Regular orthoscalar representations of the extended Dynkin graph $\widetilde{E}_8$ and ∗-algebra associatedwith it
We obtain a classification of regular orthoscalar representations of the extended Dynkin graph $\widetilde{E}_8$ with special character. Using this classification, we describe triples of self-adjoint operators A, B, and C such that their spectra are contained in the sets $\{0,1,2,3,4,5\}, \{0,2,4\}$...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2936 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508938100801536 |
|---|---|
| author | Kruhlyak, S. A. Livins'kyi, I. V. Кругляк, С. А. Лівінський, І. В. |
| author_facet | Kruhlyak, S. A. Livins'kyi, I. V. Кругляк, С. А. Лівінський, І. В. |
| author_sort | Kruhlyak, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:46Z |
| description | We obtain a classification of regular orthoscalar representations of the extended Dynkin graph $\widetilde{E}_8$ with special character. Using this classification, we describe triples of self-adjoint operators A, B, and C such that their spectra are contained in the sets $\{0,1,2,3,4,5\}, \{0,2,4\}$, and $\{0,3\}$, respectively, and the equality $A + B + C = 6I$ is true. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:33:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 513.88
С. А. Кругляк (Iн-т математики НАН України, Київ),
I. В. Лiвiнський (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ
РОЗШИРЕНОГО ГРАФА ДИНКIНА Ẽ8 ТА ∗-АЛГЕБРИ,
АСОЦIЙОВАНОЇ З НИМ
We obtain the classification of regular orthoscalar representations of the extended Dynkin graph Ẽ8 with a
special character. By using this classification, we describe triples of self-adjoint operators A, B, C such
that their spectra are contained in the sets {0, 1, 2, 3, 4, 5}, {0, 2, 4}, and {0, 3}, correspondingly, and the
equality A+B + C = 6I is satisfied.
Получена классификация регулярных ортоскалярных представлений расширенного графа Дынкина Ẽ8
со специальным характером. С ее помощью описаны тройки самосопряженных операторов A, B, C,
спектры которых содержатся в множествах {0, 1, 2, 3, 4, 5}, {0, 2, 4} и {0, 3} соответственно и для
которых A+B + C = 6I .
1. Вступ. Багато задач функцiонального аналiзу можуть формулюватись i розв’язу-
ватись на мовi теорiї зображень ∗ -колчанiв i ∗ -алгебр. Зображення в гiльбертових
просторах ∗ -алгебр з самоспряженими твiрними, сума яких кратна одиницi, а спек-
три твiрних фiксованi, вивчались у багатьох роботах (див., наприклад, [1 – 3]). Їм
природним чином вiдповiдають ортоскалярнi зображення деяких ∗ -колчанiв (або
графiв), якi вивчалися в [4 – 7].
Набори операторiв зi спецiальними фiксованими спектрами i сумою, рiвною
одиничному оператору, що пов’язанi з розширеними графами Динкiна D̃4, Ẽ6 та
Ẽ7 вивчено в [1, 8, 9]. Деякi результати про зображення алгебр, пов’язаних з Ẽ8,
див. у [10].
Цю роботу присвячено класифiкацiї (з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi)
нерозкладних ∗ -зображень алгебри A(δẼ8
) :
A(δẼ8
) = C
〈
a, b, c|a = a∗, b = b∗, c = c∗,
a(a− e)(a− 2e)(a− 3e)(a− 4e)(a− 5e) = 0,
b(b− 2e)(b− 4e) = 0, c(c− 3e) = 0, a+ b+ c = 6e
〉
i вiдповiдних нерозкладних ортоскалярних зображень графа Динкiна Ẽ8.
2. Означення та допомiжнi факти. Нагадаємо деякi означення i факти про
ортоскалярнi зображення колчанiв [4 – 6]. Колчан Q з множиною вершин Qv i
множиною стрiлок Qa називається роздiленим, якщо Qv =
◦
Q t
•
Q i для будь-якої
α ∈ Qa її початок tα належить
◦
Q, а кiнець hα —
•
Q. Колчан Q однократний,
якщо при α 6= β або tα 6= tβ , або hα 6= hβ . Вершини з
◦
Q будемо називати
парними, а з
•
Q — непарними. Будемо у подальшому вважати колчан Q роздiленим
i однократним.
Нехай m =
∣∣ •Q∣∣, n =
∣∣ ◦Q∣∣, •Q = {i1, i2, . . . , im},
◦
Q = {j1, j2, . . . , jn}. Зоб-
раження T колчана Q над C ставить у вiдповiднiсть вершинi i ∈ Qv сепа-
c© С. А. КРУГЛЯК, I. В. ЛIВIНСЬКИЙ, 2010
1044 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗШИРЕНОГО ГРАФА ДИНКIНА . . . 1045
рабельний гiльбертовий простiр T (i), а стрiлцi α : j → i, α ∈ Qa, обмежене
лiнiйне вiдображення Tij : T (j) → T (i). Зображення можна асоцiювати з матри-
цею T = [Til,jk ]k=1,n
l=1,m
, при цьому будемо вважати, що Til,jk = 0, якщо не iснує
α ∈ Qa такої, що tα = jk, hα = il.
Нехай RepQ — категорiя зображень колчана Q над C, об’єктами якої є зобра-
ження T, а морфiзм зображення T в зображення T̃ означається як сiм’я лiнiйних
вiдображень C = {Ci}i∈Qv , Ci : T (i) → T̃ (i) таких, що для кожної α ∈ Qa з
tα = j i hα = i дiаграма
T (j)
T (α)−−−−→ T (i)
Cj
y yCi
T̃ (j)
T̃ (α)−−−−→ T̃ (i)
(1)
комутативна, тобто CiTij = T̃ijCj .
Якщо зображення T, T̃ заданi матрицями T = [Til,jk ], T̃ = [T̃il,jk ] i X =
= diag{Ci1 , Ci2 , . . . , Cim}, Y = diag{Cj1 , Cj2 , . . . , Cjn}, то з комутативностi дiа-
грам (1) випливає, що
XT = T̃ Y. (2)
Будемо у подальшому користуватись також позначенням C = (X,Y ).
Нехай H — категорiя гiльбертових просторiв. Позначимо через Rep(Q,H) пiд-
категорiю в RepQ, об’єктами якої є зображення T, а морфiзмами C : T → T̃ — тi
з морфiзмiв в RepQ, для яких крiм (1) комутативною є i дiаграма
T (j)
T (α)∗←−−−− T (i)
Cj
y yCi
T̃ (j)
T̃ (α)∗←−−−− T̃ (i)
, (3)
тобто виконуються рiвностi
XT = T̃ Y, Y T ∗ = T̃ ∗X. (4)
Зображення T, T̃ з RepQ (вiдповiдно, з Rep(Q,H)) еквiвалентнi в RepQ (вiд-
повiдно, в Rep(Q,H)) , якщо знайдеться оборотний морфiзм C : T → T̃ . Можна
довести, що T i T̃ еквiвалентнi в Rep(Q,H) тодi i лише тодi, коли вони унiтар-
но еквiвалентнi, тобто оборотний морфiзм можна вибрати складеним з унiтарних
операторiв Ci.
Оскiльки в означеннi категорiї Rep(Q,H) рiвноправно задiянi як лiнiйнi вiдо-
браження T (α), що вiдповiдають стрiлкам колчана Q, так i спряженi їм вiдобра-
ження T (α)∗, часто у подальшому будемо говорити про зображення графа G, що
вiдповiдає колчану Q : ребру графа вiдповiдає пара взаємно спряжених лiнiйних
вiдображень.
Нехай
−→
Ti = [Ti,j1 , Ti,j2 , . . . , Ti,jn ], а T ↓j — стовпець, складений iз лiнiйних
вiдображень Ti1,j , Ti2,j , . . . , Tim,j . Зображення з Rep(Q,H) називається ортоска-
лярним, якщо кожнiй i ∈ Qv поставлено у вiдповiднiсть дiйсне невiд’ємне число
χi i виконуються наступнi умови:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1046 С. А. КРУГЛЯК, I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
−→
Ti ·
−→
Ti
∗ = χiIi, i ∈
•
Q, T ↓∗j · T
↓
j = χjIj , j ∈
◦
Q. (5)
Тут Ii — одиничний оператор в T (i). Repos(Q,H) — повна пiдкатегорiя в
Rep(Q,H), об’єктами якої є ортоскалярнi зображення колчана Q. Ортоскаляр-
ному зображенню T колчана Q поставимо у вiдповiднiсть вектор χ ∈ RQv :
χ = {χ(j)}j∈Qv , χ(j) = χj означенi в (5). Будемо називати χ характером зобра-
ження T.
B [11] доведено, що у колчанiв, якi вiдповiдають графам i розширеним графам
Динкiна, немає нескiнченновимiрних нерозкладних ортоскалярних зображень. Са-
ме такi зображення ми вивчатимемо для графа Ẽ8, тому в подальшому будемо вва-
жати зображення скiнченновимiрними. В цьому випадку розмiрнiстю зображення
T будемо називати вектор d = {d(j)}j∈Qv , де d(j) = dimT (j).
Виберемо у просторах зображення ортонормованi базиси i перейдемо вiд лiнiй-
них вiдображень до їх матриць. Два ортоскалярнi зображення T i T̃ еквiвалентнi,
якщо iснують такi унiтарнi матрицi U = diag{Ui1 , Ui2 , . . . , Uim} i V = diag{Vj1 ,
Vj2 , . . . , Vjm}, що UT = T̃ V або T̃il,jk = UilTil,jkV
∗
jk
.
Зображення T називається шурiвським у категорiї RepQ (вiдповiдно,
Rep(Q,H) i Repos(Q,H)) , якщо його кiльце ендоморфiзмiв у цiй категорiї од-
новимiрне (iзоморфне C) . Як вiдомо, зображення T є нерозкладним у категорiях
Rep(Q,H) i Repos(Q,H) тодi i лише тодi, коли воно шурiвське.
3. Розмiрностi нерозкладних ортоскалярних зображень. З колчаном Q пов’я-
зана форма Тiтса q(x) на RQv : якщо x ∈ RQv , то
q(x) =
∑
i∈Qv
x2i −
∑
α∈Qa
xtαxhα .
З [10, 12] випливає, що розмiрностi нерозкладних в Repos(Q,H) зображень для
графiв i розширених графiв Динкiна є розв’язками x рiвняння q(x) = 1 (дiйснi
коренi) або q(x) = 0 (уявнi коренi) в множинi ZQv+ = {x ∈ ZQv | x 6= 0, xi ≥ 0}
(але не навпаки).
Зафiксуємо нумерацiю вершин в
•
Q = {i1, . . . , im} i
◦
Q = {j1, j2, . . . , jn} (бу-
демо вважати, що вузлова вершина, якщо вона одна, лежить в
•
Q ; будемо також
вершини з
◦
Q позначати як im+k = jk, k ∈ 1, n). Нехай x ∈ RQv , xk = x(ik) при
k ∈ 1,m+ n, c — перетворення Кокстера на RQv , тобто c = σin+m . . . σi2σi1 , де
(σik(x))k = −xk +
∑
l,il−ik
xl, (σik(x))l = xl при l 6= k.
Зрозумiло, що σ2
i = id при i ∈ 1, n+m. Тому c−1 = σi1σi2 . . . σin+m . Будемо
також позначати
•
c = σin . . . σi2σi1 ,
◦
c = σim+n . . . σim+2σim+1 i називати цi пере-
творення вiдбиттями Кокстера. Позначимо
•
ck= . . .
•
c
◦
c
•
c︸ ︷︷ ︸
k разiв
,
◦
ck= . . .
◦
c
•
c
◦
c︸ ︷︷ ︸
k разiв
, k ∈ N.
Вектор x ∈ RQv+ регулярний, якщо ct(x) належить RQv+ при будь-якому t ∈ Z,
i сингулярний у протилежному випадку.
Зображення T колчана Q є сингулярним, якщо T нерозкладне, скiнченно-
вимiрне i його розмiрнiсть d — сингулярний вектор; T є регулярним, якщо T
нерозкладне, скiнченновимiрне i не сингулярне.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗШИРЕНОГО ГРАФА ДИНКIНА . . . 1047
Зображення T колчана Q називається точним, якщо T (i) 6= 0 при всiх i ∈ Qv.
Носiєм зображення T називається множина Q>v = {i ∈ Qv | T (i) 6= 0}. Характер
зображення визначений однозначно на носiї Q>v зображення i неоднозначно поза
носiєм.
Нехай g ∈ Qv, Πg — найпростiше зображення колчана Q : Πg(g) = C, Πg(i) =
= 0 при всiх i 6= g, i ∈ Qv. Характери зображення Πg будемо позначати χg :
χg(g) = 0, при цьому будемо вважати, що χg(i) > 0 при i 6= g. Для найпростiшого
зображення Πg розмiрнiсть dg(g) = 1, dg(i) = 0 при i 6= g.
Позначимо через Rep(Q, d, χ) повну пiдкатегорiю зображень з Repos(Q,H) iз
фiксованою розмiрнiстю d i характером χ. У роботi [4] було введено функтори
вiдбиттiв Кокстера
•
F i
◦
F :
◦
F : Rep(Q, d, χ)→ Rep
(
Q,
◦
c (d),
◦
χd
)
,
•
F : Rep(Q, d, χ)→ Rep
(
Q,
•
c (d),
•
χd
)
,
де
◦
c (d),
•
c (d) — вiдбиття Кокстера вектора d,
◦
c (d)(i) =
−d(i) +
∑
j : j−i
d(j) при i ∈
◦
Q,
d(i) при i ∈
•
Q,
•
c (d)(i) =
−d(i) +
∑
j : j−i
d(j) при i ∈
•
Q,
d(i) при i ∈
◦
Q,
◦
χd (i) =
−χ(i) +
∑
j : j−i
χ(j) при i ∈
•
Q>v ,
χ(i) при i /∈
•
Q>v ,
•
χd (i) =
−χ(i) +
∑
j : j−i
χ(j) при i ∈
◦
Q>v ,
χ(i) при i /∈
◦
Q>v ,
•
Q>v = Q>v ∩
•
Q,
◦
Q>v = Q>v ∩
◦
Q.
•
F i
◦
F — функтори еквiвалентностi категорiй. Можна перевiрити, що їх дворазове
застосування приводить до функтора, еквiвалентного тотожному.
Введемо позначення
◦
F (d, χ) =
(◦
c (d),
◦
χd
)
,
•
F (d, χ) =
(•
c (d),
•
χd
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1048 С. А. КРУГЛЯК, I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
Пару . . .
•
F
◦
F︸ ︷︷ ︸
k разiв
(d, χ) будемо позначати як
◦
Fk (d, χ), а пару . . .
◦
F
•
F︸ ︷︷ ︸
k разiв
(d, χ) — як
•
Fk (d, χ), k = 0, 1, 2, . . . . Для нерозкладного зображення з Rep(Q, d, χ), що не
збiгається з найпростiшим, χ(i) > 0 при d(i) 6= 0 (див. лему 3.5 в [4]). Звiдси
випливає наступне.
Зауваження 1. Якщо для ортоскалярного зображення T розмiрностi d i з
характером χ для деякого k ∈ N,
•
Fk (d, χ) (або
◦
Fk (d, χ)) є пара (d̃, χ̃), для якої
знайдуться вершини i1, i2 такi, що d̃(i1) 6= 0, d̃(i2) 6= 0, а χ̃(i1) = 0, χ̃(i2) > 0,
то зображення T є розкладним.
Нехай колчану Q вiдповiдає розширений граф Динкiна G. Тодi всi його уявнi
коренi кратнi мiнiмальному додатному уявному кореню δG = (δ1, . . . , δm, δm+1, . . .
. . . , δm+n). Побудуємо лiнiйну форму
LG(x) =
∑
ik∈
•
G
δkxk −
∑
im+k∈
◦
G
δm+kxm+k, x ∈ RGv .
Справедливе таке твердження (див., наприклад, [5]): для розширеного графа Дин-
кiна для того, щоб корiнь x ∈ RGv був регулярним, необхiдно i достатньо, щоб
LG(x) = 0. Крiм того, для нерозкладного в RepQ регулярного зображення T
колчана Q, граф якого є розширеним графом Динкiна, T — шурiвське зображення
тодi i лише тодi, коли dimT = d ≤ δG при покоординатному порiвняннi векторiв
(див. [13]). З шуровостi зображення T в Repos(Q,H) випливає його шуровiсть в
RepQ (див. теорему 1 в [7]).
Тому, якщо ми маємо намiр класифiкувати (з точнiстю до унiтарної еквiвалент-
ностi) всi регулярнi нерозкладнi зображення T з категорiї Repos(Q,H) для колчана
Q, якому вiдповiдає розширений граф Динкiна G, достатньо обмежитись розмiр-
нiстю δG (уявний регулярний корiнь) i розмiрностями d < δG, що задовольняють
систему рiвнянь
q(d) = 1,
LG(d) = 0
(6)
(дiйснi регулярнi коренi). Таких коренiв скiнченне число, їх можна знайти перебо-
ром. Наприклад, колчану Q
b r b r b r b r
b
- - - -� � �?
a1 a2 a3 a4 a5 z b2 b1
c
(7)
вiдповiдає розширений граф Динкiна Ẽ8, δẼ8
=
3
1 2 3 4 5 6 4 2
(координати вектора δẼ8
ми розташували у вiдповiдностi з розташуванням вершин
графа в (7).
Розв’язки системи (6) наведемо в таблицi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗШИРЕНОГО ГРАФА ДИНКIНА . . . 1049
χ d(1) d(2) d(3) d(4) d(5) d(6) d(7) d(8) d(9) d(10) d(11) d(12) d(13) d(14)
a1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0
a2 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 2 0 0 1
a3 0 1 1 1 0 1 1 1 1 2 2 0 1 2
a4 1 1 1 1 0 2 1 1 2 2 2 1 1 2
a5 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2
b1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1
b2 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2
c 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2
z 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3
χ d(15) d(16) d(17) d(18) d(19) d(20) d(21) d(22) d(23) d(24) d(25) d(26) d(27) d(28)
a1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1
a2 1 2 2 0 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2
a3 1 2 3 1 1 2 2 2 2 3 2 2 2 3
a4 2 3 3 2 2 3 2 3 2 4 3 3 3 3
a5 3 3 3 3 3 4 3 3 3 4 4 4 4 4
b1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1
b2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 4 3 3 3
c 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2
z 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5
Корiнь графа будемо називати точним, якщо всi його координати вiдмiннi вiд
нуля, i неточним у протилежному випадку. В роботi [7] (див. лему 5) доведено, що
якщо G — розширений граф Динкiна, d ∈ ZG+ — корiнь графа G, що задовольняє
умову d < δG, то або d — неточний корiнь, або за допомогою вiдбиттiв Кокстера
•
c i
◦
c може бути перетворений в неточний корiнь d̃. Неточний корiнь можна роз-
глядати як вектор розмiрностi деякого зображення T̃ „меншого” графа G̃, тобто
графа Динкiна. Застосувавши до кореня d̃ вiдбиття Кокстера графа Динкiна (а не
розширеного графа Динкiна), ми за скiнченну кiлькiсть крокiв з’ясуємо, чи iснує в
розмiрностi d нерозкладне зображення з характером χG = δG.
Наприклад, для графа Ẽ8,
•
F2(d(28), δẼ8
) =
•
F2(d(27), δẼ8
) =
◦
F(d(26), δẼ8
) =
= (d(25), δẼ8
), d(25) є неточним коренем. Якщо вiдкинути його нульову координату
d(a1), отримаємо точний корiнь d̃ =
2
1 2 3 4 5 4 2
для графа Динкiна E8.
Чи iснує нерозкладне зображення вiдповiдного колчана в розмiрностi d̃ з харак-
тером χ̃ =
3
2 3 4 5 6 4 2
? Обчислення показують, що
◦
F11 (d̃, χ̃) = (d̂, χ̂),
де d̂ =
1
1 1 1 1 2 1 1
, χ̂ =
1
0 1 1 2 2 2 1
. Враховуючи зауваження 1,
отримуємо, що будь-яке ортоскалярне зображення в розмiрностi d(25), а отже i в
розмiрностях d(26), d(27), d(28), є розкладним.
Аналогiчно перевiряємо, що нерозкладнi зображення в розмiрностях, наведе-
них у таблицi, є лише в розмiрностях d(1) – d(8) i d(14), d(15) (неточне зображення
в розмiрностi d̃ вiдбиттями Кокстера графа E8 переводиться в найпростiше зоб-
раження).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1050 С. А. КРУГЛЯК, I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
4. Нерозкладнi ортоскалярнi зображення графа Ẽ8, характер яких збi-
гається з вектором δẼ8
. Нехай Q — роздiлений колчан з графом Ẽ8, T — його
ортоскалярне зображення з характером δẼ8
. Рядки блочної матрицi зображення
T = [Til,jk ] занумеруємо непарними вершинами в порядку a2, a4, z, b1, a стовпцi
— парними вершинами a1, a3, a5, c, b2.
Таким чином,
T =
A11 A12 0 0 0
0 A22 A23 0 0
0 0 A33 A34 A35
0 0 0 0 A45
, (8)
де A11 = Ta2,a1 , A12 = Ta2,a3 , A22 = Ta4,a3 , A23 = Ta4,a5 , A33 = Tz,a5 , A34 =
= Tz,c, A35 = Tz,b2 , A45 = Tb1,b2 .
Знайдемо нерозкладнi регулярнi зображення колчана Q зi спецiальним фiксо-
ваним характером δẼ8
. Ортоскалярнiсть зображення (8) означає, що виконуються
спiввiдношення
c1) A∗11A11 = Ia1 ,
c2) A11A
∗
11 +A12A
∗
12 = 2Ia2 ,
c3) A∗12A12 +A∗22A22 = 3Ia3 ,
c4) A22A
∗
22 +A23A
∗
23 = 4Ia4 ,
c5) A∗23A23 +A∗33A33 = 5Ia5 ,
c6) A33A
∗
33 +A34A
∗
34 +A35A
∗
35 = 6Iz,
c7) A∗34A34 = 3Ic,
c8) A∗35A35 +A∗45A45 = 4Ib2 ,
c9) A45A
∗
45 = 2Ib1 ,
(9)
де I з iндексом — одинична матриця вiдповiдної розмiрностi. Розмiрностi, в яких
iснують такi нерозкладнi зображення, перераховано в п. 2.
Нам буде зручно розглядати деякi „iдеальнi” матрицi: J0,n — „порожня” мат-
риця з нульовою кiлькiстю рядкiв i n стовпцями, i Jn,0 — „порожня” матриця з
нульовою кiлькiстю стовпцiв i з n рядками (див. [14]). Для них Jm,0⊕J0,n = 0m×n,
Jm,0 ·J0,n = 0m×n. Матриця Jn,0 (J0,n) є матрицею лiнiйного вiдображення з ну-
льового (вiдповiдно, n -вимiрного простору) в n -вимiрний (вiдповiдно, нульовий)
простiр.
Перш нiж, користуючись спiввiдношеннями (9), обчислити матричнi елемен-
ти зображення T (в фiксованiй розмiрностi), зведемо зображення припустимими
унiтарними перетвореннями (T̃i,j = UiTijV
∗
j ) до деякого „канонiчного” вигляду.
Деякi матричнi елементи зробимо нульовими, деякi ненульовi елементи (мно-
женням рядка або стовпця матрицi на деяке число eiϕ, що є унiтарним перетво-
ренням матрицi) — додатними або вiд’ємними. З метою економiї мiсця при такому
зведеннi будемо користуватись наступними позначеннями.
Символ 0|k на якому-небудь мiсцi матрицi T буде означати, що на цьому мiсцi
може бути нуль, отриманий на k -му кроцi унiтарними перетвореннями рядкiв го-
ризонтальної смуги i стовпцiв вертикальної смуги, що вiдповiдають цьому мiсцю;
0k означає, що нуль отримано унiтарними перетвореннями лише стовпцiв, 0|k —
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗШИРЕНОГО ГРАФА ДИНКIНА . . . 1051
тiльки рядкiв;
−→
0k — нуль, отриманий внаслiдок ортогональностi стовпцiв верти-
кальної смуги, 0↓k — внаслiдок ортогональностi рядкiв. При цьому, отримуючи
нуль на k -му кроцi, ми не „псуємо” нулi, отриманi ранiше. Позначення a+ij озна-
чає, що елемент на вiдповiдному мiсцi ми робимо додатним (a−ij — вiд’ємним, a>0
ij
— невiд’ємним). Наводячи остаточний результат, ми впевненi, що процес зведення
по кроках може бути вiдтворений.
Теорема 1. Нерозкладнi ортоскалярнi зображення розширеного графа Дин-
кiна Ẽ8 з характером δẼ8
, з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi, збiгаються
з одним iз наступних зображень:
T (1) =
J0,0 J0,0 0 0 0
0 J1,0 2 0 0
0 0 1
√
3
√
2
0 0 0 0
√
2
,
T (2) =
J0,0 J0,1 0 0 0
0
√
3 1 0 0
0 0 2 J1,0
√
2
0 0 0 0
√
2
,
T (3) =
J1,0
√
2 0 0 0
0 1
√
3 0 0
0 0
√
2 J1,0 2
0 0 0 0 J0,1
,
T (4) =
1 1 0 0 0
0
√
2
√
2 0 0
0 0
√
3
√
3 J1,0
0 0 0 0 J0,0
,
T (5) =
J0,0 J0,0 0 0 0
0 J0,0 J0,1 0 0
0 0
√
5
√
3/5
√
2/5
0 0 0 −
√
12/5
√
18/5
0 0 0 0 J0,1
,
T (6) =
J0,0 J0,1 0 0 0 0
0
√
3 1 0 0 0
0 0 0 2 0 0
0 0 2 0
√
4/3
√
2/3
0 0 0 1
√
5/3 −
√
10/3
0 0 0 0 0 J0,1
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1052 С. А. КРУГЛЯК, I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
T (7) =
J1,0
√
2 0 0 0 0
0 1
√
3 0 0 0
0 0
√
2 0
√
8/3
√
4/3
0 0 0
√
5
√
1/3 −
√
2/3
0 0 0 0 0
√
2
,
T (8) =
1 1 0 0 0 0
0
√
2
√
2 0 0 0
0 0
√
2
√
2
√
2 0
0 0 1 −1 0 2
0 0 0 0
√
2 0
,
T (9) =
J1,0
√
2 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0
√
3 0 0 0 0 0
0 0
√
3 0 1 0 0 0 0
0 0 0
√
2 0
3
2
0
√
7
4
0
0 0 0 0
√
10
3
√
3
4
0 −
√
27
28
√
20
21
0 0 0 0
√
2
3
0
√
3 0 −
√
7
3
0 0 0 0 0 0 0
√
9
7
√
5
7
,
T (10) =
1 1 0 0 0 0 0 0
0
√
2
√
2 0 0 0 0 0
0 0 0
√
2 −
√
2 0 0 0
0 0
√
3 0 0
√
3
4
√
9
4
0
0 0 0
√
5
3
0
√
9
4
−
√
3
4
√
4
3
0 0 0
√
4
3
√
3 0 0 −
√
5
3
0 0 0 0 0 0 1 1
,
T
(11)
t,p,ε — з наступними блоками A
(11)
ij :
A
(11)
11 A
(11)
12 0
0 A
(11)
22 A
(11)
23
0 0 A
(11)
33
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗШИРЕНОГО ГРАФА ДИНКIНА . . . 1053
=
1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 −1 0 0 0 0 0
0
√
2 0 0
√
2 0 0 0 0
0 0
√
2− p 0 0
√
2 −√p 0 0
0 0
√
p
√
1
p
0 0
√
2− p −
√
2− 1
p
0
0 0 0
√
2− 1
p
0 0 0
√
1
p
−
√
2
0 0 0 0
√
3 0 0 0 0
0 0 0 0 0
√
3− 1
t
0 0 0
0 0 0 0 0
√
1
t
√
2pt 0 0
0 0 0 0 0 0
√
3− 2pt
√
q 0
0 0 0 0 0 0 0
√
3− q
√
2
p(3− q)
0 0 0 0 0 0 0 0
√
3− 2
p(3− q)
,
[
A
(11)
34 A
(11)
35
0 A
(11)
45
]
=
=
√
t 0 0
√
3− t 0 0 0
√
3− t 0 0 −
√
t
√
1
t
0 0
0 −
√
3− 2pt 0 0 −
√
3− 1
t
0 0
0
√
2pt 0 0 0
√
3− q 0
0 0
√
3− 1
q
− 2
p(3− q)
0 0 −√q
√
1
q
0 0
√
1
q
+
2
p(3− q)
eiεθ1 0 0 0 −
√
3− 1
q
eiεθ2
0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 1
.
Тут q =
(2− p)(2p− 1)
(3− 2pt)p
, i якщо позначити x =
1
q
+
2
p(3− q)
, y =
1
q
, то ε = 0
при x = 3, а при 0 < x < 3 ε = ±1 i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1054 С. А. КРУГЛЯК, I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
cos θ1 = −
√
(x− y)(3− x)
x(3− x+ y)
,
cos θ2 =
√
y(x− y)
(3− y)(3− x+ y)
,
(10)
t i p — незалежнi параметри (рiзним припустимим трiйкам (p, t, ε) вiдповiдають
унiтарно нееквiвалентнi зображення).
Доведення. Зображення T (1) – T (4) знаходять безпосередньо, розв’язуючи сис-
тему (9).
Зображення T (5) — T (10) припустимими перетвореннями зводяться спочатку
до „канонiчного” вигляду
T (5) =
J0,0 J0,0 0 0 0
0 J0,0 J0,1 0 0
0 0 a+11 a+12 a+13
0 0 0|1 a−22 a+23
0 0 0 0 J0,1
,
T (6) =
J0,0 J0,1 0 0 0 0
0 a+11 a+12
−→
0 3 0 0
0 0↓4 0|2 a+23 0 0
0 0 a+32 0|1 a+34 a+35
0 0 0|1 a+43 a+44 a−45
0 0 0 0 0 J0,1
,
T (7) =
J1,0 a+11 0 0 0 0
0 a+21 a+23
−→
0 2 0 0
0 0 a+32 0|1 a+34 a+35
0 0 0|1 a+43 a+44 a−45
0 0 0 0 0 a+55
,
T (8) =
a+11 a+12 0 0 0 0
0 a+22 a+23 0 0 0
0 0 a+33 a+34 a+35 0|1
0 0 a+43 a−44 0|1 a+46
0 0 0 0 a+55
−→
0 2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗШИРЕНОГО ГРАФА ДИНКIНА . . . 1055
T (9) =
J1,0 a+11
−→
0 9 0 0 0 0 0 0
0 a+21 07 a+23
−→
0 6 0 0 0 0
0 0↓8 a+32 0|5 a+34 0 0 0 0
0 0 0 a+43 0|1 a+45 02 a+47 02
0 0 0 0|1 a+54 a+55
−→
0 4 a−57 a+58
0 0 0 0|1 a+64 0↓3 a+66 0↓3 a+68
0 0 0 0 0 0 0 a+77 a+78
,
T (10) =
a+11 a+12 0 0 0 0 0 0
0 a+22 a+23
−→
0 7
−→
0 7 0 0 0
0 0↓8 0|6 a+35 a−36 0 0 0
0 0 a+43 0|1 0|1 a+46 a+47 02
0 0 0|1 a+54 05 a+56 a−57 a+58
0 0 0|1 a+64 a+65 0|3 0↓4 a+68
0 0 0 0 0 0 a+77 a+78
,
а потiм матричнi елементи знаходяться з системи (9). Для зображення T (11) „ка-
нонiчним” є вигляд (отриманий в [7])[
A
(11)
11 A
(11)
12 0
0 A
(11)
22 A
(11)
23
]
=
=
a+11 a+12
−→
0 25
−→
0 25 0 0 0 0 0
0↓26 0|19 a+23 a−24 0 0 0 0 0
0 a+32 018 018 a+35
−→
0 3
−→
0 3
−→
0 3
−→
0 3
0 0↓20 a+43 021 0|2 a+46 a−47
−→
0 17
−→
0 17
0 0↓20 a+53 a+54 0|2 0|16 a+57 a−58
−→
0 24
0 0↓20 0↓23 a+64 0|2 0|16 0|22 a+68 a−69
,
[
A
(11)
33 A
(11)
34 A
(11)
35
0 0 A
(11)
45
]
=
=
a+75 0|1 0|1 0|1 0|1 a+7,10 02 02 a+7,13 02 02 02
0|1 a+86 05 05 05 a+8,10 05 05 a−8,13 a+8,14 05 05
0|1 a+96 a+97 09 09 0|4 a+9,11 07 0↓6 a−9,14
−→
0 9
−→
0 9
0|1 0|7 a+10,7 a+10,8 011 0|4 a−10,11
−→
0 11 0↓6 0↓8 a+10,15 011
0|1 0|7 0|9 a+11,8 a+11,9 0|4 0↓10 a>0
11,12 0↓6 0↓18 a−11,15 a+11,16
0|1 0|7 0|9 0|12 a+12,9 0|4 0↓10 ac12,12 0↓6 0↓18 0↓13 ac12,16
0 0 0 0 0 0 0 0 a+13,13 a+13,14
−→
0 15
−→
0 15
0 0 0 0 0 0 0 0 0|14 0|15 a+14,15 a+14,16
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1056 С. А. КРУГЛЯК, I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
Тут елементи ac12,12 i ac12,16 — комплекснi числа. Позначаючи a+53 =
√
p, a+10,8 =
=
√
q, a+7,10 =
√
t, iншi матричнi елементи послiдовно знаходять з системи (9).
Нерозкладнiсть отриманих зображень перевiряється безпосередньо (перевiряється
їх шуровiсть), як i унiтарна нееквiвалентнiсть зображень T (11) для рiзних припу-
стимих трiйок (p, t, ε).
Формули (10) отримують з умови ортогональностi 11- i 12-го рядкiв матрицi
T (11) : √
(3− x+ y)(x− y) +
√
(3− x)xeiθ1 −
√
(3− y)yeiθ2 = 0.
Теорему доведено.
5. Зображення алгебри, асоцiйованої з розширеним графом Динкiна Ẽ8.
Нехай A = A(δẼ8
) — ∗ -алгебра, асоцiйована з графом Ẽ8 :
A(δẼ8
) = C
〈
a, b, c|a = a∗, b = b∗, c = c∗,
a(a− e)(a− 2e)(a− 3e)(a− 4e)(a− 5e) = 0,
b(b− 2e)(b− 4e) = 0, c(c− 3e) = 0, a+ b+ c = 6e
〉
,
Rep(A, δẼ8
) — категорiя скiнченновимiрних ∗ -зображень ∗ -алгебри A, Q = QẼ8
,
Rep(Q, δẼ8
) — повна пiдкатегорiя в Repos(QẼ8
,H) зображень iз фiксованим ха-
рактером δẼ8
.
Побудуємо функтор Ψ: Rep(Q, δẼ8
) → Rep(A, δẼ8
) таким чином. Якщо T ∈
∈ Rep(Q, δẼ8
), то покладемо A = Tz,a5T
∗
z,a5 , B = Tz,b2T
∗
z,b2
, C = Tz,cT
∗
z,c,
π = (π(a), π(b), π(c)) = (A,B,C) — зображення алгебри A, Ψ(T ) = π. Якщо
D = (Di)i∈Qv — морфiзм зображень, D : T → T̃ , D ∈ Rep(Q, δẼ8
), то покладемо
Ψ(D) = Dz : Hz → H̃z (DzA = DzTz,a5T
∗
z,a5 = T̃z,a5Da5T
∗
z,a5 = T̃z,a5 T̃
∗
z,a5Dz =
= ÃDz ; аналогiчно перевiряємо, що DzB = B̃Dz i DzC = C̃Dz, тобто Dz ∈
∈ Rep(A, δẼ8
)) .
Лема. Функтор Ψ є функтором еквiвалентностi категорiй Rep(Q, δẼ8
) i
Rep(A, δẼ8
).
Доведення. Достатньо довести, що функтор: а) унiвалентний, б) повний i в)
кожний об’єкт π категорiї Rep(A, δẼ8
) еквiвалентний об’єкту Ψ(T ) для деякого
T ∈ Rep(Q, δẼ8
).
а) Нехай T, T̃ ∈ Rep(Q, δẼ8
), D, D — морфiзми з T в T̃ . Нехай Ψ(D) =
= Ψ(D) = Dz. Покажемо, що тодi D = D, тобто функтор Ψ є унiвалентним.
Дiйсно, з T ∗a2,a1Ta2,a1 = Ia1 i T̃a2,a1Da1 = Da2Ta2,a1 випливає, що
T̃ ∗a2,a1 T̃a2,a1Da1 = T̃ ∗a2,a1Da2Ta2,a1 , тобто Da1 = T̃ ∗a2,a1Da2Ta2,a1 i Da1 знахо-
диться за зображеннями T, T̃ i Da2 однозначно.
З T ∗a2,a1Ta2,a1 = Ia1 випливає, що спектр σ(Ta2,a1T
∗
a2,a1) ⊆ {0, 1}, а з
Ta2,a3T
∗
a2,a3 + Ta2,a1T
∗
a2,a1 = 2Ia — що σ(Ta2,a3T
∗
a2,a3) ⊆ {1, 2}, тобто
матриця Ta2,a3T
∗
a2,a3 є оборотною. Тому з Da3T
∗
a2,a3 = T̃ ∗a2,a3Da2 випливає
T̃a2,a3 T̃
∗
a2,a3Da2 = T̃a2,a3Da3T
∗
a2,a3 , i внаслiдок оборотностi матрицi T̃a2,a3 T̃
∗
a2,a3
за зображеннями T, T̃ i матрицi Da3 матриця Da2 знаходиться однозначно. Про-
довжуючи цей процес, отримуємо, що за зображеннями T, T̃ i матрицi Dz всi
iншi компоненти Di, i ∈ Qv, морфiзму D знаходяться однозначно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗШИРЕНОГО ГРАФА ДИНКIНА . . . 1057
Вiдносно доведень пунктiв б) i в) ми вiдсилаємо до роботи [15] (теорема 1), де
фактично будується функтор Φ, „обернений” до функтора Ψ.
Використовуючи лему i теорему 1, переконуємось у справедливостi наступного
твердження.
Теорема 2. Нерозкладнi ортоскалярнi зображення алгебри A(δẼ8
), пов’язаної
з розширеним графом Динкiна Ẽ8, з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi збi-
гаються з одним iз наступних попарно нееквiвалентних зображень π(1) – π(11)
(у подальшому π(i)(a) = A(i), π(i)(b) = B(i), π(i)(c) = C(i), i ∈ 1, 11) :
A(1) = 1, B(1) = 2, C(1) = 3,
A(2) = 4, B(2) = 2, C(2) = 0,
A(3) = 2, B(3) = 4, C(3) = 0,
A(4) = 3, B(4) = 0, C(4) = 3,
A(5) =
5 0
0 0
, B(5) =
2
5
6
5
6
5
18
5
,
C(5) =
3
5
−6
5
−6
5
12
5
A(6) =
4 0
0 1
,
B(6) =
2
3
−2
√
5
3
−2
√
5
3
10
3
, C(6) =
4
3
2
√
5
3
2
√
5
3
5
3
,
A(7) =
(
2 0
0 5
)
, B(7) =
4
3
−2
√
2
3
−2
√
2
3
2
3
,
C(7) =
8
3
2
√
2
3
2
√
2
3
1
3
, A(8) =
2
√
2
√
2 1
,
B(8) =
(
2 0
0 4
)
, C(8) =
(
2 −
√
2
−
√
2 1
)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1058 С. А. КРУГЛЯК, I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
A(9) =
2 0 0
0
10
3
2
√
5
3
0
2
√
5
3
2
3
, B(9) =
7
4
−3
√
3
4
0
−3
√
3
4
23
12
−2
√
5
3
0 −2
√
5
3
7
3
,
C(9) =
9
4
3
√
3
4
0
3
√
3
4
3
4
0
0 0 3
, A(10) =
3 0 0
0
5
3
2
√
5
3
0
2
√
5
3
13
3
,
B(10) =
9
4
−3
√
3
4
0
−3
√
3
4
25
12
−2
√
5
3
0 −2
√
5
3
5
3
, C(10) =
3
4
3
√
3
4
0
3
√
3
4
9
4
0
0 0 0
,
A
(11)
p,t,ε =
X11 X12
X∗12 X22
, B
(11)
p,t,ε =
Y11 0
0 Y22
, C
(11)
p,t,ε =
Z11 Z12
Z∗12 Z22
,
де
X11 =
3 0 0
0 3− 1
t
√(
3− 1
t
)
1
t
0
√(
3− 1
t
)
1
t
1
t
+ 2pt
,
X12 =
0 0 0
0 0 0√
2pt(3− 2pt) 0 0
,
X22 =
3− 2pt+ q
√
q(3− q) 0√
q(3− q) 3− q +
2
p(3− q)
√
2
p(3− q)
(
3− 2
p(3− q)
)
0
√
2
p(3− q)
(
3− 2
p(3− q)
)
3− 2
p(3− q)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗШИРЕНОГО ГРАФА ДИНКIНА . . . 1059
Y11 =
3− t −
√
(3− t)t 0
−
√
(3− t)t t+
1
t
−
√(
3− 1
t
)
1
t
0 −
√(
3− 1
t
)
1
t
3− 1
t
,
Y22 =
3− q −
√
q(3− q) 0
−
√
q(3− q) q +
1
q
−
√
q
(
3− 1
q
)
e−iεθ2
0 −
√
q
(
3− 1
q
)
eiεθ2 3− 1
q
,
Z11 =
t
√
(3− t)t 0√
(3− t)t 3− t 0
0 0 3− 2pt
,
Z12 =
0 0 0
0 0 0√
(3− 2pt)2pt 0 0
,
якщо позначити x =
1
q
+
2
p(3− q)
, y =
1
q
, то
Z22 =
2pt 0 0
0 3− x
√
(3− x)x e−iεθ1
0
√
(3− x)x eiεθ1 x
.
Тут q =
(2− p)(2p− 1)
(3− 2pt)p
, ε = 0 при x = 3, а при 0 < x < 3 ε = ±1 i
cos θ1 = −
√
(x− y)(3− x)
x(3− x+ y)
,
cos θ2 =
√
y(x− y)
(3− y)(3− x+ y)
,
t i p — незалежнi параметри (рiзним припустимим трiйкам (p, t, ε) вiдповiдають
унiтарно нееквiвалентнi зображення).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1060 С. А. КРУГЛЯК, I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
6. Область змiни незалежних параметрiв. Опис нерозкладних зображень
T
(11)
p,t,ε,
(
A
(11)
p,t,ε, B
(11)
p,t,ε, C
(11)
p,t,ε
)
буде не повним, якщо не вказати область припустимих
значень незалежних параметрiв p i t.
З невiд’ємностi пiдкореневих виразiв у формулах для матричних елементiв зоб-
раження легко отримати, що p ∈ [1/2, 2], i при фiксованому p значення t ∈ [ap, bp],
де
ap =
3
(
−1− 2p2 +
√
1− 10p+ 16p2
)
2
(
p− 5p2 + p
√
1− 10p+ 16p2
) ,
bp =
3
(
1 + 2p2 +
√
1− 10p+ 16p2
)
2
(
−p+ 5p2 + p
√
1− 10p+ 16p2
) .
(11)
Можна перевiрити, що при t = ap або t = bp, але p 6= 1
2
, p 6= 2, a>0
11,12 =
=
√
3− 1
q
− 2
p(3− q)
= 0, x =
1
q
+
2
p(3− q)
= 3, i з (10) випливає, що sin θ1 =
= sin θ2 = 0, тобто в цьому випадку зображення реалiзується в дiйсних числах.
При t =
1
3
, як легко бачити, з зображення видiляється прямим доданком зобра-
ження T (8) (a8,6 = 0, a8,14 = 0) , а його пряме доповнення розкладається в суму
зображень T (6) та T (7).
З p =
1
2
випливає, що t = 3, i в цьому випадку елементи a64 = 0, a58 = 0,
a10,7 = 0, a8,10 = 0, a9,11 = 0, a7,13 = 0, а зображення розкладається в суму
зображень T (1) – T (5). З p = 2 випливає, що t =
3
4
, i в цьому випадку a43 = 0,
a57 = 0, a10,7 = 0, a9,11 = 0, а зображення розкладається в пряму суму зображень
T (9) i T (10).
Для iнших припустимих пар (p, t) безпосередньо перевiряється їх шуровiсть, а
отже i нерозкладнiсть. Зауважимо лише, що при
1
2
< p < 2, ap < t < bp парi (p, t)
вiдповiдають два нерозкладних зображення, одне отримуємо з iншого замiною eiθ1
та eiθ2 на комплексно спряженi числа e−iθ1 , e−iθ2 .
Нехай
M =
{
(p, t, ε)
∣∣∣∣12 < p < 2, ap ≤ t ≤ bp, ε = 0 при t = ap, або t = bp,
ε = ±1 при ap < t < bp, (p, t, ε) 6=
(
7
6
,
1
3
, 0
)}
(ap, bp задано формулами (11)). Проекцiю множини M на площину (p, t) зобра-
жено на рисунку.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗШИРЕНОГО ГРАФА ДИНКIНА . . . 1061
p
t
3
3/4
1/3
7/6 21/2
Таким чином, доведено наступну теорему про параметри зображень T (11)
p,t,ε кол-
чана QẼ8
та π(11)
p,t,ε =
(
A
(11)
p,t,ε, B
(11)
p,t,ε, C
(11)
p,t,ε
)
алгебри A(δẼ8
).
Теорема 3. Нерозкладнi зображення T
(11)
p,t,ε (π
(11)
p,t,ε) колчана QẼ8
(алгебри
A(δẼ8
)) параметризуються точками множини M (рiзним точкам вiдповiдають
унiтарно нееквiвалентнi зображення). При (p, t, ε) =
(
1
2
, 3, 0
)
зображення T (11)
p,t,ε
(π
(11)
p,t,ε) розкладається в пряму суму зображень T (1) – T (5) (π(1) – π(5)), при
(p, t, ε) =
(
2,
3
4
, 0
)
— в пряму суму зображень T (9), T (10) (π(9), π(10)), а при
(p, t, ε) =
(
7
6
,
1
3
, 0
)
— в пряму суму зображень T (6) – T (8) (π(6) – π(8)) .
Автори висловлюють подяку Ю. С. Самойленку за стимулюючу зацiкавленiсть
та кориснi обговорення даної роботи.
1. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representations of finitely presented ∗ -
algebras. I. Representations by bounded operators, vol. 11 // Rev. Math. and Phys. – 1999. – 11, № 1. –
261 p.
2. Albeverio S., Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. On functions on graphs and representations of a certain class
of ∗ -algebras // J. Algebra. – 2007. – 308. – P. 567 – 582.
3. Кругляк С. А., Рабанович В. И., Самойленко Ю. С. О суммах проекторов // Функцион. анализ и
прил. – 2002. – 36, вып. 3 – С. 20 – 35.
4. Кругляк С. А., Ройтер А. В. Локально-скалярные представления графов в категории гильбертовых
пространств // Там же. – 2005. – 39, вып. 2. – С. 13 – 30.
5. Редчук И. К., Ройтер А. В. Сингулярные локально-скалярные представления колчанов в гильбер-
товых пространствах и разделяющие функции. // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 6. – С. 796 – 809.
6. Кругляк С. А., Назарова Л. А., Ройтер А. В. Ортоскалярные представления колчанов в категории
гильбертовых пространств // Зап. науч. сем. ПОМИ. – 2006. – 338. – С. 180 – 199.
7. Ройтер А. В., Кругляк С. А., Назарова Л. А. Ортоскалярные представления колчанов, соответству-
ющих расширенным графам Дынкина, в категории гильбертовых пространств // Функцион. анализ
и прил. – 2010. – 44, вып. 1. – С. 57 – 73.
8. Меллит А. С. Когда сумма трех частичных отражений равна нулю // Укр. мат. журн. – 2003. – 55,
№ 9. – С. 1277 – 1283.
9. Островський В. Л. Зображення алгебри, асоцiйованої з графом Динкiна Ẽ7 // Там же. – 2004. –
56, № 9. – С. 1193 – 1202.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1062 С. А. КРУГЛЯК, I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
10. Mellit A. Certain examples of deformed preprojective algebras and geometry of their ∗ -representations
// ArXiv: mat RT/0502055v1.
11. Островський В. Л., Самойленко Ю. С. Про спектральнi теореми для сiмей лiнiйно пов’язаних са-
моспряжених операторiв iз заданими спектрами, що асоцiйованi з розширеними графами Динкiна
// Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 11. – С. 1556 – 1570.
12. Kac V. G. Infinite root systems, representations of graphs and invariant theory. II // J. Algebra. – 1982.
– 78. – P. 141 – 162.
13. Crawley-Boevey W. Lectures on representations of quivers, http://www. maths. leeds. uk/pintwe/dintwe/
quivlecs. pdf.
14. Назарова Л. А., Ройтер А. В. Представления частично упорядоченных множеств // Зап. науч. сем.
ЛОМИ. – 1972. – 28. – С. 5 – 31.
15. Kruglyak S. A., Popovych S. V., Samoilenko Yu. S. Representations of ∗ -algebras associated with Dynkin
graphs and Horn’s problem // Учен. зап. Тавр. нац. ун-та. – 2003. – 16(55), № 2. – С. 133 – 139.
Одержано 22.03.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2936 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:33:09Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/53/740d35d07f73996496b86a9530c1d753.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29362020-03-18T19:40:46Z Regular orthoscalar representations of the extended Dynkin graph $\widetilde{E}_8$ and ∗-algebra associatedwith it Регулярні ортоскаляриі зображення розширеного графа Динкіна $\widetilde{E}_8$ та *-алгебри, асоційованої з ним Kruhlyak, S. A. Livins'kyi, I. V. Кругляк, С. А. Лівінський, І. В. We obtain a classification of regular orthoscalar representations of the extended Dynkin graph $\widetilde{E}_8$ with special character. Using this classification, we describe triples of self-adjoint operators A, B, and C such that their spectra are contained in the sets $\{0,1,2,3,4,5\}, \{0,2,4\}$, and $\{0,3\}$, respectively, and the equality $A + B + C = 6I$ is true. Получена классификация регулярных ортоскалярных представлений расширенного графа Дынкина $\widetilde{E}_8$ со специальным характером. С ее помощью описаны тройки самосопряженных операторов А, В, С, спектры которых содержатся в множествах $\{0,1,2,3,4,5\}, \{0,2,4\}$ и $\{0,3\}$ соответственно и для которых $A + B + C = 6I$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2936 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 8 (2010); 1044–1062 Український математичний журнал; Том 62 № 8 (2010); 1044–1062 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2936/2622 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2936/2623 Copyright (c) 2010 Kruhlyak S. A.; Livins'kyi I. V. |
| spellingShingle | Kruhlyak, S. A. Livins'kyi, I. V. Кругляк, С. А. Лівінський, І. В. Regular orthoscalar representations of the extended Dynkin graph $\widetilde{E}_8$ and ∗-algebra associatedwith it |
| title | Regular orthoscalar representations of the extended Dynkin graph $\widetilde{E}_8$ and ∗-algebra associatedwith it |
| title_alt | Регулярні ортоскаляриі зображення розширеного графа Динкіна $\widetilde{E}_8$ та *-алгебри, асоційованої з ним |
| title_full | Regular orthoscalar representations of the extended Dynkin graph $\widetilde{E}_8$ and ∗-algebra associatedwith it |
| title_fullStr | Regular orthoscalar representations of the extended Dynkin graph $\widetilde{E}_8$ and ∗-algebra associatedwith it |
| title_full_unstemmed | Regular orthoscalar representations of the extended Dynkin graph $\widetilde{E}_8$ and ∗-algebra associatedwith it |
| title_short | Regular orthoscalar representations of the extended Dynkin graph $\widetilde{E}_8$ and ∗-algebra associatedwith it |
| title_sort | regular orthoscalar representations of the extended dynkin graph $\widetilde{e}_8$ and ∗-algebra associatedwith it |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2936 |
| work_keys_str_mv | AT kruhlyaksa regularorthoscalarrepresentationsoftheextendeddynkingraphwidetildee8andalgebraassociatedwithit AT livins039kyiiv regularorthoscalarrepresentationsoftheextendeddynkingraphwidetildee8andalgebraassociatedwithit AT kruglâksa regularorthoscalarrepresentationsoftheextendeddynkingraphwidetildee8andalgebraassociatedwithit AT lívínsʹkijív regularorthoscalarrepresentationsoftheextendeddynkingraphwidetildee8andalgebraassociatedwithit AT kruhlyaksa regulârníortoskalâriízobražennârozširenogografadinkínawidetildee8taalgebriasocíjovanoíznim AT livins039kyiiv regulârníortoskalâriízobražennârozširenogografadinkínawidetildee8taalgebriasocíjovanoíznim AT kruglâksa regulârníortoskalâriízobražennârozširenogografadinkínawidetildee8taalgebriasocíjovanoíznim AT lívínsʹkijív regulârníortoskalâriízobražennârozširenogografadinkínawidetildee8taalgebriasocíjovanoíznim |