Best mean square approximations by entire functions of finite degree on a straight line and exact values of mean widths of functional classes
We obtain exact Jackson-type inequalities in the case of the best mean square approximation by entire functions of finite degree $≤ σ$ on a straight line. For classes of functions defined via majorants of averaged smoothness characteristics $Ω_1(f, t ),\; t > 0$, we determine the exact values...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2935 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508933930614784 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Doronin, V. G. Вакарчук, С. Б. Доронин, В. Г. Вакарчук, С. Б. Доронин, В. Г. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Doronin, V. G. Вакарчук, С. Б. Доронин, В. Г. Вакарчук, С. Б. Доронин, В. Г. |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:46Z |
| description | We obtain exact Jackson-type inequalities in the case of the best mean square approximation by entire functions of finite degree $≤ σ$ on a straight line. For classes of functions defined via majorants of averaged smoothness characteristics $Ω_1(f, t ),\; t > 0$, we determine the exact values of the Kolmogorov mean ν-width, linear mean ν-width, and Bernstein mean $ν$-width, $ν > 0$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:33:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
S. B. Vakarçuk (Dnepropetr. un-t πkonomyky y prava),
V. H. Doronyn (Dnepropetr. nac. un-t ym.�O.�Honçara)
NAYLUÇÍYE SREDNEKVADRATYÇESKYE PRYBLYÛENYQ
CELÁMY FUNKCYQMY KONEÇNOJ STEPENY
NA PRQMOJ Y TOÇNÁE ZNAÇENYQ SREDNYX
POPEREÇNYKOV FUNKCYONAL|NÁX KLASSOV
We obtain exact inequalities of the Jackson type in the case of the best mean square approximation by
entire functions of exponential type of degree ≤ σ on a line. For classes of functions determined by
means of majorants of averaged smoothness characteristics Ω1( , )f t , t > 0 , we find exact values of
the Kolmogorov mean ν-width, a linear mean ν-width, and the Bernstein mean ν-width, ν > 0 .
OderΩano toçni nerivnosti typu DΩeksona u vypadku najkrawoho seredn\okvadratyçnoho na-
blyΩennq cilymy funkciqmy skinçennoho stepenq ≤ σ na prqmij. Dlq klasiv funkcij, oznaçe-
nyx za dopomohog maΩorant userednenyx xarakterystyk hladkosti Ω1( , )f t , t > 0 , znajdeno
toçni znaçennq kolmohorovs\koho, linijnoho ta bernßtejnivs\koho serednix ν-popereçnykiv,
ν > 0 .
1. Pust\ L2( )R , R = { : }x x− ∞ < < ∞ , est\ prostranstvo vewestvenn¥x
funkcyj f, opredelenn¥x y yzmerym¥x na R, kotor¥e udovletvorqgt uslo-
vyg
f = f x dx( )
/
2
1 2
− ∞
∞
∫
< ∞ .
Çerez Bσ,2 oboznaçym podprostranstvo cel¥x funkcyj koneçnoj stepeny
≤ σ , kotor¥e prynadleΩat L2( )R , a çerez
Aσ ( )f df= inf : ,f g g B− ∈{ }σ σ σ 2
— nayluçßee pryblyΩenye funkcyy f L∈ 2( )R πlementamy podprostranstva
Bσ,2 .
Napomnym, çto vperv¥e vopros¥ approksymacyy funkcyj na prqmoj R na-
çal yzuçat\ S.�N.�Bernßtejn, yspol\zovavßyj dlq πtoho v kaçestve apparata
pryblyΩenyq podprostranstva cel¥x funkcyj koneçnoj stepeny. Razlyçn¥e
aspekt¥ dannoj problem¥ v posledugwem naßly svoe otraΩenye v rabotax
N.�Y. Axyezera, S. M. Nykol\skoho, A. F. Tymana, Y. Y. Ybrahymova y druhyx
(sm.,�naprymer, [1 – 12]).
Dlq reßenyq rqda zadaç konstruktyvnoj teoryy funkcyj v prostranstve
2 π -peryodyçeskyx funkcyj Lp([ , ])0 2π , 0 < p < 1 , K.�V. Runovskyj yspol\zo-
val vmesto modulq neprer¥vnosty k-ho porqdka xarakterystyku [13]
Ωk pf t( , ) df=
1
0
0 2
1
0
1
t
f dh dh
k
t
h
k
L
p
k
t
p
∫ ∫ …
… ∆
([ , ])π
// p
,
hde t > 0, h df= ( ), ,h hk1 … , ∆
h
k
df= ∆ ∆h hk1
1 1� �… , ∆hj
f x1 ( ) df= f x h f xj( ) ( )+ − ,
j = 1, k , kotoraq slabo πkvyvalentna velyçyne ωk pf t( , ) . Otmetym, çto ranee
xarakterystyka Ω1( , )f t p b¥la yspol\zovana ∏. A. StoroΩenko, V. H. Kroto-
v¥m y P. Osval\dom [14] dlq yzuçenyq povedenyq nayluçßeho pryblyΩenyq
funkcyj polynomamy po systeme Xaara.
© S. B. VAKARÇUK, V. H. DORONYN, 2010
1032 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
NAYLUÇÍYE SREDNEKVADRATYÇESKYE PRYBLYÛENYQ … 1033
2. Ysxodq yz yzloΩennoho, pry reßenyy rqda zada teoryy approksymacyy
funkcyj opredelenn¥j ynteres predstavlqet yspol\zovanye narqdu s modulem
neprer¥vnosty k-ho porqdka usrednennoj xarakterystyky hladkosty Ωk pf t( , ) .
Tak, v sluçae polynomyal\noj approksymacyy 2 π -peryodyçeskyx funkcyj v
prostranstve L2 0 2([ , ])π v rabotax [15, 16] b¥ly poluçen¥ sootvetstvenno
sledugwye rezul\tat¥:
sup
( )
( , )
: ([ , ]),( ) /
n E f
f t n
f L f
r
n
k
r
r− ∈ ≡1 2
2
2 0 2
Ω
π cconst
=
= 2 1
2
−
−sin /t
t
k
, 0 < t ≤
π
2
, (1)
sup
( )
( , )
: (
/
( )/
n E f
f u du
f L
r
n
k
rt n
r
−
−
∫
∈
1 2
1 2
2
20
2
Ω
[[ , ]),0 2π f ≡
const =
= 2 1
0
1 2
k
kt
u
u
du−
∫
−
sin
/
, 0 < t ≤
π
2
, (2)
hde r ∈ +Z ; Lr
2 0 2([ , ])π { }([ , ]) ([ , ])L L2
0
20 2 0 2π π≡ — mnoΩestvo funkcyj f ∈
∈ L2 0 2([ , ])π , proyzvodn¥e ( )r − 1 -ho, r ∈N , porqdka kotor¥x absolgtno ne-
prer¥vn¥, a proyzvodn¥e r-ho porqdka prynadleΩat prostranstvu L2 0 2([ , ])π ;
E fn−1 2( ) — nayluçßee pryblyΩenye funkcyy f L∈ 2 0 2([ , ])π podprostranst-
vom tryhonometryçeskyx polynomov porqdka n – 1 v metryke prostranstva
L2 0 2([ , ])π . Otmetym, çto otnoßenye 0 0/ polahaem ravn¥m nulg.
3. Oboznaçym çerez Lr
2( )R , r ∈N , mnoΩestvo funkcyj f L∈ 2( )R , u ko-
tor¥x proyzvodn¥e ( )r − 1 -ho porqdka f r( )−1
lokal\no absolgtno neprer¥v-
n¥, a f Lr( ) ( )∈ 2 R . Otmetym, çto Lr
2( )R qvlqetsq banaxov¥m prostranstvom s
normoj f f r+ ( )
. Pry πtom polahaem L2
0 ( )R ≡ L2( )R . Podobno sluçag
2 π -peryodyçeskyx funkcyj, v [10] v kaçestve usrednennoj xarakterystyky
hladkosty proyzvol\noho πlementa f L∈ 2( )R b¥la rassmotrena velyçyna
Ωk f t( , ) df=
1
0
2
1
0
1 2
t
f dh dh
k
t
h
k
k
t
∫ ∫… …
∆
/
, t > 0.
Tam Ωe b¥lo pokazano, çto dlq proyzvol\n¥x çysel r ∈ +Z , 0 < σ < ∞ y 0 <
< t ≤ π / 2 ymeet mesto ravenstvo
sup
( )
( , )
: ( )( ) /
σ
σ
σ
r
k
r
rf
f t
f L
A
Ω
∈
2 R = 2 1
2
−
−sin /t
t
k
. (3)
Otmetym, çto pry r = 0 dlq v¥çyslenyq πkstremal\noj xarakterystyky (3)
rassmatryvagtsq funkcyy f L∈ 2( )R , kotor¥e ne πkvyvalentn¥ nulg. Oçe-
vydno, çto sootnoßenye (3) qvlqetsq svoeobrazn¥m rasprostranenyem rezul\ta-
ta (1) na sluçaj nayluçßeho pryblyΩenyq funkcyj f L∈ 2( )R πlementamy
podprostranstva Bσ,2 . Cel\g dannoj stat\y qvlqetsq prodolΩenye ukazannoj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1034 S. B. VAKARÇUK, V. H. DORONYN
tematyky, a ymenno rasprostranenye y obobwenye rezul\tata (2) na sluçaj ap-
proksymacyy cel¥my funkcyqmy koneçnoj stepeny ≤ σ na prqmoj. Dlq πtoho
v naßyx rassuΩdenyqx, v çastnosty, poluçyly dal\nejßee razvytye nekotor¥e
ydey, yzloΩenn¥e v rabotax [10, 11, 17].
4. Polahaem
θ ψσ, , , ( )r k h df= sup
( )
( , ) ( )
: ( )
( )
Aσ
ψ
2
2
0
2
f
f t t dt
f L
k
rh
r
Ω∫
∈
R
, (4)
hde toçnaq verxnqq hran\ pry r = 0 v¥çyslqetsq na tom Ωe mnoΩestve funk-
cyj, na kotorom v analohyçnom sluçae opredelqetsq πkstremal\naq xaraktery-
styka (3). Oboznaçym
Dt r k h, , , ( )ψ df= 2 12
0
k r
kh
t
t
t
d−
∫
sin
( )
τ
τ
ψ τ τ .
Odnym yz osnovn¥x rezul\tatov dannoj rabot¥ qvlqetsq sledugwaq teorema.
Teorema-1. Pust\ k ∈N , r ∈ +Z , σ ∈ ∞( , )0 , h ∈( , )/0 π σ y ψ — neko-
toraq neotrycatel\naq yzmerymaq summyruemaq na otrezke [ , ]0 h funkcyq,
toΩdestvenno ne ravnaq nulg. Tohda v¥polnqgtsq sledugwye neravenstva:
{ }, , , ( )D r k hσ ψ −1 ≤ θ ψσ, , , ( )r k h ≤ { }inf ( ), , ,σ
ψ
≤ < ∞
−
t
t r k hD 1 . (5)
Dokazatel\stvo. Ustanovym vnaçale ocenku sverxu velyçyn¥ θ ψσ, , , ( )r k h .
V rabote [10] b¥lo pokazano, çto dlq proyzvol\noj funkcyy f L∈ 2( )R spra-
vedlyvo sootnoßenye
Ωk
rf2( , )( ) τ = 2 11
0
2 2k r
k
f t t
t
t
dt+
∞
∫ −
F ( , )
sin τ
τ
, (6)
hde F ( )f — preobrazovanye Fur\e funkcyy f, τ > 0.
Yzvestno [4, 5], çto dlq proyzvol\noho πlementa f L∈ 2( )R suwestvuet
edynstvennaq celaq funkcyq Λσ σ
∗ ∈( ) ,f B 2 , kotoraq naymenee uklonqetsq ot f
v metryke prostranstva L2( )R y ymeet vyd
Λσ
∗ ( , )f t df=
1
2π
χ τ τ ττ
σe f dit ( ) ( , )F
− ∞
∞
∫ =
1
2π
τ ττ
σ
σ
e f dit F ( , )
−
∫ .
Zdes\ χσ — xarakterystyçeskaq funkcyq mnoΩestva ( , )− σ σ . Ysxodq yz
πtoho dlq funkcyy f L∈ 2( )R velyçyna ee nayluçßeho pryblyΩenyq πlemen-
tamy podprostranstva Bσ,2 v metryke prostranstva L2( )R ravna [4 – 6]
Aσ
2( )f = f f− ∗Λσ ( )
2
= F ( , )f t dt
t
2
≥
∫
σ
.
Poskol\ku vsledstvye vewestvennosty funkcyy f funkcyq F ( )f qvlqetsq
çetnoj, to
Aσ
2( )f = 2 2F ( , )f t dt
σ
∞
∫ . (7)
Tohda s uçetom (6), (7) ymeem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
NAYLUÇÍYE SREDNEKVADRATYÇESKYE PRYBLYÛENYQ … 1035
Aσ
2( )f = 2
2 1
2
2
0
F ( , )
sin
( )
, ,
f t
t
t
t
d
D
k r
kh
t r
−
∫
τ
τ
ψ τ τ
kk h
dt
, ( )ψσ
∞
∫ ≤
≤
2 11 2 2k r
k
f t t
t
t
dt+ ∞
−
∫ F ( , )
sin τ
τσ
∫
≤ < ∞
ψ τ τ
ψ
σ
( )
inf ( ), , ,
d
D
h
t
t r k h
0
≤
≤
Ωk
rh
t
t r k h
f d
D
2
0
( , ) ( )
inf ( )
( )
, , ,
τ ψ τ τ
ψ
σ
∫
≤ < ∞
.
Otsgda sleduet trebuemaq ocenka sverxu
θ ψσ, , , ( )r k h ≤ { }inf ( ), , ,σ
ψ
≤ < ∞
−
t
t r k hD 1 . (8)
Perejdem k ustanovlenyg ocenky snyzu πkstremal\noj xarakterystyky (4).
Dlq πtoho, podobno [10], rassmotrym celug funkcyg
q tε ( ) df=
2
π
σ ε σsin ( ) sint
t
t
t
+
−
πksponencyal\noho typa σ + ε, hde 0 < ε < σ π( )/t∗ − 1 . Zdes\ çerez t∗
obo-
znaçena toçka yz yntervala ( , )0 ∞ , v kotoroj çetnaq funkcyq x x−1 sin pry-
nymaet naymen\ßee znaçenye. Oçevydno, çto t∗
( , , )4 49 4 51< <∗t qvlqetsq
naymen\ßym poloΩytel\n¥m kornem uravnenyq x x− tg = 0 [15, 16]. Po-
skol\ku preobrazovanye Fur\e funkcyy γ a t( ) df= t at−1 sin , a > 0, ymeet vyd
F ( , )γ a t =
π π
2
1
2 2
0, ; , ; ,esly esly eslyt a t a t a< = >
,
dlq funkcyy
q tε ( ) =
2
π
γ γσ ε σ( )( ) ( )+ −t t
ymeem
F ( , )q tε =
1
1
2
0
, ,
,
,
esly
esly = + yly = ,
esly +
σ σ ε
σ ε σ
σ
< < +
>
t
t t
t εε σyly .t <
Poskol\ku q Lr
ε ∈ 2( )R , v sylu sootnoßenyq (7) poluçaem
Aσ ε
2( )q = 2 ε . (9)
S uçetom (6) dlq funkcyy qε zapyßem
Ωk
rq2( , )( )
ε τ = 2 11 2k r
k
t
t
t
dt+
+
−
∫
sin τ
τσ
σ ε
≤ 2 11 2k r
k
+ + −
+
+
ε σ ε
τ σ ε
τ σ ε
( )
sin ( )
( )
.
(10)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1036 S. B. VAKARÇUK, V. H. DORONYN
Yspol\zuq formul¥ (4), (9), (10) y opredelenye toçnoj verxnej hrany, naxodym
θ ψσ, , , ( )r k h ≥ sup
( )
( , ) ( )( / ) ( )0 1
2
2
0
< < −∗ε σ π
σ ε
ε τ ψ τ τt k
rh
q
q d
A
Ω∫∫
≥
1
D r k hσ ψ, , , ( )
. (11)
Sopostavlqq sootnoßenyq (8) y (11), poluçaem trebuem¥e neravenstva (5),
çto y zaverßaet dokazatel\stvo teorem¥�1.
5. Yz poluçennoj teorem¥ v¥tekagt takye sledstvyq.
Sledstvye-1. Pust\ 0 < h ≤ 3 4π σ/( ) y v¥polnen¥ vse ostal\n¥e tre-
bovanyq teorem¥�1. Tohda spravedlyvo ravenstvo
θ ψσ, , , ( )r k h = { }, , , ( )D r k hσ ψ −1 . (12)
Dokazatel\stvo. Uçyt¥vaq povedenye funkcyy γ1( )t = t t−1 sin (sm., na-
prymer, [18, c. 129, 132]), dlq proyzvol\n¥x x ≥ 1 y 0 < y ≤ 3 4π / ymeem
γ1( )y ≥ γ1( )xy . Poπtomu v¥polnqetsq neravenstvo
x xyν αγ1 1−( )( ) ≥ 1 1−( )γ α( )y , (13)
hde ν y α — proyzvol\n¥e poloΩytel\n¥e çysla. Pust\ y = σ τ , 0 < τ ≤ h;
x = t /σ , t ≥ σ, ν = 2r; α = k . Tohda yz (13) ymeem
t
t
t
r
k
2 1 −
sin τ
τ
≥ σ
στ
στ
2 1r
k
−
sin
. (14)
UmnoΩaq obe çasty neravenstva (14) na funkcyg 2k ψ τ( ) y yntehryruq po-
luçennoe sootnoßenye po τ v predelax ot 0 do h, poluçaem
Dt r k h, , , ( )ψ ≥ D r k hσ ψ, , , ( ) ∀ ∈ ∞t [ , )σ . (15)
S uçetom (15) yz (5) sleduet trebuemoe ravenstvo (12), çto zaverßaet dokaza-
tel\stvo sledstvyq�1.
Pust\ h = β σ/ , hde 0 < β < π, y ψ τ( ) = g ( )στ . Tohda
Dt r k h, , , ( )ψ = 2 12
0
k r
k
t
t
t
g d−
∫
sin
( )
/ τ
τ
στ τ
β σ
=
= 2 12 1
2
k r
r k
t t
t
gσ
σ
τ σ
τ σ
τ−
−
sin ( )
( )
/
/
ddτ
β
0
∫ , σ ≤ t < ∞ .
Sledovatel\no,
inf ( ), , ,σ
ψ
≤ < ∞t
t r k hD ≥ 2 2 1
1
k r
x
x r kG gσ β
−
≤ < ∞
inf ( ), , , ,
hde
G gx r k, , , ( )β df= x
x
x
g dr
k
2
0
1 −
∫
sin
( )
τ
τ
τ τ
β
.
Sledstvye-2. Pust\ k ∈N , r ∈ +Z , g — nekotoraq neotrycatel\naq
yzmerymaq summyruemaq na otrezke [ , ]0 β funkcyq, hde 0 < β < π . Tohda
v¥polnqgtsq neravenstva
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
NAYLUÇÍYE SREDNEKVADRATYÇESKYE PRYBLYÛENYQ … 1037
G gr k1
1
, , , ( )β{ }−
≤ inf
( )
( , ) ( )( ) ( ) /f L
k r
k
rr
f
f g d∈ 2
2 2 2
2
0
R
n σ
τ σ τ τ
σA
Ω
ββ
∫
≤ inf ( ), , ,
1
1
≤ < ∞
−{ }x
x r kG gβ .
Pry πtom esly funkcyq g takova, çto
inf ( ), , ,
1≤ < ∞x
x r kG gβ = G gr k1, , , ( )β ,
to spravedlyvo ravenstvo
sup
( )
( , ) ( )( ) ( ) /f L
k r
k
rr
f
f g d∈ 2
2 2 2
2
0
R
n σ
τ σ τ τ
σA
Ω
ββ
∫
= G gr k1
1
, , , ( )β{ }−
.
Pry r = 0 toçnaq verxnqq hran\ v¥çyslqetsq na tom Ωe mnoΩestve funkcyj,
na kotorom v analohyçnom sluçae opredelqetsq πkstremal\naq xarakterys-
tyka (3).
Sledstvye-3. Pust\ g t∗( )
df= t g tr2 1
1
− ( ) , r ∈N , — neotrycatel\naq yz-
merymaq summyruemaq na otrezke [ , ]0 β , 0 < β < π , funkcyq, g1 — nevoz-
rastagwaq na [ , ]0 β funkcyq. Tohda ymeet mesto ravenstvo
inf ( ), , ,
1≤ < ∞ ∗
x
x r kG gβ = G gr k1, , , ( )β ∗ (16)
y spravedlyva formula
sup
( )
( , )( ) ( ) /f L
k r
k
r rr
f
f g∈ −
2
2 2 2
2 2 1
1R
n σ
τ σ τ
σA
Ω (( )τ τ
β
d
0∫
= G gr k1
1
, , , ( )β ∗
−{ } . (17)
Dejstvytel\no, dostatoçno pokazat\ spravedlyvost\ ravenstva (16), po-
skol\ku tohda ravenstvo (17) budet srazu Ωe poluçeno yz vtoroj çasty sledst-
vyq�2. Polahaem
g t1
∗( ) df= g t t g t1 10( ), ; ( ),esly esly≤ ≤ ≤ < ∞{ }β β β .
Pry lgbom 1 ≤ x < ∞ poluçaem
G gx r k, , , ( )β ∗ = x
x
x
g dr
k
r2
0
2 1
11 −
∫ −sin
( )
τ
τ
τ τ τ
β
=
= 1
0
2 1
1−
∫ − ∗sin
( )/
τ
τ
τ τ τ
βx k
r g x d ≥ 1
0
2 1
1−
∫ − ∗sin
( )
τ
τ
τ τ τ
βx k
r g d ≥
≥ 1
0
2 1
1−
∫ −sin
( )
τ
τ
τ τ τ
β k
r g d = G gr k1, , , ( )β ∗ ,
t. e. formula (16) ymeet mesto.
6. Poskol\ku vse promeΩutoçn¥e proyzvodn¥e funkcyy f Lr∈ 2( )R takΩe
prynadleΩat prostranstvu L2( )R , opredelenn¥j ynteres predstavlqet v¥çy-
slenye πkstremal\n¥x xarakterystyk, soderΩawyx velyçyn¥ nayluçßyx pry-
blyΩenyj promeΩutoçn¥x proyzvodn¥x f r( )−ν , ν = … −1 1, , r , πlementamy
podprostranstva Bσ,2 v metryke L2( )R . Osnov¥vaqs\ na rezul\tatax pred¥-
duweho punkta, dokaΩem sledugwug teoremu.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1038 S. B. VAKARÇUK, V. H. DORONYN
Teorema-2. Pust\ r k, ∈N , σ ∈ ∞( , )0 , 0 < h ≤ 3 4π σ/( ) , ψ — nekoto-
raq neotrycatel\naq yzmerymaq summyruemaq na otrezke [ , ]0 h funkcyq,
toΩdestvenno ne ravnaq nulg. Tohda ymegt mesto ravenstva
sup
( )
( , ) ( )( )
( )
( )f L
r
k
rr
f
f d∈
−
2
2 2
2R
n σ
τ ψ τ τ
µ
σ
µA
Ω
00
h
∫
= 2 1
0
1
k
kh
d−
∫
−
sin
( )
στ
στ
ψ τ τ , (18)
hde µ = 0, 1, … , r.
Dokazatel\stvo. Pry µ = 0 yly µ = r sootnoßenye (18) moΩno
poluçyt\ neposredstvenno yz formul¥ (12). Poπtomu rassmotrym sluçaj
µ ∈( , )0 r ∩ N . Zapyßem
Aσ
µ2( )( )f r− = 2 2 1 2 2F F( , ) ( , )( / ) ( ) /f t t f t dtr r r− −
∞
∫ µ µ µ
σ
. (19)
Prymenqq k pravoj çasty ravenstva (19) neravenstvo Hel\dera, ymeem
Aσ
µ2( )( )f r− ≤ 2 22 2
1
2F F( , ) ( , )
/
f t t dt f t dtr
r
σ
µ
σ
∞ − ∞
∫
∫∫
µ/r
=
= A Aσ
µ
σ
µ2 1 2( / ) ( ) /( ) ( )− r r rf f . (20)
Poskol\ku v sylu (12) v¥polnqgtsq neravenstva
Aσ
2( )( )f r ≤ 2 1
0
1
2k
kh
kd−
∫
−
sin
( ) (
στ
στ
ψ τ τ Ω ff dr
h
( ), ) ( )τ ψ τ τ
0
∫ ,
Aσ
2( )f ≤ 2 12
0
1
k r
kh
dσ
στ
στ
ψ τ τ−
∫
−
sin
( ) Ωkk
r
h
f d2
0
( , ) ( )( ) τ ψ τ τ∫ ,
yspol\zuq neravenstvo (20), poluçaem ocenku sverxu
n σ
τ ψ τ τ
µ
σ
µ2 2
2
0
A ( )
( , ) ( )
( )
( )
f
f d
r
k
rh
−
∫ Ω
≤ 2 1
0
1
k
kh
d−
∫
−
sin
( )
στ
στ
ψ τ τ (21)
dlq proyzvol\noj funkcyy f L∈ 2( )R .
Dlq poluçenyq ocenky snyzu rassmotrym funkcyg q Lr
ε ∈ 2( )R , yspol\zo-
vannug pry dokazatel\stve teorem¥�1. Uçyt¥vaq, çto
Aσ ε
µ2( )( )q r− = 2 2 2F ( , ) ( )q t t dtr
ε
µ
σ
−
∞
∫ =
= 2 2t dtr( )−
+
∫ µ
σ
σ ε
≥ 2 2εσ µ( )r− ,
y yspol\zuq poluçennoe na osnovanyy (10) neravenstvo
Ωk
r
h
q d2
0
( , ) ( )( )
ε τ ψ τ τ∫ ≤ 2 11 2
0
k r
kh
d+ + −
+
+
∫ε σ ε
τ σ ε
τ σ ε
τ( )
sin ( )
( )
,
ymeem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
NAYLUÇÍYE SREDNEKVADRATYÇESKYE PRYBLYÛENYQ … 1039
sup
( )
( , ) ( )( )
( )
( )f L
r
k
rr
f
f d∈
−
2
2 2
2R
n σ
τ ψ τ τ
µ
σ
µA
Ω
00
h
∫
≥
≥ sup
( )
( , )( / )
( )
( )0 1
2 2
2< < −
−
∗ε σ π
µ
σ
µ
ε
σ
τt
r
k
r
f
q
n A
Ω ψψ τ τ( )d
h
0∫
≥ 2 1
0
1
k
kh
d−
∫
−
sin
( )
στ
στ
ψ τ τ . (22)
Yz sootnoßenyj (21), (22) poluçaem (18).
Teorema�2 dokazana.
7. Sleduet osobo otmetyt\, çto podprostranstvo Bσ,2 do nedavneho vreme-
ny b¥lo yzolyrovann¥m y v nekotorom sm¥sle unykal\n¥m apparatom prybly-
Ωenyq v prostranstve L2( )R . Vvedenye H. H. Maharyl-Yl\qev¥m [19] oprede-
lenyq srednej razmernosty, qvyvßehosq opredelennoj modyfykacyej sootvet-
stvugweho ponqtyq, dannoho ranee V. M. Tyxomyrov¥m, pozvolylo opredelyt\
asymptotyçeskug strukturu podprostranstv, podobnug popereçnykam, kohda
srednqq razmernost\ yhraet rol\ razmernosty. V rezul\tate πtoho okazalos\
vozmoΩn¥m sravnyvat\ approksymatyvn¥e svojstva podprostranstva Bσ,2 s ana-
lohyçn¥my xarakterystykamy druhyx podprostranstv yz L2( )R toj Ωe sred-
nej razmernosty y reßat\ πkstremal\n¥e zadaçy teoryy pryblyΩenyq, ymeg-
wye optymyzacyonnoe soderΩanye.
Pryvedem rqd neobxodym¥x ponqtyj yz rabot [19, 21, 22]. Pust\ B RL2( ) —
edynyçn¥j ßar v L2( )R ; Lin( ( ))L2 R — sovokupnost\ vsex lynejn¥x podpro-
stranstv v L2( )R ;
Lin n L( ( ))2 R = L L∈ ≤{ }Lin( ( )) : dimL n2 R , n ∈ +Z ;
E A C L( , , ( ))2 R = sup inf : :x y y A x C− ∈{ } ∈{ }
— nayluçßee pryblyΩenye mnoΩestva C L⊂ 2( )R mnoΩestvom A L⊂ 2( )R .
Pod AT , 0 < T < ∞ , ponymaem mnoΩestvo suΩenn¥x na otrezok [ , ]−T T
funkcyj yz A L⊂ 2( )R , a çerez LinC L( ( ))2 R oboznaçym sovokupnost\ takyx
podprostranstv L ∈Lin( ( ))L2 R , dlq kotor¥x mnoΩestvo ( ( ))L ∩ B RL T2 pred-
kompaktno v L T T2([ , ])− pry lgbom 0 < T < ∞.
Esly L ∈LinC L( ( ))2 R y 0 < T , ε < ∞ , to suwestvugt takye n ∈ +Z y
M ∈ −Lin n L T T( ([ , ]))2 , dlq kotor¥x
E L L T TT(( )( )) , , ([ , ])L M∩ B R2 2 − < ε .
Pust\
D Lε ( , , ( ))T L2 R = min : ( ([ , ]))n L T Tn∈ ∃ ∈ −{ +Z M Lin 2 ,
E L L T TT(( )( )) , , ([ , ])L M∩ B R2 2 − < }ε .
∏ta velyçyna ne ub¥vaet po T y ne vozrastaet po ε [22].
Velyçynu
dim ( , ( ))L L2 R = lim lim inf
( , , ( ))
ε
ε
→ → ∞0
2
2T
T L
T
D L R
,
hde L ∈LinC L( ( ))2 R , naz¥vagt srednej razmernost\g podprostranstva L v
L2( )R . V rabotax [19, 21, 22] otmeçalos\, çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1040 S. B. VAKARÇUK, V. H. DORONYN
dim ( ; ( )),B Lσ 2 2 R =
σ
π
. (23)
Pust\ Q — central\no-symmetryçnoe podmnoΩestvo yz L2( )R y 0 < ν <
< ∞ — proyzvol\noe çyslo. Tohda pod srednym ν-popereçnykom po Kolmoho-
rovu mnoΩestva Q v L2( )R ponymaem velyçynu
d Q Lν( ), ( )2 R = inf sup inf : : :f f Q− ∈{ } ∈{ }{ ϕ ϕ L
L L∈ ≤ }LinC L L( ( )), dim ( , ( ))2 2R R ν .
Podprostranstvo, na kotorom dostyhaetsq vneßnqq toçnaq nyΩnqq hran\, na-
z¥vaetsq πkstremal\n¥m.
Srednym lynejn¥m ν-popereçnykom mnoΩestva Q v L2( )R naz¥vagt ve-
lyçynu
δν( ), ( )Q L2 R = inf sup : : ( , )f f f Q X− ∈{ }{ }Λ Λ ,
v kotoroj toçnaq nyΩnqq hran\ beretsq po vsem param ( , )X Λ takym, çto X
est\ normyrovannoe prostranstvo, neprer¥vno vloΩennoe v L2( )R ; Q X⊂ ;
Λ : ( )X L→ 2 R — neprer¥vn¥j lynejn¥j operator, dlq kotoroho Im Λ ∈
∈ Lin C L( ( ))2 R y dim (Im , ( ))Λ L2 R ≤ ν . Napomnym, çto podprostranstvo vyda
Λ f, f X∈ , qvlqgweesq obrazom operatora Λ , oboznaçaetsq symvolom Im Λ
(sm., naprymer, [23]). Paru ( , )X∗ ∗Λ , na kotoroj dostyhaetsq toçnaq nyΩnqq
hran\, naz¥vagt πkstremal\noj.
Velyçynu
b Q Lν( ), ( )2 R = sup sup : ( ) :ρ ρ> ⊂{ }{ 0 2L ∩ B RL Q
L L L∈ >LinC L L d L L( ( )), dim ( , ( )) , ( ),(2 2 2 2R R B Rν ν ∩ (( ))R = }1
naz¥vagt srednym ν -popereçnykom po Bernßtejnu mnoΩestva Q v L2( )R .
Poslednee uslovye, nalahaemoe na podprostranstvo L pry v¥çyslenyy toçnoj
verxnej hrany, oznaçaet, çto rassmatryvagtsq tol\ko te podprostranstva, dlq
kotor¥x spravedlyv analoh teorem¥ V. M. Tyxomyrova o popereçnyke ßara.
∏tomu trebovanyg udovletvorqet, naprymer, podprostranstvo Bσ,2 , esly
σ νπ> [21].
MeΩdu pereçyslenn¥my πkstremal\n¥my xarakterystykamy mnoΩestva Q
v¥polnqgtsq neravenstva
b Q Lν( ), ( )2 R ≤ d Q Lν( ), ( )2 R ≤ δν( ), ( )Q L2 R . (24)
Toçn¥e znaçenyq, toçn¥e porqdkov¥e ocenky lybo asymptotyçesky toçn¥e
znaçenyq srednyx popereçnykov nekotor¥x klassov funkcyj v raznoe vremq
b¥ly v¥çyslen¥, naprymer, v rabotax [19, 21, 22, 24, 10].
8. Pust\ Φ( )t , t ≥ 0 , — proyzvol\naq neprer¥vnaq vozrastagwaq funkcyq
takaq, çto Φ( )0 0= . Çerez W r ( , )Ω Φ1 , r ∈N , oboznaçym klass funkcyj
f Lr∈ 2( )R , proyzvodn¥e r-ho porqdka kotor¥x f r( )
udovletvorqgt uslovyg
Ω1
2
0
( )( ),f dr
t
τ τ∫ ≤ Φ2( )t , 0 < t < ∞ .
Oçevydno, çto klass funkcyj W r ( , )Ω Φ1 prynadleΩyt prostranstvu Lr
2( )R .
Oboznaçym
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
NAYLUÇÍYE SREDNEKVADRATYÇESKYE PRYBLYÛENYQ … 1041
Aσ ( )( , )W r Ω Φ1 df= sup ( ) : ( , )Aσ f f W r∈{ }Ω Φ1 ,
1 −
∗
sin t
t
df= 1 0 1− < ≤ − ≥
∗
∗
∗
∗sin
, ;
sin
,
t
t
t t
t
t
t tesly esly
,
hde znaçenye toçky t ∗ opredeleno v xode dokazatel\stva teorem¥�1.
Dlq par¥ ( ( ), )Lr
2 R Λ , hde Λ : ( ) ( )L Lr
2 2R R→ — neprer¥vn¥j lynejn¥j
operator, dlq kotoroho Im ( ( ))Λ ∈LinC L2 R , dim (Im , ( ))Λ L2 R ≤ ν , polahaem
Eν( )( , ); ( ( ), )W Lr rΩ Φ Λ1 2 R df= sup : ( , )f f f W r− ∈{ }Λ Ω Φ1 .
Ymeet mesto sledugwaq teorema.
Teorema-3. Pust\ dlq lgboho σ νπ> , hde ν — proyzvol\noe poloΩytel\-
noe çyslo, maΩoryrugwaq funkcyq Φ udovletvorqet ohranyçenyg
Φ
Φ
2
2 2
( )
( )( / )
t
π σ
≥
( sin )
/ ( / )
1
2 2
1
0
−
−
−
∗∫ τ τ τ
π π
σ
d
Si
t
, 0 < t < ∞ . (25)
Zdes\ Si t( ) = τ τ τ−∫ 1
0
sin d
t
— yntehral\n¥j synus. Tohda spravedlyv¥ raven-
stva
b W Lr
ν( )( , ); ( )Ω Φ1 2 R = d W Lr
ν( )( , ); ( )Ω Φ1 2 R = δν( )( , ); ( )W Lr Ω Φ1 2 R =
= Aνπ( )( , )W r Ω Φ1 = Eν νπ( )( , ); ( ( ), )W Lr rΩ Φ Λ1 2 R ∗ =
=
ν
π π π ν
1 2
1 21 2 2
1
2
/
/( ( / )/ )
−
−
r
r Si
Φ . (26)
Pry πtom para ( ( ), )Lr
2 R Λνπ
∗ , hde Λνπ
∗
opredelqetsq yz uslovyq
F ( ),Λνπ
∗ ⋅f = χνπ ( ) ( , )⋅ ⋅F f
( F — preobrazovanye Fur\e v L2( )R , χνπ — xarakterystyçeskaq funkcyq
mnoΩestva ( , )− νπ νπ ) , budet πkstremal\noj dlq lynejnoho ν-popereçnyka
δν( )( , ); ( )W Lr Ω Φ1 2 R , a podprostranstvo Bνπ, 2 qvlqetsq πkstremal\n¥m
dlq sredneho ν-popereçnyka po Kolmohorovu d W Lr
ν( )( , ); ( )Ω Φ1 2 R . Mno-
Ωestvo maΩorant, udovletvorqgwyx ohranyçenyg (25), ne pusto.
Dokazatel\stvo. Polahaq v formule (18) ψ ≡ 1, k = 1, µ = r , r ∈N ,
h = π σ/( )2 , dlq lgboj funkcyy f Lr∈ 2( )R poluçaem
Aσ
2 ( )f ≤
1
2 12
0
2 1
σ
στ
στ
τ
π σ
r
d−
∫
−
sin
/( )
Ω11
2
0
2
( )( )
/( )
,f t dtr
π σ
∫ . (27)
Yz [21] sleduet, çto srednqq razmernost\ prostranstva Bνπ,2
dim ; ( )( ),B Lνπ 2 2 R = ν .
Tohda yz (27), hde σ = ν π , s uçetom opredelenyq klassa W r ( , )Ω Φ1 ymeem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1042 S. B. VAKARÇUK, V. H. DORONYN
Eν νπ( )( , ); ( ( ), )W Lr rΩ Φ Λ1 2 R ∗ = Aνπ( )( , )W r Ω Φ1 ≤
≤
ν
π π π ν
1 2
1 21 2 2
1
2
/
/( ( / )/ )
−
−
r
r Si
Φ . (28)
Yz opredelenyj srednyx ν-popereçnykov, pryvedenn¥x v p.�7, neravenstv (24) y
sootnoßenyq (28) sledugt ocenky sverxu
Π Ω Φν( )( , ); ( )W Lr
1 2 R ≤
ν
π π π ν
1 2
1 21 2 2
1
2
/
/( ( / )/ )
−
−
r
r Si
Φ , (29)
hde Πν( )⋅ — lgboj yz rassmotrenn¥x v¥ße srednyx ν-popereçnykov.
Ustanovym ocenky snyzu rassmatryvaem¥x πkstremal\n¥x xarakterystyk,
yspol\zovav formulu (24) y ocenyv snyzu velyçynu b W Lr
ν( )( , ); ( )Ω Φ1 2 R . Dlq
πtoho, poloΩyv σ̂ df= νπ ε( )1 + , hde ε — proyzvol\noe poloΩytel\noe çyslo,
rassmotrym ßar
Bˆ ( ( ))σ ρ ε∗ df= B Lˆ , ( ) ( )σ ρ ε2 2∩ ∗ B R = g B gˆ ˆ , ˆ: ( )σ σ σ ρ ε∈ ≤{ }∗2
radyusa
ρ ε∗( ) df=
( ˆ )
ˆ
/
/( ( / ))
σ
π π
π
σ
1 2
1 22 2 2
−
−
r
Si
Φ .
V sylu (23) y rezul\tatov [21] ymeem
d B L Lν σ( )ˆ , ( ), ( )2 2 2∩ B R R = 1.
Rassmotrym proyzvol\n¥j πlement g ˆ ˆ ( ( ))σ σ ρ ε∈ ∗B . V sylu (6) poluçaem
Ω1
2( )ˆ
( ),g r
σ τ = 4 12 2
0
F ( , )
sin
ˆ
ˆ
g t t
t
t
dtr
σ
σ τ
τ
−
∫ ≤ 2 1 2 2−
∗
sin ˆ
ˆ
( ˆ ) ˆ
στ
στ
σ σ
r g .
Otsgda s uçetom uslovyq (25) dlq lgboho t ∈ ∞( , )0 ymeem
Ω1
2
0
( )ˆ
( ),g dr
t
σ τ τ∫ ≤ 2 12 2
0
( ˆ )
sin ˆ
ˆˆσ
στ
στ
τσ
r
t
g d−
∗
∫ ≤
≤
( sin )
ˆ
ˆ
/ ( / )
1
2 2 2
1
0 2
−
−
−
∗∫ τ τ τ
π π
π
σ
σ
d
Si
t
Φ ≤ Φ2( )t .
Sledovatel\no, spravedlyvo vklgçenye Bˆ ( ( ))σ ρ ε∗ ⊂ W r ( , )Ω Φ1 , hde ε > 0
— lgboe koneçnoe çyslo. Vospol\zovavßys\ opredelenyem sredneho ν-pope-
reçnyka po Bernßtejnu, zapyßem
b W Lr
ν( )( , ); ( )Ω Φ1 2 R ≥ b Lν σ ρ ε( )ˆ ( ( )); ( )B ∗ 2 R ≥ ρ ε∗( ) . (30)
Yz (30) ymeem
b W Lr
ν( )( , ); ( )Ω Φ1 2 R ≥ sup ( ) :{ }ρ ε ε∗ > 0 =
ν
π π π ν
1 2
1 21 2 2
1
2
/
/( ( / )/ )
−
−
r
r Si
Φ .
(31)
Sopostavlqq sootnoßenyq (24), (28) y (31), poluçaem trebuem¥e ravenstva (26).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
NAYLUÇÍYE SREDNEKVADRATYÇESKYE PRYBLYÛENYQ … 1043
V zaklgçenye otmetym, çto, kak sleduet yz rezul\tatov rabot¥ [16], funkcyq
Φ∗( )t df= tβ/2 , hde
β df=
π
π π
−
−
2
2 2Si( / )
,
udovletvorqet uslovyg (25) pry lgbom σ > ν π .
Teorema��3��dokazana.
1. Tyman A. F. Teoryq pryblyΩenyq funkcyj dejstvytel\noho peremennoho. – M.: Fyzmat-
hyz, 1960. – 624 s.
2. Axyezer N. Y. Lekcyy po teoryy approksymacyy. – M.: Nauka, 1965. – 408 s.
3. Ybrahymov Y. Y. Teoryq pryblyΩenyq cel¥my funkcyqmy. – Baku: ∏lm, 1979. – 468 s.
4. Ybrahymov Y. Y., Nasybov F. H. Ob ocenke nayluçßeho pryblyΩenyq summyruemoj
funkcyy na vewestvennoj osy posredstvom cel¥x funkcyj koneçnoj stepeny // Dokl.
AN�SSSR. – 1970. – 194, # 5. – S.�1013 – 1016.
5. Nasybov F. H. O pryblyΩenyy v L2 cel¥my funkcyqmy // Dokl. AN AzSSR. – 1986. – 42,
# 4. – S.�3 – 6.
6. Popov V. G. O nayluçßyx srednekvadratyçeskyx pryblyΩenyqx cel¥my funkcyqmy πks-
ponencyal\noho typa // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1972. – # 6. – S.�65 – 73.
7. Dzqdyk V. K. Pro toçni verxni hrani najkrawyx nablyΩen\ na deqkyx klasax neperervnyx
funkcij, vyznaçenyx na dijsnij osi // Dop. AN URSR. Ser.�A. – 1975. – # 7. – S.�589 – 592.
8. Hromov A. G. O toçn¥x konstantax pryblyΩenyq cel¥my funkcyqmy dyfferencyruem¥x
funkcyj // Yssledovanyq po sovrem. probl. summyrovanyq y pryblyΩenyq funkcyj y yx
pryl. – 1976. – V¥p.�7. – S.�17 – 21.
9. Nykol\skyj S. M. PryblyΩenye funkcyj mnohyx peremenn¥x y teorem¥ vloΩenyq. – M.:
Nauka, 1969. – 480 s.
10. Vakarchuk S. B. Exact constant in an inequality of Jackson type for L2-approximation on the line
and exact values of mean widths of functional classes // East J. Approxim. – 2004. – 10, # 1-2. –
P. 27 – 39.
11. Doronyn V. H., Lyhun A. A. O toçn¥x neravenstvax typa DΩeksona dlq cel¥x funkcyj v L2
// Visn. Dnipropetr. un-tu. Ser.�mat. – 2007. – # 8. – S.�89 – 93.
12. Vakarçuk S. B., Vakarçuk M. B. O nayluçßem srednekvadratyçeskom pryblyΩenyy cel¥my
funkcyqmy koneçnoj stepeny na prqmoj // Tam Ωe. – 2009. – 17, # 6/1. – S.�36 – 41.
13. Runovskyj K. V. O pryblyΩenyy semejstvamy lynejn¥x polynomyal\n¥x operatorov v
prostranstve Lp , 0 < p < 1 // Mat. sb. – 1994. – 185, # 8. – S.�81 – 102.
14. StoroΩenko ∏. A., Krotov V. H., Osval\d P. Prqm¥e y obratn¥e teorem¥ typa DΩeksona v
prostranstve Lp , 0 < p < 1 // Tam Ωe. – 1975. – 98, # 3. – S.�395 – 415.
15. Vakarçuk S. B. Toçn¥e konstant¥ v neravenstvax typa DΩeksona y toçn¥e znaçenyq
popereçnykov funkcyonal\n¥x klassov yz L 2 // Mat. zametky. – 2005. – 78 , # 5. –
S.�792 – 796.
16. Vakarchuk S. B., Zabutna V. I. Widths of functional classes from L2 and exact constants in
Jackson type inequalities // East J. Approxim. – 2008. – 14, # 4. – P. 411 – 421.
17. Lyhun A. A. Nekotor¥e neravenstva meΩdu nayluçßymy pryblyΩenyqmy y modulqmy ne-
prer¥vnosty v prostranstve L2 // Mat. zametky. – 1978. – 24, # 6. – S.�785 – 792.
18. R¥basenko V. D., R¥basenko Y. D. ∏lementarn¥e funkcyy. Formul¥, tablyc¥, hrafyky. –
M.: Nauka, 1987. – 416 s.
19. Maharyl-Yl\qev H. H. ϕ -Srednye popereçnyky klassov funkcyj na prqmoj // Uspexy mat.
nauk. – 1990. – 45, # 2. – S.�211 – 212.
20. Tyxomyrov V. M. Ob approksymatyvn¥x xarakterystykax hladkyx funkcyj mnohyx
peremenn¥x // Teoryq kubaturn¥x formul y v¥çyslytel\naq matematyka / Tr. konf. po
dyfferenc. uravnenyqm y v¥çyslyt. matematyke (Novosybyrsk, 1978). – Novosybyrsk, 1980.
– S.�183 – 188.
21. Maharyl-Yl\qev H. H. Srednqq razmernost\, popereçnyky y optymal\noe vosstanovlenye
sobolevskyx klassov funkcyj na prqmoj // Mat. sb. – 1991. – 182, # 11. – S.�1635 – 1656.
22. Maharyl-Yl\qev H. H. Srednqq razmernost\ y popereçnyky klassov funkcyj na prqmoj //
Dokl. AN SSSR. – 1991. – 318, # 1. – S.�35 – 38.
23. Hlazman Y. M., Lgbyç G. Y. Koneçnomern¥j lynejn¥j analyz. – M.: Nauka, 1968. – 476�s.
24. Vakarçuk S. B. O syl\noj asymptotyke srednyx N-popereçnykov klassov funkcyj, analy-
tyçeskyx na vewestvennoj prqmoj // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1996. – # 1. – S.�1 – 4.
Poluçeno 28.01.10
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
|
| id | umjimathkievua-article-2935 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:33:05Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e7/5175d40ee073da44ee31ef596370bde7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29352020-03-18T19:40:46Z Best mean square approximations by entire functions of finite degree on a straight line and exact values of mean widths of functional classes Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов Vakarchuk, S. B. Doronin, V. G. Вакарчук, С. Б. Доронин, В. Г. Вакарчук, С. Б. Доронин, В. Г. We obtain exact Jackson-type inequalities in the case of the best mean square approximation by entire functions of finite degree $≤ σ$ on a straight line. For classes of functions defined via majorants of averaged smoothness characteristics $Ω_1(f, t ),\; t > 0$, we determine the exact values of the Kolmogorov mean ν-width, linear mean ν-width, and Bernstein mean $ν$-width, $ν > 0$. Одержано точні нерівності типу Джексона у випадку найкращого середпьоквадратичного наближення цілими функціями скінченного степеня $≤ σ$ на прямій. Для класів функцій, означених за допомогою мажорант усереднених характерис тик гладкості $Ω_1(f, t ),\; t > 0$, знайдено точні значення колмогоровського, лінійного та бернштейнівського середніх $ν$-поперечпиків, $ν > 0$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2935 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 8 (2010); 1032–1043 Український математичний журнал; Том 62 № 8 (2010); 1032–1043 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2935/2620 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2935/2621 Copyright (c) 2010 Vakarchuk S. B.; Doronin V. G. |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Doronin, V. G. Вакарчук, С. Б. Доронин, В. Г. Вакарчук, С. Б. Доронин, В. Г. Best mean square approximations by entire functions of finite degree on a straight line and exact values of mean widths of functional classes |
| title | Best mean square approximations by entire functions of finite degree on a straight line and exact values of mean widths of functional classes |
| title_alt | Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов |
| title_full | Best mean square approximations by entire functions of finite degree on a straight line and exact values of mean widths of functional classes |
| title_fullStr | Best mean square approximations by entire functions of finite degree on a straight line and exact values of mean widths of functional classes |
| title_full_unstemmed | Best mean square approximations by entire functions of finite degree on a straight line and exact values of mean widths of functional classes |
| title_short | Best mean square approximations by entire functions of finite degree on a straight line and exact values of mean widths of functional classes |
| title_sort | best mean square approximations by entire functions of finite degree on a straight line and exact values of mean widths of functional classes |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2935 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb bestmeansquareapproximationsbyentirefunctionsoffinitedegreeonastraightlineandexactvaluesofmeanwidthsoffunctionalclasses AT doroninvg bestmeansquareapproximationsbyentirefunctionsoffinitedegreeonastraightlineandexactvaluesofmeanwidthsoffunctionalclasses AT vakarčuksb bestmeansquareapproximationsbyentirefunctionsoffinitedegreeonastraightlineandexactvaluesofmeanwidthsoffunctionalclasses AT doroninvg bestmeansquareapproximationsbyentirefunctionsoffinitedegreeonastraightlineandexactvaluesofmeanwidthsoffunctionalclasses AT vakarčuksb bestmeansquareapproximationsbyentirefunctionsoffinitedegreeonastraightlineandexactvaluesofmeanwidthsoffunctionalclasses AT doroninvg bestmeansquareapproximationsbyentirefunctionsoffinitedegreeonastraightlineandexactvaluesofmeanwidthsoffunctionalclasses AT vakarchuksb nailučšiesrednekvadratičeskiepribliženiâcelymifunkciâmikonečnojstepeninaprâmojitočnyeznačeniâsrednihpoperečnikovfunkcionalʹnyhklassov AT doroninvg nailučšiesrednekvadratičeskiepribliženiâcelymifunkciâmikonečnojstepeninaprâmojitočnyeznačeniâsrednihpoperečnikovfunkcionalʹnyhklassov AT vakarčuksb nailučšiesrednekvadratičeskiepribliženiâcelymifunkciâmikonečnojstepeninaprâmojitočnyeznačeniâsrednihpoperečnikovfunkcionalʹnyhklassov AT doroninvg nailučšiesrednekvadratičeskiepribliženiâcelymifunkciâmikonečnojstepeninaprâmojitočnyeznačeniâsrednihpoperečnikovfunkcionalʹnyhklassov AT vakarčuksb nailučšiesrednekvadratičeskiepribliženiâcelymifunkciâmikonečnojstepeninaprâmojitočnyeznačeniâsrednihpoperečnikovfunkcionalʹnyhklassov AT doroninvg nailučšiesrednekvadratičeskiepribliženiâcelymifunkciâmikonečnojstepeninaprâmojitočnyeznačeniâsrednihpoperečnikovfunkcionalʹnyhklassov |