Examples of $C^1$-smoothly conjugate diffeomorphisms of the circle with break that are not $C^{1+γ}$ -smoothly conjugate
We prove the existence of two real-analytic diffeomorphisms of the circle with break of the same size and an irrational rotation number of semibounded type that are not $C^{1+γ}$-smoothly conjugate for any $γ > 0$. In this way, we show that the previous result concerning the $C^1$-smoothness...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2939 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508941349289984 |
|---|---|
| author | Teplins’kyi, O. Yu. Теплінський, О. Ю. |
| author_facet | Teplins’kyi, O. Yu. Теплінський, О. Ю. |
| author_sort | Teplins’kyi, O. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:46Z |
| description | We prove the existence of two real-analytic diffeomorphisms of the circle with break of the same size and an irrational rotation number of semibounded type that are not $C^{1+γ}$-smoothly conjugate for any $γ > 0$. In this way, we show that the previous result concerning the $C^1$-smoothness of conjugacy for these mappings is the exact estimate of smoothness for this conjugacy. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:33:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О. Ю. Теплiнський (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРИКЛАДИ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ,
ЯКI СПРЯЖЕНI C1 -ГЛАДКО, АЛЕ НЕ C1+γ -ГЛАДКО
We prove the existence of two real-analytic circle diffeomorphisms with breaks of the same size and an
irrational rotation number of half-bounded type that are not C1+γ -smoothly conjugate for any γ > 0. In this
way we show that the previous result concerning the C1 -smoothness of the conjugacy for such mappings is
a sharp estimate for the smoothness of this conjugacy.
Доказано существование двух действительно-аналитических диффеоморфизмов окружности с изло-
мом одинакового размера и иррациональным числом вращения полуограниченного типа, которые не
являются C1+γ -гладко сопряженными ни для какого γ > 0. Тем самым показано, что полученный
ранее результат относительно C1 -гладкости сопряжения таких отображений является точной оценкой
на гладкость этого сопряжения.
1. Вступ. Вiдповiдно до класичної теореми Данжуа [1], два достатньо гладких
зберiгаючих орiєнтацiю дифеоморфiзми кола, якi мають одне i те ж саме iррацiо-
нальне число обертання, є топологiчно еквiвалентними, тобто iснує неперервна
замiна координат (яка в свою чергу є гомеоморфiзмом цього кола), що переводить
один iз цих дифеоморфiзмiв у другий. Питання щодо гладкостi цього спряження,
як називають зазначену замiну координат (а вона є єдиною з точнiстю до жорсткого
повороту кола на певний кут), було предметом розгляду теорiї КАМ [2] в локальнiй
постановцi (тобто за умови близькостi даного дифеоморфiзму до жорсткого пово-
роту кола) та теорiї Ермана [3] у глобальнiй (без такого обмеження). Вже Арнольд
виявив, що для забезпечення хоча б мiнiмальної гладкостi спряження необхiдно
накладати певнi обмеження на iррацiональне число обертання (так званi дiофанто-
вi умови). Власне, вiн побудував [2] приклади дiйсно-аналiтичних дифеоморфiзмiв
кола з одним i тим самим iррацiональним числом обертання, спряження мiж якими
не є навiть абсолютно неперервним.
Оскiльки теорема Данжуа є вiрною не лише для „чистих” дифеоморфiзмiв кола,
а й у випадку наявностi в них iзольованих особливостей деяких типiв, природним
є прагнення розширити теорiю жорсткостi для дифеоморфiзмiв кола (так нази-
вають дослiдження питань щодо гладкостi їхнього спряження) на випадок дифео-
морфiзмiв з особливостями. Iдеї та методи теорiї жорсткостi для дифеоморфiзмiв
з особливостями викладено в оглядовiй статтi [4], в нiй також анонсовано резуль-
тати, про якi йтиметься трохи нижче, та висловлено деякi гiпотези. Власне, є два
природних типи iзольованих особливостей, для яких виконуються аналоги теореми
Данжуа: критична точка (в якiй похiдна перетворюється на нуль) та точка зламу (в
якiй однобiчнi похiднi злiва та справа вiдмiннi мiж собою), i вiдповiднi двi теоре-
ми анонсовано в [4]. В обох випадках результат полягає в доведеннi C1 -гладкостi
спряження за певних умов. Для критичних поворотiв кола (так називають дифео-
морфiзми кола з критичною точкою) анонсовану в [4] теорему доведено в [5], а
для дифеоморфiзмiв зi зламом — у [6]. Ми не будемо зупинятися тут на дета-
лях одержаних результатiв щодо критичних поворотiв кола; зауважимо лише, що
точнiсть доведеної в [5] оцiнки на гладкiсть спряження пiдтверджують приклади
дiйсно-аналiтичних критичних поворотiв кола, що не є C1+γ -гладко спряженими
c© О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ, 2010
1092 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
ПРИКЛАДИ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ, ЯКI СПРЯЖЕНI C1 -ГЛАДКО . . . 1093
для жодного γ > 0, якi побудовано Авiлою в [7] (що, до речi, заперечує одну з
висловлених в [4] гiпотез).
Дифеоморфiзми кола зi зламом уперше було розглянуто у повiдомленнi [8]. У
статтi [9] означено ренормалiзацiї таких дифеоморфiзмiв та доведено їхню експо-
ненцiально швидку збiжнiсть до певної дробово-лiнiйної сiм’ї. У важливiй про-
мiжнiй роботi [10] дослiджено деякi аспекти поведiнки ренормалiзацiй всерединi
цiєї граничної сiм’ї та доведено C1+γ -гладкiсть спряження у спецiальному ви-
падку, коли ланцюговий дрiб числа обертання є перiодичним (тобто це число є
квадратичною iррацiональнiстю). В роботi [11] детально описано поведiнку ренор-
малiзацiй дифеоморфiзмiв кола зi зламом у граничнiй дробово-лiнiйнiй сiм’ї, а в [6]
на основi цього доведено C1 -гладкiсть спряження за досить загальних умов (див.
ненумеровану теорему в наступному пунктi).
2. Означення та формулювання результатiв. Домовимося одразу, що скрiзь
у цiй статтi для заданого натурального k та вiдображення F запис F k позначає
його k -ту iтерацiю F ◦F ◦ . . .◦F (k разiв), запис F−k — k -ту iтерацiю оберненого
вiдображення (F−1)k, запис F 0 — тотожне вiдображення Id. Натомiсть запис F (k)
скрiзь позначає k -ту похiдну вiд F.
Для строгого формулювання результатiв нам знадобляться деякi загальнi озна-
чення. Одиничним колом назвемо фактор-простiр T1 = R/Z iз зрозумiлим чином
заданими орiєнтацiєю, метрикою, мiрою Лебега та операцiєю додавання. Позна-
чимо через µ : R → T1 вiдповiдне факторизацiйне вiдображення, яке „намотує”
пряму на коло. Довiльний зберiгаючий орiєнтацiю гомеоморфiзм T одиничного
кола T1 може бути, вiдповiдно, „пiднято” на пряму R у виглядi гомеоморфiзму
L : R→ R, що має властивiсть L(x+1) ≡ L(x)+1 i пов’язаний iз T спiввiдношен-
ням µ ◦L = T ◦ µ. Такий гомеоморфiзм L носить назву пiдняття гомеоморфiзму
T i є визначеним з точнiстю до цiлого доданка. Оскiльки гомеоморфiзм кола за
своїм пiдняттям визначається однозначно, будемо використовувати позначення TL
для гомеоморфiзму кола з даним пiдняттям L. Найважливiшою арифметичною
характеристикою зберiгаючого орiєнтацiю гомеоморфiзму T = TL одиничного
кола T1 є число обертання ρ(T ) = µρ(L) ∈ T1, де число обертання пiдняття
ρ(L) = lim
j→∞
Ljx
j
∈ R, x ∈ R, iснує i не залежить вiд вибору початкової точки x.
Це класичний результат теорiї Пуанкаре (див. [12]), з якої також легко випливає,
що число обертання є неперервним функцiоналом на просторi усiх гомеоморфiзмiв
кола (або на просторi пiднять) з неперервною топологiєю.
Хоча число обертання гомеоморфiзму одиничного кола є елементом цього кола,
зазвичай його ототожнюють з вiдповiдним дiйсним числом з промiжку [0, 1), i
ми також це робитимемо. Серед усiх пiднять даного гомеоморфiзму T можна
видiлити його нормалiзоване пiдняття LT , для якого ρ(LT ) = ρ(T ) ∈ [0, 1). (Отже,
для нормалiзованого пiдняття L маємо еквiвалентнiсть позначень: T = TL ⇔
⇔ L = LT .) Легко зрозумiти, що нормалiзоване пiдняття або має властивiсть Id <
< LT < Id+1, i при цьому ρ(T ) ∈ (0, 1), або має нерухому точку LTx∗ = x∗, x∗ ∈
∈ R, i при цьому ρ(T ) = 0. Також легко перевiрити, що якщо ρ(T ) ∈
[
p
q
,
p+ 1
q
)
,
то LT q = LqT − p (тут i далi, розглядаючи рацiональне число у поданнi вигляду
p
q
,
вважаємо, що p ≥ 0 та q ≥ 1 — взаємно простi цiлi числа).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1094 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
У випадку iррацiонального числа обертання ρ = ρ(T ) (що є еквiвалентним вiд-
сутностi в T перiодичних точок) будемо використовувати його розклад у нескiн-
ченний ланцюговий дрiб [13]
ρ = 1/
(
k1 + 1/(k2 + 1/(. . . /(kn + . . .)))
)
=: [k1, k2, . . . , kn, . . .]. (1)
Значенням записаного „злiченно-поверхового” дробу вважається границя послiдов-
ностi рацiональних наближень — скiнченних ланцюгових дробiв pn/qn = [k1, k2, . . .
. . . , kn], n ≥ 0 (де порожнiй ланцюговий дрiб [ ] вважається розкладом числа 0).
При цьому встановлена формулою (1) вiдповiднiсть мiж усiма числами ρ ∈ (0, 1)\Q
та усiма послiдовностями неповних часток [k1, k2, . . . , kn, . . .] ∈ NN, є взаємно
однозначною. Натомiсть кожне рацiональне число
p
q
∈ (0, 1) можна записати у
виглядi (скiнченного) ланцюгового дробу рiвно двома способами внаслiдок вла-
стивостi [k1, k2, . . . , kn, 1] = [k1, k2, . . . , kn + 1]. Отже, можна зауважити (ми ско-
ристаємося цим фактом згодом), що кожне рацiональне число обертання може бути
єдиним чином подано у виглядi ланцюгового дробу парної довжини.
Зберiгаючий орiєнтацiю гомеоморфiзм кола T називається дифеоморфiзмом
гладкостi Cr, r ∈ [2,+∞] ∪ {ω} ∪ {E} (пiд гладкiстю Cω ми розумiємо аналiтич-
нiсть, а пiд гладкiстю CE — цiлу голоморфнiсть), зi зламом у точцi ξ0, якщо
виконуються наступнi умови, якi простiше формулювати в термiнах обмеження
L̄T пiдняття LT на вiдрiзок [x0, x0 + 1], де µx0 = ξ0 :
1) L̄T ∈ Cr([x0, x0 + 1]) (у випадку r = „ω” мається на увазi, що функцiя
L̄T аналiтично продовжується на певний окiл вiдрiзка [x0, x0 + 1] у комплекснiй
площинi C, а у випадку r = „E” — на всю C) ;
2) L̄′T > 0;
3) L̄′T (x0) 6= L̄′T (x0 + 1).
Розмiром зламу дифеоморфiзму кола зi зламом ми називаємо додатне, вiдмiнне
вiд одиницi дiйсне число
c = c(T ) =
√
L̄′T (x0 + 1)
L̄′T (x0)
=
√
T ′(ξ0−)
T ′(ξ0+)
.
Легко переконатися, що розмiр зламу є iнварiантним вiдносно C1 -гладких замiн
координат на колi, а отже, два дифеоморфiзми кола зi зламами рiзного розмiру
нiколи не можуть бути гладко спряженими, i якщо вони є гладко спряженими, то
їхнє спряження переводить точку зламу одного в точку зламу iншого. Оскiльки для
дифеоморфiзмiв кола зi зламом виконується теорема Данжуа, то для пари таких
дифеоморфiзмiв T, T̃ , що мають одне й те ж саме iррацiональне число обертання
та один i той самий розмiр зламу, однозначно визначається гомеоморфiзм кола
ϕ = ϕ(T, T̃ ), який спрягає T i T̃ мiж собою в сенсi ϕ ◦ T ◦ ϕ−1 = T̃ i є єдиним
можливим кандидатом на гладкiсть серед їхнiх спряжень.
Якщо для дифеоморфiзму зi зламом T додатково виконується умова L̄′′T > 0
(L̄′′T < 0) , то вiн називається опуклим донизу (догори); очевидно, при цьому розмiр
зламу c > 1 (c < 1).
Позначимо через Mo та Me два класи iррацiональних чисел ρ = [k1, k2, . . . , kn,
. . .] ∈ (0, 1), для яких пiдпослiдовностi неповних часток з непарними та з парними
iндексами вiдповiдно є обмеженими:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
ПРИКЛАДИ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ, ЯКI СПРЯЖЕНI C1 -ГЛАДКО . . . 1095
Mo =
{
ρ : (∃K > 0) (∀m ∈ N) k2m−1 ≤ K
}
,
Me =
{
ρ : (∃K > 0) (∀m ∈ N) k2m ≤ K
}
.
В роботi [4] було анонсовано (з наступною помилкою: умови ρ ∈ Me та ρ ∈ Mo
там було спiвставлено умовам c > 1 та c < 1 з точнiстю до навпаки), а в роботi [6]
— доведено наступний результат.
Теорема. Нехай T i T̃ — два дифеоморфiзми кола гладкостi C2+α, α ∈
∈ (0, 1), зi зламом одного й того самого розмiру c > 1 (c < 1) з одним i тим
самим iррацiональним числом обертання ρ ∈ Me (ρ ∈ Mo). Тодi їхнє спряження
ϕ = ϕ(T, T̃ ), яке переводить точку зламу T в точку зламу T̃ , є дифеоморфiзмом
кола гладкостi C1.
Зауваження 1. Умова щодо обмеженостi послiдовностей неповних часток з
парними (непарними) iндексами є природною, тому що дозволяє обiйти склад-
ний для аналiзу випадок, коли вiдношення довжин сусiднiх вiдрiзкiв динамiчного
розбиття кола траєкторiєю точки зламу (див. будь-яку зi статей [4 – 6]) є необме-
женим.
Мета цiєї статтi — довести, що оцiнка на гладкiсть спряження ϕ = ϕ(T, T̃ ), яка
фiгурує в данiй теоремi (тобто C1), є непокращуваною: її не можна пiдвищити
до C1+γ , γ > 0, навiть якщо дозволити показнику γ залежати вiд T i T̃ , навiть
у випадку максимальної гладкостi дифеоморфiзмiв зi зламом T i T̃ , якою є CE
(тобто продовжуванiсть до цiлих голоморфних функцiй). Основним результатом є
наступна теорема.
Теорема 1. Iснує така пара T i T̃ дифеоморфiзмiв кола гладкостi CE зi
зламом одного й того самого розмiру c > 1 (c < 1) з одним i тим самим iр-
рацiональним числом обертання, розклад якого в ланцюговий дрiб має вигляд ρ =
= [k1, 1, k2, 1, k3, 1, . . .] ∈Me (ρ = [1, k1, 1, k2, 1, k3, . . .] ∈Mo) , що їхнє спряження
ϕ = ϕ(T, T̃ ), яке переводить точку зламу T в точку зламу T̃ , не є C1+γ -гладким
для жодного γ > 0.
Зауваження 2. Важливою особливiстю обох теорем є вiдсутнiсть будь-якого
обмеження на швидкiсть росту послiдовностi неповних часток, якi стоять на непар-
них (парних) мiсцях в ланцюговому дробi для числа обертання. У першiй теоремi це
означає, що число обертання не зобов’язане бути дiофантовим, як це вимагається
для „чистих” дифеоморфiзмiв у зв’язку зi згаданими вище прикладами Арноль-
да. У другiй теоремi ця послiдовнiсть повинна зростати до нескiнченностi досить
швидко, але ми тут не дослiджуємо цю швидкiсть. В роботi [10] доведено, що у
випадку, коли послiдовнiсть неповних часток є перiодичною, гладкiсть спряження
є саме C1+γ для певного γ > 0. Тобто оцiнка першої теореми є непокращува-
ною лише якщо не дозволяється накладати додатковi умови на число обертання.
Питання про залежнiсть мiнiмальної можливої гладкостi спряження для двох ди-
феоморфiзмiв з однаковим розмiром зламу вiд їхнього спiльного числа обертання
залишається вiдкритим.
Легко переконатися, що якщо ρ(T ) = [k1, k2, k3, . . . , kn, . . .] iз k1 ≥ 2, то
ρ(T−1) = [1, k1−1, k2, . . . , kn−1, . . .], i навпаки, а розмiр зламу c(T−1) = (c(T ))−1.
Тому досить довести теорему 1 в одному з двох включених до неї випадкiв, а iнший
випливатиме з доведеного шляхом обертання побудованої пари дифеоморфiзмiв зi
зламом T, T̃ . Ми побудуємо необхiднi приклади з c > 1, ρ = [k1, 1, k2, 1, k3, 1, . . .],
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1096 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
k1 ≥ 2, причому в класi опуклих донизу дифеоморфiзмiв зi зламом в точцi 0. Отже,
скрiзь нижче вважаємо c > 1.
Для доведення теореми 1 нами буде адаптовано пiдхiд Авiли до доведення ана-
логiчного результату щодо критичних поворотiв кола [7]. Ми почнемо з опису в
п. 3 властивостей опуклих дифеоморфiзмiв кола зi зламом та їхнiх сiмей, що моно-
тонно залежать вiд параметра. У пп. 4 та 5 наведемо iнструментарiй параболiчної
ренормалiзацiї для таких дифеоморфiзмiв, який у п. 6 використаємо для побудови
шуканих прикладiв. Звернемо увагу, що побудови п. 3 вимагають вiд розглядуваних
об’єктiв гладкiсть принаймнi C2, п. 4 — принаймнi C3, п. 5 — принаймнi C4, i,
зрештою, в п. 6 ми розглядатимемо цiлi голоморфнi функцiї.
3. Iтерацiї опуклих дифеоморфiзмiв зi зламом. Розглянемо клас Lrc , c > 1,
r ∈ [2,+∞] ∪ {ω} ∪ {E}, усiх функцiй L : R → R, для яких виконується закон
L(x + 1) ≡ L(x) + 1 та включення L(0) ∈ [0, 1) i обмеження яких L̄ на вiдрiзок
[0, 1] задовольняють наступнi умови: L̄ ∈ Cr([0, 1]), L̄′′ > 0, L̄′(1) = c2L̄′(0) (з
цих умов також випливає, що L̄′ > 0). Легко бачити, що кожен елемент L ∈ Lrc є
нормалiзованим пiдняттям певного дифеоморфiзму кола T = TL гладкостi Cr зi
зламом розмiру c > 1 в точцi 0.
Очевидно, що для кожного j ≥ 1 iтерацiя Lj вiдповiдно до формули для
похiдної композицiї функцiй також має властивостi (Lj)′ > 0 та (Lj)′′ > 0 (в
точках зламу тут мова йде окремо про похiдну злiва та похiдну справа).
Нехай L ∈ Lrc , ρ(TL) =
p
q
. Тодi iтерацiя T qL має в точностi q точок зламу
T−jL (0), 0 ≤ j < q. Вiдповiдно, функцiя f = Lq − p = LT q
L
має в точностi
q точок зламу на кожному промiжку [A,A + 1). Якщо ми впорядкуємо їх як
y0 = 0 < y1 < . . . < yq−1 < yq = 1, {µyj , 0 ≤ j < q} = {T−j(0), 0 ≤ j < q},
то отримаємо, що f є строго опуклою донизу на кожному з вiдрiзкiв [yj , yj+1],
0 ≤ j < q. У гомеоморфiзму кола TL є хоча б одна перiодична траєкторiя, що
складається з q рiзних точок, яким вiдповiдають нерухомi точки функцiї f. Якщо
точка зламу 0 є перiодичною для TL, то всi точки yj , 0 ≤ j ≤ q, є нерухомими
для f, i внаслiдок опуклостi на кожному з вiдрiзкiв [yj , yj+1], 0 ≤ j < q, маємо
f ≤ Id, iнших нерухомих точок, окрiм точок зламу, ця функцiя не має, причому в
кожнiй iз цих точок зламу її похiдна злiва є бiльшою за одиницю, а похiдна справа
— меншою. Припустимо тепер, що точка зламу не є перiодичною. Перiодична
траєкторiя розбиває коло на q дуг, якi гомеоморфiзм TL певним чином циклiчно
переставляє. З цього випливає, що точки цiєї перiодичної траєкторiї чергуються на
колi iз точками µyj , 0 ≤ j < q, тобто на кожнiй дузi кола (µyj , µyj+1), 0 ≤ j < q,
лежить рiвно одна з точок даної перiодичної траєкторiї TL. Вiдповiдно, на кожному
iнтервалi прямої (yj , yj+1), 0 ≤ j < q, лежить рiвно одна нерухома точка f,
образ якої на колi належить до даної перiодичної траєкторiї. З цього випливає,
що на кожному зi згаданих iнтервалiв лежить однакова кiлькiсть нерухомих точок
функцiї f, а внаслiдок опуклостi ця кiлькiсть дорiвнює одиницi або двом (графiк
опуклої функцiї f не може перетинати графiк лiнiйної функцiї Id бiльш нiж у
двох точках). Неважко переконатися, що одиницi ця кiлькiсть дорiвнює тодi i лише
тодi, коли на кожному з указаних iнтервалiв графiк f дотикається до графiка
тотожного вiдображення, при цьому f ≥ Id. Справдi, якщо припустити, що дана
кiлькiсть дорiвнює одиницi, але хоча б на одному з iнтервалiв (yj , yj+1), 0 ≤ j < q,
графiк f перетинає графiк Id таким чином, що рiзниця f − Id змiнює знак,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
ПРИКЛАДИ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ, ЯКI СПРЯЖЕНI C1 -ГЛАДКО . . . 1097
то на якомусь iншому з цих iнтервалiв внаслiдок неперервностi графiки повиннi
перетнутися „у зворотний бiк”, отже, з вiдповiдних двох нерухомих точок одна
буде вiдштовхуючою, а iнша притягуючою, що неможливо, бо вони вiдповiдають
однiй i тiй самiй перiодичнiй траєкторiї TL.
Позначимо через Lrc,p/q множину пiднять L ∈ Lrc таких, що ρ(TL) =
p
q
, i
f = Lq − p ≥ Id. Ми тiльки що довели, що за таких умов гомеоморфiзм кола
TL має єдину перiодичну траєкторiю, i графiк функцiї f = LT q
L
дотикається до
графiка тотожного вiдображення Id в точках, якi вiдповiдають цiй траєкторiї (на
[0, 1] їх рiвно q) та чергуються з точками зламу цiєї функцiї.
Тепер розглянемо, яким чином змiнюється число обертання гомеоморфiзму ко-
ла зi зламом, коли його пiдняття монотонно зростає. Нехай Ls ∈ Lrc , s ∈ (A,B),
— однопараметрична сiм’я пiднять, що строго неперервно зростає за параметром
s, тобто Ls1 < Ls2 при s1 < s2 i Ls → Ls0 при s → s0 рiвномiрно на R.
Нехай Ts = TLs , s ∈ (A,B). Легко бачити, що число обертання ρ(s) = ρ(Ts) =
= limj→+∞
Ljsx
j
є неспадною неперервною функцiєю параметра s. Можна по-
казати, що даного iррацiонального значення ця функцiя може набувати лише при
одному значеннi параметра, тодi як даного рацiонального значення
p
q
вона набу-
ватиме для всiх s з певного невиродженого замкненого промiжку [s∗p/q, s
∗∗
p/q]. При
цьому для s = s∗p/q має мiсце описана вище ситуацiя, коли єдиною перiодичною
траєкторiєю Ts є траєкторiя точки зламу i fs = Lqs − p ≤ Id; для s∗p/q < s < s∗∗p/q
є рiвно двi перiодичнi траєкторiї (одна вiдштовхуюча, а iнша притягуюча), а для
s = s∗∗p/q маємо саме випадок Ls ∈ Lrc,p/q (fs ≥ Id, дотикаючись в q точках на
[0, 1]).Важливою для нас є поведiнка числа обертання ρ(s) для значень параметра
s, якi наближаються до s∗∗p/q з правого боку, тобто для s∗∗p/q < s < s∗∗p/q+δ iз малим
δ > 0.
Твердження 1. Нехай Ls ∈ L2
c , s ∈ (A,B), — однопараметрична сiм’я
пiднять, що строго неперервно зростає за параметром s, i для певного s∗∗ ∈
(A,B) маємо Ls∗∗ ∈ L2
c,[k1,k2,...,k2n]
. Тодi iснує така строго спадна послiдовнiсть
значень параметра sk, k ≥ k0, яка прямує до s∗∗, що Lsk ∈ L2
c,[k1,k2,...,k2n,k]
, i
число обертання ρ(s) може бути подано у виглядi [k1, k2, . . . , k2n, k, . . .] тодi i
лише тодi, коли s ∈ [sk+1, sk].
Доведення. Твердження випливає з упорядкування для кожного k ≥ 1 ланцю-
гових дробiв
[k1, k2, . . . , k2n, k] ≥ [k1, k2, . . . , k2n, k, . . .] ≥
≥ [k1, k2, . . . , k2n, k, 1] = [k1, k2, . . . , k2n, k + 1]
та очевидного прямування [k1, k2, . . . , k2n, k] → [k1, k2, . . . , k2n] при k → +∞, з
урахуванням неперервностi ρ(s) i означення класiв L2
c,p/q.
Зауваження 3. Кожне рацiональне число
p
q
∈ [0, 1) можна подати єдиним
чином у виглядi ланцюгового дробу парної довжини.
Ми описали клас пiднять Lrc,p/q, r ≥ 2, таких, що дифеоморфiзм кола глад-
костi Cr зi зламом з пiдняттям у цьому класi має єдину q -перiодичну траєкторiю
параболiчного типу, тобто таку, яка з одного боку (лiвого) притягує траєкторiї, а
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1098 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
з iншого (правого) — вiдштовхує, при цьому перша похiдна вiд його iтерацiї T q в
точках цiєї траєкторiї дорiвнює одиницi, а друга є додатною. Для бiльш глибоко-
го вивчення динамiки iтерацiй таких вiдображень нам знадобиться iнструментарiй
параболiчної ренормалiзацiї.
4. Параболiчна ренормалiзацiя. Прикладна важливiсть вивчення одновимiр-
них динамiчних систем iз дискретним часом у випадку, коли графiк вiдповiдно-
го вiдображення майже дотикається до графiка тотожного вiдображення, вперше
обґрунтовано в теорiї так званого перемежовування Помо й Манневiлля [14]. Цi
автори зауважили, що в багатьох дисипативних системах (наприклад, в системi
Лоренца) перехiд вiд притягуючого циклу до хаотичного атрактора типово вiдбу-
вається через характерну промiжну поведiнку, в якiй майже перiодичний рух (ре-
гулярнi осциляцiї) перемежовується „спалахами” хаотичного руху. Пояснити це їм
вдалося, коли виявилося, що певне вiдображення Пуанкаре в цьому випадку пово-
диться саме як гладка функцiя, графiк якої при бiфуркацiйному значеннi параметра
дотикається до графiка тотожного вiдображення (параболiчна нерухома точка), при
менших значеннях перетинає його — при цьому система має притягуючий цикл,
а при бiльших майже дотикається, утворюючи вузеньку „воронку” повз нього —
при цьому регулярнi осциляцiї вiдповiдають руху траєкторiї через цю воронку, а
хаотичнi спостерiгаються вiд одного потрапляння в неї до iншого. Виявилося, що
в голоморфному випадку iснує класичний iнструмент дослiдження такої ситуацiї,
який має назву „координати Фату” (див. [15]) i по сутi визначає ренормалiзацiю
iтерацiї нескiнченного порядку даного вiдображення в околi параболiчної нерухо-
мої точки. На дiйсний випадок цей пiдхiд було узагальнено О. Ланфордом (але
не опублiковано) i використано, наприклад, у [16]. Отже, за неможливiстю вказа-
ти посилання ми змушенi будемо означити в цьому пунктi „фольклорне” поняття
параболiчної ренормалiзацiї для дiйсних вiдображень скiнченної гладкостi.
Асимптотику траєкторiї одновимiрного вiдображення в околi точки дотику або
майже дотику до тотожного вивчено досить непогано методами класичного мате-
матичного аналiзу. У випадку вiдображення низької гладкостi асимптотику таких
його iтерацiй пораховано в [5] (леми 5 та 6; їх же сформульовано в [4] як леми 4
та 5 вiдповiдно). Але для необхiдної тут конструкцiї параболiчних ренормалiзацiй
достатньо наступного бiльш простого твердження.
Лема 1. Нехай функцiя F : [0, B]→ R строго зростає i задовольняє асимп-
тотичну оцiнку вигляду F (x) = x−ax2+O(x3), причому F (x) < x для всiх x 6= 0.
Тодi для кожного 0 < A < B рiвномiрно по x ∈ [A,B] та n ≥ 2 виконуються
оцiнки
Fn(x) = a−1n−1 +O(n−2 lnn), (2)
Fn+1(x)− Fn(x) = −a−1n−2 +O(n−3 lnn). (3)
Доведення. Оцiнку (2) легко вивести, наприклад, з побудов роздiлу 8.5 кни-
ги [17]. Оцiнка (3) є безпосереднiм наслiдком (2) та оцiнки F (x)−x = −ax2+O(x3)
з умови.
Для дiйсної функцiї F, яка строго зростає на вiдрiзку [A,B], означимо її афiнну
нормалiзацiю NF,[A,B] : [0, 1]→ [0, 1] згiдно з формулою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
ПРИКЛАДИ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ, ЯКI СПРЯЖЕНI C1 -ГЛАДКО . . . 1099
NF,[A,B](t) =
F (A+ t(B −A))− F (A)
F (B)− F (A)
.
Очевидно, що афiнна нормалiзацiя композицiї двох функцiй є композицiєю їхнiх
афiнних нормалiзацiй: NG◦F,[A,B] = NG,[F (A),F (B)] ◦NF,[A,B].
Нехай L ∈ L3
c,p/q. Позначимо через d+ > 0 та d− < 0 найближчi до нуля неру-
хомi точки функцiї f = Lq − p (вони ж є точками дотику графiкiв f та Id). Роз-
глянемо двi послiдовностi функцiй ΦL,+,n = Nfn,[0,f(0)], ΦL,−,n = Nf−n,[0,f(0)],
n ≥ 0.
Лема 2. Послiдовностi ΦL,+,n, ΦL,−,n, n ≥ 1, у просторi C1([0, 1]) збiга-
ються до певних граничних функцiй ΦL,+ та ΦL,− вiдповiдно. Для цих функцiй
виконуються нерiвностi Φ′L,+,Φ
′
L,− > 0 та рiвностi ΦL,+(0) = ΦL,−(0) = 0,
ΦL,+(1) = ΦL,−(1) = 1.
Доведення. Очевидно, що
Φ′L,+,n(t) =
f(0)
fn+1(0)− fn(0)
n−1∏
j=0
(f ′(f j(f(0)t))) > 0
для всiх n ≥ 0, оскiльки f ′ > 0 (в точцi нуль похiдну вiд f беремо справа). Легко
бачити, що при замiнi координат x 7→ d+ − x лема 1 стає застосовною до функцiї
f. З оцiнок (2), (3) та формули Ейлера
∑n−1
j=1
j−1 = lnn+ const +αn, де αn → 0
при n→ +∞, випливає рiвномiрна по t ∈ [0, 1] оцiнка
ln Φ′L,+,n(t)− ln Φ′L,+,n+k(t) =
= ln
fn+k+1(0)− fn+k(0)
fn+1(0)− fn(0)
−
n+k−1∑
j=n
ln f ′(f j(f(0)t)) =
= ln
2(f ′′(d+))−1(n+ k)−2 +O((n+ k)−3 ln(n+ k))
2(f ′′(d+))−1n−2 +O(n−3 lnn)
−
−
n+k−1∑
j=n
ln f ′(d+ − 2(f ′′(d+))−1j−1 +O(j−2 ln j)) =
= 2 lnn− 2 ln(n+ k) +O(n−1 lnn)+
+
n+k−1∑
j=n
(
(ln f ′)
′
(d+) · 2(f ′′(d+))−1j−1 +O(j−2 ln j)
)
=
= 2 lnn− 2 ln(n+ k) + 2
n+k−1∑
j=n
j−1 +O(n−1 lnn)+
+O
+∞∑
j=n
j−2 ln j
= O(βn),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1100 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
де βn → 0 при n → +∞. Отже, послiдовнiсть неперервних функцiй ln Φ′L,+,n,
n ≥ 0, є фундаментальною за неперервною нормою, а тому рiвномiрно обмеже-
ною i рiвномiрно збiгається до певної неперервної функцiї. З цього випливає, що
послiдовнiсть Φ′L,+,n, n ≥ 0, рiвномiрно збiгається до певної вiдокремленої вiд
нуля додатної неперервної функцiї. А оскiльки для всiх n ≥ 0 має мiсце рiвнiсть
ΦL,+,n(0) = 0 (i так само ΦL,+,n(1) = 1) , то збiжнiсть послiдовностi похiдних за
неперервною нормою обумовлює збiжнiсть послiдовностi власне функцiй ΦL,+,n,
n ≥ 0, за C1 -нормою.
Для послiдовностi ΦL,−,n доведення є повнiстю аналогiчним, якщо зауважити,
що замiна x 7→ x− d− дозволяє застосувати лему 1 до оберненої функцiї f−1.
Лему 2 доведено.
Функцiю RL = ΦL,+◦Φ−1L,− ∈ C1([0, 1]) назвемо параболiчною ренормалiзацiєю
пiдняття L ∈ L3
c,p/q (чи то вiдповiдного дифеоморфiзму кола зi зламом TL).
Твердження 2. Нехай два дифеоморфiзми кола зi зламом T, T̃ з пiдняттями
L = LT , L̃ = LT̃ з класу L3
c,p/q є C1 -гладко спряженими, тобто ϕ ◦T ◦ϕ−1 = T̃
для певного C1 -гладкого дифеоморфiзму кола ϕ. Тодi RL = RL̃.
Доведення. З динамiчних мiркувань очевидно, що спряження ϕ переводить
точку зламу T в точку зламу T̃ i (єдину) перiодичну траєкторiю T в перiодичну
траєкторiю T̃ . Вiдповiдно, пiдняття ψ = Lϕ є C1 -гладким дифеоморфiзмом дiйс-
ної прямої, що, зокрема, має наступнi властивостi: ψ◦L◦ψ−1 = L̃, ψ◦f ◦ψ−1 = f̃ ,
ψ(0) = 0, ψ(dσ) = d̃σ, де σ ∈ {+,−}, а d̃σ позначає найближчу до нуля з вiдпо-
вiдного боку нерухому точку функцiї f̃ = L̃q − p.
Зрозумiло, що Nf2n,[f−n(0),f−n+1(0)] = Φn,+ ◦ Φ−1n,− → RL та
Nf̃2n,[f̃−n(0),f̃−n+1(0)] → RL̃ при n → +∞ за C1 -нормою. Оскiльки [f̃−n(0),
f̃−n+1(0)] = ψ[f−n(0), f−n+1(0)], [f̃n(0), f̃n+1(0)] = ψ[fn(0), fn+1(0)] i ψ◦f2n =
= f̃2n ◦ ψ, то маємо рiвнiсть Nψ,[fn(0),fn+1(0)] ◦ Nf2n,[f−n(0),f−n+1(0)] =
= Nf̃2n,[f̃−n(0),f̃−n+1(0)] ◦ Nψ,[f−n(0),f−n+1(0)]. Для завершення доведення досить
зауважити, що Nψ,[fn(0),fn+1(0)], Nψ,[f−n(0),f−n+1(0)] → Id за C1 -нормою хоча б
тому, що ψ′ неперервна й додатна в околi точок d+ та d−, до яких у границi
стягуються вiдрiзки [fn(0), fn+1(0)] та [f−n(0), f−n+1(0)] вiдповiдно.
Твердження доведено.
5. Збурення, що змiнюють параболiчну ренормалiзацiю. Наша наступна
мета — показати, що як завгодно малi збурення пiдняття L, якi мають вигляд
певних 1-перiодичних тригонометричних полiномiв (тобто сум вигляду a0 +
+
∑m
k=1
(ak cos 2πkx+ bk sin 2πkx)) , змiнюють його параболiчну ренормалiзацiю.
Отже, нехай пiдняття L ∈ L4
c,p/q зафiксовано. Неважко побудувати 1-перiодич-
ний iнтерполяцiйний тригонометричний полiном PL(x), який задовольняє на-
ступнi рiвностi: PL(Lj(0)) = 0, 0 ≤ j < 2q; PL(Lj(d+)) = P ′L(Lj(d+)) = 0,
0 ≤ j < q; PL
(
1
2
f(0)
)
= 1. З iншого боку, розглянемо 1-перiодичну функцiю
∆L класу C∞, яка дорiвнює нулевi зовнi iнтервалiв (0, f(0)) + Z, додатна на
цих iнтервалах, i ∆L
(
1
2
f(0)
)
= 1 є її максимальним значенням на (0, f(0)).
Для кожного η > 0 знайдеться 1-перiодичний апроксимуючий тригонометричний
полiном Pη(x) такий, що maxx
∣∣P (k)
η (x) − ∆
(k)
L (x)
∣∣ ≤ η, 0 ≤ k ≤ 3. Позна-
чимо v(x) = (PL(x))2Pη(x). Збурення v(x) є 1-перiодичним тригонометричним
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
ПРИКЛАДИ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ, ЯКI СПРЯЖЕНI C1 -ГЛАДКО . . . 1101
полiномом, що має наступний ряд властивостей: v(Lj(0)) = 0, 0 ≤ j < 2q;
v(k)(Lj(d+)) = 0, 0 ≤ k ≤ 2, 0 ≤ j < q; |v(x)| ≤ (1 + η)P 2
L(x), x ∈ R;
v(k)(x) = O(η), 0 ≤ k ≤ 3, рiвномiрно по x 6∈ (0, f(0))+Z;
∣∣∣∣v(1
2
f(0)
)
− 1
∣∣∣∣ ≤ η.
Очевидно, що при достатньо малих ε > 0 та η > 0 збурене вiдображення
L + εv належить до класу пiднять Lrc,p/q, причому вiдрiзок траєкторiї точки зла-
му довжини 2q та перiодична траєкторiя у дифеоморфiзмiв кола зi зламом TL
та TL+εv однi й тi самi, до того ж значення першої та другої похiдної в точках
перiодичної траєкторiї також є тими самими для TL i TL+εv. Вiдповiдно, для
функцiї g = (L + εv)q − p виконуються рiвностi g(0) = f(0), g2(0) = f2(0),
g(dσ) = f(dσ) = dσ, g
′(dσ) = f ′(dσ) = 1, g′′(dσ) = f ′′(dσ) > 0, де σ ∈ {+,−}.
Твердження 3. Якщо η i ε достатньо малi, то RL 6= RL+εv.
Доведення. Властивостi полiнома v(x) обумовлюють рiвномiрну по x 6∈ (0,
f(0)) + Z оцiнку ∣∣g(k)(x)− f (k)(x)
∣∣ = O(εη), 0 ≤ k ≤ 3. (4)
Справдi, цю оцiнку легко довести у виглядi
(
(L+εv)j
)(k)
(x)−(Lj)(k)(x) = O(εη),
x 6∈ (0, f(0)) + Z, скiнченною iндукцiєю по 1 ≤ j ≤ q. (Це, до речi, єдине мiсце
в доведеннi, де використовується четверта похiдна вiд L : вона необхiдна для того,
щоб вивести з оцiнки (L+ εv)j(x)− Lj(x) = O(εη) оцiнку L(3)((L+ εv)j(x))−
− L(3)(Lj(x)) = O(εη).)
Для досить малих η0 > 0, ε0 > 0 мають мiсце рiвномiрнi по x ∈ [f(0), f2(0)],
ε ∈ [0, ε0], η ∈ (0, η0] та n ≥ 2 оцiнки
gn(x) = d+ − 2(f ′′(d+))−1n−1 +O(n−2 lnn), (5)
gn+1(x)− gn(x) = 2(f ′′(d+))−1n−2 +O(n−3 lnn). (6)
Вони є наслiдками рiвномiрних обмежень g∗ ≤ g ≤ g∗∗, де g∗ = (L− 2ε0P
2
L)q− p,
g∗∗ = (L+ 2ε0P
2
L)q − p, i застосування леми 1 до цих g∗ та g∗∗.
Нехай ΨL,+,n = Nfn−1,[f(0),f2(0)], n ≥ 1. Очевидно, ΦL,+,n = ΨL,+,n ◦NL, де
NL = Nf,[0,f(0)], i iснує границя ΨL,+ = limn→+∞ΨL,+,n ∈ C1([0, 1]), при цьому
ΦL,+ = ΨL,+ ◦ NL, а отже параболiчна ренормалiзацiя RL = ΨL,+ ◦ NL ◦ Φ−1L,−;
також маємо ΨL,+(0) = 0, ΨL,+(1) = 1 та Ψ′ > 0. Ми покажемо, що вiдмiннiсть
мiж функцiями ΨL,+ та ΨL+εv,+, а також мiж ΦL,− та ΦL+εv,− має порядок
εη, тодi як функцiї NL та NL+εv вiдрiзняються на величину порядку ε, з чого
випливатиме неможливiсть рiвностi RL та RL+εv.
Спочатку оцiнимо рiзницю gn − fn на вiдрiзку [f(0), f2(0)]. По-перше, з (5)
випливає рiвномiрна оцiнка f ′(gn(x)) = f ′(d+−2(f ′′(d+))−1n−1+O(n−2 lnn)) =
= 1 − 2n−1 + O(n−2 lnn), n ≥ 2. По-друге, внаслiдок (5) та (4) з урахуванням
(g−f)(k)(d+) = 0, 0 ≤ k ≤ 2, маємо g(gn(x))−f(gn(x)) = (g−f)(d++O(n−1)) =
= O(εηn−3), n ≥ 2. Складаючи цi двi оцiнки, одержуємо, що iснує таке C > 0,
що ∣∣gn+1(x)− fn+1(x)
∣∣ ≤ Cεηn−3 + (1− 2n−1 + Cn−2 lnn)|gn(x)− fn(x)|
для всiх n ≥ 2, x ∈ [f(0), f2(0)], ε ∈ [0, ε0], η ∈ (0, η0]. Телескопуючи останню
нерiвнiсть, отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1102 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
|gn+1(x)− fn+1(x)| ≤
≤ Cεη
(
n−3 +
n∑
k=n0+1
Pnk (k − 1)−3
)
+ Pnn0
|gn0(x)− fn0(x)| (7)
для всiх n ≥ n0 ≥ 2, де Pnk =
∏n
j=k
(1− 2j−1 + Cj−2 ln j). Вважатимемо n0 на-
стiльки великим, що ln(1− 2j−1 +Cj−2 ln j) = −2j−1 +Cj−2 ln j +O((−2j−1 +
+ Cj−2 ln j)2) ≤ −2j−1 + 2Cj−2 ln j при j ≥ n0. Тодi для n0 ≤ k ≤ n має-
мо lnPnk ≤
∑n
j=k
(−2j−1 + 2Cj−2 ln j) = 2(ln(k − 1) − lnn + αk−1 − αn +
+ C
∑n
j=k
j−2 ln j) за формулою Ейлера, а отже, Pnk ≤ C1(k − 1)2n−2, де C1 =
= exp
(
4 maxj≥n0−1 |αj |+ 2C
∑+∞
j=n0
j−2 ln j
)
. З одержаної нерiвностi виводимо
оцiнку на суму у великих дужках в (7): n−3 +
∑n
k=n0+1
Pnk (k − 1)−3 ≤ n−3 +
+ C1
∑n
k=n0+1
(k − 1)−1n−2 ≤ C1n
−2
∑n
j=n0
j−1 = C1n
−2(lnn − ln(n0 − 1) +
+ αn − αn0−1) = O(n−2 lnn). У пiдсумку з (7) отримуємо рiвномiрну по x ∈
∈ [f(0), f2(0)], ε ∈ [0, ε0], η ∈ (0, η0] та n ≥ 2 оцiнку
gn(x)− fn(x) = O(εηn−2 lnn). (8)
Наступним кроком оцiнимо рiзницю ln Ψ′L+εv,+ − ln Ψ′L,+. Нехай x = f(0) +
+ t(f2(0) − f(0)), t ∈ [0, 1]. За означенням функцiй ΨL,+,n та ΨL+εv,+,n має-
мо ln Ψ′L,+,n(t) = ln
(
f2(0) − f(0)
)
− ln
(
fn+1(0) − fn(0)
)
+
∑n−2
j=0
ln f ′(f j(x)),
ln Ψ′L+εv,+,n(t) = ln
(
g2(0)− g(0)
)
− ln
(
gn+1(0)− gn(0)
)
+
∑n−2
j=0
ln g′(gj(x)), а
отже, з урахуванням g(0) = f(0), g2(0) = f2(0) дiстаємо
ln Ψ′L+εv,+,n(t)− ln Ψ′L,+,n(t) = ln
fn+1(0)− fn(0)
gn+1(0)− gn(0)
+
+
n−2∑
j=1
(
ln f ′(gj(x))− ln f ′(f j(x))
)
+
n−2∑
j=0
(
ln g′(gj(x))− ln f ′(gj(x))
)
. (9)
Оцiнимо кожен iз трьох доданкiв у правiй частинi (9) окремо. Внаслiдок (6) пер-
ший iз них є O(n−1 lnn). Другий є O(εη), оскiльки ln f ′(gj(x))− ln f ′(f j(x)) =
= O(εηj−2 ln j), 2 ≤ j ≤ n − 2, згiдно з (8), а ряд
∑+∞
j=2
j−2 ln j збiгаєть-
ся, тодi як при j = 1 досить використати (4). Третiй доданок також є O(εη),
тому що g′(gj(x)) − f ′(gj(x)) = O(εηj−2) внаслiдок (4) та (5) з урахуванням
(g − f)′(d+) = 0, (g − f)′′(d+) = 0, а ряд
∑+∞
j=2
j−2 збiгається. Всi записанi тут
оцiнки є рiвномiрними по x ∈ [f(0), f2(0)], ε ∈ [0, ε0], η ∈ (0, η0] та n ≥ 2. Отже,
спрямувавши n→ +∞, з (9) дiстанемо ln Ψ′L+εv,+(t)− ln Ψ′L,+(t) = O(εη), з чого
одразу випливає рiвномiрна по t ∈ [0, 1], ε ∈ [0, ε0], η ∈ (0, η0] оцiнка
ΨL+εv,+(t)−ΨL,+(t) = O(εη). (10)
Аналогiчним чином доводиться, що ln Φ′L+εv,−(t)− ln Φ′L,−(t) = O(εη), з чого
випливає рiвномiрна по t ∈ [0, 1], ε ∈ [0, ε0], η ∈ (0, η0] оцiнка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
ПРИКЛАДИ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ, ЯКI СПРЯЖЕНI C1 -ГЛАДКО . . . 1103
Φ−1L+εv,−(t)− Φ−1L,−(t) = O(εη). (11)
З iншого боку,
g
(
f(0)
2
)
− f
(
f(0)
2
)
= (L+ εv)q
(
f(0)
2
)
− Lq
(
f(0)
2
)
=
= Lq−1
(
(L+ εv)
(
f(0)
2
))
− Lq−1
(
L
(
f(0)
2
))
+O(εη) =
= (Lq−1)′
(
L
(
f(0)
2
))
ε+O(ε2) +O(εη)
(тут ми використали оцiнку ((L+εv)q−1)(x)−Lq−1(x) = O(εη) для x 6∈ (0, f(0))+
+ Z, див. доведення оцiнки (4) вище). Вiдповiдно, має мiсце рiвномiрна по ε ∈
∈ (0, ε0] та η ∈ (0, η0] оцiнка
NL+εv (1/2)−NL (1/2) = Kε+O(ε2) +O(εη), (12)
де K =
(
(f2(0)− f(0))
)−1
(Lq−1)′
(
L
(
f(0)
2
))
> 0.
Збираючи разом оцiнки (10), (11) та (12), в точцi t∗ = ΦL,−(1/2) отримуємо
RL+εv(t∗) − RL(t∗) = Ψ′L,+(θ)Kε + O(ε2) + O(εη), де θ — певна точка мiж
NL+εv(Φ
−1
L+εv(t∗)) та NL(1/2). Очевидно, що при досить малих η та ε з останньої
оцiнки випливає, що RL+εv(t∗)−RL(t∗) ≥ K1ε iз K1 =
1
2
KΨ′L,+(NL(1/2)) > 0,
отже, RL+εv 6= RL.
Твердження доведено.
6. Побудова прикладу. Нам знадобляться деякi нескладнi конструкцiї з областi
функцiонального аналiзу (див., наприклад, [18]).
По-перше, клас H1+(T1) усiх зберiгаючих орiєнтацiю дифеоморфiзмiв кола,
якi переводять нуль в нуль i мають гладкiсть C1+γ хоча б для якогось γ > 0,
можна подати як об’єднання злiченної кiлькостi класiв Kn, n ≥ 0, що є компакт-
ними за C1 -топологiєю. Наприклад, за Kn можна взяти множину усiх C1 -гладких
дифеоморфiзмiв, що задовольняють нерiвнiсть |ϕ′(ξ1) − ϕ′(ξ2)| ≤ Mn|ξ1 − ξ2|γn
(тут |ξ1 − ξ2| — довжина меншої з двох дуг кола з кiнцями ξ1 i ξ2) , де Mn, γn —
довiльнi монотоннi послiдовностi додатних чисел, перша з яких прямує до нескiн-
ченностi, а друга — до нуля. Очевидно, що Kn ⊂ Kn+1 i H1+(T1) =
⋃+∞
n=0Kn, а
компактами за C1 -топологiєю кожен iз класiв Kn є внаслiдок теореми Арцела.
По-друге, неважко переконатися, що функцiя
dist(f, g) = D(f − g),
де
D(f) =
+∞∑
m=1
2−m
max|z|≤m |f(z)|
max|z|≤m |f(z)|+ 1
,
задає скiнченну метрику на просторi всiх цiлих голоморфних функцiй, причому в
iндукованiй нею топологiї цей простiр є повним, i збiжнiсть послiдовностi функцiй
за цiєю метрикою обумовлює рiвномiрну збiжнiсть їхнiх похiдних усiх порядкiв на
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1104 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
усiх компактних пiдмножинах C. Такий самий запис dist(L, L̃) для функцiй L, L̃ ∈
∈ LEc позначатиме означену вище вiдстань мiж цiлими голоморфними функцiями,
до яких продовжуються обмеження L, L̃ на вiдрiзок [0, 1].
Необхiдним для доведення теореми 1 прикладом стане границя послiдовностi
пар пiднять Ln, L̃n ∈ LEc,[k1,1,k2,1,...,1,kn,1], n ≥ 0, RLn 6= RL̃n
, для побудови яких
буде використано наступну iндуктивну процедуру. В якостi бази виберемо довiльне
пiдняття L0 ∈ LEc,0 i L̃0 = L0 + ε0v0 — його збурення, побудоване вiдповiдно до
п. 5 таким чином, що RL0
6= RL̃0
.
Для кожної вже побудованої пари Ln, L̃n ∈ LEc,[k1,1,k2,1,...,1,kn,1], n ≥ 0, RLn 6=
6= RL̃n
, знайдеться таке δ∗n > 0, що жоднi два дифеоморфiзми кола зi зламом,
чиї пiдняття L, L̃ ∈ LEc лежать в замкнених δ∗n -околах (за метрикою dist) пiднять
Ln, L̃n вiдповiдно, не можуть бути спряженими за допомогою дифеоморфiзму з
множини Kn. Справдi, якби це було не так, то iснувала б послiдовнiсть дифео-
морфiзмiв ϕn,j ∈ Kn, j ≥ 1, i пiднять Ln,j , L̃n,j ∈ LEc таких, що Ln,j → Ln,
L̃n,j → L̃n при j → +∞ за метрикою dist, i ψn,j ◦ Ln,j ◦ ψ−1n,j = L̃n,j , де
ψn,j = Lϕn,j . Оскiльки множина Kn компактна за C1 -топологiєю, то з цього ви-
пливала б рiвнiсть ψn ◦ Ln ◦ ψ−1n = L̃n, а отже й ϕn ◦ TLn
◦ ϕ−1n = TL̃n
з певним
ψn = Lϕn , ϕn ∈ Kn, тому за твердженням 2 мала б мiсце рiвнiсть RLn = RL̃n
,
що суперечить припущенню щодо пари Ln, L̃n.
Покладемо δ0 = δ∗0 , δn = min
{
2−n, δ∗n, δn−1 − dist(Ln, Ln−1), δn−1 −
−dist(L̃n, L̃n−1)
}
при n ≥ 1. Вiдповiдно до твердження 1 (та зауваження до
нього), знайдуться такi досить малi un > 0 та ũn > 0, що ρ(Ln + un) =
= ρ(L̃n + ũn) = [k1, 1, k2, 1, . . . , 1, kn, 1, kn+1, 1] з певним досить великим kn+1,
i при цьому D(un) < δn, D(ũn) < δn/2. Якщо RLn+1
6= RL̃n+ũn
, то по-
кладаємо Ln+1 = Ln + un, L̃n+1 = L̃n + ũn, в протилежному випадку бере-
мо L̃n+1 = L̃n + ũn + εnvn, де збурення εnvn побудовано вiдповiдно до п. 5
таким чином, що RL̃n+ũn
6= RL̃n+1+ũn+εnvn
, причому εn настiльки мале, що
D(εnvn) < δn/2 i εn|v′′n| < 2−n infx∈(0,1) L̃
′′
0(x). В результатi одержуємо пiдняття
Ln+1, L̃n+1 ∈ LEc,[k1,1,k2,1,...,1,kn,1,kn+1,1]
, RLn+1
6= RL̃n+1
, dist(Ln+1, Ln) < δn,
dist(L̃n+1, L̃n) < δn.
Побудованi описаним чином послiдовностi Ln, L̃n, n ≥ 0, задовольняють
нерiвностi dist(Ln+m, Ln) < δn ≤ δ∗n, dist(L̃n+m, L̃n) < δn ≤ δ∗n для всiх
n,m ≥ 0, причому δn → 0, n → +∞. Внаслiдок повноти цi послiдовностi збi-
гаються у просторi цiлих голоморфних функцiй, граничнi цiлi голоморфнi функцiї
породжують певнi пiдняття L, L̃ ∈ LEc вiдповiдно
(
рiвностi L(1) = L(0) + 1,
L′(1−) = c2L′(0+) та L̃(1) = L̃(0) + 1, L̃′(1−) = c2L̃′(0+) виконуються внаслi-
док граничного переходу; L′′ = L′′0 > 0, L̃′′ = L′′0 −
∑
n
εnv
′′
n > 0 за побудовою;
L(0), L̃(0) ∈ (0, 1), оскiльки їхнє число обертання iррацiональне
)
, i число обер-
тання ρ(L) = ρ(L̃) = [k1, 1, k2, 1, . . . , 1, kn, 1, . . .] внаслiдок його неперервностi як
функцiї пiдняття. З iншого боку, L та L̃ належать δ∗n -околам Ln та L̃n вiдповiдно
для кожного n ≥ 0, а тому вони не можуть бути спряженi жодним дифеоморфiзмом
з
⋃+∞
n=0Kn = H1+(T1), що й потрiбно було довести.
Автор висловлює подяку С. Колядi, I. Мiтельману, В. Савчуку, К. Ханiну,
М. Якобсону та М. Ямпольському за допомогу у з’ясуваннi окремих питань.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
ПРИКЛАДИ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ, ЯКI СПРЯЖЕНI C1 -ГЛАДКО . . . 1105
1. Denjoy A. Sur les courbes definies par les equation differentielles a la surface du tore // J. math. pures
et appl. – 1932. – 11. – P. 333 – 375.
2. Арнольд В. И. Малые знаменатели I. Об отображениях окружности на себя // Изв. АН СССР. –
1961. – 25, № 1. – С. 21 – 86.
3. Herman M.-R. Sur la conjugaison differentiable des diffeomorphismes du cercle a des rotations //
I. H. E. S.Publ.Math. – 1979. – 49. – P. 5 – 233.
4. Теплинский А. Ю., Ханин К. М. Жесткость для диффеоморфизмов окружности с особенностями //
Успехи мат. наук. – 2004. – 59, № 2. – С. 137 – 160.
5. Khanin K., Teplinsky A. Robust rigidity for circle diffeomorphisms with singularities // Invent. math. –
2007. – 169, № 1. – P. 193 – 218.
6. Теплiнський О. Ю., Ханiн К. М. Гладке спряження дифеоморфiзмiв кола зi зламом // Нелiнiйнi
коливання. – 2010. – 13, № 1. – С. 100 – 114.
7. Avila A. On rigidity of critical circle maps. – Paris, 2005. – 5 p. – Preprint / Univ. Paris 6. (Available
from http://www.impa.br/∼avila/circle.pdf).
8. Вул Е. Б., Ханин К. М. Гомеоморфизмы окружности с особенностью типа излома // Успехи мат.
наук. – 1990. – 45, № 3. – С. 189 – 190.
9. Khanin K. M., Vul E. B. Circle homeomorphisms with weak discontinuities // Proc. Int. Conf. “Dynamical
systems and statistical mechanics” (Moscow, 1991). – Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991. –
P. 57 – 98.
10. Khanin K., Khmelev D. Renormalizations and rigidity theory for circle homeomorphisms with
singularities of break type // Communs Math. Phys. – 2003. – 235, № 1. – P. 69 – 124.
11. Теплiнський О. Ю. Гiперболiчна пiдкова для дифеоморфiзмiв кола зi зламом // Нелiнiйнi коливання.
– 2008. – 11, № 1. – С. 112 – 127.
12. Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. – М.: Наука, 1980. – 383 с.
13. Хинчин А. Я. Цепные дроби. – М.: Физматгиз, 1960. – 112 с.
14. Pomeau Y., Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems //
Communs Math. Phys. – 1980. – 74, № 2. – P. 189 – 197.
15. Milnor J. Dynamics in one complex variable. – 3 rd ed. // Ann. Math. Stud. – Princeton, NJ: Princeton
Univ. Press, 2006. – 160. – 310 p.
16. Bleher P. M., Jakobson M. V. Absolutely continuous invariant measures for some maps of the circle //
Statistical Physics and Dinamical Systems. Progress in Physics. – 1985. – 10. – P. 303 – 315.
17. де Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. – М.: Изд-во иностр. лит., 1961. – 247 с.
18. Рудин У. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1975. – 443 с.
Одержано 12.01.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2939 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:33:12Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c9/ea62470293ecd028e38629180c20cbc9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29392020-03-18T19:40:46Z Examples of $C^1$-smoothly conjugate diffeomorphisms of the circle with break that are not $C^{1+γ}$ -smoothly conjugate Приклади дифеоморфізмів кола зі зламом, які спряжені $C^1$-гладко, але не $C^{1+γ}$-гладко Teplins’kyi, O. Yu. Теплінський, О. Ю. We prove the existence of two real-analytic diffeomorphisms of the circle with break of the same size and an irrational rotation number of semibounded type that are not $C^{1+γ}$-smoothly conjugate for any $γ > 0$. In this way, we show that the previous result concerning the $C^1$-smoothness of conjugacy for these mappings is the exact estimate of smoothness for this conjugacy. Доказано существование двух действительно-аналитических диффеоморфизмов окружности с изломом одинакового размера и иррациональным числом вращения полуограниченного типа, которые не являются $C^{1+γ}$-гладко сопряженными ни для какого $γ > 0$. Тем самым показано, что полученный ранее результат относительно $C^1$-гладкости сопряжения таких отображений является точной оценкой на гладкость этого сопряжения. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2939 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 8 (2010); 1092–1105 Український математичний журнал; Том 62 № 8 (2010); 1092–1105 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2939/2628 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2939/2629 Copyright (c) 2010 Teplins’kyi O. Yu. |
| spellingShingle | Teplins’kyi, O. Yu. Теплінський, О. Ю. Examples of $C^1$-smoothly conjugate diffeomorphisms of the circle with break that are not $C^{1+γ}$ -smoothly conjugate |
| title | Examples of $C^1$-smoothly conjugate diffeomorphisms of the circle with break that are not $C^{1+γ}$ -smoothly conjugate |
| title_alt | Приклади дифеоморфізмів кола зі зламом, які спряжені $C^1$-гладко, але не $C^{1+γ}$-гладко |
| title_full | Examples of $C^1$-smoothly conjugate diffeomorphisms of the circle with break that are not $C^{1+γ}$ -smoothly conjugate |
| title_fullStr | Examples of $C^1$-smoothly conjugate diffeomorphisms of the circle with break that are not $C^{1+γ}$ -smoothly conjugate |
| title_full_unstemmed | Examples of $C^1$-smoothly conjugate diffeomorphisms of the circle with break that are not $C^{1+γ}$ -smoothly conjugate |
| title_short | Examples of $C^1$-smoothly conjugate diffeomorphisms of the circle with break that are not $C^{1+γ}$ -smoothly conjugate |
| title_sort | examples of $c^1$-smoothly conjugate diffeomorphisms of the circle with break that are not $c^{1+γ}$ -smoothly conjugate |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2939 |
| work_keys_str_mv | AT teplinskyioyu examplesofc1smoothlyconjugatediffeomorphismsofthecirclewithbreakthatarenotc1gsmoothlyconjugate AT teplínsʹkijoû examplesofc1smoothlyconjugatediffeomorphismsofthecirclewithbreakthatarenotc1gsmoothlyconjugate AT teplinskyioyu prikladidifeomorfízmívkolazízlamomâkísprâženíc1gladkoalenec1ggladko AT teplínsʹkijoû prikladidifeomorfízmívkolazízlamomâkísprâženíc1gladkoalenec1ggladko |