Quantization of Lyapunov functions
For a state of equilibrium of an autonomous system of differential equations, we propose discrete conditions for stability and asymptotic stability in the sense of Lyapunov.
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2955 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508959362777088 |
|---|---|
| author | Sharko, Yu. V. Шарко, Ю. В. |
| author_facet | Sharko, Yu. V. Шарко, Ю. В. |
| author_sort | Sharko, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:41:02Z |
| description | For a state of equilibrium of an autonomous system of differential equations, we propose discrete conditions for stability and asymptotic stability in the sense of Lyapunov. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:33:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 512.662.5
Ю. В. Шарко (Iн-т математики НАН України, Київ)
КВАНТУВАННЯ ФУНКЦIЙ ЛЯПУНОВА
For the state of equilibrium of an autonomous system of differential equations, we propose discrete conditions
of the stability and asymptotic stability according to Lyapunov.
Для положения равновесия автономной системы дифференциальных уравнений предложены дискре-
тные условия устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову.
1. Вступ. В теорiї диференцiальних рiвнянь для опису поведiнки фазових кривих
в околi особливої точки використовується теорiя Ляпунова [1]. Зокрема, в другому
методi Ляпунова суттєву роль вiдiграють функцiї Ляпунова. В роботi [2] запро-
поновано пiдхiд, який базується на розглядi поведiнки фазових кривих не вздовж
всiх гiперповерхонь функцiї Ляпунова, а тiльки на деякiй їх послiдовностi. В данiй
роботi продовжено дослiдження в цьому напрямку.
2. Вкладенi гiперповерхнi.
Означення 2.1. Нехай Hn−1 — зв’язна компактна гiперповерхня (гладкий
компактний (n−1)-вимiрний пiдмноговид), яка лежить в околi початку координат
G ⊂ Rn. Будемо говорити, що гiперповерхня Hn−1 обмежує початок координат,
якщо 0 /∈ Hn−1 i Hn−1 є межею компактної множини K, до якої належить
початок координат.
Означення 2.2. Нехай Hn−1
i ⊂ Rn, i = 1, 2, . . . , — гiперповерхнi, якi обме-
жують початок координат. Будемо говорити, що Hn−1
i є збiжною послiдовнiстю
гiперповерхонь, якщо Hn−1
i не перетинаються та iснують компактнi множини
Ki з межами Hn−1
i , для яких виконуються умови
⋂
i Ki = 0 ∈ Rn i Ki ⊃ Kj для
i < j.
Лема 2.1. Нехай в околi початку координат G задано додатно (вiд’ємно)
визначену диференцiйовну функцiю z = F (x) таку, що F (0) = 0. Тодi в околi G
iснує збiжна послiдовнiсть гiперповерхонь Hn−1
i . Числа ai = F (Hn−1
i ) є регуляр-
ними значеннями функцiї z = F (x). Послiдовнiсть (ai) прямує до 0, якщо i прямує
до∞.
Доведення. Припустимо, що функцiя z = F (x) є додатно визначеною. За те-
оремою Сарда [3] можна вибрати послiдовнiсть (ai) рiзних регулярних значень
функцiї z = F (x), якi монотонно збiгаються до нуля. Розглянемо кулю Dε радiу-
са ε з центром у початку координат. Зафiксуємо iндекс i0 та побудуємо множину
F−1[0, ai0 ], вона може складатися з багатьох компонент зв’язностi. Виберемо ком-
поненту зв’язностi Pi0 , до якої належить початок координат. Множина Pi0 є глад-
ким многовидом з краєм i, взагалi кажучи, може бути некомпактною. Покажемо,
що знайдеться значення функцiї aik , для якого вiдповiдна компонента зв’язностi
Pik , до якої належить початок координат, лежить всерединi кулi Dε. Припустимо
протилежне, нехай для всiх значень ai вiдповiднi компоненти зв’язностi Pi, до
яких належить початок координат, не лежать всерединi кулi Dε i, отже, перетина-
ють її межу — сферу Sn−1
ε . Зауважимо, що за побудовою для кожного iндексу i
c© Ю. В. ШАРКО, 2010
1294 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
КВАНТУВАННЯ ФУНКЦIЙ ЛЯПУНОВА 1295
множина Qi = Pi ∩Dε не є порожньою. Розглянемо звуження функцiї z = F (x) на
сферуSn−1
ε i позначимо отриману функцiю через F̂ . Очевидно, що F̂ є диферен-
цiйовною функцiєю. Оскiльки сфера Sn−1
ε є компактним гладким пiдмноговидом,
то значення функцiї F̂ належить сегменту [d0, d1] такому, що 0∈[d0, d1]. Нехай aj0
— значення функцiї z = F (x), строго менше нiж [d0]. Очевидно, що компонента
зв’язностi Pj0 лежить всерединi сфери Sn−1
ε , не перетинаючи її, бо на нiй функ-
цiя z = F (x1, x2, . . . , xn) набуває значень iз промiжку [0, aj0 ] i початок координат
належить Pj0 . Таким чином, край многовиду Pj0 , який позначимо через Hn−1
i0
,
є гiперповерхнею, яка обмежує початок координат. Зрозумiло, що для всiх iнших
значень (aj) функцiї z = F (x), якi меншi нiж aj0 вiдповiднi компоненти зв’язностi
Pj будуть задовольняти умову Pj0 ⊃ Pj0+1 ⊃ Pj0+2 ⊃ . . . . За побудовою межi
многовидiв Pj є збiжною послiдовнiстю гiперповерхонь. Для вiд’ємно визначеної
функцiї мiркування аналогiчнi.
Лему доведено.
Означення 2.3. Нехай в околi початку координат G задано диференцiйовну
функцiю z = F (x) таку, що F (0) = 0. Будемо говорити, що функцiя z = F (x)
задовiльняє умову L, якщо iснує послiдовнiсть її регулярних значень (ai), яка збi-
гається до 0, множина F−1(ai) має компоненту зв’язностi Hn−1
i , яка є гладкою
гiперповерхнею, що обмежує початок координат, i дiаметри гiперповерхонь Hn−1
i
прямують до 0, якщо i прямує до ∞.
З леми 2.1 випливає, що додатно (вiд’ємно) визначена диференцiйовна функцiя,
яка задана в околi початку координат, задовольняє умову L.
Припустимо, що в околi G задано диференцiйовну функцiю z = F (x), яка за-
довольняє умову L. Виберемо деяку її збiжну послiдовнiсть гiперповерхонь Hn−1
i .
У кожнiй точцi x ∈ Hn−1
i0
визначено ненульовий вектор градiєнта
−−→
gradF (x). При-
пишемо гiперповерхнi знак +, якщо
−−→
gradF (x) направлений в середину Hn−1
i0
, i
знак − у протилежному випадку. Знак гiперповерхнi Hn−1
i0
будемо позначати через
ε(Hn−1
i0
).
Лема 2.2. Нехай в околi початку координат G задано диференцiйовну функ-
цiю z = F (x) така, що F (0) = 0. Припустимо, що початок координат є iзо-
льованою компонентою зв’язностi поверхнi рiвня F−1(0). Тодi функцiя z = F (x)
задовольняє умову L.
Доведення. Розглянемо кулю Dn з центром в початку координат i таку, що
Dn
⋂
F−1(0) = 0. Внаслiдок iзольованостi початку координат, компоненти зв’я-
зностi поверхнi рiвня F−1(0), така куля завжди iснує. Виберемо довiльну точку x
з внутрiшностi Dn i нехай a = F (x). Якщо a > 0, то для всiх точок кулi Dn, за ви-
нятком початку координат, значення функцiї z = F (x) буде додатним. Припустимо
протилежне, нехай iснує в Dn точка y така, що b = F (y) i b < 0. Розглянемо в
кулi Dn неперервний шлях γ(t), який з’єднує точки x та y i не проходить через
початок координат. Звуження функцiї z = F (x) на γ(t) є неперервною функцiєю
g(γ(t)), яка набуває на кiнцях γ(t) значення протилежних знакiв. За теоремою про
промiжнi значення непервної функцiї g(γ(t)) повинна набувати значення 0, але за
побудовою це неможливо. Отримана суперечнiсть доводить той факт, що в кулi Dn
функцiя z = F (x) є додатно визначеною i, отже, задовiльняє умову L. У випадку
a < 0 мiркування аналогiчнi.
Лему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1296 Ю. В. ШАРКО
3. Дискретний аналог теореми про стiйкiсть за Ляпуновим. Задамо на
гiперповерхнях Hn−1
i одиничне нормальне векторне поле ~N(x), яке направлене у
внутрiшнiсть Ki.
Теорема 3.1. Нехай в околi початку координат G задано автономну систему
звичайних диференцiальних рiвнянь
dx
dt
= f(x), (3.1)
в якiй початок координат є iзольованим положенням рiвноваги. Припустимо, що
в околi G iснує збiжна послiдовнiсть гiперповерхонь Hn−1
i . Якщо в усiх точках
x ∈ Hn−1
i значення функцiї
S(x) = 〈 ~N(x),
−→
f (x)〉 (3.2)
буде додатним, то положення рiвноваги системи (3.1) є стiйким за Ляпуновим.
(Ми позначили
−→
f (x) = f1(x), . . . , fn(x).)
Доведення. Умови теореми гарантують, що фазова крива X(t) системи (3.1),
яка починається в точцi x на гiперповерхнi Hn−1
i0
, буде при зростаннi часу t лежати
у внутрiшностi многовиду Ki0 , границею якої є Hn−1
i0
. В протилежному випадку
для виходу цiєї фазової кривої з многовиду Ki0 необхiдно, щоб вона перетинала
Hn−1
i0
вздовж вектора, який направлений у зовнiшнiсть по вiдношенню до Hn−1
i0
або буде дотичним до Hn−1
i0
. Але умова (3.2) забороняє таку поведiнку фазової
кривої. Це i означає стiйкiсть положення рiвноваги за Ляпуновим.
Теорему доведено.
Наслiдок 3.1. Нехай в околi G задано систему (3.1). Якщо в околi V ⊂ G
iснує диференцiйовна функцiя z = F (x), яка задовiльняє умову L i така, що знак
її похiдної dF (x(t))/dt вздовж довiльної фазової траєкторiї X(t) системи (3.1) у
точках гiперповерхонь Hn−1
i збiгається зi знаком ε(Hn−1
i ), то положення рiвно-
ваги системи (3.1) є стiйким за Ляпуновим.
4. Умови асимптотичної стiйкостi за Ляпуновим.
Означення 3.4. Нехай в околi початку координат G зафiксовано збiжну
послiдовнiсть гiперповерхонь Hn−1
i . Будемо говорити, що гiперповерхнi в послi-
довностi Hn−1
i є рiзними, якщо для кожного натурального числа n ∈ N iснують
числа k, l ∈ N такi, що k > l > n i гiперповерхнi Hn−1
k та Hn−1
l не гомеоморфнi.
Теорема 3.2. Нехай в околi початку координат G задано систему (3.1) та
iснує збiжна послiдовнiсть гiперповерхонь Hn−1
i , якi є рiзними. Якщо в усiх точках
x ∈ Hn−1
i значення функцiї S(x) =
〈
~N(x),
−→
f (x)
〉
буде додатним, то положення
рiвноваги системи (3.1) є стiйким, але не асимптотично стiйким за Ляпуновим.
Доведення. За теоремою 3.1 початок координат є стiйким за Ляпуновим. При-
пустимо, що початок координат є асимптотично стiйким за Ляпуновим. Тодi кожна
фазова крива крива системи (3.1), яка починається на фiксованiй гiперповерхнi
Hn−1
i0
, при зростаннi параметра t перетинає кожну гiперповерхню Hn−1
j , j > i0,
тiльки в однiй точцi. Тобто фазовi кривi системи (3.1) задають гомеоморфiзми мiж
гiперповерхнями Hn−1
i . Але це неможливо, бо гiперповерхнi в послiдовностi Hn−1
i
є рiзними. Одержана суперечнiсть доводить теорему.
Зауваження 3.1. Використовуючи гомологiчнi неоднозв’язнi сфери Σn−1, n >
3, можна побудувати збiжну послiдовнiсть гiперповерхонь Hn−1
i вG , якi є рiзними.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
Серед Hn−1
i будуть гiперповерхнi, якi гомеоморфнi, як стандартним Sn−1, так i
гомологiчним сферам Σn−1. Для таких гiперповерхонь Hn−1
i неважко задати в G
систему (3.1), яка задовольняє умови теореми 4.1.
Теорема 3.3. Нехай в околi початку координат G задано систему (3.1) та
iснує збiжна послiдовнiсть гiперповерхонь Hn−1
i . Якщо в усiх точках x ∈ Hn−1
i
значення функцiї S(x) =
〈−→
N (x),
−→
f (x)
〉
буде додатним i початок координат є
єдиною iнварiантною множиною, то положення рiвноваги системи (3.1) є асимп-
тотично стiйким за Ляпуновим.
Доведення. За теоремою 3.1 початок координат є стiйким за Ляпуновим. Для
кожної фазової траєкторiї γ(t), що проходить в околi початку координат, її ω(γ(t))-
гранична множина є iнварiантною множиною. Отже, γ(t) прямує до початку коор-
динат при t→∞. Отримана суперечнiсть доводить теорему.
1. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. – М.: Мир, 1980. –
300 с.
2. Шарко Ю. В. Дискретнi умови стiйкостi за Ляпуновим // Зб. праць Iн-ту математики НАН України.
– 2005. – 2, № 3. – С. 279 – 288.
3. Хирш М. Дифференциальная топология. – М.: Мир, 1979. – 279 с.
Одержано 30.03.10
|
| id | umjimathkievua-article-2955 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:33:29Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e1/b7b607544217587f0161b742687a5de1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29552020-03-18T19:41:02Z Quantization of Lyapunov functions Квантування функцій Ляпунова Sharko, Yu. V. Шарко, Ю. В. For a state of equilibrium of an autonomous system of differential equations, we propose discrete conditions for stability and asymptotic stability in the sense of Lyapunov. Для положения равновесия автономной системы дифференциальных уравнений предложены дискретные условия устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2955 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 9 (2010); 1294–1296 Український математичний журнал; Том 62 № 9 (2010); 1294–1296 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2955/2660 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2955/2661 Copyright (c) 2010 Sharko Yu. V. |
| spellingShingle | Sharko, Yu. V. Шарко, Ю. В. Quantization of Lyapunov functions |
| title | Quantization of Lyapunov functions |
| title_alt | Квантування функцій Ляпунова |
| title_full | Quantization of Lyapunov functions |
| title_fullStr | Quantization of Lyapunov functions |
| title_full_unstemmed | Quantization of Lyapunov functions |
| title_short | Quantization of Lyapunov functions |
| title_sort | quantization of lyapunov functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2955 |
| work_keys_str_mv | AT sharkoyuv quantizationoflyapunovfunctions AT šarkoûv quantizationoflyapunovfunctions AT sharkoyuv kvantuvannâfunkcíjlâpunova AT šarkoûv kvantuvannâfunkcíjlâpunova |