Constructive description of monogenic functions in a harmonic algebra of the third rank
By using analytic functions of a complex variable, we give a constructive description of monogenic functions that take values in a commutative harmonic algebra of the third rank over the field of complex numbers. We establish an isomorphism between algebras of monogenic functions in the case of tran...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2938 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508940816613376 |
|---|---|
| author | Plaksa, S. A. Shpakovskii, V. S. Плакса, С. А. Шпаковский, В. С. Плакса, С. А. Шпаковский, В. С. |
| author_facet | Plaksa, S. A. Shpakovskii, V. S. Плакса, С. А. Шпаковский, В. С. Плакса, С. А. Шпаковский, В. С. |
| author_sort | Plaksa, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:46Z |
| description | By using analytic functions of a complex variable, we give a constructive description of monogenic functions that take values in a commutative harmonic algebra of the third rank over the field of complex numbers. We establish an isomorphism between algebras of monogenic functions in the case of transition from one harmonic basis to another. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:33:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.96
S. A. Plaksa, V. S. Ípakovskyj (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
KONSTRUKTYVNOE OPYSANYE
MONOHENNÁX FUNKCYJ
V HARMONYÇESKOJ ALHEBRE TRET|EHO RANHA
∗∗∗∗
By using analytic functions of a complex variable, we present the constructive description of monogenic
functions taking values in a commutative harmonic algebra of the third rank over the field of complex
numbers. We establish the isomorphism between algebras of monogenic functions in the case of
transition from one harmonic basis to another.
Navedeno konstruktyvnyj opys monohennyx funkcij, wo nabuvagt\ znaçen\ u komutatyvnij
harmoniçnij alhebri tret\oho ranhu nad polem kompleksnyx çysel, za dopomohog analityçnyx
funkcij kompleksno] zminno]. Vstanovleno izomorfizm miΩ alhebramy monohennyx funkcij
pry perexodi vid odnoho harmoniçnoho bazysu do inßoho.
∏ffektyvnost\ prymenenyq metodov teoryy analytyçeskyx funkcyj komp-
leksnoj peremennoj k yssledovanyg ploskyx potencyal\n¥x polej pobuΩdaet
matematykov k razvytyg analohyçn¥x metodov dlq prostranstvenn¥x polej.
Takye metod¥ mohut osnov¥vat\sq na otobraΩenyqx banaxov¥x alhebr.
V rabotax [1 – 3] postroen¥ kommutatyvn¥e assocyatyvn¥e banaxov¥ al-
hebr¥ takye, çto dvaΩd¥ dyfferencyruem¥e po Hato funkcyy so znaçenyqmy v
πtyx alhebrax ymegt komponent¥, udovletvorqgwye trexmernomu uravnenyg
Laplasa.
Pust\ A — kommutatyvnaq assocyatyvnaq banaxova alhebra (nad polem dej-
stvytel\n¥x çysel R yly polem kompleksn¥x çysel C ) s bazysom { }ek k
n
=1,
3 ≤ n ≤ ∞ . V sylu ravenstva
∆ Φ3 : =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
Φ Φ Φ
x y z
= ′′ + +( )Φ ( )ζ e e e1
2
2
2
3
2
kaΩdaq dvaΩd¥ dyfferencyruemaq po Hato funkcyq Φ( )ζ peremennoj ζ =
= xe ye ze1 2 3+ + , hde x, y, z ∈ R , prynymagwaq znaçenyq v alhebre A, pry
v¥polnenyy sootnoßenyq
e e e1
2
2
2
3
2+ + = 0 (1)
dlq bazysn¥x πlementov e1 , e2 , e3 udovletvorqet trexmernomu uravnenyg
Laplasa
∆ Φ3 = 0,
t. e. qvlqetsq monohenn¥m potencyalom [3, c. 30].
Sleduq [1 – 3], nazovem trojku vektorov e1 , e2 , e3 udovletvorqgwug soot-
noßenyg (1), harmonyçeskoj y alhebru A, soderΩawug harmonyçeskug troj-
ku, harmonyçeskoj.
V rabotax [1 – 3] opysan¥ vse harmonyçeskye bazys¥ v alhebrax tret\eho ran-
ha nad polem C y dokazano, çto harmonyçeskyx trexmern¥x alhebr nad polem
R ne suwestvuet. V rabote [4] postroen¥ nekotor¥e çet¥rexmern¥e harmony-
çeskye alhebr¥ nad polem R . Beskoneçnomernaq harmonyçeskaq alhebra nad
polem R postroena v [3, 5].
∗
V¥polnena pry çastyçnoj podderΩke Hosudarstvennoho fonda fundamental\n¥x yssledova-
nyj Ukrayn¥ (proekt #=25.1/084) y Hosudarstvennoj prohramm¥ Ukrayn¥ #=0107U002027.
© S. A. PLAKSA, V. S. ÍPAKOVSKYJ, 2010
1078 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
KONSTRUKTYVNOE OPYSANYE MONOHENNÁX FUNKCYJ … 1079
NyΩe rassmatryvaetsq harmonyçeskaq alhebra A3 [2, 3], bazys kotoroj
(zametym, çto on ne qvlqetsq harmonyçeskym) sostoyt yz edynyc¥ alhebr¥==1==y
πlementov ρ1 , ρ2 , dlq kotor¥x v¥polnqgtsq pravyla umnoΩenyq
ρ1
2 = ρ2 , ρ ρ1 2 = ρ2
2 = 0. (2)
V sylu toho, çto monohenn¥e potencyal¥ tak Ωe, kak y kompleksn¥e poten-
cyal¥ ploskyx polej, obrazugt funkcyonal\nug alhebru v oblasty opredele-
nyq, v alhebre A3 ymeetsq ne men\ßyj, çem mnoΩestvo holomorfn¥x funk-
cyj v alhebre C, nabor monohenn¥x potencyalov y stol\ Ωe ßyrokyj nabor
sredstv dlq yx postroenyq. V teoreme=1.7 yz [3] postroen¥ v qvnom vyde mono-
henn¥e potencyal¥ v forme hlavn¥x prodolΩenyj holomorfn¥x funkcyj
kompleksnoj peremennoj v alhebru A3 .
NyΩe pryvedeno konstruktyvnoe opysanye vsex monohenn¥x potencyalov v
alhebre A3 s pomow\g analytyçeskyx funkcyj kompleksnoj peremennoj.
Krome toho, ustanavlyvaetsq yzomorfyzm meΩdu alhebramy monohenn¥x poten-
cyalov Φ( )ζ peremennoj ζ = xe ye ze1 2 3+ + , hde x, y, z ∈ R , pry yzmenenyy
harmonyçeskoho bazysa { }, ,e e e1 2 3 v alhebre A3 .
1. Konstruktyvnoe opysanye monohenn¥x funkcyj v alhebre A3 . V te-
oreme=1.6 yz [3] pokazano, çto harmonyçeskymy bazysamy v alhebre A3 qvlqgt-
sq bazys¥ { }, ,e e e1 2 3 , razloΩenyq kotor¥x po bazysu { }, ,1 1 2ρ ρ ymegt vyd
e1 = 1,
e2 = n n n1 2 1 3 2+ +ρ ρ , (3)
e3 = m m m1 2 1 3 2+ +ρ ρ ,
hde nk , mk , k = 1, 2, 3, — kompleksn¥e çysla, udovletvorqgwye systeme
uravnenyj
1 1
2
1
2+ +n m = 0,
n n m m1 2 1 2+ = 0,
(4)
n m n n m m2
2
2
2
1 3 1 32+ + +( ) = 0,
n m n m2 3 3 2− ≠ 0,
y xotq b¥ odno yz çysel v kaΩdoj yz par ( , )n n1 2 , ( , )m m1 2 otlyçno ot nulq.
Pry πtom umnoΩenyem πlementov harmonyçeskyx bazysov vyda (3) na proyzvol\-
n¥e obratym¥e πlement¥ alhebr¥ mohut b¥t\ poluçen¥ vse harmonyçeskye ba-
zys¥ v alhebre A3 [3, c. 29].
V¥delym v alhebre A3 lynejnug oboloçku E3 : = { :ζ = + +xe ye ze1 2 3
x y z, , }∈R , poroΩdennug vektoramy e1 = 1, e2 , e3 . PodmnoΩestvu S trex-
mernoho prostranstva R3
postavym v sootvetstvye mnoΩestvo
Sζ = ζ = + + ∈{ }xe ye ze x y z S1 2 3 : ( , , ) v E3 .
Neprer¥vnaq funkcyq Φ Ω: ζ → A3 naz¥vaetsq monohennoj v oblasty
Ωζ ⊂ E3 , esly Φ dyfferencyruema po Hato v kaΩdoj toçke πtoj oblasty,
t. e. esly dlq kaΩdoho ζ ζ∈Ω suwestvuet πlement ′Φ ( )ζ alhebr¥ A3 takoj,
çto v¥polnqetsq ravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1080 S. A. PLAKSA, V. S. ÍPAKOVSKYJ
lim ( )) ( )
ε
ζ ε ζ ε
→ +
−+ −( )
0 0
1Φ Φh = h ′Φ ( )ζ ∀ ∈h E3 .
′Φ ( )ζ naz¥vaetsq proyzvodnoj Hato funkcyy Φ v toçke ζ .
V teoreme=1.3 yz [3] ustanovlen¥ neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq mono-
hennosty funkcyy Φ (uslovyq Koßy – Rymana), kotor¥e zapyßem zdes\ v sver-
nutom vyde
∂
∂
Φ
y
=
∂
∂
Φ
x
e2 ,
∂
∂
Φ
z
=
∂
∂
Φ
x
e3 . (5)
Monohennost\ kompleksnoznaçnoj funkcyy F( )ξ kompleksnoj peremen-
noj ξ ponymaetsq kak holomorfnost\ v sluçae, kohda ξ = τ η+ i , yly
antyholomorfnost\ v sluçae, kohda ξ = τ η− i , τ, η ∈ R .
Pust\ f — lynejn¥j neprer¥vn¥j funkcyonal, opredelenn¥j na A3 , qd-
rom kotoroho qvlqetsq maksymal\n¥j ydeal I : = λ ρ λ ρ λ λ1 1 2 2 1 2+ ∈{ }: , C ,
pry πtom f ( )1 = 1. Yzvestno [6, c. 147], çto f qvlqetsq takΩe mul\typlyka-
tyvn¥m funkcyonalom, t. e. v¥polnqetsq ravenstvo f ab( ) = f a f b( ) ( ) pry
vsex a, b ∈ A3 .
Yz razloΩenyq rezol\vent¥
( )t − −ζ 1 =
1
1 1
2 2
1 1
2 1
t x n y m z
n y m z
t x n y m z− − −
+
+
− − −( )
ρ +
+
n y m z
t x n y m z
n y m z
t x n y m
3 3
1 1
2
2 2
2
1 1
+
− − −
+
+
− − −( )
( )
( zz)3 2
ρ
∀ ∈ ≠ + +t t x n y m zC : 1 1
(sm.=[3, c. 30]) sleduet, çto toçky ( , , )x y z ∈R3 , sootvetstvugwye neobratym¥m
πlementam ζ = xe ye ze1 2 3+ + alhebr¥ A3 , obrazugt prqmug
L :
x y n z m
y n z m
+ + =
+ =
Re Re ,
Im Im
1 1
1 1
0
0
v trexmernom prostranstve R3
.
Oblast\ Ω ⊂ R3
naz¥vagt v¥pukloj v napravlenyy prqmoj L , esly ona
soderΩyt kaΩd¥j otrezok, soedynqgwyj dve ee toçky y parallel\n¥j prq-
moj==L .
Lemma21. Pust\ oblast\ Ω ⊂ R3
qvlqetsq v¥pukloj v napravlenyy
prqmoj L y Φ Ω: ζ → A3 — monohennaq funkcyq v oblasty Ωζ . Esly
toçky ζ ζ ζ1 2, ∈Ω takye, çto ζ ζ ζ2 1− ∈L , to
Φ Φ( ) ( )ζ ζ1 2− ∈ I . (6)
Dokazatel\stvo. Pust\ ( , , )x y z1 1 1 , ( , , )x y z2 2 2 — toçky oblasty Ω ta-
kye, çto otrezok, soedynqgwyj yx, parallelen prqmoj L .
V oblasty Ω postroym dve poverxnosty s obwym kraem: poverxnost\ Q, so-
derΩawug toçku ( , , )x y z1 1 1 , y poverxnost\ Σ, soderΩawug toçku ( , , )x y z2 2 2 ,
takye, çto suΩenyq funkcyonala f na sootvetstvugwye ym podmnoΩestva Qζ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
KONSTRUKTYVNOE OPYSANYE MONOHENNÁX FUNKCYJ … 1081
Σζ oblasty Ωζ qvlqgtsq vzaymno odnoznaçn¥my otobraΩenyqmy πtyx podmno-
Ωestv na odnu y tu Ωe oblast\ G kompleksnoj ploskosty y, krome toho, v
kaΩdoj toçke ζ ζ0 ∈Q (yly ζ ζ0 ∈Σ ) v¥polnqetsq ravenstvo
lim ( )( ) ( )
ε
ζ ε ζ ζ ζ ε
→ +
−+ − −( )
0 0
0 0 0
1Φ Φ = ′ −Φ ( )( )ζ ζ ζ0 0 (7)
pry vsex ζ ζ∈Q takyx, çto ζ ε ζ ζ ζ0 0+ − ∈( ) Q dlq lgboho ε ∈( , )0 1 ( yly,
sootvetstvenno, pry vsex ζ ζ∈Σ takyx, çto ζ ε ζ ζ ζ0 0+ − ∈( ) Σ dlq lgboho
ε ∈( , )0 1 ) .
V kaçestve poverxnosty Q rassmotrym v oblasty Ω fyksyrovann¥j
ravnostoronnyj treuhol\nyk s verßynamy A A A1 2 3, , y centrom v toçke
( , , )x y z1 1 1 , ploskost\ kotoroho perpendykulqrna prqmoj L, y prodolΩym
postroenye poverxnosty Σ .
Rassmotrym treuhol\nyk s verßynamy ′ ′ ′A A A1 2 3, , y centrom v toçke
( , , )x y z2 2 2 , leΩawyj v oblasty Ω, takoj, çto eho storon¥ ′ ′A A1 2 , ′ ′A A2 3 , ′ ′A A1 3
parallel\n¥ sootvetstvenno otrezkam A A1 2 , A A2 3 , A A1 3 y ymegt men\ßug
dlynu, çem storon¥ treuhol\nyka A A A1 2 3 . Poskol\ku oblast\ Ω qvlqetsq v¥-
pukloj v napravlenyy prqmoj L , pryzma s verßynamy ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′A A A A A A1 2 3 1 2 3, , , , , ta-
kaq, çto toçky ′′ ′′ ′′A A A1 2 3, , leΩat v ploskosty treuhol\nyka A A A1 2 3 y ee rebra
′ ′′A Am m pry m = 1 3, parallel\n¥ prqmoj L , polnost\g soderΩytsq v Ω.
Zafyksyruem teper\ treuhol\nyk s verßynamy B1 , B2 , B3 takoj, çto toç-
ka Bm leΩyt na otrezke ′ ′′A Am m pry m = 1 3, y useçennaq pyramyda s
verßynamy A A A B B B1 2 3 1 2 3, , , , , y bokov¥my rebramy A Bm m , m = 1 3, ,
polnost\g soderΩytsq v oblasty Ω .
Nakonec, v ploskosty treuhol\nyka ′ ′ ′A A A1 2 3 zafyksyruem treuhol\nyk T s
verßynamy C C C1 2 3, , takoj, çto eho storon¥ C C C C C C1 2 2 3 1 3, , parallel\n¥
sootvetstvenno otrezkam ′ ′A A1 2 , ′ ′A A2 3 , ′ ′A A1 3 y ymegt men\ßug dlynu, çem
storon¥ treuhol\nyka ′ ′ ′A A A1 2 3 . Po postroenyg useçennaq pyramyda s
verßynamy B B B C C C1 2 3 1 2 3, , , , , y bokov¥my rebramy B Cm m , m = 1 3, ,
polnost\g soderΩytsq v oblasty Ω .
Oboznaçym çerez Σ poverxnost\, obrazovannug treuhol\nykom T y bokov¥-
my poverxnostqmy useçenn¥x pyramyd A A A B B B1 2 3 1 2 3 y B B B C C C1 2 3 1 2 3 .
Poskol\ku poverxnosty Q y Σ ymegt obwyj kraj, mnoΩestva Qζ y Σζ
otobraΩagtsq funkcyonalom f na odnu y tu Ωe oblast\ G kompleksnoj
ploskosty. V oblasty G opredelym dve kompleksnoznaçn¥e funkcyy H1 y
H2 tak, çto pry kaΩdom ξ ∈G
H1( )ξ = f ( ( ))Φ ζ , hde ξ ζ= f ( ) y ζ ζ∈Q ,
H2( )ξ = f ( ( ))Φ ζ , hde ξ ζ= f ( ) y ζ ζ∈Σ .
PokaΩem, çto H1 y H2 qvlqgtsq monohenn¥my v G funkcyqmy komp-
leksnoj peremennoj ξ . S πtoj cel\g zametym, çto, dejstvuq na ravenstvo (7)
funkcyonalom f, s uçetom eho lynejnosty, neprer¥vnosty y mul\typlykatyv-
nosty poluçaem ravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1082 S. A. PLAKSA, V. S. ÍPAKOVSKYJ
lim ( )( ( )) ( ( ))
ε
ζ ε ζ ζ ξ ε
→ +
−+ − −( )
0 0
0 0
1f fΦ Φ = f f f( ( ))( ( ) ( ))′ −Φ ζ ζ ζ0 0 ,
yz kotoroho dlq funkcyj H1 , H2 sleduet suwestvovanye proyzvodn¥x v toçke
f G( )ζ0 ∈ po vsem napravlenyqm, pryçem dlq kaΩdoj yz funkcyj H1 , H2
ukazann¥e proyzvodn¥e ravn¥. Sledovatel\no, po teoreme=21 yz [7] funkcyy
H1 , H2 qvlqgtsq monohenn¥my v oblasty G.
Poskol\ku yz opredelenyq funkcyj H1 y H2 sleduet, çto H H1 2( ) ( )ξ ξ≡
na hranyce oblasty G, v sylu monohennosty funkcyj H1 y H2 v oblasty G
toΩdestvo H H1 2( ) ( )ξ ξ≡ v¥polnqetsq vsgdu v G . Sledovatel\no, pry
ζ1 1 1 1 2 1 3:= + +x e y e z e y ζ2 2 1 2 2 2 3:= + +x e y e z e spravedlyv¥ ravenstva
f ( ( ) ( ))Φ Φζ ζ2 1− = f f( ( )) ( ( ))Φ Φζ ζ2 1− = 0,
t. e. Φ Φ( ) ( )ζ ζ2 1− prynadleΩyt qdru I funkcyonala f.
Lemma dokazana.
Zametym, çto uslovye v¥puklosty oblasty Ω v napravlenyy prqmoj L v
lemme=1 qvlqetsq suwestvenn¥m. NyΩe postroen prymer oblasty Ω, ne qvlq-
gwejsq v¥pukloj v napravlenyy prqmoj L , y monohennoj funkcyy
Φ Ω: ζ → A3 , dlq kotoroj sootnoßenye (6) ne v¥polnqetsq pry nekotor¥x
ζ ζ ζ1 2, ∈Ω takyx, çto ζ ζ ζ2 1− ∈L .
Oboznaçym çerez D oblast\ v C, na kotorug oblast\ Ωζ otobraΩaetsq
funkcyonalom f. Vvedem v rassmotrenye lynejn¥j operator A , kotor¥j kaΩ-
doj monohennoj funkcyy Φ Ω: ζ → A3 stavyt v sootvetstvye funkcyg
F D: → C po formule F f( ) ( ( )):ξ ζ= Φ , hde ζ = xe ye ze1 2 3+ + y ξ :=
:= f ( )ζ = x n y m z+ +1 1 . Yz lemm¥=1 sleduet, çto znaçenye F ( )ξ ne zavysyt
ot v¥bora toçky ζ , dlq kotoroj f ( )ζ = ξ .
Teper\ analohyçno teoreme=2.4 yz [3] dokaz¥vaetsq sledugwee utverΩdenye.
Teorema21. Pust\ oblast\ Ω qvlqetsq v¥pukloj v napravlenyy prqmoj
L . Tohda kaΩdaq monohennaq v oblasty Ωζ funkcyq Φ Ω: ζ → A3 predsta-
vyma v vyde
Φ( )ζ =
1
2
1
0π
ζ ζ
ζ
i
A t t dt( ) ( )( )( )Φ Φ
Γ
− +−∫ ∀ ∈ζ ζΩ , (8)
hde zamknutaq Ωordanova sprqmlqemaq kryvaq Γζ leΩyt v oblasty D y
oxvat¥vaet toçku f ( )ζ , a Φ Ω0 : ζ → I — nekotoraq monohennaq v oblas-
ty Ωζ funkcyq, prynymagwaq znaçenyq v ydeale I.
Zametym, çto kompleksnoe çyslo ξ = f ( )ζ qvlqetsq spektrom πlementa ζ
alhebr¥ A3 y yntehral v ravenstve (8) qvlqetsq hlavn¥m prodolΩenyem mono-
hennoj funkcyy F ( )ξ = ( )( )AΦ ξ kompleksnoj peremennoj ξ v oblast\ Ωζ .
Yz teorem¥=1 sleduet, çto alhebra monohenn¥x v oblasty Ωζ funkcyj raz-
lahaetsq v prqmug summu alhebr¥ hlavn¥x prodolΩenyj v Ωζ monohenn¥x
funkcyj kompleksnoj peremennoj y alhebr¥ monohenn¥x v Ωζ funkcyj, pry-
nymagwyx znaçenyq v ydeale I.
V teoreme=1.7 yz [3] postroeno v qvnom vyde hlavnoe prodolΩenye monohen-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
KONSTRUKTYVNOE OPYSANYE MONOHENNÁX FUNKCYJ … 1083
noj funkcyy kompleksnoj peremennoj F D: → C v oblast\ Πζ : = { :ζ ∈E3
f D( ) }ζ ∈ , razloΩenye kotoroho po bazysu { }, ,1 1 2ρ ρ ymeet vyd
1
2
1
π
ζ
ζ
i
F t t dt( )( )− −∫
Γ
= F x n y m z( )+ +1 1 +
+ ( ) ( )n y m z F x n y m z2 2 1 1 1+ ′ + + ρ +
+ ( ) ( )
( )
(n y m z F x n y m z
n y m z
F x n y3 3 1 1
2 2
2
1
2
+ ′ + + +
+ ′′ + ++
m z1 2) ρ (9)
∀ = + + ∈ζ ζxe ye ze1 2 3 Π .
Oçevydno, çto konhruπntnaq oblasty Πζ oblast\ P prostranstva R3
qvlq-
etsq beskoneçn¥m cylyndrom, obrazugwye kotoroho parallel\n¥ prqmoj L .
V sledugwej teoreme opysan¥ vse monohenn¥e funkcyy, opredelenn¥e v ob-
lasty Ωζ y prynymagwye znaçenyq v ydeale I, s pomow\g monohenn¥x
funkcyj sootvetstvugwej kompleksnoj peremennoj.
Teorema22. Pust\ oblast\ Ω qvlqetsq v¥pukloj v napravlenyy prqmoj
L. Tohda kaΩdaq monohennaq funkcyq Φ Ω0 : ζ → I , prynymagwaq znaçenyq v
maksymal\nom ydeale I, predstavyma v vyde
Φ0( )ζ = F F n y m z F1 1 2 2 2 1 2( ) ( ) ( )( )ξ ρ ξ ξ ρ+ + + ′( ) (10)
∀ = + + ∈ζ ζxe ye ze1 2 3 Ω ,
hde F1 y F2 — proyzvol\n¥e monohenn¥e v oblasty D funkcyy y ξ =
= x n y m z+ +1 1 .
Dokazatel\stvo. Tak kak Φ0 prynymaet znaçenyq v maksymal\nom ydea-
le, spravedlyvo ravenstvo
Φ0( )ζ = V x y z V x y z1 1 2 2( , , ) ( , , )ρ ρ+ , (11)
hde Vk : Ω → C pry k = 1, 2. Dlq funkcyy Φ0( )ζ v¥polnqgtsq uslovyq mo-
nohennosty (5) pry Φ Φ= 0 , yz kotor¥x posle podstanovky v nyx v¥raΩenyj
(3), (11) s uçetom odnoznaçnosty razloΩenyq πlementov alhebr¥ A3 po bazysu
{ }, ,1 1 2ρ ρ poluçym systemu uravnenyj dlq naxoΩdenyq funkcyj V1 , V2 :
∂
∂
V
y
1 = n
V
x
1
1∂
∂
,
∂
∂
V
y
2 = n
V
x
n
V
x
2
1
1
2∂
∂
+
∂
∂
,
(12)
∂
∂
V
z
1 = m
V
x
1
1∂
∂
,
∂
∂
V
z
2 = m
V
x
m
V
x
2
1
1
2∂
∂
+
∂
∂
.
Yz pervoho y tret\eho uravnenyj system¥ (12) najdem funkcyg V1 . S πtoj
cel\g v¥delym snaçala dejstvytel\nug y mnymug çasty v¥raΩenyq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1084 S. A. PLAKSA, V. S. ÍPAKOVSKYJ
ξ = ( Re Re ) ( Im Im )x y n z m i y n z m+ + + +1 1 1 1 = : τ η+ i (13)
y zametym, çto sledstvyem ukazann¥x uravnenyj qvlqgtsq ravenstva
∂
∂
V
n1
1η
Im = i
V
n
∂
∂
1
1τ
Im ,
∂
∂
V
m1
1η
Im = i
V
m
∂
∂
1
1τ
Im . (14)
Poskol\ku yz pervoho uravnenyq system¥ (4) sleduet, çto xotq b¥ odno yz
çysel Im n1 yly Im m1 otlyçno ot nulq, yz (14) poluçaem ravenstvo
∂
∂
V1
η
= i
V∂
∂
1
τ
. (15)
DokaΩem, çto V x y z1 1 1 1( , , ) = V x y z1 2 2 2( , , ) dlq toçek ( , , )x y z1 1 1 ,
( , , )x y z2 2 2 ∈Ω takyx, çto otrezok, soedynqgwyj πty toçky, parallelen
prqmoj L. S πtoj cel\g rassmotrym v oblasty Ω poverxnosty Q, Σ y oblast\
G v C , opredelenn¥e v dokazatel\stve lemm¥=1, y opredelym v G dve kom-
pleksnoznaçn¥e funkcyy H1 , H2 ravenstvamy
H1( )ξ = V x y z1( , , ) pry ( , , )x y z Q∈ ,
H2( )ξ = V x y z1( , , ) pry ( , , )x y z ∈Σ ,
v kotor¥x sootvetstvye meΩdu toçkamy ( , , )x y z y ξ ∈G ustanavlyvaetsq so-
otnoßenyem (13).
Vsledstvye ravenstva (15) y teorem¥=6 yz [8] funkcyy H1 , H2 qvlqgtsq
monohenn¥my v oblasty G. Dalee toΩdestvo H H1 2( ) ( )ξ ξ≡ v G dokaz¥vaet-
sq tak Ωe, kak pry dokazatel\stve lemm¥=1. Sledovatel\no, ravenstvo
V x y z1 1 1 1( , , ) = V x y z1 2 2 2( , , ) dokazano.
Takym obrazom, funkcyq V1 vyda V x y z F1 1( , , ) : ( )= ξ , hde F1( )ξ — proyz-
vol\naq monohennaq v oblasty D funkcyq, qvlqetsq obwym reßenyem system¥
∂
∂
V
y
1 = n
V
x
1
1∂
∂
,
(16)
∂
∂
V
z
1 = m
V
x
1
1∂
∂
,
sostoqwej yz pervoho y tret\eho uravnenyj system¥ (12).
Teper\ yz vtoroho y çetvertoho uravnenyj system¥ (12) dlq naxoΩdenyq
funkcyy V x y z2( , , ) poluçaem systemu uravnenyj
∂
∂
− ∂
∂
V
y
n
V
x
2
1
2 = n
F
x
2
1∂
∂
,
(17)
∂
∂
−
∂
∂
V
z
m
V
x
2
1
2 = m
F
x
2
1∂
∂
.
Ee çastn¥m reßenyem qvlqetsq funkcyq
v2( , , )x y z : = ( ) ( )n y m z F2 2 1+ ′ ξ .
Dejstvytel\no, podstavlqq v2 v pervoe uravnenye system¥ (17), poluçaem ra-
venstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
KONSTRUKTYVNOE OPYSANYE MONOHENNÁX FUNKCYJ … 1085
n F n y
F
y
m z
F
y
2 1 2
1
2
1′ +
∂ ′
∂
+
∂ ′
∂
( )
( ) ( )
ξ
ξ ξ
=
= n
F
x
n n y
F
x
n m z
F
x
2
1
1 2
1
1 2
1∂
∂
+
∂ ′
∂
+
∂ ′
∂
( ) ( ) ( )ξ ξ ξ
,
spravedlyvoe vsledstvye toΩdestv
′F1( )ξ ≡
∂
∂
F
x
1( )ξ
,
∂
∂
F
y
1( )ξ
≡ n
F
x
1
1∂
∂
( )ξ
.
Analohyçno ustanavlyvaetsq, çto funkcyq v2 udovletvorqet vtoromu uravne-
nyg system¥ (17).
Sledovatel\no, obwee reßenye system¥ (17) predstavlqetsq kak summa ee
çastnoho reßenyq y obweho reßenyq sootvetstvugwej odnorodnoj system¥
(analohyçnoj systeme (16)) v vyde
V x y z2( , , ) = F n y m z F2 2 2 1( ) ( )( )ξ ξ+ + ′ ,
hde F2 — proyzvol\naq monohennaq v oblasty D funkcyq.
Teorema dokazana.
V sylu ravenstv (8), (10) vse monohenn¥e funkcyy Φ Ω: ζ → A3 v sluçae,
kohda oblast\ Ω qvlqetsq v¥pukloj v napravlenyy prqmoj L , mohut b¥t\ po-
stroen¥ s pomow\g trex proyzvol\n¥x kompleksnoznaçn¥x monohenn¥x funk-
cyj F ( )ξ , F1( )ξ , F2( )ξ kompleksnoj peremennoj ξ ∈ D v vyde
Φ( )ζ =
1
2
1
1 1 1 1π
ζ ρ
ζ
i
F t t dt F x n y m z( )( ) ( )− + + +−∫
Γ
+
+ ρ2 2 1 1 2 2 1 1 1F x n y m z n y m z F x n y m z( ) ( ) ( )+ + + + ′ + +( ) (18)
∀ = + + ∈ζ ζxe ye ze1 2 3 Ω ,
pry πtom spravedlyvo takΩe razloΩenye (9) hlavnoho prodolΩenyq funkcyy F
po bazysu { }, ,1 1 2ρ ρ .
Teorema23. Pust\ oblast\ Ω qvlqetsq v¥pukloj v napravlenyy prqmoj
L, a funkcyq Φ Ω: ζ → A3 — monohennoj v oblasty Ωζ . Tohda Φ prodol-
Ωaetsq do funkcyy, monohennoj v oblasty Πζ .
UtverΩdenye teorem¥ sleduet neposredstvenno yz ravenstva (18), pravaq
çast\ kotoroho qvlqetsq monohennoj funkcyej v oblasty Πζ .
Postroym prymer oblasty Ω, ne qvlqgwejsq v¥pukloj v napravlenyy prq-
moj L, y monohennoj funkcyy Φ Ω: ζ → A3 , dlq kotoroj sootnoßenye (6) ne
v¥polnqetsq pry nekotor¥x ζ ζ ζ1 2, ∈Ω takyx, çto ζ ζ ζ2 1− ∈L .
Rassmotrym harmonyçeskyj bazys
e1 = 1,
e2 = i i+ 1
2
2ρ , (19)
e3 = − −ρ ρ1 2
3
2
i
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1086 S. A. PLAKSA, V. S. ÍPAKOVSKYJ
(t. e. v razloΩenyqx (3) n1 = i, n2 = i /2 , n3 = m1 = 0, m2 = – 1, m3 =
= – 3 2i / ), pry= πtom prqmaq L sovpadaet s os\g Oz .
Rassmotrym oblast\ Ωζ , kotoraq qvlqetsq obæedynenyem trex mnoΩestv
Ωζ
( )1 : = xe ye ze E x iy z x iy1 2 3 3 2 0 2 4+ + ∈ + < < < − < + <: , , arg ( )/π 33 2π /{ } ,
Ωζ
( )2 : = xe ye ze E x iy z x iy1 2 3 3 2 2 4 2 3+ + ∈ + < ≤ ≤ < + <: , , arg ( )/π ππ /2{ } ,
Ωζ
( )3 : = xe ye ze E x iy z x iy1 2 3 3 2 4 6 2 9+ + ∈ + < < < < + <: , , arg ( )/π ππ / 4{ } .
Oçevydno, çto konhruπntnaq ej oblast\ Ω prostranstva R3
ne qvlqetsq v¥-
pukloj v napravlenyy prqmoj L .
Rassmotrym v oblasty ξ ξ π ξ π∈ < − < <{ }C : , arg/ /2 4 3 2 kompleksnoj
ploskosty holomorfnug vetv\ H i1( ) : ln argξ ξ ξ= + analytyçeskoj funk-
cyy Ln ξ , dlq kotoroj H1 1( ) = 0, a takΩe holomorfnug vetv\ H2( )ξ : =
: = ln argξ ξ+ i funkcyy Ln ξ v oblasty ξ ξ π ξ π∈ < < <{ }C : , arg/ /2 2 9 4 ,
dlq kotoroj H2 1( ) = 2πi .
Postroym hlavnoe prodolΩenye Φ1 funkcyy H1 na mnoΩestvo Ω Ωζ ζ
( ) ( )1 2∪
y hlavnoe prodolΩenye Φ2 funkcyy H2 na mnoΩestvo Ω Ωζ ζ
( ) ( )2 3∪ po for-
mulam vyda (9):
Φ1( )ζ = H x iy
z iy
x iy
iz
x iy
z iy
1 1
22
2
3
2
2
( )
( ) ( )
( )
+ −
−
+
−
+
+
−
ρ
88 2 2
( )x iy+
ρ ,
Φ2( )ζ = H x iy
z iy
x iy
iz
x iy
z iy
2 1
22
2
3
2
2
( )
( ) ( )
( )
+ −
−
+
−
+
+
−
ρ
88 2 2
( )x iy+
ρ ,
hde ζ = xe ye ze1 2 3+ + .
Poskol\ku Φ1( )ζ ≡ Φ2( )ζ na mnoΩestve Ωζ
( )2 , funkcyq
Φ( )ζ =
Φ Ω Ω
Φ Ω
1
1 2
2
3
( )
( )
( ) ( )
( )
,ζ ζ
ζ ζ
ζ ζ
ζ
pry
pry
∈
∈
∪
qvlqetsq monohennoj v oblasty Ωζ . Pry πtom dlq toçek ζ1 = e e1 3+ y ζ2 =
= e e1 35+ ymeem ζ ζ ζ2 1− ∈L , no
Φ Φ( ) ( )ζ ζ2 1− = 2 4 12 2 31 2π ρ ρi i− − +( ) ∉ I,
t. e. sootnoßenye (6) ne v¥polnqetsq.
Sledugwee utverΩdenye spravedlyvo dlq monohenn¥x funkcyj v proyz-
vol\noj oblasty Ωζ .
Teorema24. Pust\ funkcyq Φ Ω: ζ → A3 qvlqetsq monohennoj v oblasty
Ωζ . Tohda proyzvodn¥e Hato vsex porqdkov funkcyy Φ qvlqgtsq monohenn¥-
my funkcyqmy v oblasty Ωζ .
Dokazatel\stvo. Poskol\ku ßar � s centrom v proyzvol\noj toçke
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
KONSTRUKTYVNOE OPYSANYE MONOHENNÁX FUNKCYJ … 1087
( , , )x y z0 0 0 ∈Ω , celykom soderΩawyjsq v oblasty Ω, qvlqetsq v¥pukloj v
napravlenyy prqmoj L oblast\g, v okrestnosty �ζ toçky ζ0 = x e0 1 +
+ y e0 2 + z e0 3 spravedlyvo ravenstvo (8), v kotorom yntehral ymeet proyzvod-
n¥e Hato vsex porqdkov v �ζ . Krome toho, dlq funkcyy Φ0 v �ζ spraved-
lyvo predstavlenye (10), v sylu kotoroho Φ0 qvlqetsq beskoneçno dyfferen-
cyruemoj po peremenn¥m x, y, z funkcyej. Poπtomu proyzvodnaq Hato ′Φ0
udovletvorqet v �ζ uslovyqm vyda (5), t. e. qvlqetsq monohennoj funkcyej.
Analohyçno ustanavlyvaetsq, çto proyzvodn¥e Hato vsex porqdkov funkcyy
Φ0 qvlqgtsq monohenn¥my funkcyqmy v �ζ .
Teorema dokazana.
V sylu teorem¥=4 kaΩdaq monohennaq v oblasty Ωζ funkcyq Φ Ω: ζ → A3
qvlqetsq monohenn¥m potencyalom v πtoj oblasty.
2. Ob yzomorfyzme alhebr monohenn¥x funkcyj v razlyçn¥x harmony-
çeskyx bazysax. Oboznaçym çerez M( ),E3 Ωζ alhebru monohenn¥x funkcyj
v oblasty Ωζ ⊂ E3 , prynymagwyx znaçenyq v alhebre A3 .
Narqdu s harmonyçeskym bazysom { }, ,e e e1 2 3 budem rassmatryvat\ ewe odyn
harmonyçeskyj bazys { }, ,� � �e e e1 2 3 . Oboznaçym çerez
�E3 : = � � � � � � � � � �ζ = + + ∈{ }xe ye ze x y z1 2 3 : , , R
lynejnug oboloçku, poroΩdennug vektoramy � � �e e e1 2 3, , , y çerez
� �Ωζ oblast\ v
�E3 .
UkaΩem takoe sootvetstvye meΩdu oblastqmy Ωζ ,
� �Ωζ pry perexode ot ba-
zysa { }, ,e e e1 2 3 k bazysu { }, ,� � �e e e1 2 3 , pry kotorom alhebr¥ monohenn¥x funk-
cyj M( ),E3 Ωζ , M( ),� � �E3 Ωζ yzomorfn¥.
Rassmotrym vspomohatel\n¥e utverΩdenyq.
Lemma22. Pust\ harmonyçeskye bazys¥ { }, ,e e e1 2 3 , { }, ,� � �e e e1 2 3 svqzan¥ so-
otnoßenyqmy
�e1 = e1 = 1,
�e2 = α α ρ ρ1 1 2 2 21 1 22 2e e r r+ + + , (20)
�e3 = β β ρ ρ1 1 2 2 3 31 1 32 2e e e r r+ + + + ,
hde α α β β1 2 1 2, , , ∈ R , pryçem α2 ≠ 0, r r r r21 22 31 32, , , ∈ C . Esly funkcyq
Φ Ω: ζ → A3 monohenna v oblasty Ωζ , to funkcyq
� �Φ( )ζ = Φ Φ( ) ( ) ( )ζ ζ ρ+ ′ +( r y r z21 31 1� � +
+ ( ) ( ) ( )r y r z r y r z22 32 2 21 31
2
2
1
2
� � � �+ ) + ′′ +ρ ζ ρΦ (21)
qvlqetsq monohennoj v oblasty
� �Ωζ takoj, çto koordynat¥ sootvetstvug-
wyx toçek
�ζ = � � � � � � � �xe ye ze1 2 3+ + ∈Ωζ y ζ = xe1 + = ye ze2 3+ ∈Ωζ svqzan¥
sootnoßenyqmy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1088 S. A. PLAKSA, V. S. ÍPAKOVSKYJ
x = � � �x y z+ +α β1 1 ,
y = α β2 2� �y z+ , (22)
z = �z .
Dokazatel\stvo. PokaΩem, çto dlq funkcyy (21) v¥polnqgtsq neobxo-
dym¥e y dostatoçn¥e uslovyq monohennosty
∂
∂
�
�
Φ
y
=
∂
∂
�
�
�
Φ
x
e2 ,
∂
∂
�
�
Φ
z
=
∂
∂
�
�
�
Φ
x
e3 . (23)
Sledstvyem sootnoßenyj (22) qvlqgtsq operatorn¥e ravenstva
∂
∂�x
=
∂
∂x
,
∂
∂�y
= α α1 2
∂
∂
+
∂
∂x y
,
∂
∂�z
= β β1 2
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂x y z
,
s uçetom kotor¥x poluçaem v¥raΩenyq çastn¥x proyzvodn¥x funkcyy (21):
∂
∂
�
�
Φ
x
=
∂
∂
+
∂ ′
∂
+ + +( )Φ Φ
x x
r y r z r y r z( ) ( )21 31 1 22 32 2� � � �ρ ρ ++
∂ ′′
∂
+
1
2
21 31
2
2
Φ
x
r y r z( )� � ρ ,
∂
∂
�
�
Φ
y
= α α α α1 2 1 2 21
∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂ ′
∂
+ ∂ ′
∂
+Φ Φ Φ Φ
x y x y
r y r( � 331 1�z)ρ( +
+ ( ) ( )r y r z
x
r r22 32 2 21 1 22 2� �+ ) +
∂
∂
+ρ ρ ρ
Φ
+
+
1
2
1 2 21 31
2
2α α ρ
∂ ′′
∂
+
∂ ′′
∂
+ +
∂Φ Φ
x y
r y r z( )� �
22
2 21 31 21 2
Φ
∂
+
x
r y r z r( )� � ρ ,
∂
∂
�
�
Φ
z
= β β ρ ρ1 2 31 1 32 2
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
Φ Φ Φ Φ
x y z x
r r( ) +
+ β β ρ1 2 21 31 1
∂ ′
∂
+
∂ ′
∂
+
∂ ′
∂
+ +
Φ Φ Φ
x y z
r y r z( )� � (( )r y r z22 32 2� �+( )ρ +
+
1
2
1 2 21 31β β
∂ ′′
∂
+
∂ ′′
∂
+
∂ ′′
∂
+
Φ Φ Φ
x y z
r y r( � �zz
x
r y r z r) ( )2
2
2
2 21 31 31 2ρ ρ+
∂
∂
+
Φ
� � .
Podstavlqq poluçenn¥e v¥raΩenyq çastn¥x proyzvodn¥x funkcyy (21) y
v¥raΩenyq (20) πlementov �e2 , �e3 v ravenstva (23) y uçyt¥vaq pry πtom pravy-
la umnoΩenyq (2) y uslovyq (5), ubeΩdaemsq v v¥polnymosty uslovyj (23).
Lemma dokazana.
Lemma23. Pust\ harmonyçeskye bazys¥ { }, ,e e e1 2 3 , { }, ,� � �e e e1 2 3 svqzan¥
sootnoßenyqmy (20) y funkcyq
� � �Φ Ω: ζ → A3 qvlqetsq monohennoj v oblas-
ty
� �Ωζ . Tohda suwestvuet edynstvennaq monohennaq v oblasty Ωζ funkcyq
Φ( )ζ takaq, çto spravedlyvo ravenstvo (21), hde koordynat¥ sootvetstvug-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
KONSTRUKTYVNOE OPYSANYE MONOHENNÁX FUNKCYJ … 1089
wyx toçek
�ζ = � � � � � � � �xe ye ze1 2 3+ + ∈Ωζ y ζ = xe1 + = ye ze2 3+ ∈Ωζ svqzan¥ so-
otnoßenyqmy (22).
Dokazatel\stvo. Rassmotrym funkcyg
Φ( )ζ = � � � � � �Φ Φ( ) ( ) ( )ζ ζ ρ− ′ +( r y r z21 31 1 +
+ ( ) ( )( )r y r z r y r z22 32 2 21 31
2
2
1
2
� � � � � �+ ) + ′′ +ρ ζ ρΦ , (24)
monohennost\ kotoroj dokaz¥vaetsq analohyçno dokazatel\stvu monohennosty
funkcyy (21).
PokaΩem, çto funkcyq (24) udovletvorqet sootnoßenyg (21). S πtoj cel\g
posle umnoΩenyq obeyx çastej ravenstva (24) na ρ2 poluçym ravenstvo
ρ ζ2
� �Φ( ) = ρ ζ2 Φ( ) ,
sledstvyem kotoroho qvlqgtsq ravenstva
ρ ζ2
� �′Φ ( ) = ρ ζ2 ′Φ ( ) , ρ ζ2
� �′′Φ ( ) = ρ ζ2 ′′Φ ( ) . (25)
Analohyçno posle umnoΩenyq obeyx çastej ravenstva (24) na ρ1 poluçym ra-
venstva
ρ ζ1Φ( ) = ρ ζ ρ ζ1 2 21 31
� � � � � �Φ Φ( ) ( ) ( )− ′ +r y r z = ρ ζ ρ ζ1 2 21 31
� � � �Φ Φ( ) ( ) ( )− ′ +r y r z ,
sledstvyem kotor¥x qvlqetsq ravenstvo
ρ ζ1
� �′Φ ( ) = ρ ζ ρ ζ1 2 21 31′ + ′′ +Φ Φ( ) ( ) ( )r y r z� � . (26)
Podstavlqq ravenstva (25), (26) v ravenstvo (24), ubeΩdaemsq v spravedlyvosty
sootnoßenyq (21).
DokaΩem teper\ edynstvennost\ monohennoj funkcyy Φ Ω: ζ → A3 , udov-
letvorqgwej ravenstvu (21). Dlq πtoho dostatoçno pokazat\, çto funkcyy
�Φ ≡ 0 v
� �Ωζ sootvetstvuet lyß\ funkcyq Φ ≡ 0 v Ωζ . Tak, pry
�Φ ≡ 0 ra-
venstvo (21) prynymaet vyd
Φ Φ( ) ( ) ( )ζ ζ ρ+ ′ +r y r z21 31 1� � +
+ ′ + + ′′ +Φ Φ( ) ( )( ) ( )ζ ρ ζr y r z r y r z22 32 2 21 31
21
2
� � � � ρρ2 ≡ 0. (27)
Posle umnoΩenyq obeyx çastej toΩdestva (27) na ρ2 s uçetom pravyl umnoΩe-
nyq (2) poluçym toΩdestvo Φ( )ζ ρ2 0≡ , sledstvyem kotoroho qvlqgtsq soot-
noßenyq
′Φ ( )ζ ρ2 ≡ 0, ′′Φ ( )ζ ρ2 ≡ 0. (28)
Analohyçno posle umnoΩenyq obeyx çastej toΩdestva (27) na ρ1 poluçym so-
otnoßenye
Φ Φ( ) ( ) ( )ζ ρ ζ ρ1 21 31 2+ ′ +r y r z� � ≡ 0,
kotoroe s uçetom pervoho yz sootnoßenyj (28) prevrawaetsq v toΩdestvo
Φ( )ζ ρ1 ≡ 0. Sledovatel\no,
′Φ ( )ζ ρ1 ≡ 0. (29)
Nakonec, yz sootnoßenyj (27) – (29) sleduet toΩdestvo Φ ≡ 0 .
Lemma dokazana.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1090 S. A. PLAKSA, V. S. ÍPAKOVSKYJ
Pust\ teper\ { }, ,e e e1 2 3 — harmonyçeskyj bazys, πlement¥ kotoroho opre-
delen¥ ravenstvamy (19), a { }, ,� � �e e e1 2 3 — proyzvol\n¥j harmonyçeskyj bazys
v==A3 .
∏lement¥ bazysa { }, ,� � �e e e1 2 3 predstavym¥ v vyde
�e1 = ae�1
1( ) , �e2 = ae�2
1( ) , �e3 = ae�3
1( ) , (30)
hde a — obratym¥j πlement alhebr¥ A3 y dlq πlementov bazysa
{ }( ) ( ) ( ), ,� � �e e e1
1
2
1
3
1
spravedlyv¥ razloΩenyq vyda (3) po bazysu { }, ,1 1 2ρ ρ , v koto-
r¥x v sylu ravenstva 1 1
2
1
2+ +n m = 0 bez narußenyq obwnosty moΩno sçytat\,
çto Im n1 ≠ 0. Tohda πlement¥ bazysa { }( ) ( ) ( ), ,� � �e e e1
1
2
1
3
1
predstavym¥ takΩe v
vyde
�e1
1( ) = e1 ,
�e2
1( ) = α α ρ ρ1 1 2 2 21 1 22 2e e r r+ + + ,
�e3
1( ) = β β ρ ρ1 1 2 2 3 31 1 32 2e e e r r+ + + + .
Zdes\ y dalee
α1 1: Re= n , α2 1: Im= n , β1 1: Re= m , β2 1: Im= m ,
r n21 2:= , r n i n22 3 1
1
2
: Im= − ,
r m31 2 1:= + , r m i i m32 3 1
3
2
1
2
: Im= + − .
Teorema25. Pust\ { }, ,e e e1 2 3 — harmonyçeskyj bazys, πlement¥ kotoroho
opredelen¥ ravenstvamy (19), a { }, ,� � �e e e1 2 3 — proyzvol\n¥j harmonyçeskyj
bazys v A3 , πlement¥ kotoroho predstavlen¥ v vyde (30). Pust\, krome to-
ho, Ωζ — proyzvol\naq oblast\ v E3 y
� �Ωζ — oblast\ v
�E3 takaq, çto
koordynat¥ sootvetstvugwyx toçek
�ζ = � � � � � � � �xe ye ze1 2 3+ + ∈Ωζ y ζ = xe1 +
+= ye ze2 3+ ∈Ωζ svqzan¥ sootnoßenyqmy (22). Tohda alhebr¥ M( ),E3 Ωζ ,
M( ),� � �E3 Ωζ yzomorfn¥, pry πtom sootvetstvye meΩdu funkcyqmy Φ ∈
∈ M( ),E3 Ωζ y
� � � �Φ Ω∈M( ),E3 ζ ustanavlyvaetsq ravenstvom (21).
Dokazatel\stvo. Opredelym oblast\
�
�Ω
ζ( )
( )
1
1
v
�E3
1( ) : = � � � � � � � � � �ζ( ) ( ) ( ) ( ) : , ,1
1
1
2
1
3
1= + + ∈xe ye ze x y z R{{ } ,
koordynat¥ toçek
�ζ( )1
kotoroj svqzan¥ s koordynatamy sootvetstvugwyx to-
çek ζ ζ∈Ω sootnoßenyqmy (22), y kaΩdoj funkcyy Φ Ω∈M( ),E3 ζ posta-
vym v sootvetstvye funkcyg
� � �
�Φ Ω( ) ( ) ( )( ), ( )
1
3
1 1
1∈M E
ζ
po formule vyda (21). V sy-
lu lemm=2,==3 takoe sootvetstvye meΩdu alhebramy M( ),E3 Ωζ , M( )( ) ( ), ( )
� �
�E3
1 1
1Ω
ζ
qvlqetsq vzaymno odnoznaçn¥m. Pry πtom yz ravenstva
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
KONSTRUKTYVNOE OPYSANYE MONOHENNÁX FUNKCYJ … 1091
� � � �Φ Φ1
1 1
2
1 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ζ ζ = Φ Φ1 2( ) ( )ζ ζ +
+ Φ Φ Φ Φ1 2 2 1 21 31 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (ζ ζ ζ ζ ρ′ + ′( ) + +r y r z r� � 222 32 2� �y r z+( ))ρ +
+
1
2
21 2 1 2 1 2′′ + ′ ′ + ′′( )Φ Φ Φ Φ Φ Φ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ζ ζ ζ ζ ζ ζ (( )r y r z21 31
2
2� �+ ρ
sleduet, çto proyzvedenye funkcyj
�Φ1
1( ) , � � �
�Φ Ω2
1
3
1 1
1
( ) ( ) ( )( ), ( )∈M E
ζ
sootvetstvuet
proyzvedenyg funkcyj Φ1 , Φ Ω2 3∈M( ),E ζ , t. e. alhebr¥ M( ),E3 Ωζ ,
M( )( ) ( ), ( )
� �
�E3
1 1
1Ω
ζ
yzomorfn¥.
Nakonec, yzomorfyzm meΩdu alhebramy M( )( ) ( ), ( )
� �E3
1 1
1Ω
ζ
, M( ),� � �E3 Ωζ usta-
navlyvaetsq s pomow\g ravenstva
� �Φ( )ζ : = � �Φ( ) ( )( )1 1ζ ,
hde
�ζ = � � � � � � � �xe ye ze1 2 3+ + ∈Ωζ , �ζ( )1 = � � � � � � �
�xe ye ze1
1
2
1
3
1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( )+ + ∈Ω
ζ
, pry πtom mo-
nohennost\ funkcyy
�Φ v oblasty
� �Ωζ qvlqetsq oçevydn¥m sledstvyem uslo-
vyj monohennosty vyda (5 ) dlq funkcyy
�Φ( )1
y obratymosty πlementa a ∈A3 .
Teorema dokazana.
V sylu teorem¥=5 predstavlqetsq oçevydn¥m tot fakt, çto v dal\nejßyx
yssledovanyqx dostatoçno ohranyçyt\sq yzuçenyem monohenn¥x funkcyj
Φ Ω∈M( ),E3 ζ , hde lynejnaq oboloçka E3 poroΩdena harmonyçeskym bazy-
som, πlement¥ kotoroho opredelen¥ ravenstvamy (19).
1. Mel\nyçenko Y. P. O predstavlenyy monohenn¥my funkcyqmy harmonyçeskyx otobraΩe-
nyj // Ukr. mat. Ωurn. – 1975. – 27, # 5. – S.=606 – 613.
2. Mel\nyçenko Y. P. Alhebr¥ funkcyonal\no-ynvaryantn¥x reßenyj trexmernoho uravne-
nyq Laplasa // Tam Ωe. – 2003. – 55, # 9. – S.=1284 – 1290.
3. Mel\nyçenko Y. P., Plaksa S. A. Kommutatyvn¥e alhebr¥ y prostranstvenn¥e potencyal\-
n¥e polq. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 2008. – 230=s.
4. Ketchum P. W. Analytic functions of hypercomplex variables // Trans. Amer. Math. Soc. – 1928. –
30, # 4. – P. 641 – 667.
5. Plaksa S. A. Uslovyq Koßy – Rymana dlq prostranstvenn¥x harmonyçeskyx funkcyj //
Kompleksnyj analiz i teçi] z vil\nymy hranycqmy: Zb. prac\ In-tu matematyky NAN
Ukra]ny. – 2006. – 3, # 4. – S.=396 – 403.
6. Xylle ∏., Fyllyps R. Funkcyonal\n¥j analyz y poluhrupp¥. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt.,
1962. – 829=s.
7. Troxymçuk G. G. Neprer¥vn¥e otobraΩenyq y uslovyq monohennosty. – M.: Fyzmathyz,
1963. – 212=s.
8. Tolstov H. P. O kryvolynejnom y povtornom yntehrale // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. – 1950.
– 35. – S.=3 – 101.
Poluçeno 31.03.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
|
| id | umjimathkievua-article-2938 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:33:12Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/53/3898ed19f35dc6d47d084f57e00a4d53.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29382020-03-18T19:40:46Z Constructive description of monogenic functions in a harmonic algebra of the third rank Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга Plaksa, S. A. Shpakovskii, V. S. Плакса, С. А. Шпаковский, В. С. Плакса, С. А. Шпаковский, В. С. By using analytic functions of a complex variable, we give a constructive description of monogenic functions that take values in a commutative harmonic algebra of the third rank over the field of complex numbers. We establish an isomorphism between algebras of monogenic functions in the case of transition from one harmonic basis to another. Наведено конструктивний опис моногенпих функцій, що набувають значень у комутативній гармонічній алгебрі третього рангу над полем комплексних чисел, за допомогою аналітичних функцій комплексної змінної. Встановлено ізоморфізм між алгебрами моногенпих функцій при переході від одного гармонічного базису до іншого. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2938 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 8 (2010); 1078–1091 Український математичний журнал; Том 62 № 8 (2010); 1078–1091 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2938/2626 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2938/2627 Copyright (c) 2010 Plaksa S. A.; Shpakovskii V. S. |
| spellingShingle | Plaksa, S. A. Shpakovskii, V. S. Плакса, С. А. Шпаковский, В. С. Плакса, С. А. Шпаковский, В. С. Constructive description of monogenic functions in a harmonic algebra of the third rank |
| title | Constructive description of monogenic functions in a harmonic algebra of the third rank |
| title_alt | Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга |
| title_full | Constructive description of monogenic functions in a harmonic algebra of the third rank |
| title_fullStr | Constructive description of monogenic functions in a harmonic algebra of the third rank |
| title_full_unstemmed | Constructive description of monogenic functions in a harmonic algebra of the third rank |
| title_short | Constructive description of monogenic functions in a harmonic algebra of the third rank |
| title_sort | constructive description of monogenic functions in a harmonic algebra of the third rank |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2938 |
| work_keys_str_mv | AT plaksasa constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinaharmonicalgebraofthethirdrank AT shpakovskiivs constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinaharmonicalgebraofthethirdrank AT plaksasa constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinaharmonicalgebraofthethirdrank AT špakovskijvs constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinaharmonicalgebraofthethirdrank AT plaksasa constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinaharmonicalgebraofthethirdrank AT špakovskijvs constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinaharmonicalgebraofthethirdrank AT plaksasa konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkcijvgarmoničeskojalgebretretʹegoranga AT shpakovskiivs konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkcijvgarmoničeskojalgebretretʹegoranga AT plaksasa konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkcijvgarmoničeskojalgebretretʹegoranga AT špakovskijvs konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkcijvgarmoničeskojalgebretretʹegoranga AT plaksasa konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkcijvgarmoničeskojalgebretretʹegoranga AT špakovskijvs konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkcijvgarmoničeskojalgebretretʹegoranga |