Decomposability of matrix polynomials with commuting coefficients into a product of linear factors
The list of known sets of factorizable matrix polynomials is supplemented by new sets of polynomials of this sort. The known set of nonfactorizable matrix polynomials is extended. These results can be applied to the study of polynomial equations and systems of differential equations with constant co...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2941 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508943382478848 |
|---|---|
| author | Shavarovskyy, B. Z. Шаваровський, Б. З. |
| author_facet | Shavarovskyy, B. Z. Шаваровський, Б. З. |
| author_sort | Shavarovskyy, B. Z. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:46Z |
| description | The list of known sets of factorizable matrix polynomials is supplemented by new sets of polynomials of this sort. The known set of nonfactorizable matrix polynomials is extended. These results can be applied to the study of polynomial equations and systems of differential equations with constant coefficients. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:33:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 512.64
B. Z. Íavarovs\kyj (In-t prykl. probl. mexaniky i matematyky NAN Ukra]ny, L\viv)
ROZKLADNIST| NA LINIJNI MNOÛNYKY
MATRYÇNYX MNOHOÇLENIV
Z KOMUTUGÇYMY KOEFICI{NTAMY
The list of known sets of factorable matrix polynomials is supplemented by new sets of polynomials of
this sort. The known set of nonfactorable matrix polynomials is extended. These results can be applied
to the study of matrix polynomial equations and systems of differential equations with constant
coefficients.
Dopolnen pereçen\ yzvestn¥x mnoΩestv razloΩym¥x matryçn¥x mnohoçlenov nov¥my mno-
Ωestvamy takyx mnohoçlenov. Rasßyreno yzvestnoe mnoΩestvo nerazloΩym¥x matryçn¥x mno-
hoçlenov. ∏ty rezul\tat¥ moΩno prymenyt\ k yssledovanyg mnohoçlenn¥x uravnenyj y sys-
tem dyfferencyal\n¥x uravnenyj s postoqnn¥my koπffycyentamy.
1. Vstup. Budemo rozhlqdaty kvadratni mnohoçlenni matryci z kil\cq
M xn C[ ]( ) , de C — pole kompleksnyx çysel, n — porqdok matryci. KoΩnu ta-
ku matrycg A x( ) moΩna zapysaty u vyhlqdi matryçnoho mnohoçlena
A x( ) = A xs
0 + A xs
1
1− + A xs
2
2− + … + As , (1)
de Ai , i = 0, 1, 2, … , s — matryci z kil\cq Mn ( )C , x — skalqrna zminna, A0 —
nenul\ova matrycq. Todi çyslo s nazyva[t\sq stepenem matryçnoho mnohoçle-
na (abo mnohoçlenno] matryci) A x( ) . Mnohoçlenna matrycq (m.:m.) A x( ) nazy-
va[t\sq rehulqrnog, qkwo ]] starßyj koefici[nt A0 — neosoblyva matrycq, i
unital\nog, qkwo A E0 = — odynyçna matrycq. Mnohoçlen det ( )A x nazy-
va[t\sq xarakterystyçnym mnohoçlenom, a joho koreni — xarakterystyçnymy
korenqmy m.:m. A x( ) . Rehulqrna m.:m. nazyva[t\sq rozkladnog, qkwo ]] moΩna
zobrazyty u vyhlqdi dobutku rehulqrnyx mnoΩnykiv nyΩçyx stepeniv. U proty-
leΩnomu vypadku m.:m. nazyva[t\sq nerozkladnog.
Q.:B.:Lopatyns\kym u svij ças bulo postavleno zadaçu (dyv. [1]), qka polqha[
v tomu, wob znajty umovy, za qkyx m.:m. [ rozkladnog u vywevkazanomu sensi.
Cg zadaçu v dewo inßij postanovci sformulgvav M.:H.:Krejn u seredyni 50-x
rokiv mynuloho stolittq. Na toj ças ne bulo systematyçno] teori] z c\oho py-
tannq, a okremi rezul\taty slid vidnesty skoriße do pry[mnyx vypadkovostej.
Poslidovni ta systematyçni doslidΩennq v naprqmku poßuku neobxidnyx ta dos-
tatnix umov dlq moΩlyvosti zobraΩennq m.:m. u vyhlqdi dobutku mnoΩnykiv
nyΩçyx stepeniv i konkretno] pobudovy takyx dobutkiv moΩna znajty v robotax
P.:S.:Kazimirs\koho ta joho uçniv, qki pizniße uzahal\neno v monohrafi] [2] (dyv.
takoΩ [3]).
P.:S.:Kazimirs\kyj ostatoçno rozv’qzav problemu vydilennq rehulqrnoho
mnoΩnyka iz m.:m. (dyv. [4]). U zv’qzku z cym dlq dovil\no] kvadratno] matryci
nad kil\cem C x[ ] vkazano kryterij isnuvannq rehulqrnyx dil\nykiv z napered
zadanog kanoniçnog diahonal\nog formog (formog Smita), a takoΩ rozroble-
no metod bezposeredn\o] pobudovy takyx dil\nykiv.
Sered vsix m.:m. osoblyvyj interes vyklykagt\ rozkladni na linijni mnoΩny-
ky, a takoΩ ]x „antypody” — nerozkladni m.:m. Deqki mnoΩyny perßyx iz nyx
buly vidomi we do rozv’qzannq problemy vydilennq rehulqrnoho mnoΩnyka iz
m.:m. Odnak i pislq zaverßennq pobudovy teori] rozkladu m. :m. na mnoΩnyky in-
teres do mnoΩyn rozkladnyx na linijni mnoΩnyky m.:m. ne slabßa[ i poßuk ta-
kyx mnoΩyn ne prypynq[t\sq.
Xoça bahatorazovym zastosuvannqm metodu vydilennq rehulqrnoho mnoΩny-
© B. Z. ÍAVAROVS|KYJ, 2010
1114 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
ROZKLADNIST| NA LINIJNI MNOÛNYKY MATRYÇNYX MNOHOÇLENIV … 1115
ka (napryklad, zaproponovanoho v [2]) moΩna v pryncypi oderΩaty rozklad m.:m.
na nerozkladni, i navit\ linijni, mnoΩnyky (qkwo takyj rozklad vzahali isnu[),
cq obstavyna ne prymenßu[ znaçymist\ vstanovlenyx mnoΩyn rozkladnyx m.:m.
Naspravdi zadaça polqha[ v tomu, wob vkazaty mnoΩyny rozkladnyx m.:m., na-
leΩnist\ do qkyx vyznaça[t\sq za qkymys\ zovnißnimy, qvnymy i dosyt\ nahlqd-
nymy oznakamy.
Metog ci[] roboty [ dopovnennq pereliku mnoΩyn rozkladnyx m.:m. i zapo-
çatkuvannq spysku mnoΩyn nerozkladnyx m.:m.
Istoriq pytannq zv’qzku mul\typlikatyvnyx ta spektral\nyx vlastyvostej
m.:m. bere svij poçatok v krajn\omu razi vid roboty [5]. Odnak tradycijno vidlik
mnoΩyn rozkladnyx m.:m., qk pravylo, poçynagt\ z m.:m. prosto] struktury, tob-
to m.:m., vsi elementarni dil\nyky qkyx [ linijnymy. Poznaçymo mnoΩynu takyx
m.:m. çerez K1 . Rozkladnist\ na linijni mnoΩnyky m.:m. iz mnoΩyny K1 dove-
deno v robotax [6 – 8].
Dali, moΩlyvist\ zobraΩennq u vyhlqdi dobutku linijnyx mnoΩnykiv m.:m.,
vsi xarakterystyçni koreni qkyx magt\ kratnosti, wo ne perevywugt\ dva (mno-
Ωyna K2 ), ob©runtovano v roboti [9]. U roboti [10] anonsovano teoremu, wo
stverdΩu[ rozkladnist\ na linijni mnoΩnyky kvadratyçnyx m.:m., vsi elementar-
ni dil\nyky qkyx magt\ stepeni ne vywe niΩ dva. V [11] dovedeno rozkladnist\ u
vkazanomu vywe sensi tak zvanyx m.:m. kvaziprosto] struktury — mnoΩyny K3 .
Ostannq sklada[t\sq iz m.:m., koΩnyj nelinijnyj elementarnyj dil\nyk qkyx
ma[ stepin\ dva, a vidpovidnyj jomu xarakterystyçnyj korin\ – heometryçnu
kratnist\ odyn. Oçevydno, mnoΩyny K1 , K2 magt\ ne poroΩnij peretyn, wo
mistyt\ mnoΩynu K0 m.:m. bez kratnyx xarakterystyçnyx koreniv, a ]x ob’[d-
nannq mistyt\sq u mnoΩyni K3 . V roboti [12] (dyv. takoΩ [13]) dovedeno u za-
hal\nomu vypadku teoremu, anonsovanu v [10] dlq kvadratyçnyx m.:m. Pry c\omu
sutt[vo vykorystano rezul\tat roboty [9]. Tak, oderΩano we odnu mnoΩynu
K4 rozkladnyx m.:m., stepeni elementarnyx dil\nykiv qkyx ne perevywugt\
dva. V roboti [14] oderΩano rezul\tat vidnosno rozkladnosti na linijni mnoΩ-
nyky m.:m., odyn iz elementarnyx dil\nykiv qko] ma[ stepin\ try, a stepeni reßty
ne perevywugt\ dva. Cym vydileno mnoΩynu K5 faktoryzovnyx u naßomu ro-
zuminni m.:m. Cej rezul\tat, qk zaznaçeno v roboti [14], pokrawyty ne moΩna,
dopuskagçy naqvnist\ v m.:m. bil\ße niΩ odnoho elementarnoho dil\nyka
stepenq try abo naqvnist\ elementarnyx dil\nykiv stepenq bil\ße niΩ try. U
zv’qzku z cym vynyka[ nastupne pytannq: qki dodatkovi umovy povynna zadovol\-
nqty m.:m., stepeni elementarnyx dil\nykiv qko] ne perevywugt\ try, wob vona
dopuskala rozklad na linijni mnoΩnyky ? Vidpovid\ na ce pytannq my çastkovo
oderΩymo u p. 2.
U vsix mnoΩynax K1 – K5 bralysq do uvahy, v osnovnomu, lyße stepeni
elementarnyx dil\nykiv i, poçasty, kratnosti xarakterystyçnyx koreniv m.:m.
Vidmitymo u zv’qzku z cym takoΩ robotu [15], v qkij dovedeno teoremu, wo ha-
rantu[ vydilennq iz m.:m. pevno] kil\kosti linijnyx mnoΩnykiv, qkwo suma ste-
peniv elementarnyx dil\nykiv vywe niΩ dva ne perevywu[ sumy stepenq m.:m. ta
çysla takyx elementarnyx dil\nykiv (stepenq vywe niΩ dva).
Zrozumilo, wo stepeni elementarnyx dil\nykiv ta kratnosti xarakterystyç-
nyx koreniv m.:m. — ce daleko ne povnyj perelik parametriv, vid qkyx zaleΩyt\
rozkladnist\ m.:m. na mnoΩnyky. Ci[g obstavynog i poqsng[t\sq te, wo
matrycq
diag ( , )x xs s , s ≥ 3, (2)
qka [ najprostißym (do tryvial\nosti) prykladom rozkladno] m.:m., ne naleΩyt\
do Ωodno] iz mnoΩyn K1 – K5 i navit\ do mnoΩyny m.:m., wo doslidΩu[t\sq u
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1116 B. Z. ÍAVAROVS|KYJ
roboti [15] (poznaçymo cg mnoΩynu çerez K6 ). U danij roboti rozhlqdagt\sq
takoΩ inßi faktory, qki vplyvagt\ na mul\typlikatyvnu strukturu m.:m. (dyv.
p. 2).
MoΩlyvist\ zobraΩennq u vyhlqdi dobutku linijnyx mnoΩnykiv m.:m. z po-
parno komutugçymy koefici[ntamy prosto] struktury (mnoΩyna K7 ) dovedeno
v [16].
Nareßti, u roboti [5] (dyv. takoΩ [2], § 9, roz. II) dovodyt\sq rozkladnist\ na
linijni mnoΩnyky unital\noho matryçnoho dvoçlena Ex As − , qkwo systema
elementarnyx dil\nykiv matryci A, wo vidpovida[ nul\ovomu vlasnomu znaçen-
ng, sklada[t\sq lyße z pidsystem, qki magt\ abo elementarni dil\nyky til\ky
perßoho stepenq, abo s elementarnyx dil\nykiv, pokaznyky stepeniv qkyx abo
rivni, abo vidriznqgt\sq na odynycg. MnoΩynu takyx rozkladnyx dvoçleniv po-
znaçymo çerez K8 .
ZauvaΩennq 1. M.:m. (2) naleΩyt\ peretynu mnoΩyn K K7 8∩ .
Wo stosu[t\sq nerozkladnyx m.:m., to, qk pokazano v roboti [5] (dyv. takoΩ
[2], § 11, rozd. II), matryçnyj dvoçlen Ex As + , de A — nil\potentna matrycq
porqdku n indeksu nil\potentnosti n (abo, wo te Ω same, ranhu n – 1), ne moΩ-
na zobrazyty u vyhlqdi dobutku wonajmenße dvox unital\nyx mnoΩnykiv. U p. 3
cg mnoΩynu nerozkladnyx m.:m. dewo rozßyreno.
ZauvaΩennq 2. Matryçnyj dvoçlen Ex As + , pro nerozkladnist\ qkoho
jde mova v [2] (§ 11, rozd. II), rozhlqda[t\sq nad dovil\nym alhebra]çno zamkne-
nym polem. Deqki iz oderΩanyx v cij roboti rezul\tativ takoΩ moΩna perenes-
ty na vypadky zahal\nißyx poliv. Ale dlq prostoty vykladu budemo prypuska-
ty osnovnym pole kompleksnyx çysel C.
2. Rozkladni mnohoçlenni matryci. Nexaj m.:m. A x( ) porqdku n, zapysa-
na u vyhlqdi matryçnoho mnohoçlena (1), ma[ poparno komutugçi koefici[nty,
tobto A Ai j = A Aj i , i, j = 0, 1, … , s. Prypustymo, wo koΩnyj nelinijnyj ele-
mentarnyj dil\nyk matryci Ai , i = 0, 1, … , s, vza[mno prostyj zi vsima inßymy
elementarnymy dil\nykamy ci[] matryci. Inßymy slovamy, qkwo α — kratne
vlasne znaçennq matryci Ai , to abo vsi elementarni dil\nyky, wo vidpovidagt\
c\omu vlasnomu znaçenng, linijni, abo isnu[ lyße odyn (nelinijnyj) elementar-
nyj dil\nyk z cym vlasnym znaçennqm. V ostann\omu vypadku rank ( )E Aiα − =
= n – 1. Do vydileno] takym çynom mnoΩyny m.:m. naleΩat\, oçevydno, m.:m. z po-
parno komutugçymy koefici[ntamy kvaziprosto] struktury.
Teorema 1. Nexaj unital\na m.#m. zadovol\nq[ nastupni umovy:
1) koefici[nty poparno komutugt\;
2) koΩnyj nelinijnyj elementarnyj dil\nyk koΩno] matryci-koefici[nta
vza[mno prostyj zi vsima inßymy joho elementarnymy dil\nykamy.
Qkwo stepeni elementarnyx dil\nykiv m.#m. ne perevywugt\ try, to taka m.#m.
rozklada[t\sq v dobutok linijnyx unital\nyx poparno komutugçyx mnoΩnykiv.
Pered dovedennqm ci[] teoremy sformulg[mo deqki dopomiΩni tverdΩennq,
qki magt\ i samostijne znaçennq.
Lema 1. Unital\na m.#m., qka zadovol\nq[ umovy 1, 2 teoremy 1, odnoças-
nym peretvorennqm podibnosti ]] koefici[ntiv zvodyt\sq do prqmo] sumy k ≥ 1
trykutnyx odnakovoho najmenuvannq teplycevyx m.#m., neodynyçni porqdky qkyx
ne menßi za minimal\nyj i ne bil\ßi za maksymal\nyj iz stepeniv nelinijnyx ele-
mentarnyx dil\nykiv matryc\-koefici[ntiv ci[] m.#m.
Dovedennq. Qkwo vsi koefici[nty m.:m. (1) magt\ prostu strukturu, to
dovedennq [ oçevydnym, oskil\ky zhidno z vidomog teoremog linijno] alhebry
(dyv. [17], naslidok 3, § 2, hl. VIII) vsi koefici[nty moΩut\ buty odnoçasno
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
ROZKLADNIST| NA LINIJNI MNOÛNYKY MATRYÇNYX MNOHOÇLENIV … 1117
diahonalizovani odnym peretvorennqm podibnosti. V inßomu razi fiksu[mo v m.:m.
(1) koefici[nt, wo ma[ nelinijnyj elementarnyj dil\nyk minimal\noho stepenq.
Nexaj ce bude matrycq A1 . Zastosovu[mo do m.:m. (1) peretvorennq podibnosti
za dopomohog matryci T tako], wo
TA T1
1− = J A1 1⊕ ,
de J1 — verxnq (nyΩnq) Ωordanova klityna, wo vidpovida[ nelinijnomu
elementarnomu dil\nyku minimal\noho stepenq. Todi m.:m. nabere vyhlqdu
TA x T( ) −1 = B x B x1 1( ) ( )⊕ ,
de B x1( ) — teplyceva m.:m., wo ma[ verxng (nyΩng) trykutnu formu i rozmir,
rivnyj rozmiru klityny Ûordana J1 . Blok B x1( ) , moΩlyvo, [ poroΩnim. Todi
vse dovedeno. V inßomu razi m.:m. B x1( ) zadovol\nq[ vsi umovy dano] lemy i, ot-
Ωe, zastosovugçy do ne] ti Ω mirkuvannq, my, ne porußugçy perßyj dodanok,
otrymu[mo vydilennq iz ne] teplycevoho prqmoho dodanka verxn\o] (nyΩn\o])
trykutno] formy, porqdok qkoho ne menßyj za porqdok perßoho dodanka. Pro-
dovΩugçy tak i dali, pryxodymo do rozkladu m.:m. A x( ) u prqmu sumu verxnix
(nyΩnix) trykutnyx teplycevyx m.:m., neodynyçni porqdky qkyx znaxodqt\sq u
vkazanyx u lemi meΩax.
Lema 2. Unital\na trykutna teplyceva m. #m. z ne menß niΩ dvoma riznymy
xarakterystyçnymy korenqmy rozklada[t\sq na unital\ni trykutni toho Ω
najmenuvannq teplycevi poparno komutugçi mnoΩnyky, koΩnyj z qkyx ma[ lyße
odyn (bez uraxuvannq kratnosti) xarakterystyçnyj korin\.
Dovedennq. Nexaj zadano unital\nu m.:m. vyhlqdu
F x( ) =
f x f x f x
f x f x
f x
k k1 1
1 2
10
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
…
… … …
−
, (3)
de deg ( )f x1 ≥ 2. Dosyt\ pokazaty moΩlyvist\ vydilennq vlivo iz ci[] matryci
unital\noho teplycevoho mnoΩnyka, wo ma[ verxng trykutnu formu ta lyße
odyn xarakterystyçnyj korin\, i zastosuvaty indukcig za çyslom poparno riznyx
xarakterystyçnyx koreniv m.:m. F x( ) .
Nexaj α – korin\ kratnosti l mnohoçlena f x1( ) , wo znaxodyt\sq na
holovnij diahonali matryci (3). Todi f x1( ) = ( ) ( )x f xl− α 1 i moΩna otrymaty
rozklad
F x( ) =
1 0
1
0 0
1 1
1 2
�
…
… … …
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x
f x f x f x
f x f x
l
k k
−
−
α ff x1( )
.
Oskil\ky f1( )α ≠ 0, to isnu[ takyj mnohoçlen c x1( ) , deg ( )c x1 < l, wo
f x c x f x2 1 1( ) ( ) ( )− = ( ) ( )x f xl− α 2
dlq deqkoho mnohoçlena f x2( ) , deg ( )f x2 < deg ( )f x1 – l . Todi isnu[ rozklad
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1118 B. Z. ÍAVAROVS|KYJ
F x( ) =
=
1 0
1
0
1
1 2 1
�
…
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
x c x
x
f x f x f x f
l
l
k k
−
−
− −
α
α
kk x
f x f x f x
f x f x
f x
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
… … … …
1 2 3
1 2
10
. (4)
Oskil\ky znajdet\sq mnohoçlen c x2( ) , deg ( )c x2 < l, takyj, wo vykonu[t\sq
umova
f x c x f x c x f x3 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − = ( ) ( )x f xl− α 3
dlq deqkoho f x3( ) ∈ C x[ ] , deg ( )f x3 < deg ( )f x1 – l, to vid (4) perejdemo do
rozkladu
F x( ) =
1 0
1
0
1 2
1
�
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
x c x c x
x c x
x
l
l
l
−
−
−
α
α
α
×
×
f x f x f x f x f x
f x f
k k k k1 3 2 1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
…
… … … … …
− − −
22 3 4
1 2 3
1 2
10
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x f x f x
f x f x f x
f x f x
f (( )x
.
ProdovΩugçy dali za indukci[g, oderΩu[mo rozklad
F x( ) =
=
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
(x c x c x
x c x
x
fl
k
l
l
−
−
−
−α
α
α
1 1
1
1
0
…
… … …
xx f x f x
f x f x
f x
k) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
1 1
10
…
… … …
z komutugçymy mnoΩnykamy. ZauvaΩymo, wo deqki z mnohoçleniv c xp( ) , p = 1,
2, … , k – 1, abo navit\ vsi odnoçasno, moΩlyvo, totoΩno dorivnggt\ nulg.
Lema 3. Unital\na verxnq (nyΩnq) trykutna teplyceva m.#m., vsi xarakte-
rystyçni koreni qko] rivni miΩ sobog i vsi elementarni dil\nyky qko] magt\ ste-
peni ne vywe niΩ try, rozklada[t\sq v dobutok unital\nyx trykutnyx toho Ω
najmenuvannq teplycevyx komutugçyx mnoΩnykiv.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
ROZKLADNIST| NA LINIJNI MNOÛNYKY MATRYÇNYX MNOHOÇLENIV … 1119
Dovedennq vyplyva[ z nastupno] lemy.
Lema 4. Nelinijna unital\na verxnq trykutna m.#m. porqdku n, wo zado-
vol\nq[ umovy lemy:3, abo ma[ stepin\ dva i vyhlqd
( ) ( ) ( )
( ) (
x a x a x
x a x
k− − −
−
α α α
α
2
1
2
1
0 0
0 0
… …
… … … … … …
… −−
−
−
−
α
α
α
α
)
( )
( )
( )
x
x
x
2
2
2
0 0
0
0
…
… … …
:,
de k = n/2[ ] (cila çastyna), a ak1, ,… ∈ C, abo ma[ stepin\ try ta vyhlqd
diag ( ) , , ( )x x− … −( )α α3 3
.
Dovedennq. Te, wo stepin\ m.:m. iz vkazanymy v lemi vlastyvostqmy ne pere-
vywu[ try, ne vyklyka[ sumnivu. Bezposerednim pidraxunkom perekonu[mosq, wo
vsi elementarni dil\nyky takyx matryc\ magt\ stepeni ne vywe niΩ try (u dru-
homu vypadku ce oçevydno). Z inßoho boku, qkwo odna iz naddiahonalej matryci
mistyt\ nenul\ovyj element polq C abo Ω odna iz perßyx n – n/2[ ] – 1 nad-
diahonalej ne dorivng[ totoΩno nulg, to, qk lehko perekonatysq, stepeni de-
qkyx elementarnyx dil\nykiv tako] matryci perevywugt\ try.
Dovedennq teoremy 1. Nexaj m.:m. (1) zadovol\nq[ umovy teoremy:1. Todi
zhidno z lemog:1 isnu[ zobraΩennq
TA x T B x
i
i( ) ( )− = ⊕1 , i ≥ 1,
de B xi ( ) — unital\na verxnq (nyΩnq) trykutna teplyceva m.:m. Za lemog:2
dlq koΩnoho i ma[mo
B xi ( ) = B xij
j
i
i
( )∏ , ji ≥ 1 ,
de B xiji ( ) – unital\ni verxni (nyΩni) trykutni teplycevi poparno komutugçi
m.:m., wo magt\ po odnomu xarakterystyçnomu koreng. Nareßti, vraxovugçy te,
wo systema elementarnyx dil\nykiv bloçno-diahonal\no] m.:m. [ ob’[dnannqm
system elementarnyx dil\nykiv diahonal\nyx blokiv (dyv. [17], teorema:5, § 3,
hl. VI) i kanoniçna diahonal\na forma mnoΩnyka dilyt\ kanoniçnu diahonal\nu
formu dobutku (dyv. [18]), moΩemo zastosuvaty do koΩno] iz m.:m. B xiji ( ) le-
mu:3, v rezul\tati çoho distanemo moΩlyvist\ rozkladu
TA x T( ) −1 = ⊕
=
∏
i
ij
j
s
B x( )
1
,
de B xij ( ) – unital\ni verxni (nyΩni) trykutni linijni teplycevi m.:m., pryçomu
matryci B xi1( ) , … , B xis ( ) poparno komutugt\ (dlq koΩnoho i ). Tomu
TA x T( ) −1 = ⊕( )
=
∏
i
ij
j
s
B x( )
1
,
de
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1120 B. Z. ÍAVAROVS|KYJ
⊕ … ⊕
i
i
i
isB x B x1( ), , ( )
— poparno komutugçi unital\ni linijni m.:m. Todi
A x( ) = T B x T
i
ij
j
s
−
=
⊕( )( )∏ 1
1
( ) ,
de
T B x T
i
i
− ⊕( )1
1( ) , … , T B x T
i
is
− ⊕( )1 ( )
— linijni unital\ni poparno komutugçi m.:m.
Teoremu:1 dovedeno.
Iz dovedennq teoremy:1, qka da[ umovy isnuvannq rozkladiv m.:m. na linijni
mnoΩnyky, vyplyva[ naslidok, wo opysu[ strukturu ta vlastyvosti takyx rozk-
ladiv.
Naslidok. Nabir poparno komutugçyx linijnyx unital\nyx mnoΩnykiv, v do-
butok qkyx rozklada[t\sq m.#m., wo zadovol\nq[ umovy teoremy:1, odnoçasnym
peretvorennqm podibnosti zvodyt\sq do odnakovoho bloçno-diahonal\noho vyh-
lqdu z k ≥ 1 diahonal\nymy blokamy. Pry c\omu koΩnyj diahonal\nyj blok abo
ma[ porqdok 1, abo [ verxn\og (nyΩn\og) trykutnog teplycevog matryceg,
porqdok qko] ne menßyj za minimal\nyj i ne bil\ßyj za maksymal\nyj iz stepeniv
nelinijnyx elementarnyx dil\nykiv matryc\-koefici[ntiv poçatkovo] m.#m.
Varto zaznaçyty, wo teoremu:1 ne moΩna pokrawyty çerez poslablennq umo-
vy obmeΩennq dlq stepeniv elementarnyx dil\nykiv m.:m., napryklad, do rivnq
çotyry, pro wo svidçyt\ nastupnyj pryklad.
Pryklad 1. Matrycq
x
x
2
2
1
0
(5)
z komutugçymy koefici[ntamy kvaziprosto] struktury ta [dynym elementarnym
dil\nykom [ nerozkladnog.
Nastupna teorema, qk i teorema:1, takoΩ vydilq[ mnoΩynu, qka dopovng[ pe-
relik vidomyx mnoΩyn rozkladnyx m.:m.
Teorema 2. Nexaj deqkyj koefici[nt unital\no] m.#m komutu[ z usima inßy-
my ]] koefici[ntamy i ma[ lyße odyn elementarnyj dil\nyk. Qkwo stepeni ele-
mentarnyx dil\nykiv m.#m. ne perevywugt\ try, to vona rozklada[t\sq v dobu-
tok linijnyx unital\nyx poparno komutugçyx mnoΩnykiv.
Dovedennq. Nexaj v m.:m. A x( ) (1) matryceg-koefici[ntom, wo komutu[ zi
vsima inßymy koefici[ntamy i ma[ lyße odyn elementarnyj dil\nyk, bez obme-
Ωennq zahal\nosti [ matrycq A1 . Zastosu[mo do m.:m. A x( ) peretvorennq po-
dibnosti, qke zvodyt\ do verxn\o] formy Ûordana matrycg A1 :
PA x P( ) −1 = Ex A x A x As s s
s+ + + … +− −
1
1
2
2 ,
de
A1 =
α
α
1 0
1
0
� �
�
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
ROZKLADNIST| NA LINIJNI MNOÛNYKY MATRYÇNYX MNOHOÇLENIV … 1121
Oçevydno, matrycq A1 komutu[ z usima matrycqmy Ai , i = 2, … , s . Tomu na
pidstavi rezul\tativ [17] (§ 2, hl. VIII) koΩna iz matryc\ Ai , a otΩe m.:m.
PA x P( ) −1
v cilomu, ma[ verxng trykutnu teplycevu formu
PA x P( ) −1 =
g x g x g x
g x g x
g x
n
n
1 2
1 1
10
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
…
…
…
−
. (6)
Matrycq (6) abo zadovol\nq[ umovy lemy:3, abo, zhidno z lemog:2, rozklada[t\sq
v dobutok mnoΩnykiv, wo zadovol\nqgt\ umovy lemy:3. V koΩnomu iz cyx vy-
padkiv ma[mo rozkladnist\ matryci (6) i, otΩe, matryci A x( ) u dobutok linij-
nyx unital\nyx poparno komutugçyx mnoΩnykiv.
Teoremu dovedeno.
Takym çynom, mnoΩyny m.:m., qki zadovol\nqgt\ umovy teorem:1 ta 2 (pozna-
çymo ]x vidpovidno çerez K9 i K10 ), dopovnggt\ navedenyj u vstupi perelik
vidomyx mnoΩyn K1 – K8 rozkladnyx m.:m. Zaznaçymo, wo naleΩnist\ do nyx,
tak samo qk do mnoΩyn iz vywevkazanoho pereliku, vyznaça[t\sq za zovnißnimy
oznakamy (stepenqmy elementarnyx dil\nykiv m.:m. ta ]] koefici[ntiv, komuta-
tyvnistg koefici[ntiv). Zvernemo uvahu, wo mnoΩyny K1 , K10 , a takoΩ K7 ,
K10 ne peretynagt\sq: K K1 10∩ = Ø, K K7 10∩ = Ø. Krim toho,
K K K K0 7 8 9∩ ∩ ∩ ≠ Ø, K K K K2 8 9 10∩ ∩ ∩ ≠ Ø.
PidtverdΩennqm c\oho [ nastupnyj pryklad.
Pryklad 2. A x( ) =
x
x
2
2
1 0
0 4
−
−
, B x( ) =
x
x
2
2
4 1
0 4
−
−
,
A x( ) ∈ K K K K0 7 8 9∩ ∩ ∩ , B x( ) ∈ K K K K2 8 9 10∩ ∩ ∩ .
Z inßoho boku, koΩen iz peretyniv K K K7 8 9∩ ∩ i K K K8 9 10∩ ∩ ne
mistyt\sq cilkom v obxoplgvanij mnoΩyni K6 … K5 … K4 … K3 … ( )K K2 1∪ .
Osnovog dlq takoho tverdΩennq [ nastupnyj pryklad.
Pryklad 3. C x( ) =
x
x
3
3
0
0
, D x( ) =
x
x
x
3
3
3
1 1 0
0 1 1
0 0 1
−
−
−
,
C x( ) ∈ K K K7 8 9∩ ∩ , D x( ) ∈ K K K8 9 10∩ ∩ ,
C x K( ) ∉ 6 , D x K( ) ∉ 6 .
3. Nerozkladni mnohoçlenni matryci. Zadamosq dali pytannqm poßuku
mnoΩyn nerozkladnyx m.:m.
Qkwo proanalizuvaty otrymanyj pislq dopovnennq perelik mnoΩyn roz-
kladnyx m.:m., to nevaΩko zauvaΩyty, wo vsi vony, za vynqtkom K10 , perety-
nagt\sq z mnoΩynog K0 m.:m. bez kratnyx xarakterystyçnyx koreniv. Cq ob-
stavyna navodyt\ na dumku, wo nerozkladni m.:m. zajmagt\, v deqkomu rozumin-
ni, „protyleΩnu pozycig” do mnoΩyny K0 . Odni[g iz takyx „protyleΩnyx”,
do pevno] miry, [ mnoΩyna m.:m., qki magt\ lyße odyn elementarnyj dil\nyk.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
1122 B. Z. ÍAVAROVS|KYJ
Prykladom nerozkladno] matryci z ci[] mnoΩyny [ matrycq (5). Odnak u cij
mnoΩyni mistqt\sq takoΩ i rozkladni m.:m.
Pryklad 4. Matrycq
x x
x x x
2
2
0
1
−
− + +
ma[ [dynyj elementarnyj dil\nyk i dopuska[ rozklad na linijni mnoΩnyky:
x x
x x x
2
2
1
1
−
− + +
=
x
x
x
x
−
− +
−1 1
1 1
1
0
.
SpravdΩu[t\sq nastupna teorema.
Teorema 3. Nexaj deqkyj koefici[nt unital\no] m.#m. komutu[ z usima
inßymy ]] koefici[ntamy i ma[ lyße odyn elementarnyj dil\nyk. Qkwo cq m.#m.
ma[ lyße odyn elementarnyj dil\nyk, to vona nerozkladna.
Dovedennq. Qkwo m.:m. A x( ) ( 1 ) zadovol\nq[ umovy teoremy, to isnu[
peretvorennq podibnosti, qke zvodyt\ ]] do vyhlqdu
PA x P( ) −1 =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
x h x h x
x h x
x
s
n
s
s
−
−
−
−α
α
α
1 1
1
0
…
… … …
= A x( ) ,
de h1( )α ≠ 0. Nexaj A x∗( ) — vza[mna (pry[dnana) do matryci A x( ) , tobto
A x∗( ) = adj A x( ) . Ostannq, oçevydno, ma[ vyhlqd
A x∗( ) =
( )
( )
( )
( )
x
x
s n
s n
− ∗
−
−
−
α
α
1
10
� .
Pobudu[mo matryci
A xr( )( )−1 = A x E xE x Er
∗
−…( ) 1 , r = 1, 2, … , s – 1, A x( )( )0 = A x∗( ) ,
i
M xA x
rn
r( ) ( ) ( )− −( )1
α =
A
A
A
r
r
r
rn
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
1
1
1
1
1
α
α
α
…
, r = 1, 2, … , s – 1,
de A r
t
( )
( ) ( )−1 α , t = 1, … , rn – 1, — znaçennq t-] poxidno] matryci A xr( )( )−1 pry
x:= α. U vypadku s(n – 1) > r n – 1 vsi stovpci z nomeramy 1, n + 1, … , (r – 1)n +
+ 1 matryci M xA x
rn
r( ) ( ) ( )− −( )1
α nul\ovi. Tomu
rank M xA x
rn
r( ) ( ) ( )− −( )1
α < r n, r = 1, 2, … , s – 1.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
ROZKLADNIST| NA LINIJNI MNOÛNYKY MATRYÇNYX MNOHOÇLENIV … 1123
Qkwo s(n – 1) ≤ r n – 1, to vywevkazani stovpci utvorggt\ pidmatrycg, qka mis-
tyt\ ne bil\ße niΩ r n – s(n – 1) nenul\ovyx rqdkiv. Ale çerez te, wo r > r n –
– s(n – 1), vsi ci stovpci linijno zaleΩni. OtΩe, i v c\omu vypadku dlq vsix r =
= 1, 2, … , s – 1 ranh matryci M xA x
rn
r( ) ( ) ( )− −( )1
α menßyj za r n. Cej fakt na
osnovi teoremy:2 z § 2, rozd. III [2] da[ pidstavy stverdΩuvaty vidsutnist\ u mat-
ryci A x( ) livoho rehulqrnoho dil\nyka stepenq r, r = 1, 2, … , s – 1, tobto
matrycq A x( ) , a otΩe i matrycq A x( ) , naspravdi nerozkladna.
Teoremu dovedeno.
Oçevydno, vstanovlena teoremog:3 mnoΩyna nerozkladnyx m.:m. vklgça[ v
sebe mnoΩynu, pro qku jdet\sq u vstupi (dyv. [5]).
Otrymani rezul\taty moΩna zastosuvaty do rozv’qzuvannq matryçnyx mnoho-
çlennyx rivnqn\, matryçnoho rivnqnnq Rikkati (u vypadku neosoblyvoho starßo-
ho koefici[nta) ta do rozv’qzuvannq system dyferencial\nyx rivnqn\ zi stalymy
koefici[ntamy.
1. Lopatynskyj Q. B. RazloΩenye polynomyal\noj matryc¥ na mnoΩytely // Nauç. zap.
L\vov. polytexn. yn-ta. – 1956. – 38, # 2. – S. 3 – 7.
2. Kazimirs\kyj P. S. Rozklad matryçnyx mnohoçleniv na mnoΩnyky. – Ky]v: Nauk. dumka,
1981. – 224 s.
3. Gohberg I., Lankaster P., Rodman L. Matrix polynomials. – New York: Acad. Press, 1982. –
409 p.
4. Kazymyrskyj P. S. Reßenye problem¥ v¥delenyq rehulqrnoho mnoΩytelq yz matryçnoho
mnohoçlena // Ukr. mat. Ωurn. – 1980. – 32, # 4. – S. 483 – 498.
5. Kazymyrskyj P. S., Urbanovyç M. N. O razloΩenyy matryçnoho dvuçlena na mnoΩytely //
Tam Ωe. – 1973. – 24, # 4. – S. 454 – 464.
6. Markus A. S., Mereuca Y. V. O nekotor¥x svojstvax prost¥x λ-matryc // Mat. yssled. –
1975. – 10, # 3. – S. 207 – 213.
7. Kazymyrskyj P. S. V¥delenye yz matryçnoho mnohoçlena rehulqrnoho lynejnoho mnoΩy-
telq prostoj struktur¥ // Teoretyçeskye y prykladn¥e vopros¥ alhebr¥ y dyfferen-
cyal\n¥x uravnenyj. – Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1976 – S. 29 – 40.
8. Saxnovyç L. A. O faktoryzacyy peredatoçn¥x operator-funkcyj // Dokl. AN SSSR. –
1976. – 226, # 4. – S. 781 – 784.
9. Kazymyrskyj P. S., Petryçkovyç V. M. RazloΩymost\ polynomyal\n¥x matryc na lynej-
n¥e mnoΩytely // Mat. metod¥ y fyz.-mex. polq. – 1978. – 8. – S. 3 – 9.
10. Kazymyrskyj P. S., Petryçkovyç V. M. Odno dostatoçnoe uslovye razloΩymosty matryç-
noho kvadratnoho trexçlena na lynejn¥e mnoΩytely // II Vsesogz. symp. po teoryy kolec,
alhebr y modulej: Rezgme soobwenyj. – Kyßynev: Ítyynca, 1974. – S. 29 – 30.
11. Íavarovskyj B. Z. Preobrazovanyq podobyq matryçn¥x mnohoçlenov y yx razloΩymost\ na
mnoΩytely: Dys. … kand. fyz.-mat. nauk. – L\vov, 1985. – 137 s.
12. Krupnyk Y. N. O razloΩenyy matryçnoho puçka na lynejn¥e mnoΩytely // Mat. zametky. –
1991. – 49, # 2. – S. 95 – 101.
13. Krupnik I. Decomposition of a monic polynomial into a product of linear factors // Linear Algebra
and Appl. – 1992. – 167. – P. 239 – 242.
14. Íavarovskyj B. Z. O razloΩym¥x mnohoçlenn¥x matrycax // Mat. zametky. – 2000. – 68,
#:4. – S. 593 – 607.
15. Petryçkovyç V. M. Pro kratnosti xarakterystyçnyx koreniv, stepeni elementarnyx dil\ny-
kiv i faktoryzacig mnohoçlennyx matryc\ // Mat. metody ta fiz.-mex. polq. – 2005. – 48,
#:2. – S. 7 – 17.
16. Zelysko V. R., Íavarovskyj B. Z. RazloΩenye matryçnoho mnohoçlena v proyzvedenye mno-
Ωytelej prostoj struktur¥ // Tam Ωe. – 1982. – 15. – S. 43 – 48.
17. Hantmaxer F. R. Teoryq matryc. – M.: Nauka, 1988. – 548 s.
18. Newman M. On the Smith normal form // J. Res. Bur. Stand. Sect. – 1971. – 75. – P. 81 – 84.
OderΩano 23.03.07,
pislq doopracgvannq — 25.05.10
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8
|
| id | umjimathkievua-article-2941 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:33:14Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a9/a72e2a83e4124d68c1e66a0a73b408a9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29412020-03-18T19:40:46Z Decomposability of matrix polynomials with commuting coefficients into a product of linear factors Розкладність на лінійні множники матричних многочленів з комутуючими коефіцієнтами Shavarovskyy, B. Z. Шаваровський, Б. З. The list of known sets of factorizable matrix polynomials is supplemented by new sets of polynomials of this sort. The known set of nonfactorizable matrix polynomials is extended. These results can be applied to the study of polynomial equations and systems of differential equations with constant coefficients. Дополнен перечень известных множеств разложимых матричных многочленов новыми множествами таких многочленов. Расширено известное множество неразложимых матричных многочленов. Эти результаты можно применить к исследованию многочленных уравнений и систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2941 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 8 (2010); 1114–1123 Український математичний журнал; Том 62 № 8 (2010); 1114–1123 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2941/2632 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2941/2633 Copyright (c) 2010 Shavarovskyy B. Z. |
| spellingShingle | Shavarovskyy, B. Z. Шаваровський, Б. З. Decomposability of matrix polynomials with commuting coefficients into a product of linear factors |
| title | Decomposability of matrix polynomials with commuting coefficients into a product of linear factors |
| title_alt | Розкладність на лінійні множники матричних многочленів з комутуючими коефіцієнтами |
| title_full | Decomposability of matrix polynomials with commuting coefficients into a product of linear factors |
| title_fullStr | Decomposability of matrix polynomials with commuting coefficients into a product of linear factors |
| title_full_unstemmed | Decomposability of matrix polynomials with commuting coefficients into a product of linear factors |
| title_short | Decomposability of matrix polynomials with commuting coefficients into a product of linear factors |
| title_sort | decomposability of matrix polynomials with commuting coefficients into a product of linear factors |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2941 |
| work_keys_str_mv | AT shavarovskyybz decomposabilityofmatrixpolynomialswithcommutingcoefficientsintoaproductoflinearfactors AT šavarovsʹkijbz decomposabilityofmatrixpolynomialswithcommutingcoefficientsintoaproductoflinearfactors AT shavarovskyybz rozkladnístʹnalíníjnímnožnikimatričnihmnogočlenívzkomutuûčimikoefícíêntami AT šavarovsʹkijbz rozkladnístʹnalíníjnímnožnikimatričnihmnogočlenívzkomutuûčimikoefícíêntami |