Removability of an isolated singularity of solutions of the Neumann problem for quasilinear parabolic equations with absorption that admit double degeneration
We consider the Neumann initial boundary-value problem for the equation $$u_t=\text{div}(u^{m−1}|Du|^{λ−1}Du)−u^p$$ in domains with noncompact boundary and with initial Dirac delta function. In the case of slow diffusion $(m + λ − 2 > 0)$ and critical absorption exponent $(p = m + λ − 1 +\fr...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2923 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508922707705856 |
|---|---|
| author | Boldovskaya, O. M. Болдовская, О. М. Болдовская, О. М. |
| author_facet | Boldovskaya, O. M. Болдовская, О. М. Болдовская, О. М. |
| author_sort | Boldovskaya, O. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:27Z |
| description | We consider the Neumann initial boundary-value problem for the equation
$$u_t=\text{div}(u^{m−1}|Du|^{λ−1}Du)−u^p$$
in domains with noncompact boundary and with initial Dirac delta function.
In the case of slow diffusion $(m + λ − 2 > 0)$ and critical absorption exponent $(p = m + λ − 1 +\frac{λ + 1}{N})$, we prove that the singularity at the point $(0, 0)$ is removable. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:32:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
О. М. Болдовская (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ
РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ
ДВОЙНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ, С АБСОРБЦИЕЙ
We consider the initial boundary-value Neumann problem for the equation
ut = div(um−1|Du|λ−1Du)− up
in domains with noncompact boundary and with the initial Dirac delta function. In the case where diffusion is
slow, m+ λ− 2 > 0, and the exponent of absorption is critical, p = m+ λ− 1+
λ+ 1
N
, we prove that the
singularity at the point (0, 0) is removable.
Розглядається початково-крайова задача Неймана для рiвняння
ut = div(um−1|Du|λ−1Du)− up
в областях з некомпактною межею та з початковою дельта-функцiєю Дiрака. У випадку повiльної
дифузiї, m + λ − 2 > 0, i критичного показника абсорбцiї, p = m + λ − 1 +
λ+ 1
N
, доведено, що
особливiсть у (0, 0) є усувною.
1. Введение. Пусть Ω ∈ RN , N > 1, — неограниченная область с достаточно глад-
кой некомпактной границей ∂Ω и |Ω|N = mesN Ω = ∞, −→n — внешняя единичная
нормаль к ∂Ω. Не ограничивая общности будем считать, что начало координат при-
надлежит Ω. Мы рассматриваем следующую начально-краевую задачу Неймана в
QT = Ω× (0, T ), T > 0:
ut = div(um−1|Du|λ−1Du)− up в QT , (1.1)
um−1|Du|λ−1 ∂u
∂−→n
= 0 на ∂Ω× (0, T ), (1.2)
u(x, 0) = δ(x), x ∈ Ω, (1.3)
где λ > 0, m + λ − 2 > 0, начальная мера — δ(x)-функция Дирака. Показатель
абсорбирующего слагаемого является критическим, а именно, p = m+λ−1+
λ+ 1
N
.
Классический результат работы [1], в которой рассматривалась задача Коши
ut = 4u− |u|p−1u в Q = RN × R+, (1.4)
u(x, 0) = δ(x) в RN , (1.5)
p > 0 — фиксированный параметр, заключался в установлении критического пока-
зателя p0 = 1 +
2
N
такого, что:
1) при p < p0 существует единственное решение u ∈ C2,1(Q)∩Lp(Q), удовлет-
воряющее уравнению (1.4) в смысле распределения, а начальному условию (1.5)
так, что
lim
t→0
∫
u(x, t) ϕ(x) dx = ϕ(0) ∀ϕ(x) ∈ C0(RN ); (1.6)
c© О. М. БОЛДОВСКАЯ, 2010
894 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 895
2) для p ≥ p0 задача Коши не имеет решения u ∈ Lploc(Q), удовлетворяющего
(1.4), (1.6).
А именно, вместо (1.6)
lim
t→0
∫
u(x, t) ϕ(x) dx = 0 ∀ϕ(x) ∈ C0
(
RN \ {0}
)
,
откуда следует, что u(x, 0) = 0 и u ≡ 0, т. е. особенность в (0, 0) устранима. Други-
ми словами, если функция удовлетворяет уравнению (1.4) и начальному условию
u(x, 0) = 0, x ∈ RN \ {0}, то задача, связанная с изолированной особенностью
в начале координат, состоит в том, что нужно определить поведение u(x, t) при
(x, t)→ (0, 0). В данном случае, при p ≥ p0, в точке (0, 0) функцию u(x, t) можно
доопределить нулем, т. е. особенность в (0, 0) устранима.
Подобный результат об устранимой особенности для уравнения
ut = div
(
|∇u|λ−1∇u
)
− |u|p−1u,
где λ > 1, был получен в [2] при условии p ≥ λ +
λ+ 1
N
. Вопросы устранимости
особенностей для параболического уравнения с абсорбцией более общего вида
(с измеримыми коэффициентами) изучались в работе [3] при тех же ограничениях
на критический показатель. Этот результат удалось распространить и на уравнения
высокого порядка [4].
Основная цель данной работы — показать несуществование слабого решения
u(x, t) задачи (1.1) – (1.3) в QT при дополнительных условиях на геометрию облас-
ти, или, что эквивалентно, доказать, что решение u(x, t) исходной задачи имеет
устранимую особенность в точке (0,0). Данная работа является продолжением ра-
боты [5], где изучена задача (1.1) – (1.3) и получены результаты существования при
p < m + λ − 1 +
λ+ 1
N
и несуществования при p > m + λ − 1 +
λ+ 1
N
слабого
решения. Методы работы [5] оказались непригодными при p = m+ λ− 1 +
λ+ 1
N
,
поэтому в настоящей работе основным инструментом доказательства являются ком-
бинации локальных подходов работы [3], связанной с устранимыми особенностями
решений.
Касаясь исследования начально-краевых задач в областях с некомпактными гра-
ницами, отметим работы [6] (случай задачи Неймана), [7] (случай третьей краевой
задачи) и [8] (случай задачи Дирихле). В этих работах изучался вопрос о качест-
венном поведении решений в зависимости от геометрии области.
В дальнейшем будем предполагать, что Ω удовлетворяет условиям изоперимет-
рического типа, которые необходимы для теорем вложения [6]. Перейдем к точному
описанию класса областей, удовлетворяющих условиям изопериметрического ти-
па. Введем функцию
l(v) = inf
{
|∂G ∩ Ω|N−1 : G ⊂ Ω, |G| = v, ∂G липшицева
}
.
Пусть g(v), v ∈ (0,∞), — положительная непрерывная функция, такая, что
v(N−1)/N
g(v)
не убывает при всех v > 0. (1.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
896 О. М. БОЛДОВСКАЯ
Определение 1.1. Пусть Ω ⊂ RN , N ≥ 2, — неограниченная область с
непрерывной по Липшицу границей ∂Ω и |Ω|N = ∞. Будем говорить, что Ω при-
надлежит классу B(g) (Ω ∈ B(g)), если для всех v > 0
l(v) ≥ g(v),
где g(v) > 0 удовлетворяет условию (1.7).
Классы B(g) и близкие к ним были введены в работе [9], а также [6]. Геометри-
чески области из класса B(g) характеризуются тем, что не сужаются на бесконеч-
ности. Типичным примером областей класса Ω является область типа бесконечного
параболоида [6].
Пусть 0 ≤ h ≤ 1 — фиксированное число. Определим
Ω =
{
x ∈ RN | |x′| < xhN
}
, x′ = (x1, . . . , xN−1).
Из результатов [6] следует, что Ω ∈ B(g) с
g(v) = γmin(v(N−1)N , vη), v > 0, η =
h(N − 1)
1 + h(N − 1)
≤ N − 1
N
.
При N = 2 различные примеры областей класса B(g) рассмотрены в [9].
Под пространством C(0, T ;V ) понимаем пространство непрерывных отобра-
жений f(t) из [0, T ] в банахово пространство V с нормой
‖f‖C(0,T ;V ) = max
t∈[0,T ]
‖f(t)‖V ,
Vloc(Ω) — пространство функций, принадлежащих пространству V (Ω′) для произ-
вольной ограниченной подобласти Ω′ : Ω′ ⊂ Ω.
Определение 1.2. Будем говорить, что u(x, t) — слабое решение задачи (1.1) –
(1.3), если u(x, t) ≥ 0 и для любого τ > 0
u(x, t) ∈ C
(
0, T ;L2
loc(Ω)
)
∩ L∞loc
(
Ω× (τ, T )
)
,
|Du(m+λ−1)/λ| ∈ Lλ+1
loc (Ω× (τ, T )),
T∫
0
∫
Ω
(
−uξt + um−1|Du|λ−1DuDξ + upξ
)
dx dt = 0 ∀ξ ∈ C1
0
(
RN × (τ, T )
)
,
lim
t→0
∫
Ω
u(x, t) X(x) dx = X(0) ∀X(x) ∈ C∞0 (RN ). (1.8)
Основным результатом работы является следующая теорема.
Теорема 1.1. Пусть Ω ∈ B(g). При p = m + λ − 1 +
λ+ 1
N
слабое решение
задачи (1.1) – (1.3) не существует.
Мы же в этой работе докажем эквивалентный результат в терминах устрани-
мых особенностей решений, т. е. начальное условие перепишем в виде u(x, 0) = 0,
x ∈ Ω \ {0}, и если особенность в начале координат будет устранима, то непре-
рывное решение в (0, 0) можно доопределить нулем, а в рассматриваемом случае
устранимость особенности будем понимать в следующем смысле:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 897
lim
t→0
∫
Ω
u(x, t) X(x) dx = 0 ∀X(x) ∈ C∞0 (RN ).
Таким образом, вместо (1.8) получим последнее равенство, что и будет означать
несуществование слабого решения задачи (1.1) – (1.3).
Говорим, что неотрицательная функция u(x, t) удовлетворяет условию U, если
выполняются два условия:
u1) u(x, t) ∈ C(0, T ;L2
loc(Ω)) ∩ L∞loc
(
Ω× (0, T )
)
, |Du(m+λ−1)/λ| ∈ Lλ+1
loc
(
Ω×
× (0, T )
)
;
u2) выполняется интегральное тождество∫
Ω
u(x, T )ϕ(x, T ) dx+
+
T∫
0
∫
Ω
(
− uϕt + um−1|Du|λ−1DuDϕ+ upϕ
)
dx dt = 0 (1.9)
с ϕ(x, t) = ψ(x, t)ζ(x, t), где ψ(x, t) ∈ C
(
0, T ;L2
loc(Ω)
)
∩ Lλ+1
loc
(
0, T ;W 1,λ+1
0 (Ω)
)
,
ψt ∈ L2
loc
(
Ω× (0, T )
)
, а функция ζ(x, t) принадлежит C∞(RN × [0, T ]) и исчезает
в окрестности (0, 0).
Здесь под C∞(RN × [0, T ]) понимаем пространство бесконечно дифференци-
руемых по двум переменным (x ∈ RN и t ∈ [0, T ]) функций.
Lp(0, T ;V ) — пространство отображений f(t) из (0, T ) в банахово пространство
V, суммируемых по Лебегу со степенью p > 1, с нормой
‖f‖Lp(0,T ;V ) =
T∫
0
‖f(t)‖pV dt
1/p
,
если p =∞, то с нормой
‖f‖L∞(0,T ;V ) = sup ess
0<t<T
∥∥f(t)
∥∥
V
.
Будем говорить, что точка (0,0) устранима для неотрицательных слабых реше-
ний задачи (1.1) – (1.3), если для любой неотрицательной функции u(x, t), удов-
летворяющей условию U, следует выполнение тождества (1.9) для любой функ-
ции ϕ(x, t) = ψ(x, t), где ψ(x, t) ∈ C
(
0, T ;L2
loc
(
Ω
))
∩ Lλ+1
loc
(
0, T ;W 1,λ+1
0 (Ω)
)
,
ψt ∈ L2
loc
(
Ω× (0, T )
)
.
Теорема 1.2. Пусть Ω ∈ B(g), p = m + λ − 1 +
λ+ 1
N
. Тогда точка (0, 0)
устранима для неотрицательных слабых решений задачи (1.1) – (1.3).
Замечание 1.1. Для простоты считаем, что ut ∈ L2
loc(Ω×(0, T )), т. е. u(x, t) —
сильное решение уравнения (1.1) (u(x, t) удовлетворяет уравнению (1.1) почти всю-
ду). Тогда для получения различных интегральных оценок можно интегрировать
по частям в уравнении (1.1), умноженном на различные тестирующие функции. В
общем же случае оправдание получающихся при этом интегральных соотношений
стандартно (см., например, [10]) и основывается на использовании сглаживания с
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
898 О. М. БОЛДОВСКАЯ
помощью стекловских усреднений и выборе сглаженных функций в качестве те-
стирующих с последующим предельным переходом по параметру усреднения в
окончательном интегральном соотношении.
Как отмечалось выше, мы докажем только теорему 1.2. Доказательство прове-
дем в три шага. Сначала в п. 3 установим некоторую поточечную оценку, затем
в п. 4 оценим градиент решения и, наконец, в п. 5 в окрестности (0, 0) получим
оценку вида
u(x, t) ≤ C
(
|x|+ t1/K
)β−N
,
где C — положительная постоянная, β > 0,
K = λ+ 1 +N(m+ λ− 2). (1.10)
Последняя оценка гарантирует выполнение равенства
lim
(x,t)→(0,0)
u(x, t)
(
|x|+ t1/K
)N
= 0. (1.11)
Если выполняется (1.11), то из работы [3] следует, что в точке (0, 0) особенность
устранима.
2. Вспомогательная лемма.
В процессе доказательства нам понадобится следующий результат о вложении.
Лемма 2.1 [6]. Пусть Ω ∈ B(g), v ∈ L∞(0, T ;Lr̃(Ω)), Dv ∈ (Lp̃(Ω))N , с
p̃ > 1, r̃ ≥ 1 и sup
(0,T )
|supp v(·, t)| <∞. Тогда
T∫
0
∫
Ω
|v|p̃(1+r̃/N) dx dt ≤
≤ γ sup
0<t<T
ω(|suppv(·, t)|)p̃
∫
Ω
|v(x, t)|r̃ dx
p̃/N
T∫
0
∫
Ω
|Dv|p̃ dx dt,
где γ = γ(p̃, r̃, N), ω : [0,∞)→ [0,∞) — неубывающая функция: ω(z) = z1−1/N/g(z).
Всюду в дальнейшем через γ, γi будем обозначать различные положительные
постоянные, зависящие только от известных параметров задачи.
3. Поточечные оценки решений. Пусть R0 > 0 — фиксированное число:
R0 ≤
1
2
min
{
1,dist(0, ∂Ω), T 1/K
}
,
где K представлена равенством (1.10). Для 0 < r ≤ R0 определим
D(r) =
{
(x, t) ∈ RN × R1
+ :
(
|x|
r
)λ+1
+
t
rK
≤ 1
}
⊂ RN × R1
+,
M(r) = sup
{
u(x, t) : (x, t) ∈ D(R0)\D(r)
}
,
R1
+ =
{
t ∈ R1 : t > 0
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 899
Предполагаем, что lim
r→0
M(r) = ∞, иначе устранимость особенности следует
из [3].
Для 0 < ρ < 3−1/(λ+1)R0, σ ∈ (0, 1/2) рассмотрим функцию
ϕσρ(x, t) = ωσ
((
|x|
ρ
)λ+1
+
t
ρK
)
,
где ωσ : R1 → R1, ωσ ∈ C∞:
ωσ(s) =
1, 1 ≤ s ≤ 2,
0 вне (1− σ)λ+1 ≤ s ≤ 3− (1− σ)λ+1,
0 ≤ ωσ(s) ≤ 1,
∣∣∣∣dωσ(s)
ds
∣∣∣∣ ≤ γ
σ
.
Заметим, что при ϕσρ(x, t) 6= 0 u(x, t) ≤M(ρ− σρ).
Для 0 < R < R0 определим uR(x, t) = (u(x, t) − M(R))+, где (y)+ =
= max{y, 0}; y ∈ R1.
Лемма 3.1. Пусть выполняются условия теоремы 1.2, неотрицательная
функция u(x, t) удовлетворяет условию U. Тогда при 0 < ρ < 3−1/(λ+1)R0,
0 < R < R0, σ ∈ (0, 1/2) имеет место оценка
sup
0<t<T
∫
Ω
u2
Rϕ
λ+1
σρ dx+
+
∫∫
QT
um−1
R |DuR|λ+1ϕλ+1
σρ dx dt+
∫∫
QT
up+1
R ϕλ+1
σρ dx dt ≤
≤ γ
σλ+1
(
M2(ρ− σρ)ρN +Mm+λ(ρ− σρ)ρN+K−(λ+1)
)
. (3.1)
Доказательство. Умножая уравнение (1.1) на функцию
ϕ(x, t) =
(
u(x, t)−M(R)
)
+
ϕλ+1
σρ (x, t)
и интегрируя по QT с применением формулы интегрирования по частям, получаем
sup
0<t<T
∫
Ω
u2
Rϕ
λ+1
σρ dx+
+
∫∫
QT
um−1
R |DuR|λ+1ϕλ+1
σρ dx dt+
∫∫
QT
up+1
R ϕλ+1
σρ dx dt ≤
≤ γ
∫∫
QT
u2
Rϕ
λ
σρ(ϕσρ)
′
t dx dt+
∫∫
QT
umR |DuR|λϕλσρ|Dϕσρ| dx dt
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
900 О. М. БОЛДОВСКАЯ
Применяя неравенство Юнга с показателями λ + 1,
λ+ 1
λ
ко второму интегралу
справа в последнем неравенстве, имеем
sup
0<t<T
∫
Ω
u2
Rϕ
λ+1
σρ dx+
+
∫∫
QT
um−1
R |DuR|λ+1ϕλ+1
σρ dx dt+
∫∫
QT
up+1
R ϕλ+1
σρ dx dt ≤
≤ γ
∫∫
QT
u2
Rϕ
λ
σρ(ϕσρ)
′
t dx dt+
∫∫
QT
um+λ
R |Dϕσρ|λ+1 dx dt
,
откуда, учитывая свойства функции ϕσρ, получаем утверждение леммы 3.1.
Теорема 3.1. Пусть выполняются условия теоремы 1.2, неотрицательная
функция u(x, t) удовлетворяет условию U. Тогда справедлива оценка
M(ρ) ≤ γρ−N при 0 < ρ < 3−1/(λ+1)R0. (3.2)
Доказательство. Умножим уравнение (1.1) на функцию
ϕ(x, t) =
(
u(x, t)−M(R)
)ν
+
ϕsσρ(x, t), ν ≥ 1, s ≥ λ+ 1.
Интегрируя по QT и выполняя стандартные вычисления, получаем
sup
0<t<T
∫
Ω
uν+1
R ϕsσρ dx+
+
∫∫
QT
∣∣∣D (uR(m+λ−1+ν)/(λ+1)ϕs/(λ+1)
σρ
)∣∣∣λ+1
dx dt +
∫∫
QT
up+νR ϕsσρ dx dt ≤
≤ γ
(
ν + s
σ
)λ1(
M2(ρ− σρ)
ρK−µ
+
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1−µ
)
×
×
∫∫
QT
u
(ν−1)r′0
R ϕ
(s−(λ+1))r′0
σρ dx dt
1/r′0
, (3.3)
где r0 такое, что
N +K
r0
= (λ+ 1)(1− δ), δ ∈ (0, 1),
µ =
N +K
r0
, r′0 =
r0
r0 − 1
.
Применяя теорему вложения и лемму 2.1, для v = uR
(m+λ−1+ν)/(λ+1)ϕ
s/(λ+1)
σρ ,
p̃ = λ+ 1, r̃ =
(λ+ 1)(ν + 1)
m+ λ− 1 + ν
имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 901
∫∫
QT
(
uR
m+λ−1+ν
λ+1 ϕ
s
λ+1
σρ
)(λ+1)(1+
(λ+1)(ν+1)
(m+λ−1+ν)N
)
dx dt ≤
≤ γ sup
0<t<T
ω(∣∣∣supp{uR
m+λ−1+ν
λ+1 ϕ
s
λ+1
σρ }(·, t)
∣∣∣)λ+1
∫
Ω
uν+1
R ϕsσρ dx
(λ+1)/N
×
×
∫∫
QT
|D(uR
m+λ−1+ν
λ+1 ϕ
s
λ+1
σρ )|λ+1 dx dt. (3.4)
Согласно свойствам функции ϕσρ мера носителя функции
{
uR
(m+λ−1+ν)/(λ+1) ×
× ϕ
s/(λ+1)
σρ
}
не превышает единицу, значит, в силу неубывания функции ω имеем
ω
(∣∣∣supp
{
uR
(m+λ−1+ν)/(λ+1)ϕs/(λ+1)
σρ
}
(·, t)
∣∣∣) ≤ ω(1) = const .
Пусть l, l1, l2, k, k1, k2 — произвольные положительные числа такие, что
l = l1 + l2, k = k1 + k2, l1 =
(
l2 + 2−m− λ
) λ+ 1
N
, k1 = k2
λ+ 1
N
.
Положим
p1 =
N
λ+ 1
, θ =
Nr′0
N + λ+ 1
, l′ =
2(λ+ 1) +N(m+ λ)
N + λ+ 1
r′0,
k′ = (λ+ 1)r′0.
Записывая (3.4) в новых обозначениях, а также применяя (3.3), получаем∫∫
QT
uR
l ϕkσρ dx dt ≤
≤ γ
sup
0<t<T
∫
Ω
u
l1p1
R ϕk1p1σρ dx
1/p1 ∫∫
QT
∣∣∣D(uR
l2/(λ+1)ϕk2/(λ+1)
σρ )
∣∣∣λ+1
dx dt ≤
≤ γ
(
l + k
σ
)(λ+1)(1/p1+2)(
M2(ρ− σρ)
ρK−µ
+
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1−µ
)
×
×
∫∫
QT
ulθ−l
′
R ϕkθ−k
′
σρ dx dt
1/θ
. (3.5)
(
Мы воспользовались (3.4), выбрав l =
(λ+ 1)(ν + 1)
N
+ m + λ − 1 + ν, l2 =
= m + λ − 1 + ν, k2 = s. Не составляет труда убедиться, что при этом выборе
lθ − l′ = (ν − 1)r′0, kθ − k′ = (s− (λ+ 1))r′0.
)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
902 О. М. БОЛДОВСКАЯ
Пусть p1 — произвольное число такое, что
p1 >
λ+ 1
N + λ+ 1−Nr′0
, (3.6)
p2 =
p1
p1 − 1
.
Определим l1, l, l
′, k1, k, k
′, θ следующим образом:
r′0(l1p1 − p− 1) = lθ − l′, l = l1 + l
(
1− 1
p1
)
, l′ =
l′p1 + p2θ(p+ 1)
r′0p1 + p2θ
r′0,
r′0(k1p1 − λ− 1) = kθ − k′, k = k1 + k
(
1− 1
p1
)
, k′ =
k′p1 + p2θ(λ+ 1)
r′0p1 + p2θ
r′0,
θ =
θp1p2r
′
0
r′0p1 + p2θ
.
Применяя неравенство Гельдера, а также (3.3), (3.5), получаем∫∫
QT
ulRϕ
k
σρ dx dt ≤
≤
∫∫
QT
uR
l1p1 ϕk1p1σρ dx dt
1/p1 ∫∫
QT
uR
l ϕkσρ dx dt
1/p2
≤
≤ γ
(
l + k
σ
)λ+1
p1
+λ+1
p2
(λ+1
N +2)(M2(ρ− σρ)
ρK−µ
+
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1−µ
) 1
p1
+ 1
p2
(λ+1
N +1)
×
×
∫∫
QT
ulθ−l
′
R ϕkθ−k
′
σρ dx dt
1/θ
. (3.7)
(Мы воспользовались (3.3), выбрав l1p1 = p + ν, k1p1 = s; можно проверить, что
при этом lθ − l′ = (ν − 1)r′0, kθ − k′ = (s− (λ+ 1))r′0.)
Условие (3.6) гарантирует, что θ < 1, поэтому неравенство (3.7) позволяет
нам провести итерацию для оценки максимума uR(x, t) на множестве
{
(x, t) :
ϕσρ(x, t) = 1
}
. Рассмотрим последовательности
lj =
(
p+ 1 + l′
1
1− θ
)
θ−j − l′
1− θ
, kj =
(
λ+ 1 + k′
1
1− θ
)
θ−j − k′
1− θ
и положим
I(lj , kj) =
∫∫
QT
uR
lj ϕkjσρ dx dt
θ
j
.
Из неравенства (3.7) следует оценка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 903
I(lj , kj) ≤
≤ γ
{
(σ−1θ−j)
λ+1
p1
+λ+1
p2
(λ+1
N +2)
(
M2(ρ− σρ)
ρK−µ
+
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1−µ
) 1
p1
+ 1
p2
(λ+1
N +1)
}θj
×
×I(lj−1, kj−1),
откуда, итерируя, получаем
I(lj , kj) ≤
≤ γ
{
σ
−(λ+1)
(
N+λ+1
Np2
+1
)(
M2(ρ− σρ)
ρK−µ
+
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1−µ
)1+ λ+1
Np2
} θ
1−θ (1−θj)
×
×I(l0, k0).
Устремляя j к бесконечности и применяя оценку (3.1), имеем
Mp+1+l′ 1
1−θ (ρ) ≤ γσ−γ1
(
M2(ρ− σρ)
ρK−µ
+
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1−µ
)(1+ λ+1
Np2
)
θ
1−θ
×
×(M2(ρ− σρ)ρN +Mm+λ(ρ− σρ)ρN+K−(λ+1))
или
Mp+1+l′ 1
1−θ (ρ) ≤
≤ γσ−γ1ρN−µ+K
(
M2(ρ− σρ)
ρK−µ
+
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1−µ
)(1+
θ(λ+1)
Np2
)
1
1−θ
. (3.8)
Далее рассмотрим два случая:
а) для фиксированного ρ существует такое σ ∈ (0, 1/2), что
M2(ρ− σρ) ≥ ρK−(λ+1)Mm+λ(ρ− σρ), (3.9)
т. е. M(ρ− σρ) ≤ ρ−N ;
б) для фиксированного ρ неравенство (3.9) не выполняется для каждого σ ∈
∈ (0, 1/2).
В первом случае сразу получаем
M(ρ) ≤M(ρ− σ′ρ) ≤ ρ−N
для некоторого σ′ ∈ (0, 1/2). Это и есть утверждение теоремы — оценка (3.2).
Во втором случае из (3.8) находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
904 О. М. БОЛДОВСКАЯ
Mp+1+l′ 1
1−θ (ρ) ≤ γσ−γ1ρN−µ+K
(
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1−µ
)(1+
θ(λ+1)
Np2
)
1
1−θ
(3.10)
для каждого σ ∈ (0, 1/2).
Обозначим
r1 = p+ 1 + l′
1
1− θ
= p+ 1 +
l′p1 + p2θ(p+ 1)
(r′0p1 + p2θ)(1− θ)
r′0,
r2 = (m+ λ)
(
1 +
θ(λ+ 1)
Np2
)
1
1− θ
,
r3 = N − µ+K − λ+ 1− µ
1− θ
(
1 +
θ(λ+ 1)
Np2
)
.
Подстановкой K, µ, проводя непосредственные вычисления, получаем равенство
(p−m− λ+ 1)r3 + (λ+ 1)(r1 − r2) = 0. (3.11)
И это равенство справедливо для каждого p1. Убедимся, что r1 > r2. Имеем
r1 − r2 = p+ 1 +
(m+ λ)(λ+ 1)
p2N
+
R(p1, p2)
1− θ
,
где
R(p1, p2) =
l′p1 + p2θ(p+ 1)
r′0p1 + p2θ
r′0 − (m+ λ)− (m+ λ)(λ+ 1)
p2N
.
Т. е. нужно доказать положительность R(p1, p2) для некоторого p1, удовлетворяю-
щего (3.6).
Возьмем p1 = p∗1 =
λ+ 1
N + λ+ 1−Nr′0
, p2 = p∗2 =
λ+ 1
Nr′0 −N
. Учитывая условия
на p и r0, вычисляем R(p∗1, p
∗
2):
R(p∗1, p
∗
2) = (m+ λ− 1)(1− r′0) +
λ+ 1
N
=
=
(λ+ 1)δ(N(m+ λ− 1) + λ+ 1)
N(N(m+ λ− 1) + δ(λ+ 1)
> 0.
Следовательно, в достаточно малой окрестности p∗1 найдется p1, зависящее только
от известных параметров и удовлетворяющее (3.6), такое, что r1 − r2 > 0.
С учетом обозначений r1, r2, r3 оценку (3.10) представим в виде
Mr1(ρ) ≤ γσ−γ1ρr3Mr2(ρ− σρ). (3.12)
Рассмотрим последовательность {σj = 2−(j−1), j = 1, 2, . . .}. Пусть Mj = M(ρ−
− (σ1 + . . .+ σj)ρ. Тогда из неравенства (3.12) следует оценка
Mj ≤ γ(2jγ1ρr3Mr2
j+1)1/r1 для j = 1, 2, . . . . (3.13)
Повторно применяя (3.13), учитывая (3.11), неравенство r1 > r2 > 0 и ограничен-
ность последовательности Mj , приходим к оценке
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 905
M(ρ) ≤ γρr3/(r1−r2) = γρ−N ,
что и завершает доказательство теоремы 3.1.
4. Интегральные оценки решений. В силу теоремы 3.1 и очевидного нера-
венства (
2|x|
|x|+ t1/K
)λ+1
+
2Kt
(|x|+ t1/K)K
≥ 1
для 0 < |x|+ t1/K < 3−1/(λ+1)R0 получаем оценку
u(x, t) ≤ γ
(
|x|+ t1/K
)−N
. (4.1)
Положим
D̃(r) = {(x, t) ∈ RN+1 : |x|K + t ≤ rK},
M̃(r) = sup
{
u(x, t) : (x, t) ∈ D̃(R̃0)\D̃(r)
}
+ r−1/2,
E(r) =
{
(x, t) ∈ QT \(0, 0) : u(x, t) > M̃(r)
}
,
ũr(x, t) =
(
u(x, t)− M̃(r)
)
+
, (x, t) ∈ QT \(0, 0).
Здесь
0 < r < R̃0, R̃0 = max{r : D̃(r) ⊂ D(R0)},
u(x, t) — решение уравнения (1.1) с особенностью в (0, 0).
Для r ∈ (0, R̃0) рассмотрим функцию
ψr(x, t) = ηr
(
|x|K + t
)
,
где ηr : R1 → R1:
ηr(s) =
1, s ≥ RK(r),
0, s ≤ rK ,
ηr(s) = −
(
(1− θ) ln ln
1
rK
)−1
s∫
rK
1
z ln z
dz, rK ≤ s ≤ RK(r).
Здесь θ ∈ (0, 1), R(r) определены равенством
ln
1
RK(r)
=
(
ln
1
rK
)θ
.
Обозначим
p = Np = N(m+ λ− 1) + λ+ 1.
Для r ∈ (0, R̃0) положим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
906 О. М. БОЛДОВСКАЯ
F1(r) =
(
ln
1
r
)1−N(m+λ−1)/(λ+1)
, λ+ 1 > N(m+ λ− 1),
ln ln
1
r
, λ+ 1 = N(m+ λ− 1),(
ln
1
R(r)
)1−N(m+λ−1)/(λ+1)
, λ+ 1 < N(m+ λ− 1),
F2(r) =
ln2−p′ 1
r
, p′ < 2, p′ =
p
p− 1
,
ln ln
1
r
, p′ = 2,
ln2−p′ 1
R(r)
, p′ > 2.
Лемма 4.1. Пусть выполняются условия теоремы 1.2, неотрицательная
функция u(x, t) удовлетворяет условию U. Тогда при 0 < R(r) < ρ < R̃0 справед-
лива следующая оценка:∫∫
E(ρ)
um−2 |Du|λ+1ψpr dx dt+
∫∫
E(ρ)
up ln
u
M̃(ρ)
ψpr dx dt ≤
≤ γ
([
ln ln
1
rK
]−p
F1(r) +
[
ln ln
1
rK
]−p′
F2(r)
)
. (4.2)
Доказательство. Умножим уравнение (1.1) на функцию ϕ(x, t) =
=
[
ln
u
M̃(ρ)
]
+
ψpr (x, t) и проинтегрируем по QT . Выполняя стандартные преоб-
разования и применяя неравенство Юнга, получаем∫∫
E(ρ)
um−2|Du|λ+1ψpr dx dt+
∫∫
E(ρ)
up ln
u
M̃(ρ)
ψpr dx dt ≤ γ(I1 + I2), (4.3)
где
I1 =
∫∫
E(ρ)
u∫
M̃(ρ)
ln
z
M̃(ρ)
dz ψp−1
r (ψr)
′
t dx dt,
I2 =
∫∫
E(ρ)
um+λ−1 ψp−(λ+1)
r lnλ+1 u
M̃(ρ)
|Dψr|λ+1 dx dt.
Применяя неравенство Юнга, определение функции ψr, а также (4.1), находим
оценку интеграла I1:
I1 −
1
4
∫∫
E(ρ)
up ln
u
M̃(ρ)
ψpr dx dt ≤ γ
∫∫
E(ρ)
ln
u
M̃(ρ)
ψp−p
′
r |(ψr)′t|p
′
dx dt ≤
≤ γ
(
ln ln
1
rK
)1−p′ ∫∫
D̃(R(r))\D̃(r)
ln1−p′ 1
|x|K + t
(|x|K + t)−p
′
dx dt ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 907
≤ γ
(
ln ln
1
rK
)−p′
F2(r). (4.4)
Аналогично оценим I2:
I2 −
1
4
∫∫
E(ρ)
up ln
u
M̃(ρ)
ψpr dx dt ≤ γ
∫∫
E(ρ)
(
ln
u
M̃(ρ)
)1+ λ
λ+1p
|Dψr|p dx dt ≤
≤ γ
(
ln ln
1
rK
)−p
F1(r). (4.5)
Объединяя (4.3) – (4.5), получаем оценку (4.2).
Лемма 4.1 доказана.
Для 0 < r < R̃0 положим
F3(r) = ln1−p′ 1
R(r)
, F4(r) = ln1−(λ+1) 1
R(r)
.
Далее определим функцию u(ρ)(x, t) и множество E(ρ, 4ρ):
u(ρ)(x, t) = min
{[
u(x, t)− M̃(4ρ)
]
+
, M̃(ρ)− M̃(4ρ)
}
, (x, t) ∈ QT \(0, 0),
E(ρ, 4ρ) =
{
(x, t) ∈ QT : M̃(4ρ) < u(x, t) < M̃(ρ)
}
.
Лемма 4.2. Пусть выполняются условия теоремы 1.2, неотрицательная
функция u(x, t) удовлетворяет условию U. Тогда при 0 < R(r) < ρ < R̃0∫∫
E(ρ,4ρ)
∣∣∣∣D(u
m+λ
λ+1 ψ
p
λ+1
r )
∣∣∣∣λ+1
dx dt −→
r→0
0. (4.6)
Доказательство. Умножим уравнение (1.1) на функцию ϕ(x, t) = u(ρ)(x, t)×
× ψpr (x, t) и проинтегрируем по QT . Аналогично лемме 4.1 получим∫∫
E(ρ,4ρ)
∣∣∣∣D(u
m+λ
λ+1 ψ
p
λ+1
r )
∣∣∣∣λ+1
dx dt+
∫∫
E(4ρ)
upu(ρ)ψpr dx dt ≤ γ(I3 + I4 + I5), (4.7)
где
I3 =
∫∫
E(4ρ)
u(ρ)uψp−1
r (ψr)
′
t dx dt,
I4 =
∫∫
E(4ρ)
um−1 |Du|λ u(ρ) ψp−1
r |Dψr| dx dt,
I5 =
∫∫
E(4ρ)
um+λ ψp−(λ+1)
r |Dψr|λ+1 dx dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
908 О. М. БОЛДОВСКАЯ
Оценим I3, применив неравенство Юнга, а также определение функции ψr:
I3 −
1
4
∫∫
E(4ρ)
up u(ρ) ψpr dx dt ≤ γ
∫∫
E(4ρ)
u(ρ)ψp−p
′
r |(ψr)′t|p
′
dx dt ≤
≤ γM̃(ρ)
(
ln ln
1
rK
)−p′ ∫∫
D̃(R(r))\D̃(r)
ln−p
′ 1
|x|K + t
(|x|K + t)−p
′
dx dt ≤
≤ γM̃(ρ)F3(r).
Исходя из свойств функции ψr и применяя неравенство (4.1), оцениваем I5:
I5 ≤ M̃(ρ)
∫∫
E(4ρ)
um+λ−1 ψp−(λ+1)
r |Dψr|λ+1 dx dt ≤ γM̃(ρ)F4(r). (4.8)
Наконец, применяя неравенство Гельдера, неравенства (4.2) и (4.8), оцениваем I4:
I4 ≤ M̃(ρ)
∫∫
E(4ρ)
um−1|Du|λψp−1
r |Dψr| dx dt ≤
≤ M̃(ρ)
∫∫
E(4ρ)
um−2 |Du|λ+1 ψpr dx dt
λ/(λ+1)
×
×
∫∫
E(4ρ)
um+λ−1 ψp−(λ+1)
r |Dψr|λ+1 dx dt
1/(λ+1)
≤
≤ γM̃(ρ)
([
ln ln
1
rK
]−p
F1(r) +
[
ln ln
1
rK
]−p′
F2(r)
)λ/(λ+1)(
F4(r)
)1/(λ+1)
.
Объединяя (4.7) и полученные оценки интегралов I3 – I5, получаем∫∫
E(ρ,4ρ)
∣∣∣∣D(u
m+λ
λ+1 ψ
p
λ+1
r )
∣∣∣∣λ+1
dx dt ≤
≤ γM̃(ρ)
{
F3(r) + F4(r)+
+
([
ln ln
1
rK
]−p
F1(r) +
[
ln ln
1
rK
]−p′
F2(r)
) λ
λ+1
(
F4(r)
) 1
λ+1
}
. (4.9)
Перейдем в (4.9) к пределу при r → 0. Из определения функций F3, F4 следует
lim
r→0
F3(r) = lim
r→0
F4(r) = 0.
Для функций F1, F2 рассмотрим 6 случаев:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 909
1) при λ+ 1 < N(m+ λ− 1) по определению lim
r→0
F1(r) = 0;
2) при p′ > 2 по определению lim
r→0
F2(r) = 0;
3) при λ+ 1 = N(m+ λ− 1) произведение lim
r→0
[
ln ln 1
rK
]−p
F1(r) = 0;
4) при p′ = 2 произведение limr→0
[
ln ln 1
rK
]−p′
F2(r) = 0;
5) при λ+ 1 > N(m+ λ− 1) рассмотрим
F1
λ(r)F4(r) ≤ γ
{
ln
1
r
}λ(1−N(m+λ−1)
λ+1 )−θλ
;
6) при p′ < 2 рассмотрим
F2
λ(r)F4(r) ≤ γ
{
ln
1
r
}λ(2−p′)−θλ
.
Правые части последних двух неравенств будут стремиться к нулю при r → 0,
если мы выберем
θ > max
{
1− N(m+ λ− 1)
λ+ 1
, 2− p′
}
.
Переходя в (4.9) к пределу при r → 0, получаем утверждение леммы 4.2.
5. Доказательство теоремы 1.2. Рассмотрим C∞-функцию ξρ : R1 → R1:
ξρ(s) =
1, s ≥ ρK ,
0, s ≤
(ρ
2
)K
,
0 ≤ ξρ(s) ≤ 1,
∣∣∣∣dξρ(s)ds
∣∣∣∣ ≤ (4
ρ
)K
.
Лемма 5.1. Пусть выполняются условия теоремы 1.2, неотрицательная
функция u(x, t) удовлетворяет условию U. Тогда для 0 < ρ < R̃0 имеет место
оценка
M̃(ρ)− M̃(2ρ) ≤
≤ γ
(
M̃2
(
ρ
2
)
ρµ−K + M̃m+λ
(
ρ
2
)
ρµ−(λ+1)
)(1+λ+1
N ) θ
1−θ
1
β1+l′/(1−θ)
×
×
∫∫
QT
ũβ1
2ρ ξ
β2
ρ dx dt
1
β1+l′/(1−θ)
+ ρ−1/2, (5.1)
где
θ =
Nr′0
N + λ+ 1
, l′ =
2(λ+ 1) +N(m+ λ)
N + λ+ 1
r′0,
r0 такое, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
910 О. М. БОЛДОВСКАЯ
N +K
r0
= (λ+ 1)(1− δ), δ ∈ (0, 1),
µ =
N +K
r0
, r′0 =
r0
r0 − 1
,
β1 = (m+ λ)
(
1 +
λ+ 1
N
)
, β2 = (N(m+ λ− 1) + λ+ 1)
(
1 +
λ+ 1
N
)
.
Доказательство. Умножая уравнение (1.1) на функцию
ϕ(x, t) =
(
u(x, t)− M̃(2ρ)
)ν
+
ξsρ(|x|K + t), ν ≥ 1, s ≥ λ+ 1,
интегрируя по QT и выполняя стандартные вычисления, получаем
sup
0<t<T
∫
Ω
ũν+1
2ρ ξsρ dx+
∫∫
QT
∣∣∣∣D(ũ
m+λ−1+ν
λ+1
2ρ ξ
s
λ+1
ρ )
∣∣∣∣λ+1
dx dt ≤
≤ γ(ν + s)λ+1
(
M̃2
(
ρ
2
)
ρµ−K + M̃m+λ
(
ρ
2
)
ρµ−(λ+1)
)
×
×
(∫∫
QT
ũ
(ν−1)r′0
2ρ ξ
(s−(λ+1))r′0
ρ dx dt
)1/r′0
.
Аналогично доказательству неравенства (3.5) устанавливаем оценку∫∫
QT
ũl2ρ ξ
k
ρ dx dt ≤ γ(ν + s)(λ+1)((λ+1)/N+2)×
×
(
M̃2
(
ρ
2
)
ρµ−K + M̃m+λ
(
ρ
2
)
ρµ−(λ+1)
)1+(λ+1)/N
×
×
∫∫
QT
ũlθ−l
′
2ρ ξkθ−k
′
ρ dx dt
1/θ
, (5.2)
где k′ = (λ+ 1)r′0, а l, k — произвольные положительные числа, такие, что
lθ − l′ ≥ β1, kθ − k′ ≥ β2.
В силу неравенства (5.2) с помощью метода Мозера можно получить оценку мак-
симума функции ũ2ρ(x, t) на множестве {ξρ(x, t) = 1}. Оценка (5.1) доказывается
аналогично (3.8).
Лемма 5.1 доказана.
Лемма 5.2. Пусть выполняются условия теоремы 1.2, неотрицательная
функция u(x, t) удовлетворяет условию U. Тогда при 0 < ρ < R̃0, β > 0 име-
ет место оценка
M̃(ρ)− M̃(2ρ) ≤ γρβ−N . (5.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 911
Доказательство. Оценим правую часть неравенства (5.1). По определению
M̃(ρ)
u(x, t) ≤ M̃
(
ρ
2
)
для ξρ(x, t) 6= 0.
Применяя лемму 2.1 для v = (u(ρ/2))(m+λ)/(λ+1)ψ
p/(λ+1)
r , p̃ = r̃ = λ + 1, а также
лемму 4.2, получаем∫∫
QT
ũβ1
2ρξ
β2
ρ dx dt ≤
∫∫
QT
(u(ρ/2))β1ψβ2
r dx dt ≤
≤ γ sup
0<t<T
∫
Ω
(u(ρ/2))m+λ dx
(λ+1)/N
×
×
∫∫
E(ρ/2,2ρ)
∣∣∣∣D(u
m+λ
λ+1 ψ
p
λ+1
r )
∣∣∣∣λ+1
dx dt −→
r→0
0. (5.4)
Из (5.1) и (5.4) имеем
M̃(ρ)− M̃(2ρ) ≤ γρ−1/2,
откуда и следует утверждение леммы 5.2.
Доказательство теоремы 1.2. Рассмотрим последовательности {ρj},
{
M̃j
}
:
ρj =
R̃0
2j
, M̃j = M̃(ρj), j = 1, 2, . . . .
Из оценки (5.3) получаем
M̃j − M̃j−1 ≤ γ2j(N−β), j = 1, 2, . . . . (5.5)
Суммируя (5.5) по j от 2 до J, находим
M̃J − M̃1 ≤ γ2J(N−β),
откуда следует неравенство
M̃(ρ) ≤ γ
(
ρβ−N + M̃1
)
.
Последнее неравенство гарантирует выполнение поточечной оценки
u(x, t) ≤ γ
[(
|x|+ t1/K
)β−N
+ M̃1
]
.
Далее выполнение неравенства (1.11) очевидно и из [3] следует, что в точке (0, 0)
особенность устранима.
Теорема 1.2 доказана.
Автор выражает благодарность А. Ф. Тедееву и И. И. Скрыпнику за полезные
замечания.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
912 О. М. БОЛДОВСКАЯ
1. Bresis H., Friedman A. Nonlinear parabolic equations involving measures as initial conditions // J. math.
pures et appl. – 1983. – 62. – P. 73 – 97.
2. Gmira A. On quasilinear parabolic equations involving measure data // Asymptotic Anal. – 1990. – 3. –
P. 43 – 56.
3. Skrypnik I. I. Removability of isolated singularities of solutions of quasilinear parabolic equations with
absorption // Sb. Math. – 2005. – 196. – P. 1693 – 1713.
4. Galaktionov V. A., Shishkov A. E. Higher-order quasilinear parabolic equations with singular initial data
// Commun. Cont. Math. – 2006. – 8(3). – P. 331 – 354.
5. Болдовская О. М. Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вы-
рождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей.
Случай медленной диффузии // Тр. Ин-та прикл. математики и механики НАН Украины. – 2008. –
16. – С. 33 – 54.
6. Andreucci D., Tedeev A. F. A Fujita type result for degenerate Neumann problem in domains with
noncompact boundary // J. Math. Anal. and Appl. – 1999. – 231. – P. 543 – 567.
7. Ушаков В. И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения
второго порядка в нецилиндрической области // Мат. сб. – 1980. – 111 (153). – С. 95 – 115.
8. Мукминов Ф. Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения
второго порядка // Там же. – С. 503 – 521.
9. Гущин А. К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка
// Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1973. – 126. – C. 5 – 45.
10. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения
параболического типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
Получено 16.09.08,
после доработки — 19.04.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2923 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:32:54Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5c/441bb0ce4fc78af63f280d7ff2618d5c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29232020-03-18T19:40:27Z Removability of an isolated singularity of solutions of the Neumann problem for quasilinear parabolic equations with absorption that admit double degeneration Устранимость изолированной особенное решений задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение, с абсорбцией Boldovskaya, O. M. Болдовская, О. М. Болдовская, О. М. We consider the Neumann initial boundary-value problem for the equation $$u_t=\text{div}(u^{m−1}|Du|^{λ−1}Du)−u^p$$ in domains with noncompact boundary and with initial Dirac delta function. In the case of slow diffusion $(m + λ − 2 > 0)$ and critical absorption exponent $(p = m + λ − 1 +\frac{λ + 1}{N})$, we prove that the singularity at the point $(0, 0)$ is removable. Розглядається початково-крайова задача Неймана для рівняння $$u_t=\text{div}(u^{m−1}|Du|^{λ−1}Du)−u^p$$ в областях з некомпактною межею та з початковою дельта-функцією Дірака. У випадку повільної дифузії $(m + λ − 2 > 0)$, і критичного показника абсорбції, $(p = m + λ − 1 +\frac{λ + 1}{N})$, доведено, що особливість у $(0, 0)$ є усувною. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2923 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 7 (2010); 894–912 Український математичний журнал; Том 62 № 7 (2010); 894–912 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2923/2596 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2923/2597 Copyright (c) 2010 Boldovskaya O. M. |
| spellingShingle | Boldovskaya, O. M. Болдовская, О. М. Болдовская, О. М. Removability of an isolated singularity of solutions of the Neumann problem for quasilinear parabolic equations with absorption that admit double degeneration |
| title | Removability of an isolated singularity of solutions of the Neumann problem for quasilinear parabolic equations with absorption that admit double degeneration |
| title_alt | Устранимость изолированной особенное решений задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение, с абсорбцией |
| title_full | Removability of an isolated singularity of solutions of the Neumann problem for quasilinear parabolic equations with absorption that admit double degeneration |
| title_fullStr | Removability of an isolated singularity of solutions of the Neumann problem for quasilinear parabolic equations with absorption that admit double degeneration |
| title_full_unstemmed | Removability of an isolated singularity of solutions of the Neumann problem for quasilinear parabolic equations with absorption that admit double degeneration |
| title_short | Removability of an isolated singularity of solutions of the Neumann problem for quasilinear parabolic equations with absorption that admit double degeneration |
| title_sort | removability of an isolated singularity of solutions of the neumann problem for quasilinear parabolic equations with absorption that admit double degeneration |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2923 |
| work_keys_str_mv | AT boldovskayaom removabilityofanisolatedsingularityofsolutionsoftheneumannproblemforquasilinearparabolicequationswithabsorptionthatadmitdoubledegeneration AT boldovskaâom removabilityofanisolatedsingularityofsolutionsoftheneumannproblemforquasilinearparabolicequationswithabsorptionthatadmitdoubledegeneration AT boldovskaâom removabilityofanisolatedsingularityofsolutionsoftheneumannproblemforquasilinearparabolicequationswithabsorptionthatadmitdoubledegeneration AT boldovskayaom ustranimostʹizolirovannojosobennoerešenijzadačinejmanadlâkvazilinejnyhparaboličeskihuravnenijdopuskaûŝihdvojnoevyroždeniesabsorbciej AT boldovskaâom ustranimostʹizolirovannojosobennoerešenijzadačinejmanadlâkvazilinejnyhparaboličeskihuravnenijdopuskaûŝihdvojnoevyroždeniesabsorbciej AT boldovskaâom ustranimostʹizolirovannojosobennoerešenijzadačinejmanadlâkvazilinejnyhparaboličeskihuravnenijdopuskaûŝihdvojnoevyroždeniesabsorbciej |