Quasiperiodic solutions of degenerate linear systems of second-order ordinary differential equations
We establish sufficient conditions for the existence of quasiperiodic solutions of a system of ordinary second-order differential equations with degenerate symmetric matrix of the second derivatives for an arbitrary quasiperiodic inhomogeneity.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2908 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508903290175488 |
|---|---|
| author | Er’omenko, V. O. Aliluiko, A. M. Єрьоменко, В. О. Алілуйко, А. М. |
| author_facet | Er’omenko, V. O. Aliluiko, A. M. Єрьоменко, В. О. Алілуйко, А. М. |
| author_sort | Er’omenko, V. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:12Z |
| description | We establish sufficient conditions for the existence of quasiperiodic solutions of a system of ordinary second-order differential equations with degenerate symmetric matrix of the second derivatives for an arbitrary quasiperiodic inhomogeneity. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:32:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.919
В. О. Єрьоменко, А. М. Алiлуйко (Тернопiл. нац. екон. ун-т)
КВАЗIПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ
СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
ДРУГОГО ПОРЯДКУ
We establish sufficient conditions for the existence of quasiperiodic solution of a system of ordinary second-
order differential equations having a singular symmetric matrix with second-order derivatives for the case of
arbitrary quasiperiodic inhomogeneity.
Установлены достаточные условия существования квазипериодического решения системы обыкновен-
ных дифференциальных уравнений второго порядка с вырожденной симметрической матрицей при
производных второго порядка для произвольной квазипериодической неоднородности.
1. Об’єктом дослiдження в данiй роботi є система диференцiальних рiвнянь
ϕ̇ = ω, εA(ϕ)ẍ+B(ϕ)ẋ+ C(ϕ)x = f(ϕ), (1)
де ϕ ∈ Rm, ω = (ω1, . . . , ωm) — частотний базис, x ∈ Rn; дiйснi квадратнi матрицi
A(ϕ), B(ϕ), C(ϕ) та n-вимiрний вектор f(ϕ) визначенi при всiх ϕ ∈ Rm i 2π-
перiодичнi за кожною змiнною ϕi, i = 1,m, тобто заданi на m-вимiрному торi
Tm; крапка означає диференцiювання по незалежнiй змiннiй t, ε — малий додатний
параметр. При цьому матриця A(ϕ) є симетричною i вироджується на множинi
довiльної структури.
Вивчається задача про iснування гладкого квазiперiодичного розв’язку системи
(1) для довiльної неоднорiдностi f(ϕ).
Система вигляду (1) для випадку ϕ = t ∈ [a, b] i несиметричної матрицi A(t) до-
слiджувалася в [1] при певних припущеннях, одним iз яких є сталiсть рангу матрицi
A(t). Для випадку ϕ ∈ Rm, x ∈ R1 у повiдомленнi [2] наведено достатнi умови
iснування квазiперiодичного розв’язку на основi вивчення виродженого скалярного
рiвняння Рiккатi. У данiй роботi виконано узагальнення останнього результату.
Нехай Cr(Tm) — простiр векторних або матричних функцiй F (ϕ), ϕ = (ϕ1, . . .
. . . , ϕm), що набувають дiйсних значень, перiодичних iз перiодом 2π по кожнiй
iз змiнних ϕi, i = 1,m, i таких, що є неперервними разом з усiма похiдними
до порядку r включно; Hr(Tm) — простiр функцiй, iнтегровних iз квадратом на
Tm разом з усiма узагальненими похiдними до порядку r включно; ( · , · )r —
скалярний добуток у просторi Hr(Tm), ‖ · ‖2r = ((1 −∆)r · , · )◦, ∆ =
∑m
i=1
∂2
∂ϕ2
i
,
( · , · )◦ =
1
(2π)m
∫ 2π
0
. . .
∫ 2π
0
〈 · , · 〉dϕ1 . . . dϕm, 〈 · , · 〉 — скалярний добуток у Rn,
|F (ϕ)|r = max
0≤|ρ|≤r
max
ϕ∈Tm,
‖D(ρ)F (ϕ)‖, де ρ = (ρ1, ρ2, . . . , ρm) — цiлочисловий вектор
iз невiд’ємними координатами, |ρ| = ρ1 +ρ2 + . . .+ρm i Dρ =
∂|ρ|
∂ϕρ11 ∂ϕ
ρ2
2 . . . ∂ϕρmm
,
‖ · ‖ — евклiдова векторна або узгоджена матрична норма.
2. Система рiвнянь (1) рiвносильна системi
ϕ̇ = ω,
(
In 0
0 εA(ϕ)
)
Ẋ =
(
0 In
−C(ϕ) −B(ϕ)
)
X +
(
0
f(ϕ)
)
, (2)
c© В. О. ЄРЬОМЕНКО, А. М. АЛIЛУЙКО, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 773
774 В. О. ЄРЬОМЕНКО, А. М. АЛIЛУЙКО
де In — одинична n-вимiрна матриця, X = col(x, ẋ).
Позначимо
V (ϕ, ε) =
(
In + εA(ϕ)Z(ϕ, ε) 0
−εA(ϕ)Z(ϕ, ε) In
)
, W (ϕ, ε) =
(
In 0
Z(ϕ, ε) In
)
, (3)
де Z(ϕ, ε) — (n× n)-матриця, яка задовольняє матричне рiвняння Рiккатi
εA(ϕ)Ż +B(ϕ)Z + εA(ϕ)Z2 + C(ϕ) = 0. (4)
Якщо це рiвняння має гладкий розв’язок Z0(ϕ, ε) такий, що матриця In + εA(ϕ)×
×Z0(ϕ, ε) є невиродженою, то внаслiдок множення злiва другого з рiвнянь (2) на
V (ϕ, ε) та замiни X = W (ϕ, ε)Y отримуємо рiвносильну систему рiвнянь
ϕ̇ = ω,
(
In 0
0 εA(ϕ)
)
Ẏ =
(
Z0(ϕ, ε) In
0 −εA(ϕ)Z0(ϕ, ε)−B(ϕ)
)
Y +
(
0
f(ϕ)
)
,
(5)
що має блочно-трикутний вигляд i для вивчення якої необхiдна iнформацiя про
матрицю Z0(ϕ, ε).
3. Дослiдимо умови iснування перiодичного розв’язку матричного рiвняння (4),
яке з урахуванням першого рiвняння системи (2) запишемо у виглядi
εA(ϕ)
m∑
i=1
ωi
∂Z
∂ϕi
+B(ϕ)Z + εA(ϕ)Z2 + C(ϕ) = 0. (6)
Нехай матриця B(ϕ) невироджена. Виконавши у рiвняннi (6) замiну
Z = Z1 −B−1(ϕ)C(ϕ), (7)
отримаємо
εA
m∑
i=1
ωi
∂Z1
∂ϕi
+ (B − εAB−1C)Z1 − εAZ1B
−1C + εAZ2
1 +
+ εA
[
(B−1C)2 −
m∑
i=1
ωi
∂
∂ϕi
(B−1C)
]
= 0. (8)
Це матричне рiвняння розглянемо як скорочений запис для n2 скалярних дифе-
ренцiальних рiвнянь вiдносно n2 невiдомих елементiв матрицi Z1 i подамо його у
виглядi векторного рiвняння. Для цього запишемо n2-вимiрнi вектори у виглядi
u =
z′1∗
z′2∗
. . .
z′n∗
, g =
g′1∗
g′2∗
. . .
g′n∗
, (9)
де z1∗, z2∗, . . . , zn∗ — вiдповiднi рядки матрицi Z1, штрих позначає операцiю транс-
понування матрицi,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
КВАЗIПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ . . . 775
g1∗
g2∗
. . .
gn∗
= A
[
−(B−1C)2 +
m∑
i=1
ωi
∂
∂ϕi
(B−1C)
]
. (10)
Тодi матричне рiвняння (8) рiвносильне [3, c. 239] векторному рiвнянню
ε(A⊗ In)
m∑
i=1
ωi
∂u
∂ϕi
+
+
[
(B − εAB−1C)⊗ In − εA⊗ (B−1C)′ + εAZ1 ⊗ In
]
u = εg, (11)
де K ⊗M — прямий добуток [3, c. 235] (n× n)-матриць K та M , тобто
K ⊗M =
k11M k12M · · · k1nM
k21M k22M · · · k2nM
...
...
. . .
...
kn1M kn2M · · · knnM
, K = {kij}i,j=1,n .
Використавши позначення
a(ϕ) = A(ϕ)⊗ In, P (ϕ, ε) =
[
B(ϕ)− εA(ϕ)B−1(ϕ)C(ϕ)
]
⊗ In−
−εA(ϕ)⊗ [B−1(ϕ)C(ϕ))]′, P1(ϕ, u) = A(ϕ)Z1 ⊗ In, (12)
рiвняння (11) запишемо у виглядi
εa(ϕ)
m∑
i=1
ωi
∂u
∂ϕi
+ [P (ϕ, ε) + εP1(ϕ, u)]u = εg(ϕ). (13)
Якщо матричнi функцiї A(ϕ), B(ϕ), C(ϕ) належать просторам Cr(Tm),
Cr+1(Tm), Cr+1(Tm) вiдповiдно, то згiдно з (10) i (12) a(ϕ), P (ϕ, ε), P1(ϕ, u), g(ϕ)
належать простору Cr(Tm).
Розглянемо квазiлiнiйний оператор
L(u1)u2 = εa(ϕ)
m∑
i=1
ωi
∂u2
∂ϕi
+ [P (ϕ, ε) + εP1(ϕ, u1)]u2 (14)
на множинi функцiй u ∈ Cr(Tm), яка визначається нерiвностями
|u|0 ≤ d, |u|r ≤ K.
Гладкий перiодичний розв’язок u(ϕ, ε) рiвняння (13) є розв’язком рiвняння
L(u)u = εg(ϕ). (15)
Цей розв’язок можна знайти з допомогою лiнiйної модифiкацiї методу Гальоркiна
побудови перiодичного розв’язку нелiнiйної системи рiвнянь [4, c. 270]. З ураху-
ванням малостi правої частини рiвняння (15) за нормою простору Cr(Tm) умови
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
776 В. О. ЄРЬОМЕНКО, А. М. АЛIЛУЙКО
iснування i збiжностi наближень Гальоркiна визначаються головною частиною опе-
ратора L(u), яка є рiвною оператору
L(0) = εa(ϕ)
m∑
i=1
ωi
∂
∂ϕi
+ P (ϕ, ε).
З’ясуємо умови вiдносно матричних коефiцiєнтiв вихiдного рiвняння (1), при
яких система (13) стає нелiнiйним узагальненням додатної симетричної системи
диференцiальних рiвнянь [4, 5].
Лiнiйна система
L(0)u = εg(ϕ) (16)
називається додатною симетричною [5], якщо матриця a(ϕ) симетрична, а матриця
P (ϕ, ε)+P ′(ϕ, ε)−
∑m
i=1 ωi
∂a(ϕ)
∂ϕi
додатно означена для всiх ϕ ∈ Tm та ε ∈ (0, ε0].
Лема 1. Нехай для будь-якого ϕ ∈ Tm
min
‖x‖=1
〈{
B(ϕ)− ε
[
1
2
m∑
i=1
ωi
∂A(ϕ)
∂ϕi
+A(ϕ)B−1(ϕ)C(ϕ)
]}
x, x
〉
≥ β0(ϕ, ε),
max
‖x‖=1
〈A(ϕ)x, x〉 ≤ α(ϕ), max
‖x‖=1
〈B−1(ϕ)C(ϕ)x, x〉 ≤ β(ϕ).
(17)
Тодi для будь-якого ϕ ∈ Tm
min
‖ξ‖=1
〈[
P (ϕ, ε)− ε
2
m∑
i=1
ωi
∂a(ϕ)
∂ϕi
]
ξ, ξ
〉
≥ β0(ϕ, ε)− εα(ϕ)β(ϕ). (18)
Доведення. Якщо M та K — квадратнi матрицi порядку n, то [3, c. 237] власнi
значення матрицi M ⊗K збiгаються iз n2 числами λrµs, r = 1, n, s = 1, n, де λr
та µs — власнi значення матриць M та K вiдповiдно.
З урахуванням цiєї властивостi прямого добутку матриць, симетричностi A(ϕ),
рiвностей (12), а також рiвностей [3, c. 235]
(A⊗B)′ = A′ ⊗B′, (A+B)⊗ C = A⊗ C +B ⊗ C (19)
отримуємо
P + P ′ − ε
m∑
i=1
ωi
∂a
∂ϕi
= (B − εAB−1C)⊗ In − εA⊗ (B−1C)′+
+[(B − εAB−1C)⊗ In]′ − ε[A⊗ (B−1C)′]′ − ε
m∑
i=1
ωi
∂
∂ϕi
(A⊗ In) =
=
{
B+B′−ε
[
AB−1C+(AB−1C)′+
m∑
i=1
ωi
∂A
∂ϕi
]}
⊗In−ε{A⊗ [B−1C+(B−1C)′]},
min
‖x‖=1
〈[
P (ϕ, ε)− 1
2
m∑
i=1
ωi
∂a(ϕ)
∂ϕi
]
ξ, ξ
〉
≥
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
КВАЗIПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ . . . 777
≥ min
‖x‖=1
〈{
B(ϕ, ε)− ε
[
m∑
i=1
ωi
∂A(ϕ)
∂ϕi
+A(ϕ)B−1(ϕ)C(ϕ)
]}
x, x
〉
−
−ε max
‖x‖=1
〈A(ϕ)x, x〉 max
‖x‖=1
〈B−1(ϕ)C(ϕ)x, x〉 ≥ β0(ϕ, ε)− εα(ϕ)β(ϕ), ϕ ∈ Tm,
що i завершує доведення леми 1.
Отже, система рiвнянь (16) є додатною симетричною, якщо для всiх ϕ ∈ Tm та
ε ∈ (0, ε0] виконується нерiвнiсть
β0(ϕ, ε)− εα(ϕ)β(ϕ) ≥ γ, (20)
де γ — як завгодно мале додатне число, а скалярнi функцiї β0(ϕ, ε), α(ϕ) та β(ϕ)
визначенi спiввiдношеннями (??).
Ключовою умовою iснування класичного перiодичного розв’язку системи (16)
для довiльної неоднорiдностi є виконання [5] нерiвностей〈[
lε
m∑
ν,µ=1
ων
∂a(ϕ)
∂ϕµ
ξνξµ + P0(ϕ, ε)
]
η, η
〉
≥ γ(l) = const > 0 (21)
для достатньо великих додатних цiлих чисел l i довiльних векторiв ξ = (ξ1, . . . , ξm)
та η = (η1, . . . , ηn2), ‖ξ‖ = ‖η‖ = 1, де
P0(ϕ, ε) = P (ϕ, ε)− ε
2
m∑
i=1
ωi
∂a(ϕ)
∂ϕi
. (22)
Проте нерiвностi (21) рiвносильнi [6] нерiвностям
min
‖ψ‖=1
〈 [
lεâ(ϕ) + P̂0(ϕ, ε)
]
ψ,ψ
〉
≥ γ(l) = const > 0, (23)
де квадратнi mn2-вимiрнi матрицi â та P̂0 визначаються рiвностями
â =
ω1
∂a
∂ϕ1
ω1
∂a
∂ϕ2
· · · ω1
∂a
∂ϕm
...
...
. . .
...
ωm
∂a
∂ϕ1
ωm
∂a
∂ϕ2
· · · ωm
∂a
∂ϕm
, P̂0 = Im ⊗ P0. (24)
Оцiнимо min
‖ψ‖=1
〈â(ϕ)ψ,ψ〉. Згiдно з означенням прямого добутку матриць та
рiвностями (12), (19), (24)
â+ â′ = Â′ ⊗ In + Â′ ⊗ In = (Â+ Â′)⊗ In,
де Â визначається першою з рiвностей (24) iз замiною у правiй частинi a на A. А
тому у вiдповiдностi з [3, c. 237]
min
‖ψ‖=1
〈â(ϕ)ψ,ψ〉 = min
‖ξ‖=1
〈Â(ϕ)ξ, ξ〉, ϕ ∈ Tm. (25)
Оцiнка знизу правої частини (25) має вигляд [6]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
778 В. О. ЄРЬОМЕНКО, А. М. АЛIЛУЙКО
min
‖ξ‖=1
〈Â(ϕ)ξ, ξ〉 ≥ (‖ω‖2/ω2
1)α0(ϕ), (26)
де α0(ϕ) — мiнiмальний корiнь рiвняння, яке в залежностi вiд значення m набирає
вигляду
∆1(λ) = det
(
m∑
i=1
ωi
∂A
∂ϕi
− λIn
)
= 0, m = 1,
∆m(λ) =
(27)
= det
∑m
i=1 ωi
∂A
∂ϕi
− λIn
1
2
(
ω1
∂A
∂ϕ2
− ω2
∂A
∂ϕ1
)
· · · 1
2
(
ω1
∂A
∂ϕm
− ωm
∂A
∂ϕ1
)
1
2
(
ω1
∂A
∂ϕ2
− ω2
∂A
∂ϕ1
)
λIn · · · 0
...
...
. . .
...
1
2
(
ω1
∂A
∂ϕm
− ωm
∂A
∂ϕ1
)
0 · · · −λIn
=
= 0.
Враховуючи спiввiдношення (22), (24), (18) та (26), робимо висновок, що нерiв-
ностi (23) виконуються, якщо для всiх ϕ ∈ Tm, ε ∈ (0, ε0] мають мiсце нерiвностi
lε(‖ω‖2/ω2
1)α0(ϕ) + β0(ϕ, ε)− εα(ϕ)β(ϕ) ≥ γ(l) > 0. (28)
А тому згiдно з лемою 3 [6] при виконаннi нерiвностей (28) для l = 0, 1, . . . , l0,
l0 ≤ r, ε ∈ (0, ε0] для довiльного u ∈ H l(Tm)
(L(0)u, u)0 ≥ γ0‖u‖20 (29)
i для кожного l, 1 ≤ l ≤ l0, l0 ≤ r, та довiльного u ∈ H l+1(Tm)
(L(0)u, u)l ≥ γ1(l)‖u‖2l − δ(l)‖u‖20, (30)
де γ0, γ1(l), δ(l) — додатнi сталi, якi не залежать вiд u. З урахуванням нерiвностей
(29), (30), рiвняння (16) та нерiвностi Шварца отримуємо оцiнки
‖u‖0 ≤ εγ−10 ‖g‖0, γ1‖u‖2r − δ‖u‖20 ≤ ε‖g‖r‖u‖r,
звiдки
γ1‖u‖2r − ε2δγ−21 ‖g‖2r ≤ ε‖g‖r‖u‖r, ε ∈ (0, ε0], (31)
оскiльки γ1 ≤ γ0, ‖g‖0 ≤ ‖g‖r. Розв’язуючи нерiвнiсть (31), знаходимо оцiнку
‖u‖r ≤ εγ−12 ‖g‖r, (32)
де γ2 = 2γ1/(1 +
√
1 + 4δ/γ1).
Нехай r > m/2 + 1. Тодi за теоремою Соболєва про вкладення просторiв [4,
c. 15] Hr(Tm) ⊂ C1(Tm) i
|u|1 ≤ c‖u‖r, (33)
де c — додатна стала, що не залежить вiд u. З нерiвностей (32), (33) отримуємо
оцiнку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
КВАЗIПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ . . . 779
|u|1 ≤ εc1‖g‖r, (34)
де додатна стала c1 не залежить вiд u.
Згiдно з лемою Ю. Мозера [5, c. 199], якщо виконуються нерiвностi (28), то для
довiльного u ∈ Cr+1(Tm) i ε ∈ (0, ε0] мають мiсце оцiнки
(L(0)u, u)l ≥ γ2‖u‖2l − δ2(1 + ε‖a(ϕ)‖l + ‖P (ϕ, ε‖l)2, (35)
де γ2 i δ2 — додатнi сталi, якi залежать лише вiд
C0 ≥ |a(ϕ)|2 + |P (ϕ, ε)|1 + |u|1, r ≥ 2, 1 ≤ l ≤ r.
Але з урахуванням нерiвностi (34) можна вважати, що в апрiорних оцiнках (35)
сталi γ2 i δ2 вже не залежать вiд u.
Нехай w(ϕ) — n2-вектор iз Cr(Tm), для якого |w|2 ≤ 1. Розглянемо лiнiйний
оператор
L(w) = εa(ϕ)
m∑
i=1
ωi
∂
∂ϕi
+ [P (ϕ, ε) + εP1(ϕ,w)]
як оператор у просторi C∞(Tm). Оскiльки нерiвностi (28) мають грубий характер,
то з них випливають аналогiчнi нерiвностi для коефiцiєнтiв оператора L(w) для всiх
ε ∈ (0, ε1] та деякого ε1 < ε0. А тому з урахуванням леми Ю. Мозера отримуємо
оцiнки
(L(w)u, u) ≥ γ3‖u‖20, (L(w)u, u)l ≥ γ3‖u‖2l−
−δ3(1 + ε‖a(ϕ)‖l
m∑
i=1
ωi + ‖P (ϕ, ε)‖l + ε‖P1(ϕ,w)‖l)2, l = 1, r, (36)
де γ3, δ3 — додатнi сталi, якi не залежать вiд w, u i ε.
Згiдно з оцiнкою Ю. Мозера [4, c. 18] для суперпозицiї функцiй P1(ϕ,w(ϕ))
‖P1(ϕ,w)‖l ≤ c|P1|l(1 + ‖w‖l), (37)
де c — додатна стала, що не залежить вiд P1, w,
|P1|l = max
0≤ρ≤l
max
(ϕ,w)∈Tm×Tn2
‖DρP1(ϕ,w)‖ ,
Dρ — довiльна частинна похiдна по ϕ, w порядку ρ, Tn2 — одинична куля в Rn
2
. З
урахуванням (37) оцiнки (36) наберуть вигляду
(L(w)u, u)0 ≥ γ3‖u‖20, (L(w)u, u)l ≥ γ3‖u‖2l − δ4(1 + ε‖w‖l)2, l = 1, r, (38)
де δ4 не залежить вiд w, u i ε.
Метод Гальоркiна визначає N -те наближення до розв’язку u(ϕ, ε) ∈ C1(Tm)
рiвняння (15) виразом
wN (ϕ, ε) =
∑
‖k‖≤N
w
(N)
k ei(k,ϕ), ϕ ∈ Tm,
коефiцiєнти якого w(N)
k є розв’язком системи нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
780 В. О. ЄРЬОМЕНКО, А. М. АЛIЛУЙКО(
L(wN (ϕ, ε))wN (ϕ, ε), ei(k,ϕ)
)
0
= ε(g(ϕ), ei(k,ϕ))0, ‖k‖ ≤ N.
Дотримуючись [4], лiнiйну модифiкацiю методу Гальоркiна визначимо, вихо-
дячи з початкового наближення u0(ϕ) = 0 для ϕ ∈ Tm i обраного набору цiлих
чисел Nj , j = 0, 1, . . . , для якого Nj ≥ Nj−1, j = 0, 1, . . . , з тим що Nj-те лiнiйне
наближення Гальоркiна до розв’язку u(ϕ) ∈ C1(Tm) рiвняння (15) задамо виразом
uj(ϕ, ε) =
∑
‖k‖≤Nj
uke
i(k,ϕ),
коефiцiєнти якого uk = u
(j)
k є розв’язком системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь(
L(uj−1(ϕ, ε))uj(ϕ, ε), e
i(k,ϕ)
)
0
= ε(g, ei(k,ϕ))0, ‖k‖ ≤ Nj .
Розглянемо перше лiнiйне наближення Гальоркiна u1(ϕ, ε). Його коефiцiєнти
u
(1)
k визначаються з системи рiвнянь, яка рiвносильна рiвнянню
SN1
L(0)u1(ϕ, ε) = εSN1
g(ϕ), (39)
де SN1 — оператор зрiзки ряду Фур’є функцiї f(ϕ) '
∑
k fke
i(k,ϕ), який визнача-
ється рiвнiстю SNf(ϕ) =
∑
‖k‖≤N fke
i(k,ϕ).
Нерiвностi (29), (30) для оператора L(0) забезпечують iснування розв’язку
рiвняння (39) такого, що при r > m/2 + 2 за теоремою Соболєва про вкладен-
ня просторiв для достатньо малого ε2 ≤ ε1 i всiх ε ∈ (0, ε2] виконується не-
рiвнiсть |u1(ϕ, ε)|2 ≤ 1. Тодi оператор L(u1) визначений для всiх ε ∈ (0, ε2] i
задовольняє нерiвностi (38) при w = u1, що забезпечує iснування наближення
u2(ϕ, ε) =
∑
‖k‖≤N2
u
(2)
k ei(k,ϕ) i оцiнку |u2(ϕ, ε)|2 ≤ 1 для всiх ε ∈ (0, ε3], якщо ε3
є достатньо малим.
Доведення iснування наближень uj(ϕ, ε) для довiльного j ≥ 3, а також збiж-
нiсть послiдовностi uj(ϕ, ε), j = 1, 2, . . . , в H l(Tm) ∩ Cs(Tm) при l < r, r >
> m/2 + s, s ≥ 2, до перiодичного розв’язку рiвняння (15) проводиться за схемою
доведення теореми 1 [4, c. 271]. Таким чином отримуємо наступне твердження.
Лема 2. Нехай A′(ϕ) ≡ A(ϕ), матричнi функцiї A(ϕ), B(ϕ), C(ϕ) належать
просторам Cr(Tm), Cr+1(Tm), Cr+1(Tm) вiдповiдно, де
r > m/2 + s, s ≥ 2, (40)
i виконуються нерiвностi (28) для l = 0, l = r i всiх ϕ ∈ Tm та ε ∈ (0, ε0], де
скалярнi функцiї β0(ϕ, ε), α(ϕ), β(ϕ) визначенi спiввiдношеннями (17), а α0(ϕ) —
мiнiмальний корiнь рiвняння (27).
Тодi можна вказати достатньо мале ε0 > 0 таке, що для всiх ε ∈ (0, ε0]
система рiвнянь (13) має розв’язок u0(ϕ, ε) ∈ Cs(Tm), s ≥ 2, який задовольняє
нерiвностi
‖u0(ϕ, ε)‖0 ≤ ε‖g(ϕ)‖0/γ, ‖u0(ϕ, ε)‖s ≤ δ0, |u0(ϕ, ε)|2 ≤ 1, (41)
де γ — додатне число, δ0 → 0 при ε→ 0.
4. Повернемося до матричного рiвняння Рiккатi (4). При виконаннi умов леми 2
розв’язком рiвняння (8) є матриця Z1(ϕ, ε), рядки якої згiдно з (9) є вiдповiдними
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
КВАЗIПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ . . . 781
компонентами n2-вектора u0(ϕ, ε). При цьому Z1(ϕ, ε) належить простору Cs(Tm),
s ≥ 2, i з урахуванням (41) та (10)
‖Z1(ϕ, ε)‖0 ≤ ε
∥∥∥∥A [−(B−1C)2 +
m∑
i=1
ωi
∂
∂ϕi
(B−1C)
]∥∥∥∥
0
/
γ,
‖Z1(ϕ, ε)‖s ≤ δ0, |Z1(ϕ, ε)|2 ≤ 1,
(42)
де δ0 → 0 при ε→ 0, ε ∈ (0, ε0].
Згiдно з (7) шуканий розв’язок рiвняння (4) має вигляд
Z0(ϕ, ε) = Z1(ϕ, ε)−B−1(ϕ)C(ϕ) (43)
i належить простору Cs(Tm), s ≥ 2.
За теоремою Адамара [7, c. 406] матриця In + εA(ϕ)Z0(ϕ, ε) є невиродженою
для всiх ε ∈ (0, ε0] i достатньо малого ε0 ≤ ε0. А тому невиродженою є i матриця
V (ϕ, ε), означена рiвнiстю (3), що приводить до рiвносильностi систем (2) i (5) для
всiх ε ∈ (0, ε0].
Систему рiвнянь (5) запишемо у виглядi
ϕ̇ = ω, (44)
Ẏ1 = Z0(ϕ, ε)Y1 + Y2, (45)
εA(ϕ)Ẏ2 = −
[
B(ϕ) + εA(ϕ)Z0(ϕ, ε)
]
Y2 + f(ϕ), (46)
де Y = col(Y1, Y2), i дослiдимо умови iснування гладкого перiодичного розв’язку
рiвняння (46) для довiльної неоднорiдностi. З урахуванням (43) систему (44), (46)
запишемо у виглядi рiвняння
εA(ϕ)
m∑
i=1
ωi
∂Y2
∂ϕi
+
{
B(ϕ)− εA(ϕ)[B−1(ϕ)C(ϕ)− Z1(ϕ, ε)]
}
Y2 = f(ϕ), (47)
яке стає додатним симетричним, якщо для всiх ϕ ∈ Tm та ε ∈ (0, ε1], ε1 ≤ ε0,
виконується нерiвнiсть〈{
B(ϕ)−ε
[
1
2
m∑
i=1
ωi
∂A
∂ϕi
+A(ϕ)[B−1(ϕ)C(ϕ)−Z1(ϕ, ε)]
]}
x, x
〉
≥γ(1) =const>0.
Але ця нерiвнiсть згiдно з (17) та третьою з нерiвностей (42) матиме мiсце, якщо
β0(ϕ, ε)− ε|A(ϕ)|0 ≥ γ(1). (48)
Оскiльки коефiцiєнти рiвнянь (45), (46) у вiдповiдностi з лемою 2 належатьCs(Tm),
де 2 ≤ s ≤ r −m/2 − 1, то для достатньо великого r, згiдно з [6], рiвняння (47)
для будь-якої неоднорiдностi f(ϕ) матиме розв’язок Y 0
2 (ϕ) ∈ Ck(Tm), якщо
s > k +m/2, k ≥ 1, (49)
i для l = 0, l = l0 > k + m/2 та всiх ϕ ∈ Tm, ε ∈ (0, ε2], ε2 ≤ ε1, виконуються
нерiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
782 В. О. ЄРЬОМЕНКО, А. М. АЛIЛУЙКО
lε(‖ω‖2/ω2
1)α0(ϕ) + β0(ϕ, ε)− ε|A(ϕ)|0 ≥ γ(1)1 (l) > 0, (50)
де α0(ϕ) — мiнiмальний корiнь рiвняння (27).
Зазначимо, що при виконаннi нерiвностей (50) справджується нерiвнiсть (48),
оскiльки α0(ϕ) набуває вiд’ємних значень для деяких ϕ [6].
В результатi система (44) – (46) iз урахуванням (43) набере вигляду
ϕ̇ = ω,
Ẏ1 = [−B−1(ϕ)C(ϕ) + Z1(ϕ, ε)]Y1 + Y 0
2 (ϕ, ε).
(51)
Згiдно з (42) матрицю Z1(ϕ, ε) можна вважати „малою”. А тому умови iснування
квазiперiодичного розв’язку системи (51) визначаються матрицею −B−1(ϕ)C(ϕ).
Нехай iснує невироджена симетрична матриця S(ϕ) ∈ C1(Tm) така, що для
всiх ϕ ∈ Tm матриця
Ṡ(ϕ)− S(ϕ)B−1(ϕ)C(ϕ)− [B−1(ϕ)C(ϕ)]′S(ϕ)
є вiд’ємно означеною. Тодi [4] система рiвнянь
ϕ̇ = ω, Ẏ = −B−1(ϕ)C(ϕ)Y + Y 0
2 (ϕ, ε) (52)
для довiльної неоднорiдностi має квазiперiодичний розв’язок Y (ωt, ε), гладкiсть
якого збiгається iз гладкiстю коефiцiєнтiв. Згiдно з лемою 2 [4, c. 216], другою
нерiвнiстю (42) та теоремою Соболєва про вкладення просторiв можна вказати
таке ρ = ρ(ε) > 0, ρ(ε) → 0 при ε → 0, що коли |Z1(ϕ, ε)|k ≤ ρ(ε), то система
(51), „породжена” системою (52), матиме розв’язок Y 0
1 (ωt, ε), Y 0
1 (ϕ, ε) ∈ Ck(Tm).
Отже, система рiвнянь (5) при виконаннi наведених вище умов має для до-
статньо малих ε квазiперiодичний розв’язок Y0(ωt, ε) = col(Y 0
1 (ωt, ε), Y 0
2 (ωt, ε)),
Y0(ϕ, ε) ∈ Ck(Tm), k ≥ 1, де з урахуванням (40) та (49) k ≤ r−m−1. Тодi згiдно з
(3) X0(ωt, ε) = W (ωt, ε)Y0(ωt, ε) ∈ Ck(Tm) — квазiперiодичний розв’язок системи
рiвнянь (2). Але оскiльки X0(ωt, ε) = col(x0(ωt, ε), ẋ0(ωt, ε)), то робимо висновок,
що x0(ωt, ε) ∈ Ck+1(Tm) — шуканий квазiперiодичний розв’язок вихiдної системи
рiвнянь (1).
У пiдсумку отримуємо таке твердження.
Теорема. Нехай стосовно вихiдної системи рiвнянь (1) виконуються такi умо-
ви:
1) A(ϕ) ≡ A′(ϕ) i матричнi функцiї A(ϕ), B(ϕ), C(ϕ) належать просторам
Cr(Tm), Cr+1(Tm), Cr+1(Tm) вiдповiдно, де r ≥ m+ k + 1, k ≥ 1;
2) матриця B(ϕ) додатно означена i для всiх ϕ ∈ Tm, ε ∈ (0, ε∗] виконуються
нерiвностi (28), (50) при l = 0, l = r та l = 0, l ≥ k + m/2 + 1 вiдповiдно,
де скалярнi функцiї β0(ϕ, ε), α(ϕ), β(ϕ) визначенi спiввiдношеннями (17), α0(ϕ) —
мiнiмальний корiнь рiвняння (27);
3) iснує невироджена симетрична матриця n-го порядку S(ϕ) ∈ C1(Tm) така,
що матриця Ṡ(ϕ)− S(ϕ)B−1(ϕ)C(ϕ)− [B−1(ϕ)C(ϕ)]′S(ϕ) є вiд’ємно означеною
для всiх ϕ ∈ Tm.
Тодi можна вказати достатньо мале додатне число ε∗ таке, що для всiх
ε ∈ (0, ε∗] i довiльної неоднорiдностi f(ϕ) ∈ Cr(Tm) система рiвнянь (1) має
квазiперiодичний розв’язок x0(ωt, ε), x0(ϕ, ε) ∈ Ck+1(Tm).
Зауваження. Випадок вiд’ємної означеностi матрицi B(ϕ) зводиться до розгля-
нутого шляхом множення другого рiвняння системи (1) на −In.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
КВАЗIПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ . . . 783
1. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виро-
дженнями. – Київ: Вища шк., 2000. – 294 с.
2. Єрьоменко В. О. Про квазiперiодичнi розв’язки лiнiйних вироджених звичайних диференцiальних
рiвнянь другого порядку // Нелiнiйнi проблеми аналiзу (IV Всеукр. наук. конф.: Тези доп.). –
Iвано-Франкiвськ: Плай, 2008. – С. 33.
3. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1978. – 280 с.
4. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные
торы. – М.: Наука, 1987. – 304 с.
5. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения //
Успехи мат. наук. – 1968. – 23, № 4. – С. 179 – 238.
6. Самойленко А. М., Єрьоменко В. О., Давиденко А. А. Гладкiсть квазiперiодичних розв’язкiв лiнiйних
систем звичайних диференцiальних рiвнянь iз виродженою симетричною матрицею при похiдних
// Доп. НАН України. – 2001. – № 4. – С. 21 – 27.
7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 575 с.
Одержано 10.09.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2908 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:32:36Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ba/010e465e9a9edd60c5ebc6e688093dba.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29082020-03-18T19:40:12Z Quasiperiodic solutions of degenerate linear systems of second-order ordinary differential equations Квазіперіодичпі розв'язки лінійних вироджених систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку Er’omenko, V. O. Aliluiko, A. M. Єрьоменко, В. О. Алілуйко, А. М. We establish sufficient conditions for the existence of quasiperiodic solutions of a system of ordinary second-order differential equations with degenerate symmetric matrix of the second derivatives for an arbitrary quasiperiodic inhomogeneity. Установлены достаточные условия существования квазипериодического решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с вырожденной симметрической матрицей при производных второго порядка для произвольной квазипериодической неоднородности. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2908 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 6 (2010); 773–783 Український математичний журнал; Том 62 № 6 (2010); 773–783 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2908/2567 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2908/2568 Copyright (c) 2010 Er’omenko V. O.; Aliluiko A. M. |
| spellingShingle | Er’omenko, V. O. Aliluiko, A. M. Єрьоменко, В. О. Алілуйко, А. М. Quasiperiodic solutions of degenerate linear systems of second-order ordinary differential equations |
| title | Quasiperiodic solutions of degenerate linear systems of second-order ordinary differential equations |
| title_alt | Квазіперіодичпі розв'язки лінійних вироджених систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку |
| title_full | Quasiperiodic solutions of degenerate linear systems of second-order ordinary differential equations |
| title_fullStr | Quasiperiodic solutions of degenerate linear systems of second-order ordinary differential equations |
| title_full_unstemmed | Quasiperiodic solutions of degenerate linear systems of second-order ordinary differential equations |
| title_short | Quasiperiodic solutions of degenerate linear systems of second-order ordinary differential equations |
| title_sort | quasiperiodic solutions of degenerate linear systems of second-order ordinary differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2908 |
| work_keys_str_mv | AT eromenkovo quasiperiodicsolutionsofdegeneratelinearsystemsofsecondorderordinarydifferentialequations AT aliluikoam quasiperiodicsolutionsofdegeneratelinearsystemsofsecondorderordinarydifferentialequations AT êrʹomenkovo quasiperiodicsolutionsofdegeneratelinearsystemsofsecondorderordinarydifferentialequations AT alílujkoam quasiperiodicsolutionsofdegeneratelinearsystemsofsecondorderordinarydifferentialequations AT eromenkovo kvazíperíodičpírozv039âzkilíníjnihvirodženihsistemzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdku AT aliluikoam kvazíperíodičpírozv039âzkilíníjnihvirodženihsistemzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdku AT êrʹomenkovo kvazíperíodičpírozv039âzkilíníjnihvirodženihsistemzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdku AT alílujkoam kvazíperíodičpírozv039âzkilíníjnihvirodženihsistemzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdku |