Linear approximation methods and the best approximations of the Poisson integrals of functions from the classes $H_{ω_p}$ in the metrics of the spaces $L_p$
We obtain upper estimates for the least upper bounds of approximations of the classes of Poisson integrals of functions from $H_{ω_p}$ for $1 ≤ p < ∞$ by a certain linear method $U_n^{*}$ in the metric of the space $L_p$. It is shown that the obtained estimates are asymptotically exact for $р...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2930 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508931555590144 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:27Z |
| description | We obtain upper estimates for the least upper bounds of approximations of the classes of Poisson integrals of functions from $H_{ω_p}$ for $1 ≤ p < ∞$ by a certain linear method $U_n^{*}$ in the metric of the space $L_p$. It is shown that the obtained estimates are asymptotically exact for $р = 1$: In addition, we determine the asymptotic equalities for the best approximations of the classes of Poisson integrals of functions from $H_{ω_1}$ in the metric of the space $L_1$ and show that, for these classes, the method $U_n^{*}$ is the best polynomial approximation method in a sense of strong asymptotic behavior. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:33:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Сердюк, I. В. Соколенко* (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ
ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ
ПУАССОНА ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Hωp
У МЕТРИКАХ ПРОСТОРIВ Lp
We obtain an estimate from above for least upper bounds of approximations in metric of the space Lp by some
linear method U∗
n of classes of the Poisson integrals of functions from Hωp provided that 1 ≤ p < ∞. We
prove that the obtained estimate is asymptotically exact for p = 1. In addition, we find asymptotic equalities
for the best approximations in metric of the space L1 of classes of the Poisson integrals of functions from
Hω1 and show that the method U∗
n for these classes is the best polynomial method of approximations in the
sense of strong asymptotic behavior.
Получена оценка сверху для точных верхних граней приближений в метрике пространства Lp некото-
рым линейным методом U∗
n классов интегралов Пуассона функций из Hωp при 1 ≤ p <∞. Доказано,
что полученная оценка при p = 1 является асимптотически точной. Кроме того, найдены асимптотиче-
ские равенства для наилучших приближений в метрике пространства L1 классов интегралов Пуассона
функций из Hω1 и показано, что метод U∗
n для этих классов является наилучшим в смысле сильной
асимптотики полиномиальным методом приближения.
Нехай C — простiр 2π-перiодичних неперервних функцiй ϕ з нормою ‖ϕ‖C =
= max
t
|ϕ(t)|; Lp, 1 ≤ p < ∞, — простiр 2π-перiодичних сумовних на (−π, π)
у p-му степенi функцiй iз нормою ‖ϕ‖Lp
=
(∫ π
−π
|ϕ(t)|pdt
)1/p
; L∞ — простiр
2π-перiодичних вимiрних i суттєво обмежених функцiй ϕ з нормою ‖ϕ‖L∞ =
= ess sup
t
|ϕ(t)|.
Розглянемо множини
Up :=
{
ϕ ∈ Lp : ‖ϕ‖Lp
≤ 1
}
, 1 ≤ p ≤ ∞,
Hω :=
{
ϕ ∈ C : ω(ϕ; t) ≤ ω(t), t ≥ 0
}
,
Hωp
:=
{
ϕ ∈ Lp : ωp(ϕ; t) ≤ ω(t), t ≥ 0
}
, 1 ≤ p <∞,
де
ω(ϕ; t) = sup
|h|≤t
∥∥ϕ(·+ h)− ϕ(·)
∥∥
C
, ϕ ∈ C, t ≥ 0,
ωp(ϕ; t) = sup
|h|≤t
∥∥ϕ(·+ h)− ϕ(·)
∥∥
Lp
, ϕ ∈ Lp, t ≥ 0,
а ω(t) — фiксований модуль неперервностi, тобто неперервна неспадна напiвади-
тивна при всiх t ≥ 0 функцiя, що в нулi дорiвнює нулю.
Нехай, далi, Cqβ,∞ — множина неперервних 2π-перiодичних функцiй f(·), якi
задаються згортками
f(x) =
a0(f)
2
+
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)P qβ (t)dt (1)
*Частково пiдтримано Державним фондом фундаментальних дослiджень України (проект
GP/F27/0103).
c© А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7 979
980 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
з ядром Пуассона
P qβ (t) =
∞∑
k=1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R, (2)
де ϕ ∈ U∞, а CqβHω — множина неперервних 2π-перiодичних функцiй f(·) вигля-
ду (1), де ϕ ∈ Hω.
Через Lqβ,p i LqβHωp
, 1 ≤ p < ∞, будемо позначати класи 2π-перiодичних
сумовних функцiй, що еквiвалентнi вiдносно мiри Лебега iнтегралам Пуассона (1),
в яких ϕ ∈ Up i, вiдповiдно, ϕ ∈ Hωp
.
Розглянемо величину
E(N;Un)X = sup
f∈N
∥∥f(·)− Un(f ; ·)
∥∥
X
, (3)
де N — деякий клас у просторi X ⊆ L1 з нормою ‖ · ‖X , Un — лiнiйний метод
наближення, який кожнiй функцiї f з N ставить у вiдповiднiсть тригонометричний
полiном Un(f ;x) порядку не бiльшого нiж n. Якщо для величини (3) в явному
виглядi знайдено таку функцiю ϕ(n) = ϕ(N;Un;X), що
E(N;Un)X = ϕ(n) + o(ϕ(n)), n→∞,
то кажуть, що розв’язано задачу Колмогорова – Нiкольського для класу N i методу
Un у просторi X. Ознайомитись з iсторiєю даного питання можна, наприклад, у
монографiях [1 – 5].
У 1946 р. С. М. Нiкольський [6] встановив асимптотичнi рiвностi для величин
E(Cqβ,∞;Sn)C i E(Lqβ,1;Sn)L1 , де Sn — частиннi суми ряду Фур’є.
У 2001 р. О. I. Степанець [7] (див. також [4], § 5.18) розв’язав задачу Колмо-
горова – Нiкольського для класу CqβHω i сум Фур’є у рiвномiрнiй метрицi, а також
отримав оцiнки зверху для величин E(LqβHωp
;Sn)Lp
при 1 ≤ p <∞.
У роботi [8] розв’язано задачу Колмогорова – Нiкольського для деякого лiнiйно-
го методу U∗n i класу CqβHω у рiвномiрнiй метрицi i показано, що точнi верхнi межi
вiдхилень полiномiв U∗n−1(f) вiд функцiй f з класу CqβHω, породженого опуклим
модулем неперервностi ω(t), асимптотично збiгаються з величинами найкращих
наближень цих класiв.
У данiй роботi отримано аналоги результатiв роботи [8] у випадку наближення
лiнiйним методом U∗n класу LqβHω1
в iнтегральнiй метрицi i одержано оцiнки зверху
для величин E(LqβHωp
;U∗n)Lp
, 1 < p <∞.
Перейдемо до точних формулювань. Кожнiй функцiї f iз класу LqβHωp по-
ставимо у вiдповiднiсть тригонометричний полiном U∗n−1(f ;x) = U∗n−1(q;β; f ;x)
вигляду
U∗n−1(f ;x) =
=
a0(f)
2
+
n−1∑
k=1
{
λ
(n)
k (ak cos kx+ bk sin kx) + ν
(n)
k (ak sin kx− bk cos kx)
}
, (4)
де ak = ak(ϕ), bk = bk(ϕ), k = 1, 2, . . . , — коефiцiєнти Фур’є функцiї ϕ, що
пов’язана з f рiвнiстю (1), а числа λ
(n)
k = λ
(n)
k (q;β) i ν(n)
k = ν
(n)
k (q;β), k =
= 1, . . . , n− 1, означаються за допомогою рiвностей
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 981
λ
(n)
k = (qk − q2n−k) cos
βπ
2
, k = 1, . . . , n− 1, (5)
ν
(n)
k = (qk − q2n−k) sin
βπ
2
, k = 1, . . . , n− 1. (6)
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 1. Нехай q ∈ (0, 1), β ∈ R, 1 ≤ p < ∞ i ω(t) — довiльний модуль
неперервностi. Тодi при n→∞ виконується нерiвнiсть
E(LqβHωp
;U∗n−1)Lp
≤ 2qn
π
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
, (7)
i, крiм того, при p = 1 справджується рiвнiсть
E(LqβHω1 ;U∗n−1)L1 =
2θωq
n
π
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
, (8)
де
1
2
≤ θω ≤ 1, до того ж θω = 1, якщо ω(t) — опуклий модуль неперервностi,
O(1) — величини, рiвномiрно обмеженi вiдносно параметрiв n, q, β i p.
Зауваження 1. Для схожого за побудовою до U∗n лiнiйного методу наближення
задачу Колмогорова – Нiкольського в рiвномiрнiй метрицi для класiв Cqβ,p, 1 ≤ p ≤
≤ ∞, розв’язано в роботi [9]. Там же розв’язано аналогiчну задачу для класiв Lqβ,1
у метриках просторiв Ls, 1 ≤ s ≤ ∞.
Зауваження 2. Як зазначалось вище, для величин E(CqβHω;U∗n−1)C асимпто-
тичнi формули було отримано у [8]. З формули (8) даної роботи i теореми 1 роботи
[8] випливає, що величини E(CqβHω;U∗n−1)C i E(LqβHω1
;U∗n−1)L1
асимптотично
рiвнi у випадку, коли ω(t) — опуклий модуль неперервностi.
Ефективнiсть полiномiального методу Un на класi N оцiнюється тим, наскiльки
близькi значення E(N;Un−1)X до величин
En(N)X = sup
f∈N
En(f)X = sup
f∈N
inf
Tn−1
‖f(·)− Tn−1(·)‖X , n ∈ N,
Tn−1(x) =
n−1∑
k=0
(αk cos kx+ βk sin kx), αk, βk ∈ R,
якi називають найкращими наближеннями класу N у метрицi простору X.
Точнi значення величинEn(Cqβ,∞)C при цiлих β обчислив М. Г. Крейн [10], а ве-
личин En(Lqβ,1)L1
— С. М. Нiкольський [6]. При довiльних β величини En(Cqβ,∞)C
i En(Lqβ,1)L1
знайденi А. В. Бушанським [11].
Для функцiональних класiв, якi задаються за допомогою згорток з функцiями
з класiв Hω або Hω1 , iснує вiдносно невелика кiлькiсть робiт, в яких отримано
точнi значення найкращих наближень таких класiв у рiвномiрнiй або iнтегральнiй
метрицi. У зв’язку з цим вiдмiтимо роботу М. П. Корнєйчука [12] (див. також [13]),
у якiй обчислено точнi значення величин En(W rHω)C i En(W rHω)L1
, n ∈ N, для
опуклих модулiв неперервностi ω(t). Згодом цi результати узагальнив В. Ф. Бабенко
на класи згорток, якi породжуються CVD-ядрами (див., наприклад, [14]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
982 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
Для класiв CqβHω i LqβHω1
точнi значення найкращих наближень у рiвномiрнiй
та iнтегральнiй метриках до цього часу невiдомi. Тому, на нашу думку, актуальною
є задача отримання сильної асимптотики для величин En(LqβHω1
)L1
при n→∞ i
знаходження асимптотично найкращого лiнiйного методу наближення.
Теорема 2. Нехай q ∈ (0, 1), β ∈ R i ω(t) — довiльний модуль неперервностi.
Тодi при n→∞
En(LqβHω1
)L1
=
2θωq
n
π
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin tdt+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
, (9)
де
1
2
≤ θ ≤ 1, до того ж θω = 1, якщо ω(t) — опуклий модуль неперервностi, O(1)
— величина, рiвномiрно обмежена вiдносно параметрiв n, q i β.
Зауваження 3. З рiвностей (8) i (9) випливає, що розглянутий у роботi лi-
нiйний метод наближення U∗n є асимптотично найкращим на класах LqβHω1 в
L1-метрицi у випадку, коли ω(t) — опуклий модуль неперервностi. Аналогiчну
властивiсть методу U∗n на класах CqβHω в рiвномiрнiй метрицi встановлено в робо-
тi [8].
Доведення теореми 1. Знайдемо iнтегральне зображення вiдхилень f(x) −
−U∗n−1(f ;x) для функцiй f ∈ LqβHωp
. Внаслiдок (4) i теореми 2.1.5 з [15, c. 64 – 65]
для довiльної функцiї f ∈ LqβHωp
виконується рiвнiсть
U∗n−1(f ;x) =
a0(f)
2
+
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)Qn−1(t)dt, (10)
де
Qn−1(t) = Qn−1(q;β; t) =
n−1∑
k=1
(
λ
(n)
k cos kt+ ν
(n)
k sin kt
)
, (11)
а коефiцiєнти λ(n)
k i ν(n)
k визначенo формулами (5) i (6).
З рiвностей (1) i (10) отримуємо, що майже скрiзь
f(x)− U∗n−1(f ;x) =
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)(P qβ (t)−Qn−1(t))dt.
Функцiя P qβ (t)−Qn−1(t) ортогональна до будь-якої константи, тому
f(x)− U∗n−1(f ;x) =
1
π
π∫
−π
(ϕ(x− t)− ϕ(x))(P qβ (t)−Qn−1(t))dt. (12)
Запишемо рiзницю P qβ (t) − Qn−1(t) у зручному для подальших дослiджень
виглядi. Згiдно з (2), (5), (6) i (11) маємо
P qβ (t)−Qn−1(t) =
∞∑
k=1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
−
−
n−1∑
k=1
(
qk − q2n−k) cos
βπ
2
cos kt−
n−1∑
k=1
(
qk − q2n−k) sin
βπ
2
sin kt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 983
=
∞∑
k=1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
−
n−1∑
k=1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
+
n−1∑
k=1
q2n−k cos
(
kt− βπ
2
)
=
=
∞∑
k=n
qk cos
(
kt− βπ
2
)
+
n−1∑
k=1
q2n−k cos
(
kt− βπ
2
)
. (13)
На основi очевидних рiвностей
∞∑
k=n
qk cos
(
kt− βπ
2
)
= qn cos
(
nt− βπ
2
)
+
2n−1∑
k=n+1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
+
+q2n cos
(
2nt− βπ
2
)
+
∞∑
k=2n+1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
,
n−1∑
k=1
q2n−k cos
(
kt− βπ
2
)
=
2n−1∑
k=n+1
qk cos
(
(2n− k)t− βπ
2
)
формулу (13) можемо продовжити:
∞∑
k=n
qk cos
(
kt− βπ
2
)
+
n−1∑
k=1
q2n−k cos
(
kt− βπ
2
)
=
= qn cos
(
nt− βπ
2
)
+
2n−1∑
k=n+1
qk
(
cos
(
kt− βπ
2
)
+ cos
(
(2n− k)t− βπ
2
))
+
+q2n
(
cos
(
2nt− βπ
2
)
+ cos
βπ
2
)
− q2n cos
βπ
2
+
∞∑
k=2n+1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
=
= qn cos
(
nt− βπ
2
)
+ 2 cos
(
nt− βπ
2
)
×
×
(
2n−1∑
k=n+1
qk cos(k − n)t+ q2n cosnt
)
+
+
∞∑
k=2n+1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
− q2n cos
βπ
2
=
= 2 cos
(
nt− βπ
2
)(
qn
2
+
2n∑
k=n+1
qk cos(k − n)t
)
+
+
∞∑
k=2n+1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
− q2n cos
βπ
2
=
= 2 cos
(
nt− βπ
2
)(
qn
2
+
∞∑
k=n+1
qk cos(k − n)t
)
−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
984 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
−2 cos
(
nt− βπ
2
) ∞∑
k=2n+1
qk cos(k − n)t+
+
∞∑
k=2n+1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
− q2n cos
βπ
2
=
= 2qn cos
(
nt− βπ
2
)(
1
2
+
∞∑
k=1
qk cos kt
)
− q2n
∞∑
k=0
qk cos
(
kt+
βπ
2
)
. (14)
Об’єднуючи рiвностi (13) i (14), отримуємо
P qβ (t)−Qn−1(t) = 2qn cos
(
nt− βπ
2
)(
1
2
+
∞∑
k=1
qk cos kt
)
−
− q2n
∞∑
k=0
qk cos
(
kt+
βπ
2
)
. (15)
Згiдно з (12) i (15), оскiльки
1
2
+
∞∑
k=1
qk cos kt =
1− q2
2(1− 2q cos t+ q2)
, (16)
при f ∈ LqβHωp
майже в кожнiй точцi x виконується рiвнiсть
f(x)− U∗n−1(f ;x) =
qn(1− q2)
π
2π∫
0
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
) cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos t+ q2
dt−
−q
2n
π
2π∫
0
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
) ∞∑
k=0
qk cos
(
kt+
βπ
2
)
dt. (17)
Розглядаючи точну верхню межу по функцiях f ∈ LqβHωp
у рiвностi (17), маємо
E(LqβHωp
;U∗n−1)Lp
= In(ω, q, β)Lp
+O(1)an(ω, q, β)Lp
, (18)
де
In(ω, q, β)Lp
=
qn(1− q2)
π
sup
ϕ∈Hωp
∥∥∥∥∥∥
2π∫
0
(ϕ(x− t)− ϕ(x))
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos t+ q2
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
(19)
i
an(ω, q, β)Lp = q2n sup
ϕ∈Hωp
∥∥∥∥∥∥
2π∫
0
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
) ∞∑
k=0
qk cos(kt+ βπ/2) dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
.
(20)
Застосовуючи до правої частини рiвностi (20) узагальнену нерiвнiсть Мiнковського
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 985
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
d∫
c
f(x, y)dy
∣∣∣∣∣∣
p
dx
1/p
≤
d∫
c
b∫
a
|f(x, y)|pdx
1/p
dy, 1 ≤ p ≤ ∞, (21)
одержуємо
an(ω, q, β)Lp ≤ 2πω(π) q2n
∞∑
k=0
qk =
O(1)q2n
1− q
. (22)
Отже, згiдно з (18) i (22)
E(LqβHωp ;U∗n−1)Lp = In(ω, q, β)Lp +
O(1)q2n
1− q
. (23)
Знайдемо асимптотичну оцiнку величини In(ω, q, β)Lp
. Права частина у (19) є
4-перiодичною функцiєю вiдносно параметра β. Тому далi достатньо вважати, що
β ∈ [0, 4).
Подамо праву частину рiвностi (19) у зручному для подальших дослiджень
виглядi. Для цього використаємо прийом, запропонований О. I. Cтепанцем при
доведеннi теореми 1 з [7]. Покладемо
xk =
(1 + β)π
2n
+
kπ
n
, k ∈ Z, (24)
tk = xk −
π
2n
=
βπ
2n
+
kπ
n
, k ∈ Z, (25)
i
ln(t) = xk при t ∈ [tk, tk+1), k ∈ Z. (26)
У прийнятих позначеннях має мiсце така лема.
Лема 1. Нехай ϕ ∈ Hωp , тодi
2π∫
0
(ϕ(x− t)− ϕ(x))
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos t+ q2
dt =
=
2π∫
0
(ϕ(x− t)− ϕ(x))
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt+
O(1)qω(1/n)
(1− q2)(1− q)2n
, (27)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по ϕ, n, q, β i p.
Доведення. Для доведення спiввiдношення (27) розглянемо рiзницю
Rn(ϕ) =
2π∫
0
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
) cos (nt− βπ/2)
1− 2q cos t+ q2
dt−
−
2π∫
0
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
) cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt=
=
2π∫
0
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
)
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt, (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
986 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
де
rn(t) =
1
1− 2q cos t+ q2
− 1
1− 2q cos ln(t) + q2
. (29)
Подамо iнтеграл, що стоїть у правiй частинi (28), у виглядi
2π∫
0
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
)
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt =
=
π∫
0
+
2π∫
π
(ϕ(x− t)− ϕ(x)
)
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt :=
:= I(1)
n (ϕ;x) + I(2)
n (ϕ;x) (30)
i оцiнимо величини
∥∥I(1)
n (ϕ; ·)
∥∥
Lp
та
∥∥I(2)
n (ϕ; ·)
∥∥
Lp
. Для цього будемо користуватися
наступними вiдомими твердженнями.
Лема A ([4], лема 5.18.2). Нехай на вiдрiзку [a, a + 2h], h > 0, задано двiчi
неперервно диференцiйовну функцiю g(t) i
F (t) =
∣∣g(t)− g(a+ h/2)
∣∣− ∣∣g(t+ h)− g(a+ 3h/2)
∣∣, t ∈ [a, a+ h]. (31)
Тодi якщо g(t) не зростає на [a, a+ 2h] i g′′(t) ≥ 0 при всiх t ∈ [a, a+ 2h], то
F (t) ≥ 0 ∀t ∈ [a, a+ h]. (32)
Якщо ж при цьому g′′(t) ≤ 0 при всiх t ∈ [a, a+ 2h], то
F (t) ≤ 0 ∀t ∈ [a, a+ h]. (33)
У випадку, коли g(t) не спадає, з умови g′′(t) ≥ 0 випливає спiввiдношення (33), а з
умови g′′(t) ≤ 0 — спiввiдношення (32).
Лема Б ([4], лема 5.18.4). Нехай y(t) — сумовна на [a, b] функцiя i ξk, k = 1, n,
a ≤ ξ1 < ξ2 < . . . < ξn ≤ b, — деякий набiр точок такий, що на кожному промiжку
[ξk, ξk+1] iснує точка ck така, що на промiжках [ξk, ck] i [ck, ξk+1] функцiя y(t)
майже скрiзь зберiгає протилежнi знаки та
ξk+1∫
ξk
y(t)dt = 0, k = 1, n− 1. (34)
Тодi якщо ϕ ∈ Hωp , p ∈ [1,∞), то∥∥∥∥∥∥
b∫
a
(ϕ(x− t)− ϕ(x))y(t)dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
≤
≤ sup
a≤t≤ξ1
∥∥ϕ(· − t)− ϕ(·)
∥∥
Lp
ξ1∫
a
|y(t)|dt+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 987
+ω(∆)
ξn∫
ξ1
|y(t)|dt+ sup
ξn≤t≤b
∥∥ϕ(· − t)− ϕ(·)
∥∥
Lp
b∫
ξn
|y(t)|dt, (35)
де ∆ = sup
k
(ξk+1 − ξk).
Знайдемо спочатку потрiбну оцiнку величини
∥∥I(1)
n (ϕ; ·)
∥∥
Lp
. На промiжку [0, π)
функцiя g(t) = (1−2q cos t+q2)−1 має єдину точку перегину, яку позначимо через
τ∗, i на (0, τ∗) спадає i опукла догори, а на (τ∗, π) спадає i опукла донизу. Нехай,
далi, числа k1 i k2 такi, що точка tk1 є найближчою злiва до точки τ∗ серед точок
tk, а точка tk2 — найближчою справа. Покладемо
αk =
tk+1∫
tk
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt =
=
tk+1∫
tk
(
1
1− 2q cos t+ q2
− 1
1− 2q cos ln(t) + q2
)
cos
(
nt− βπ
2
)
dt. (36)
При k = 0, 1, . . . , k1 − 1
signαk = (−1)k. (37)
Покажемо, що числа |αk| не спадають. Дiйсно, згiдно з (26) i (36)
|αk| − |αk+1| =
=
∣∣∣∣∣∣
tk+1∫
tk
(
1
1− 2q cos t+ q2
− 1
1− 2q cos ln(t) + q2
)
cos
(
nt− βπ
2
)
dt
∣∣∣∣∣∣−
−
∣∣∣∣∣∣∣
tk+2∫
tk+1
(
1
1− 2q cos t+ q2
− 1
1− 2q cos ln(t) + q2
)
cos
(
nt− βπ
2
)
dt
∣∣∣∣∣∣∣ =
=
tk+1∫
tk
|g(t)− g(xk)|
∣∣∣∣cos
(
nt− βπ
2
)∣∣∣∣ dt−
−
tk+2∫
tk+1
|g(t)− g(xk+1)|
∣∣∣∣cos
(
nt− βπ
2
)∣∣∣∣ dt =
=
tk+1∫
tk
(
|g(t)− g(xk)| −
∣∣∣g (t+
π
n
)
− g
(
xk +
π
n
)∣∣∣) ∣∣∣∣cos
(
nt− βπ
2
)∣∣∣∣ dt. (38)
На iнтервалi [0, tk1 ] функцiя g(t) спадає i g′′(t) ≤ 0. Тому, застосовуючи лему A
при a = tk i h =
π
2n
, переконуємося, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
988 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
|αk| ≤ |αk+1|, k = 0, 1, . . . , k1 − 1. (39)
Аналогiчно встановлюємо, що при k = k2, k2 + 1, . . . , n− 2
signαk = (−1)k (40)
i
|αk| ≥ |αk+1|. (41)
Покладемо
Φ1(x) =
x∫
t0
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt i Φ2(x) =
tn−2∫
x
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt. (42)
З твердження 5.1.1 монографiї [4] та спiввiдношень (37) – (41) випливає, що функ-
цiя Φ1(x) на кожному промiжку [tk, tk+1] має єдиний простий нуль x̄k, k =
= 0, 1, . . . , k1 − 1, а функцiя Φ2(x) такий же нуль x̄k має на кожному промiжку
[tk, tk+1], k = k2, k2 + 1, . . . , n− 3.
Враховуючи цю iнформацiю, зображуємо I(1)
n (ϕ;x) у виглядi
I(1)
n (ϕ;x) =
=
t0∫
0
+
x̄k1−1∫
t0
+
x̄k2∫
x̄k1−1
+
tn−2∫
x̄k2
+
π∫
tn−2
(ϕ(x− t)− ϕ(x)
)
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt :=
:=
5∑
j=1
ij(ϕ;x), (43)
при цьому
0 ≤ t0 < tk1−1 < x̄k1−1 < tk1 < τ∗ < tk2 < x̄k2 < tn−2 < π. (44)
Беручи до уваги (26), (29) i очевиднi спiввiдношення
1− 2q cos t+ q2 ≥ (1− q)2, max
t
2q| sin t|
1− 2q cos t+ q2
=
2q
1− q2
,
маємо
|rn(t)| =
∣∣∣∣∣∣∣
t∫
ln(t)
(
1
1− 2q cos τ + q2
)′
dτ
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣t− ln(t)
∣∣max
t
2q| sin t|
(1− 2q cos t+ q2)2
≤
≤ π
2(1− q)2n
max
t
2q| sin t|
1− 2q cos t+ q2
=
πq
(1− q2)(1− q)2n
. (45)
Використовуючи узагальнену нерiвнiсть Мiнковського (21) i нерiвнiсть (45), для
довiльної функцiї ϕ ∈ Hωp отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 989
‖i1(ϕ; ·)‖Lp =
∥∥∥∥∥∥
t0∫
0
(ϕ(x− t)− ϕ(x))rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
≤
≤ βπ2q ω(βπ/2n)
2(1− q2)(1− q)2n2
=
O(1)q ω(1/n)
(1− q2)(1− q)2n
. (46)
Застосовуючи лему Б до функцiї y(t) = rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
спочатку при
[a, b] = [t0, x̄k1−1] та використовуючи в якостi наборiв ξk нулi x̄k, k = 0, 1, . . .
. . . , k1 − 1, функцiї Φ1(x), а потiм при [a, b] =
[
x̄k2 , tn−2
]
i беручи нулi x̄k,
k = k2, k2 + 1, . . . , n− 3, функцiї Φ2(x), знаходимо∥∥i2(ϕ; ·)
∥∥
Lp
+
∥∥i4(ϕ; ·)
∥∥
Lp
≤
≤ ω
(
4π
n
) x̄k1−1∫
t0
∣∣rn(t)
∣∣dt+ ω
(
4π
n
) tn−2∫
x̄k2
∣∣rn(t)
∣∣dt ≤
≤ ω
(
4π
n
) tn−2∫
t0
∣∣rn(t)
∣∣dt. (47)
Iз (45) випливає
tn−2∫
t0
|rn(t)|dt ≤
π∫
0
|rn(t)|dt ≤ π2q
(1− q2)(1− q)2n
. (48)
Об’єднуючи спiввiдношення (47) i (48), одержуємо
∥∥i2(ϕ; ·)
∥∥
Lp
+
∥∥i4(ϕ; ·)
∥∥
Lp
≤ O(1)q ω(1/n)
(1− q2)(1− q)2n
. (49)
Внаслiдок (45)
∥∥i3(ϕ; ·)
∥∥
Lp
=
∥∥∥∥∥∥∥
x̄k2∫
x̄k1−1
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
)
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt
∥∥∥∥∥∥∥
Lp
≤
≤ 4π2qω(x̄k2)
(1− q2)(1− q)2n2
=
O(1)q
(1− q2)(1− q)2n2
(50)
i
∥∥i5(ϕ; ·)
∥∥
Lp
=
∥∥∥∥∥∥
π∫
tn−2
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
)
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
≤
≤ 2π2qω(π)
(1− q2)(1− q)2n2
=
O(1)q
(1− q2)(1− q)2n2
. (51)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
990 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
Таким чином, зi спiввiдношень (43), (46) i (49) – (51) отримуємо∥∥I(1)
n (ϕ; ·)
∥∥
Lp
=
O(1)q ω(1/n)
(1− q2)(1− q)2n
∀ϕ ∈ Hωp . (52)
Зрозумiло, що така сама оцiнка буде виконуватись i для величини
∥∥I(2)
n (ϕ; ·)
∥∥
Lp
.
Отже, згiдно з (30) має мiсце спiввiдношення (27).
Лему 1 доведено.
Продовжимо доведення теореми 1. Враховуючи (19) i (27), записуємо
In(ω, q, β)Lp
=
=
qn(1− q2)
π
sup
ϕ∈Hωp
∥∥∥∥∥∥
2π∫
0
(ϕ(x− t)− ϕ(x))
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
+
+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
, (53)
де функцiя ln(t) визначається рiвнiстю (26).
Для завершення доведення теореми 1 нам потрiбна наступна лема, доведення
якої наведемо пiзнiше.
Лема 2. Нехай q ∈ (0, 1), β ∈ [0, 4), 1 ≤ p < ∞ i ω(t) — довiльний модуль
неперервностi. Тодi для величини
Jn(ω, q, β)Lp := sup
ϕ∈Hωp
∥∥∥∥∥∥
2π∫
0
(ϕ(x− t)− ϕ(x))
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
при n→∞ має мiсце нерiвнiсть
Jn(ω, q, β)Lp
≤ 2
1− q2
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt+
O(1)q ω(1/n)
(1− q2)(1− q)2n
, (54)
i, крiм того, при p = 1 справджується рiвнiсть
Jn(ω, q, β)L1
=
2θω
1− q2
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin tdt+
O(1)q ω(1/n)
(1− q2)(1− q)2n
, (55)
де
1
2
≤ θ ≤ 1, до того ж θω = 1, якщо ω(t) — опуклий модуль неперервностi, O(1)
— величини, рiвномiрно обмеженi по параметрах n, q, β i p.
Спiвставляючи рiвностi (23), (53) i лему 2, отримуємо спiввiдношення (7) i (9).
Теорему 1 доведено.
Доведення леми 2. Враховуючи (24) – (26), для довiльної функцiї ϕ ∈ Hωp
маємо
Jn(ϕ)Lp
:=
∥∥∥∥∥∥
2π∫
0
(ϕ(x− t)− ϕ(x))
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 991
=
∥∥∥∥∥∥
2n−1∑
k=0
tk+1∫
tk
ϕ(x− t) cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
≤
≤
2n−1∑
k=0
ek(ϕ, n)
1− 2q cosxk + q2
, (56)
де
ek(ϕ, n)Lp =
∥∥∥∥∥∥
tk+1∫
tk
ϕ(x− t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
. (57)
Застосовуючи нерiвнiсть Мiнковського (21), одержуємо
ek(ϕ, n)Lp
=
∥∥∥∥∥∥
xk∫
tk
(
ϕ(x− t)− ϕ(x− 2xk + t)
)
cos (nt− βπ/2) dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
≤
≤
xk∫
tk
ω(2(xk − t))
∣∣∣∣cos
(
nt− βπ
2
)∣∣∣∣ dt =
=
π/2n∫
0
ω(2t) sinntdt =
1
n
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt. (58)
Об’єднуючи (56) – (58), при 1 ≤ p <∞ отримуємо
Jn(ω, q, β)Lp ≤
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin tdt
2n−1∑
k=0
1
n(1− 2q cosxk + q2)
. (59)
Покажемо, що у випадку, коли ω(t) — опуклий модуль неперервностi i p = 1, у
спiввiдношеннi (59) можна поставити знак рiвностi. Для цього достатньо показати,
що у класi Hω1
знайдеться функцiя ϕ∗(t) = ϕ∗ω(t) така, що
Jn(ϕ∗)L1
=
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin tdt
2n−1∑
k=0
1
n(1− 2q cosxk + q2)
. (60)
Покладемо
ϕ1(t) =
1
4
ω(2t), t ∈
[
0,
π
2n
)
,
−1
4
ω(−2t), t ∈
(
− π
2n
, 0
]
,
0,
π
2n
≤ |t| ≤ π,
(61)
i через ϕ2(t) позначимо 2π-перiодичне продовження функцiї ϕ1(t).Шукана функцiя
ϕ∗(t) = ϕ∗ω(t) зображується у виглядi рiвностi
ϕ∗(t) = ϕ′2(t). (62)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
992 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
Функцiя ϕ∗(t) належить до класу Hω1
(див., наприклад, [4, с. 258], п. 5.8.5).
Величину Jn(ϕ∗)L1
знайдемо за допомогою стандартних у таких випадках мiр-
кувань. Згiдно з (56)
Jn(ϕ∗)L1
=
∥∥∥∥∥∥
t2n∫
t0
ϕ∗(x− t) cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt
∥∥∥∥∥∥
L1
. (63)
Функцiя
Φ∗n(x) =
t2n∫
t0
ϕ∗(x− t) cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt (64)
в точках xi =
(1 + β)π
2n
+
iπ
n
, i ∈ Z, дорiвнює нулю:
Φ∗n(xi) =
t2n∫
t0
ϕ∗(xi − t)
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt =
=
1
1− 2q cosxi + q2
ti+1∫
ti
ϕ∗(xi − t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt =
=
(−1)i
1− 2q cosxi + q2
π/2n∫
−π/2n
ϕ∗(t) sinntdt = 0 (65)
i iнших нулiв не має. При цьому
sign Φ∗n(x) = (−1)i, x ∈ (xi, xi+1), i ∈ Z. (66)
Отже,
Jn(ϕ∗)L1
=
π∫
−π
|Φ∗n(x)|dx =
=
2n−1∑
i=0
(−1)i
xi+1∫
xi
t2n∫
t0
ϕ∗(x− t) cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dtdx =
=
2n−1∑
i=0
(−1)i
t2n∫
t0
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
xi+1∫
xi
ϕ∗(x− t)dxdt. (67)
Оскiльки
xi+1∫
xi
ϕ∗(x− t)dx = ϕ2(xi+1 − t)− ϕ2(xi − t),
то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 993
Jn(ϕ∗)L1 =
2n−1∑
i=0
(−1)i
t2n∫
t0
(ϕ2(xi+1 − t)− ϕ2(xi − t))
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt =
=
2n−1∑
k=0
1
1− 2q cosxk + q2
×
×
tk+1∫
tk
2n−1∑
i=0
(−1)i
(
ϕ2(xi+1 − t)− ϕ2(xi − t)
)
cos
(
nt− βπ
2
)
dt. (68)
Враховуючи, що
tk+1∫
tk
ϕ2(xi − t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt = 0, i 6= k, (69)
маємо
tk+1∫
tk
2n−1∑
i=0
(−1)iϕ2(xi+1 − t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt =
= (−1)k−1
tk+1∫
tk
ϕ2(xk − t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt (70)
i
−
tk+1∫
tk
2n−1∑
i=0
(−1)iϕ2(xi − t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt =
= (−1)k−1
tk+1∫
tk
ϕ2(xk − t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt. (71)
Пiдставляючи цi вирази в (68), знаходимо
Jn(ϕ∗)L1 = 2
2n−1∑
k=0
(−1)k−1
1− 2q cosxk + q2
tk+1∫
tk
ϕ2(xk − t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt =
= 2
π/2n∫
−π/2n
ϕ2(t) sinntdt
2n−1∑
k=0
1
n(1− 2q cosxk + q2)
=
=
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt
2n−1∑
k=0
1
n(1− 2q cosxk + q2)
. (72)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
994 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
Нехай ω(t) — довiльний модуль неперервностi. Для побудови функцiї ϕ∗(t)
використаємо результат С. Б. Стєчкiна (див., наприклад, [4], лема 3.1.1), згiдно з
яким для довiльного модуля неперервностi ω(t) iснує опуклий модуль неперерв-
ностi ω∗(t) такий, що
ω(t) ≤ ω∗(t) < 2ω(t) ∀t > 0.
Оскiльки ω̄(t) =
1
2
ω∗(t) — опукла функцiя, то побудувавши за наведеною вище
схемою функцiю ϕ∗(t) = ϕ∗ω̄(t), отримаємо, що вона належить до Hω1 i, крiм того,
внаслiдок (72)
Jn(ϕ∗ω̄)L1 =
π/2∫
0
ω̄
(
2t
n
)
sin t dt
2n−1∑
k=0
1
n(1− 2q cosxk + q2)
. (73)
Зi спiввiдношень (59), (72) i (73) одержуємо формулу
Jn(ω, q, β)L1 = θω
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt
2n−1∑
k=0
1
n(1− 2q cosxk + q2)
, (74)
в якiй
1
2
≤ θω ≤ 1, до того ж θω = 1, якщо ω(t) — опуклий модуль неперервностi.
Для завершення доведення леми 2 покажемо, що
2n−1∑
k=0
1
n(1− 2q cosxk + q2)
=
2
1− q2
+
O(1)q
(1− q2)(1− q)2n
. (75)
Дiйсно, враховуючи (26), (29) i (45), маємо
2n−1∑
k=0
1
n(1− 2q cosxk + q2)
=
2n−1∑
k=0
1
π
tk+1∫
tk
dt
1− 2q cos ln(t) + q2
=
=
1
π
2n−1∑
k=0
tk+1∫
tk
dt
1− 2q cos t+ q2
+
+
2n−1∑
k=0
tk+1∫
tk
(
1
1− 2q cos ln(t) + q2
− 1
1− 2q cos t+ q2
)
dt =
=
1
π
2π∫
0
dt
1− 2q cos t+ q2
+O(1)
2π∫
0
∣∣rn(t)
∣∣dt =
=
2
1− q2
+
O(1)q
(1− q2)(1− q)2n
.
Об’єднуючи спiввiдношення (59), (74) i (75), одержуємо формули (54) i (55).
Лему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 995
Доведення теореми 2. Оцiнку зверху величини En(LqβHω1
)L1
отримуємо з
теореми 1 i очевидної нерiвностi
En(LqβHω1
)L1
≤ E(LqβHω1
;U∗n−1)L1
. (76)
Знайдемо необхiдну оцiнку знизу. Нехай спочатку ω(t) — опуклий модуль непе-
рервностi. Розглянемо функцiю f∗ ∈ LqβHω1
, яка пов’язана рiвнiстю (1) з функцiєю
ϕ∗(t), заданою формулою (62). Згiдно з (17), (20), (22), (27) i (55) має мiсце
∥∥f∗ − U∗n−1(f∗)
∥∥
L1
= ‖Φ∗n‖L1
+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
,
де функцiя Φ∗n(x) означена рiвнiстю (64).
Оскiльки для функцiї Φ∗n(x) виконується (66), то, як випливає з теореми 3.3.2
монографiї [13], En(Φ∗n)L1 = ‖Φ∗n‖L1 . На пiдставi (72) i (75)
‖Φ∗n‖L1 =
2qn
π
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
. (77)
Отже,
En(LqβHω1
)L1
≥ En(f∗)L1
=
= En
(
f∗ − U∗n−1(f∗)
)
L1
≥ En(Φ∗n)L1 +
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
=
= ‖Φ∗n‖L1
+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
=
=
2qn
π
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
. (78)
Якщо ж ω(t) — довiльний модуль неперервностi, то, розглядаючи функцiю
f∗(x), яка пов’язана рiвнiстю (1) з функцiєю ϕ∗ω̄(t), побудованою в ходi доведення
леми 2, переконуємося, що f∗(x) належить до класу LqβHω1
i з урахуванням (17),
(20), (22), (27), (55), (73) i (77)
En(LqβHω1
)L1
≥ En(f∗)L1
= En(f∗ − U∗n−1(f∗))L1
≥
≥ qn
π
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
. (79)
Об’єднуючи спiввiдношення (8) i (76) – (79), отримуємо рiвнiсть (9) у випадку
довiльного модуля неперервностi ω(t).
Теорему 2 доведено.
1. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960.
– 624 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
996 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
2. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций. – М.: Наука, 1977. – 510 c.
3. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 423 с.
4. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины,
2002. – Ч. 1. – 427 c.
5. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины,
2002. – Ч. 2. – 468 c.
6. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв.
АН СССР. Сер. мат. – 1946. – 10, № 3. – С. 207 – 256.
7. Степанец А. И. Решение задачи Колмогорова – Никольского для интегралов Пуассона непрерыв-
ных функций // Мат. сб. – 2001. – 192, № 1. – С. 113 – 138.
8. Сердюк А. С. Соколенко I. В. Найкраще наближення iнтегралiв Пуассона функцiй з класу Hω //
Доп. НАН України. – 2010. – № 2. – С. 33 – 37.
9. Сердюк А. С. Наближення iнтегралiв Пуассона одним лiнiйним методом наближення в рiвномiрнiй
та iнтегральнiй метриках // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 7. – С. 976 – 982.
10. Крейн М. Г. К теории наилучшего приближения периодических функций // Докл. АН СССР. –
1938. – 18, № 4 – 5. – С. 245 – 249.
11. Бушанский А. В. О наилучшем в среднем гармоническом приближении некоторых функций //
Исследования по теории приближения функций и их приложения. – Киев: Ин-т математики АН
Украины, 1978. – С. 29 – 37.
12. Корнейчук Н. П. Верхние грани наилучших приближений на классах дифференцируемых функций
в метриках C и L // Докл. АН СССР. – 1970. – 190. – C. 269 – 271.
13. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
14. Бабенко В. Ф. Наилучшие приближения классов функций, задаваемых с помощью модуля непре-
рывности // Укр. мат. журн. – 1992. – 44, № 5. – С. 572 – 588.
15. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 1. – 615 с.
Одержано 04.01.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2930 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:33:03Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c0/2d426efbb804f12de28735202c87c4c0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29302020-03-18T19:40:27Z Linear approximation methods and the best approximations of the Poisson integrals of functions from the classes $H_{ω_p}$ in the metrics of the spaces $L_p$ Лінійні методи наближення та найкращі наближення інтегралів Пуассона функцій із класів $H_{ω_p}$ у метриках просторів $L_p$ Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. We obtain upper estimates for the least upper bounds of approximations of the classes of Poisson integrals of functions from $H_{ω_p}$ for $1 ≤ p < ∞$ by a certain linear method $U_n^{*}$ in the metric of the space $L_p$. It is shown that the obtained estimates are asymptotically exact for $р = 1$: In addition, we determine the asymptotic equalities for the best approximations of the classes of Poisson integrals of functions from $H_{ω_1}$ in the metric of the space $L_1$ and show that, for these classes, the method $U_n^{*}$ is the best polynomial approximation method in a sense of strong asymptotic behavior. Получена оценка сверху для точных верхних граней приближений в метрике пространства $L_p$ некоторым линейным методом $U_n^{*}$ классов интегралов Пуассона функций из $H_{ω_p}$ при $1 ≤ p < ∞$. Доказано, что полученная оценка при $р = 1$ является асимптотически точной. Кроме того, найдены асимптотические равенства для наилучших приближений в метрике пространства L$L_1$ классов интегралов Пуассона функций из $H_{ω_1}$ и показано, что метод $U_n^{*}$ для этих классов является наилучшим в смысле сильной асимптотики полиномиальным методом приближения. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2930 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 7 (2010); 979–996 Український математичний журнал; Том 62 № 7 (2010); 979–996 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2930/2610 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2930/2611 Copyright (c) 2010 Serdyuk A. S.; Sokolenko I. V. |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. Linear approximation methods and the best approximations of the Poisson integrals of functions from the classes $H_{ω_p}$ in the metrics of the spaces $L_p$ |
| title | Linear approximation methods and the best approximations of the Poisson integrals of functions from the classes $H_{ω_p}$ in the metrics of the spaces $L_p$ |
| title_alt | Лінійні методи наближення та найкращі наближення
інтегралів Пуассона функцій із класів $H_{ω_p}$ у метриках просторів $L_p$ |
| title_full | Linear approximation methods and the best approximations of the Poisson integrals of functions from the classes $H_{ω_p}$ in the metrics of the spaces $L_p$ |
| title_fullStr | Linear approximation methods and the best approximations of the Poisson integrals of functions from the classes $H_{ω_p}$ in the metrics of the spaces $L_p$ |
| title_full_unstemmed | Linear approximation methods and the best approximations of the Poisson integrals of functions from the classes $H_{ω_p}$ in the metrics of the spaces $L_p$ |
| title_short | Linear approximation methods and the best approximations of the Poisson integrals of functions from the classes $H_{ω_p}$ in the metrics of the spaces $L_p$ |
| title_sort | linear approximation methods and the best approximations of the poisson integrals of functions from the classes $h_{ω_p}$ in the metrics of the spaces $l_p$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2930 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas linearapproximationmethodsandthebestapproximationsofthepoissonintegralsoffunctionsfromtheclasseshōpinthemetricsofthespaceslp AT sokolenkoiv linearapproximationmethodsandthebestapproximationsofthepoissonintegralsoffunctionsfromtheclasseshōpinthemetricsofthespaceslp AT serdûkas linearapproximationmethodsandthebestapproximationsofthepoissonintegralsoffunctionsfromtheclasseshōpinthemetricsofthespaceslp AT sokolenkoív linearapproximationmethodsandthebestapproximationsofthepoissonintegralsoffunctionsfromtheclasseshōpinthemetricsofthespaceslp AT serdyukas líníjnímetodinabližennâtanajkraŝínabližennâíntegralívpuassonafunkcíjízklasívhōpumetrikahprostorívlp AT sokolenkoiv líníjnímetodinabližennâtanajkraŝínabližennâíntegralívpuassonafunkcíjízklasívhōpumetrikahprostorívlp AT serdûkas líníjnímetodinabližennâtanajkraŝínabližennâíntegralívpuassonafunkcíjízklasívhōpumetrikahprostorívlp AT sokolenkoív líníjnímetodinabližennâtanajkraŝínabližennâíntegralívpuassonafunkcíjízklasívhōpumetrikahprostorívlp |