.518:519.652
М. М. Пагiря (Мукачiв. держ. ун-т),
Р. А. Кацала (Ужгород. нац. ун-т)
ВЛАСТИВОСТI ОБЕРНЕНИХ ПОХIДНИХ
New properties of reciprocal derivatives are established.
Установлены новые свойства обратных производных.
1. Вступ. Розвинення функцiй у ланцюговий дрiб належить до важливих задач
теорiї наближення разом iз наближеннями степеневими рядами, ортогональними
многочленами, апроксимацiями Паде i т. п. оскiльки такi розвинення можна ви-
користовувати для обчислення значень функцiй на комп’ютерi [1, 2]. Розвинення
функцiї у ланцюговий дрiб отримують iз розвинення функцiї у степеневий ряд
шляхом побудови вiдповiдного даному степеневому ряду правильного ланцюгово-
го C-дробу [3 – 6]. Можна також отримати розвинення функцiї в ланцюговий дрiб,
якщо скористатися формулою Тiле [7, 8]. У роботi [9] встановлено еквiвалентнiсть
цих двох способiв розвинення функцiй у правильний ланцюговий C-дрiб.
У 1909 р. Т. Н. Тiле у роботi [7] увiв до розгляду оберненi подiленi рiзницi,
за допомогою яких визначив оберненi похiднi для функцiї однiєї дiйсної змiнної й
отримав аналог формули Тейлора в теорiї ланцюгових дробiв. Властивостi оберне-
них рiзниць та обернених похiдних наведено в [7, 8, 10].
У данiй роботi ми встановимо деякi новi властивостi обернених похiдних.
2. Iнтерполяцiйний ланцюговий дрiб Тiле. Нехай функцiю f(x) ∈ C([α, β])
задано значеннями в точках множини
Λ =
{
xi : xi ∈ [α, β], i = 0, 1, . . . , n, xi 6= xj при i 6= j
}
,
i yi = f(xi), i = 0, 1, . . . , n.
За значеннями функцiї в точках множини Λ побудуємо iнтерполяцiйний лан-
цюговий дрiб Тiле (IЛДТ) [7]
Dn(x) = b0 +
x− x0
b1 +
x− x1
b2 + . . . +
x− xn−1
bn
= b0 +
n
K
k=1
x− xk−1
bk
. (1)
Коефiцiєнти bk, k = 0, 1, . . . , n, IЛДТ (1) можна визначити з умови yk = Dn(xk)
за допомогою одного з двох еквiвалентних методiв:
а) обчислити послiдовнiсть обернених подiлених рiзниць Φk[x0, . . . , xk; f(x)],
k = 0, . . . , n, за формулою [10, 11]
Φk
[
x0, . . . , xk; f(x)
]
=
=
xk − xk−1
Φk−1[x0, . . . , xk−2, xk; f(x)]− Φk−1[x0, . . . , xk−2, xk−1; f(x)]
,
де Φ0[x; f(x)] = f(x), а тодi bk = Φk[x0, . . . , xk; f(x)], k = 0, 1, . . . , n;
б) використати рекурентну формулу [12]
b0 = y0, bk =
xk − xk−1
−bk−1 + . . . +
xk − x1
−b1 +
xk − x0
yk − b0
, k = 1, 2, . . . , n.
c© М. М. ПАГIРЯ, Р. А. КАЦАЛА, 2010
708 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ВЛАСТИВОСТI ОБЕРНЕНИХ ПОХIДНИХ 709
Обернена подiлена рiзниця Φk[x0, . . . , xk; f(x)] є симетричною функцiєю лише
двох останнiх своїх аргументiв, xk−1, xk. Водночас, як показано в [10, 11], лiнiйна
комбiнацiя обернених подiлених рiзниць
ρk[x0, . . . , xk; f(x)] = Φk[x0, . . . , xk; f(x)] + Φk−2[x0, . . . , xk−2; f(x)] + . . .
. . .+ Φk−2[k/2]
[
x0, xk−2[k/2]; f(x)
]
,
яка називається оберненою рiзницею k-го порядку, симетрична вiдносно всiх своїх
k + 1 аргументу.
Якщо в оберненiй рiзницi k-го порядку перейти до границi при x0, x1, . . . , xk →
→ x, то отримаємо обернену похiдну k-го порядку [7], яку позначають через
(n)f(x). Отже,
(n)f(x) = lim
x0,x1,...,xn→x
ρn [x0, x1, . . . , xn; f(x)] , n = 1, 2, . . . ,
i, зокрема,
8f(x) = lim
x1,x2→x
x1 − x2
f(x1)− f(x2)
=
1
f ′(x)
. (2)
Для обчислення обернених похiдних вищих порядкiв використовують рекурент-
нi спiввiдношення
(0)f(x) = f(x), 8f(x) =
1
f ′(x)
,
(k)f(x) = k 8
(
(k−1)f(x)
)
+ (k−2)f(x), k = 2, 3, . . . .
(3)
Зауваження 1. Iз (3) випливає, що (k)f(x) 6= 8((k−1)f(x)) i
8
(
(k−1)f(x)
)
=
(k)f(x)− (k−2)f(x)
k
при k = 2, 3, . . . .
Якщо припустити, що iснують оберненi похiднi функцiї f(x) в околi точки x∗
до n-го порядку включно, то отримаємо формулу Тiле [7, 8]
f(x) ≈ f(x∗) +
x− x∗
8f(x∗) +
x− x∗
2 8 [8f(x∗)] +
x− x∗
3 8 [(2)f(x∗)] + . . . +
x− x∗
n 8 [(n−1)f(x∗)]
.
3. Властивостi обернених похiдних. Нехай функцiя f(x) у кожнiй точцi вiд-
рiзка [α, β] має похiднi (скiнченне значення, +∞ чи −∞) до n-го порядку, n > 1.
Твердження 1. 1. Нехай у деякiй точцi x0 ∈ (α, β), f ′(x0) = 0. Тодi 8f(x0) =
= +∞, якщо функцiя f(x) монотонно зростає в деякому околi точки x0, i 8f(x0) =
= −∞, якщо функцiя f(x) монотонно спадає в деякому околi точки x0.
2. Нехай у деякiй точцi x0 ∈ (α, β) f ′(x0) = ±∞, тодi 8f(x0) = 0.
Твердження 1 безпосередньо випливає iз (2) та властивостей похiдних [13, 14].
Зауваження 2. За аналогiєю iз „звичайними” похiдними для обернених похiд-
них можна означити обернену лiву похiдну 8f−(x), обернену праву похiдну 8f+(x)
та аналог похiдних чисел [15].
Iз твердження 1 та (3) безпосередньо випливає наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
710 М. М. ПАГIРЯ, Р. А. КАЦАЛА
Твердження 2. Нехай у деякiй точцi x0 ∈ (α, β) має мiсце (n−2)f(x0) = C,
де C = const, C 6= 0, |C| < ∞. Тодi: 1) якщо (n−1)f(x0) = 0, то (n)f(x0) = +∞,
якщо в деякому околi точки x0 обернена похiдна (n−1)f(x) монотонно зростає,
i (n)f(x0) = −∞, якщо обернена похiдна (n−1)f(x) монотонно спадає в деякому
околi точки x0; 2) якщо (n−1)f(x0) = ±∞, то (n)f(x0) = 0.
Твердження 3. Нехай iснують оберненi похiднi функцiй u = f(x) та v =
= g(x). Тодi оберненi похiднi суми, рiзницi, добутку та частки цих функцiй визна-
чаються за формулами
8(u± v) =
8u 8v
8v ± 8u
, (4)
8(u v) =
8u 8v
8uu+ 8v v
, (5)
8(u/v) =
v2 8u 8v
8v v − 8uu
. (6)
Зауваження 3. Iснування обернених похiдних функцiй u = f(x) та v = g(x)
гарантує iснування обернених похiдних їх суми, рiзницi, добутку та частки тiльки
в тому випадку, коли цi похiднi скiнченнi та вiдмiннi вiд нуля.
Припустимо, що правi частини в (4) – (6) визначено.
Доведення. Iз (2) маємо
8(u± v) =
1
(u± v)′
=
1
u′ ± v′
=
1
1/8u± 1/8v
=
8v 8u
8v ± 8u
.
Мiркуючи аналогiчно, у випадку добутку функцiй отримуємо
8(u v) =
1
(u v)′
=
1
u′ v + u v′
=
1
v/8u+ u/8v
=
8v 8u
8v v + 8uu
.
У випадку частки функцiй u i v маємо
8(u/v) =
1
(u/v)′
=
v2
u′ v − u v′
=
v2
v/8u− u/8v
=
v2 8v 8u
8v v − 8uu
.
Твердження 4. Для всiх n = 0, 1, 2, . . .
(2n)(Cf(x)) = C (2n)f(x) , (2n+1)(Cf(x)) =
1
C
(2n+1)f(x), C = const.
Доведення. Скористаємося методом повної математичної iндукцiї. При n = 0, 1
8(Cf(x)) = 1
C
8f(x),
88(Cf(x)) = 28(8(Cf(x))) + Cf(x) =
2(
1
C
8f(x)
)′ + Cf(x) = C 88f(x).
Припустимо, що твердження має мiсце при всiх n = 1, 2, . . . , k. Тодi при n = k+ 1
iз (3) отримуємо
(2k+2)(Cf(x)) =
2k + 2
((2k+1)(Cf(x)))′
+ (2k)(Cf(x)) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ВЛАСТИВОСТI ОБЕРНЕНИХ ПОХIДНИХ 711
=
2k + 2
( 1
C
(2k+1)f(x))′
+ C (2k)f(x) = C (2k+2)f(x),
(2k+3)(Cf(x)) =
2k + 3
((2k+2)(Cf(x)))′
+ (2k+1)(Cf(x)) =
=
2k + 3
(C (2k+2)f(x))′
+ 1
C
(2k+1)f(x) =
1
C
(2k+3)f(x) .
Отже, i в цьому випадку твердження справджується.
Твердження 5. Нехай C = const. Для кожного n = 0, 1, 2, . . . мають мiсце
спiввiдношення
(2n)(f(x) + C) = (2n)f(x) + C, (2n+1)(f(x) + C) = (2n+1)f(x) .
Доведення. Скористаємося методом повної математичної iндукцiї. Легко бачи-
ти, що при n = 0 твердження справджується. Припустимо, що воно справджується
при n = 1, . . . , k. Тодi при n = k + 1 iз (3) маємо
(2k+2)(f(x) + C) =
2k + 2
((2k+1)(f(x) + C))′
+ (2k)(f(x) + C) =
=
2k + 2
((2k+1)f(x))′
+ (2k)f(x) + C = (2k+2)f(x) + C,
(2k+3)(f(x) + C) =
2k + 3
((2k+2)(f(x) + C))′
+ (2k+1)(f(x) + C) =
=
2k + 3
((2k+2)f(x) + C)′
+ (2k+1)f(x) = (2k+3)f(x) .
I в цьому випадку твердження має мiсце.
Твердження 4 та 5 можна отримати з аналогiчних тверджень для обернених
рiзниць шляхом граничного переходу [10]. Крiм того, оберненi рiзницi мають на-
ступнi властивостi.
Твердження 6. Для кожного n = 0, 1, 2, . . .
ρ
[
x0, x1, . . . , x2n;
1
f(x)
]
=
1
ρ[x0, x1, . . . , x2n; f(x)]
,
ρ
[
x0, x1, . . . , x2n;
a+ bf(x)
c+ df(x)
]
=
a+ bρ [x0, x1, . . . , x2n; f(x)]
c+ dρ[x0, x1, . . . , x2n; f(x)]
,
де a, b, c, d — сталi.
Якщо у формулах твердження 6 перейти до границi при x1, x2, . . . , x2n → x,
то отримаємо наступнi властивостi для обернених похiдних парного порядку.
Твердження 7. При кожному n = 0, 1, 2, . . .
(2n)( 1
f(x)
)
=
1
(2n)f(x)
,
(2n)(a+ bf(x)
c+ df(x)
)
=
a+ b (2n)f(x)
c+ d (2n)f(x)
,
де a, b, c, d — сталi.
За допомогою методу повної математичної iндукцiї, використовуючи (4) та (5),
легко довести наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
712 М. М. ПАГIРЯ, Р. А. КАЦАЛА
Твердження 8. Якщо при кожному i, i = 1, 2, . . . , n, iснує 8fi(x), то
8
(
n∑
i=1
fi(x)
)
=
∏n
i=1
8fi(x)∑n
i=1
∏n
j=1
j 6=i
8fj(x)
, (7)
8
(
n∏
i=1
fi(x)
)
=
∏n
i=1
8fi(x)∑n
i=1
∏n
j=1
j 6=i
8fj(x) fj(x)
. (8)
Зауваження 4. Як наслiдок iз (8) випливає
8(f(x)n) =
8f(x)
n (f(x))n−1
.
Iз (4), (5) та (8) легко отримати наступнi допомiжнi твердження.
Твердження 9. Якщо функцiї u = f(x) та v = g(x) мають оберненi похiднi
до другого порядку включно, то
8(u 8u) =
8(8u)
8(8u) + u
, (9)
8(v 8v − u 8u) =
8(8u) 8(8v)
v 8(8u)− u 8(8v)
, (10)
8(v2 8u 8v) =
8(8u) 8(8v)
v2 8u 8(8u) + 2v 8u 8(8u) 8(8v) + v2 8v8(8v)
. (11)
Використосуючи (3), (4) – (6) та (9) – (11), можна встановити формули для зна-
ходження других обернених похiдних вiд суми, рiзницi, добутку та частки двох
функцiй.
Твердження 10. Якщо функцiї u = f(x) та v = g(x) мають оберненi похiднi
до другого порядку включно, то
88(u+ v) =
(8u+ 8v)2(88u− u)(88v − v)
(8u)2(88u− u) + (8v)2(88v − v)
+ u+ v,
88(u− v) =
(8v − 8u)2(88u− u)(88v − v)
(8v)2(88v − v)− (8u)2(88u− u)
+ u− v,
88(uv) =
(8uu+ 8vv)2(88u− u)(88v − v)
u(8u)2(88u− u)− 8u 8v(88u− u)(88v − v) + v(8v)2(88v − v)
+ uv,
88(u
v
)
=
(8vv − 8uu)2(88u− u)(88v − v)
v(v2 (8v)2(88v − v) + v 8u 8v(88v − v)(88u− u)− u(8u)2 88v(88u− u))
+
u
v
.
Зауваження 5. Iз твердження 10 випливає, що питання iснування формули
n-ї оберненої похiдної для суми, добутку та частки двох функцiй, тобто деякого
аналога формули Лейбнiца, залишається вiдкритим.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ВЛАСТИВОСТI ОБЕРНЕНИХ ПОХIДНИХ 713
Твердження 11. Нехай функцiя y = f(x) у точцi x = x0 має обернену
похiдну 8f(x0), для функцiї f(x) iснує однозначна обернена функцiя x = g(y), яка
неперервна у вiдповiднiй точцi y = y0, де y0 = f(x0). Тодi обернена похiдна 8g(y0)
також iснує i виконується
8g(y0) =
1
8f(x0)
.
Доведення. З означення оберненої похiдної та умов, якi накладено на функцiю
f(x), випливає [13], що обернена функцiя g(x) має похiдну в точцi y0 i g′(y0) =
= 1/f ′(x0). Тодi
8g(y0) =
1
g′(y0)
=
1
1/f ′(x0)
=
1
8f(x0)
.
Твердження 12. Нехай функцiя y = f(x) має обернену похiдну в точцi x0, а
функцiя z = g(y) має обернену похiдну в точцi y0 = f(x0). Тодi складна функцiя
z = F (x) = g (f(x)) також має в точцi x0 обернену похiдну, до того ж
8F (x0) = 8g(y0) · 8f(x0).
Доведення. При умовах, накладених на функцiю f(x), з означення оберненої
похiдної випливає [13], що складна функцiя F (x) має похiдну в точцi x0 i F ′(x0) =
= g′(y0)f ′(x0). Тодi
8F (x0) =
1
F ′(x0)
=
1
g′(y0)f ′(x0)
=
1
g′(y0)
· 1
f ′(x0)
= 8g(y0)8f(x0).
1. Khovanskii A. N. The application of continued fractions and their generalizations to problems in approxi-
mation theory. – Groningen: P. Noordhoff, 1963. – 212 p.
2. Пагiря М. М., Кацала Р. А. Розвинення деяких функцiй у ланцюговi дроби // Наук. вiсн. Ужгород.
ун-ту. Математика i iнформатика. – 2007. – Вип. 14 – 15. – С. 107 – 116.
3. Wall H. S. Analytic theory of continued fractions. – New York: D. Van Nostrand Co., 1948. – 433 p.
4. Perron O. Die Lehre von den Kettenbrüchen. – Stuttgart: Teubner, 1957. – Bd II. – 315 S.
5. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. – М.: Мир, 1985.
– 414 с.
6. Скоробогатько В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной
математике. – М.: Наука, 1983. – 312 с.
7. Thiele T. N. Interpolationsprechnung. – Leipzig: Commisission von B. G. Teubner, 1909.– XII + 175 S.
8. Nörlund N. E. Vorlesungen über Differenzenrechnung. – Berlin: Springer, 1924. – 551 S.
9. Пагiря М. М., Кацала Р. А. Еквiвалентнiсть двох методiв побудови правильних ланцюгових C-
дробiв // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 7. – С. 1005 – 1009.
10. Микеладзе Ш. Е. Численные методы математического анализа. – М.: Гостехтеориздат, 1953. –
527 с.
11. Hildebrand F. B. Introduction to numerical analysis. – 2nd ed. – New York: Dover Publ., Inc, 1987. –
669 p.
12. Пагiря М. М. Iнтерполяцiя функцiй ланцюговим дробом та гiллястим ланцюговим дробом спецi-
ального виду // Наук. вiсн. Ужгород. ун-ту. Сер. мат. – 1994. – Вип. 1. – С. 72 – 79.
13. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. – М.: Наука,
1969. – Т. I. – 608 с.
14. Харди Г. Х. Курс чистой математики. – М.: Изд-во иностр. лит., 1949.– 512 с.
15. Титчмарш Е. Теория функций. – 2-е изд., перераб. – М.: Наука, 1980. – 464 с.
Одержано 15.07.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2902 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:32:32Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6c/35a712fc931a52890fed5f96be22dc6c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29022020-03-18T19:39:51Z Properties of reciprocal derivatives Властивості обернених похідних Katsala, R. A. Pahirya, M. M. Кацала, Р. А. Пагіря, М. М. New properties of reciprocal derivatives are established. Установлены новые свойства обратных производных. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2902 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 5 (2010); 708–713 Український математичний журнал; Том 62 № 5 (2010); 708–713 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2902/2555 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2902/2556 Copyright (c) 2010 Katsala R. A.; Pahirya M. M. |
| spellingShingle | Katsala, R. A. Pahirya, M. M. Кацала, Р. А. Пагіря, М. М. Properties of reciprocal derivatives |
| title | Properties of reciprocal derivatives |
| title_alt | Властивості обернених похідних |
| title_full | Properties of reciprocal derivatives |
| title_fullStr | Properties of reciprocal derivatives |
| title_full_unstemmed | Properties of reciprocal derivatives |
| title_short | Properties of reciprocal derivatives |
| title_sort | properties of reciprocal derivatives |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2902 |
| work_keys_str_mv | AT katsalara propertiesofreciprocalderivatives AT pahiryamm propertiesofreciprocalderivatives AT kacalara propertiesofreciprocalderivatives AT pagírâmm propertiesofreciprocalderivatives AT katsalara vlastivostíobernenihpohídnih AT pahiryamm vlastivostíobernenihpohídnih AT kacalara vlastivostíobernenihpohídnih AT pagírâmm vlastivostíobernenihpohídnih |