Conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear differential and functional differential equations
Let $E$ be a finite-dimensional Banach space, let $C^0(R; E)$ be a Banach space of functions continuous and bounded on $R$ and taking values in $E$; let $K:\;C^0(R ,E) → C^0(R, E)$ be a $c$-continuous bounded mapping, let $A:\;E → E$ be a linear continuous mapping, and let $h ∈ C^0(R, E)$. We establ...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2914 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508910920663040 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:12Z |
| description | Let $E$ be a finite-dimensional Banach space, let $C^0(R; E)$ be a Banach space of functions continuous and bounded on $R$ and taking values in $E$; let $K:\;C^0(R ,E) → C^0(R, E)$ be a $c$-continuous bounded mapping, let $A:\;E → E$ be a linear continuous mapping, and let $h ∈ C^0(R, E)$. We establish conditions for the existence of bounded solutions of the nonlinear equation
$$\frac{dx(t)}{dt} + (Kx)(t)Ax(t) = h(t),\;t ∈ R.$$ |
| first_indexed | 2026-03-24T02:32:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.988.63
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
УМОВИ IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ
I ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
Let E be a finite-dimensional Banach space, C0(R, E) be the Banach space of continuous functions bounded
on R with values in E, K : C0(R, E) → C0(R, E) be a c-continuous bounded mapping, let A : E → E
be a linear continuous mapping, and let h ∈ C0(R, E). We obtain conditions for the existence of bounded
solutions of the nonlinear equation
dx(t)
dt
+ (Kx)(t)Ax(t) = h(t), t ∈ R.
Пусть E — конечномерное банахово пространство, C0(R, E) — банахово пространство непрерывных и
ограниченных на R функций со значениями в E, K : C0(R, E)→ C0(R, E) — c-непрерывное и огра-
ниченное отображение, A : E → E — линейное непрерывное отображение и h ∈ C0(R, E). Получены
условия существования ограниченных решений нелинейного уравнения
dx(t)
dt
+(Kx)(t)Ax(t) = h(t),
t ∈ R.
1. Основнi функцiональнi простори i c-неперервнi оператори. Нехай R — мно-
жина всiх дiйсних чисел, C — множина всiх комплексних чисел, E — дiйсний або
комплексний банахiв простiр з нормою ‖ · ‖E , i L(E,E) — банахова алгебра всiх
лiнiйних неперервних операторiв A : E → E з нормою
‖A‖L(E,E) = sup
‖x‖E=1
‖Ax‖E .
Позначимо через C0(R, E) банахiв простiр неперервних i обмежених на R
функцiй x = x(t) зi значеннями в E з нормою
‖x‖C0(R,E) = sup
t∈R
‖x(t)‖E .
Зауважимо, що ‖a‖E = |a|, якщо E = R або E = C. Через C1(R, E) позначимо
банахiв простiр функцiй x ∈ C0(R, E), похiдна кожної з яких є елементом простору
C0(R, E), з нормою
‖x‖C1(R,E) = max
{
‖x‖C0(R,E),
∥∥∥∥dxdt
∥∥∥∥
C0(R,E)
}
.
Говоритимемо, що послiдовнiсть (xn)n≥1 елементiв простору C0(R, E) локаль-
но збiгається до елемента x ∈ C0(R, E), i позначатимемо
xn
loc. C0(R,E)−−−−−−−−→ x при n→∞,
якщо ця послiдовнiсть обмежена i для кожного числа p > 0
lim
n→+∞
max
|t|≤p
‖xn(t)− x(t)‖E = 0.
Оператор B : C0(R, E) → C0(R, X) (X збiгається з E або R) називається
c-неперервним, якщо для довiльних x ∈ C0(R, E) i xn ∈ C0(R, E), n ≥ 1, для яких
xn
loc. C0(R,E)−−−−−−−−→ x при n→∞
c© В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 837
838 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
виконується спiввiдношення
Bxn
loc. C0(R,X)−−−−−−−−→ Bx при n→∞.
Кожному натуральному числу n спiвставимо лiнiйний неперервний оператор
Pn, що дiє в просторi C0(R, E) i визначається рiвнiстю
(Pnx)(t) =
x(−n), якщо t ≤ −n,
x(t), якщо t ∈ (−n, n),
x(n), якщо t ≥ n.
(1)
c-Неперервний оператор B : C0(R, E) → C0(R, E) називається c-цiлком непе-
рервним, якщо для кожного n ≥ 1 оператор PnB : C0(R, E) → C0(R, E) є цiлком
неперервним.
Поняття c-неперервного i c-цiлком неперервного операторiв увiв до розгляду
(на мовi „ε, δ”) Е. Мухамадiєв [1]; їх вивчення було продовжено у роботах [2 – 9]
та iн. Означення c-неперервного оператора, в якому використано локально збiжнi
послiдовностi, запропонував автор (див., наприклад, [10 – 12]).
2. Об’єкт дослiджень i формулювання основного результату. Позначимо че-
рез K множину обмежених c-неперервних операторiв K, що дiють iз простору
C0(R, E) у простiр C0(R,R), для кожного з яких
inf
t∈R, x∈C0(R,E)
|(Kx)(t)| > 0.
Обмеженiсть кожного елемента k ∈ K означає, що для будь-якої обмеженої мно-
жини G ⊂ C0(R, E) множина KG також є обмеженою.
Розглянемо нелiнiйне рiвняння
dx(t)
dt
+ (Kx)(t)Ax(t) = h(t), t ∈ R, (2)
де K ∈ K, A ∈ L(E,E) i h ∈ C0(R, E).
Очевидно, що окремими випадками (2) є наступнi рiвняння:
dx(t)
dt
+ k1(t, x(t))Ax(t) = h(t), (3)
dx(t)
dt
+ k2
(
t, max
τ∈[α1,β1]
‖x(t+ τ)‖E , min
τ∈[α2,β2]
‖x(t+ τ)‖E
)
Ax(t) = h(t), (4)
dx(t)
dt
+ k3(t, x(t−∆1), . . . , x(t−∆m))Ax(t) = h(t), (5)
де [α1, β1], [α2, β2] — довiльнi вiдрiзки, а k1(t, x), k2(t, y1, y2) i k3(t, x1, . . . , xn) —
неперервнi вiдповiдно на R×E, R× [0,+∞)× [0,+∞) i R×E × · · · × E︸ ︷︷ ︸
m разiв
функцiї,
для яких
sup{|k1(t, x)| : t ∈ R, ‖x‖E < a} < +∞,
sup{|k2(t, y1, y2)| : t ∈ R, |y1| < a, |y2| < a} < +∞,
sup{|k3(t, x)| : t ∈ R, ‖x1‖E < a, . . . , ‖xm‖E < a} < +∞
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
УМОВИ IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 839
для кожного додатного числа a i
inf{|k1(t, x)| : (t, x) ∈ R× E} > 0,
inf{|k2(t, y1, y2)| : (t, y1, y2) ∈ R× [0,+∞)× [0,+∞)} > 0,
inf{|k3(t, x)| : t ∈ R, x1 ∈ E, . . . , xm ∈ E} > 0.
Наведенi приклади свiдчать про те, що рiвняння (2) може бути рiвнянням iз
вiдхиляючим аргументом.
Основною задачею в статтi є з’ясування умов, при виконаннi яких рiвняння (2)
для кожної функцiї h ∈ C0(R, E) має хоча б один розв’язок x ∈ C1(R, E).
Суттєвим при розв’язаннi цiєї задачi є використання c-неперервних операторiв
i теореми про нерухому точку для таких операторiв.
Зауважимо, що внаслiдок нелiпшицевостi оператора K вiдомi методи дослiд-
ження обмежених розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiальних рiвнянь (див.,
наприклад, [13 – 20]) не застосовнi до рiвняння (2) i, зокрема, до рiвнянь (3) – (5).
Розглянемо лiнiйний диференцiальний оператор L : C1(R, E) → C0(R, E), що
визначається спiввiдношенням
(Lx)(t) =
dx(t)
dt
+Ax(t), t ∈ R, (6)
де A — лiнiйний неперервний оператор, такий, як i у (2).
Основним результатом статтi є наступне твердження.
Теорема 1. Нехай dimE < +∞. Для того щоб рiвняння (2) при довiльних
h ∈ C0(R, E) i K ∈ K мало хоча б один розв’язок x ∈ C1(R, E), необхiдно i
достатньо, щоб оператор L : C1(R, E) → C0(R, E) мав обернений неперервний
оператор.
Це твердження встановимо, використавши ряд допомiжних результатiв.
3. Зображення обмежених розв’язкiв лiнiйних неоднорiдних рiвнянь. Роз-
глянемо лiнiйне диференцiальне рiвняння
dx(t)
dt
+ ω(t)Ax(t) = h(t), t ∈ R, (7)
де ω ∈ C0(R,R) i h ∈ C0(R, E).
Наведемо зображення обмеженого розв’язку цього рiвняння, яке використову-
ватимемо при дослiдженнi рiвняння (2).
Нагадаємо, що у випадку, коли оператор L : C1(R, E) → C0(R, E) має обер-
нений неперервний оператор, iснує визначена на R функцiя G(t) зi значеннями в
L(E,E) (див., наприклад, [15] у випадку дiйсного E i [21] у випадку комплексного
E), для якої:
1) рiзниця G(+0)−G(−0) є одиничним елементом I алгебри L(E,E);
2) при t 6= 0 справджується тотожнiсть
dG(t)
dt
+AG(t) ≡ O;
3) iснують такi числа M ≥ 1 i γ > 0, що ‖G(t)‖L(E,E) ≤ M exp{−γ|t|} для
всiх t ∈ R.
Функцiя G(t) називається функцiєю Грiна [15, 21] оператора L, що визнача-
ється спiввiдношенням (6). За допомогою цiєї функцiї для кожного h ∈ C0(R, E)
єдиний обмежений розв’язок рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
840 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
dx(t)
dt
+Ax(t) = h(t), t ∈ R, (8)
має вигляд
x(t) =
+∞∫
−∞
G(t− τ)h(τ)dτ. (9)
Важливою для подальшого є наступна теорема.
Теорема 2. Нехай ω ∈ C0(R,R), inf
t∈R
|ω(t)| > 0, h ∈ C0(R, E) i оператор
L : C1(R, E)→ C0(R, E) має обернений неперервний оператор. Тодi функцiя
x(t) =
+∞∫
−∞
G
t∫
τ
ω(s)ds
h(τ)dτ, t ∈ R, (10)
є обмеженим розв’язком рiвняння (7),
‖x‖C0(R,E) ≤
2M
γ inf{|ω(t)| : t ∈ R}
‖h‖C0(R,E) (11)
i
‖x‖C1(R,E) ≤
(
2M‖ω‖C0(R,E)‖A‖L(E,E)
γ inf{|ω(t)| : t ∈ R}
+ 1
)
‖h‖C0(R,E). (12)
Зауважимо, що в цiй теоремi простiр E може бути нескiнченновимiрним.
Доведення. Розглянемо функцiю τ : R→ R, що визначається рiвнiстю
τ(t) =
t∫
0
ω(s)ds, t ∈ R.
Завдяки умовам теореми ця функцiя строго монотонна, неперервно диференцiйов-
на на R i множина її значень збiгається з R. Тому для неї iснує обернена функцiя
τ−1 : R → R, що також є неперервно диференцiйовною на R. За допомогою цiєї
функцiї диференцiальне рiвняння (7) можна подати у виглядi
dx(t)
dτ(t)
+Ax(t) =
1
ω(t)
h(t),
або
dz(τ(t))
dτ(t)
+Az(τ(t)) =
1
ω(τ−1(τ(t)))
h(τ−1(τ(t))), t ∈ R, (13)
де
z(τ(t)) = x(τ−1(τ(t))), (14)
якщо урахувати, що τ−1(τ(t)) ≡ t.
Рiвняння (13) по вiдношенню до z(τ) є рiвнянням вигляду (8), i права частина
цього рiвняння неперервна й обмежена на R (завдяки умовам теореми). Тому на
пiдставi (9) єдиний обмежений розв’язок рiвняння (13) має вигляд
z(τ(t)) =
+∞∫
−∞
G(τ(t)− s) 1
ω(τ−1(s))
h(τ−1(s))ds.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
УМОВИ IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 841
Перейшовши в цiй рiвностi до нової змiнної iнтегрування ν = τ−1(s) i врахувавши
(14) та рiвнiсть
τ(t)− τ(ν) =
t∫
ν
ω(s)ds,
отримаємо (10).
Тепер покажемо справедливiсть спiввiдношень (11) i (12).
З обмежень на функцiю ω(t) випливає, що для деяких дiйсних чисел a i b, знаки
яких збiгаються, виконується нерiвнiсть
a ≤ ω(t) ≤ b, t ∈ R.
Тодi завдяки третiй властивостi функцiї G(t) для всiх t, τ ∈ R справджуються
спiввiдношення∥∥∥∥∥∥G
t∫
τ
ω(s)ds
∥∥∥∥∥∥
L(E,E)
≤M exp
−γ
∣∣∣∣∣∣
t∫
τ
ω(s)ds
∣∣∣∣∣∣
≤M exp {−γc |t− τ |} ,
де c = min{|a|, |b|}. Звiдси та з (10) випливає (11). Iз (11) та (7) випливає (12).
Теорему 2 доведено.
4. Оператор AK,h. Визначимо оператор AK,h : C0(R, E)→ C0(R, E) рiвнiстю
(AK,hx)(t) =
+∞∫
−∞
G
t∫
τ
(Kx)(s)ds
h(τ)dτ, t ∈ R.
Тут елементи K ∈ K i h ∈ C0(R, E) тi самi, що й у рiвняннi (2).
Очевидно, що якщо функцiя y ∈ C0(R, E) є розв’язком рiвняння (2), то завдяки
теоремi 2
y(t) ≡
+∞∫
−∞
G
t∫
τ
(Ky)(s)ds
h(τ)dτ,
тобто елемент y ∈ C0(R, E) є нерухомою точкою оператора AK,h i навпаки.
Отже, справджується наступне твердження.
Теорема 3. Множини обмежених розв’язкiв рiвнянь (2) i
y = AK,hy (15)
збiгаються.
Завдяки цьому твердженню природним для подальшого є придiлення уваги
вивченню властивостей оператора AK,h.
Розглянемо у просторах C0(R, E) i C1(R, E) замкненi кулi
B0[a0, r] = {x ∈ C0(R, E) : ‖x− a‖C0(R,E) ≤ r}
i
B1[a1, r] = {x ∈ C1(R, E) : ‖x− a‖C1(R,E) ≤ r},
де ak ∈ Ck(R, E), k = 0, 1, i r > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
842 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Найбiльш важливi властивостi оператора AK,h, що використовуватимемо, на-
ведемо у наступному твердженнi.
Теорема 4. Нехай K ∈ K i h ∈ C0(R, E). Тодi:
1) iснує таке число R > 0, що AK,hC
0(R, E) ⊂ B0[0, R];
2) AK,hx ∈ C1(R, E) для всiх x ∈ C0(R, E) й iснує таке число r > 0, що
AhB
0[0, R] ⊂ B1[0, r] (тут R – те саме число, що й у попередньому твердженнi);
3) оператор AK,h : C0(R, E)→ C0(R, E) є c-неперервним.
Доведення. Перша частина твердження теореми випливає з теореми 2, зокрема,
з нерiвностi (11), в якiй вираз inf{|ω(t)| : t ∈ R} потрiбно замiнити числом
µ = inf
t∈R, x∈C0(R,E)
|(Kx)(t)|. (16)
Тодi
R =
2M
γµ
‖h‖C0(R,E). (17)
Друга частина твердження теореми також випливає з теореми 2. У нерiвностi
(12) вирази inf{|ω(t)| : t ∈ R} i ‖ω‖C0(R,E) потрiбно замiнити вiдповiдно числами
µ i Ω = sup
t∈R, x∈C0(R,E)
|(Kx)(t)| (число Ω є скiнченним, оскiльки оператор K
обмежений). Тодi
r =
(
2MΩ‖A‖L(E,E)
γµ
+ 1
)
‖h‖C0(R,E).
Складнiше обгрунтовується третя частина твердження теореми.
Зафiксуємо довiльнi вiдрiзок [a, b] i число ε > 0. Розглянемо довiльнi елементи
yn ∈ C0(R, E), n ≥ 0, для яких
yn
loc. C0(R,E)−−−−−−−−→ y0 при n→∞. (18)
Покажемо, що
AK,hyn
loc. C0(R,E)−−−−−−−−→ AK,hy0 при n→∞. (19)
Зазначимо, що завдяки першiй частинi твердження теореми послiдовнiсть
(AK,hyn)n≥0 є обмеженою, що необхiдно для виконання спiввiдношення (19).
Виберемо таке число c > 0, щоб
sup
t∈[a,b], n≥0
∥∥∥∥∥∥∥
∫
R\[−c,c]
G
t∫
τ
(Kyn)(s)ds
h(τ)dτ
∥∥∥∥∥∥∥
E
<
ε
2
. (20)
Вибiр такого числа можливий, оскiльки h ∈ C0(R, E) i для всiх t, τ ∈ R
sup
n≥0
∥∥∥∥∥∥G
t∫
τ
(Kyn)(s)ds
∥∥∥∥∥∥
L(E,E)
≤M exp{−γµ|t− τ |},
де µ — додатне число, що визначається рiвнiстю (16).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
УМОВИ IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 843
Iз (18) i c-неперервностi оператора K : C0(R, E)→ C0(R,R) випливає, що
lim
n→∞
max
t∈[a,b], τ∈[−c,c]
∣∣∣∣∣∣
t∫
τ
(Kyn)(s)ds−
t∫
τ
(Ky0)(s)ds
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Тому на пiдставi неперервностi функцiї G(t) на кожнiй множинi R \ [−δ, δ] (δ > 0)
й обмеженостi на R (див. властивостi цiєї функцiї)
lim
n→∞
max
t∈[a,b]
∥∥∥∥∥∥
c∫
−c
G
t∫
τ
(Kyn)(s)ds
h(τ)dτ −
c∫
−c
G
t∫
τ
(Ky0)(s)ds
h(τ)dτ
∥∥∥∥∥∥
E
= 0.
Оскiльки для кожного t ∈ [a, b]
‖(AK,hyn)(t)− (AK,hy0)(t)‖E ≤
≤
∥∥∥∥∥∥
c∫
−c
G
t∫
τ
(Kyn)(s)ds
h(τ)dτ −
c∫
−c
G
t∫
τ
(Ky0)(s)ds
h(τ)dτ
∥∥∥∥∥∥
E
+
+
∥∥∥∥∥∥∥
∫
R\[−c,c]
G
t∫
τ
(Kyn)(s)ds
h(τ)dτ −
∫
R\[−c,c]
G
t∫
τ
(Ky0)(s)ds
h(τ)dτ
∥∥∥∥∥∥∥
E
,
то на пiдставi (20)
lim
n→∞
max
t∈[a,b]
‖(AK,hyn)(t)− (AK,hy0)(t)‖E < ε.
Звiдси з урахуванням довiльностi вибору ε > 0 випливає, що
lim
n→∞
max
t∈[a,b]
‖(AK,hyn)(t)− (AK,hy0)(t)‖E = 0.
Це спiввiдношення завдяки довiльностi вибору вiдрiзка [a, b] рiвносильне (19).
Отже, c-неперервнiсть оператора AK,h обґрунтовано.
Теорему 4 доведено.
Наслiдок 1. Якщо dimE < +∞, то оператор AK,h : C0(R, E) → C0(R, E) є
c-цiлком неперервним.
Це твердження випливає з теореми Арцела [22] i другої та третьої частин
твердження теореми 4.
5. Iснування нерухомої точки оператора AK,h. Спочатку наведемо одну тео-
рему про нерухому точку.
Теорема 5. c-Цiлком неперервний оператор N : B0[a,R] → B0[a,R] має хоча
б одну нерухому точку.
Зауважимо, що в цьому твердженнi простiр E може бути нескiнченновимiрним.
Доведення. Використаємо оператори Nn : B0[a,R] → B0[a,R], n ≥ 1, що
визначаються рiвностями
Nnx = Pn(Nx− a) + a, n ≥ 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
844 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Цi оператори цiлком неперервнi. Тому за теоремою Шаудера про нерухому точку
[22] для кожного n ≥ 1 iснує точка xn ∈ B0[a,R], для якої
Nnxn = xn.
З означення оператора Pn та того, що оператор N є c-цiлком неперервним, випливає
iснування елемента x∗ ∈ B0[a,R] i строго зростаючої пiдпослiдовностi (nk)k≥1
послiдовностi натуральних чисел, для яких
xnk
loc. C0(R,E)−−−−−−−−→ x∗ при k →∞. (21)
Оскiльки оператор N є c-неперервним, то
Nxnk
loc. C0(R,E)−−−−−−−−→ Nx∗ при k →∞. (22)
З очевидних рiвностей
x∗−Nx∗ = (x∗−xnk
)+(xnk
−Nnk
xnk
)+(Nnk
xnk
−Nxnk
)+(Nxnk
−Nx∗), k ≥ 1,
iз спiввiдношень (21), (22) i того, що
xnk
−Nnk
xnk
= 0, k ≥ 1,
i
(Nnk
xnk
)(t)− (Nxnk
)(t) = 0, якщо |t| ≤ nk, k ≥ 1,
випливає рiвнiсть
x∗ −Nx∗ = 0.
Теорему 5 доведено.
Зазначимо, що рiзнi аналогiчнi варiанти цього твердження розглядалися автором
у роботах [11, 24 – 26] при дослiдженнi обмежених розв’язкiв диференцiально-
функцiональних, дискретних рiвнянь та диференцiальних рiвнянь з iмпульсними
збуреннями.
З теорем 4 i 5 та наслiдку 1 випливає наступне твердження.
Наслiдок 2. Нехай dimE < +∞. Оператор AK,h : C0(R, E) → C0(R, E) для
кожних K ∈ K i h ∈ C0(R, E) має хоча б одну нерухому точку x∗ ∈ B0[0, R] ∩
∩C1(R, E), де R – число, що визначається рiвнiстю (17).
6. Доведення теореми 1. Достатнiсть. Нехай K ∈ K, h ∈ C0(R, E) i оператор
L : C1(R, E)→ C0(R, E) має обернений неперервний оператор. Тoдi за наслiдком
2 i теоремою 3 рiвняння (2) має хоча б один розв’язок x ∈ C1(R, E).
Необхiднiсть. Якщо рiвняння (2) для кожних K ∈ K i h ∈ C0(R, E) має хоча б
один розв’язок x ∈ C1(R, E), то воно має хоча б один розв’язок x ∈ C1(R, E) для
кожного h ∈ C0(R, E) i у випадку, коли (Kx)(t) = 1 для всiх x ∈ C0(R, E) i t ∈ R.
Тодi оператор L : C1(R, E) → C0(R, E), що визначається спiввiдношенням (6), є
слабкорегулярним. Для лiнiйних майже перiодичних i, зокрема, для автономних
операторiв (таким є оператор L) слабка регулярнiсть оператора L збiгається з
регулярнiстю цього оператора [15].
Теорему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
УМОВИ IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 845
7. Приклади неєдиностi обмежених розв’язкiв рiвнянь вигляду (2).
Приклад 1. Розглянемо випадок, коли E = R,
(Kx)(t)
df
= f(x(t)), t ∈ R,
де
f(x) =
1, якщо x < 1,
1/x, якщо x ∈ [1, 2],
1/2, якщо x > 2,
i
Ax
df
= x.
Очевидно, що оператор K : C0(R,R)→ C0(R,R) є c-неперервним,
inf
t∈R,x∈C0(R,R)
|(Kx)(t)| = 1
2
> 0
i оператор L : C1(R,R)→ C0(R,R), що визначається спiввiдношенням
(Lx)(t) =
dx(t)
dt
+ x(t), t ∈ R,
має обернений неперервний оператор.
Отже, за теоремою 1 для диференцiального рiвняння
dx(t)
dt
+ f(x(t))x(t) = h(t), t ∈ R, (23)
для кожної функцiї h ∈ C0(R,R) множина обмежених розв’язкiв є непорожньою.
Цих розв’язкiв може бути нескiнченно багато. Справдi, якщо h(t) ≡ 1, то для
кожного числа s ∈ [1, 2] функцiя x(t) ≡ s є розв’язком рiвняння (23).
Приклад 2. Розглянемо випадок, коли E = R,
(Kx)(t)
df
= 2 + sinx2(t− 1), t ∈ R,
i
Ax
df
= −x.
Оператор K : C0(R,R)→ C0(R,R), очевидно, c-неперервний,
inf
t∈R,x∈C0(R,R)
|(Kx)(t)| = 1 6= 0
i оператор L : C1(R,R)→ C0(R,R), що визначається спiввiдношенням
(Lx)(t) =
dx(t)
dt
− x(t), t ∈ R,
має обернений неперервний оператор. За теоремою 1 для кожної функцiї h ∈ C0(R,R)
диференцiально-рiзницеве рiвняння
dx(t)
dt
− (2 + sinx2(t− 1))x(t) = h(t), t ∈ R, (24)
має хоча б один розв’язок x ∈ C1(R,R). Таких розв’язкiв для деяких h ∈ C0(R,R)
може бути бiльше нiж один. Справдi, якщо h(t) ≡ c (c — дiйсна стала), то рiвняння
(24) має сталi розв’язки, що збiгаються з розв’язками трансцендентного рiвняння
−(2 + sinx2)x = c.
Цих розв’язкiв бiльше нiж один, якщо модуль |c| є досить великим.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
846 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
1. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси
функций // Мат. заметки. – 1972. – 11, № 3. – С. 269 – 274.
2. Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциаль-
ных уравнений // Там же. – 1981. – 30, № 3. – С. 443 – 460.
3. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов
// Мат. сб. – 1981. – 116, № 4. – С. 483 – 501.
4. Слюсарчук В. Е. Интегральное представление c-непрерывных линейных операторов // Докл. АН
УССР. Сер. А. – 1981. – № 8. – С. 34 – 37.
5. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов //
Мат. сб. – 1986. – 130, № 1. – C. 86 – 104.
6. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-
дифференциальных операторов // Мат. заметки. – 1987. – 42, № 2. – С. 262 – 267.
7. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости равномерно c-непрерывных
функционально-дифференциальных операторов // Укр. мат. журн. – 1989. – 41, № 2. – С. 201 – 205.
8. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. – Воронеж: Изд-во Воронеж.
ун-та, 1990. – 168 с.
9. Чан Хыу Бонг. Почти периодические и ограниченные решения линейных функционально-
дифференциальных уравнений: Дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. – Киев, 1993. – 255 с.
10. Слюсарчук В. Е. Метод c-непрерывных операторов в теории импульсных систем // Тез. докл. Все-
союз. конф. по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений. – Душанбе,
1987. – С. 102 – 103.
11. Слюсарчук В. Е. Слабо нелинейные возмущения импульсных систем // Мат. физика и нелинейн.
механика. – 1991. – Вып. 15. – С. 32 – 35.
12. Слюсарчук В. Ю. Оборотнicть нелiнiйних рiзницевих операторiв. – Рiвне: Вид-во Нац. ун-ту водн.
госп-ва та природокористування, 2006. – 233 с.
13. Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali, non lineari quasi-periodici, o
limitati // Ann. mat. pura ed appl. – 1955. – 39. – P. 97 – 119.
14. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Самойленко А.М. Метод ускоренной сходимости в нели-
нейной механике. – Киев: Наук. думка, 1969. – 248 с.
15. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. –
М.: Наука, 1970. – 352 с.
16. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений.
– М.: Наука, 1974. – 320 с.
17. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. – М.:
Наука, 1977. – 304 с.
18. Трубников Ю. В., Перов А. И. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями. –
Минск: Наука и техника, 1986. – 200 с.
19. Перов А. И., Коструб И. Д. Метод направляющих функций в задаче о нелинейных почти-
периодических колебаниях // Вестн. Воронеж. ун-та. Сер. физика, математика. – 2002. – № 1. –
С. 163 – 171.
20. Перов А. И. Об ограниченных решениях нелинейных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений // Там же. – 2003. – № 1. – С. 165 – 168.
21. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом
пространстве. – М.: Наука, 1970. – 535 с.
22. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. – М.: Мир, 1977. – 233 c.
23. Слюсарчук В. Е. Нелокальные теоремы об ограниченных решениях функционально-дифферен-
циальных уравнений с нелипшицевыми нелинейностями // Исследование дифференциальных и
дифференциально-разностных уравнений. – Киев: Наук. думка, 1980. – С. 121 – 130.
24. Слюсарчук В. Е. Ограниченные решения импульсных систем // Дифференц. уравнения. – 1983. –
19, № 4. – С. 588 – 596.
25. Слюсарчук В. Е. Слабо нелинейные возмущения нормально разрешимых функционально-диффе-
ренциальных и дискретных уравнений // Укр. мат. журн. – 1987. – 39, № 5. – С. 660 – 662.
26. Слюсарчук В. Ю. Теорема про нерухому точку для c-неперервних операторiв у просторах обме-
жених числових послiдовностей // Наук. вiсн. Чернiвец. ун-ту. Математика. – 2006. – Вип. 288. –
С. 107 – 110.
Одержано 25.07.08,
пiсля доопрацювання — 11.01.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2914 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:32:43Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/60/3b66146ebc5743d3bef5aa6cabb3ae60.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29142020-03-18T19:40:12Z Conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear differential and functional differential equations Умови існування обмежених розв'язків нелінійних диференціальних і дифереііціально-функціональних рівнянь Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Let $E$ be a finite-dimensional Banach space, let $C^0(R; E)$ be a Banach space of functions continuous and bounded on $R$ and taking values in $E$; let $K:\;C^0(R ,E) → C^0(R, E)$ be a $c$-continuous bounded mapping, let $A:\;E → E$ be a linear continuous mapping, and let $h ∈ C^0(R, E)$. We establish conditions for the existence of bounded solutions of the nonlinear equation $$\frac{dx(t)}{dt} + (Kx)(t)Ax(t) = h(t),\;t ∈ R.$$ Пусть $E$ — конечномерное банахово пространство, $C^0(R; E)$ — банахово пространство непрерывных и ограниченных на $R$ функций со значениями в $E$, $K:\;C^0(R ,E) → C^0(R, E)$ — $c$-непрерывное и ограниченное отображение, $A:\;E → E$ — линейное непрерывное отображение и $h ∈ C^0(R, E)$. Получены условия существования ограниченных решении нелинейного уравнения $$\frac{dx(t)}{dt} + (Kx)(t)Ax(t) = h(t),\;t ∈ R.$$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2914 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 6 (2010); 837–846 Український математичний журнал; Том 62 № 6 (2010); 837–846 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2914/2579 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2914/2580 Copyright (c) 2010 Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear differential and functional differential equations |
| title | Conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear differential and functional differential equations |
| title_alt | Умови існування обмежених розв'язків нелінійних диференціальних і дифереііціально-функціональних рівнянь |
| title_full | Conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear differential and functional differential equations |
| title_fullStr | Conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear differential and functional differential equations |
| title_full_unstemmed | Conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear differential and functional differential equations |
| title_short | Conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear differential and functional differential equations |
| title_sort | conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear differential and functional differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2914 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu conditionsfortheexistenceofboundedsolutionsofnonlineardifferentialandfunctionaldifferentialequations AT slûsarčukvû conditionsfortheexistenceofboundedsolutionsofnonlineardifferentialandfunctionaldifferentialequations AT slyusarchukvyu umoviísnuvannâobmeženihrozv039âzkívnelíníjnihdiferencíalʹnihídifereíícíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹ AT slûsarčukvû umoviísnuvannâobmeženihrozv039âzkívnelíníjnihdiferencíalʹnihídifereíícíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹ |