Approximation of the classes $S^r_{p,θ}B(\mathbb{R}^d)$ of functions of many variables by entire functions of a special form
Exact-order estimates are obtained for the approximations of the functional classes $S^r_{p,θ}B(\mathbb{R}^d)$ by entire functions of a special form.
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2942 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508943589048320 |
|---|---|
| author | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. |
| author_facet | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. |
| author_sort | Yanchenko, S. Ya. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:46Z |
| description | Exact-order estimates are obtained for the approximations of the functional classes $S^r_{p,θ}B(\mathbb{R}^d)$ by entire functions of a special form. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:33:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
С. Я. Янченко (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ Srp,θB(Rd) ФУНКЦIЙ
БАГАТЬОХ ЗМIННИХ ЦIЛИМИ ФУНКЦIЯМИ
СПЕЦIАЛЬНОГО ВИГЛЯДУ
Exact-order estimates for approximations of functional classes Srp,θB(Rd) by entire functions of a special
form are obtained.
Получены точные по порядку оценки приближений функциональных классов Srp,θB(Rd) с помощью
целых функций специального вида.
У роботi дослiджуються питання найкращого наближення класiв Srp,θB(Rd) функ-
цiй багатьох змiнних, якi задано на Rd. Данi класи функцiй вивчав Т. I. Аманов [1],
який встановив теореми зображення функцiй iз цих класiв, а також деякi теоре-
ми вкладення. Подальше дослiдження класiв Srp,θB(Rd) було продовжено в статтi
П. I. Лiзоркiна та С. М. Нiкольського [2], де отримано так зване декомпозицiйне
зображення норми функцiй iз цих класiв та вивчено окремi питання наближення
цiлими функцiями експоненцiального типу. Наступний етап у дослiдженнi класiв
Srp,θB(Rd) пов’язаний з роботою Wang Heping та Sun Yongsheng [3], в якiй встанов-
лено порядки найкращого наближення функцiй iз класiв Srp,θB(Rd) цiлими функ-
цiями експоненцiального типу, носiй перетворення Фур’є яких зосереджений на
множинi, що називається схiдчастим гiперболiчним хрестом. Суттєвим при цьому
було використання декомпозицiйного зображення норми функцiй iз даних класiв.
У данiй роботi продовжено вивчення апроксимативних характеристик функцiй
iз класiв Srp,θB(Rd) з метою знаходження їхнiх порядкiв.
1. Означення класiв функцiй та апроксимативних характеристик. Нехай Rd
— d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами x = (x1, . . . , xd) i (x, y) = x1y1 + . . .
. . . + xdyd, Lq(Rd), 1 6 q 6∞, — простiр вимiрних функцiй f(x) = f(x1, . . . , xd)
зi скiнченною нормою
‖f‖Lq(Rd) = ‖f‖q :=
(∫
Rd
|f(x)|qdx
) 1
q
, 1 6 q <∞,
‖f‖∞ := ess sup
x∈Rd
|f(x)|.
Нехай, далi, ed := {1, 2, . . . , d}, d ∈ N, i e = {j1, . . . , jm}, m ∈ N, m 6 d,
1 6 j1 < j2 < . . . < jm 6 d, e ⊂ ed. Задамо невiд’ємний вектор re = (rj1 , . . . , rjm)
i r̄e := (r̄1, . . . , r̄d), де
r̄i =
{
ri, i ∈ e,
0, i ∈ ed\e.
Для функцiї f(x), заданої на Rd, визначимо рiзницю 1-го порядку з кроком h за
змiнною xj таким чином:
∆h,jf(x) = f(x1, . . . , xj−1, xj + h, xj+1, . . . , xd)− f(x)
i, вiдповiдно, l-го порядку, l ∈ N,
c© С. Я. ЯНЧЕНКО, 2010
1124 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ Srp,θB(Rd) ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 1125
∆l
hj ,jf(x) =
l︷ ︸︸ ︷
∆h,j . . .∆h,j f(x).
Нехай задано вектор h = (h1, . . . , hd), hj ∈ R, j = 1, d, та вектор k = (k1, . . .
. . . , kd) з цiлими невiд’ємними координатами, тобто kj > 0, j = 1, d. Тодi мiшана
рiзниця k-го порядку з векторним кроком h визначається спiввiдношенням
∆k
hf(x) = ∆k1
h1,1
∆k2
h2,2
. . .∆kd
hd,d
f(x).
Класи Srp,θB(Rd), 1 6 p, θ 6 ∞, де r — заданий вектор iз невiд’ємними коор-
динатами, означаються таким чином (див. [1, 2]):
1) якщо 1 6 θ <∞, то
Srp,θB(Rd) = Srp,θB =
{
f ∈ Lp(Rd) : ‖f‖Srp,θB 6 1
}
,
де норма задається рiвнiстю
‖f‖Srp,θB =
∑
e⊂ed
( 2∫
0
. . .
2∫
0
∏
j∈e
h
−θrj−1
j ‖∆ke
hef(·)‖θp
∏
j∈e
dhj
) 1
θ
; (1)
2) якщо θ =∞, то
Srp,∞B(Rd) = Srp,∞B =
{
f ∈ Lp(Rd) : ‖f‖Srp,∞B 6 1
}
i
‖f‖Srp,∞B =
∑
e⊂ed
sup
h>0
∏
j∈e
h
−rj
j ‖∆ke
hef(·)‖p, (2)
де kj > rj , j = 1, d. Зазначимо, що класи функцiй Srp,∞B(Rd) збiгаються з класами
SrpH , якi були введенi С. М. Нiкольським в [4].
У подальшому будемо вважати, що координати вектора r = (r1, . . . , rd) впо-
рядковано так: 0 < r1 = r2 = . . . = rν < rν+1 6 . . . 6 rd. Вектору r = (r1, . . . , rd)
поставимо у вiдповiднiсть вектор γ = (γ1, . . . , γd), γj = rj/r1, j = 1, d, а вектору
γ — вектор γ′, де γ′j = γj , якщо j = 1, ν i 1 < γ′j < γj , j = ν + 1, d.
Для кожного вектора s = (s1, . . . , sd), sj ∈ Z+, j = 1, d, покладемо
ρ(s) :=
{
k = (k1, . . . , kd) : η(sj)2
sj−1 6 |kj | < 2sj , kj ∈ Z, j = 1, d
}
i розглянемо множину
Q2s :=
{
λ ∈ Rd : η(sj)2
sj−1 6 |λj | < 2sj , j = 1, d
}
,
в якiй η(0) = 0 i η(t) = 1, t > 0.
Отже, для ρ(s) i Q2s можемо записати спiввiдношення ρ(s) = Q2s ∩ Zd.
Крiм того, будемо використовувати перетворення Фур’є (див., наприклад, [5])
функцiї f ∈ Lq(Rd), 1 < q <∞, i щоб навести його означення, нам будуть потрiбнi
узагальненi функцiї.
Нехай S = S(Rd) — простiр основних функцiй Л. Шварца (див., наприклад,
[6], гл. 2). Через S′ позначимо простiр лiнiйних функцiоналiв над S. Зазначимо,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1126 С. Я. ЯНЧЕНКО
що елементами простору S′ є узагальненi функцiї. Якщо f ∈ S′ i ϕ ∈ S, то 〈f, ϕ〉
позначає значення f на ϕ.
Перетворення Фур’є Fϕ : S → S визначається за формулою
(Fϕ)(λ) =
1
(2π)d/2
∫
Rd
ϕ(t)e−i(λ,t)dt ≡ ϕ̃(λ),
де λ = (λ1, . . . , λd), t = (t1, . . . , td) i (λ, t) =
∑d
i=1
λiti — скалярний добуток в Rd
векторiв λ i t ∈ Rd.
Обернене перетворення Фур’є задається таким чином:
(F−1ϕ)(t) =
1
(2π)d/2
∫
Rd
ϕ(λ)ei(λ,t)dλ ≡ ϕ̂(t).
Перетворення Фур’є узагальнених функцiй (для нього ми зберiгаємо те ж по-
значення) визначається формулою
〈Ff, ϕ〉 = 〈f,Fϕ〉, 〈f̃ , ϕ〉 = 〈f, ϕ̃〉,
де f ∈ S′, a ϕ ∈ S.
Обернене перетворення узагальнених функцiй також позначимо F−1f , i визна-
чається воно аналогiчно до прямого перетворення Фур’є за правилом
〈F−1f, ϕ〉 = 〈f,F−1ϕ〉, 〈f̂ , ϕ〉 = 〈f, ϕ̂〉.
Зазначимо, що для кожного 1 < p < ∞ iснує природне неперервне вкладення
Lp в S′ i в цьому сенсi функцiї з Lp(Rd) ототожнюються з елементами з S′.
Носiєм функцiї f будемо називати замикання множини точок, де вона не дорiв-
нює нулю, i позначатимемо supp f .
Введемо апроксимативну характеристику, яку далi будемо дослiджувати.
Розглянемо множину M, яка складається з векторiв s = (s1, . . . , sd) iз цiлочи-
словими координатами.
Для f ∈ Lq(Rd), 1 < q <∞, покладемо
SM(f, x) =
∑
s∈M
δ∗s (f, x),
де
δ∗s (f, x) = F−1(Ff · χQ2s
),
i χA – характеристична функцiя множини A.
Таким чином ми визначили цiлу функцiю SM(f, x), яка належить просто-
ру Lq(Rd) [5], носiй перетворення Фур’є якої зосереджений на множинi, N =
=
⋃
s∈M
Q2s , тобто supp SM(f, x) ⊆ N.
Далi, для f(x) ∈ Lq(Rd) розглянемо апроксимативну характеристику
eFM (f)q = inf
M:mes
⋃
s∈M
Q2s6M
‖f(·)− SM(f, ·)‖q,
де mesA позначає лебегову мiру множини A.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ Srp,θB(Rd) ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 1127
Якщо K ⊂ Lq(Rd) — деякий клас функцiй, то покладемо
eFM (K)q = sup
f∈K
eFM (f)q.
Нагадаємо означення ще однiєї апроксимативної характеристики, що розгляда-
лася в роботi [3].
Для f ∈ Lq(Rd) i γ = (γ1, . . . , γd), γj > 0, j = 1, d, позначимо
Sγn(f, x) =
∑
(s,γ)<n
δ∗s (f, x) (3)
i зазначимо, що Sγn(f, x) — цiла функцiя з носiєм, зосередженим на множинi Qγn =
=
⋃
(s,γ)<n
Q2s . МножинаQγn називається схiдчастим гiперболiчним хрестом i при
цьому mesQγn � 2nnd−1 (див., наприклад, [2]).
Для f(x) ∈ Lq(Rd) покладемо
Eγn(f)q = ‖f(·)− Sγn(f, ·)‖q
i, вiдповiдно, для функцiонального класу K ⊂ Lq(Rd)
Eγn(K)q = sup
f∈K
Eγn(f)q.
2. Допомiжнi твердження. Для додатних функцiй µ1(N) та µ2(N) запис µ1 �
� µ2 означає, що iснує стала C > 0 така, що µ1(N) 6 Cµ2(N). Спiввiдношення
µ1 � µ2 рiвносильне тому, що виконуються порядковi нерiвностi µ1 � µ2 та
µ1 � µ2.
У подальших мiркуваннях нам буде зручно користуватися iншим зображенням
норм (1) та (2). При цьому нерiвностi мiж векторами будемо розумiти покоорди-
натно i, зокрема, запис r > 0 означає, що всi координати вектора r є додатними, а
запис s > 0 — що всi координати вектора s невiд’ємнi.
Теорема А [2]. Нехай задано 1 < p < ∞, r > 0. Тодi для будь-якої функцiї
f ∈ Srp,θB, 1 6 θ <∞, маємо
‖f‖Srp,θB �
(∑
s>0
2(s,r)θ‖δ∗s (f, ·)‖θp
) 1
θ
i якщо θ =∞, то
‖f‖Srp,∞B = ‖f‖SrpH � sup
s>0
2(s,r)‖δ∗s (f, ·)‖p.
Теорема Б (Лiттлвуда – Пелi) (див., наприклад, [7, c. 81]). Нехай задано 1 <
< p <∞. Iснують додатнi числа C1, C2 такi, що для кожної функцiї f ∈ Lp(Rd)
виконуються спiввiдношення
C1‖f‖p 6
∥∥∥∥(∑
s≥0
|δ∗s (f, ·)|2
) 1
2
∥∥∥∥
p
6 C2‖f‖p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1128 С. Я. ЯНЧЕНКО
Теорема B [3]. Якщо 1 < p < q <∞, 1 6 θ 6∞ i r1 >
1
p
− 1
q
, то
Eγn(Srp,θB)q � 2−n(r1−1/p+1/q)n(ν−1)(1/q−1/θ)+ ,
де a+ = max{a; 0}.
Теорема Г [3]. Нехай γ i γ′ — вектори, якi задаються таким чином: 1 = γ1 =
= γ′1 = . . . = γν = γ′ν i 1 < γ′j < γj , j = ν + 1, d, 1 6 ν 6 d, r = r1 · γ. Тодi для
1 6 θ 6∞ має мiсце спiввiдношення
Eγ
′
n (Srp,θB)p �
{
2−nr1n(ν−1)(1/p−1/θ)+ при 1 < p 6 2,
2−nr1n(ν−1)(1/2−1/θ)+ при 2 < p <∞.
Сформулюємо також два твердження, якi для перiодичних функцiй були вста-
новленi в [8, c. 25 – 28] i мають мiсце для функцiй f ∈ Lq(Rd).
Лема А [3]. Нехай задано 1 < p < q <∞ i f ∈ Lq(Rd). Тодi
‖f‖q �
(∑
s>0
‖δ∗s (f, ·)‖qp2
q( 1
p−
1
q )‖s‖1
) 1
q
, (4)
де ‖s‖1 =
∑d
j=1
sj .
Як було показано у роботi [8, c. 28], має мiсце i двоїсте твердження.
Лема Б. Нехай задано 1 < q < p <∞ i f ∈ Lq(Rd). Тодi
‖f‖q �
(∑
s>0
‖δ∗s (f, ·)‖qp2
q( 1
p−
1
q )‖s‖1
) 1
q
. (5)
3. Основнi результати. Має мiсце наступне твердження.
Теорема 1. Нехай 1 < p < q < ∞, r1 > 1/p − 1/q. Тодi для 1 6 θ 6 ∞
справджується порядкове спiввiдношення
eFM (Srp,θB)q �M−(r1−
1
p+
1
q )(logν−1M)(r1−
1
p+
2
q−
1
θ )+ , (6)
де a+ = max{a; 0}.
Доведення. Спочатку отримаємо в (6) оцiнку зверху. Зазначимо, що у випадку
θ > q дана оцiнка випливає з вiдповiдної оцiнки наближення класiв Srp,θB цiлими
функцiями вигляду
Sγn(f, x) =
∑
(s,γ)<n
δ∗s (f, x)
за умови, що числа n пiдiбрано iз спiввiдношення M � 2nnν−1. Вiдповiдний
результат був отриманий в теоремi B.
Тому отримаємо оцiнку зверху у випадку 1 6 θ 6 q.
Зазначимо, що при цьому ми будемо використовувати деякi мiркування з роботи
[9], де розглядалися аналогiчнi питання у перiодичному випадку.
Нехай f ∈ Srp,θB, 1 6 θ < q. За числом M пiдберемо n iз спiввiдношення
M � 2nnν−1 i покладемо n0 = [n+ (ν − 1) log n], де [a] — цiла частина числа a.
Побудуємо множину N i, вiдповiдно цiлу функцiю SM(f, x), за допомогою якої
будемо виконувати наближення функцiї f ∈ Srp,θB.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ Srp,θB(Rd) ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 1129
Спочатку включимо в N множину Qγn =
⋃
(s,γ)<n
Q2s , а далi будемо розширю-
вати її за рахунок включення допустимої кiлькостi множин Q2s , l 6 (s, γ) < l + 1
i n 6 l < n0.
Кожному l ∈ N, n 6 l < n0 поставимо у вiдповiднiсть величину
Sl =
( ∑
l6(s,γ)<l+1
2(s,r)θ‖δ∗s (f, ·)‖θp
) 1
θ
(7)
i покладемо
ml = [2nnν−12−lSθl ] + 1.
Нехай, далi, ai(f, l), i = 1, 2, . . . , позначають числа ‖δ∗s (f, ·)‖p, якi входять у
(7) у порядку спадання. Зазначимо, що з (7) випливає спiввiдношення
ai(f, l)� i−
1
θ 2−lr1Sl.
Тепер iз суми
∑
l6(s,γ)<l+1
δ∗s (f, x) виберемо ml блокiв δ∗s (f, x), якi вiдповiда-
ють першим ml числам ai(f, l), чим задамо також ml множин Q2s . Данi множини
породжуються ml векторами s, якi вiдповiдають вибраним δ∗s (f, x). Виконавши цю
процедуру для кожного l ∈ [n, n0), l ∈ N, отримаємо набiр множин Q2s , а разом з
тим i множину векторiв s, яку позначимо через Ml. Вiдповiдно позначимо Q̃l =
=
⋃
s∈Ml
Q2s . Отже, N = Qγn ∪ Q̃l, i функцiю SM(f, x) виберемо таким чином:
SM(f, x) =
∑
(s,γ)<n
δ∗s (f, x) +R(x),
де R(x) =
∑
s∈Ml
δ∗s (f, x), тобто suppR(x) ⊆ Q̃l.
Покажемо, що mesN�M .
Скориставшись спiввiдношенням (див., наприклад, [8, с. 11])∑
(s,γ)<n
2(s,1) � 2nnν−1,
а також врахувавши вибiр чисел ml, будемо мати
mesN� 2nnν−1 +
n0∑
l=n
2lml � 2nnν−1+
+2nnν−1
n
0∑
l=n
∑
l6(s,γ)<l+1
2(s,r)θ‖δ∗s (f, ·)‖θp �
� 2nnν−1 + 2nnν−1‖f‖θSrp,θB � 2nnν−1 �M.
Тепер перейдемо безпосередньо до встановлення оцiнки наближення.
Нехай M̃l позначає множину тих векторiв s : n 6 (s, γ) < n0, для яких δ∗s (f, x)
не попали в R(x). Тoдi для f(x) ∈ Srp,θB отримаємо
‖f(·)− SM(f, ·)‖q = ‖f(·)−
∑
(s,γ)<n0
δ∗s (f, ·) +
∑
s∈M̃l
δ∗s (f, ·)‖q 6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1130 С. Я. ЯНЧЕНКО
6 ‖f(·)−
∑
(s,γ)<n0
δ∗s (f, ·)‖q + ‖
∑
s∈M̃l
δ∗s (f, ·)‖q = I1 + I2. (8)
Згiдно з теоремою B i вибором числа n0 можемо записати
I1 � 2−n0(r1− 1
p+
1
q ) 6 2−n(r1−
1
p+
1
q )n−(ν−1)(r1−
1
p+
1
q ) �M−(r1−
1
p+
1
q ). (9)
Для оцiнки I2, скориставшись спiввiдношенням (4), а також врахувавши значен-
ня чисел ai(f, l), будемо мати
I2 �
(
n0∑
l=n
∑
i>ml
(
ai(f, l)2
l( 1
p−
1
q )
)q) 1
q
=
(
n0∑
l=n
∑
i>ml
aθi (f, l)a
q−θ
i (f, l)2l(
1
p−
1
q )q
) 1
q
�
�
(
n0∑
l=n
∑
i>ml
aθi (f, l)i
−(q−θ)/θ2−l(q−θ)r1Sq−θl 2l(
1
p−
1
q )q
) 1
q
6
6
(
n0∑
l=n
m
−(q−θ)/θ
l 2−l(q−θ)r1Sq−θl 2l(
1
p−
1
q )q
∑
i>ml
aθi (f, l)
) 1
q
�
�
(
n0∑
l=n
m
−(q−θ)/θ
l 2−l(q−θ)r1Sq−θl 2l(
1
p−
1
q )q
∑
l6(s,γ)<l+1
‖δ∗s (f, ·)‖θp
) 1
q
�
�
(
n0∑
l=n
m
−(q−θ)/θ
l 2−l(q−θ)r1Sq−θl 2l(
1
p−
1
q )q2−lθr1
∑
l6(s,γ)<l+1
2(s,r)θ‖δ∗s (f, ·)‖θp
) 1
q
�
�
(
n0∑
l=n
m
−(q−θ)/θ
l 2−l(r1−
1
p+
1
q )qSq−θl Sθl
) 1
q
=
(
n0∑
l=n
m
−(q−θ)/θ
l 2−l(r1−
1
p+
1
q )qSql
) 1
q
.
(10)
Далi, пiдставивши в останню суму в (10) замiсть ml їх значення, отримаємо
I2 � (2nnν−1)
1
q−
1
θ
(
n0∑
l=n
2−lq(r1−
1
p+
2
q−
1
θ )Sθl
) 1
q
= (2nnν−1)
1
q−
1
θ I3. (11)
Для оцiнки I3 розглянемо два випадки:
1) r1 ≥
1
p
− 2
q
+
1
θ
;
2)
1
p
− 1
q
< r1 <
1
p
− 2
q
+
1
θ
.
У випадку 1
I3 6 2−n(r1−
1
p+
2
q−
1
θ )
(
n0∑
l=n
Sθl
) 1
q
=
= 2−n(r1−
1
p+
2
q−
1
θ )
(
n0∑
l=n
∑
l6(s,γ)<l+1
2(s,r)θ‖δ∗s (f, ·)‖θp
) 1
q
�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ Srp,θB(Rd) ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 1131
� 2−n(r1−
1
p+
2
q−
1
θ )‖f‖
θ/q
Srp,θB
6 2−n(r1−
1
p+
2
q−
1
θ ). (12)
Спiвставивши (10) – (12), отримаємо
I2 �M−(r1−
1
p+
1
q )
(
logν−1M
)(r1− 1
p+
2
q−
1
θ ). (13)
Нехай
1
p
− 1
q
< r1 <
1
p
− 2
q
+
1
θ
. Тодi
I3 6 2−n0(r1− 1
p+
2
q−
1
θ )
(
n0∑
l=n
Sθl
) 1
q
=
= 2−n0(r1− 1
p+
2
q−
1
θ )
(
n0∑
l=n
∑
l6(s,γ)<l+1
2(s,r)θ‖δ∗s (f, ·)‖θp
) 1
q
�
� 2−n0(r1− 1
p+
2
q−
1
θ )‖f‖
θ/q
Srp,θB
6 2−n(r1−
1
p+
2
q−
1
θ )n−(ν−1)(r1−
1
p+
2
q−
1
θ ). (14)
Вiдповiдно до (10), (11) i (14) отримаємо
I2 �M−(r1−
1
p+
1
q ). (15)
Насамкiнець, пiдставивши по черзi оцiнки (9) i (13), а потiм (9) i (15) в (8),
отримаємо оцiнку для eFM (Srp,θB)q у випадку 1 6 θ < q. Оцiнку зверху в теоремi
встановлено.
Перейдемо до встановлення оцiнки знизу, яку достатньо отримати для випадку
ν = d. При цьому будемо використовувати вiдоме спiввiдношення (див., наприклад,
[10, c. 22]).
Нехай f — вимiрна функцiя на Rd, тодi
‖f‖q = sup
‖g‖q′61
∫
Rd
|f(x) g(x)|dx,
де
1
q
+
1
q′
= 1.
Нехай f ∈ Srp,θB i SM(f, x) — цiла функцiя, носiй перетворення Фур’є якої
мiститься на множинi N =
⋃
s∈M
Q2s , mesN 6 M . Зазначимо, що множина N
визначає множину векторiв k з цiлочисловими координатами, кiлькiсть яких не
перевищує M .
Згiдно з наведеним спiввiдношенням можемо записати
‖f(·)− SM(f, ·)‖q = sup
‖g‖q′61
∫
Rd
∣∣∣(f(x)− SM(f, x)
)
g(x)
∣∣∣dx. (16)
Для k ∈ Nd розглянемо функцiю
Dk(x) =
d∏
j=1
Dkj (xj),
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1132 С. Я. ЯНЧЕНКО
Dkj (xj) =
√
2
π
(
2 sin
xj
2
cos
2kj + 1
2
xj
)
x−1j
та
D 1
2
(xj) = D0(xj) :=
√
2
π
sinxj
xj
.
Тодi для перетворення Фур’є функцiї Dk(x) можемо записати [3]
FDk(x) = χk(x) =
d∏
j=1
χkj (xj),
де
χkj (xj) =
1, kj < |xj | < kj + 1,
1
2
, |xj | = kj або |xj | = kj + 1,
0 в iнших випадках,
χ0(xj) =
1, |xj | < 1,
1
2
, |xj | = 1,
0, |xj | > 1.
Вiдповiдно для оберненого перетворення будемо мати
F−1χk(t) = Dk(x).
Пiдберемо число l ∈ N так, щоб виконувались спiввiдношення 2lld−1 � M i
2lld−1 > 2M . Розглянемо функцiю
F (x) =
∑
(s,1)6l
∑
k∈ρ(s)
Dk(x),
i зазначимо, що mes
⋃
s:(s,1)6l
Q2s � 2lld−1.
Використавши оцiнку [3]
‖δ∗s (F, ·)‖p =
∥∥∥∥ ∑
k∈ρ(s)
Dk(·)
∥∥∥∥
p
� 2‖s‖1(1−
1
p ), 1 < p <∞, (17)
у випадку 1 6 θ <∞ отримаємо
‖F‖Srp,θB =
( ∑
(s,1)6l
2(s,r)θ‖δ∗s (F, ·)‖θp
) 1
θ
=
( ∑
(s,1)6l
2(s,r)θ
∥∥∥ ∑
k∈ρ(s)
Dk(·)
∥∥∥θ
p
) 1
θ
�
�
( ∑
(s,1)6l
2(s,r)θ2(s,1)(1−
1
p )θ
) 1
θ
=
( ∑
(s,1)6l
2(s,1)(r1+1− 1
p )θ
) 1
θ
� 2l(r1+1− 1
p )l(d−1)/θ.
Отже,
f1(x) = C32−l(r1+1− 1
p )l−(d−1)/θF (x) (18)
належить класу Srp,θB з деякою сталою C3 > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ Srp,θB(Rd) ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 1133
Якщо ж θ =∞, то, використавши (17), отримаємо
‖F‖Srp,∞B = sup
(s,1)6l
2(s,r)‖δ∗s (F, ·)‖p � 2l(r1+1− 1
p )
i тому функцiя
f2(x) = C42−l(r1+1− 1
p )F (x) (19)
належить класу Srp,∞B з деякою сталою C4 > 0.
Тепер покажемо, що функцiя
g(x) = C52−l/ql−(d−1)/q
′
F (x) (20)
з деякою константою C5 > 0 задовольняє умову ‖g‖q′ 6 1.
Для цього необхiдно встановити, що ‖F‖q′ � 2l/ql(d−1)/q
′
, 1 < q′ <∞.
Розглянемо два випадки.
Нехай 1 < q′ 6 2. Тодi згiдно з теоремою Б i нерiвнiстю |a+ b|α 6 |a|α + |b|α,
0 6 α 6 1, можемо записати
‖F‖q′ �
∥∥∥∥∥
( ∑
(s,1)6l
|δ∗s (F, ·)|2
) 1
2
∥∥∥∥∥
q′
=
( ∑
(s,1)6l
‖δ∗s (F, ·)‖q
′
q′
) 1
q′
. (21)
Використавши (17), продовжимо оцiнку (21):
‖F‖q′ �
( ∑
(s,1)6l
2
(s,1)(1− 1
q′ )q
′
) 1
q′
� 2l/q
( ∑
(s,1)6l
1
) 1
q′
� 2l/ql(d−1)/q
′
.
Якщо 2 < q′ <∞, то, використавши лему A та спiввiдношення (17), отримаємо
‖F‖q′ �
( ∑
(s,1)6l
‖δ∗s (F, ·)‖q
′
q 2
‖s‖1( 1
q−
1
q′ )q
′
) 1
q′
�
�
( ∑
(s,1)6l
2‖s‖1(1−
1
q )q
′
2
‖s‖1( 1
q−
1
q′ )q
′
) 1
q′
6 2l/q
( ∑
(s,1)6l
1
) 1
q′
� 2l/ql(d−1)/q
′
.
Нехай 1 6 θ < ∞. Тодi, пiдставивши (18) i (20) в (16) та врахувавши, що
M � 2lld−1 i ‖g(·)‖q′ 6 1, будемо мати
eFM (Srp,θB)q > eFM (f1)q = inf
M:mesN6M
‖f1(·)− SM(f1, ·)‖q >
> inf
M:mesN6M
∫
Rd
∣∣∣(f1(x)− SM(f1, x)
)
g(x)
∣∣∣dx >
> inf
M:mesN6M
∫
Rd
∣∣∣(2−l(r1+1− 1
p )l−(d−1)/θF (x)− SM(f1, x)
)
2−l/ql−(d−1)/q
′
F (x)
∣∣∣dx�
� 2−l(r1+1− 1
p+
1
q )l
−(d−1)( 1
θ+
1
q′ ) inf
M:mesN6M
( ∫
Rd
|F (x)|2dx−
∫
Rd
|SM(F, x)F (x)|dx
)
.
(22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1134 С. Я. ЯНЧЕНКО
Щоб продовжити оцiнку (22), оцiнимо кожен з iнтегралiв.
Для оцiнки
∫
Rd
|F (x)|2dx, скориставшись спiввiдношенням (17), одержимо
∫
Rd
|F (x)|2dx = ‖F (·)‖22 � 2lld−1.
Для оцiнки другого iнтеграла введемо додатковi позначення. Через L позначимо
множину векторiв s, для яких (s, 1) 6 l, i, вiдповiдно, через M — множину векторiв
{s : s ∈M∩L}. Нехай N =
⋃
s∈M
Q2s . Тодi можемо записати N ⊆ N i mesN 6M .
Далi, взявши до уваги, що добуток SM(F, x) F (x) вiдмiнний вiд нуля лише на
множинi N, можемо записати∫
Rd
∣∣∣SM(F, x)F (x)
∣∣∣dx =
∫
Rd
∣∣∣SM(F, x)
∣∣∣2dx =
∥∥SM(F, ·)
∥∥2
2
=
=
∥∥∥∥∥
( ∑
s∈M
|δ∗s (F, ·)|2
) 1
2
∥∥∥∥∥
2
2
=
∑
s∈M
‖δ∗s (F, ·)‖22 �
∑
s∈M
(
2‖s‖1(1−
1
2 )
)2
= mesN 6M.
Тодi оцiнку (22) можна продовжити таким чином:
eFM (Srp,θB)q > eFM (f1)q � 2−l(r1+1− 1
p+
1
q )l
−(d−1)( 1
θ+
1
q′ )(2lld−1 −M)�
� 2−l(r1+1− 1
p+
1
q )l
−(d−1)( 1
θ+
1
q′ )2lld−1 �
�M−(r1−
1
p+
1
q )
(
logd−1M
)r1− 1
p+
2
q−
1
θ . (23)
Нехай тепер θ =∞, тодi, пiдставивши в (16) функцiї (19) i (20), отримаємо
eFM (Srp,θB)q > eFM (f2)q = inf
M:mesN6M
‖f2(·)− SM(f2, ·)‖q �
�M−(r1−
1
p+
1
q )
(
logd−1M
)r1− 1
p+
2
q . (24)
Зазначимо, що отриманi оцiнки збiгаються за порядком з оцiнками зверху у
випадку r1 >
1
p
− 1
q
+
1
θ
.
Для того щоб завершити оцiнку знизу, розглянемо випадок
1
p
− 1
q
< r1 <
1
p
−
− 2
q
+
1
θ
. Оскiльки за даних умов оцiнка зверху величини eFM (Srp,θB)q не залежить
вiд розмiрностi простору Rd, то її достатньо отримати для d = 1. Однак в однови-
мiрному випадку оцiнка (23) збiгається за порядком з вiдповiдною оцiнкою зверху
для всiх r1 >
1
p
− 1
q
.
Теорему доведено.
Наслiдок 1. Якщо виконуються умови теореми 1 i θ =∞, то з (6) отримуємо
оцiнку
eFM (SrpH)q �M−(r1−
1
p+
1
q )(logν−1M)(r1−
1
p+
2
q ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ Srp,θB(Rd) ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 1135
Зауваження 1. Порiвнюючи теорему 1 з вiдповiдним результатом наближення
функцiй з класiв Srp,θB цiлими функцiями Sγn(f, x) (теорема В), можемо зробити
такий висновок: якщо 1 < p < q <∞ i q 6 θ 6∞, то
eFM (Srp,θB)q � Eγn(Srp,θB)q, M � 2nnν−1
i
eFM (Srp,θB)q � Eγn(Srp,θB)qn
−(ν−1)(r1− 1
p+
1
q ), M � 2nnν−1,
якщо 1 6 θ < q <∞, а 1/p− 1/q < r1 < 1/p− 2/q + 1/θ.
Тепер сформулюємо результат, який дає оцiнку величини eFM (Srp,θB)q для iн-
шого спiввiдношення мiж параметрами p i q, а саме 1 < p = q < 2.
Теорема 2. Нехай 1 < p < 2, r1 > 0. Тодi для 1 6 θ 6∞ має мiсце порядкове
спiввiдношення
eFM (Srp,θB)p �M−r1(logν−1M)(r1+
1
p−
1
θ )+ , (25)
де a+ = max{a; 0}.
Доведення. Встановимо спочатку оцiнку зверху. Попередньо зауважимо, що у
випадку p 6 θ 6 ∞ оцiнка одержується з теореми Г, якщо N = Qγ
′
n , де Qγ
′
n =
=
⋃
(s,γ′)<n
Q2s , M � 2nnν−1, i при цьому SM(f, x) =
∑
(s,γ′)<n
δ∗s (f, x).
Перейдемо до встановлення оцiнки зверху у випадку 1 6 θ < p. Зазначимо,
що при цьому будемо використовувати тi ж мiркування, що i при доведеннi оцiнки
зверху в теоремi 1. Зупинимося лише на вiдмiнностях у доведеннi.
Для f ∈ Srp,θB функцiю, з допомогою якої здiйснюватимемо наближення, буде-
мо вибирати таким чином:
SM(f, x) =
∑
(s,γ′)<n
δ∗s (f, x) +R1(x),
де R1(x), а вiдповiдно i множина, на якiй зосереджено носiй її перетворення Фур’є,
будується, як R i Q̃l в теоремi 1, з тiєю вiдмiннiстю, що замiсть величини Sl будемо
використовувати
S̃l =
( ∑
l6(s,γ′)<l+1
2(s,r)θ‖δ∗s (f, ·)‖θp
) 1
θ
,
тобто вектор γ у величинi Sl замiнимо на γ′.
Припустимо, що функцiю SM(f, x) побудовано. Отримаємо оцiнку зверху ве-
личини ‖f(·)− SM(f, ·)‖p, f ∈ Srp,θB.
Нехай M̃′l позначає множину тих векторiв s : n 6 (s, γ′) < n0, для яких δ∗s (f, x)
не потрапили в R1(x). Тодi
‖f(·)− SM(f, ·)‖p 6
∥∥∥f(·)−
∑
(s,γ′)<n0
δ∗s (f, ·) +
∑
s∈M̃′l
δ∗s (f, ·)
∥∥∥
p
6
6
∥∥∥f(·)−
∑
(s,γ′)<n0
δ∗s (f, ·)
∥∥∥
p
+
∥∥∥ ∑
s∈M̃′l
δ∗s (f, ·)
∥∥∥
p
= I4 + I5. (26)
Для оцiнки I4, скориставшись теоремою Г, отримаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1136 С. Я. ЯНЧЕНКО
I4 � 2−n0r1 = 2−nr1n−(ν−1)r1 �M−r1 . (27)
Для оцiнки I5 спочатку використаємо теорему Б (Лiттлвуда – Пелi), а потiм
нерiвнiсть |a+ b|c 6 |a|c + |b|c, 0 6 c 6 1. Тодi
I5 =
∥∥∥∥∥ ∑
s∈M̃′l
δ∗s (f, ·)
∥∥∥∥∥
p
�
∥∥∥∥∥
( ∑
s∈M̃′l
|δ∗s (f, ·)|2
) 1
2
∥∥∥∥∥
p
6
( ∑
s∈M̃′l
‖δ∗s (f, ·)‖pp
) 1
p
. (28)
Далi, мiркуючи, як i при встановленнi оцiнки величини I2 (див. (10) i (11)), з
(28) одержимо
I5 � (2nnν−1)(
1
p−
1
θ )
(
n0∑
l=n
2−pl(r1−
1
θ+
1
p )S̃θl
) 1
p
. (29)
Щоб продовжити оцiнку I5, розглянемо два випадки:
1) r1 >
1
θ
− 1
p
;
2) 0 < r1 <
1
θ
− 1
p
.
Якщо r1 >
1
θ
− 1
p
, то з (29) будемо мати
I5 � (2nnν−1)(
1
p−
1
θ )2−n(r1−
1
θ+
1
p )
(
n0∑
l=n
S̃θl
) 1
p
�
� (2nnν−1)(
1
p−
1
θ )2−n(r1−
1
θ+
1
p )‖f‖θ/pSrp,θ
6
6 2−nr1n(ν−1)(1/p−1/θ) �M−r1(logν−1M)r1+
1
p−
1
θ . (30)
Пiдставивши (27) i (30) в (26), отримаємо
‖f(·)− SM(f, ·)‖p �M−r1(logν−1M)r1+
1
p−
1
θ .
Нехай тепер 0 < r1 <
1
θ
− 1
p
. Тодi оцiнку (29) можемо продовжити таким чином:
I5 � (2nnν−1)(
1
p−
1
θ )2−n0(r1− 1
θ+
1
p )
(
n0∑
l=n
S̃θl
) 1
p
�
� (2nnν−1)(
1
p−
1
θ )2−n(r1−
1
θ+
1
p )n−(ν−1)(r1−
1
θ+
1
p ) = 2−nr1n−(ν−1)r1 �M−r1 .
Отже, оцiнку зверху в теоремi 2 встановлено.
Встановимо оцiнку знизу.
Для цього будемо використовувати мiркування, якi були запропонованi
В. М. Темляковим [8, c. 94]. За числом M пiдберемо n так, щоб M � 2nnd−1
i кiлькiсть точок з цiлочисловими координатами у множинi Fn =
⋃
(s,1)=n
ρ(s)
була б бiльшою за 4M .
Розглянемо функцiї
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ Srp,θB(Rd) ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 1137
f3(x) = C62−n(r1+1− 1
p )n−
(d−1)
θ
∑
k∈Fn
Dk(x), C6 > 0, 1 6 θ <∞,
та
f4(x) = C72−n(r1+1− 1
p )
∑
k∈Fn
Dk(x), C7 > 0, якщо θ =∞.
Як i при доведеннi теореми 1, можна показати, що функцiї f3 i f4 належать
Srp,θB i Srp,∞B (SrpH) вiдповiдно.
Нехай M — довiльна множина векторiв s = (s1, . . . , sd) така, що для множини
N =
⋃
s∈M
Q2s має мiсце спiввiдношення mesN 6 M . Для кожного вектора
s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, який задовольняє умову (s, 1) = n, розглянемо
множину N ∩ ρ(s). Згiдно з вибором числа n множина
M′ =
{
s ∈ Zd+ : (s, 1) = n,
∣∣N ∩ ρ(s)
∣∣ < 1
2
|ρ(s)|
}
буде мiстити, принаймнi, половину всiх векторiв s, що задовольняють умову (s, 1) =
= n, i тому |M′| � nd−1.
Нехай
SM′(f3, x) =
∑
s∈M′
δ∗s (f3, x).
Тодi згiдно з (5) для f3(x) отримаємо
‖f3(·)− SM′(f3, ·)‖p �
( ∑
(s,1)=n
‖δ∗s (f3(·)− SM′(f3, ·))‖p22‖s‖1(
1
2−
1
p )p
) 1
p
�
�
( ∑
s∈M′
‖δ∗s (f3(·)− SM′(f3, ·))‖p2
) 1
p
2n(
1
2−
1
p ) �
� 2−n(r1+1− 1
p )n−
(d−1)
θ 2
n
2
( ∑
s∈M′
1
) 1
p
2n(
1
2−
1
p ) �
� 2−nr1n−
(d−1)
θ |M′|
1
p � 2−nr1n(d−1)(
1
p−
1
θ ) �
�M−r1
(
logd−1M
)r1+ 1
p−
1
θ . (31)
Вiдповiдно для f4(x) отримаємо
‖f4(·)− SM′(f4, ·)‖p � 2−nr1n(d−1)/p �M−r1
(
logd−1M
)r1+ 1
p . (32)
Оцiнки (31) i (32) збiгаються за порядком з оцiнками зверху величини eFM (Srp,θB)p
у випадку r1 ≥
1
θ
− 1
p
. Якщо ж 0 < r1 <
1
θ
− 1
p
, то шукана оцiнка випливає з одно-
вимiрного випадку.
Оцiнку (25) встановлено.
Теорему доведено.
Наслiдок 2. Якщо виконуються умови теореми 2 i θ =∞, то з (25) отриму-
ємо оцiнку
eFM (SrpH)p �M−r1(logν−1M)(r1+
1
p ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1138 С. Я. ЯНЧЕНКО
Зауваження 2. Порiвнюючи теорему 2 з вiдповiдним результатом для на-
ближення функцiй з класiв Srp,θ цiлими функцiями Sγn(f, x) (теорема Г), можемо
зробити такий висновок: якщо p 6 θ 6∞, p ∈ (1, 2), то
eFM (Srp,θB)p � Eγ
′
n (Srp,θB)p, M � 2nnν−1
i
eFM (Srp,θB)p � Eγ
′
n (Srp,θB)pn
−(ν−1)r1 , M � 2nnν−1,
якщо 1 6 θ < p, а 0 < r1 < 1/p− 1/θ.
Зауваження 3. Зазначимо, що дослiдження величини, аналогiчної до
eFM (Srp,θB)q , для класiв Бєсова перiодичних функцiй багатьох змiнних були прове-
денi в роботах [9, 11].
1. Аманов Т. И. Теоремы представления и вложения для функциональных пространств Srp,θB(Rn)
и Sr∗p,θB (0 6 xj 6 2π; j = 1, . . . , n) // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1965. – 77. – С. 5 – 34.
2. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозици-
онной точки зрения // Там же. – 1989. – 187. – C. 143 – 161.
3. Wang Heping, Sun Yongsheng. Approximation of multivariate functions with certain mixed smoothness
by entire functions // Northeast. Math. J. – 1995. – 11(4). – P. 454 – 466.
4. Никольский С. М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному
условию Гельдера // Сиб. мат. журн. – 1963. – 4, № 6. – C. 1342 – 1363.
5. Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в
теории вложений классов дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1969. – 105.
– C. 89 – 167.
6. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1967. – 436 c.
7. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука,
1969. – 480 c.
8. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та
АН СССР. – 1986. – 178. – C. 1 – 112.
9. Романюк А. С. Приближение классов периодических функций многих переменных // Мат. заметки.
– 2002. – 71, № 1. – С. 109 – 121.
10. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы
вложения. – М.: Наука, 1996. – 480 c.
11. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики изотропных классов периодических функций
многих переменных // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 4. – С. 513 – 523.
Одержано 28.12.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2942 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:33:14Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/48/cacf83980f2fc458d43b043dcbf79448.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29422020-03-18T19:40:46Z Approximation of the classes $S^r_{p,θ}B(\mathbb{R}^d)$ of functions of many variables by entire functions of a special form Наближення класів $S^r_{p,θ}B(\mathbb{R}^d)$ функцій багатьох змінних цілими функціями спеціального вигляду Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. Exact-order estimates are obtained for the approximations of the functional classes $S^r_{p,θ}B(\mathbb{R}^d)$ by entire functions of a special form. Получены точные по порядку оценки приближений функциональных классов $S^r_{p,θ}B(\mathbb{R}^d)$ с помощью целых функций специального вида. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2942 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 8 (2010); 1124–1138 Український математичний журнал; Том 62 № 8 (2010); 1124–1138 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2942/2634 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2942/2635 Copyright (c) 2010 Yanchenko S. Ya. |
| spellingShingle | Yanchenko, S. Ya. Янченко, С. Я. Approximation of the classes $S^r_{p,θ}B(\mathbb{R}^d)$ of functions of many variables by entire functions of a special form |
| title | Approximation of the classes $S^r_{p,θ}B(\mathbb{R}^d)$ of functions of many variables by entire functions of a special form |
| title_alt | Наближення класів $S^r_{p,θ}B(\mathbb{R}^d)$ функцій багатьох змінних цілими функціями спеціального вигляду |
| title_full | Approximation of the classes $S^r_{p,θ}B(\mathbb{R}^d)$ of functions of many variables by entire functions of a special form |
| title_fullStr | Approximation of the classes $S^r_{p,θ}B(\mathbb{R}^d)$ of functions of many variables by entire functions of a special form |
| title_full_unstemmed | Approximation of the classes $S^r_{p,θ}B(\mathbb{R}^d)$ of functions of many variables by entire functions of a special form |
| title_short | Approximation of the classes $S^r_{p,θ}B(\mathbb{R}^d)$ of functions of many variables by entire functions of a special form |
| title_sort | approximation of the classes $s^r_{p,θ}b(\mathbb{r}^d)$ of functions of many variables by entire functions of a special form |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2942 |
| work_keys_str_mv | AT yanchenkosya approximationoftheclassessrpthbmathbbrdoffunctionsofmanyvariablesbyentirefunctionsofaspecialform AT ânčenkosâ approximationoftheclassessrpthbmathbbrdoffunctionsofmanyvariablesbyentirefunctionsofaspecialform AT yanchenkosya nabližennâklasívsrpthbmathbbrdfunkcíjbagatʹohzmínnihcílimifunkcíâmispecíalʹnogoviglâdu AT ânčenkosâ nabližennâklasívsrpthbmathbbrdfunkcíjbagatʹohzmínnihcílimifunkcíâmispecíalʹnogoviglâdu |