$A$-deformations of a surface with stationary lengths of $LGT$-lines
We investigate infinitesimal areal deformations ($A$-deformations) of the first order under which the lengths of $LGT$-lines of a surface are preserved in the $E_3$ -space. We prove that any regular surface of the class $C^4$ of nonzero Gaussian curvature without umbilical points admits nontrivial $...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2921 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508918222946304 |
|---|---|
| author | Bezkorovaina, L. L. Vashpanova, T. Yu. Безкоровайна, Л. Л. Вашпанова, Т. Ю. |
| author_facet | Bezkorovaina, L. L. Vashpanova, T. Yu. Безкоровайна, Л. Л. Вашпанова, Т. Ю. |
| author_sort | Bezkorovaina, L. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:27Z |
| description | We investigate infinitesimal areal deformations ($A$-deformations) of the first order under which the lengths of $LGT$-lines of a surface are preserved in the $E_3$ -space. We prove that any regular surface of the class $C^4$ of nonzero Gaussian curvature without umbilical points admits nontrivial $A$-deformations with stationary lengths of LGT-lines. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:32:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 514.75
L. L. Bezkorovajna, T. G. Vaßpanova (Odes. nac. un-t im. I.�I. Meçnykova)
A -DEFORMACI} POVERXNI
ZI STACIONARNOG DOVÛYNOG LGT-LINIJ
The present paper deals with the investigation of infinitesimal areal deformations (A-deformations) of
the first order under which lengths of LGT-lines of a surface are preserved in the E3 -space. It is proved
that any regular surface belonging to the class C 4 of nonzero Gauss curvature without umbilical points
tolerates nontrivial A-deformations with stationary lengths of LGT-lines.
Obæektom yssledovanyq v rabote qvlqgtsq beskoneçno mal¥e areal\n¥e deformacyy ( A-de-
formacyy) pervoho porqdka, pry kotor¥x soxranqgtsq dlyn¥ L GT-lynyj poverxnosty v E3 -
prostranstve. Dokazano, çto lgbaq rehulqrnaq poverxnost\ klassa C 4
nenulevoj polnoj kry-
vyzn¥ bez ombylyçeskyx toçek dopuskaet netryvyal\n¥e A-deformacyy so stacyonarn¥my dly-
namy LGT-lynyj.
Klas neskinçenno malyx deformacij, wo zberihagt\ element plowi poverxni, [
dostatn\o ßyrokym. Taki deformaci] uzahal\nggt\ neskinçenno mali zhynannq.
Osnovni rivnqnnq A -deformaci] (4), qkymy my korystu[mosq v roboti, [ uzahal\-
nennqm vidomyx rivnqn\ dlq polq zhynannq [1]. A -deformaci] vyvçalysq, napry-
klad, u robotax [2 – 9].
1. Ponqttq LGT-sitky poverxni. Nexaj S — rehulqrna poverxnq klasu
C 3
, homeomorfna oblasti G plowyny, zadana vektorno-parametryçnym riv-
nqnnqm r = r( , )x x1 2 , de r — radius-vektor toçky poverxni, ( , )x x1 2
— vnut-
rißni koordynaty ci[] toçky. Formula dlq heodezyçnoho skrutu lini] na po-
verxni ma[ vyhlqd [9]
τs =
ραβ
α β
γϑ
γ ϑ
dx dx
g dx dx
, (1)
de g dx dxγϑ
γ ϑ
— perßa, a ραβ
α βdx dx — çetverta osnovni kvadratyçni formy
poverxni, ρij =
1
2
c b c bi j j iα
α
α
α+( ) , bi
α = b gk
ik
α , b kα — koefici[nty druho]
osnovno] kvadratyçno] formy, ciα — dyskryminantnyj tenzor poverxni
( c c11 22 0= = , c c g12 21= − = , g g g g= −11 22 12
2
) . Z (1) vyplyva[, wo znaçennq
heodezyçnoho skrutu zaleΩyt\ vid toçky poverxni i naprqmu dx1 : dx2 .
Ekstremal\ni znaçennq heodezyçnoho skrutu v danij toçci poverxni budemo
nazyvaty holovnymy heodezyçnymy skrutamy, a naprqmy na poverxni, u qkyx heo-
dezyçnyj skrut dosqha[ ekstremal\nyx znaçen\, — holovnymy naprqmamy heode-
zyçnoho skrutu. Holovni naprqmy heodezyçnoho skrutu poverxni moΩna vyzna-
çyty z rivnqnnq [10]
h dx dxαβ
α β = 0, (2)
de
hαβ = 2( )H g bαβ αβ− , (3)
H — serednq kryvyna poverxni S. Dali vsi indeksy nabuvagt\ znaçen\��1,�2.
Ma[ misce taka teorema.
© L. L. BEZKOROVAJNA, T. G. VAÍPANOVA, 2010
878 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7
A-DEFORMACI} POVERXNI ZI STACIONARNOG DOVÛYNOG … 879
Teorema.1 [10]. U bud\-qkij toçci rehulqrno] C 3 -poverxni, za vynqtkom
ombiliçnyx toçok, isnugt\ dva riznyx dijsnyx holovnyx naprqmy heodezyçnoho
skrutu.
Linig na poverxni, naprqm qko] v koΩnij toçci zbiha[t\sq z holovnym naprq-
mom heodezyçnoho skrutu, budemo nazyvaty lini[g heodezyçnoho skrutu ( LGT-
lini[g ) . Lini] heodezyçnoho skrutu poverxni vyznaçagt\sq rivnqnnqm (2) i v su-
kupnosti vyznaçagt\ sitku linij heodezyçnoho skrutu ( LGT-sitku ) .
Teorema.2 [10]. Na rehulqrnij poverxni klasu C 3
bez ombiliçnyx toçok is-
nu[ dijsna rehulqrna LGT-sitka, do toho Ω cq sitka [ ortohonal\nog.
2. Postanovka zadaçi. Rozhlqnemo neskinçenno malu areal\nu deformacig
perßoho porqdku poverxni S z polem zmiwennq y( , )x x1 2
i parametrom defor-
maci] t → 0 :
r∗∗( , )x x1 2 = r y( , ) ( , )x x t x x1 2 1 2+ .
Çastynni poxidni vektora zmiwennq za bazysom r1 , r2 , n rozklademo u vyhlqdi
yi = c T c Ti iα
αβ
β α
αr n+ ,
de T αβ , T α
— deqki tenzorni polq na S (polq deformaci]). U vypadku A -de-
formaci] vony [ rozv’qzkamy systemy rivnqn\ (dyv., napryklad, [9])
T b Tk k
,α
α
α
α− = 0, b T Tαβ
αβ
α
α+ , = 0, c Tαβ
αβ = 0, (4)
v qkij komog poznaçeno kovariantnu poxidnu na bazi metryçnoho tenzora gij
poverxni S.
Teorema.3. Neobxidnog i dostatn\og umovog toho, wob pry A- deformaci]
poverxni LGT-lini] zberihaly svog dovΩynu, [ rivnist\
2 2T c g T c gγδ
αγ βδ
γδ
βγ αδ+ = 2µ αβ αβ( )b H g− , (5)
de µ ( , )x x1 2
— deqka funkciq.
Dovedennq. Pry A-deformaci] kvadrat elementa duhy ds2
kryvo] na po-
verxni S ma[ pryrist perßoho porqdku vidnosno t (velyçynamy vywyx porqdkiv
nextu[mo):
ds ds∗ −
2 2 = t dx dx t⋅ +2 2εαβ
α β ,
do toho Ω variacig 2εαβ koefici[ntiv perßo] kvadratyçno] formy poverxni
moΩna vyrazyty çerez tenzorne pole T αβ
[9]:
2εαβ = T c g c gγδ
αγ βδ βγ αδ( )+ .
Vidomo, wo na S isnugt\ dvi rizni dijsni sim’] linij stacionarno] dovΩyny
pry A -deformaci]. Pry c\omu lini] riznyx simej zavΩdy ortohonal\ni [5, 6].
Dyferencial\ne rivnqnnq sitky linij stacionarno] dovΩyny moΩna podaty u vy-
hlqdi [6]
εαβ
α βdx dx = 0. (6)
Budemo vymahaty, wob pry A -deformaci] poverxni dyferencial\ni rivnqnnq
LGT-linij (2) i linij stacionarno] dovΩyny (6) vyznaçaly odyn i toj samyj heo-
metryçnyj obraz. Zvidsy otryma[mo neobxidnu i dostatng umovu toho, wob pry
A -deformaci] poverxni LGT-lini] zberihaly svog dovΩynu:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7
880 L. L. BEZKOROVAJNA, T. G. VAÍPANOVA
4εαβ = – µ αβh . (7)
3. Vypadok tryvial\nyx deformacij. Rozhlqnemo vypadok εαβ = 0, todi
T c g c gγδ
αγ βδ βγ αδ( )+ = 0. (8)
C\omu prypuwenng vidpovida[ neskinçenno male zhynannq, pry qkomu bud\-qka
kryva na poverxni zberiha[ element dovΩyny. A -deformaciq, qka zadovol\nq[
(8) u danij toçci (oblasti) poverxni, nazyva[t\sq tryvial\nog v cij toçci (ob-
lasti).
Magt\ misce taki lemy.
Lema.1. A-deformaciq poverxni, wo zberiha[ dovΩyny LGT-linij, bude try-
vial\nog todi i lyße todi, koly µ = 0.
Lema.2. A -deformaciq poverxni, wo zberiha[ dovΩyny LGT-linij, bude ne-
tryvial\nog todi i lyße todi, koly µ ≠ 0.
Vypadok hαβ = 0 vyklgça[mo z rozhlqdu, oskil\ky cq rivnist\ vykonu[t\sq
vynqtkovo v ombiliçnyx toçkax. Dali budemo vvaΩaty, wo hαβ ≠ 0.
Takym çynom, zadaça pro isnuvannq A -deformaci] poverxni zi stacionarnymy
dovΩynamy LGT-linij analityçno zvodyt\sq do rozhlqdu systemy rivnqn\ (4),
(7). Cq systema sklada[t\sq z ßesty dyferencial\nyx rivnqn\ vidnosno ßesty
nevidomyx funkcij — symetryçnoho tenzora T αβ , komponent vektora T α
ta
funkci] µ ( , )x x1 2 .
Ma[ misce taka teorema.
Teorema.4. Dlq toho wob odnozv’qzna poverxnq S klasu C 3
dopuskala ne-
tryvial\ni A-deformaci] zi stacionarnog dovΩynog LGT-linij, neobxidno i
dostatn\o, wob systema rivnqn\ (4), (7) mala rozv’qzok za umovy µ ≠ 0.
4. Isnuvannq A-deformaci] minimal\no] poverxni zi stacionarnog dov-
Ωynog LGT-linij. Nexaj S — minimal\na poverxnq ( )H = 0 . Zhidno z for-
mulog (3) otryma[mo, wo LGT-sitka zbihatymet\sq z sitkog asymptotyçnyx
linij, a umova (5) nabere vyhlqdu
2εαβ = µ αβb .
OtΩe, dlq minimal\no] poverxni zadaça pro isnuvannq neskinçenno malyx
areal\nyx deformacij zi stacionarnog dovΩynog LGT-linij zvodyt\sq do roz-
v’qzuvannq zadaçi pro isnuvannq A -deformacij poverxni, wo zberihagt\ dovΩy-
nu asymptotyçnyx linij, qka rozhlqdalasq v [6].
Vraxovugçy otrymani v [6] rezul\taty, otrymu[mo taku teoremu.
Teorema.5. Minimal\na poverxnq dopuska[ netryvial\ni A -deformaci], wo
ne zminggt\ dovΩynu LGT-linij. Tenzory deformaci] zaleΩat\ vid odni[] do-
vil\no] funkci] dvox zminnyx klasu C2
ta dvox dovil\nyx funkcij odni[] zminno]
klasu C2
.
5. Pro isnuvannq A-deformaci] zi stacionarnog dovΩynog LGT-linij
neminimal\no] poverxni. Vidnesemo poverxng S do linij kryvyny, todi g12 =
= b12 = 0, i porqd z (5) rozhlqnemo alhebra]çne rivnqnnq (4)2 vidnosno T αβ
:
g T g T11
11
22
22− = 0,
b T b T11
11
22
22+ = – T, γ
γ ,
T12 =
µ
4
22
22g
h
g
= –
µ
4
11
11g
h
g
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7
A-DEFORMACI} POVERXNI ZI STACIONARNOG DOVÛYNOG … 881
Pry H ≠ 0 znajdemo rozv’qzok ci[] alhebra]çno] systemy rivnqn\ vidnosno T11 ,
T 22 , T12 :
T11 = –
T
H
g
, γ
γ
2
11 ,
T 22 = –
T
H
g
, γ
γ
2
22 ,
T12 =
µ
4
22
22g
h
g
= –
µ
4
11
11g
h
g
,
qkomu nadamo tenzornoho vyhlqdu
T αβ = g Aαβ αβϕ µ− , (9)
de funkciq ϕ ( , )x x1 2
ma[ vyhlqd
ϕ = –
T
H
, γ
γ
2
, (10)
a tenzor
Aαβ =
1
2
Hc c bk
k
βα α β−( ) .
Tenzor Aαβ
[ symetryçnym, oskil\ky rivnist\ c Aαβ
αβ = 0 dlq n\oho vykonu-
[t\sq totoΩno.
Oçevydno, tenzor deformaci] T αβ
povynen zadovol\nqty systemu riv-
nqn\�(4)1
. Znajdemo kovariantnu poxidnu vid T αβ
i pidstavymo ]] v systemu riv-
nqn\ (4)1
:
b Tα
β α = g A Aαβ
α α
αβ αβ
αϕ µ µ,− − .
Dali, pomnoΩyvßy otrymanu rivnist\ na d k
β , oderΩymo ßukanyj vyraz dlq ten-
zora T α
:
T α = d A d A dk
k
k
k k
kα β
β
α β
β
αϕ µ µ,− − , (11)
de
d kα =
1
K
c c bki j
ij
α , K ≠ 0, k, α = 1, 2,
— elementy matryci, oberneno] do bkα , µk =
∂
∂
µ
xk
.
Z (11) vyraz T α
pidstavymo v (10). Otryma[mo odne linijne dyferencial\ne
rivnqnnq z çastynnymy poxidnymy druhoho porqdku vidnosno funkcij µ ta ϕ :
( ),d Hk
k
α
αϕ ϕ+ 2 = A d A d A d A dk
k
k
k k
k
k
kβ
β
α
α
β
β
α
α
β
β
α
α
β
βµ µ µ, , , ,( ) (+ + + αα
α µ), .
(12)
Takym çynom, dovedeno taku teoremu.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7
882 L. L. BEZKOROVAJNA, T. G. VAÍPANOVA
Teorema.6. Qkwo funkci] µ ( , )x x1 2 ≠ 0 ta ϕ ( , )x x1 2
[ rozv’qzkamy dy-
ferencial\noho rivnqnnq (12), to isnu[ netryvial\na A -deformaciq zi stacio-
narnog dovΩynog LGT-linij poverxni klasu C 4
za umov K ≠ 0, H ≠ 0 bez
ombiliçnyx toçok. Pry c\omu tenzory deformaci] T αβ , T α
çerez funkci] µ
ta ϕ vyraΩagt\sq u qvnomu vyhlqdi za formulamy (9), (11) vidpovidno.
6. Pro isnuvannq okremyx lokal\nyx rozv’qzkiv zadaçi. Prypustymo, wo
µ ( , )x x1 2 ≠ 0 [ zazdalehid\ zadanog funkci[g toçky poverxni klasu C2
. Todi
rivnqnnq (12) u zahal\nomu vyhlqdi [ neodnoridnym dyferencial\nym rivnqnnqm
z çastynnymy poxidnymy druhoho porqdku vidnosno funkci] ϕ ( , )x x1 2
. Dyskry-
minant c\oho rivnqnnq ∆ =
1
gK
. OtΩe, vono ma[ eliptyçnyj typ pry K > 0 i
hiperboliçnyj pry K < 0. Zaznaçymo, wo rivnqnnq (12) uzahal\ng[ vidome riv-
nqnnq Vejnhartena [1]
( ),d Hk
k
α
αϕ ϕ+ 2 = 0, (13)
qke nazyva[t\sq xarakterystyçnym rivnqnnqm polq obertan\ pry neskinçenno
malyx zhynannqx poverxni, a joho rozv’qzky nazyvagt\sq xarakterystyçnymy
funkciqmy.
Qkwo S C∈ 4
— poverxnq eliptyçnoho typu, to koefici[nty rivnqnnq (13) [
rehulqrnymy funkciqmy klasu C 3
i rivnqnnq (12) v dostatn\o malij oblasti
G zavΩdy ma[ rozv’qzok, qkyj zaleΩyt\ vid dovil\no] funkci] ω ( , )x x C1 2 3∈
[11]. Zvidsy vyplyva[ taka teorema.
Teorema.7. Bud\-qka poverxnq S C∈ 4
eliptyçnoho typu bez ombiliçnyx
toçok dopuska[ netryvial\ni A -deformaci], wo zberihagt\ dovΩynu LGT-li-
nij v dostatno malij oblasti G . Tenzory deformaci] zaleΩat\ vid dvox do-
vil\nyx rehulqrnyx funkcij µ ( , )x x C1 2 2∈ , µ ≠ 0, ta ω ( , ) ( )x x C G1 2 3∈ .
Navpaky, qkwo ϕ ( , )x x1 2
[ pevnog xarakterystyçnog funkci[g, to rivnqn-
nq (12) nabyra[ vyhlqdu
A d A d A d A dk
k
k
k k
k
k
kβ
β
α
α
β
β
α
α
β
β
α
α
β
βµ µ µ, , , ,( ) (+ + + αα
α µ), = 0 (14)
abo, inakße,
D A d A d A dk
k
k
k k
k
k
kα
α
β
β
α
α
β
β
α
α
β
β
αµ µ µ, , , , ,( ) ( )+ + + αα µ = 0 (15)
de D kα =
1
2
A d A dk kβ
β
α αβ
β+( ) . Otrymaly dyferencial\ne rivnqnnq z çastyn-
nymy poxidnymy druhoho porqdku vidnosno funkci] µ ( , )x x1 2
. U koΩnij toçci
poverxni S ( K ≠ 0 ) dyskryminant c\oho rivnqnnq ∆ = –
H
K
E
g
2
4
< 0, de
E = H K2 − — ejlerova riznycq. Zvidsy vyplyva[, wo rivnqnnq (15) [ rivnqn-
nqm hiperboliçnoho typu.
Ma[ misce taka teorema.
Teorema.8. Qkwo µ ( , )x x C1 2 2∈ [ nenul\ovym rozv’qzkom dyferencial\no-
ho rivnqnnq (14), a ϕ ( , )x x1 2 — xarakterystyçnog funkci[g na S C∈ 4 , to
isnu[ netryvial\na A -deformaciq zi stacionarnog dovΩynog LGT -linij po-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7
A-DEFORMACI} POVERXNI ZI STACIONARNOG DOVÛYNOG … 883
verxni klasu C 4
za umov K ≠ 0, H ≠ 0 bez ombiliçnyx toçok. Pry c\omu
tenzory deformaci] vyraΩagt\sq u qvnomu vyhlqdi za formulamy (9), (11) vid-
povidno.
Zokrema, pry ϕ = 0 otryma[mo taki vyrazy komponent tenzoriv deformaci]:
T αβ = – Aαβµ , (16)
T α = – A d A dk
k k
kβ
β
α β
β
αµ µ,− , (17)
qki vyznaçagt\ netryvial\ni neskinçenno mali areal\ni deformaci] z nezminnog
dovΩynog LGT-linij. OtΩe, ma[ misce taka teorema.
Teorema.9. Poverxnq S C∈ 4
nenul\ovyx povno] i seredn\o] kryvyn bez om-
biliçnyx toçok dopuska[ netryvial\ni A -deformaci] zi stacionarnymy dovΩy-
namy LGT-linij. Tenzory deformaci] T αβ , T α
podano u vyhlqdi (16) ta (17)
vidpovidno çerez odnu funkcig µ ( , )x x C1 2 2∈ , qka [ rozv’qzkom dyferencial\-
noho rivnqnnq (14).
7. Pryklad. Nexaj rivnqnnq eliptyçnoho parabolo]da zadano u vyhlqdi
r = u u
u
cos , sin ,v v
2
2
.
Obçyslymo
g u11
21= + , g12 0= , g u22
2= ,
b
u
11
2
1
1
=
+
, b12 0= , b
u
u
22
2
21
=
+
,
ρ ρ11 22 0= = , ρ12
3
22 1
=
+
u
u( )
,
h
u
u
11
2
21
=
+
, h12 0= , h
u
u
22
4
2 31
= −
+( )
,
b
u
1
1
2 3
1
1
=
+( )
, b
u
2
2
2
1
1
=
+
, b b2
1
1
2 0= = ,
Γ Γ11
2
22
2 0= = , Γ22
1
21
= −
+
u
u
,
Γ11
1
21
=
+
u
u
, Γ Γ12
1
21
1 0= = , Γ Γ12
2
21
2 1
= =
u
,
K
u
=
+
1
1 2 2( )
, 2
2
1
2
2 3
H
u
u
=
+
+( )
.
Rozhlqnemo A -deformaci], wo zberihagt\ dovΩynu LGT-linij dlq eliptyç-
noho parabolo]da, za umovy ϕ = 0 . Rivnqnnq (14) dlq ci[] poverxni nabere vy-
hlqdu
∂
∂ ∂
+
−
+ +
∂
∂
2 2
2 2
4 1
2 1
µ µ
u
u
u u uv v
( )
( )( )
= 0. (18)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7
884 L. L. BEZKOROVAJNA, T. G. VAÍPANOVA
Zvedemo ce rivnqnnq do vyhlqdu
∂
∂
ψ
u
= – ψ ξ( , ) ( )u uv , (19)
de
∂
∂
µ
v
= ψ( , )u v , ξ( )u =
4 1
2 1
2
2 2
( )
( )( )
−
+ +
u
u u u
.
NevaΩko znajty rozv’qzok rivnqnnq (19):
µ ( , )u v = e c
u dx−∫ ξ( )
( )v ,
de c( )v = c d1( )v v∫ — dovil\na funkciq vid odni[] zminno] v.
Zahal\nyj rozv’qzok rivnqnnq (18) matyme vyhlqd
µ ( , )u v =
( )
( )
( )
u
u u
c
2 4
2 2 3
1
2
+
+
v ,
a dlq tenzoriv A -deformaci], wo zberiha[ dovΩyny LGT-linij, distanemo taki
vyrazy:
T T11 22 0= = , T T
u
u u
c12 21
2 2
2 3
1
4 2
= = −
+
+
( )
( )
( )v , (20)
T
u
u u
c1
2 72
2 3
1
4 2
= −
+
+
′
( )
( )
( )v , T
u u
u
c2
2 32 2
2 4
1 1
2 2
= −
+ −
+
( ) ( )
( )
( )v . (21)
Oçevydno, wo cq deformaciq ne [ tryvial\nog. OtΩe, pravyl\nog [ taka teo-
rema.
Teorema.10. Poverxnq eliptyçnoho parabolo]da dopuska[ netryvial\ni A-
deformaci], pry qkyx zberihagt\sq dovΩyny LGT-linij. Tenzory deformaci]
T αβ
, T α
vyraΩagt\sq u qvnomu vyhlqdi za formulamy (20) i (21).
1. Vekua Y. N. Obobwenn¥e analytyçeskye funkcyy. – M.: Nauka, 1988. – 512 s.
2. Paul Vincensini. Sur les déformations équivalents infinitésimales des surfaces // Rev. Unuv. nac.
Tucumán A. – 1962. – 14, # 2. – P. 177 – 188.
3. Aleksandrov A. D. V¥pukl¥e mnohohrannyky. – M.; L., 1950. – 428 s.
4. Fomenko V. T. Nekotor¥e rezul\tat¥ teoryy beskoneçno mal¥x yzhybanyj poverxnostej //
Mat. sb. – 1967. – 72 (114), # 3. – S.�388 – 411.
5. Kolobov P. H. O beskoneçno mal¥x deformacyqx poverxnosty s soxranenyem plowady //
Uç. zap. Kabardyno-Balkar. un-ta. Ser. mat. – 1966. – V¥p.�30. – S.�65 – 68.
6. Bezkorovajna L. L. Pro neskinçenno mali deformaci], wo zberihagt\ dovΩynu asymptotyç-
nyx linij // Mat. nauk. konf. mol. uçenyx (pryrod. nauky). – Odesa, 1970. – S.�104 – 109.
7. Bezkorovajnaq L. L. Kanonyçeskye A-deformacyy, soxranqgwye dlyn¥ lynyj kryvyzn¥
poverxnosty // Mat. sb. – 1975. – 97 (139), # 2 (6). – S.�163 – 176.
8. Dermanec N. V. O prodolΩenyy beskoneçno mal¥x areal\n¥x deformacyj pervoho porqd-
ka poverxnosty poloΩytel\noj kryvyzn¥ s kraem v analytyçeskye. – Odessa, 1985. – 46�s. –
Dep. v UkrNYYNTY, #�813 Uk-85.
9. Bezkorovajna L. L. Areal\ni neskinçenno mali deformaci] i vrivnovaΩeni stany pruΩno]
obolonky: Navç. pos. – Odesa: Astroprynt, 1999. – 168 s.
10. Vaßpanova T. G., Bezkorovajna L. L. Heodezyçnyj skrut ta joho ekstremal\ni znaçennq //
Mat. nauk. konf. mol. uçenyx i studentiv z dyferenc. rivnqn\ ta ]x zastosuvan\ (Donec\k,
6–7 hrudnq�2006 r.). – Donec\k, 2006. – S.�28 – 29.
11. Bycadze A. V. Kraev¥e zadaçy dlq πllyptyçeskyx uravnenyj vtoroho porqdka. – M.: Nauka,
1966.
OderΩano 19.03.10
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7
|
| id | umjimathkievua-article-2921 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:32:50Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/35/6d9e2ff6ec0f67d281ddff72dbe30a35.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29212020-03-18T19:40:27Z $A$-deformations of a surface with stationary lengths of $LGT$-lines $A$ -деформації поверхні зі стаціонарною довжиною $LGT$-ліній Bezkorovaina, L. L. Vashpanova, T. Yu. Безкоровайна, Л. Л. Вашпанова, Т. Ю. We investigate infinitesimal areal deformations ($A$-deformations) of the first order under which the lengths of $LGT$-lines of a surface are preserved in the $E_3$ -space. We prove that any regular surface of the class $C^4$ of nonzero Gaussian curvature without umbilical points admits nontrivial $A$-deformations with stationary lengths of LGT-lines. Объектом исследования в работе являются бесконечно малые ареальиые деформации ($A$-деформации) первого порядка, при которых сохраняются длины $LGT$-линий поверхности в $E_3$ - пространстве. Доказано, что любая регулярная поверхность класса $C^4$ ненулевой полной кривизны без омбилических точек допускает нетривиальные $A$-деформации со стационарными длинами LGT-лттй. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2921 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 7 (2010); 878–884 Український математичний журнал; Том 62 № 7 (2010); 878–884 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2921/2592 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2921/2593 Copyright (c) 2010 Bezkorovaina L. L.; Vashpanova T. Yu. |
| spellingShingle | Bezkorovaina, L. L. Vashpanova, T. Yu. Безкоровайна, Л. Л. Вашпанова, Т. Ю. $A$-deformations of a surface with stationary lengths of $LGT$-lines |
| title | $A$-deformations of a surface with stationary lengths of $LGT$-lines |
| title_alt | $A$ -деформації поверхні зі стаціонарною довжиною $LGT$-ліній |
| title_full | $A$-deformations of a surface with stationary lengths of $LGT$-lines |
| title_fullStr | $A$-deformations of a surface with stationary lengths of $LGT$-lines |
| title_full_unstemmed | $A$-deformations of a surface with stationary lengths of $LGT$-lines |
| title_short | $A$-deformations of a surface with stationary lengths of $LGT$-lines |
| title_sort | $a$-deformations of a surface with stationary lengths of $lgt$-lines |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2921 |
| work_keys_str_mv | AT bezkorovainall adeformationsofasurfacewithstationarylengthsoflgtlines AT vashpanovatyu adeformationsofasurfacewithstationarylengthsoflgtlines AT bezkorovajnall adeformationsofasurfacewithstationarylengthsoflgtlines AT vašpanovatû adeformationsofasurfacewithstationarylengthsoflgtlines AT bezkorovainall adeformacíípoverhnízístacíonarnoûdovžinoûlgtlíníj AT vashpanovatyu adeformacíípoverhnízístacíonarnoûdovžinoûlgtlíníj AT bezkorovajnall adeformacíípoverhnízístacíonarnoûdovžinoûlgtlíníj AT vašpanovatû adeformacíípoverhnízístacíonarnoûdovžinoûlgtlíníj |