Points of joint continuity and large oscillations
For topological spaces $X$ and $Y$ and a metric space $Z$, we introduce a new class $N(X × Y,Z)$ of mappings $f:\; X × Y → Z$ containing all horizontally quasicontinuous mappings continuous with respect to the second variable. It is shown that, for each mapping $f$ from this class and any countable-...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2910 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508906776690688 |
|---|---|
| author | Maslyuchenko, V. K. Nesterenko, V. V. Маслюченко, В. К. Нестеренко, В. В. |
| author_facet | Maslyuchenko, V. K. Nesterenko, V. V. Маслюченко, В. К. Нестеренко, В. В. |
| author_sort | Maslyuchenko, V. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:12Z |
| description | For topological spaces $X$ and $Y$ and a metric space $Z$, we introduce a new class $N(X × Y,Z)$ of mappings $f:\; X × Y → Z$ containing all horizontally quasicontinuous mappings continuous with respect to the second variable. It is shown that, for each mapping $f$ from this class and any countable-type set $B$ in $Y$, the set $C_B (f)$ of all points $x$ from $X$ such that $f$ is jointly continuous at any point of the set $\{x\} × B$ is residual in $X$: We also prove that if $X$ is a Baire space, $Y$ is a metrizable compact set, $Z$ is a metric space, and $f ∈ N(X×Y,Z)$, then, for any $ε > 0$, the projection of the set $D^{ε} (f)$ of all points $p ∈ X × Y$ at which the oscillation $ω_f (p) ≥ ε$ onto $X$ is a closed set nowhere dense in $X$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:32:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
В. К. Маслюченко, В. В. Нестеренко (Чернiв. нац. ун-т)
ТОЧКИ СУКУПНОЇ НЕПЕРЕРВНОСТI
ТА ВЕЛИКI КОЛИВАННЯ
For the topological spaces X and Y and a metric space Z, we introduce a new classN (X×Y, Z) of mappings
f : X × Y → Z, which includes all mappings horizontally quasicontinuous and continuous with respect to
the second variable. We establish that, for each mapping f from this class and each arbitrary countable-type
set B in Y , the set CB(f) of all points x from X such that f is jointly continuous in every point of the set
{x} ×B is residual in X . We also prove that if X is a Baire space, Y is a metrizable compact, Z is a metric
space, and f ∈ N (X × Y, Z), then for each ε > 0, the projection onto X of the set Dε(f) of all points
p ∈ X × Y , at which oscillations ωf (p) ≥ ε, is a closed nowhere dense set in X .
Для топологических пространств X, Y и метрического пространства Z введен новый класс N (X ×
×Y, Z) отображений f : X×Y → Z, содержащий все горизонтально квазинепрерывные и непрерывные
относительно второй переменной отображения, и установлено, что для каждого отображения f из этого
класса и произвольного множества B исчислимого типа в Y множество CB(f) всех точек x ∈ X
таких, что f является совокупно непрерывным в каждой точке множества {x} × B, есть остаточным
в X . Кроме того, доказано, что если X — беровское пространство, Y — метризуемый компакт, Z —
метрическое пространство и f ∈ N (X×Y, Z), то для каждого ε > 0 проекция на X множества Dε(f)
всех тех точек p ∈ X × Y , в которых колебание ωf (p) ≥ ε, является замкнутым и нигде не плотным
множеством в X .
1. Вступ. У дослiдженнях множини C(f) точок сукупної неперервностi нарiзно
неперервних функцiй f : X × Y → Z та їх аналогiв, що беруть свiй початок вiд
славнозвiсної дисертацiї Р. Бера [1], розставлено ще далеко не всi крапки над „i”,
навiть у випадку, коли простiр Z є метризовним, а на простiр Y накладаються пев-
нi умови злiченностi чи розглядаються їх модифiкацiї, як-от множини злiченного
типу, якi були введенi у працi [2]. Iсторiю розвитку цiєї тематики у ХХ столiттi
найповнiше висвiтлено у дисертацiї [3], а новiтнi результати — в дисертацiї [4]. У
цих працях наводяться iнтригуючi питання, на багато з яких i досi не знайдено
вiдповiдi (див. також [5 – 9]).
У данiй статтi будемо вивчати два аспекти даної тематики. Перший з них пов’я-
заний з теоремою Калбрi – Труаллiка з [2], згiдно з якою для довiльних топологiчних
просторiв X i Y, метризовного простору Z, нарiзно неперервного вiдображення
f : X × Y → Z i множини B злiченного типу в Y множина CB(f) = {x ∈
∈ X : {x} × B ⊆ C(f)} є залишковою в X. Як безпосереднi наслiдки цього, в [2]
отримано такi результати: якщо простiр Y задовольняє першу (другу) аксiому злi-
ченностi, то для кожного y ∈ Y множина Cy(f) = C{y}(f) є залишковою (множина
CY (f) є залишковою). Зрозумiло, що в них умови на X, Y, Z i f зберiгаються. Цi
наслiдки в [10] було перенесено на KC-функцiї, а в [11] — на KhC-функцiї (озна-
чення див. у п. 2), але аналога загальної теореми Калбрi – Труаллiка для множин
злiченного типу не було знайдено нi для KC-функцiй, нi тим бiльше для KhC-
функцiй. Ми заповнимо цю прогалину, узагальнивши теорему Калбрi – Труаллiка
не лише на KhC-функцiї, а й на функцiї з ширшого класу N , ввiвши мiнiмальнi
умови на функцiю f, якi гарантують залишковiсть множини CB(f). При цьому
будемо застосовувати новий метод, який використовує категорнi мiркування i не
спирається, як у [2], на теорему Бера про точки розриву напiвнеперервних функцiй.
Другий аспект пов’язаний з великими коливаннями. Для функцiї f : P → Z, що
задана на топологiчному просторi P i набуває значень у метричному просторi Z з
c© В. К. МАСЛЮЧЕНКО, В. В. НЕСТЕРЕНКО, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 791
792 В. К. МАСЛЮЧЕНКО, В. В. НЕСТЕРЕНКО
метрикою | · − · |Z , коливання на непорожнiй множинi E ⊆ P i в точцi p ∈ P, як
вiдомо, вводяться вiдповiдно формулами
ωf (E) = sup
p′, p′′∈E
|f(p′)− f(p′′)| i ωf (p) = inf
p∈intU
ωf (U).
Очевидно, що C(f) = {p ∈ P : ωf (p) = 0}. Тому для множиниD(f) = P \C(f)
усiх розривiв функцiї f маємо D(f) = {p ∈ P : ωf (p) > 0}. Для довiльного ε > 0
покладемо Dε(f) = {p ∈ P : ωf (p) ≥ ε}. Якщо ε є фiксованим, то про точки з
множини Dε(f) кажуть як про такi, що мають великi коливання. Оскiльки функцiя
ωf : P → [0,+∞] неперервна зверху, то множиниDε(f) завжди замкненi в P. Якщо
P = X×Y — добуток двох топологiчних просторiв, то можна розглянути проекцiю
prX(Dε(f)) множини Dε(f) на простiр X, яка згiдно з теоремою Куратовського
[12, с. 200] про проекцiю теж буде замкненою, якщо простiр Y компактний. Р. Бер
довiв [1, с. 88 – 94], що у випадку X = [a, b], Y = [c, d] i Z = R для кожної нарiзно
неперервної функцiї f : X × Y → Z i кожного ε > 0 проекцiя prX(Dε(f)) нiде
не щiльна в X. Метод Бера було проаналiзовано у працi [13] i вiдповiдним чином
узагальнено, що дало змогу отримати такий же результат у тому випадку, коли
простiр X сильно злiченно повний i регулярний, Y — метризовний компакт, Z —
метричний простiр i f : X × Y → Z — CC-функцiя, у якої всi x-розрiзи fx =
= f(x, ·) : Y → Z неперервнi та множина YC(f) всiх тих y ∈ Y, для яких y-розрiзи
fy = f(·, y) : X → Z неперервнi, є щiльною в Y. У працi [14] нiде не щiльнiсть
проекцiї prX(Dε(f)) було доведено у випадку, коли простiр X є берiвським, Y
i Z — метричнi простори i f : X × Y → Z — CU -вiдображення, яке неперервне
вiдносно першої змiнної i рiвномiрно неперервне вiдносно другої, а в [15] цей
результат iншим методом було перенесено на CU -функцiї. Це стало можливим в
результатi розвитку попереднiх пiдходiв iз праць [16, 17]. Г. Ган у монографiї [18,
с. 337] навiв одну теорему про нiде не щiльнiсть проекцiї множини Dε(f) для
нарiзно неперервних функцiй вiд n змiнних, аналiз доведення якої привiв до такого
результату [3] (теорема 3.4.2): якщо X — берiвський простiр, Y — метризовний
компакт, Z — метричний простiр i f : X × Y → Z — KhC-функцiя, то для кожного
ε > 0 множина prX(Dε(f)) нiде не щiльна в X. Крiм того, як випливає з теореми
Намiоки [19], це ж має мiсце у випадку, коли простiр X сильно злiченно повний i
регулярний, Y — компакт, Z — метричний простiр i вiдображення f : X × Y → Z
є нарiзно неперервним.
Оскiльки доведення теореми з [3] про великi коливання KhC-функцiй нiде не
опублiковано, ми наведемо його тут. Потiм запропонуємо iнший пiдхiд, який дає
змогу одержати вiдповiдну теорему i для вiдображень з широкого класу N , про
який зазначено вище (його означення див. у п. 3).
Нарештi, буде наведено приклад вiдображення f : R2 → R, квазiнеперервного
вiдносно першої змiнної i рiвномiрно неперервного вiдносно другої, у якого про-
екцiя множини Dε(f) на перший спiвмножник при ε =
1
2
є скрiзь щiльною, бо
збiгається з Q. Цей приклад свiдчить про те, що результат Брекенрiджа – Нiшiури
з [14] не можна перенести з CU -функцiй на KU -функцiї. Крiм того, визначимо
функцiю f : R × (0,+∞) → R, яка не входить до класу N , але має властивiсть
Гана, тобто для неї множина CY (f) є залишковою з Y = (0,+∞).
2. Горизонтально квазiнеперервнi вiдображення та їх властивостi. Нехай
X i Y — топологiчнi простори, f : X → Y — вiдображення i x ∈ X. Нагадаємо, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
ТОЧКИ СУКУПНОЇ НЕПЕРЕРВНОСТI ТА ВЕЛИКI КОЛИВАННЯ 793
вiдображення називається квазiнеперервним у точцi x, якщо для кожного околу V
точки y = f(x) в Y i кожного околу U точки x в X iснує така вiдкрита непорожня
множина G в X, що G ⊆ U i f(G) ⊆ V, i просто квазiнеперервним, якщо воно
є таким у кожнiй точцi x ∈ X. Вiдомо [2] (твердження 3.1.1), що вiдображення
f : X → Y буде квазiнеперервним тодi i тiльки тодi, коли f(U) ⊆ f(A) для кожної
вiдкритої множини U в X i для кожної щiльної в U множини A в X. Поняття
квазiнеперервностi ввiв С. Кемпiстий [20], вiдштовхуючись вiд вiдповiдної власти-
востi нарiзно неперервних функцiй багатьох дiйсних змiнних, яку встановили до
нього В. Вольтерра i Р. Бер (для n = 2) та Г. Ган (для n > 2). Воно вивчається в
оглядi [21].
Нехай X, Y i Z — топологiчнi простори i f : X × Y → Z — вiдображення.
Воно називається горизонтально квазiнеперервним у точцi p = (x, y) ∈ X × Y ,
якщо для довiльного околу W точки z = f(x, y) у просторi Z i довiльних околiв
U i V точок x i y у просторах X i Y вiдповiдно iснують точка b ∈ V i вiдкрита
непорожня множина G в X такi, що G ⊆ U i f(G × {b}) ⊆ W, i просто горизон-
тально квазiнеперервним, якщо f є таким у кожнiй точцi p ∈ X×Y. Горизонтальна
квазiнеперервнiсть була введена в [22] як розвиток умови (А) з працi К. Беґеля [23].
Для вiдображення f : X × Y → Z i точки p = (x, y) ∈ X × Y, як звичайно,
покладемо fx(y) = fy(x) = f(x, y). Через KC(X × Y, Z) позначимо сукупнiсть
усiх вiдображень f : X × Y → Z таких, що вiдображення fx : Y → Z неперервнi
для кожного x ∈ X, а вiдображення fy : X → Z квазiнеперервнi для кожного
y ∈ Y, а через KhC(X × Y,Z) — сукупнiсть усiх горизонтально квазiнеперервних
вiдображень f : X × Y → Z, якi неперервнi вiдносно другої змiнної. Елементи з
класу KC(X × Y,Z) коротко називаються KC-функцiями, а з KhC(X × Y,Z) —
KhC-функцiями. Зрозумiло, що KC(X × Y, Z) ⊆ KhC(X × Y,Z), але обернене
включення, взагалi кажучи, не є правильним.
Нам будуть потрiбнi наступнi простi властивостi горизонтально квазiнеперерв-
них вiдображень.
Лема 1. Нехай X, Y i Z — топологiчнi простори, f : X × Y → Z — горизон-
тально квазiнеперервне вiдображення, U i V — вiдкритi множини у просторах X
i Y вiдповiдно, A ⊆ X i U ⊆ A. Тодi f(U × V ) ⊆ f(A× V ).
Доведення. Нехай p = (x, y) ∈ U × V, z = f(p) i W — окiл точки z у просторi
Z. Оскiльки f горизонтально квазiнеперервне в точцi p, то f(G × {b}) ⊆ W для
деякої вiдкритої в X непорожньої множини G ⊆ U i для деякої точки b ∈ V. Але
U ⊆ A, отже, G ∩ A 6= ∅, тобто iснує точка a ∈ G ∩ A. Тодi (a, b) ∈ A × V i
W ∩ f(A× V ) 6= ∅, бо f(a, b) ∈W ∩ f(A× V ). Це показує, що z ∈ f(A× V ).
На вiдмiну вiд вiдповiдної властивостi для квазiнеперервних функцiй власти-
вiсть, що встановлена в лемi 1, не є характеристичною для горизонтальної квазi-
неперервностi.
Лема 2. Нехай X i Y — топологiчнi простори, Z — метричний простiр i
f : X × Y → Z — горизонтально квазiнеперервне вiдображення. Тодi для кожного
ε > 0 множина Qε(f) = {(x, y) ∈ X × Y : ωfy (x) < ε} скрiзь щiльна в X × Y.
Доведення. Нехай ε > 0, U i V — вiдкритi непорожнi множини в X i Y
вiдповiдно. Покажемо, що Qε(f) ∩ (U × V ) 6= ∅. Вiзьмемо довiльну точку p =
= (x, y) ∈ U × V i скористаємося горизонтальною квазiнеперервнiстю f у точцi p.
Якщо взяти за W вiдкриту кулю з центром у точцi z = f(p) i радiусом
ε
3
в Z, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
794 В. К. МАСЛЮЧЕНКО, В. В. НЕСТЕРЕНКО
iснують непорожня вiдкрита в X множина G в X i точка b ∈ V такi, що G ⊆ U i
|f(u, b)− z|Z <
ε
3
, як тiльки u ∈ G. Тодi для довiльних u′, u′′ ∈ G будемо мати
∣∣f(u′, b)− f(u′′, b)∣∣
Z
≤ |f(u′, b)− z|Z + |f(u′′, b)− z|Z <
2ε
3
,
отже, ωfb(G) ≤
2ε
3
< ε. Тому ωfb(x) < ε для довiльного x ∈ G. Взявши яку-небудь
точку a ∈ G, отримаємо, що (a, b) ∈ Qε(f) ∩ (U × V ), що i дає нам рiвнiсть
Qε(f) = X × Y.
3. Послаблення горизонтальної квазiнеперервностi i клас N . Кажуть [2],
що вiдображення f : X × Y → Z має властивiсть Гана, якщо множина CY (f) =
= {x ∈ X : {x}× Y ⊆ C(f)} є залишковою в X, тобто її доповнення X \CY (f) =
= prX(D(f)) є множиною першої категорiї в X, i властивiсть Вестона, якщо
для кожного y ∈ Y множина Cy(f) = {x ∈ X : (x, y) ∈ C(f)} є залишковою в
X. Зрозумiло, що з властивостi Гана випливає властивiсть Вестона, але обернене,
взагалi кажучи, не вiрно. Як уже зазначалося, у працi [11] було доведено, що
для метризовного простору Z i топологiчного простору X кожна KhC-функцiя
f : X×Y → Z має властивiсть Вестона (Гана), якщо простiр Y задовольняє першу
(другу) аксiому злiченностi.
Наступний приклад показує, що горизонтальна квазiнеперервнiсть є занадто
сильною умовою у цих теоремах.
Приклад 1. Визначимо функцiю f : R2 → R так:
f(x, y) =
1, x = 0,
0, x 6= 0.
У кожнiй точцi осi ординат x = 0 функцiя f не є горизонтально квазiнеперервною,
але вона має властивiсть Гана, бо CY (f) = R \ {0}, i, крiм того, f неперервна
вiдносно другої змiнної.
Щоб дати таке уточнення результату з [11], яке б включало i цей приклад,
уведемо такi властивостi вiдображення f : X × Y → Z:
i) для довiльних вiдкритих непорожнiх множин U i V вiдповiдно в X i Y та
довiльної множини A в X, для якої U ⊆ A, iснує вiдкрита непорожня множина G
в X така, що G ⊆ U i f(G× V ) ⊆ f((G ∩A)× V );
ii) для кожного ε > 0 множина Qε(f) = {(x, y) ∈ X × Y : ωfy (x) < ε} скрiзь
щiльна у просторi X × Y ;
iii) множина XC(f) = {x ∈ X : fx — неперервне} є залишковою в X.
Як бачимо, умова i) є послабленням властивостi, встановленої у лемi 1, а умова
ii) — це висновок леми 2. Отже, горизонтально квазiнеперервнi вiдображення мають
властивостi i) та ii). Остання властивiсть iii) є послабленням умови XC(f) = X,
яка означає неперервнiсть f вiдносно другої змiнної. В умовах i) та iii) X, Y i Z —
довiльнi топологiчнi простори, в умовi ii) простiр Z є метричним.
Для довiльних топологiчних просторiв X та Y i метричного простору Z сим-
волом N (X × Y, Z) позначимо сукупнiсть усiх вiдображень f : X × Y → Z,
якi мають усi три властивостi i), ii) та iii), а елементи з N (X × Y,Z) назвемо
N -вiдображеннями. З результатiв попереднього пункту випливає, що KhC(X ×
× Y, Z) ⊆ N (X × Y, Z).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
ТОЧКИ СУКУПНОЇ НЕПЕРЕРВНОСТI ТА ВЕЛИКI КОЛИВАННЯ 795
4. Множини злiченного типу та узагальнення теореми Кальбрi – Труаллiка.
Як i в [2], пiдмножинуB топологiчного простору Y називаємо множиною злiченно-
го типу, якщо iснує така не бiльш нiж злiченна система V = {Vn : n ∈ N} вiдкритих
множин Vn в Y, що для кожної точки y ∈ B система V(y) = {Vn : y ∈ Vn} є базою
околiв точки y у просторi Y. Така система V називається злiченною базою для B.
Увесь простiр Y є множиною злiченного типу тодi i тiльки тодi, коли вiн має не
бiльш нiж злiченну базу, тобто задовольняє другу аксiому злiченностi, а виконання
першої аксiоми злiченностi в Y означає, що всi одноточковi множини {y} в Y є
множинами злiченного типу.
Наступна теорема узагальнює результати з [2, 12] i багато iнших результатiв
такого типу.
Теорема 1. Нехай X i Y — топологiчнi простори, Z — метричний простiр,
B — множина злiченного типу в Y i f : X × Y → Z — N -вiдображення. Тодi
множина CB(f) =
{
x ∈ X : {x} ×B ⊆ C(f)
}
є залишковою в X.
Доведення. Мiркуючи вiд супротивного, припустимо, що доповнення E1 =
= X \CB(f) =
{
x ∈ X : (∃yx ∈ B)((x, yx) ∈ D(f))
}
є множиною другої категорiї
в X. За умовою iii) множина E2 = XC(f) залишкова в X, тобто доповнення X \E2
є множиною першої категорiї в X. Тодi i рiзниця E1 \ E2 — це множина першої
категорiї в X, а отже, перетин E3 = E1 ∩ E2 є множиною другої категорiї в X, бо
iнакше i множина E1 = (E1∩ E2)∪ (E1 \ E2) була б множиною першої категорiї
в X. Оскiльки об’єднання послiдовностi множин першої категорiї залишається
множиною першої категорiї i E3 =
∞⋃
n=1
{
x ∈ E3 : ωf (x, yx) ≥
1
n
}
, то iснує таке
ε > 0, що i E =
{
x ∈ E3 : ωf (x, yx) ≥ ε
}
є множиною другої категорiї в X.
Нехай V = {Vn : n ∈ N} — злiченна база для B. Розглянемо множини
An =
{
x ∈ E : yx ∈ Vn, ωfx(Vn) <
ε
6
}
.
Легко перевiрити, що
∞⋃
n=1
An = E. Справдi, нехай x ∈ E. Тодi x ∈ XC(f) i
вiдображення fx : Y → Z є неперервним, зокрема воно буде неперервним у точцi
yx. Тому iснує такий окiл V0 точки yx в Y, що ωfx(V0) <
ε
6
. Але yx ∈ B, отже,
V(yx) є базою околiв точки yx в Y. Тодi iснує такий номер n, що yx ∈ Vn ⊆ V0, а
значить, yx ∈ Vn i ωfx(Vn) <
ε
6
. Отже, x ∈ An.
Оскiльки E — множина другої категорiї в X i E =
∞⋃
n=1
An, то iснує такий номер
m, що множина A = Am десь щiльна в X, тобто вiдкрита множина U0 = intA не
порожня. Тодi з умови ii) безпосередньо випливає, що iснують точка b ∈ V = Vm i
вiдкрита непорожня множина U в X такi, що U ⊆ U0 i ωfb(U) <
ε
6
. Використавши
умову i), отримаємо, що iснує така вiдкрита непорожня множина G в X, що G ⊆ U
i f(G× V ) ⊆ f((G ∩A)× V ).
Покажемо, що ωf (G × V ) < ε. Нехай | · − · |Z — метрика на Z i pi ∈ G × V
при i = 1, 2. Для кожного i = 1, 2 знайдемо таку точку qi ∈ (G ∩ A) × V, що∣∣f(pi)−f(qi)∣∣Z < ε
6
.Нехай ui = prX(qi) при i = 1, 2. Розглянемо точки ri = (ui, b).
Оскiльки ui ∈ G ∩A ⊆ U, то∣∣f(r1)− f(r2)∣∣Z =
∣∣fb(u1)− fb(u2)∣∣Z ≤ ωfb(U) <
ε
6
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
796 В. К. МАСЛЮЧЕНКО, В. В. НЕСТЕРЕНКО
Покладемо vi = prY (qi). Оскiльки vi, b ∈ V = Vm i ui ∈ A = Am при i = 1, 2, то з
означення множини Am випливає, що∣∣f(qi)− f(ri)∣∣Z =
∣∣fui(vi)− fui(b)∣∣Z ≤ ωfui (Vm) <
ε
6
при i = 1, 2. На основi цього маємо∣∣f(p1)− f(p2)∣∣Z ≤ ∣∣f(p1)− f(q1)∣∣Z +
∣∣f(q1)− f(r1)∣∣Z +
∣∣f(r1)− f(r2)∣∣Z+
+
∣∣f(r2)− f(q2)∣∣Z +
∣∣f(q2)− f(p2)∣∣Z < 5ε
6
,
а отже, ωf (G× V ) ≤ 5ε
6
< ε.
Оскiльки ∅ 6= G ⊆ U ⊆ U0 ⊆ A i множинаG вiдкрита, то iснує точка a ∈ G∩A.
З означення множини Am випливає, що ya ∈ V, отже, p = (a, ya) ∈ G×V, звiдки за
доведеним отримуємо, що ωf (p) ≤ ωf (G×V ) < ε. Але, з iншого боку, a ∈ A ⊆ E i
тому ωf (p) = ωf (a, ya) ≥ ε.Отримана суперечнiсть завершує доведення теореми 1.
З теореми 1 безпосередньо випливає такий наслiдок.
Наслiдок 1. Нехай X i Y — топологiчнi простори, Z — метричний простiр i
f : X × Y → Z — N -вiдображення. Тодi:
а) якщо простiр Y задовольняє першу аксiому злiченностi, то f має власти-
вiсть Вестона;
б) якщо простiр Y задовольняє другу аксiому злiченностi, то f має власти-
вiсть Гана.
5. Великi коливання: розвиток методу Гана. Щоб розвинути метод Гана з
[18], нам потрiбен один допомiжний результат (див. [15], доведення теореми 1).
Лема 3. Нехай X — топологiчний простiр, Y i Z — метричнi простори з
метриками | · − · |Y i | · − · |Z вiдповiдно, f : X × Y → Z — CC-функцiя i δ та ε —
додатнi числа. Тодi множина
A(δ, ε) =
{
x ∈ X : (∀y′, y′′ ∈ Y )(|y′ − y′′|Y < δ ⇒ |fx(y′)− fx(y′′)|Y ≤ ε)
}
є замкненою в X.
Доведення. Нехай всi елементи узагальненої послiдовностi (xγ) належать до
множини A(δ, ε) i xγ → a в X. Вiзьмемо довiльнi y′ i y′′ з Y, для яких |y′− y′′|Y <
< δ. Оскiльки f є CC-функцiєю, то множина YC(f) =
{
y ∈ Y : fy — неперервне
вiдображення
}
скрiзь щiльна в Y. Тому iснують такi послiдовностi елементiв y′j i
y′′j з YC(f), що |y′j − y′′j |Y < δ для кожного j i y′j → y′, а y′′j → y′′. Для довiльних
γ i j маємо ∣∣fy′j (xγ)− fy′′j (xγ)∣∣Z =
∣∣fxγ (y′j)− fxγ (y′′j )∣∣Z ≤ ε,
адже xγ ∈ A(δ, ε) i |y′j − y′′j |Y < δ. Вiдображення fy′j i fy′′j неперервнi, тому,
перейшовши в данiй нерiвностi до границi вiдносно γ, одержимо рiвнiсть∣∣fy′j (a)− fy′′j (a)∣∣Z =
∣∣fa(y′j)− fa(y′′j )∣∣Z ≤ ε,
звiдки, скориставшись неперервнiстю вiдображення fa, отримаємо, перейшовши
до границi вiдносно j, нерiвнiсть∣∣fa(y′)− fa(y′′)∣∣
Z
≤ ε,
з якої випливає, що a ∈ A(δ, ε). Це i показує, що множина A(δ, ε) є замкненою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
ТОЧКИ СУКУПНОЇ НЕПЕРЕРВНОСТI ТА ВЕЛИКI КОЛИВАННЯ 797
Теорема 2. Нехай X — берiвський простiр, Y — метризовний компакт, Z
— метричний простiр i f ∈ KhC(X × Y,Z). Тодi для кожного ε > 0 множина
prX(Dε(f)) є замкненою i нiде не щiльною в X.
Доведення. Зафiксуємо метрику | · − · |Y на Y, яка породжує його топологiю, i
нехай, як звичайно, | ·− · |Z — метрика на просторi Z. Вiзьмемо ε > 0, η =
ε
6
, δ > 0
i розглянемо множину A(δ, η) з леми 3. Нехай B = {bn : n ∈ N} — скрiзь щiльна в
Y множина (така множина iснує, бо Y, як метризовний компакт, є сепарабельним
простором). З наслiдку теореми 1 випливає, що множини Sn = Cbn(f) є залишко-
вими у просторi X, адже Y, як метризовний простiр, задовольняє першу аксiому
злiченностi. Тодi i множина S =
∞⋂
n=1
Sn буде залишковою в X. Оскiльки звуження
g|S×Y : S × Y → Z є CC-функцiєю, то за лемою 3 множина A0 = A(δ, η) ∩ S є
замкненою в S.
За теоремою Куратовського про проекцiю множина E = prX(Dε(f)) буде замк-
неною в X. Припустимо, що вона там десь щiльна. Тодi iснує така вiдкрита в X
непорожня множина G, що G ⊆ E.
Розглянемо замкненi в S множини Fn = A
(
1
n
, η
)
∩ S. Оскiльки за теоремою
Кантора кожна функцiя fx : Y → Z рiвномiрно неперервна, то
∞⋃
n=1
Fn = S. Простiр
S є берiвським в iндукованiй зX топологiї, аджеX є берiвським, а S — залишковою
в X [25, с.117]. Тому множина H =
∞⋃
n=1
intS Fn є вiдкритою i скрiзь щiльною в
S. Оскiльки S, як залишкова множина у берiвському просторi X, сама є скрiзь
щiльною в X, то i H є скрiзь щiльною в X множиною. В такому разi H ∩G 6= ∅.
Таким чином, iснує точка x0 ∈ H ∩G. Оскiльки G ⊆ E, то x0 ∈ E, отже, iснує
така точка y0 ∈ Y, що p0 = (x0, y0) ∈ Dε(f). Крiм того, x0 ∈ H, отже, iснує такий
номер m, що x0 ∈ intS Fm. Нехай V =
{
y ∈ Y : |y − y0|Y <
1
2m
}
. Виберемо таку
точку b ∈ B ∩ V, що
∣∣f(x0, b) − f(x0, y0)∣∣Z <
ε
18
. Оскiльки x0 ∈ S i b ∈ B, то
(x0, b) ∈ C(f), зокрема x0 ∈ C(fb). Тому iснує такий вiдкритий окiл U точки x0 в
X, що
∣∣f(x, b)− f(x0, b)∣∣Z < ε
18
при x ∈ U i U ∩ S ⊆ Fm.
Множина W = U × V є околом точки p0 у добутку X × Y i ωf (p0) ≥ ε. Тому
ωf (W ) ≥ ε, а отже, iснує така точка p1 = (x1, y1) ∈ W, що
∣∣f(p1)− f(p0)∣∣Z > ε
3
.
З горизонтальної кавазiнеперервностi функцiї f у точцi p1 випливає, що iснують
точка y∗ ∈ V i вiдкрита в X непорожня множина U∗ такi, що U∗ ⊆ U i |f(x, y∗)−
− f(x1, y1|Z <
ε
18
при x ∈ U∗. Оскiльки множина S скрiзь щiльна в X, то iснує
точка x∗ ∈ S ∩ U∗.
В такому разi, з одного боку, будемо мати∣∣f(x∗, b)− f(x∗, y∗)∣∣
Z
≥
∣∣f(p1)− f(p0)∣∣Z − ∣∣f(x∗, b)− f(x0, b)∣∣Z−
−
∣∣f(x0, b)− f(x0, y0)∣∣Z − ∣∣f(x∗, y∗)− f(x1, y1)∣∣Z >
>
ε
3
− 3 · ε
18
=
ε
6
= η,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
798 В. К. МАСЛЮЧЕНКО, В. В. НЕСТЕРЕНКО
а з iншого — за побудовою y∗, b ∈ B i x∗ ∈ Fm, бо x∗ ∈ S ∩ U∗ ⊆ S ∩ U ⊆ Fm, i,
крiм того,
|b− y∗|Y ≤ |b− y0|Y + |y0 − y∗|Y <
1
2m
+
1
2m
=
1
m
,
отже, |f(x∗, b)− f(x∗, y∗)|Z ≤ η. Отримана суперечнiсть i доводить теорему.
Зауважимо, що для KC-функцiй це твердження iншим способом доведено в
[14] (наслiдок 3.8).
6. Новий пiдхiд до задачi про великi коливання. У цьому пунктi ми пiдси-
лимо теорему 2, застосувавши при цьому новий метод.
Теорема 3. Нехай X — берiвський простiр, Y — метризовний компакт, Z
— метричний простiр i f ∈ N (X × Y, Z). Тодi для кожного ε > 0 множина
prX(Dε(f)) є замкненою i нiде не щiльною в X.
Доведення. Будемо використовувати позначення з попереднього пункту.
Нехай G — довiльна непорожня вiдкрита в X множина i E = G ∩ XC(f).
Оскiльки простiр X є берiвським, то G — множина другої категорiї в X. Множина
XC(f) залишкова в X, бо f має властивiсть iii) з п. 3. Тому E — множина другої
категорiї в X.
Зафiксуємо ε > 0 i розглянемо множини Fn = A
(
1
n
, η
)
∩ E, де η =
ε
6
.
Зрозумiло, що
∞⋃
n=1
Fn = E. Оскiльки E є множиною другої категорiї в X, то
iснує такий номер m, що множина Fm десь щiльна в X, тобто H = intFm 6= ∅.
Оскiльки множина H вiдкрита в X i H ⊆ Fm, то H ⊆ H ∩ Fm, звiдки випливає,
що H ∩ Fm 6= ∅. Множина U0 = H ∩ G, очевидно, вiдкрита i непорожня, бо
U0 ⊇ H ∩ Fm. Покладемо A0 = U0 ∩ Fm. Зрозумiло, що A0 ⊆ U0 ⊆ A0.
Нехай δ =
1
2m
i Vδ(y) = {v ∈ Y : |v − y|Y < δ}. З вiдкритого покриття
{Vδ(y) : y ∈ Y } компактного простору Y видiлимо скiнченне пiдпокриття, що
складається з куль Vk = Vδ(yk), k = 1, . . . , n.
Розглянемо вiдкриту непорожню множину U0 × V1 у добутку X × Y. Оскiльки
f задовольняє умову ii), то множина Qη(f) скрiзь щiльна в X × Y. Отже, iснують
точка b ∈ V1 i непорожня вiдкрита вX множинаG1 такi, щоG1 ⊆ U0 i ωfb(G1) < η.
Згiдно з умовою i) iснує така вiдкрита в X i непорожня множина U1, що U1 ⊆ G1
i f(U1 × V1) ⊆ f((U1 ∩A0)× V1).
Покажемо, що ωf (U1 × V1) < ε. Нехай p1 i p2 — довiльнi точки з U1 × V1.
Оскiльки f(pi) ∈ f((U1 ∩A0)× V1) при i = 1, 2, то для кожного i = 1, 2 iснує така
точка qi = (ui, vi) ∈ (U1 ∩ A0)× V1), що |f(pi)− f(qi)|Z < η. Розглянемо точки
ri = (ui, b) при i = 1, 2. Оскiльки b i vi — точки з кулi V1, то
|b− vi|Y ≤ |b− y1|Y + |y1 − vi|Y < 2δ =
1
m
.
Але ui ∈ A0 ⊆ Fm при i = 1, 2. Тому згiдно з означенням множини Fm маємо
|f(qi)− f(ri)|Z = |fui(vi)− fui(b)|Z ≤ η
при i = 1, 2. Крiм того, ui ∈ U1 ⊆ G1 при i = 1, 2, отже,
|f(r1)− f(r2)|Z = |fb(u1)− fb(u2)|Z ≤ ωfb(G1) < η.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
ТОЧКИ СУКУПНОЇ НЕПЕРЕРВНОСТI ТА ВЕЛИКI КОЛИВАННЯ 799
Тому
|f(p1)− f(p2)|Z ≤ |f(p1)− f(q1)|Z + |f(q1)− f(r1)|Z+
+|f(r1)− f(r2)|Z + |f(r2)− f(q2)|Z + |f(q2)− f(p2)|Z < 5η.
Звiдси випливає, що ωf (U1 × V1) ≤ 5η < ε.
Повторивши цю побудову для множини U1×V1, одержимо непорожню вiдкриту
в X множину U2 таку, що U2 ⊆ U1 i ωf (U2 × V2) < ε. Так крок за кроком
ми зможемо визначити вiдкритi непорожнi множини U1, U2, . . . , Un в X такi, що
Uk−1 ⊇ Uk i ωf (Uk × Vk) < ε при k = 1, . . . , n.
Покладемо U = Un. Зрозумiло, що U ⊆ Uk для кожного k = 1, . . . , n, а тому
ωf (U × Vk) ≤ ωf (Uk × Vk) < ε. Для кожної точки p = (x, y) ∈ U × Y iснує таке
k = 1, . . . , n, що y ∈ Vk, i тому ωf (p) ≤ ωf (U × Vk) < ε, адже множини U × Vk
вiдкритi в X ×Y. Таким чином, (U ×Y )∩Dε(f) = ∅, отже, U ∩prX(Dε(f)) = ∅.
Оскiльки множина U вiдкрита в X i ∅ 6= U ⊆ G, то це i показує, що множина
prX(Dε(f)) нiде не щiльна в X. Замкненiсть цiєї множини, як i ранiше, випливає
з теореми Куратовського.
7. Деякi приклади. Нехай X — берiвський, Y — топологiчний i Z — метричний
простори i вiдображення f : X × Y → Z має властивiсть Гана. Легко перевiрити,
що тодi f задовольняє умови ii) та iii), до того ж для виконання умови ii) досить i
властивостi Вестона. Наведемо приклад, який показує, що умова i) може при цьому
не виконуватись.
Приклад 2. Нехай n → rn — бiєкцiя натурального ряду N на множину Q
всiх рацiональних чисел, I = R \ Q — множина всiх iррацiональних чисел i R+ =
= [0,+∞) — додатна пiввiсь. Розглянемо функцiю f : R× R+ → R, яка визначена
таким чином: f(x, y) = 1−2
∣∣∣∣y − n+
1
2
∣∣∣∣ , якщо x = rn, n−1 ≤ y ≤ n, i f(x, y) = 0
в iнших точках. Оскiльки для кожного n маємо D(f)∩(R× [n−1, n]) = {rn}×(n−
−1, n), то D(f) =
∞⋃
n=1
{rn}× (n−1, n), отже, prRD(f) = Q. Звiдси безпосередньо
випливає, що f має властивiсть Гана. Разом з тим f не задовольняє умову i).
Справдi, для довiльної вiдкритої непорожньої множини G в R iснує таке n, що
rn ∈ G, отже,
[0, 1] = f({zn} × (n− 1, n)) ⊆ f(G× R+) ⊆ [0, 1],
а тому f(G×R+) = [0, 1]. Але f((G∩ I)×R+) = {0}, а отже, i f((G ∩ I)× R+) =
= {0}. Таким чином, f((G ∩ I)× R+) 6⊇ f(G× R+), незважаючи на те, що I = R.
Умова компактностi в теоремi 2 є iстотною, навiть якщо вiдображення буде ква-
зiнеперервним вiдносно першої змiнної i рiвномiрно неперервним вiдносно другої.
Це видно з наступного прикладу.
Приклад 3. Нехай знову n → rn : N → Q — бiєкцiя. Визначимо функцiю
f : R2 → R так: f(x, y) =
√
1
4
− (x− rn)2 − (y − n)2, якщо rn−
√
1
4
− (y − n)2 ≤
≤ x ≤ rn, i f(x, y) = 0 в рештi точок. Всi горизонтальнi y-розрiзи fy неперервнi
злiва, а отже, i квазiнеперервнi. Далi, оскiльки функцiя g(x, y) =
√
1
4
− x2 − y2
рiвномiрно неперервна на компактi x2+y2 ≤ 1
4
, то всi її x-розрiзи gx при |x| ≤ 1
2
є
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
800 В. К. МАСЛЮЧЕНКО, В. В. НЕСТЕРЕНКО
одностайно рiвномiрно неперервними, звiдки безпосередньо випливає i рiвномiрна
неперервнiсть всiх x-розрiзiв fx функцiї f. Разом з тим для ε =
1
2
(rn, n) ∈
∈ Dε(f) для кожного n. Отже, проекцiя A множини Dε(f) на вiсь абсцис мiстить
множину Q всiх рацiональних чисел, а отже, є скрiзь щiльною в R. Бiльш того,
легко перевiрити, що Dε(f) = {(rn, n) : n ∈ N} при ε =
1
2
i A = Q.
1. Baire R. Sur les fonctions de variables reélles // Ann. mat. pura ed appl. Ser. 3. – 1899. – 3. – P. 1 – 123.
2. Calbrix J., Troallic J. P. Applications séparément continues // C.r. Acad. sci. A. – 1979. – 288. –
P. 647 – 648.
3. Маслюченко В. К. Нарiзно неперервнi вiдображення i простори Кете: Дис. . . . д-ра фiз.-мат. наук.
– Чернiвцi, 1999. – 345 с.
4. Михайлюк В. В. Координатний метод i теорiя нарiзно неперервних вiдображень: Дис. . . . д-ра
фiз.-мат. наук. – Чернiвцi, 2008. – 333 с.
5. Нестеренко В. В. Рiзнi типи квазiнеперервностi та їх застосування: Дис. . . . канд. фiз.-мат. наук. –
Чернiвцi, 1999. – 111 с.
6. Маслюченко О. В. Коливання нарiзно неперервних функцiй i топологiчнi iгри: Дис. . . . канд. фiз.-
мат. наук. – Чернiвцi, 2001. – 164 с.
7. Maslyuchenko V. K. Connections between joint and separate properties of functions of several vari-
ables // Some Open Problems of Functional Analysis and Function Theory / Eds V. K. Maslychenko,
A. M. Plichko. Extracts math. – 2005. – 20, № 1. – P. 51 – 70.
8. Piotrowski Z. Separate and joint continuity // Real Anal. Exch. – 1985 - 1986. – 11, № 2. – P. 293 – 322.
9. Piotrowski Z. Separate and joint continuity II // Ibid. – 1989 - 1990. – 15, № 1. – P. 248 – 256.
10. Маслюченко В. К. Простори Гана i задача Дiнi // Мат. методи i фiз.-мех. поля. – 1998. – 41, № 4. –
C. 3 – 45.
11. Маслюченко В. К., Нестеренко В. В. Сукупна неперервнiсть та квазiнеперервнiсть горизонтально
квазiнеперервних функцiй // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 12. – С. 1711 – 1714.
12. Энгелькинг Р. Общая топология. – М.: Мир, 1986. – 752 с.
13. Маслюченко В. К. Часткова неперервнiсть многозначних вiдображень i узагальнення однiєї теоре-
ми Бера // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. – 2000. – Вип. 76. – C. 62 – 66.
14. Breckenridge J. C., Nishiura T. Partial continuity, quasicontinuity and Baire spaces // Bull. Inst. Acad.
Sinica. – 1976. – 4, № 2. – P. 191 – 203.
15. Маслюченко В. К. Задача Дiнi i рiвномiрна неперервнiсть // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика.
– 1999. – Вип. 46. – C. 80 – 87.
16. Van Vleck E. B. A proof of some theorems on pointwise discontinuous functions // Trans. Amer. Math.
Soc. – 1907. – 8. – P. 180 – 204.
17. Hahn H. Theorie der reellen Funktionen. 1 Band. – Berlin: Verlag von Julius Springer, 1921. – VIII +
600 S.
18. Hahn H. Reelle Funktionen. 1 Teil. Punktfunktionen. - Leipzig: Acad. Verlagsgesellschaft M.B.H., 1932.
– 416 S.
19. Namioka I. Separate continuity and joint continuity // Pacif. J. Math. – 1974. – 51, № 2. – P. 515 – 531.
20. Kempisty S. Sur les functions quasicontinues // Fund. Math. – 1932. – 19. – P. 184 – 197.
21. Neubrunn T. Quasi-continuity // Real Anal. Exch. – 1988 - 1989. – 14, № 3. – P. 259 – 306.
22. Маслюченко В. К., Нестеренко В. В. Про розвиток одного результату Беґеля // Всеукр. наук. конф.,
присв. 70-рiччю нар. проф. П. С. Казiмiрського (5 – 7 жовтня 1995). Тези доп. Ч. I. – Львiв, 1995. –
С. 80.
23. Bögel K. Über partiell differenzierbare Funktionen // Math. Z. – 1926. – 25. – S. 490 – 498.
24. Бурбаки Н. Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функцио-
нальные пространства. Сводка результатов. – М.: Наука, 1975. – 408 с.
Одержано 16.02.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2910 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:32:39Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e8/eb15865cc6f80669d67bd74ec3e93fe8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29102020-03-18T19:40:12Z Points of joint continuity and large oscillations Точки сукупної неперервності та великі коливання Maslyuchenko, V. K. Nesterenko, V. V. Маслюченко, В. К. Нестеренко, В. В. For topological spaces $X$ and $Y$ and a metric space $Z$, we introduce a new class $N(X × Y,Z)$ of mappings $f:\; X × Y → Z$ containing all horizontally quasicontinuous mappings continuous with respect to the second variable. It is shown that, for each mapping $f$ from this class and any countable-type set $B$ in $Y$, the set $C_B (f)$ of all points $x$ from $X$ such that $f$ is jointly continuous at any point of the set $\{x\} × B$ is residual in $X$: We also prove that if $X$ is a Baire space, $Y$ is a metrizable compact set, $Z$ is a metric space, and $f ∈ N(X×Y,Z)$, then, for any $ε > 0$, the projection of the set $D^{ε} (f)$ of all points $p ∈ X × Y$ at which the oscillation $ω_f (p) ≥ ε$ onto $X$ is a closed set nowhere dense in $X$. Для топологических пространств $X$, $Y$ и метрического пространства $Z$ введен новый класс $N(X × Y,Z)$ отображений $f:\; X × Y → Z$, содержащий все горизонтально квазинепрерывные и непрерывные относительно второй переменной отображения, и установлено, что для каждого отображения $f$ из этого класса и произвольного множества $B$ исчислимого типа в $Y$ множество $C_B (f)$ всех точек $х \in X$ таких, что $f$ является совокупно непрерывным в каждой точке множества $\{x\} × B$, есть остаточным в $X$. Кроме того, доказано, что если $X$ — беровское пространство, $Y$ — метризуемый компакт, $Z$ — метрическое пространство $f ∈ N(X×Y,Z)$, то для каждого $ε > 0$ проекция на $X$ множества $D^{ε} (f)$ всех тех точек $p ∈ X × Y$, в которых колебание $ω_f (p) ≥ ε$, является замкнутым и нигде не плотным множеством в $X$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2910 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 6 (2010); 791–800 Український математичний журнал; Том 62 № 6 (2010); 791–800 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2910/2571 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2910/2572 Copyright (c) 2010 Maslyuchenko V. K.; Nesterenko V. V. |
| spellingShingle | Maslyuchenko, V. K. Nesterenko, V. V. Маслюченко, В. К. Нестеренко, В. В. Points of joint continuity and large oscillations |
| title | Points of joint continuity and large oscillations |
| title_alt | Точки сукупної неперервності та великі коливання |
| title_full | Points of joint continuity and large oscillations |
| title_fullStr | Points of joint continuity and large oscillations |
| title_full_unstemmed | Points of joint continuity and large oscillations |
| title_short | Points of joint continuity and large oscillations |
| title_sort | points of joint continuity and large oscillations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2910 |
| work_keys_str_mv | AT maslyuchenkovk pointsofjointcontinuityandlargeoscillations AT nesterenkovv pointsofjointcontinuityandlargeoscillations AT maslûčenkovk pointsofjointcontinuityandlargeoscillations AT nesterenkovv pointsofjointcontinuityandlargeoscillations AT maslyuchenkovk točkisukupnoíneperervnostítavelikíkolivannâ AT nesterenkovv točkisukupnoíneperervnostítavelikíkolivannâ AT maslûčenkovk točkisukupnoíneperervnostítavelikíkolivannâ AT nesterenkovv točkisukupnoíneperervnostítavelikíkolivannâ |