On a criterion of rationality for a series in orthogonal polynomials
We present a criterion of rationality for a function determined by its expansion in a series in orthogonal polynomials. This criterion can be regarded as an analog of the well-known Kronecker criterion of rationality for functions given by power series.
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2943 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508944806445056 |
|---|---|
| author | Buslaev, V. I. Буслаев, В. И. Буслаев, В. И. |
| author_facet | Buslaev, V. I. Буслаев, В. И. Буслаев, В. И. |
| author_sort | Buslaev, V. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:40:46Z |
| description | We present a criterion of rationality for a function determined by its expansion in a series in orthogonal polynomials. This criterion can be regarded as an analog of the well-known Kronecker criterion of rationality for functions given by power series. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:33:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.5
В. И. Буслаев (Мат. ин-т РАН, Москва)
О КРИТЕРИИ РАЦИОНАЛЬНОСТИ РЯДА
ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ*
We present a criterion of rationality of a function determined by the expansion into a series in terms of
orthogonal polynomials. This criterion may be treated as an analog of the known Kronecker criterion of the
rationality of a function determined by a power series.
Наведено критерiй рацiональностi функцiї, що задана розвиненням у ряд за ортогональними многочле-
нами. Цей критерiй можна вважати аналогом вiдомого критерiю Кронекера рацiональностi функцiї, що
задана степеневим рядом.
Во многих вопросах теории функций весьма важную роль играет следующий изве-
стный критерий Кронекера [1] рациональности функции, заданной степенным ря-
дом.
Критерий Кронекера. Следующие утверждения эквивалентны:
1◦) f(z) =
∑∞
n=0
fnz
n — рациональная функция, имеющая не болееm полюсов;
2◦)
∣∣∣∣∣∣
fn . . . fn−m
. . . . . . . . .
fn+m . . . fn
∣∣∣∣∣∣ = 0 при всех n > n0.
В [2] показано, что аналогичный критерий имеет место для функции, заданной
разложением в ряд по ортонормированным многочленам Якоби Tn,α,β :
1∫
−1
Tn,α,β(x)Tk,α,β(x)(1− x)α(1 + x)βdx =
{
0 , n 6= k,
1 , n = k,
n, k = 0, 1, . . . ,
с показателями α и β такими, что α2 = β2 = 1/4.
Аналог критерия Кронекера. Пусть
∑∞
n=0
FnTn,α,β(z) — разложение голо-
морфной на отрезке [−1, 1] функции F (z) в ряд по ортонормированным многочле-
нам Якоби Tn,α,β(z), где α2 = β2 =
1
4
. Тогда следующие утверждения эквивалент-
ны:
1◦) F (z) — рациональная функция, имеющая не более m полюсов;
2◦)
∣∣∣∣∣∣
Fn . . . Fn−m
. . . . . . . . .
Fn+m . . . Fn
∣∣∣∣∣∣ = 0 при всех n > n0.
*Частично поддержана программой ОМН РАН „Современные проблемы теоретической математики”
и Российским фондом фундаментальных исследований (гранты № 08-01-00317 и № 09-01-12160-офи-м)
и Программой Президента РФ поддержки ведущих научных школ (грант НШ-8033.2010.1).
c© В. И. БУСЛАЕВ, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8 1139
1140 В. И. БУСЛАЕВ
В основе доказательства этого аналога критерия Кронекера лежит тот факт,
что многочлены Чебышева являются многочленами Фабера для отрезка [−1, 1] и
коэффициенты An, Bn, Cn в нижеприводимых трехчленных соотношениях (3) не
зависят от n. Легко видеть, что аналог критерия Кронекера не верен для фун-
кции, заданной разложением в ряд по многочленам Лежандра Tn,0,0(z) уже при
m = 1. В данной статье указывается критерий (возможно, не самый оптимальный)
рациональности функции, заданной разложением в ряд по произвольной системе
ортогональных многочленов.
Для любого степенного ряда f обозначим через (f)n коэффициент при zn и
заметим, что утверждение 2◦ в критерии Кронекера можно переформулировать
следующим образом:
rang
(f)n (zf)n . . . (zmf)n
. . . . . . . . . . . .
(f)n+m (zf)n+m . . . (zmf)n+m
< m+ 1 при всех n > n0.
Пусть {Tn}∞n=0 — система ортонормированных на отрезке [−1, 1] многочленов
1∫
−1
Tn(x)Tk(x)dσ(x) =
{
0 , n 6= k,
1 , n = k,
n, k = 0, 1, . . . , (1)
где σ(x) — произвольная неубывающая на отрезке [−1, 1] функция с бесконечным
множеством точек роста. Для любого ряда F по ортонормированным многочле-
нам Tn обозначим через [F ]n коэффициент при многочлене Tn, т. е. [F ]n = Fn,
если F (z) =
∑∞
n=0
FnTn(z). В свете вышеприведенной переформулировки утвер-
ждения 2◦ в критерии Кронекера достаточно естественно выглядит следующая
теорема, составляющая содержание данной статьи.
Теорема. Пусть F — ряд по ортонормированным многочленам Tn, опреде-
ляемым равенствами (1), где σ(x) — неубывающая на отрезке [−1, 1] функция с
бесконечным множеством точек роста. Тогда следующие утверждения эквива-
лентны:
1◦) существует не тождественно равный нулю многочлен Q степени не выше
m такой, что QF — многочлен;
2◦) при всех n > n0
rang
[F ]n [zF ]n . . . [zmF ]n
. . . . . . . . . . . .
[F ]n+2m [zF ]n+2m . . . [zmF ]n+2m
< m+ 1. (2)
Заметим, что теорема не предполагает сходимости ряда F . Для формального
ряда F коэффициенты [zF ]n, [z2F ]n, . . . могут быть вычислены последовательно
по коэффициентам Fn, n = 0, 1, . . . , исходного ряда с помощью известных (см. [3,
4]) трехчленных рекуррентных соотношений для последовательности {Tn(z)}∞n=0
ортонормированных многочленов
zTn(z) = AnTn+1(z) +BnTn(z) + CnTn−1(z), n = 0, 1, . . . , (3)
где T−1(z) = 0. Из этих соотношений получаем равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
О КРИТЕРИИ РАЦИОНАЛЬНОСТИ РЯДА ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ 1141
zF (z) = z
∞∑
n=0
FnTn(z) =
∞∑
n=0
Fn
(
AnTn+1(z) +BnTn(z) + CnTn−1(z)
)
=
= (B0F0 + C1F1)T0(z) +
∞∑
n=1
(An−1Fn−1 +BnFn + Cn+1Fn+1)Tn(z).
Следовательно,
[zF ]0 = B0F0 + C1F1 , [zF ]n = An−1Fn−1 +BnFn + Cn+1Fn+1, n = 1, 2, . . . .
Аналогичным образом при j = 1, 2, . . . имеем равенства
[zjF ]0 = B0[zj−1F ]0 + C1[zj−1F ]1 ,
[zjF ]n = An−1[zj−1F ]n−1 +Bn[zj−1F ]n + Cn+1[zj−1F ]n+1, n = 1, 2, . . . .
Таким образом, коэффициенты [zjF ]n однозначно определяются по коэффициен-
там Fn ряда F (z) =
∑∞
n=0
FnTn(z) и коэффициентам An, Bn, Cn рекуррентных
соотношений (3).
Доказательство теоремы. Импликация 1◦ ⇒ 2◦ тривиальна. Действительно,
пусть Q(z) =
∑m
j=0
qjz
j — многочлен, указанный в утверждении 1◦ теоремы.
Тогда левая часть равенства
Q(z)F (z) =
m∑
j=0
qjz
jF (z) =
m∑
j=0
qj
∞∑
n=0
[zjF ]nTn(z) =
∞∑
n=0
(
m∑
j=0
qj [z
jF ]n
)
Tn(z)
(4)
является многочленом. Пусть n0 — степень этого многочлена. Тогда все коэффици-
енты ряда в правой части равенства (4) равны нулю при n > n0, т. е.
m∑
j=0
qj [z
jF ]n = 0 при n > n0.
Из этих равенств следует неравенство
rang
[F ]n0+1 [zF ]n0+1 . . . [zmF ]n0+1
[F ]n0+2 [zF ]n0+2 . . . [zmF ]n0+2
. . . . . . . . . . . .
< m+ 1,
которое влечет за собой неравенства (2) при всех n > n0.
Докажем импликацию 2◦ ⇒ 1◦. Из неравенства (2) следует, что при n > n0
существует (возможно, не единственный) не тождественно равный нулю многочлен
Qn(z) = qn,mz
m + . . .+ qn,0 степени не выше m такой, что
qn,0[F ]n + . . .+ qn,m[zmF ]n = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5)
qn,0[F ]n+2m + . . .+ qn,m[zmF ]n+2m = 0.
Выберем любой (в случае неединственности) из таких многочленов Qn и норми-
руем его таким образом, чтобы один из его наибольших по модулю коэффициентов
был равен единице.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1142 В. И. БУСЛАЕВ
Поскольку
[QnF ]k = qn,0[F ]k + . . .+ qn,m[zmF ]k,
то систему равенств (5) можно переписать в следующем виде:
[QnF ]k = 0, k = n, . . . , n+ 2m.
Поэтому
Qn(z)F (z) =
∞∑
k=0
[QnF ]kTk(z) = Pn(z) +
∞∑
k=n+2m+1
[QnF ]kTk(z), (6)
где
Pn(z) =
n−1∑
k=0
[QnF ]kTk(z). (7)
Покажем, что при n > n0
Pn+1(z)Qn(z)− Pn(z)Qn+1(z) ≡ 0. (8)
Заменяя в равенстве (6) индекс n на n+ 1, имеем
Qn+1(z)F (z) = Pn+1(z) +
∞∑
k=n+2m+2
[Qn+1F ]kTk(z). (9)
Вычитая из равенства (6), умноженного на Qn+1(z), равенство (9), умноженное на
Qn(z), получаем равенство
Pn+1(z)Qn(z)− Pn(z)Qn+1(z) =
∞∑
k=n+2m+1
Q∗n,k(z)Tk(z), (10)
где Q∗n,k(z) — многочлены степени не выше m.
Заметим, что левая часть равенства (10) — это многочлен степени не выше
n + m, а правая часть равенства (10) может быть записана с учетом равенств (3)
как
∑∞
k=n+m+1
Dn,kTk(z). Поэтому и левая, и правая части равенства (10) равны
нулю. Таким образом, равенство (8) доказано.
Из равенства (8) следует, что
Pn+1(z)
Qn+1(z)
=
Pn(z)
Qn(z)
при всех n > n0. Следователь-
но,
Pn(z)
Qn(z)
=
Pn0+1(z)
Qn0+1(z)
при всех n > n0. Так как degPn ≤ n − 1, degQn ≤ m,
то
degPn = degPn0+1 + degQn − degQn0+1 ≤ n0 +m.
Отсюда с учетом равенства (7) при n > n0 +m+ 1 получаем равенства
[QnF ]k = 0, k = n0 +m+ 1, . . . , n− 1. (11)
Выберем подпоследовательность Λ натуральных чисел такую, что limn∈Λ qn,j =
= qj , j = 0, . . . ,m. Из вышеуказанной нормировки многочленов Qn следует, что
хотя бы одно из чисел q0, . . . , qm равно единице. Поэтому Q(z) =
∑m
j=0
qjz
j 6≡ 0.
Заметим, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
О КРИТЕРИИ РАЦИОНАЛЬНОСТИ РЯДА ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ 1143
[QF ]k =
m∑
j=0
qj [z
jF ]k = lim
n∈Λ
m∑
j=0
qn,j [z
jF ]k = lim
n∈Λ
[QnF ]k.
Отсюда с учетом равенств (11) следует, что при любом фиксированном k ≥ n0 +
+ m + 1 справедливо равенство [QF ]k = 0. Следовательно, QF — многочлен
(степени не выше n0 +m). Таким образом, импликация 2◦ ⇒ 1◦, а вместе с ней и
теорема доказаны.
В завершение статьи выскажем предположение, что предлагаемый в теореме
критерий рациональности можно усилить, заменив в утверждении 2◦ теоремы мат-
рицу размера
(
(m+1)×(2m+1)
)
аналогичной матрицей размера
(
(m+1)×(m+1)
)
.
Точнее, приведем и обсудим следующую гипотезу.
Гипотеза. Пусть
∑∞
n=0
FnTn(z) — разложение голоморфной на отрезке [−1, 1]
функции F (z) в ряд по ортонормированным многочленам Tn, построенным по
функции σ, удовлетворяющей условию Сеге
1∫
−1
lnσ′(x)√
1− x2
dx > −∞. (12)
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1◦) F (z) — рациональная функция, имеющая не более m полюсов;
2◦)
∣∣∣∣∣∣
Fn [zF ]n . . . [zmF ]n
. . . . . . . . . . . .
Fn+m [zF ]n+m . . . [zmF ]n+m
∣∣∣∣∣∣ = 0 при всех n > n0,
Импликация 1◦ ⇒ 2◦ гипотезы следует из соответствующей импликации тео-
ремы.
Для случаяm = 1 и многочленов Чебышева импликация 2◦ ⇒ 1◦ гипотезы три-
виальным образом следует из соответствующей импликации вышеприведенного
аналога критерия Кронекера. Действительно, положим ∆n =
∣∣∣∣Fn−1 Fn
Fn Fn+1
∣∣∣∣. По-
скольку в случае многочленов Чебышева имеют место равенства [zF ]n =
=
Fn−1 + Fn+1
2
, утверждение 2◦ гипотезы означает, что
∆n+1 −∆n = 0, n = n0 + 1, n0 + 2, . . . .
Следовательно, ∆n = C при всех n > n0. Так как рассматриваемый ряд нефор-
мальный, то
limn→∞|C|1/n = limn→∞|∆n|1/n ≤ (limn→∞|Fn|1/n)2 < 1.
Следовательно, C = 0 и ∆n = 0 при всех n > n0. Отсюда по аналогу критерия
Кронекера получаем утверждение 1◦ гипотезы.
В [5] показано, что при m = 1 гипотеза верна не только для многочленов
Чебышева, но и в общем случае. При этом в доказательстве существенным образом
используется условие (12), а точнее, его следствие — существование пределов
lim
n→∞
An = lim
n→∞
Cn = 1/2, lim
n→∞
Bn = 0.
При m > 1 вопрос о справедливости гипотезы открыт. Отметим, что и в случае
многочленов Чебышева гипотеза имеет формулировку, не являющуюся при m > 1
тривиальным следствием аналога критерия Кронекера.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1144 В. И. БУСЛАЕВ
1. Kronecker L. Zur Theorie der Elimination einer Variabeln aus zwei algebraischen Gleichungen //
Monatsber. Koniglich Preuss. Akad. Wiss. Berlin. – 1881. – S. 535 – 600.
2. Буслаев В. И., Буслаева С. Ф. О формулах Адамара для эллипсов мероморфности // Сб. трудов
Ин-та математики НАН Украины. – 2008. – 5, № 1. – С. 1 – 8.
3. Сеге Г. Ортогональные многочлены. – М.: Физматгиз, 1962.
4. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. – М.: Физматлит, 2007.
5. Буслаев В. И. Об аналоге формулы Адамара для первого эллипса мероморфности // Мат. заметки.
– 2009. – 85, № 4. – С. 552 – 568.
Получено 28.12.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2943 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:33:15Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/dd/ad8fddd5ffce329fb4d21f42d003d7dd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29432020-03-18T19:40:46Z On a criterion of rationality for a series in orthogonal polynomials О критерии рациональности ряда по ортогональным многочленам Buslaev, V. I. Буслаев, В. И. Буслаев, В. И. We present a criterion of rationality for a function determined by its expansion in a series in orthogonal polynomials. This criterion can be regarded as an analog of the well-known Kronecker criterion of rationality for functions given by power series. Наведено критерій раціональності функції, що задана розвиненням у ряд за ортогональними многочленами. Цей критерій можна вважати аналогом відомого критерію Кронекера раціональності функції, що задана степеневим рядом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2943 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 8 (2010); 1139–1144 Український математичний журнал; Том 62 № 8 (2010); 1139–1144 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2943/2636 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2943/2637 Copyright (c) 2010 Buslaev V. I. |
| spellingShingle | Buslaev, V. I. Буслаев, В. И. Буслаев, В. И. On a criterion of rationality for a series in orthogonal polynomials |
| title | On a criterion of rationality for a series in orthogonal polynomials |
| title_alt | О критерии рациональности ряда по ортогональным многочленам |
| title_full | On a criterion of rationality for a series in orthogonal polynomials |
| title_fullStr | On a criterion of rationality for a series in orthogonal polynomials |
| title_full_unstemmed | On a criterion of rationality for a series in orthogonal polynomials |
| title_short | On a criterion of rationality for a series in orthogonal polynomials |
| title_sort | on a criterion of rationality for a series in orthogonal polynomials |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2943 |
| work_keys_str_mv | AT buslaevvi onacriterionofrationalityforaseriesinorthogonalpolynomials AT buslaevvi onacriterionofrationalityforaseriesinorthogonalpolynomials AT buslaevvi onacriterionofrationalityforaseriesinorthogonalpolynomials AT buslaevvi okriteriiracionalʹnostirâdapoortogonalʹnymmnogočlenam AT buslaevvi okriteriiracionalʹnostirâdapoortogonalʹnymmnogočlenam AT buslaevvi okriteriiracionalʹnostirâdapoortogonalʹnymmnogočlenam |