Generalized solutions for linear operators with weakened a priori inequalities
We propose an approach to the investigation of generalized solutions of linear operators that satisfy weakened a priori inequalities. This approach generalizes several well-known definitions of generalized solutions of operator equations. We prove existence and uniqueness theorems for a generalized...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2933 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508935051542528 |
|---|---|
| author | Anikushyn, A. V. Nomirovs'kii, D. A. Анікушин, А. В. Номіровський, Д. А. |
| author_facet | Anikushyn, A. V. Nomirovs'kii, D. A. Анікушин, А. В. Номіровський, Д. А. |
| author_sort | Anikushyn, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:46Z |
| description | We propose an approach to the investigation of generalized solutions of linear operators that satisfy weakened a priori inequalities. This approach generalizes several well-known definitions of generalized solutions of operator equations. We prove existence and uniqueness theorems for a generalized solution. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:33:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.983.22
A. V. Anikußyn, D. A. Nomirovs\kyj (Ky]v. nac. un-t im.�T.�Íevçenka)
UZAHAL|NENI ROZV’QZKY DLQ LINIJNYX OPERATORIV
Z POSLABLENYMY APRIORNYMY NERIVNOSTQMY
∗∗∗∗
An approach is suggested to the study of generalized solutions of linear operators satisfying weakened
a priori inequalities. This approach generalizes some well-known definitions of generalized solutions of
operator equations. Theorems on the existence and uniqueness of a generalized solution are proved.
Predlahaetsq podxod k yzuçenyg obobwenn¥x reßenyj lynejn¥x operatorov, udovletvorqg-
wyx oslablenn¥m apryorn¥m neravenstvam. ∏tot podxod obobwaet rqd yzvestn¥x opredelenyj
obobwenn¥x reßenyj operatorn¥x uravnenyj. Dokazan¥ teorem¥ suwestvovanyq y edynstven-
nosty obobwennoho reßenyq.
1. Vstup. Nexaj E, F — linijni topolohiçni prostory, L : E → F — linijnyj
operator, vyznaçenyj na mnoΩyni D ( L ) = E . Prypustymo, wo operator L : E →
→ F ma[ obernenyj, otΩe, rivnqnnq L u = f pry dovil\nomu f ∈ F ma[ ne bil\-
ße odnoho rozv’qzku u ∈ E . Qkwo oblast\ znaçen\ R ( L ) operatora L ne zbi-
ha[t\sq z usim prostorom F, to rozv’qzok rivnqnnq L u = f isnu[ lyße za umovy
f ∈ R ( L ) (u takomu vypadku element u ∈ E : L u = f budemo nazyvaty klasyçnym
rozv’qzkom); qkwo Ω f F R∈ \ ( )L , to vynyka[ problema pobudovy deqkoho uza-
hal\nenoho rozv’qzku rivnqnnq L u = f.
Odyn iz vidomyx pidxodiv do rozv’qzannq ci[] zadaçi polqha[ u vykorystanni
ponqttq psevdorozv’qzku (kvazirozv’qzku), koly ßukagt\ toçku minimumu vidxy-
lu (metod najmenßyx kvadrativ) abo deqkoho inßoho xarakterystyçnoho funk-
cionala.
Inßyj pryrodnyj topolohiçnyj pidxid do pobudovy uzahal\nenoho rozv’qzku
operatornoho rivnqnnq [ takym: vvedemo u prostorax E ta F topolohi] TE ta
TF, qki uzhodΩugt\sq zi strukturamy linijnyx prostoriv E ta F, tak, wob u li-
nijnyx topolohiçnyx prostorax ( , )E ET ta ( , )F FT operator L diqv nepererv-
nym çynom i prava çastyna f F R∈ \ ( )L rivnqnnq L u = f naleΩala zamykanng
R( )L mnoΩyny R( )L u linijnomu topolohiçnomu prostori ( , )F FT (ideal\na
sytuaciq, koly R( )L = F ). Dali, rozßyrymo operator L neperervnym çynom
na popovnennq prostoru E za „topolohi[g TE”, de i budemo ßukaty uzahal\ne-
nyj rozv’qzok rivnqnnq L u = f z pravog çastynog f F R∈ \ ( )L .
Takyj pidxid [ typovym pry pobudovi slabkyx rozv’qzkiv v teori] dyferenci-
al\nyx rivnqn\. O.�O. LadyΩens\ka v knyhax [1, 2] da[ ©runtovnyj ohlqd evolg-
ci] ide] uzahal\nenoho rozv’qzku dlq klasyçnyx zadaç matematyçno] fizyky. Py-
tannq isnuvannq uzahal\nenyx rozv’qzkiv hranyçnyx zadaç matematyçno] fizyky
∗
Çastkovo pidtrymano hrantom DerΩavnoho fondu fundamental\nyx doslidΩen\ Ukra]ny
#�GP/F27/0022.
© A. V. ANIKUÍYN, D. A. NOMIROVS|KYJ, 2010
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 1011
1012 A. V. ANIKUÍYN, D. A. NOMIROVS|KYJ
çasto zvodyt\sq funkcional\nymy metodamy do problemy moΩlyvosti podannq
linijnyx neperervnyx funkcionaliv za dopomohog zadano] bilinijno] formy.
Dlq hil\bertovyx prostoriv vidomi klasyçna teorema Laksa – Mil\hrama ta pro-
ekcijna teorema Û.-L. Lionsa, qki dagt\ dostatni umovy moΩlyvosti takoho
zobraΩennq. Dlq dovedennq isnuvannq rozv’qzkiv linijnyx hranyçnyx zadaç
efektyvnymy vyqvylysq teoriq osnawenyx prostoriv ta metod apriornyx ocinok.
Ocinky v nehatyvnyx normax uperße bulo otrymano pry doslidΩenni eliptyç-
nyx krajovyx zadaç [3].
U abstraktnomu varianti vidpovidnu konstrukcig zaproponovano v roboti [4]
ta bil\ß detal\no doslidΩeno v robotax [5 – 8]. Ci doslidΩennq uzahal\neno u
knyzi [9], wo mistyt\ ohlqd prac\ z ci[] tematyky. U navedenyx robotax, zokre-
ma, zaznaçeno, wo u vypadku, koly E ta F — linijni normovani prostory, efek-
tyvnym instrumentom dlq pobudovy uzahal\nenyx rozv’qzkiv operatornyx riv-
nqn\ moΩut\ buty apriorni nerivnosti dlq operatora L :
c u H
−1 ≤ Lu F ≤ c u E ∀ ∈u E ,
de c — deqka dodatna stala, H — popovnennq linijnoho prostoru E za normog
u H , qka [ bil\ß slabkog, niΩ norma prostoru E. Napryklad, u monohrafi]
[10] dlq bahat\ox operatoriv matematyçno] fizyky (dyferencial\nyx rivnqn\ z
çastynnymy poxidnymy) dovedeno apriorni nerivnosti v nehatyvnyx normax skin-
çennoho porqdku, vvedeno oznaçennq uzahal\nenyx rozv’qzkiv, dovedeno ]x isnu-
vannq ta [dynist\ i vykorystano otrymani rezul\taty dlq rozv’qzannq zadaç op-
tymal\noho keruvannq vidpovidnymy rozpodilenymy systemamy iz zovnißnymy
vplyvamy zoseredΩenoho xarakteru.
Z inßoho boku, vidomi vypadky, koly operator L zadovol\nq[ deqki poslab-
leni apriorni nerivnosti
c u H
−1 ≤ Lu F1
∀ ∈u E : Lu F∈ 1 , (1)
Lu F ≤ c u E ∀ ∈u E , (2)
de linijnyj normovanyj prostir F1 wil\no ta neperervno vkladeno u prostir F,
tobto ma[ misce nerivnist\ f F ≤ c f F1
. Zokrema, qkwo operator L
zadovol\nq[ apriorni nerivnosti
c u F
−1 L ≤ u E ≤ c u FL
1
∀ ∈u E : Lu F∈ 1 ,
to L zadovol\nq[ i nerivnosti (1), (2). Navedemo pryklad takoho operatora L .
Rozhlqnemo operator dyferencigvannq L u = ′u , wo vyznaçenyj na prostori
E, de E — popovnennq mnoΩyny { }([ , ]) ( )u C u∈ =1 0 1 0 0 za normog
u E = ′
∫ u x dxp
p
( )
/
0
1 1
, p ≥ 1.
V qkosti prostoriv F, F1 viz\memo vidpovidno Lp1
, Lp2
, de 1 1 2≤ ≤ ≤p p p . To-
di, vykorystovugçy nerivnist\ Hel\dera, ma[mo
′
∫ u x dxp
p
( )
/
1
1
0
1 1
≤ ′
∫ u x dxp
p
( )
/
0
1 1
≤ ′
∫ u x dxp
p
( )
/
2
2
0
1 1
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
UZAHAL|NENI ROZV’QZKY DLQ LINIJNYX OPERATORIV … 1013
wo rivnosyl\no nerivnostqm
Lu F ≤ u E ≤ Lu F1
.
Poslableni apriorni nerivnosti takoΩ vynykagt\ u real\nyx zadaçax. U ro-
boti [11] dlq konkretnoho paraboliçnoho operatora, qkyj di[ u nezv’qznij ob-
lasti, mistyt\ sered svo]x koefici[ntiv uzahal\neni funkci] skinçennoho porqd-
ku ta moΩe maty synhulqrnu pravu çastynu, dovedeno apriorni nerivnosti vyhlq-
du (1), (2). U roboti [11] bulo vvedeno oznaçennq uzahal\nenoho rozv’qzku i z
vykorystannqm takyx ocinok dovedeno teoremu isnuvannq ta [dynosti takoho
rozv’qzku.
U zv’qzku z cym vynykagt\ pidstavy dlq rozhlqdu zadaçi pro isnuvannq ta
[dynist\ uzahal\nenoho rozv’qzku operatora, qkyj zadovol\nq[ poslableni apri-
orni nerivnosti (1), (2), u zahal\nomu vypadku, wo i vyrißu[t\sq u danij roboti.
2. Poznaçennq ta prostory. Nexaj ( ),E E⋅ ta ( ),F F⋅ — linijni nor-
movani prostory, a L : E → F — linijnyj neperervnyj operator, wo vyzna-
çenyj na vs\omu prostori E ta ma[ obernenyj. Nexaj takoΩ ( ),F F1 1
⋅ — li-
nijnyj normovanyj prostir, do toho Ω F1 wil\no vklada[t\sq v F i dlq vsix
f F∈ 1 ma[ misce nerivnist\ f F ≤ c f F1 1
, de c1 — deqka dodatna stala.
Poznaçymo çerez R( )L oblast\ znaçen\ operatora L i budemo vvaΩaty, wo
mnoΩyna R F( )L ∩ 1 [ wil\nog u prostori ( ),F F1 1
⋅ . ZauvaΩymo, wo u za-
stosuvannqx ostann[ obmeΩennq çasto ne [ sutt[vym, napryklad u teori] dyfe-
rencial\nyx rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy potribna wil\nist\ tradycijno
vyplyva[ z klasyçnyx teorem isnuvannq hladkyx rozv’qzkiv.
Qk vidomo, koΩnyj linijnyj ta neperervnyj na ( ),F F1 ⋅ funkcional moΩ-
na rozßyryty za neperervnistg na prostir ( ),F F⋅ [dynym çynom, tomu sprq-
Ωeni prostory ( ),F F⋅ ∗
ta ( ),F F1 ⋅ ∗
odnakovi, tobto ( ),F F⋅ ∗ =
= ( ),F F1 ⋅ ∗ = ( ),F F
∗ ⋅ ∗ . Rozhlqnemo teper sprqΩeni prostory ( ),F F1 ⋅ ∗
i
( ),F F1 1
⋅ ∗ . Oskil\ky prostir ( ),F F1 1
⋅ wil\no ta neperervno vklada[t\sq u
prostir ( ),F F1 ⋅ , to ( ),F F1 ⋅ ∗ = ( ),F F
∗ ⋅ ∗ bude neperervno vkladenyj u
prostir ( ),F F1 1
⋅ ∗ = ( ),F F1 1
∗ ⋅ ∗ . Todi f F1
∗ ≤ c f F2 ∗ dlq vsix f F∈ ∗ , de
c2 — deqka dodatna stala. Zokrema, ce oznaça[, wo koly dlq deqkoho f F∈ ∗
ma[ misce nerivnist\ f F∗ ≤ 1, to f F1
∗ ≤ c2 . Qkwo poznaçyty odynyçni
kuli prostoriv ( ),F F
∗ ⋅ ∗ i ( ),F F1 1
∗ ⋅ ∗ çerez B F( )∗
i B F( )1
∗
vidpovidno, to
odynyçna kulq B F( )∗
bude pidmnoΩynog kuli radiusa c2 u prostori
( ),F F1 1
∗ ⋅ ∗ , tobto B F( )∗ ⊂ c B F2 1( )∗ .
Rozhlqnemo U = { }α — sukupnist\ neporoΩnix central\no-symetryçnyx
pidmnoΩyn α prostoru F∗ , wo zadovol\nqgt\ umovy:
1) ob’[dnannq dovil\nyx dvox mnoΩyn z U mistyt\sq u deqkij mnoΩyni z U ;
2) dobutok dovil\no] mnoΩyny α ∈U na dovil\ne dijsne λ > 0 [ mnoΩy-
nog z U ;
3) koΩna z mnoΩyn α ∈U obmeΩena u prostori F∗
vidnosno topolohi], wo
porodΩu[t\sq normog
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1014 A. V. ANIKUÍYN, D. A. NOMIROVS|KYJ
ϕ F1
∗ = sup
( )
f F F
f
f∈ 1 1
ϕ
;
4) mnoΩyna N = α
α∈U
∪ — total\na pidmnoΩyna F∗
u dvo]stosti
( ),F F∗
1 , tobto qkwo dlq deqkoho f F∈ 1 pry vsix ϕ ∈N vykonu[t\sq rivnist\
ϕ ( )f = 0 , to f = 0 .
NevaΩko perekonatysq, wo isnugt\ sukupnosti U, qki zadovol\nqgt\ sfor-
mul\ovani umovy. NyΩçe budut\ navedeni deqki pryklady takyx sukupnostej.
Rozhlqnemo na linijnij mnoΩyni { }u E u F∈ ∈L 1 topolohig TE rivnomir-
no] zbiΩnosti, qka zada[t\sq systemog okoliv nulq
oα = u E u u F∈ ≤ ∈ ∈{ }∗( )( ) , ,L Lϕ ϕ α1 1 , α ∈U ,
abo, wo te same, systemog napivnorm
p uα ( ) = inf
,λ
λ α
λ
> ∈0
1
u o
= sup ( )( )
ϕ α
ϕ
∈
∗L u , u E∈ , Lu F∈ 1 , α ∈U .
MnoΩynu { }u E u F∈ ∈L 1 z ci[g topolohi[g budemo poznaçaty çerez ET , a
popovnennq ET za topolohi[g TE — çerez ET .
Analohiçno, na mnoΩyni F1 rozhlqnemo topolohig TF1
, qka zada[t\sq sys-
temog okoliv nulq
Oα = { }( ) ,f F f∈ ≤ ∈1 1ϕ ϕ α , α ∈U ,
abo systemog napivnorm
P fα ( ) = inf
,λ
λ α
λ
> ∈0
1
f O
= sup ( )
ϕ α
ϕ
∈
f , f F∈ 1 , α ∈U .
Çerez RT poznaçymo popovnennq R F( )L ∩ 1 za topolohi[g TF1
.
Nexaj M = L
U
∗
∈
( )α
α∪ . Todi dovil\nyj funkcional l ∈M dopuska[
prodovΩennq za neperervnistg na ves\ prostir ET . Dijsno, dlq koΩnoho l ∈
∈ L
U
∗
∈
( )α
α∪ isnugt\ taki α0 ∈U ta ϕ α∈ 0 , wo L∗ϕ = l, tomu v okoli
oα0
= u E u u F∈ < ∈ ∈{ }∗( )( ) , ,L Lϕ ϕ α1 0 1 ∈ TE
funkcional l [ obmeΩenym. Neperervne rozßyrennq funkcionala l na pros-
tir ET budemo poznaçaty çerez
�l , a mnoΩynu vsix rozßyrenyx u takyj sposib
funkcionaliv
�l E∈ ∗( )T , de l ∈M , — çerez
�M .
Zrozumilo takoΩ, wo mnoΩyna R( )L∗
[ total\nog pidmnoΩynog E ∗
u
dvo]stosti ( ),E E ∗
. Dijsno, qkwo u — takyj element prostoru E, wo l u( ) = 0
dlq vsix l R∈ ∗( )L , to ϕ( )Lu = 0 dlq vsix ϕ ∈ ∗F . Zvidsy vyplyva[, wo
Lu = 0 u prostori F. Vraxovugçy in’[ktyvnist\ operatora L, otrymu[mo, wo
u = 0 v E. Dovedemo takoΩ, wo mnoΩyny E ET ⊂ i R E( )L∗ ∗⊂ znaxodqt\sq
u dvo]stosti. ZvaΩagçy na dovedenu total\nist\ mnoΩyny R( )L∗
u dvo]stosti
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
UZAHAL|NENI ROZV’QZKY DLQ LINIJNYX OPERATORIV … 1015
( ),E E ∗
, dostatn\o pokazaty, wo z rivnosti l u( ) = 0, qka vykonu[t\sq dlq vsix
u E∈ T i deqkoho l R∈ ∗( )L , vyplyva[ rivnist\ l = 0. Dijsno, rivnist\ l u( ) = 0
moΩna zapysaty u vyhlqdi ϕ( )Lu = 0, de L∗ϕ = l, ϕ ∈ ∗F . Oskil\ky mno-
Ωyna R F( )L ∩ 1 wil\na u prostori F, to ϕ = 0. Mirkugçy analohiçno, moΩna
pokazaty, wo mnoΩyna M ⊂ ∗R( )L [ total\nog u dvo]stosti ( ( )),E RT L∗
. To-
mu ET — viddil\nyj lokal\no opuklyj linijnyj topolohiçnyj prostir.
3. Uzahal\nenyj rozv’qzok linijnoho operatora. Oskil\ky mnoΩyna
F R1 \ ( )L moΩe vyqvytysq neporoΩn\og, to vynyka[ zadaça vyznaçennq uza-
hal\nenoho rozv’qzku rivnqnnq Lu = f dlq pravyx çastyn f z prostoru F1 .
Oznaçennq51. Uzahal\nenym rozv’qzkom operatornoho rivnqnnq L u = f, de
f F∈ 1 , budemo nazyvaty takyj element u E∈ T , wo dlq vsix l ∈M vykonu-
[t\sq rivnist\
�l u( ) = ϕ ( )f , L
∗
ϕ = l . (3)
Zrozumilo, wo oskil\ky dlq koΩnoho u E E∈ ⊂T magt\ misce rivnosti
�l u( ) = l u( ) = ( )( )L∗ϕ u = ϕ( )Lu ,
to navedene oznaçennq rozv’qzku operatornoho rivnqnnq [, z odnoho boku, pry-
rodnym uzahal\nennqm klasyçnoho rozv’qzku, a z inßoho — analohom slabkyx
rozv’qzkiv z teori] dyferencial\nyx rivnqn\.
Spravdi, qkwo v rivnosti ( ),u L∗ϕ 1 = ( ),f ϕ 2 ( ϕ — dovil\na funkciq vidpo-
vidnoho klasu, qku vykorystovugt\ v oznaçenni slabkoho rozv’qzku dyferen-
cial\noho rivnqnnq L u = f ) vvaΩaty, wo vyraz ( ),u L∗ϕ 1 zada[ linijnyj funk-
cional
�l u( ) , a vyraz ( ),f ϕ 2 — linijnyj funkcional ϕ ( )f , to otrymu[mo riv-
nist\ (3).
Rozhlqnemo teoremy isnuvannq ta [dynosti uzahal\nenoho rozv’qzku.
Teorema51. Dlq bud\-qkoho f F∈ 1 isnu[ uzahal\nenyj rozv’qzok rivnqnnq
L u = f u sensi oznaçennq�1.
Dovedennq bude ©runtuvatysq na teoremi�1 roboty [7]. Rozhlqnemo zvuΩen-
nq operatora L na prostir
E1 = L L−1
1( ( ))F R∩ = u E u F∈ ∈{ }L 1
z ti[g samog normog ⋅ E1
= ⋅ E , qke budemo poznaçaty L1 1 1: E F→ . Todi
oblast\ znaçen\ R( )L1 = R F( )L ∩ 1 operatora L1 [ wil\nog pidmnoΩynog
prostoru F1 .
Oskil\ky koΩna z mnoΩyn α ∈U obmeΩena u prostori F∗
za normog
⋅ ∗F1
, to koΩna mnoΩyna α ∈U obmeΩena vidnosno topolohi] σ ( ),F F∗
1 . Krim
c\oho, R F( )L1 1⊂ , tomu koΩna z mnoΩyn α ∈U takoΩ obmeΩena u prostori
F∗
vidnosno topolohi] σ ( ( )),F R∗ L1 . Oskil\ky N — total\na pidmnoΩyna
F∗
u dvo]stosti ( ),F F∗
1 i R( )L1 [ wil\nog pidmnoΩynog F1 , to mnoΩyna
N [ total\nog u dvo]stosti ( ( )),F R∗ L1 .
Rozhlqnemo bud\-qku napivnormu Pα , α ∈U . Oskil\ky koΩna mnoΩyna
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1016 A. V. ANIKUÍYN, D. A. NOMIROVS|KYJ
α ⊂ ∗F obmeΩena vidnosno normy ⋅ ∗F1
, to c B F F⋅ ⊂ ∗ ∗α ( )1 ∩ , de c > 0 . To-
di dlq bud\-qkoho f F∈ 1 vykonugt\sq spivvidnoßennq
c P f⋅ α ( ) = c f⋅
∈
sup ( )
ϕ α
ϕ = sup ( )
ϕ α
ϕ
∈c
f ≤
≤ sup ( )
( )ϕ
ϕ
∈ ∗ ∗B F F
f
1 ∩
≤ sup ( )
( )ϕ
ϕ
∈ ∗B F
f
1
= f F1
. (4)
Oskil\ky mnoΩyna R( )L1 wil\na u prostori ( ),F F1 1
⋅ , to dlq bud\-qkoho
f F∈ 1 znajdet\sq poslidovnist\ f Rn ∈ ( )L1 taka, wo f fn F− →
1
0 pry
n → ∞ . Iz spivvidnoßen\ (4) vyplyva[, wo i P f fnα ( )− → 0 pry n → ∞ dlq
bud\-qkoho α ∈U . OtΩe, f fn → v topolohi] TF1
. Takym çynom, mnoΩyna
R( )L1 bude wil\nog u F1 u topolohi] TF1
. Ce oznaça[, wo popovnennq RT
bude mistyty v sobi ves\ prostir F1 . Oskil\ky dlq operatora L1 1 1: E F→ vy-
konugt\sq umovy��1 – 5, opysani v roboti [7], to, vykorystovugçy teoremu�1 z ci-
[] roboty, stverdΩu[mo, wo operatorne rivnqnnq L1u = f (a otΩe, i rivnqnnq
Lu = f ) ma[ rozv’qzok u sensi oznaçennq�1 dlq bud\-qkoho f F∈ 1 .
Teoremu dovedeno.
Teorema52. Qkwo mnoΩyna funkcionaliv
�M ⊂ ∗( )ET total\na u dvo]sto-
sti (( ) ),E ET T
∗
, abo, wo te same, dlq normy ⋅ TE
ta topolohi] σ ( ),ET M
vykonu[t\sq umova :
π ) qkwo poslidovnist\ u En ∈ T fundamental\na za normog ⋅ TE
i
un → 0 pry n → ∞ vidnosno topolohi] σ ( ),ET M , to un ET → 0 pry
n → ∞ ,
to uzahal\nenyj rozv’qzok u sensi oznaçennq�1 [dynyj.
Dovedennq. Rozhlqnemo dovil\nu poslidovnist\ u En ∈ , Lu Fn ∈ 1 , qka zbi-
ha[t\sq do u v prostori ET pry n → ∞ (tobto [ fundamental\nog za nor-
mog ⋅ TE
) i zbiha[t\sq do nulq u slabkij topolohi] σ ( ),ET M . Qkwo
l E∈ ∗( )T , to magt\ misce spivvidnoßennq l u( ) = lim ( )
n
nl u
→ ∞
= 0. Qkwo
mnoΩyna
�M total\na u dvo]stosti (( ) ),E ET T
∗ , to z rivnosti l u( ) = 0, de
u E∈ T , qka ma[ misce dlq vsix l E∈ ⊂ ∗�M ( )T , vyplyva[, wo u = 0. OtΩe,
un ET → u
ET = 0 pry n → ∞ i umova π ) vykonu[t\sq. Obernene tverd-
Ωennq dovodyt\sq analohiçno.
Teper qkwo u ta u — uzahal\neni rozv’qzky u sensi oznaçennq�1, to lehko
otrymu[mo
L∗ −ϕ�( )u u = 0
dlq vsix ϕ ∈ ∗F , L T
∗ ∗∈ϕ� ( )E . Oskil\ky mnoΩyna
�M total\na u dvo]stosti
(( ) ),E ET T
∗ , to u = u .
Teoremu dovedeno.
PokaΩemo teper, qk u terminax sukupnosti U opysuvaty uzahal\neni rozv’qz-
ky operatornyx rivnqn\ u vypadku naqvnosti poslablenyx apriornyx nerivnostej
(1), (2) dlq operatora zadaçi.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
UZAHAL|NENI ROZV’QZKY DLQ LINIJNYX OPERATORIV … 1017
Vyberemo u prostori F∗
dovil\nu opuklu vrivnovaΩenu mnoΩynu M, wo
zadovol\nq[ umovu
M ⊂ F B F∗ ∗∩ ( )1
i [ total\nog u dvo]stosti ( ),F F∗
1 . Zaznaçymo, wo taki mnoΩyny M isnugt\.
Napryklad, mnoΩyna M = F B F∗ ∗∩ λ( ) pry deqkomu dostatn\o malomu λ > 0
mistyt\sq v F B F∗ ∗∩ ( )1 i [ total\nog navit\ u dvo]stosti ( ),F F∗
. Dijsno, dlq
bud\-qkoho f F∈ , f ≠ 0 , isnu[ takyj ϕ ∈ ∗F , wo ϕ ( )f = f F . Todi ϕ1 =
=
λϕ
ϕ F∗
∈ M i ϕ1( )f ≠ 0.
Rozhlqnemo systemu mnoΩyn
U = λ λM ∈{ }+R . (5)
NevaΩko pereviryty, wo dlq tako] sukupnosti U umovy 1 – 4, qki opysani vy-
we, vykonugt\sq. Pry c\omu topolohiq TE zada[t\sq normog
u
ET = sup ( )
( )l M
l u
∈ ∗L
,
de u E∈ i Lu F∈ 1 , dlq qko] ma[ misce ocinka
u
ET = sup ( )
( )l M
l u
∈ ∗L
= sup ( )( )
ϕ
ϕ
∈
∗
M
uL =
= sup ( )
ϕ
ϕ
∈M
uL ≤ sup
( )
( )
ϕ
ϕ
∈ ∗B F
u
1
L = Lu F1
.
Topolohiq TF1
takoΩ zada[t\sq normog
f
FT 1
= sup ( )
ϕ
ϕ
∈M
f ,
de f F∈ 1 , dlq qko] ma[ misce analohiçna ocinka
f
FT 1
= sup ( )
ϕ
ϕ
∈M
f ≤ sup ( )
( )ϕ
ϕ
∈ ∗B F
f
1
= f F1
.
Krim c\oho, zaznaçymo, wo oskil\ky operator L [ neperervnym, to Lu F ≤
≤ c u E , tobto vykonugt\sq poslableni apriorni nerivnosti
u
ET ≤ c u FL
1
∀ ∈u E , Lu F∈ 1 , (6)
Lu F ≤ c u E ∀ ∈u E . (7)
Z’qsu[mo, qkyj zmist ma[ oznaçennq�1 u vypadku, koly sukupnist\ mnoΩyn U
zadano u vyhlqdi (5).
Oznaçennq52. Uzahal\nenym rozv’qzkom operatornoho rivnqnnq Lu = f, de
f F∈ 1 , nazyvagt\ takyj element u E∈ T , wo dlq vsix funkcionaliv ϕ ∈ M
vykonu[t\sq rivnist\
L∗ϕ� ( )u = ϕ ( )f ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1018 A. V. ANIKUÍYN, D. A. NOMIROVS|KYJ
de çerez L∗ϕ�
poznaçeno rozßyrennq za neperervnistg funkcionala L T
∗ ∗∈ϕ E
z mnoΩyny ET = u E u F∈ ∈{ }L 1 na mnoΩynu ET .
OtΩe, z teoremy�1 vyplyva[, wo koly operator L zadovol\nq[ poslableni
apriorni nerivnosti (6), (7), to uzahal\nenyj rozv’qzok rivnqnnq Lu = f , de
f F∈ 1 , u sensi oznaçennq�2 isnu[.
Teorema53. Qkwo sukupnist\ U zadano rivnistg (5), to uzahal\nenyj roz-
v’qzok rivnqnnq Lu = f, de f F∈ 1 , u sensi oznaçennq�2 [dynyj.
Dovedennq. Perevirymo umovy zahal\no] teoremy�2, tobto dovedemo, wo vy-
konu[t\sq umova π ) . Prypustymo suprotyvne, tobto nexaj isnu[ poslidovnist\
u En ∈ T , wo fundamental\na za normog ⋅ TE
i zbiha[t\sq do nulq v σ ( ),ET M ,
ale un ET ne prqmu[ do nulq pry n → ∞ . Todi isnugt\ ε > 0 i taka
pidposlidovnist\, qku poznaçymo tak samo un , wo un ET > ε , tobto dlq koΩ-
noho n ∈N
sup ( )
( )l M
nl u
∈ ∗L
> ε .
Ce oznaça[, wo moΩna vybraty poslidovnist\ funkcionaliv l Mn ∈ ∗L ( ) taku,
wo l un n( ) > ε . Teper oskil\ky un — fundamental\na v ET poslidovnist\,
to
∃ ∈N N ∀ ∈p N : u uN N p
E
− + T
= sup ( )
( )l M
N N pl u u
∈
+
∗
−
L
< ε ,
tobto
∃ ∈N N ∀ ∈p N ∀ ∈ ∗l ML ( ) : l u uN N p( )− + < ε .
Zokrema, pry l = ln
∃ ∈N N ∀ ∈p N : l u uN N N p( )− + < ε .
Ale oskil\ky un → 0 v σ ( ), ( )E MT L∗ , to l un( ) → 0 pry n → ∞ dlq vsix
l M∈ ∗L ( ) , zokrema i l uN N p( )+ → 0 pry p → ∞ . Zvidsy pry p → ∞ vyply-
va[, wo l uN N( ) ≤ ε , a ce supereçyt\ vyboru poslidovnosti ln .
Teoremu dovedeno.
Vvedemo we odno ponqttq uzahal\nenoho rozv’qzku, v qkomu uzahal\nenyj
rozv’qzok vyznaça[t\sq çerez sekvencial\ne zamykannq hrafika operatora L u
vidpovidnij topolohi].
Oznaçennq53. Uzahal\nenym rozv’qzkom operatornoho rivnqnnq Lu = f, de
f F∈ 1 , budemo nazyvaty takyj element u E∈ T , dlq qkoho isnu[ posli-
dovnist\ takyx elementiv u En ∈ , wo Lu Fn ∈ 1 i vykonugt\sq spivvidnoßen-
nq
u un
E
− T → 0, Lu fn F−
1
→ 0
pry n → ∞ .
Zaznaçymo, wo oznaçennq�3 zada[ pryrodnyj analoh ponqttq majΩe rozv’qz-
ku z roboty [5].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
UZAHAL|NENI ROZV’QZKY DLQ LINIJNYX OPERATORIV … 1019
Teorema54. Qkwo mnoΩyna funkcionaliv
�M = l E l M∈ = ∈ ∈{ }∗ ∗( ) , ,T L ϕ ϕ λ λ� R
total\na u dvo]stosti (( ) ),E ET T
∗ , to element u E∈ T — uzahal\nenyj
rozv’qzok u sensi oznaçennq�2 todi i til\ky todi, koly u — uzahal\nenyj roz-
v’qzok u sensi oznaçennq�3.
Dovedennq. Dostatnist\. Nexaj u En ∈ 1 — poslidovnist\, wo vyznaça[
uzahal\nenyj rozv’qzok u E∈ T u sensi oznaçennq�3. Todi dlq dovil\noho
ϕ ∈ ⊂ ∗M F ma[ misce rivnist\
L∗ϕ�( )un = ( )( )L∗ϕ un = ϕ( )Lun . (8)
Oskil\ky u un → pry n → ∞ za normog prostoru ET , to u un → pry
n → ∞ i v slabkij topolohi] σ ( ( ) ),E ET T
∗
. Z analohiçnyx pryçyn poslidov-
nist\ Lun bude zbihatysq do f pry n → ∞ v topolohi] σ ( ),F F1 1
∗ . OtΩe, pe-
rexodqçy v rivnosti (8) do hranyci pry n → ∞ , oderΩu[mo
L∗ϕ� ( )u = ϕ ( )f .
Neobxidnist\. Nexaj u — uzahal\nenyj rozv’qzok u sensi oznaçennq�2. Do-
vedemo, wo rozv’qzok u sensi oznaçennq�3 isnu[.
MnoΩyna R F( )L ∩ 1 wil\na u prostori F1. Tomu isnu[ poslidovnist\
f R Fn ∈ ( )L ∩ 1 taka, wo f fn → v F1 pry n → ∞ . Todi znajdut\sq taki
vn E∈ 1 , wo Lvn = f R F Fn ∈ ⊂( )L ∩ 1 1 . Oskil\ky magt\ misce poslableni
apriorni nerivnosti (6), (7), to z fundamental\nosti poslidovnosti fn u prosto-
ri F1 vyplyva[ fundamental\nist\ poslidovnosti vn u prostori ET . Tomu is-
nu[ takyj element v ∈ET , wo
v vn
E
− T → 0, Lvn Ff−
1
→ 0 pry n → ∞ .
OtΩe, v ∈ET — uzahal\nenyj rozv’qzok operatornoho rivnqnnq Lu = f u sen-
si oznaçennq�3. Z dovedennq dostatnosti vyplyva[, wo v — rozv’qzok i u sensi
oznaçennq�2. Todi z teoremy�2 ma[mo u = v. OtΩe, u — uzahal\nenyj rozv’qzok
u sensi oznaçennq�2.
Teoremu dovedeno.
ZauvaΩennq51. Qk vyplyva[ z dovedennq neobxidnosti, rozv’qzok u sensi
oznaçennq�3 isnu[ nezaleΩno vid rozv’qzku u sensi oznaçennq�2.
ZauvaΩennq52. Qkwo mnoΩyna L∗( )M [ kompaktnog pidmnoΩynog pro-
storu ( )ET
∗
vidnosno topolohi] σ (( ) ),E ET T
∗
, to, zvaΩagçy na teoremu Mak-
ki – Arensa [12], topolohiq, porodΩena normog ⋅ TE
, uzhodΩu[t\sq iz dvo]s-
tistg ( ),E ET T
∗
, tobto mnoΩyna
�M = l E l M∈ = ∈ ∈{ }∗ ∗( ) , ,T L ϕ ϕ λ λ� R
bude zbihatysq z ( )ET
∗
. Ce oznaça[, wo v takomu vypadku vykonugt\sq umovy
teoremy�2, tomu rozv’qzok u sensi oznaçennq�2 [dynyj.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1020 A. V. ANIKUÍYN, D. A. NOMIROVS|KYJ
Paralel\no z osnovnym rivnqnnqm Lu = f rozhlqnemo sprqΩene rivnqnnq
L∗ϕ = l ta vstanovymo deqku dvo]stist\ miΩ nymy. Zrobymo spoçatku neobxid-
ne zauvaΩennq stosovno di] sprqΩenyx operatoriv L∗
ta L1
∗
. Qk zaznaçalosq
vywe, ( ),F F⋅ ∗ = ( ),F F1 ⋅ ∗ , tomu sprqΩeni operatory L∗ ∗ ∗→: F E ta
L1 1 1
∗ ∗ ∗→: F E ( L1 — zvuΩennq operatora L na prostir E1 ) vyznaçeni na od-
nomu j tomu samomu prostori F∗
. Qkwo ne nakladaty dodatkovyx obmeΩen\ na
prostir E1 , to z oznaçennq vyplyva[, wo E E1 ⊂ , i koΩnyj linijnyj nepererv-
nyj funkcional, wo vyznaçenyj na E1 , dopuska[ neperervne prodovΩennq na
ves\ prostir E. Pry c\omu, vzahali kaΩuçy, ce prodovΩennq moΩna zdijsnyty
ne [dynym çynom, oskil\ky vklgçennq E E1 ⊂ moΩe ne buty wil\nym. Tomu, v
zahal\nomu vypadku, prostory E∗
i E1
∗
ne [ odnakovymy, ale pry koΩnomu
elementi ϕ ∈ ∗F funkcionaly L∗ϕ i L1
∗ϕ budut\ zbihatysq na elementax
prostoru E1 . Tomu u vypadkax, koly mova jtyme pro znaçennq funkcionala
L1
∗ϕ na elementi z E1 , zamist\ L1
∗ϕ budemo pysaty L∗ϕ . Na osnovi vyklade-
noho damo oznaçennq uzahal\nenoho rozv’qzku dlq sprqΩenoho rivnqnnq.
Oznaçennq54. Uzahal\nenym rozv’qzkom operatornoho rivnqnnq L∗ϕ = l ,
de l E∈ ∗( )T , budemo nazyvaty takyj element ϕ ∈ ∗F1 , wo dlq vsix u E∈ ,
Lu F∈ 1 , vykonu[t\sq rivnist\
ϕ( )Lu = l u( ) .
Teorema55. Pry vsix l E∈ ∗( )T operatorne rivnqnnq L∗ϕ = l ma[ [dynyj
uzahal\nenyj rozv’qzok u sensi oznaçennq �4.
Dovedennq. Zafiksu[mo l E∈ ∗( )T . Dlq dovil\noho u E∈ : Lu F∈ 1 roz-
hlqnemo l u( ) i zapyßemo taki nerivnosti:
l u( ) ≤ l uE E( )T T∗ ≤ c l uE F( )T
L∗
1
.
ZvaΩagçy na in’[ktyvnist\ operatora L, dlq vsix f R F∈ ( )L ∩ 1 ma[mo
l f( )L−1 ≤ c l fE FT
∗
1
.
Oskil\ky R F( )L ∩ 1 — wil\na mnoΩyna v F1, to linijnyj funkcional ϕ ( )f =
= l f( )L−1 , vyznaçenyj na R F F( )L ∩ 1 1⊂ i obmeΩenyj za normog prostoru
F1
∗
, moΩna rozßyryty za neperervnistg na ves\ prostir F1 . OtΩe, isnu[ takyj
linijnyj i neperervnyj funkcional ϕ ∈ ∗F1 , wo
ϕ( )Lu = l u( ( ))L L−1 = l u( ) (9)
dlq vsix u E∈ , Lu F∈ 1 , tobto ϕ ∈ ∗F1 — uzahal\nenyj rozv’qzok rivnqnnq
L∗ϕ = l u sensi oznaçennq�4.
{dynist\ uzahal\nenoho rozv’qzku bezposeredn\o vyplyva[ z total\nosti
mnoΩyny R F( )L ∩ 1 u prostori F1 vidnosno dvo]stosti ( ),F F1 1
∗
.
Teoremu dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
UZAHAL|NENI ROZV’QZKY DLQ LINIJNYX OPERATORIV … 1021
Na zaverßennq zaznaçymo, wo otrymani rezul\taty uzhodΩugt\sq i uzahal\-
nggt\ tverdΩennq roboty [11]. Tak, u cytovanij roboti dlq rivnqnnq Lx =
�
F ,
de operator L zada[t\sq symvoliçnog matryceg
Lx =
u qu
u
t + ∇
∇
ξ
ξ
ω
ω
�
�
M
, x = ( ),u T�
ω ,
otrymano poslableni apriorni ocinky
L x
Y
≤ c x X , c x X
−1
2
≤ L x
Y1
, x X∈ , L x Y∈ 1 , (10)
de dlq hil\bertovyx prostoriv X, Y, X2 , Y1 vykonugt\sq umovy X X⊂ 2 ,
Y Y1 ⊂ . Na osnovi ocinok (10) dovedeno teoremu isnuvannq ta [dynosti uzahal\-
nenoho rozv’qzku x X∈ 2 dlq dovil\nyx pravyx çastyn
�
F Y∈ 1 .
1. Lad¥Ωenskaq O. A. Kraev¥e zadaçy matematyçeskoj fyzyky. – M.: Nauka, 1973. – 407�s.
2. Lad¥Ωenskaq O. A. Matematyçeskye vopros¥ dynamyky vqzkoj nesΩymaemoj Ωydkosty. –
M.: Nauka, 1970. – 288�s.
3. Berezanskyj G. M. RazloΩenye po sobstvenn¥m funkcyqm samosoprqΩenn¥x operatorov.
– Kyev: Nauk. dumka, 1965. – 800 s.
4. Petunyn G. Y. Ob odnoj koncepcyy obobwennoho reßenyq operatorn¥x uravnenyj v
banaxovom prostranstve // Ukr. mat. Ωurn. – 1996. – 48, # 9. – S.�1286 – 1290.
5. Klgßyn D. A., Kuwan A. A., Lqßko S. Y., Nomyrovskyj D. A., Petunyn G. Y. Obobwennoe
reßenye nekotor¥x operatorn¥x uravnenyj v banaxov¥x prostranstvax // Ûurn. obçyslgv.
ta prykl. matematyky. – 2001. – Vyp.�86, # 1. – S.�29 – 50.
6. Klgßyn D. A., Petunyn G. Y. Koncepcyq obobwennoho reßenyq nelynejn¥x operatorn¥x
uravnenyj v metryçeskyx prostranstvax // Tam Ωe. – 2002. – Vyp.�87, # 1. – S.�11 – 23.
7. Nomyrovskyj D. A. Ob obobwennoj razreßymosty lynejn¥x system // Dop. NAN Ukra]ny. –
2004. – # 10. – S.�26 – 33.
8. Nomirovs\kyj D. A. Do pytannq [dynosti uzahal\nenyx rozv’qzkiv operatornyx rivnqn\ //
Visn. Ky]v. un-tu. Ser. fiz.-mat. nauky. – 2004. – # 4. – S.�223 – 227.
9. Lqßko S. Y., Nomyrovskyj D. A., Petunyn G. Y., Semenov V. V. Dvadcataq problema
Hyl\berta. – M.: OOO „Y. D. Vyl\qms”, 2009. – 192�s.
10. Lyashko S. I. Generalized optimal control of linear systems with distributed parameters. – Boston
etc.: Kluwer Acad. Publ., 2002. – 466 p.
11. Lqßko S. Y., Nomyrovskyj D. A. Obobwennaq razreßymost\ y optymyzacyq parabolyçes-
kyx system v oblastqx s tonkymy slabopronycaem¥my vklgçenyqmy // Kybernetyka y
system. analyz. – 2003. – # 5. – S.�131 – 142.
12. Robertson A. P., Robertson V. DΩ. Topolohyçeskye vektorn¥e prostranstva. – M.: Myr,
1967. – 260�s.
OderΩano 05.03.09,
pislq doopracgvannq — 09.04.10
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
|
| id | umjimathkievua-article-2933 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:33:06Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0a/f6c292cb1682671a6f23ed7c5c06d60a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29332020-03-18T19:40:46Z Generalized solutions for linear operators with weakened a priori inequalities Узагальнені розв'язки для лінійних операторів з послабленими апріорними нерівностями Anikushyn, A. V. Nomirovs'kii, D. A. Анікушин, А. В. Номіровський, Д. А. We propose an approach to the investigation of generalized solutions of linear operators that satisfy weakened a priori inequalities. This approach generalizes several well-known definitions of generalized solutions of operator equations. We prove existence and uniqueness theorems for a generalized solution. Предлагается подход к изучеиию обобщенных решений линейных операторов, удовлетворяющих ослабленным априорным неравенствам. Этот подход обобщает ряд известных определений обобщенных решений операторных уравнений. Доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2933 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 8 (2010); 1011–1021 Український математичний журнал; Том 62 № 8 (2010); 1011–1021 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2933/2616 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2933/2617 Copyright (c) 2010 Anikushyn A. V.; Nomirovs'kii D. A. |
| spellingShingle | Anikushyn, A. V. Nomirovs'kii, D. A. Анікушин, А. В. Номіровський, Д. А. Generalized solutions for linear operators with weakened a priori inequalities |
| title | Generalized solutions for linear operators with weakened a priori inequalities |
| title_alt | Узагальнені розв'язки для лінійних операторів з
послабленими апріорними нерівностями |
| title_full | Generalized solutions for linear operators with weakened a priori inequalities |
| title_fullStr | Generalized solutions for linear operators with weakened a priori inequalities |
| title_full_unstemmed | Generalized solutions for linear operators with weakened a priori inequalities |
| title_short | Generalized solutions for linear operators with weakened a priori inequalities |
| title_sort | generalized solutions for linear operators with weakened a priori inequalities |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2933 |
| work_keys_str_mv | AT anikushynav generalizedsolutionsforlinearoperatorswithweakenedaprioriinequalities AT nomirovs039kiida generalizedsolutionsforlinearoperatorswithweakenedaprioriinequalities AT aníkušinav generalizedsolutionsforlinearoperatorswithweakenedaprioriinequalities AT nomírovsʹkijda generalizedsolutionsforlinearoperatorswithweakenedaprioriinequalities AT anikushynav uzagalʹnenírozv039âzkidlâlíníjnihoperatorívzposlablenimiapríorniminerívnostâmi AT nomirovs039kiida uzagalʹnenírozv039âzkidlâlíníjnihoperatorívzposlablenimiapríorniminerívnostâmi AT aníkušinav uzagalʹnenírozv039âzkidlâlíníjnihoperatorívzposlablenimiapríorniminerívnostâmi AT nomírovsʹkijda uzagalʹnenírozv039âzkidlâlíníjnihoperatorívzposlablenimiapríorniminerívnostâmi |