Distribution of eigenvalues and trace formula for the Sturm–Liouville operator equation
We study the asymptotic distribution of eigenvalues of the problem generated by the Sturm–Liouville operator equation. A formula for the regularized trace of the corresponding operator is obtained.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2920 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508917690269696 |
|---|---|
| author | Aslanova, N. M. Bairamogly, M. Асланова, H. M. Байрамоглы, M. Асланова, H. M. Байрамоглы, M. |
| author_facet | Aslanova, N. M. Bairamogly, M. Асланова, H. M. Байрамоглы, M. Асланова, H. M. Байрамоглы, M. |
| author_sort | Aslanova, N. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:27Z |
| description | We study the asymptotic distribution of eigenvalues of the problem generated by the Sturm–Liouville operator equation. A formula for the regularized trace of the corresponding operator is obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:32:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.984
М. Байрамоглы, Н. М. Асланова (Ин-т математики и механики НАН Азербайджана, Баку)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
И ФОРМУЛА СЛЕДА ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ
ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ
Asymptotic distribution of eigenvalues of a problem generated by the Sturm – Liouville operator equation is
studied. The formula of regularized trace of the corresponding operator is obtained.
Вивчається асимптотичний розподiл власних значень задачi, що породжена операторним рiвнянням
Штурма – Лiувiлля. Отримано формулу регуляризованого слiду вiдповiдного оператора.
Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, (·, ·) — скалярное произве-
дение и ‖·‖ — норма в нем. Пусть также L2 = L2 ((0, 1) , H) ⊕ H . Скалярное
произведение в L2 задается как
(Y,Z)L2
=
1∫
0
(y (t) , z (t)) dt− 1
h
(y1, z1) , (1)
где
Y = {y (t) , y1} , Z = {z (t) , z1} , y (t) , z (t) ∈ L2 ((0, 1) , H) ,
y1, z1 ∈ H, h = const < 0.
В пространстве L2 ((0, 1) , H) рассмотрим задачу
−y′′ (t) +Ay (t) + q (t) y (t) = λy (t) , (2)
y (0) = 0, (3)
y (1)− hy′ (1) = λy (1) , (4)
где A — самосопряженный положительно определенный оператор в H (можно
считать, что A > E, E — единичный оператор в H), который является обратным
для вполне непрерывного.
Предположим также, что операторная функция q (t) слабоизмерима, ‖q (t)‖, как
функция от t, ограничена на [0, 1] и удовлетворяет следующим условиям:
1) q (t) имеет вторую слабую производную на [0, 1], и q(l) (t) , l = 0, 1, 2, при
каждом t ∈ [0, 1] являются ядерными самосопряженными операторами в H , т. е.
q(l) (t) ∈ σ1,
[
q(l) (t)
]∗
= q(l) (t);
2) функции
∥∥q(l) (t)∥∥
1
, l = 0, 1, 2, ограничены на отрезке [0, 1];
3) q′(0) = q′(1) = 0;
4)
∫ 1
0
(q (t) f, f) dt = 0 при любом f ∈ H .
Здесь σ1 — пространство компактных операторов, сингулярные числа которых обра-
зуют сходящийся ряд [1, с. 121] с нормой ‖·‖1 =
∑∞
n=1
sn, где sn — сингулярные
c© М. БАЙРАМОГЛЫ, Н. М. АСЛАНОВА, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7 867
868 М. БАЙРАМОГЛЫ, Н. М. АСЛАНОВА
числа оператора. Если B — самосопряженный ядерный оператор в H и {ϕn}∞n=1 —
ортонормированный базис из его собственных элементов, то [1] (теорема 8.6)
‖B‖1 =
∞∑
n=1
|(Bϕn, ϕn)| .
При q (t) ≡ 0 с задачей (2) – (4) в пространстве L2 можно связать самосопряжен-
ный оператор L0 с областью определения D (L0) = {Y ∈ L2 /−y′′ (t) + Ay (t) ∈
∈ L2 (H, (0, 1)) , y (0) = 0 и y1 = y (1)}, действующий как
L0 (Y ) = {−y′′ (t) +Ay (t) , y (1)− hy′ (1)} .
При q (t) 6≡ 0 соответствующий оператор обозначимL = L0+Q, гдеQ : Q
{
y (t) ,
y (1)
}
=
{
q (t) y (t) , 0
}
— ограниченный самосопряженный оператор в L2.
Цель настоящей работы — установить дискретность спектра задачи (2) – (4), изу-
чить асимптотическое распределение собственных значений и получить формулу
первого регуляризованного следа оператора L.
Легко проверить, что, вводя гильбертово пространство со скалярным произве-
дением, определенным по формуле (1), получaeм самосопряженный в L2 опера-
тор L.
Впервые Вальтер [2], рассматривая скалярную задачу Штурма – Лиувилля со
спектральным параметром в граничном условии, показал, что можно связать с ней
самосопряженный оператор, подoбрав подходящее гильбертово пространство, и
доказал теорему разложения, используя самосопряженность этого оператора. Далее
этот подход был использован Фултоном [3].
Дифференциально-операторные уравнения изучались в работах [4 – 7], в кото-
рых спектральный параметр содержался в граничных условиях.
В работе [7] для оператора, рассмотренного в [5], получена формула следа. В
[5] изучено асимптотическое распределении собственных значений.
Для спектральных задач без параметра в граничном условии более точные
(многочленные) асимптотические формулы найдены в [8].
Формула регуляризованного следа была впервые получена И. М. Гельфандом
и Б. М. Левитаном [9]. После этой работы появились многочисленные исследо-
вания, посвященные изучению этого вопроса как для конкретных операторов (см.
например, [10 – 14]), так и дифференциально-операторных уравнений [7, 15, 16] и
дискретных абстрактных операторов [17, 18]. Более полную библиографию можно
найти в [19].
Формулы регуляризованных следов применяются для вычисления первых соб-
ственных значений [11].
В п. 1 доказано, что оператор L0 имеет дискретный спектр. В п. 2 получена
асимптотическая формула для собственных значений. В п. 3 с помощью асимптоти-
ки собственных значений доказано, что ряд, названный регуляризованным следом,
сходится абсолютно (лемма 4). Для вычисления значения ряда использован метод
контурного интегрирования.
1. Дискретность спектра. Сначала исследуем задачу (2) – (4) при q (t) ≡ 0.
Условие A > E влечет положительную определенность оператора L0 в L2. Дей-
ствительно, для любого Y ∈ D (L0) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И ФОРМУЛА СЛЕДА . . . 869
(L0Y, Y )L2
=
1∫
0
(−y′′ (t) +Ay (t) , y (t)) dt− 1
h
(y (1)− h (y′ (1) , y (1))) =
=
1∫
0
‖y′ (t)‖2 dt+
1∫
0
(Ay (t) , y (t)) dt− 1
h
‖y (1)‖2 >
>
1∫
0
‖y (t)‖2 dt− 1
h
‖y (1)‖2 = ‖Y ‖2L2
,
т. е. оператор L0 положительно определен.
Пусть числа γ1 ≤ γ2 ≤ . . . ≤ γk ≤ . . . являются собственными значениями, а
ϕ1, ϕ2, . . . — соответствующими им ортонормированными в H собственными век-
торами оператора A. Пусть y(t) ∈ D(A) ∀t ∈ [0, 1]. Положим yk (t) =
(
y (t) , ϕk
)
,
тогда
(y, y) =
∞∑
k=1
|yk (t)|2 , (Ay, y) =
∞∑
k=1
γk |yk (t)|2 .
Теорема 1. При условии вполне непрерывности A−1 в H оператор L0 имеет
дискретный спектр.
Доказательство. Поскольку L0 положительно определен, для доказательства
дискретности спектра по теореме Реллиха [20, с. 386] (теорема 11) достаточно
показать компактность в L2 множества векторов
Y =
{
Y ∈ D (L0) / (L0Y, Y ) =
=
1∫
0
[
(y′ (t) , y′ (t)) dt+ (Ay (t) , y (t))
]
dt− 1
h
(y (1) , y (1)) ≤ 1
}
.
Сначала докажем следующую лемму.
Лемма 1. Для любого ε > 0 можно найти такое R = R (ε) , что
1∫
0
∞∑
k=R+1
|yk (t)|2 dt−
1
h
∞∑
k=R+1
|yk (1)|2 < ε.
Доказательство. При Y ∈ Y
1∫
0
∞∑
k=R+1
|yk (t)|2 dt =
=
1
γR
1∫
0
∞∑
k=R+1
|yk (t)|2 γRdt ≤
1
γR
1∫
0
∞∑
k=R+1
|yk (t)|2 γkdt ≤
≤ 1
γR
1∫
0
(Ay (t) , y (t)) dt ≤ 1
γR
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
870 М. БАЙРАМОГЛЫ, Н. М. АСЛАНОВА
Поскольку γR → ∞ при R → ∞, для любого ε > 0 можно выбрать такое R (ε),
что
1
γR
<
ε2
(1− 2/h)
2 . Тогда для выбранного R выполняется
1∫
0
∞∑
k=R+1
|yk (t)|2 dt <
ε2
(1− 2/h)
2 . (5)
С другой стороны,
− 1
h
∞∑
k=R+1
|yk (1)|2 = − 1
h
∞∑
k=R+1
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
(
y2k (t)
)′
dt
∣∣∣∣∣∣ =
= − 1
h
∞∑
k=R+1
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
2y′k (t) yk (t) dt
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ − 2
h
∞∑
k=R+1
1∫
0
|y′k (t)|
2
dt
1/2 1∫
0
|yk (t)|2 dt
1/2
≤
≤ − 2
h
∞∑
k=R+1
1∫
0
|y′k (t)|
2
dt
1/2 ∞∑
k=R+1
1∫
0
|yk (t)|2 dt
1/2
≤
≤ − 2
h
1
γR
∞∑
k=R+1
1∫
0
|yk (t)|2 dt
1/2
≤ − 2
√
γRh
< − 2
h
ε
1− 2/h
. (6)
Из (5) и (6) следует, что
1∫
0
∞∑
k=R+1
|yk (t)|2 dt−
1
h
∞∑
k=R+1
|yk (1)|2 <
<
ε2
(1− 2/h)
2 −
2ε/h
1− 2/h
<
ε
1− 2/h
− 2ε/h
1− 2/h
= ε.
Лемма доказана.
Пусть Y ∈ Y. Обозначим через ER множество векторов Ỹ = {ỹ1, . . . , ỹR} , где
ỹk =
{
yk (t) , yk (1)
}
∈ L2 (0, 1)⊕C. Из леммы 1 следует, что ER есть ε-сеть в L2
для Y.
Поскольку |yk(1)| ≤ 1, k = 1, R, и к yk(t) применим критерий компактности в
L2(0, 1) [21, с. 291], ER компактен в L2, что завершает доказательство теоремы.
2. Асимптотическое распределение собственных значений оператора L0.
Предположим, что собственные числа оператора A таковы: γn ∼ anα, n→∞, a >
> 0, α > 0.
Учитывая спектральное разложение оператора A, для коэффициентов yk (t) =
= (y (t) , ϕk) получаем следующую задачу:
−y′′k (t) = (λ− γk) yk (t) , t ∈ (0, 1) , (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И ФОРМУЛА СЛЕДА . . . 871
yk (0) = 0, (8)
yk (1)− hy′k (1) = λyk (1) . (9)
Решение задачи (7), (8) имеет вид
yk (t) = sin
√
λ− γk t.
Для того чтобы оно еще удовлетворяло (9), необходимо и достаточно, чтобы
sin
(√
λ− γk
)
− h
√
λ− γk cos
(√
λ− γk
)
= λ sin
(√
λ− γk
)
(10)
хотя бы при одном γk (λ 6= γk). Таким образом, спектр оператора L0 состоит из
тех вещественных λ 6= γk, которые хотя бы при одном k удовлетворяют (10).
Обозначим z =
√
λ− γk. Тогда уравнение (10) принимает вид
sin z − hz cos z =
(
z2 + γk
)
sin z. (11)
Взяв z = iy, запишем уравнение (11) в виде(
γk − y2 − 1
) e−y − ey
2i
+ hiy ch y = 0,
или
hy cth y +
(
γk − y2 − 1
)
= 0. (12)
Обозначим
gk (y) =
hy cth y + γk − y2 − 1 при y > 0,
h+ γk − 1 при y = 0.
Тогда
g′k (y) = h cth y − hy
sh2y
− 2y =
h ch y sh y − hy − 2y sh2y
sh2y
.
Поскольку при y > 0 ch y > y, то h ch y sh y − hy = −h (y − ch y sh y) < 0.
Таким образом, g′k (y) < 0 при y > 0. Учитывая, что gk (0) = h + γk − 1 > 0
при γk > 1 − h, gk
(√
γk
)
= h
√
γk cth
√
γk − 1 < 0 и функция gk (y) монотонно
убывает, заключаем, что в промежутке
(
0,
√
γk
)
она, начиная с некоторого k, имеет
точно один корень.
Найдем асимптотику корней уравнения (12). При больших y имеем
cth y = 1 +
2e−y
ey − e−y
= 1 + 2e−2y +O
(
e−4y
)
.
Тогда уравнение (12) принимает вид
γk − y2 − 1 + hy
(
1 +O
(
e−2y
))
= 0,
или же y2 − hy − γk + 1 + o(1) = 0. Отсюда y =
h
2
+
√
γk +
h2
4
− 1 + o(1).
Из
√
λ− γk = i
(
h
2
+
√
γk +
h2
4
− 1 + o(1)
)
получаем λk = −h√γk + 1 −
− h2
2
+O
(
1
√
γk
)
.
Найдем асимптотику тех решений уравнения (10), которые больше γk, другими
словами, вещественных корней уравнения (11). Запишем это уравнение в виде
1− z2 + γk − hz ctg z = 0, z ∈ (0,∞), или
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
872 М. БАЙРАМОГЛЫ, Н. М. АСЛАНОВА
ctg z =
1− z2 + γk
hz
. (13)
Рассмотрим функцию
hz ctg z − 1 + z2 − γk
hz
=
fk(z)
hz
. Поскольку в каждом
промежутке (πn, π(n+ 1)) fk(z) принимает значения от −∞ до +∞ и
f ′k(z) =
h sin z cos z − hz + 2z sin2 z
sin2 z
> 0, h < 0,
в нем fk(z) имеет только один нуль. Найдем асимптотику больших нулей этой
функции. Из (13) имеем
z = arctg
hz
1− z2 + γk
+ πn =
hz
1− z2 + γk
+ o
(
hz
1− z2 + γk
)
+ πn =
= −h
z
(
1 +O
(
1
z2
))
+ πn = πn− h
z
+O
(
1
z3
)
=
= πn− h
πn
(
1 +O
(
1
nz
))
= πn− h
πn
+O
(
1
n3
)
.
Соответствующие этим корням собственные значения оператора L0 имеют вид
λk,n = γk + (πn)
2 − 2h+O
(
1
n2
)
.
Итак, справедливо следующее утверждение.
Лемма 2. Собственные значения оператора L0 распадаются на две серии:
λk = −h√γk + 1− h2
2
+O
(
1
√
γk
)
, λk,n = γk + (πn)
2 − 2h+O
(
1
n2
)
.
Используя лемму 2, приходим к следующему утверждению.
Лемма 3. Пусть A = A∗ > E в H, A−1 вполне непрерывен и γn ∼ anα(
0 < a, α = const > 0
)
. Тогда
λn (L0) ∼ µn (L) ∼ dnδ,
где
δ =
2α
α+ 2
α > 2,
α
2
, α < 2,
1, α = 2.
Доказательство леммы 3 проводится по той же схеме, что и доказательство
леммы 2 в [22] (§ 3).
3. Регуляризованный след оператора L. Используя лемму 3 и схему дока-
зательства леммы 1 из [15], можно показать, что существует последовательность
натуральных чисел {nm}∞m=1 , для которой выполняется неравенство
λk − λnm ≥ d
(
k
2α
2+α − n
2α
2+α
m
)
, k = nm, nm + 1, . . . . (14)
Обозначим ортонормированные собственные векторы оператора L0 через
ψ1, ψ2, . . . , ψn, . . . . Учитывая лемму 3 и неравенство (14), таким же образом, как и
в [15] (лемма 2, теорема 1), можно доказать следующую лемму.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И ФОРМУЛА СЛЕДА . . . 873
Лемма 4. Пусть ‖q(t)‖ ограничена на отрезке [0, 1] и выполняется условие
леммы 3. Тогда
lim
m→∞
nm∑
n=1
(µn − λn) = lim
m→∞
nm∑
n=1
(Qψn, ψn)L2
, (15)
где {nm}∞m=1 — подпоследовательность, которая удовлетворяет неравен-
ству (14).
Назовем lim
m→∞
∑nm
n=1
(µn − λn) регуляризованным следом оператора L. Значе-
ние этого предела, как будет доказано ниже, не зависит от того, каким образом
выбрана последовательность {nm} , при котором выполняется (14).
Ортонормированные собственные вектор-функции оператора L0 имеют вид√
4xk,nh
2xk,nh− h sin 2xk,n − 2xk,n + 2xk,n cos 2xk,n
{sin(xk,nt)ϕk, sin(xk,n)ϕk} ,
n = 0,∞, k = N,∞,
k = 1,∞, k = 1, N,
где xn,k — корни уравнения (11) (xk,0 — мнимый корень).
Сначала докажем следующую лемму.
Лемма 5. Если операторная функция q (t) удовлетворяет условиям 1 – 3 и
α > 0, то
∞∑
n=1
∞∑
k=1
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
−xk,nh cos 2xk,ntfk (t) dt
2xk,nh− h sin 2xk,n − 2xk,n + 2xk,n cos 2xk,n
∣∣∣∣∣∣+
+
∞∑
k=N
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
2xk,0h cos (2xk,0t) fk (t) dt
2xk,0h− h sin 2xk,0 − 2xk,0 + 2xk,0 cos 2xk,0
∣∣∣∣∣∣ <∞, (16)
где fk(t) =
(
q(t)ϕk, ϕk
)
.
Доказательство. Интегрируя дважды по частям и используя условие 3
(
q′k (0) =
= q′k (1) = 0
)
, имеем
1∫
0
cos 2xk,ntfk (t) dt =
1
2xk,n
sin 2xk,nfk (1)−
1
(2xk,n)
2
1∫
0
cos (2xk,nt) f
′′
k (t) dt.
С учетом асимптотики xk,n = πn − h
πn
+ O
(
1
n3
)
и условий 1, 2 из последнего
соотношения следует абсолютная сходимость двойного ряда в (15).
Также учитывая, что xk,0 =
√
γk +
h
2
+ O
(
1
√
γk
)
, где γk ∼ akα, α > 0, из
условий 1, 2 получаем абсолютную сходимость второго ряда в (16).
Предположим, что выполняется условие
1∫
1−δ
|fk (t) |
t− 1
<∞, (17)
где δ > 0 — достаточно малое число.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
874 М. БАЙРАМОГЛЫ, Н. М. АСЛАНОВА
Докажем следующую теорему.
Теорема 2. Пусть выполняется условие леммы 2. Если операторная функция
q (t) удовлетворяет условиям 1 – 4, а также (17), то справедлива формула
lim
m→∞
nm∑
n=1
(µn − λn) = −
tr q (1) + tr q (0)
4
.
Доказательство. Согласно лемме 4
lim
m→∞
nm∑
n=1
(µn − λn) =
∞∑
k=N
∞∑
n=0
1∫
0
−2xk,nh cos (2xk,nt) fk (t) dt
2xk,nh− h sin 2xk,n − 2xk,n + 2xk,n cos 2xk,n
+
+
N−1∑
k=1
∞∑
n=1
1∫
0
−2xk,nh cos (2xk,nt) fk (t) dt
2xk,nh− h sin 2xk,n − 2xk,n + 2xk,n cos 2xk,n
≡ σ1 + σ2. (18)
Для вычисления значения суммы ряда
∞∑
n=0
1∫
0
−2xk,nh cos (2xk,nt) fk (t) dt
2xk,nh− h sin 2xk,n − 2xk,n + 2xk,n cos 2xk,n
при каждом фиксированном k исследуем асимптотическое поведение функции
TN (t) =
N∑
n=0
−2xk,nh cos(xk,nt)
2xk,nh− h sin 2xk,n − 2xk,n + 2xk,n cos 2xk,n
при N →∞.
Чтобы вывести формулу для TN (t), представим n-й член суммы TN (t) в виде
вычета в точке xk,n некоторой функции комплексной переменной z, имеющей
полюсы в точках xk,0, xk,1, . . . , xk,N . Рассмотрим комплексную функцию
G (z) =
zh cos 2zt
(−hz ctg z + 1− z2 − γk) sin2 z
.
Эта функция имеет простые полюсы в точках xk,n и πn. Вычет в точке xk,n будет
равен
res
z=xk,n
G (z) =
−2xk,nh cos 2xk,nt
−h sin 2xk,n + 2hxk,n − 2xk,n + 2xk,n cos 2xk,n
,
а в точке πn
res
z=πn
G (z) =
−πnh cos 2πnt
−hπn cos2 πn
= cos 2πnt.
В качестве контура интегрирования возьмем прямоугольник с вершинами в ±iB,
AN ± iB, который обходит точку ixk,0 слева, а точки −ixk,0 и 0 справа. При
каждом фиксированном k B > xk,0. Впоследствии B стремится в бесконечность,
а AN =
(
N +
1
2
)
π. При таком выборе AN имеем xk,N < AN < xk,N+1.
Функция G (z) является нечетной функцией от z, поэтому интеграл вдоль части
контура, находящейся на мнимой оси, а также по полуокружностям с центрами в
±ixk,0 обращается в нуль.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И ФОРМУЛА СЛЕДА . . . 875
Если z = u + iυ, то при больших υ и при u ≥ 0 функция G (z) будет иметь
порядок O
(
1
|υ|e2|υ|(1−t)
)
, и для заданного значения AN интегралы, взятые вдоль
верхней и нижней сторон контура, стремятся к нулю при B →∞.
Таким образом, получаем формулу
TN (t) = −SN (t) +
1
2πi
lim
B→∞
AN+iB∫
AN−iB
−zh cos 2zt
(−hz ctg z + 1− z2 − γk) sin2 z
dz+
+
1
2πi
lim
r→0
∫
|z|=r
−π/2<ϕ<π/2
−zh cos 2zt
(−hz ctg z + 1− z2 − γk) sin2 z
dz, z = ree
iϕ
,
где
SN (t) =
N∑
n=1
cos 2πnt.
При N →∞
1
2πi
lim
B→∞
AN+iB∫
AN−iB
−zh cos 2zt
(−hz ctg z + 1− z2 − γj) sin2 z
dz ∼
∼ 1
πi
AN+i∞∫
AN−i∞
cos 2zt
sin 2zπ +
2
h
z sin2 zπ
dz =
=
1
πi
∞∫
−∞
cos (2N + 1) t ch (2tυ)− i sin (2N + 1) t
−i sh (2υπ) + 2
h
(AN + iυ) (1 + ch (2υπ))
dυ ≡ I. (19)
Легко показать, что
|I| < const
AN cos
πt
2
, (20)
1∫
0
TN (t) fk (t) dt = −
1∫
0
SN (t) fk (t) dt+
+
1
2πi
1∫
0
fk (t)
AN+i∞∫
AN−i∞
−zh cos 2zt
(−hz ctg z + 1− z2 − γk) sin2 z
dzdt+
+
1
2πi
lim
r→0
1∫
0
fk (t)
∫
|z|=r
−π/2<ϕ<π/2
−zh cos 2zt
(−hz ctg z + 1− z2 − γk) sin2 z
dzdt. (21)
При r → 0, используя условие 4, имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
876 М. БАЙРАМОГЛЫ, Н. М. АСЛАНОВА
1∫
0
fk(t)
∫
|z|=r
−π/2<ϕ<π/2
−zh cos 2zt
(−hz ctg z + 1− z2 − γk) sin2 z
dzdt =
=
1∫
0
fk(t)
∫
|z|=r
−π/2<ϕ<π/2
2zh sin2 zt
(−hz ctg z + 1− z2 − γk) sin2 z
dzdt ∼
∼
1∫
0
fk(t)
π/2∫
−π/2
2reiϕh(reiϕt)2dϕdt
(1− γk)(reiϕ)2 − h(reiϕ)2
. (22)
Правая часть (22) при r → o сходится к 0.
При N →∞ из (19) и (20) с учетом условия (17) получаем, что третий член в
правой части (21) тоже стремится к нулю. Итак,
lim
N→∞
1∫
0
TN (t) fk (t) dt = − lim
N→∞
1∫
0
SN (t) fk (t) dt = −
fk (1) + fk (0)
4
. (23)
Учитывая (23), из (18) находим
σ1 = −
∞∑
k=N
fk (0) + fk (1)
4
.
Проводя аналогичные вычисления для σ2, имеем
lim
m→∞
nm∑
n=1
(µn − λn) = −
∞∑
k=1
fk (0) + fk (1)
4
= − tr q (0) + tr q (1)
4
,
что доказывает справедливость теоремы 2.
Авторы выражают благодарность В. И. Горбачук и М. Л. Горбачуку за их вни-
мание к настоящей работе.
1. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в
гильбертовом пространстве. – M.: Наука, 1965. – 448 с.
2. Walter J. Regular eigenvalue problems with eigenvalue parameter in the boundary conditions // Math.
Z. – 1973. – 133. – S. 301 – 312.
3. Fulton Ch. T. Two-point boundary value problems with eigenvalue contained in the boundary conditions
// Proc. Roy. Soc. Edinburgh A. – 1977. – 77. – P. 293 – 308.
4. Горбачук В. И., Рыбак М. А. О граничных задачах для операторного уравнения Штурма – Лиувилля
со спектральным параметром в уравнении и в граничным условии // Прямые и обратные задачи
теории рассеяния. – Киев, 1981. – C. 3 – 13.
5. Рыбак М. А. Об асимптотическом распределении собственных значений некоторых граничных
задач для операторного уравнения Штурма – Лиувилля // Укр. мат. журн. – 1980. – 32, № 2. –
C. 248 – 252.
6. Алиев Б. А. Асимптотическое поведение собственных значений одной краевой задачи для эллип-
тического дифференциально-операторного уравнения второго порядка // Там же. – 2006. – 58, № 8.
– C. 46 – 52.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И ФОРМУЛА СЛЕДА . . . 877
7. Асланова Н. М. Формула следа одной граничной задачи для операторного уравнения Штурма –
Лиувилля // Сиб. мат. журн. – 2008. – 49, № 6. – C. 1207 – 1215.
8. Михайлец В. А. Распределение собственных значений операторного уравнения Штурма – Лиувилля
// Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1977. – 41, № 3. – С. 607 – 619.
9. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об одном простом тождестве для собственных значений диффе-
ренциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР. – 1953. – 88, № 4. – C. 593 – 596.
10. Дикий Л. А. Новый метод вычисления собственных значений оператора Штурма – Лиувилля //
Докл. АН СССР. – 1957. – 116, № 1.
11. Дикий Л. А. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма – Лиувилля // Успехи
мат. наук. – 1958. – 13, вып. 3 (81). – C. 111 – 143.
12. Hilbert R. C., Kramer V. A. Trace formulas for powers of a Sturm – Liouville operator // Can. J. Math. –
1964. – 16, № 4. – P. 412 – 422.
13. Гасымов М. Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов //
Докл. АН СССР. – 1963. – 150, № 6. – C. 1202 – 1204.
14. Садовничий В. А. О следе разности двух дифференциальных операторов высших порядков //
Дифференц. уравнения. – 1966. – № 12. – C. 1611 – 1624.
15. Максудов Ф. Г., Байрамоглы М., Адыгезолов А. А. О регуляризованном следе оператора Штурма –
Лиувилля на конечном отрезке с неограниченным операторным коэффициентом // Докл. АН СССР.
– 1984. – 277, № 4. – C. 795 – 799.
16. Гашимов И. Ф. Вычисление регуляризованного следа операторного уравнения Штурма – Лиувилля
с особенностью на конечном отрезке. – Алма-Ата, 1989. – 37 с. – Деп. в ВИНИТИ, № 7340.
17. Содовничий В. А., Подольский В. Е. Следы операторов с относительно компактным возмущением
// Мат. сб. – 2002. – 193, № 2. – C. 129 – 152.
18. Дубровский В. В. Абстрактные формулы регуляризованных следов эллиптических гладких диф-
ференциальных операторов, заданных на компактных многообразиях // Дифференц. уравнения. –
1991. – 27, № 12. – C. 2164 – 2166.
19. Садовничий В. А., Подольский В. Е. Следы операторов // Успехи мат. наук. – 2006. – 61, № 5. –
C. 89 – 156.
20. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. – M.: Наука, 1969. – 528 с.
21. Смирнов В. И. Курс высшей математики. – М., 1959. – Т. 5. – 655 с.
22. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. О некоторых классах граничных задач для уравнения Штурма –
Лиувилля с операторным потенциалом // Укр. мат. журн. – 1972. – 24, № 3. – C. 291 – 305.
Получено 20.11.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2920 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:32:50Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/10/3a0f6741efe7c25675b7e377d136d410.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29202020-03-18T19:40:27Z Distribution of eigenvalues and trace formula for the Sturm–Liouville operator equation Распределение собственных значений и формула следа операторного уравнения Штурма-Лиувилля Aslanova, N. M. Bairamogly, M. Асланова, H. M. Байрамоглы, M. Асланова, H. M. Байрамоглы, M. We study the asymptotic distribution of eigenvalues of the problem generated by the Sturm–Liouville operator equation. A formula for the regularized trace of the corresponding operator is obtained. Вивчається асимптотичний розподіл власних значень задачі, що породжена операторним рівнянням Штурма-Ліувілля. Отримано формулу регуляризованого сліду відповідного оператора. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2920 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 7 (2010); 867–877 Український математичний журнал; Том 62 № 7 (2010); 867–877 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2920/2590 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2920/2591 Copyright (c) 2010 Aslanova N. M.; Bairamogly M. |
| spellingShingle | Aslanova, N. M. Bairamogly, M. Асланова, H. M. Байрамоглы, M. Асланова, H. M. Байрамоглы, M. Distribution of eigenvalues and trace formula for the Sturm–Liouville operator equation |
| title | Distribution of eigenvalues and trace formula for the Sturm–Liouville operator equation |
| title_alt | Распределение собственных значений и формула следа операторного уравнения Штурма-Лиувилля |
| title_full | Distribution of eigenvalues and trace formula for the Sturm–Liouville operator equation |
| title_fullStr | Distribution of eigenvalues and trace formula for the Sturm–Liouville operator equation |
| title_full_unstemmed | Distribution of eigenvalues and trace formula for the Sturm–Liouville operator equation |
| title_short | Distribution of eigenvalues and trace formula for the Sturm–Liouville operator equation |
| title_sort | distribution of eigenvalues and trace formula for the sturm–liouville operator equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2920 |
| work_keys_str_mv | AT aslanovanm distributionofeigenvaluesandtraceformulaforthesturmliouvilleoperatorequation AT bairamoglym distributionofeigenvaluesandtraceformulaforthesturmliouvilleoperatorequation AT aslanovahm distributionofeigenvaluesandtraceformulaforthesturmliouvilleoperatorequation AT bajramoglym distributionofeigenvaluesandtraceformulaforthesturmliouvilleoperatorequation AT aslanovahm distributionofeigenvaluesandtraceformulaforthesturmliouvilleoperatorequation AT bajramoglym distributionofeigenvaluesandtraceformulaforthesturmliouvilleoperatorequation AT aslanovanm raspredeleniesobstvennyhznačenijiformulasledaoperatornogouravneniâšturmaliuvillâ AT bairamoglym raspredeleniesobstvennyhznačenijiformulasledaoperatornogouravneniâšturmaliuvillâ AT aslanovahm raspredeleniesobstvennyhznačenijiformulasledaoperatornogouravneniâšturmaliuvillâ AT bajramoglym raspredeleniesobstvennyhznačenijiformulasledaoperatornogouravneniâšturmaliuvillâ AT aslanovahm raspredeleniesobstvennyhznačenijiformulasledaoperatornogouravneniâšturmaliuvillâ AT bajramoglym raspredeleniesobstvennyhznačenijiformulasledaoperatornogouravneniâšturmaliuvillâ |