Modules of continuity and analytic functions
For a function analytic in a compact domain and continuous in its closure, it is shown that the modules of continuity on the boundary of the domain and in its closure coincide.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2940 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508943004991488 |
|---|---|
| author | Trohimchuk, Yu. Yu Трохимчук, Ю. Ю. Трохимчук, Ю. Ю. |
| author_facet | Trohimchuk, Yu. Yu Трохимчук, Ю. Ю. Трохимчук, Ю. Ю. |
| author_sort | Trohimchuk, Yu. Yu |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:46Z |
| description | For a function analytic in a compact domain and continuous in its closure, it is shown that the modules of continuity on the boundary of the domain and in its closure coincide. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:33:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Ю. Ю. Трохимчук (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
МОДУЛИ НЕПРЕРЫВНОСТИ
И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
For a function analytic in a compact domain and continuous in its closure, it is proved that the module of
continuity on a boundary of the domain coincides with the module of continuity in its closure.
Доведено, що для функцiї, аналiтичної в компактнiй областi i неперервної в її замиканнi, модулi непе-
рервностi на межi областi i в її замиканнi збiгаються мiж собою.
Пусть K ⊂ Rp — компакт в евклидовом пространстве Rp, p ≥ 1, и f : K → Rq,
q ≥ 1, — непрерывное отображение. Как уже принято, модулем непрерывности
отображения f называется функция ωK(f, δ) = ωK(δ), δ ∈ [0,diamK], определяе-
мая следующим образом:
ωK(δ) = max
x1,x2∈K
∣∣f(x1)− f(x2)
∣∣
при всех x1, x2 таких, что |x1 − x2| ≤ δ.
Известно [1], что такая функция монотонно не убывает, полуаддитивна сверху,
т. е.
ω(δ1 + δ2) ≤ ω(δ1) + ω(δ2),
и непрерывна на отрезке [0,diamK], причем ω(0) = 0.
Если отображение f определено на некотором множестве, то в определении
модуля непрерывности следует взять вместо максимума точную верхнюю грань.
Во многих исследованиях непрерывных отображений чаще рассматривают не
сами модули непрерывности, а их более простые мажоранты, позволяющие дости-
гать определенных результатов. Например, если мажорантой для ω(f, δ) является
функция ω∗(δ) = Lδ, то отсюда следует, что само отображение f липшицево, с
константой L, что имеют место всевозможные интегральные представления, свя-
занные с ним, и т. д. Короче, для многих целей рассмотрение таких мажорант
оказывается достаточным.
В настоящей статье будем рассматривать следующую ситуацию: даны область
G ⊂ C, функция f(z), аналитическая в G, которая непрерывно продолжается на
границу ∂G = G \ G. Ставится вопрос: как связаны между собой модули непре-
рывности функций f |∂G и f |G ?
Что касается рассмотрения мажоранты этих модулей, то здесь получено много
результатов (см., например, [2]).
Нашей же целью является сравнение „чистых” модулей на границе множества
G и на его замыкании. Мы покажем, что эти модули всегда совпадают.
Приведем несколько общих утверждений о модулях непрерывности.
Пусть в некоторой замкнутой области G ⊂ Rp модуль непрерывности ω(δ)
отображения f : G → Rq имеет конечное производное число L в точке δ = 0
(это еще не производная!). Тогда для соответствующей последовательности δn > 0
имеем
ω(δn)
δn
≥ |f(x+ ξn)− f(x)|
δn
, |ξn| = δn.
c© Ю. Ю. ТРОХИМЧУК, 2010
1106 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
МОДУЛИ НЕПРЕРЫВНОСТИ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1107
Но тогда (см. [3]) отображение f будет локально липшицевым с константой L, и
если G выпукла, то f липшицева во всей области.
Фактически именно отсюда следует такая теорема.
Теорема 1. Если G — выпуклая область в Rp, то либо ω′(0) = +∞, либо
ω′(0) = L. В последнем случае f липшицево, мажорантой для ω(δ) является Lδ
и сама функция ω(δ) липшицева с константой L.
Последнее утверждение следует из свойства полуаддитивности
ω(δ + ∆δ) ≤ ω(δ) + ω(∆δ)
и
ω(δ + ∆δ)− ω(δ)
∆δ
≤ ω∆δ
∆δ
.
Приведем еще одно утверждение.
Назовем функцию f : K → Rq нигде не постоянной, если ни на какой открытой
порции K не выполняется равенство f = const.
Теорема 2. Если K ⊂ Rp, f : K → Rq — нигде не постоянная функция и для
модуля непрерывности ω(δ) отображения f выполняется
lim
δ→0
∣∣∣∣ lnω(δ)
ln δ
∣∣∣∣ > p,
то образ f(K) ⊂ Rq имеет длину нуль (т. е. 1-мера Хаусдорфа его равна нулю).
Отметим, что условие непостоянства здесь нужно только для конечности lnω(δ).
Доказательство. Обозначим через Aε(K) совокупность всевозможных ε-
сетей E компакта K. Для фиксированного ε > 0 рассмотрим число
Nε(K) = min
{
card E : E ∈ Aε(K)
}
.
Воспользуемся известными неравенствами [4]
N2ε(K) ≤ Lp(Kε)�Lp(B, ε) ≤ 15pN2ε(K), (1)
где Kε — ε-окрестность K, (B, ε) — шар радиуса ε, Lp — лебегова мера.
Пусть для последовательности {δn}, δn → 0, выполняется
lnω(δn)
ln δn
≥ p+ η, η > 0;
рассмотрим последовательность En („минимальных”)
δn
2
-сетей компакта K.
По определению, шары B
(
x,
δn
2
)
, x ∈ En, покрывают все K и число их равно
Nδn . В каждом из этих шаров выберем пару точек x′, x′′ так, чтобы∣∣f(x′)− f(x′′)
∣∣ = diam f(K ∩B);
поскольку |x′ − x′′| ≤ δn, то |f(x′)− f(x′′)| ≤ ω(δn).
Далее,
ln
1
ω(δn)
ln
1
δn
≥ p+ η, ln
1
ω(δn)
≥ (p+ η) ln
1
δn
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1108 Ю. Ю. ТРОХИМЧУК
1
ω(δn)
≥ 1
δp+ηn
, ω(δn) ≤ δp+ηn ,
т. е.
∣∣f(x′)− f(x′′)
∣∣ ≤ δp+ηn .
Итак, образ каждой порции K ∩B имеет диаметр ≤ 2δp+ηn ; число этих порций
равно Nδn . Неравенство (1) принимает здесь вид
Nδn ≤ Lp
(
Kδn/2
)
�Lp
(
B,
δn
2
)
≤ 15pNδn .
Сумма всех этих диаметров оценивается так:∑
|f(x′)− f(x′′)| ≤
∑
Nδn
δp+ηn = δηn · C
∑
Lp
(
B,
δn
2
)
≤ δηn · C1 · Lp
(
Kδn/2
)
,
где C, C1 — абсолютные константы, а Lp
(
Kδn/2
)
, конечно, ограничены сверху;
так как η — фиксированное, а δn → 0, отсюда и следует наше утверждение.
Отсюда, конечно, легко следует, что величина
lnω(δ)
ln δ
для любого компакта K ограничена сверху (грубо говоря, размерностью этого
компакта).
Интересно сопоставить наш результат с известным метрическим определением
размерности [5]: это нижняя грань lim
(
− lnNε(K)
ln ε
)
, взятая для всех метрик
компакта K. Теорема 2 и привела нас при доказательстве к компактам нулевой
размерности.
Перейдем теперь к теме, связанной с аналитическими функциями.
Определим сначала локальный модуль непрерывности ωG(f ; z0, δ) непрерыв-
ной в G функции f(z) в точке z0 ∈ G как
max
|z−z0|≤δz∈G
∣∣f(z)− f(z0)
∣∣.
Приведем прежде всего одну лемму [2].
Лема. Пусть G — произвольное открытое множество и f(z) 6= const —
функция, непрерывная в G и аналитическая в G. Тогда для каждого δ > 0 най-
дется точка z0, являющаяся граничной точкой одной из компонент множества
G, для которой
ωG(f ; z0, δ) = ωG(f ; δ).
Доказательство. Зафиксируем δ > 0 и предположим, что ωG(f ; δ) > 0. Тогда
существуют конечные точки z1, z2 ∈ G такие, что |z1 − z2| ≤ δ и∣∣f(z1)− f(z2)
∣∣ = ωG(f ; δ). (2)
Доказательство должно быть продолжено лишь в случае, когда каждая из точек z1,
z2 принадлежит множеству G.
В этом случае при некотором ρ > 0 круги {z : |z− z1| < ρ} и {z : |z− z2| < ρ}
лежат в G. Выберем среди этих ρ максимальное конечное значение ρ0. В круге
{ζ : |ζ| ≤ ρ0}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
МОДУЛИ НЕПРЕРЫВНОСТИ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1109∣∣f(ζ + z1)− f(ζ + z2)
∣∣ ≤ ωG(f ; δ), (3)
а в силу (2) и (3)∣∣f(ζ + z1)− f(ζ + z2)
∣∣ = ωG(f ; δ) ∀ζ, |ζ| ≤ ρ0. (4)
Поскольку при некотором ζ0, |ζ| = ρ0, хотя бы одна из точек ζ + z1 и ζ +
+ z2 является граничной для какой-то из компонент множества G, из (4) следует
утверждение леммы.
Приведем определенное дополнение к проведенному доказательству.
Рассмотрим опять случай, когда пара „экстремальных” точек z1, z2 принадле-
жат области аналитичности G.
Прежде всего, так как функция f(ζ + z1) − f(ζ + z2) достигает максимума
своего модуля внутри круга |ζ| ≤ ρ0, она является там константой:
f(ζ + z1)− f(ζ + z2) = ω(δ)eiα (α — постоянное).
Это равенство означает, что в кругах |ζ − z1| ≤ ρ0, |ζ − z2| ≤ ρ0 из области G
соответствующие значения функции f отличаются сдвигом на постоянный вектор.
Но поскольку f(z) аналитична во всей области G, данное равенство выполняется
в более широком открытом множестве, содержащем эти круги.
Его легко определить; для этого удобнее будет ввести в z-плоскости вспомога-
тельную функцию
ϕ(z) = f(z + ζ)− f(z), ζ = z2 − z1.
Искомое множество есть пересечение G ∩ G−ζ , где через G−ζ обозначен сдвиг
области G на вектор −ζ.
Мы рассмотрим внешний граничный континуум области G : по определению,
это граница (односвязной, конечно) неограниченной компоненты дополнения
C \ G. Нетрудно показать, что внешние граничные континуумы областей G и G−ζ
пересекаются; это следует из того, что пересечение G∩G−ζ непусто: оно содержит,
например, точку z1.
Возьмем точку пересечения из ∂G ∩ ∂G−ζ ; ей соответствуют две граничные
точки z′1, z
′
2 первоначальной области G такие, что |z′1 − z′2| ≤ δ и
f(z′1)− f(z′2) = ω(δ)eiα
в силу постоянства функции ϕ(z) в G ∩ G−ζ .
Итак, если значение модуля непрерывности аналитической функции достига-
ется внутри области, то оно достигается и на ее границе.
Теорема 3. Пусть G ⊂ C — ограниченная область и f(z) 6= const — функция,
непрерывная в G и аналитическая в G. Тогда для каждого δ > 0
ωG(f ; δ) = ω∂G(f ; δ).
Это равенство можно заменить (конечно, равносильным ему) неравенством,
которое хорошо сочетается с классическим принципом максимума, а именно,
ωG(f ; δ) ≤ ω∂G(f ; δ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1110 Ю. Ю. ТРОХИМЧУК
Здесь используются уже „вживую” сами модули непрерывности как функции от δ,
а не привычные до сих пор их мажоранты. И типичная с ними формулировка такая:
если ω∂G(δ) имеет мажоранту ω(δ) : ω∂G(δ) ≤ ω(δ), то и ωG(δ) ≤ ω(δ), а модули
непрерывности ω∂G(δ), ωG(δ) как функции от δ, со своими индивидуальными
значениями, как бы и ни при чем . . .
Доказательство теоремы. Итак, имеем непрерывную в замыкании G функ-
цию f(z), аналитическую в G. Для удобства сразу продолжим ее на всю плоскость
по непрерывности.
Возьмем произвольное δ < diamG и, по лемме, точку z0 на границе ∂G0, для
которой
ωG(f ; z0, δ) = ωG(f ; δ).
Доказательство проведем сначала для случая односвязной области G.
Предположим, вопреки данному утверждению, что
ω∂G(f ; δ) < ωG(f ; δ);
это, конечно, верно и отдельно для G. Это означает, что в δ-окрестности Uδ(z)
каждой граничной точки z ∈ ∂G0 выполняется неравенство∣∣f(z′)− f(z)
∣∣ ≤ ω′1 = ω∂G(δ) < ωG(δ) = ω
для всех z′ ∈ ∂G0 ∩ Uδ(z).
В то же время в круге |z − z0| ≤ δ в некоторой точке z̃ /∈ ∂G (очевидно, на
окружности |z − z0| = δ ) достигается max
z∈Uδ
∣∣f(z)− f(z0)
∣∣ = ω(δ) = ω.
Возьмем ε > 0 настолько малым, чтобы еще ω1 < ω − ε = ω0. Рассмотрим
множество
g =
{
z : |f(z)− f(z0)| > ω0
}
.
Очевидно, что z̃ ∈ g.
Открытое множество g (на плоскости, а не только в G — ведь f непрерывна на
всей плоскости) не может быть компактным в G, как и множество |ψ(z)| > C для
любой аналитической функции ψ(z), z ∈ G. Поэтому найдется целая открытая
порция (напомним, связной) границы ∂G, принадлежащая g. Выберем на ней
произвольную точку ζ0 :
|f(ζ0)− f(z0)| > ω0.
(Ясно при этом, что |ζ0 − z0| > δ.)
Далее, выбираем на границе ∂G цепочку точек
z0, z1, . . . , zk, . . . , zn = ζ0 (5)
со взаимными расстояниями |zk−zk−1|, не превышающими δ, чтобы выполнялось
|∆fk| = |f(zk)− f(zk−1)| ≤ ω1 (< ω0) , k = 1, 2, . . . , n.
Легко видеть, что на граничном континууме ∂G любые две точки можно „со-
единить” цепочкой его точек, так сказать, вершин ломаной, длины звеньев которой
не превышают фиксированного δ > 0. При этом ломаная может иметь много са-
мопересечений.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
МОДУЛИ НЕПРЕРЫВНОСТИ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1111
Итак, построена цепочка (5) точек zk ∈ ∂G со свойствами
|∆fk| = |f(zk)− f(zk−1)| < ω1, k = 1, . . . , n,
|f(zn)− f(z0)| > ω0.
(6)
Приведем теперь одно построение.
Пусть заданы на плоскости n+ 1 точка
z0, z1, . . . , zk, . . . , zn
и некоторая функция f(z). Рассмотрим n разностей f(zk) − f(zk−1) = ∆fk,
k = 1, 2, . . . , n, и „последнюю” f(zn) − f(z0). Построим новую функцию F (z),
для которой соответствующие разности кратны разностям для f(z) :
∆Fk =
ω1
ω0
∆fk, k = 1, 2, . . . , n, и F (zn)− F (z0) =
ω0
ω1
[
f(zn)− f(z0)
]
.
Обозначим через p(z) полином Лагранжа, у которого p0 = p(z0) =
ω0
ω1
и
p(zk) = p(zk)− p(zk−1) =
ω1
ω0
, а через q(z) — полином, для которого q(z0) = 0 и
при k, 1 ≤ k < n,
qk = qk−1 +
ω1
ω0
fk−1 + ∆fk
[
(k − 1)
ω1
ω0
+
ω0
ω1
]
,
а при k = n
qn = q(zn) = n
ω1
ω0
f(zn).
Ясно, что при этом pk = k
ω1
ω0
+
ω0
ω1
, k = 0, 1, 2, . . . , n.
Покажем, что функция F (z) = f(z)p(z) − q(z) решает нашу задачу. Действи-
тельно, для каждого k = 2, 3, . . . , n− 1 имеем
∆Fk = f(zk)p(zk)− f(zk−1)p(zk−1)− [q(zk)− q(zk−1)] =
= ∆fkpk + fk−1∆pk − [qk)− qk−1] =
ω1
ω0
∆fk.
Далее, для k = 1
∆F1 = f(z1)p(zk)− f(z0)p(z0)− [q(z1)− q(z0)] =
= ∆f1p1 + f0
ω1
ω0
− q1 = ∆f1
(
ω1
ω0
+
ω0
ω1
)
+ f0
ω1
ω0
− q1 =
ω1
ω0
∆f1.
И, наконец, „последняя” разность
∆F (zn)− F (z0) = f(zn)p(zn)− f(z0)p(z0)− [q(zn)− q(z0)] =
= [f(zn)− f(z0)]p(z0) + f(zn)[p(zn)− p(z0)]− [q(zn)− q(z0)] =
= [f(zn)− f(z0)]
ω0
ω1
+ n
ω1
ω0
f(zn)− q(zn) =
ω0
ω1
[f(zn)− f(z0)].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1112 Ю. Ю. ТРОХИМЧУК
Вернемся к прежней функции f(z) с условиями (6). Рассматривая вместо f(z)
функцию h(z) =
f(z)
√
ω0ω1
, ω0 > ω1, и применяя к ней достаточное число раз
приведенное только что построение новых функций, но с соответственно изменен-
ными разностями, приходим к функции F (z) вида f(z)P (z) + Q(z) (P и Q —
полиномы) со свойствами
∆Fk = ∆hk
(
ω1
ω0
)N+1/2
, F (zn)− F (z0) =
(
ω0
ω1
)N+1/2
[h(zn)− h(z0)] ,
т. е.
|∆Fk| ≤
(
ω1
ω0
)N+1
, |F (zn)− F (z0)| ≥
(
ω0
ω1
)N+1
.
Далее имеем
F (zn)− F (z0) =
n∑
k=1
∆Fk
и, с одной стороны,
|F (zn)− F (z0)| ≤
n∑
k=1
|∆Fk| ≤ n
(
ω1
ω0
)N+1
,
а с другой —
|F (zn)− F (z0)| ≥
(
ω0
ω1
)N+1
.
Поскольку n фиксировано, при достаточно большом N эти неравенства про-
тиворечат одно другому. Теорема для односвязных областей доказана.
Общий случай сводится к доказанному следующим образом.
Здесь, на основании той же леммы, находим точку z0 на границе ∂G, для
которой
ωG(f ; z0, δ) = ωG(f, δ) = ω.
Пусть снова max
z∈Uδ
|f(z) − f(z0)| = ω достигается в некоторой точке z̃ /∈ ∂G (оче-
видно тогда, что на окружности |z − z0| = δ).
Предположим сначала, что z0 — достижимая граничная точка области G. Тогда
для произвольной жордановой подобласти в G, имеющей единственную граничную
точку z0 с ∂G, содержащей точку z̃, с остальными точками и внутренностью,
принадлежащими G, применима доказанная теорема, т. е. на ее границе найдется
пара точек z′, z′′, для которых |z′ − z′′| ≤ δ и |f(z′)− f(z′′)| = ω(δ).
Если эта пара принадлежит области G, то, как нам уже известно, другая пара
найдется и на границе ∂G.
Если это не так, то одна из точек z′, z′′ совпадет с z0. Но тогда жорданову
кривую вблизи z0 можно строить так, что вторая точка из z′, z′′ будет стремиться
к какой-либо граничной точке области G.
В случае, когда точка z0 не является достижимой, берем последовательность
уже достижимых граничных точек {zn}, а соответствующие жордановы области
снова строим так, чтобы они содержали точку z̃. Тогда модули непрерывности
ωn(δ) в этих областях будут стремиться к ω(δ). Ясно, как в этом случае заверша-
ется доказательство теоремы 3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
МОДУЛИ НЕПРЕРЫВНОСТИ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1113
Из приведенного доказательства фактически следует, что равенство ωG =
= ωG(z0, δ) = ω∂G достигается в той же точке z0.
Покажем вкратце еще, как можно доказать основную теорему, но в предполо-
жении, что она доказана для липшицевых функций.
Прежде всего рассматриваем функцию
F (z) = lnϕ(z),
где ϕ(z) = f(z) + C, C > 0 — достаточно большая константа, которую выби-
раем позже для нужных оценок, а для логарифма берем главную его ветвь, т. е.
argF (z) ∈ (−π, π) .
Очевидно, ϕ и f имеют одинаковые модули непрерывности ω∂G(δ) и ωG(δ);
выбираем на границе ∂G точки z1, z2, |z1− z2| ≤ δ, для которых ϕ(z1)−ϕ(z2) =
= ω∂G(δ) = ω. Тогда получим
F (z1)− F (z2) = lnϕ(z1)− lnϕ(z2) = ln
ϕ(z1)
ϕ(z2)
= ln
(
1 +
ϕ(z1)− ϕ(z2)
ϕ(z2)
)
.
Учитывая равенства (при |z| ≤ 1/2)
|ln(1 + z)| = |z|+ C1|z|2, C1 <
1
6
,
ln(1 + |z|) = |z| − C2|z|2, C2 <
1
3
,
с точностью до малых второго порядка (зависящих от выбора C ) имеем цепь
равенств
F (z1)− F (z2) = ln
(
1 +
ϕ(z1)− ϕ(z2)
ϕ(z2)
)
= ln
(
1 +
|z1 − z2|m
|ϕ(z2)|
)
=
=
(
m =
lnω
ln |z1 − z2|
)
= m ln
[(
1 +
|z1 − z2|m
|ϕ(z2)|
)1/m
]
=
m
|ϕ(z2)|
|z1 − z2|.
Поскольку в силу теоремы 2 величина
lnω
ln δ
ограничена, F — липшицева функ-
ция в ∂G [3]; выбирая теперь z1, z2 внутри G и двигаясь в приведенных равенствах
в обратном направлении, легко доказываем (предполагая теорему верной для лип-
шицевых функций), что max |ϕ(z1)−ϕ(z2)| не может быть равно ω−ε при любом
ε > 0.
1. Cтепанец А. И. Методы теории приближений // Працi Iн-ту математики АН України. – 1970. –
Т. 1. – 424 с.
2. Тамразов П. М. Контурные и телесные структурные свойства голоморфных функций комплексного
переменного // Укр. мат. журн. – 1973. – 28, № 1. – C. 131 – 162.
3. Трохимчук Ю. Ю. О дифференциальных свойствах функций // Там же. – 1979. – 31, № 3. –
C. 289 – 294.
4. Федерер Г. Геометрическая теория меры. Дополнение 1. – М.: Наука, 1987. – C. 708 – 720.
5. Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. – М., 1948. – C. 210 – 218.
6. Трохимчук Ю. Ю. О дифференциальных свойствах действительных и комплексных функций //
Укр. мат. журн. – 1979. – 31, № 4. – C. 465 – 469.
Получено 24.11.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2940 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:33:14Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5a/fc93c1c4a2192ebbf71c5db5c1c39a5a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29402020-03-18T19:40:46Z Modules of continuity and analytic functions Модули непрерывности и аналитические функции Trohimchuk, Yu. Yu Трохимчук, Ю. Ю. Трохимчук, Ю. Ю. For a function analytic in a compact domain and continuous in its closure, it is shown that the modules of continuity on the boundary of the domain and in its closure coincide. Доведено, що для функції, аналітичної в компактній області і неперервної в її замиканні, модулі неперервності на межі області і в її замиканні збігаються між собою. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2940 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 8 (2010); 1106–1113 Український математичний журнал; Том 62 № 8 (2010); 1106–1113 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2940/2630 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2940/2631 Copyright (c) 2010 Trohimchuk Yu. Yu |
| spellingShingle | Trohimchuk, Yu. Yu Трохимчук, Ю. Ю. Трохимчук, Ю. Ю. Modules of continuity and analytic functions |
| title | Modules of continuity and analytic functions |
| title_alt | Модули непрерывности и аналитические функции |
| title_full | Modules of continuity and analytic functions |
| title_fullStr | Modules of continuity and analytic functions |
| title_full_unstemmed | Modules of continuity and analytic functions |
| title_short | Modules of continuity and analytic functions |
| title_sort | modules of continuity and analytic functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2940 |
| work_keys_str_mv | AT trohimchukyuyu modulesofcontinuityandanalyticfunctions AT trohimčukûû modulesofcontinuityandanalyticfunctions AT trohimčukûû modulesofcontinuityandanalyticfunctions AT trohimchukyuyu modulinepreryvnostiianalitičeskiefunkcii AT trohimčukûû modulinepreryvnostiianalitičeskiefunkcii AT trohimčukûû modulinepreryvnostiianalitičeskiefunkcii |