Automorphisms of a finitary factor power of an infinite symmetric group
We consider a semigroup $FP^{+}_{\text{fin}}(\mathfrak{S}_{\text{fin}}(\mathbb{N}))$ defined as a finitary factor power of a finitary symmetric group of countable order. It is proved that all automorphisms of $FP^{+}_{\text{fin}}(\mathfrak{S}_{\text{fin}}(\mathbb{N}))$ are induced by permutations fr...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2931 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508930616066048 |
|---|---|
| author | Hudzenko, S. V. Гудзенко, С. В. |
| author_facet | Hudzenko, S. V. Гудзенко, С. В. |
| author_sort | Hudzenko, S. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:27Z |
| description | We consider a semigroup $FP^{+}_{\text{fin}}(\mathfrak{S}_{\text{fin}}(\mathbb{N}))$ defined as a finitary factor power of a finitary symmetric group of countable order. It is proved that all automorphisms of $FP^{+}_{\text{fin}}(\mathfrak{S}_{\text{fin}}(\mathbb{N}))$ are induced by permutations from $\mathfrak{S}_{\text{fin}}(\mathbb{N})$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:33:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 512.5
С. В. Гудзенко (Київ)
АВТОМОРФIЗМИ ФIНIТАРНОГО ФАКТОР-СТЕПЕНЯ
НЕСКIНЧЕННОЇ СИМЕТРИЧНОЇ ГРУПИ
We consider the semigroup FP+
fin(Sfin(N)) which is a finitary factor power of the finitary symmetric group of
the denumerable order. We prove that all the automorphisms of FP+
fin(Sfin(N)) are induced by permutations
from S(N).
Рассматривается полугруппа FP+
fin(Sfin(N)) — финитарная фактор-степень финитарной симметриче-
ской группы счетного порядка. Доказано, что все автоморфизмы FP+
fin(Sfin(N)) индуцируются под-
становками из S(N).
1. Вступ. Пiд фiнiтарною симетричною групою Sfin(N) на множинi N натуральних
чисел розумiємо пiдгрупу
Sfin(N) = {π ∈ SN : | {i : π(i) 6= i} <∞}
симетричної групи S(N).
Поняття фiнiтарного фактор-степеня FP+
fin (Sfin(N)) цiєї групи було введено у
роботi [1]. У загальному випадку фактор-степiнь напiвгрупи перетворень (S,M)
(див. [2]) визначається як фактор-напiвгрупа
P (S)
/
∼M ,
де P (S) — глобальна наднапiвгрупа напiвгрупи S, i для будь-яких A,B ∈ P (S)
A ∼M B ⇔ ∀m ∈M (A(m) = B(m)) .
Iнодi зручно використовувати задання елементiв FP (S) за допомогою пред-
ставникiв вiдповiдних класiв конгруенцiї ∼M . Серед конгруентних елементiв iз
P (S), упорядкованих за включенням, є найбiльший. В якостi канонiчного представ-
ника класу конгруентностi A ∈ FP (S) виберемо його найбiльшого представника.
Це дає можливiсть використовувати для елементiв фактор-степеня FP (S) такi ха-
рактеристики множин, як включення, потужнiсть та iншi.
Покладемо
FPfin(S) =
{
A ∈ FP (S) : iснує така скiнченна
пiдмножина {σ1, . . . , σk} ⊂ S, що A = {σ1, . . . , σk}
}
.
Оскiльки у напiвгрупi FPfin(Sfin(N)) нуль {∅} є приєднаним, розглянемо на-
пiвгрупу
FP+
fin(Sfin(N)) = FPfin(Sfin(N)) \ {∅},
яку далi будемо позначати коротко FP+. Легко бачити, що напiвгрупа FP+ є
перiодичною.
c© С. В. ГУДЗЕНКО, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7 997
998 С. В. ГУДЗЕНКО
Зауважимо, що група Sfin(N) природно вкладається в FP+ таким чином: кож-
нiй пiдстановцi π ∈ Sfin(N) спiвставимо узагальнену пiдстановку A ∈ FP+ таку,
що A(i) = {π(i)}. Тому вважатимемо, що Sfin(N) ⊂ FP+. Для зручностi, щоб
пiдкреслити належнiсть елемента FP+ до Sfin(N), iнодi будемо позначати його
маленькою лiтерою, тодi як елементи FP+ зазвичай позначатимемо великими.
Sfin(N) є максимальною пiдгрупою FP+, яка складається з усiх оборотних еле-
ментiв. Також Sfin(N) можна визначити як пiднапiвгрупу FP+, яка складається з
елементiв потужностi 1.
Крiм того, для кожного n ∈ N Sn природно вкладається в Sfin(N), i можна
вважати, що Sn ⊂ Sfin(N), зокрема FP+(Sn) ⊂ FP+.
Кожнiй узагальненiй пiдстановцi A ∈ FP+ спiвставимо орграф на множинi
N таким чином. З вершини i у вершину j iснує стрiлка тодi i тiльки тодi, коли
j ∈ A(i). Зауважимо, що такий орграф має наступну властивiсть: якщо стрiлка
виходить з вершини, напiвстепiнь виходу якої бiльший за одиницю, то ця стрiлка
входить у вершину, напiвстепiнь входу якої бiльший за одиницю, i навпаки.
Основним результатом роботи є теорема, в якiй стверджується, що всi автомор-
фiзми напiвгрупи FP+ iндукуються пiдстановками з S(N).
2. Нерозкладнi узагальненi пiдстановки.
Означення 1. Назвемо узагальнену пiдстановку A ∈ FP+ нерозкладною,
якщо з рiвностi A = A1A2 випливає, що для кожного i ∈ {1, 2} Ai або належить
до Sfin(N), або отримується з A множенням на елементи з Sfin(N).
Розглянемо деякi A ∈ FP+, a1, a2 ∈ Sfin(N). Очевидно, що A є нерозкладною
тодi i тiльки тодi, коли a1Aa2 — нерозкладна.
Лема 1. Всi елементи FP+ потужностi 2 є нерозкладними.
Доведення. Нехай A ∈ FP+ i |A| = 2. Розглянемо будь-який розклад A =
= A1A2.Вiзьмемо деякi a1 ∈ A1, a2 ∈ A2.ПозначимоA′ = a−1
1 Aa−1
2 , A′1 = a−1
1 A1,
A′2 = A2a
−1
2 . Тодi A′ = A′1A
′
2 i e ∈ A′1, e ∈ A′2, де e — тотожна пiдстановка. Звiдси
випливає, щоA′1 ⊆ A′, A′2 ⊆ A′.ОскiлькиA, а вiдповiдно iA′, є двоелементною, то
для кожного i A′i ∈ Sfin(N) або A′i = A′. Вiдповiдно A′i ∈ Sfin(N) або Ai = Aa−1
2 ,
якщо i = 1; Ai = a−1
1 A, якщо i = 2.
Лему доведено.
Приклад 1. Якщо n ≥ 2, то узагальнена пiдстановка A = {e, (1, 2, . . . , n)},
де e — тотожна пiдстановка, є нерозкладною.
Доведення. Розглянемо будь-яку a ∈ A. Очевидно, що a(i) = i для всiх i > n.
Припустимо, що iснує таке i ≤ n, що a(i) 6= i. Позначимо знаком ⊕ операцiю над
цiлими числами, яка визначається таким чином: x ⊕ y = [(x+ y − 1) mod n] + 1.
Оскiльки A(i) = {i, i⊕ 1} , то a(i) = i ⊕ 1. A(i ⊕ 1) = {i⊕ 1, i⊕ 2} . Оскiльки
a(i⊕ 1) 6= a(i) = i⊕ 1, то a(i⊕ 1) = i⊕ 2. Продовжуючи таким чином, отримуємо,
що a = (1, 2, . . . , n). ТомуA = {e, (1, 2, . . . , n)} , i |A| = 2, отже,A є нерозкладною.
Приклад 2. Узагальнена пiдстановка A = {e, (1, 2)(3, 4)} є розкладною.
Доведення. A = A1A2, де A1 = {e, (1, 2)}, A2 = {e, (3, 4)}. A1, A2, очевидно,
не є елементами Sfin(N). Крiм того, оскiльки |A1| < |A|, |A2| < |A|, то A1, A2 не
можна подати у виглядi добутку, одним iз множникiв якого є A.
Лема 2. Якщо орграф ΓA, що вiдповiдає узагальненiй пiдстановцi A ∈ FP+,
мiстить бiльше нiж одну компоненту зв’язностi, кожна з яких мiстить верши-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
АВТОМОРФIЗМИ ФIНIТАРНОГО ФАКТОР-СТЕПЕНЯ НЕСКIНЧЕННОЇ СИМЕТРИЧНОЇ . . . 999
ну, напiвстепiнь входу або виходу якої бiльший за одиницю, то A є розкладним
елементом.
Доведення. Нехай A ∈ FP+ — узагальнена пiдстановка, яка мiстить бiльше
однiєї компоненти зв’язностi, що мiстить вершину, напiвстепенi входу або виходу
якої бiльшi за одиницю. Розглянемо N ⊆ N — одну з таких компонент. Позначимо
M = N \ N. Оскiльки за умовою N — не єдина така зв’язна компонента, то
|M | 6= ∅ i M мiстить вершину, напiвстепiнь входу або виходу якої бiльший за
одиницю. Узагальнена пiдстановка A iндукує узагальненi пiдстановки A|N i A|M ,
що дiють вiдповiдно наN iM. Оскiльки доN входить вершина напiвстепеня входу
або виходу, бiльшого за одиницю, то A|N мiстить не менше двох пiдстановок.
Аналогiчно i A|M мiстить не менше двох пiдстановок.
Отже, ми можемо визначити узагальненi пiдстановки A1, A2 таким чином:
A1(i) = {i}, якщо i /∈ N, A1(i) = A(i), якщо i ∈ N ; A2(i) = {i}, якщо i /∈ M,
A2(i) = A(i), якщо i ∈ M. За побудовою цi узагальненi пiдстановки не належать
до Sfin(N) i не iснує таких a, b ∈ Sfin(N), що A1 = aAb або A2 = aAb. Очевидно,
A = A1A2. Отже, A є розкладною.
Лему доведено.
3. Iдемпотенти, породженi нерозкладними узагальненими пiдстановками.
Розглянемо деяку нерозкладну узагальнену пiдстановку A. Оскiльки |A| < ∞,
то циклiчна напiвгрупа 〈A〉, за теоремою Фробенiуса (див. [3]), мiстить єдиний
iдемпотент. Позначимо його EA. З леми 2 випливає, що орграф ΓA, який вiдповiдає
узагальненiй пiдстановцiA, має не бiльше однiєї компоненти зв’язностi, що мiстить
вершини з напiвстепенем входу або виходу, бiльшим за одиницю. Тому орграф ΓEA
мiстить не бiльше однiєї неодноелементної зв’язної компоненти.
Ця компонента, якщо вона iснує, є повним графом на множинi своїх вершин.
Позначимо через I = {i1, i2, . . . , in} множину вершин цiєї компоненти. Якщо ж
такої компоненти не iснує, тобто EA = e, вiзьмемо I = {1} . Позначимо через
b будь-яку пiдстановку, таку, що b(I) = {1, 2, . . . , n} . Нехай C = bEAb
−1, HC
— максимальна пiднапiвгрупа з нулем C. Очевидно, що HC = FP+(Sn), а тому
максимальна пiднапiвгрупа HEA
з нулем EA iзоморфна FP+(Sn).
З прикладу 1 випливає, що для будь-якого натурального n iснує iдемпотент En,
породжений нерозкладною узагальненою пiдстановкою, такий, що максимальна
пiднапiвгрупа, для якої EA є нулем, iзоморфна Sn.
Кожен iдемпотент B можна розкласти в добуток iдемпотентiв, якi породженi
нерозкладними узагальненими пiдстановками. Для цього, наприклад, можна кожнiй
нетривiальнiй компонентi зв’язностi B зiставити множник — iдемпотент, для якого
ця компонента зв’язностi буде єдиною нетривiальною.
Означення 2. Для будь-якого i ∈ N назвемо кущем Cl(i) множину всiх тих
iдемпотентiв, породжених нерозкладними узагальненими пiдстановками, всi ком-
поненти зв’язностi яких, що не мiстять вершину i, є тривiальними.
Розглянемо деяку узагальнену пiдстановку A i деякий iдемпотент B. Для того
щоб iдемпотент B при множеннi на A не змiнювався, очевидно, необхiдно i до-
статньо, щоб кожна компонента зв’язностi орграфа, що вiдповiдає A, мiстилася в
деякiй компонентi зв’язностi орграфа, що вiдповiдає B. Зокрема, серед усiх таких
iдемпотентiв iснує мiнiмальний, i компоненти зв’язностi його орграфа збiгаються з
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
1000 С. В. ГУДЗЕНКО
компонентами зв’язностi орграфа, що вiдповiдає A. При цьому кожна компонента
зв’язностi iдемпотента є повним орграфом.
Таким же чином можна побудувати мiнiмальний iдемпотент, що не змiнюється
при множеннi на кожну з узагальнених пiдстановок деякої множини {Ai}i∈I . Для
цього будується орграф, що є об’єднанням всiх орграфiв цiєї множини, i розгляда-
ються компоненти зв’язностi цього орграфа.
Лема 3. Нехай A1, A2 ∈ FP+ — iдемпотенти, породженi нерозкладними
узагальненими пiдстановками, B — мiнiмальний iдемпотент, такий, що AiB =
= BAi = B для i = 1, 2. Тодi B породжується нерозкладною узагальненою пiд-
становкою тодi i тiльки тодi, коли iснує кущ, до якого належать A1 i A2.
Доведення. Якщо A1 = e або A2 = e, то доведення леми є очевидним.
Припустимо, що A1 6= e,A2 6= e. Якщо A1 i A2 належать до одного куща Cl(j),
то нетривiальнi зв’язнi компоненти орграфiв, що вiдповiдають цим узагальненим
пiдстановкам, мають спiльну точку. Тому орграф, що вiдповiдає B, має одну не-
тривiальну зв’язну компоненту — об’єднання вiдповiдних компонент A1 i A2. Як
показано в прикладi 1, такий iдемпотент можна породити нерозкладною узагаль-
неною пiдстановкою.
Якщо не iснує куща, до якого б належали одночасно A1 i A2, то B, очевидно,
має двi нетривiальнi зв’язнi компоненти — це будуть вiдповiднi зв’язнi компоненти
iдемпотентiв A1 i A2. З леми 2 випливає, що такий iдемпотент не може бути
породжений нерозкладною узагальненою пiдстановкою.
Лему доведено.
4. Автоморфiзми FP+.
Теорема. Aut (FP+) =
{
ϕ : x 7→ τxτ−1, τ ∈ SN
}
.
Доведення. Розглянемо деякий автоморфiзм ϕ напiвгрупи FP+. Очевидно, що
ϕ переводить iдемпотент у iдемпотент, а iдемпотент, породжений нерозкладною
узагальненою пiдстановкою, — в iдемпотент, породжений нерозкладною узагаль-
неною пiдстановкою.
Розглянемо нерозкладнi елементи A1 i A2 з PF+. За лемою 3 EA1
i EA2
нале-
жать до одного куща тодi i тiльки тодi, коли мiнiмальний iдемпотент B, який не
змiнюється при множеннi на EA1
i EA2
, породжений нерозкладною узагальненою
пiдстановкою. У свою чергу iдемпотенти ϕ(EA1
) та ϕ(EA2
) належать до одного
куща тодi i лише тодi, коли мiнiмальний iдемпотент C, який не змiнюється при
множеннi на ϕ(EA1
) та ϕ(EA2
), породжений нерозкладною узагальненою пiдста-
новкою. Очевидно, що C = ϕ(B), а тому те, що B породжений нерозкладною
узагальненою пiдстановкою, рiвносильно тому, що C породжений нерозкладною
узагальненою пiдстановкою. Отже, ϕ також переводить кущ у кущ i дiє на множинi
кущiв бiєктивно.
Оскiльки кожному кущу однозначно вiдповiдає певна точка з N, то автоморфiзм
ϕ iндукує деяку пiдстановку τ ∈ SN : τ(i) = j ⇔ ϕ(Cl(i)) = Cl(j). Розглянемо
автоморфiзм ϕτ : x 7→ τxτ−1. За побудовою ϕτ автоморфiзм ψ = ϕϕ−1
τ дiє на
множинi кущiв тотожно. Оскiльки кожен iдемпотент, породжений нерозкладною
узагальненою пiдстановкою, повнiстю визначається множиною кущiв, до яких вiн
належить, то i на множинi таких iдемпотентiв ψ дiє тотожно. А оскiльки кожен
iдемпотент розкладається в добуток таких iдемпотентiв, то ψ дiє тотожно на мно-
жинi всiх iдемпотентiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
АВТОМОРФIЗМИ ФIНIТАРНОГО ФАКТОР-СТЕПЕНЯ НЕСКIНЧЕННОЇ СИМЕТРИЧНОЇ . . . 1001
Покажемо, що ψ(A) = A для всiх A ∈ FP+. За побудовою FP+ знайдеть-
ся таке m, що A ∈ FP+(Sm). Як було показано, FP+(Sm) є пiднапiвгрупою
FP+ з нулем — iдемпотентом, породженим деякою нерозкладною узагальненою
пiдстановкою. Тому ψ(FP+(Sm)) = FP+(Sm), а ψ|FP+(Sm) є автоморфiзмом
FP+(Sm).
У роботi [4] показано, що всi автоморфiзми FP+(Sm) є внутрiшними, тому
ψ : x 7→ πxπ−1 для деякого π ∈ Sm. Але єдиний автоморфiзм такого вигляду, який
дiє тотожно на множинi iдемпотентiв, є тотожним. Тому ψ = ϕϕ−1
τ — тотожний i
ϕ = ϕτ , що й доводить теорему.
1. Гудзенко С. В. Вiдношення Грiна на фактор-степенях симетричної групи // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер.
фiз.-мат. науки. – 2004. – № 2. – С. 24 – 44.
2. Ганюшкин А. Г., Мазорчук В. С. Фактор-степени и индуцированные действия полугрупп преобра-
зований // Третья междунар. конф. по алгебре: Сб. тез. – Красноярск, 1993. – С. 83 – 84.
3. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. — М.: Мир, 1972. – Т. 1. – 36 с.
4. Mazorchuk V. All Automorphisms of FP+(Sn) are inner // Semigroup Forum. – 2000. – 60. –
P. 486 – 490.
Одержано 19.01.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2931 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:33:02Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2a/6129e60b5bd6749fb641b2c56e59742a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29312020-03-18T19:40:27Z Automorphisms of a finitary factor power of an infinite symmetric group Автоморфізми фінітарного фактор-степеня нескінченної симетричної групи Hudzenko, S. V. Гудзенко, С. В. We consider a semigroup $FP^{+}_{\text{fin}}(\mathfrak{S}_{\text{fin}}(\mathbb{N}))$ defined as a finitary factor power of a finitary symmetric group of countable order. It is proved that all automorphisms of $FP^{+}_{\text{fin}}(\mathfrak{S}_{\text{fin}}(\mathbb{N}))$ are induced by permutations from $\mathfrak{S}_{\text{fin}}(\mathbb{N})$. Рассматривается полугруппа $FP^{+}_{\text{fin}}(\mathfrak{S}_{\text{fin}}(\mathbb{N}))$ — финитарная фактор-степень финитарной симметрической группы счетного порядка. Доказано, что все автоморфизмы $FP^{+}_{\text{fin}}(\mathfrak{S}_{\text{fin}}(\mathbb{N}))$ индуцируются подстановками из $\mathfrak{S}_{\text{fin}}(\mathbb{N})$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2931 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 7 (2010); 997–1001 Український математичний журнал; Том 62 № 7 (2010); 997–1001 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2931/2612 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2931/2613 Copyright (c) 2010 Hudzenko S. V. |
| spellingShingle | Hudzenko, S. V. Гудзенко, С. В. Automorphisms of a finitary factor power of an infinite symmetric group |
| title | Automorphisms of a finitary factor power of an infinite symmetric group |
| title_alt | Автоморфізми фінітарного фактор-степеня нескінченної симетричної групи |
| title_full | Automorphisms of a finitary factor power of an infinite symmetric group |
| title_fullStr | Automorphisms of a finitary factor power of an infinite symmetric group |
| title_full_unstemmed | Automorphisms of a finitary factor power of an infinite symmetric group |
| title_short | Automorphisms of a finitary factor power of an infinite symmetric group |
| title_sort | automorphisms of a finitary factor power of an infinite symmetric group |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2931 |
| work_keys_str_mv | AT hudzenkosv automorphismsofafinitaryfactorpowerofaninfinitesymmetricgroup AT gudzenkosv automorphismsofafinitaryfactorpowerofaninfinitesymmetricgroup AT hudzenkosv avtomorfízmifínítarnogofaktorstepenâneskínčennoísimetričnoígrupi AT gudzenkosv avtomorfízmifínítarnogofaktorstepenâneskínčennoísimetričnoígrupi |