On groups with a small number of classes of conjugate noncomplemented subgroups
We give a description of finite nonprimary groups that contain at most two classes of conjugate noncomplemented subgroups.
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2966 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508972889407488 |
|---|---|
| author | Bilotskii, N. N. Baryshovets, P. P. Билоцкий, Н. Н. Барышовец, П. П. Билоцкий, Н. Н. Барышовец, П. П. |
| author_facet | Bilotskii, N. N. Baryshovets, P. P. Билоцкий, Н. Н. Барышовец, П. П. Билоцкий, Н. Н. Барышовец, П. П. |
| author_sort | Bilotskii, N. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:41:19Z |
| description | We give a description of finite nonprimary groups that contain at most two classes of conjugate noncomplemented subgroups. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:33:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
K O R O T K I P O V I D O M L E N N Q
UDK 519.41/47
P. P. Bar¥ßovec (Nac. avyac. un-t, Kyev),
N. N. Bylockyj (Nac. ped. un-t, Kyev)
O HRUPPAX S MALÁM ÇYSLOM KLASSOV
SOPRQÛENNÁX NEDOPOLNQEMÁX PODHRUPP
We obtain a description of finite nonprimary groups containing at most two classes of conjugated
noncomplemented subgroups.
Navedeno opys skinçennyx neprymarnyx hrup, qki mistqt\ ne bil\ße dvox klasiv sprqΩenyx ne-
dopovngvanyx pidhrup.
Podhruppa A hrupp¥ G naz¥vaetsq dopolnqemoj v G, esly v G suwestvuet
takaq podhruppa B, çto G = A B y A B∩ = 1. F.1Xoll [1] yzuçal koneçn¥e
hrupp¥ s dopolnqem¥my podhruppamy ewe v 1937 h. Polnoe opysanye proyz-
vol\n¥x (kak koneçn¥x, tak y beskoneçn¥x) hrupp s takym svojstvom, poluçyv-
ßyx nazvanye vpolne faktoryzuem¥x, b¥lo poluçeno pozΩe, v 1953 h.,
N.1V.1Baevoj [2] (sm. takΩe [3, 4]). PozΩe yzuçalys\ hrupp¥ s temy yly yn¥my
systemamy dopolnqem¥x podhrupp (sm. [5 – 7]). Estestvenno prodolΩyt\ πty
yssledovanyq v sledugwem napravlenyy. Pust\ K — klass soprqΩenn¥x pod-
hrupp hrupp¥ G. Esly podhruppa A yz klassa K dopolnqema (nedopolnqema)
v hruppe G, to y vse podhrupp¥ yz πtoho klassa dopolnqem¥ (nedopolnqem¥) v
G. Ne vpolne faktoryzuem¥e hrupp¥ (t.1e. hrupp¥, v kotor¥x dopolnqem¥ ne
vse podhrupp¥) soderΩat to yly ynoe çyslo klassov soprqΩenn¥x nedopolnqe-
m¥x podhrupp. Estestvenno b¥lo b¥ yzuçyt\ vlyqnye çysla takyx klassov na
stroenye hrupp¥, analohyçno tomu, kak πto sdelano dlq svojstva ynvaryantnos-
ty (normal\nosty) v rabotax O.1G.1Ímydta [8, 9].
Kratkoe soobwenye o koneçn¥x neprymarn¥x hruppax, soderΩawyx ne bolee
dvux klassov soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp, sm. v [10]. Vezde nyΩe
rassmatryvagtsq tol\ko koneçn¥e hrupp¥.
1. Predvarytel\n¥e rezul\tat¥.
Lemma 1. Koneçn¥e p -hrupp¥, soderΩawye tol\ko odyn klass soprqΩen-
n¥x nedopolnqem¥x podhrupp, otnosqtsq k odnomu yz sledugwyx typov hrupp:
1) G a= , a p= 2
, p – prostoe çyslo;
2) G — neabeleva hruppa porqdka p3
y πksponent¥ p, p > 2;
3) G — hruppa dyπdra porqdka 8.
Dokazatel\stvo. Esly G — abeleva hruppa, to ona typa 1. Pust\ G —
neabeleva hruppa. Esly Φ( )G ≥ p2
, to podhrupp¥ porqdkov p y p2
yz
Φ( )G nesoprqΩen¥ y nedopolnqem¥ v G. Znaçyt, Φ( )G = p . Poskol\ku
podhruppa Φ( )G nedopolnqema v G, podhrupp¥ porqdka ≥ p2
, a znaçyt, y
© P. P. BARÁÍOVEC, N. N. BYLOCKYJ, 2010
1420 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10
O HRUPPAX S MALÁM ÇYSLOM KLASSOV … 1421
vse abelev¥ podhrupp¥ neprost¥x porqdkov dopolnqem¥ v G. V sylu teorem¥
[11] G — hruppa typa 2 yly 3 dannoj lemm¥.
Lemma dokazana.
Sledugwaq lemma v¥tekaet yz svojstv hrupp¥ S4 (sm. [12], a takΩe lem-
mu13 [13]).
Lemma 2. V symmetryçeskoj hruppe 4-j stepeny S4 nedopolnqem¥e pod-
hrupp¥ obrazugt dva klassa soprqΩenn¥x podhrupp.
Dejstvytel\no, esly K — çetvernaq hruppa Klejna v S4 , to podhrupp¥ po-
rqdka 2 yz K y πlementarn¥e abelev¥ podhrupp¥ porqdka 4, otlyçn¥e ot K,
sostavlqgt dva klassa soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp hrupp¥ S4 .
Lemma 3. Neprymarn¥e koneçn¥e hrupp¥, soderΩawye ne bolee trex klas-
sov soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp, razreßym¥.
Dokazatel\stvo. Pust\ G — hruppa, ukazannaq v lemme. PredpoloΩym,
çto G — nerazreßymaq hruppa. Tohda G soderΩyt takug podhruppu H po-
rqdka q n⋅ 2 , çto yz uslovyq G = HK sleduet K = G [14]. Tohda podhrupp¥
H1 y H2 porqdkov q y 2n
, a takΩe sama podhruppa H nedopolnqem¥ v G .
Vse πty podhrupp¥ ymegt razn¥e porqdky y, znaçyt, nesoprqΩen¥ v G.
Lemma dokazana.
2. Nyl\potentn¥e neprymarn¥e hrupp¥, soderΩawye ne bolee dvux
klassov soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp.
Lemma 4. Esly koneçnaq neprymarnaq nyl\potentnaq hruppa ne vpolne fak-
toryzuema, to ona soderΩyt bolee odnoho klassa soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x
podhrupp.
Dokazatel\stvo. Pust\ G — koneçnaq neprymarnaq nyl\potentnaq ne
vpolne faktoryzuemaq hruppa, P — ee ne vpolne faktoryzuemaq sylovskaq
podhruppa (naprymer, po çyslu p ), a M — sylovskoe p-dopolnenye G. Tohda
hrupp¥ Φ( )P y Φ( )P M⋅ nedopolnqem¥ v G y ymegt razn¥e porqdky. Zna-
çyt, ony ne soprqΩen¥ v G.
Lemma dokazana.
Teorema 1. Koneçn¥e nyl\potentn¥e neprymarn¥e hrupp¥ s dvumq klassamy
soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp prynadleΩat odnomu yz sledugwyx ty-
pov hrupp:
1) G = a × b , a p= 2
, b = q, p y q — razlyçn¥e prost¥e çysla;
2) G = P × b , P — neabeleva hruppa porqdka p3
y πksponent¥ p, p > 2,
b = q, p y q — razlyçn¥e prost¥e çysla;
3) G = P × b , P — hruppa dyπdra porqdka 8, b = q, q — neçetnoe
prostoe çyslo.
Dokazatel\stvo. Pust\ G — abeleva neprymarnaq hruppa s dvumq klassa-
my soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp. Poskol\ku G — ne vpolne fakto-
ryzuemaq hruppa, odna yz ee sylovskyx podhrupp, naprymer, P — ne vpolne
faktoryzuemaq hruppa. Pust\ P1 — nedopolnqemaq podhruppa yz P , a T1 —
lgbaq podhruppa prostoho porqdka yz dopolnenyq T podhrupp¥ P v G. Tohda
P T1 1× — podhruppa, nedopolnqemaq v G. Otsgda sleduet, çto P soderΩyt
edynstvenn¥j klass podhrupp, nedopolnqem¥x v P, a T — hruppa prostoho po-
rqdka. Prymenqq lemmu11, zaverßaem dokazatel\stvo teorem¥.
3. Nenyl\potentn¥e hrupp¥ s odnym klassom soprqΩenn¥x nedopol-
nqem¥x podhrupp.
Teorema 2. Nenyl\potentnaq koneçnaq hruppa G tohda y tol\ko tohda
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10
1422 P. P. BARÁÍOVEC, N. N. BYLOCKYJ
ymeet odyn klass soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp, kohda G — hruppa
vyda
G = a b×( ) � c , hde a2 = b2 = c3 = 1, ac = cb, bc = cab.
Dokazatel\stvo. Pust\ G — nenyl\potentnaq hruppa s odnym klassom
soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp.
PredloΩenye 1. V rassmatryvaemoj hruppe G ne suwestvuet dvux nor-
mal\n¥x podhrupp s tryvyal\n¥m pereseçenyem.
Dejstvytel\no, esly T — proyzvol\naq podhruppa prostoho porqdka yz G ,
K y L — ee normal\n¥e podhrupp¥ s tryvyal\n¥m pereseçenyem, to T ne so-
derΩytsq xotq b¥ v odnoj yz πtyx podhrupp. Pust\ T K⊄ . Tohda podhruppa
T K, a znaçyt, y T dopolnqem¥ v G. Sledovatel\no, hruppa G vpolne fakto-
ryzuema. Poluçennoe protyvoreçye dokaz¥vaet predloΩenye.
Yz dokazannoho predloΩenyq sleduet, çto G — prqmo nerazloΩymaq hrup-
pa. Vsledstvye polnoj faktoryzuemosty koneçn¥x hrupp s dopolnqem¥my pod-
hruppamy prost¥x porqdkov [5] nedopolnqem¥e v G podhrupp¥ ymegt prostoj
porqdok. Znaçyt, v G dopolnqem¥ vse neabelev¥ podhrupp¥ (y vse abelev¥
podhrupp¥ neprost¥x porqdkov). V sylu teorem¥ [15] y lemm¥12 nastoqwej
rabot¥ G — dyspersyvnaq hruppa. Pust\ P — normal\naq v G sylovskaq
podhruppa (naprymer, po çyslu p), M — sylovskoe p-dopolnenye v G . Esly
podhruppa P (podhruppa M ) ne vpolne faktoryzuema, to podhrupp¥ Φ( )P y
Φ( )P M⋅ ( M1 y P M⋅ 1 , hde M — nedopolnqemaq v M podhruppa) ne sop-
rqΩen¥ y ne dopolnqem¥ v G . Poskol\ku G — hruppa s odnym klassom sop-
rqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp, sylovskye podhrupp¥ hrupp¥ G πlemen-
tarn¥e abelev¥, a M — vpolne faktoryzuemaq hruppa. V sylu teorem¥ Maßke
[16] y predloΩenyq 1 P — mynymal\n¥j normal\n¥j delytel\ hrupp¥ G .
Esly P p≥ 3 , to podhruppa porqdka p2 yz P dopolnqema v G , naprymer,
podhruppoj W. No tohda W P∩ — sobstvennaq podhruppa yz P, normal\naq
v G. Esly P p= , to G — vpolne faktoryzuemaq hruppa. Yz poluçennoho
protyvoreçyq sleduet, çto P — mynymal\n¥j normal\n¥j delytel\ porqdka
p2 hrupp¥ G.
Pust\ F = F G( ) — podhruppa Fyttynha hrupp¥ G (maksymal\n¥j nyl\po-
tentn¥j normal\n¥j delytel\ hrupp¥ G). Centralyzator podhrupp¥ Fyttyn-
ha F G( ) koneçnoj razreßymoj hrupp¥ G soderΩytsq v F G( ) . V sylu yzlo-
Ωennoho v¥ße F G( ) = P y podhruppu M moΩno otoΩdestvyt\ s nekotoroj
podhruppoj hrupp¥ GL p( , )2 vsex nev¥roΩdenn¥x lynejn¥x preobrazovanyj
dvumernoho lynejnoho prostranstva nad polem porqdka p . Podhruppa M pry
πtom moΩet okazat\sq lybo ymprymytyvnoj, lybo prymytyvnoj podhruppoj
hrupp¥ GL p( , )2 .
Esly M — ymprymytyvnaq podhruppa, to dve podhrupp¥ porqdka p yz F
soprqΩen¥ v hruppe G, p > 2 y F — sylovskaq p-podhruppa hrupp¥ G [11].
Poskol\ku F soderΩyt
p
p
2 1
1
−
−
= p + 1 podhrupp porqdka p, πty podhrupp¥
obrazugt ne menee dvux klassov soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp pros-
toho porqdka hrupp¥ G . ∏to protyvoreçyt tomu, çto rassmatryvaemaq hruppa
G soderΩyt tol\ko odyn klass nedopolnqem¥x podhrupp.
Pust\ M — prymytyvnaq podhruppa hrupp¥ GL p( , )2 . V [11] pokazano, çto
M — abeleva cyklyçeskaq podhruppa, porqdok M lybo ne delytsq na kvadrat
prostoho çysla, lybo raven kvadratu prostoho çysla. Tak kak M ynducyruet
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10
O HRUPPAX S MALÁM ÇYSLOM KLASSOV … 1423
na F nepryvodym¥j avtomorfyzm porqdka M , oçevydno, v pervom sluçae
p + 1 = M , otkuda p = 2, M = 3 y poluçaem hruppu G teorem¥. Vtoroj
sluçaj, oçevydno, nevozmoΩen.
Teorema dokazana.
4. Nenyl\potentn¥e hrupp¥ s dvumq klassamy soprqΩenn¥x nedopol-
nqem¥x podhrupp.
Teorema 3. Nenyl\potentn¥e hrupp¥ s dvumq klassamy soprqΩenn¥x nedo-
polnqem¥x podhrupp prynadleΩat odnomu yz sledugwyx typov hrupp:
1) G = a b×( ) � c × d , hde a2 = b2 = c3 = dr = 1, ac = cb, bc =
= cab, r — prostoe çyslo, r ≠ 2, r ≠ 3;
2) G S= 4 ;
3) G = a a1 2×( � a3 ) � b , hde a1 = a2 = a3 = p, b = q, p
y q — razlyçn¥e prost¥e çysla, p > 2, a a2 3,[ ] = a1 , a b1,[ ] = 1, a b ba2 2= α
,
a b ba3 3= β
, 1< α, β < p, αβ ≡ 1 (mod p);
4) G = M Q� , M = p, a Q — lybo neabeleva hruppa porqdka q3 y πks-
ponent¥ q, lybo hruppa dyπdra porqdka 8, pryçem C MQ ( ) ≠ Q y M( , Q )
= 1;
5) G = a a1 2×( ) � b , hde a1 = a2 = p, b = m, p > 2 , (p, m) = 1,
m ne delytsq na kvadrat prostoho çysla, na podhruppe a a1 2× hruppa
b y ee sobstvenn¥e podhrupp¥ dejstvugt nepryvodymo;
6) G = a � b , hde a = p2 , b = q, a ab = α , α prynadleΩyt po-
kazatelg q po modulg p, p y q — razlyçn¥e prost¥e çysla;
7) G = a � b , hde a = p, b = q2 , C ab ( ) = 1, p y q — razlyç-
n¥e prost¥e çysla.
Dokazatel\stvo. Pust\ G — nenyl\potentnaq hruppa s dvumq klassamy
soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp. Esly G — prqmo razloΩymaq hruppa,
to, oçevydno, G = K × c , hde c p = 1 y K — nenyl\potentnaq ′p -hruppa s
odnym klassom soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp.
Pust\ G — prqmo nerazloΩymaq hruppa. Vsledstvye polnoj faktoryzue-
mosty koneçn¥x hrupp s dopolnqem¥my podhruppamy prost¥x porqdkov [5]
hruppa G soderΩyt xotq b¥ odyn klass soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x v G
podhrupp prost¥x porqdkov.
1. V hruppe G vtoroj klass soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp so-
stoyt yz abelev¥x podhrupp. Znaçyt, v G dopolnqem¥ vse neabelev¥ pod-
hrupp¥.
Rassmotrym snaçala sluçaj, kohda hruppa G soderΩyt neabelev¥ sylovskye
podhrupp¥. Esly hruppa G nedyspersyvna, to v sylu teorem¥ [15] y lemm¥12
nastoqwej rabot¥ G — hruppa S4 . Pust\ G — dyspersyvnaq hruppa, soder-
Ωawaq neabelev¥ sylovskye podhrupp¥. Tohda esly P — neabeleva sylovskaq
podhruppa (naprymer, po çyslu p), to ona v hruppe G lybo normal\na, lybo
normal\no dopolnqema ( lemma 6 [17]).
Netrudno ubedyt\sq, çto v pervom sluçae dopolnenye M k P v G qvlqetsq
cyklyçeskoj hruppoj prostoho porqdka q ≠ p. 1Dejstvytel\no, M G P� / —
vpolne faktoryzuemaq hruppa. Esly M1 y M2 — podhrupp¥ prostoho y ne-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10
1424 P. P. BARÁÍOVEC, N. N. BYLOCKYJ
prostoho porqdkov yz M, to podhrupp¥ Φ( )P y Φ( )P M⋅ 1 y Φ( )P M⋅ 2 nesop-
rqΩen¥ y nedopolnqem¥ v G. Poskol\ku hruppa G soderΩyt tol\ko dva
klassa soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp, otsgda sleduet, çto M —
hruppa prostoho porqdka q ≠ p. 1S druhoj storon¥, esly Φ( )P > p, to pod-
hrupp¥ X, Φ( )P , Φ( )P M⋅ , hde X — podhruppa porqdka p yz Φ( )P , toΩe
nesoprqΩen¥ y nedopolnqem¥ v G . Znaçyt, Φ( )P = p. Tohda podhrupp¥
Φ( )P y Φ( )P M⋅ nesoprqΩen¥ y nedopolnqem¥ v G , a v P dopolnqem¥ abe-
lev¥ podhrupp¥ neprost¥x porqdkov. V sylu rezul\tatov rabot¥ [11] P — ne-
abeleva hruppa porqdka p3
y πksponent¥ p, p > 2, yly hruppa dyπdra porqdka
8. Tak kak hruppa dyπdra porqdka 8 yzomorfna svoej hruppe avtomorfyzmov
[12, s. 106], vtoroj sluçaj nevozmoΩen. Esly G — hruppa Ímydta, G =
= P b� , hde P — neabeleva hruppa porqdka p3
y πksponent¥ p , p > 2,
b = q, p y q — razlyçn¥e prost¥e çysla, p > 2, to podhrupp¥ Φ( )P ,
Φ( )P b y Φ( )P x , hde x P∉Φ( ) , x = p, nesoprqΩen¥ y nedopolnqem¥
v G. Tohda G — hruppa typa 3 dokaz¥vaemoj teorem¥.
Pust\ teper\ G = M � P, hde P — neabeleva sylovskaq podhruppa po çyslu
p . Poskol\ku podhrupp¥ L P⊆ Φ( ) y K L� , hde K M⊆ , K G� nesoprq-
Ωen¥ y nedopolnqem¥ v G, a hruppa G soderΩyt tol\ko dva klassa soprq-
Ωenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp, otsgda sleduet, çto Φ( )P = p, a M — my-
nymal\n¥j normal\n¥j delytel\ hrupp¥ G, pryçem M = q. Bolee toho, v P
dopolnqem¥ abelev¥ podhrupp¥ neprost¥x porqdkov. V sylu rezul\tatov rabo-
t¥ [11] P — neabeleva hruppa porqdka p3
y πksponent¥ p, p > 2 , yly hruppa
dyπdra porqdka 8. Sledovatel\no, sohlasno [17] G — hruppa typa 4 dokaz¥vae-
moj teorem¥.
Rassmotrym teper\ sluçaj, kohda vse sylovskye podhrupp¥ hrupp¥ G abe-
lev¥. V sylu teorem¥ [15] y neabelevosty sylovskyx 2-podhrupp hrupp¥ S4
hruppa G dyspersyvna. Esly P — normal\naq sylovskaq podhruppa (naprymer,
po çyslu p) hrupp¥ G, M — ee dopolnenye v G, to pry abelevoj hruppe M ,
povtorqq rassuΩdenyq yz dokazatel\stva lemm¥110 rabot¥ [18], poluçaem, çto
P — mynymal\n¥j normal\n¥j delytel\ porqdka p2
hrupp¥ G y hruppa G =
= a a1 2×( ) � b , hde a1 = a2 = p, b = m, p > 2, (p, m) = 1, na pod-
hruppe a1 × a2 hruppa b y ee sobstvenn¥e podhrupp¥ dejstvugt ne-
pryvodymo. Çyslo m ne delytsq na kvadrat prostoho çysla, ynaçe hruppa G
soderΩyt bolee dvux klassov soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp. Sledo-
vatel\no, hruppa G otnosytsq k typu 5 dokaz¥vaemoj teorem¥. Predpolahaq,
çto M — neabeleva hruppa, s pomow\g rassuΩdenyj yz dokazatel\stva lem-
m¥111 toj Ωe rabot¥ [18] pryxodym k protyvoreçyg s çyslom klassov soprq-
Ωenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp.
2. Vtoroj klass soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp hrupp¥ G sostoyt
yz neabelev¥x podhrupp. Tohda v G dopolnqem¥ vse abelev¥ podhrupp¥ ne-
prost¥x porqdkov y, znaçyt, porqdok neabelev¥x sylovskyx podhrupp raven ku-
bu prostoho çysla [11].
PredloΩenye 2. V rassmatryvaemoj hruppe G ne suwestvuet dvux nor-
mal\n¥x podhrupp s tryvyal\n¥m pereseçenyem.
Dokazatel\stvo. Pust\ G — prqmo nerazloΩymaq hruppa, soderΩawaq
tol\ko dva klassa soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp, sostoqwyx soot-
vetstvenno yz podhrupp prostoho porqdka y neabelev¥x podhrupp. Pust\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10
O HRUPPAX S MALÁM ÇYSLOM KLASSOV … 1425
K G� y L G� , K L∩ = 1 y H — proyzvol\naq podhruppa prostoho porqdka
yz G. Bez potery obwnosty moΩno sçytat\, çto K y L — mynymal\n¥e nor-
mal\n¥e delytely hrupp¥ G. Tohda, oçevydno, N = K L — abeleva neprymarnaq
vpolne faktoryzuemaq hruppa. Esly H N⊆ y, naprymer, H K⊄ , to K N⋅ ,
kak abeleva podhruppa neprostoho porqdka, dopolnqema v G . Poskol\ku
K G� , otsgda sleduet dopolnqemost\ podhrupp¥ H v G. Esly H N⊄ y, po
krajnej mere, odna yz podhrupp K H⋅ yly L H⋅ abeleva, to ona dopolnqema v
G. Esly Ωe podhrupp¥ K H⋅ y L H⋅ obe neabelev¥, to po krajnej mere odna
yz podhrupp K H⋅ yly K L H⋅ dopolnqema v G, a znaçyt, v G dopolnqema y
podhruppa H. Tohda G — vpolne faktoryzuemaq hruppa [5]. Poluçennoe
protyvoreçye dokaz¥vaet predloΩenye 2.
Pust\ F = F G( ) — podhruppa Fyttynha hrupp¥ G. Centralyzator pod-
hrupp¥ Fyttynha F G( ) koneçnoj razreßymoj hrupp¥ G soderΩytsq v F G( ) .
V sylu predloΩenyq 2 hruppa F prymarna.
Esly F — neabeleva hruppa, to F lybo neabeleva hruppa porqdka p3
y
πksponent¥ p, p > 2, lybo hruppa dyπdra porqdka 8 [11]. Poslednqq, kak otme-
çalos\, yzomorfna svoej hruppe avtomorfyzmov [12, s. 106]. Znaçyt, vtoroj
sluçaj nevozmoΩen. Pust\ M — dopolnenye k F v G . Esly M1 y M2 —
podhrupp¥ razlyçn¥x porqdkov yz M , to po krajnej mere odna yz podhrupp
FM1 yly FM2 dopolnqema v G , a znaçyt, v F dopolnqema y podhruppa ′F .
Yz poluçennoho protyvoreçyq sleduet, çto hruppa M ymeet prostoj porqdok
q ≠ p. Netrudno ubedyt\sq, çto G — hruppa typa 3 dokaz¥vaemoj teorem¥.
Pust\ F — abeleva hruppa. Esly F — cyklyçeskaq hruppa neprostoho po-
rqdka, to, oçevydno, F p= 2
y G = F M� . PredpoloΩym, çto porqdok M
— neprostoj. Poskol\ku F sovpadaet so svoym centralyzatorom v G, dlq
nyΩneho sloq ω( )F = D y lgb¥x dvux netryvyal\n¥x podhrupp M1 y M2
razlyçn¥x porqdkov yz M obe podhrupp¥ DM1 y DM2 neabelev¥ y odna yz
nyx (ne vxodqwaq v klass soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x neabelev¥x podhrupp)
dolΩna b¥t\ dopolnqema v G. Yz poluçennoho protyvoreçyq sleduet, çto M
— cyklyçeskaq hruppa prostoho porqdka q ≠ p, a G — hruppa typa 6 dokaz¥-
vaemoj teorem¥.
Pust\ F — cyklyçeskaq hruppa prostoho porqdka p . Esly P — sylovskaq
podhruppa hrupp¥ G, to F Z P⊆ ( ) [16] y, znaçyt, P C FG⊆ ( ) = F. Sledova-
tel\no, F — sylovskaq p-podhruppa hrupp¥ G. Tak kak hruppa avtomorfyz-
mov cyklyçeskoj hrupp¥ abeleva, faktor-hruppa G F/ abeleva. Pust\ M —
xollovskaq ′p -podhruppa hrupp¥ G. Poskol\ku G — ne vpolne faktoryzue-
maq hruppa, M — ne vpolne faktoryzuemaq hruppa [4]. Znaçyt, M soderΩyt
mynymal\nug ne vpolne faktoryzuemug podhruppu B. Yz opysanyq takyx
hrupp [19] sleduet, çto B — cyklyçeskaq hruppa porqdka q2
, q ≠ p. Netrudno
ubedyt\sq, yspol\zuq dopolnqemost\ v M abelev¥x podhrupp neprost¥x po-
rqdkov, çto M = B y G — hruppa typa 7 dokaz¥vaemoj teorem¥.
Esly F — necyklyçeskaq abeleva prymarnaq hruppa, to ee nyΩnyj sloj
ω( )F budet dopolnqem v G, a znaçyt, y v F. Otsgda sleduet, çto ω( )F = F,
t.1e. F — πlementarnaq abeleva hruppa porqdka pα
. Esly α ≥ 3, to netrudno
pokazat\, çto F razlahaetsq v prqmoe proyzvedenye podhrupp prostoho porqd-
ka, normal\n¥x v G , çto protyvoreçyt predloΩenyg 2. Otsgda v sylu pred-
loΩenyq 2 sleduet, çto F — necyklyçeskaq hruppa porqdka p2
y, znaçyt, G =
= F M� .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10
1426 P. P. BARÁÍOVEC, N. N. BYLOCKYJ
Podhruppa F, kak abeleva podhruppa, lybo nepryvodyma, lybo pryvodyma,
no ne vpolne pryvodyma (v sylu predloΩenyq 2). V lgbom sluçae nedopolnqe-
m¥e podhrupp¥ prostoho porqdka hrupp¥ G soderΩatsq v podhruppe F. No
tohda v hruppe M G F� / vse podhrupp¥ prost¥x porqdkov dopolnqem¥ y, zna-
çyt, ona vpolne faktoryzuema.
Podhruppa F, kak abeleva podhruppa Fyttynha razreßymoj hrupp¥ G, sov-
padaet, kak uΩe otmeçalos\, so svoym centralyzatorom v hruppe G , y poπtomu
M moΩno otoΩdestvyt\ s nekotoroj podhruppoj hrupp¥ GL p( , )2 vsex nev¥-
roΩdenn¥x lynejn¥x preobrazovanyj dvumernoho lynejnoho prostranstva nad
polem porqdka p . Podhruppa M pry πtom moΩet okazat\sq lybo ymprymytyv-
noj, lybo prymytyvnoj podhruppoj hrupp¥ GL p( , )2 .
Esly M — ymprymytyvnaq podhruppa, to dve podhrupp¥ porqdka p yz F
soprqΩen¥ v hruppe G, p > 2 y F — sylovskaq p-podhruppa hrupp¥ G [11].
Poskol\ku F soderΩyt
p
p
2 1
1
−
−
= p + 1 podhrupp porqdka p , πty podhrupp¥
obrazugt ne menee dvux klassov soprqΩenn¥x nedopolnqem¥x podhrupp pros-
toho porqdka hrupp¥ G. ∏to protyvoreçyt tomu, çto v rassmatryvaemoj hruppe
G odyn yz takyx klassov sostoyt yz neabelev¥x podhrupp.
Pust\ M — prymytyvnaq podhruppa hrupp¥ GL p( , )2 . V [11] pokazano, çto
F — sylovskaq p-podhruppa hrupp¥ G , M — abeleva cyklyçeskaq podhruppa,
porqdok M lybo ne delytsq na kvadrat prostoho çysla, lybo raven kvadratu
prostoho çysla. Tak kak M ynducyruet na F nepryvodym¥j avtomorfyzm po-
rqdka M , to, oçevydno, v pervom sluçae v hruppe G dopolnqem¥ vse neabe-
lev¥ podhrupp¥, çto protyvoreçyt v¥boru p.12. Pust\ M q= 2
, hde q —
prostoe çyslo. Tohda, oçevydno, p + 1 = q2 , otkuda q = 2, p = 3 y G =
= a b×( ) � c , hde a3 = b3 = c4 = 1, c ynducyruet v a b× ne-
pryvodym¥j avtomorfyzm porqdka 4. NesoprqΩenn¥e podhrupp¥ porqdkov 3, 2
y 18 v hruppe G nedopolnqem¥.
Teorema dokazana.
1. Hall Ph. Complemented groups // J. London Math.. Soc. – 1937. – 12. – P. 201 – 204.
2. Baeva N. V. Vpolne faktoryzuem¥e hrupp¥ // Dokl. AN SSSR. – 1953. – 92, # 5. – S. 877 –
880.
3. Çernykova N. V. Hrupp¥ s dopolnqem¥my podhruppamy // Mat. sb. – 1956. – 39. – S. 273 –
292.
4. Çernykova N. V. K osnovnoj teoreme o vpolne faktoryzuem¥x hruppax // Hrupp¥ s systema-
my dopolnqem¥x podhrupp.1– Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1972. – S. 49 – 58.
5. Horçakov G. M. Prymytyvno faktoryzuem¥e hrupp¥ // Uç. zap.1Perm. un-ta. – 1960. – 17. –
S. 15 – 31.
6. Çernykov S. N. Hrupp¥ s systemamy dopolnqem¥x podhrupp // Mat. sb. – 1954. – 35. – S. 93
– 128.
7. Çernykov S. N. Yssledovanye hrupp s zadann¥my svojstvamy podhrupp // Ukr. mat. Ωurn. –
1969. – 21, # 2. – S. 193 – 209.
8. Ímydt O. G. Hrupp¥, ymegwye tol\ko odyn klass neynvaryantn¥x podhrupp // Mat. sb. –
1926. – 33. – S. 161 – 172.
9. Ímydt O. G. Hrupp¥ s dvumq klassamy neynvaryantn¥x podhrupp // Trud¥ semynara po
teoryy hrupp. – 1938. – S. 7 – 26.
10. Bar¥ßovec P. P., Bylockyj N. N. O hruppax s mal¥m çyslom klassov soprqΩenn¥x nedo-
polnqem¥x podhrupp // Ukr. mat. konhr. - 2009: Tez. soobw. – Kyev: Yn-t matematyky NAN
Ukrayn¥, 2009.
11. Zajcev D. Y., Zub O. N. Hrupp¥ s dopolnqem¥my abelev¥my podhruppamy neprost¥x porqd-
kov // Hrupp¥ s zadann¥my svojstvamy podhrupp.1– Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1973. –
S. 105 – 126.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10
O HRUPPAX S MALÁM ÇYSLOM KLASSOV … 1427
12. Xoll M. Teoryq hrupp. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1962. – 468 s.
13. Zub O. N. Hrupp¥, necyklyçeskye podhrupp¥ kotor¥x dopolnqem¥ // Hrupp¥ s ohranyçe-
nyqmy dlq podhrupp.1– Kyev: Nauk. dumka, 1971. – S. 134 – 158.
14. Berkovyç Q. H. Stroenye hrupp¥ y stroenye ee podhrupp // Dokl. AN SSSR. – 1968. – 179,
#11. – S. 13 – 16.
15. Bar¥ßovec P. P. O koneçn¥x neabelev¥x hruppax s dopolnqem¥my neabelev¥my podhrup-
pamy // Ukr. mat. Ωurn. – 1977. – 29, # 6. – S. 733 – 737.
16. Huppert B. Endliche Gruppen, I. – Berlin: Springer, 1967. – 793 S.
17. Bar¥ßovec P. P. Koneçn¥e nenyl\potentn¥e hrupp¥, v kotor¥x vse neabelev¥ podhrupp¥
dopolnqem¥ // Ukr. mat. Ωurn. – 1981. – 33, # 2. – S.147 – 153.
18. Bar¥ßovec P. P. Ob odnom klasse koneçn¥x hrupp s dopolnqem¥my neabelev¥my podhrup-
pamy // Tam Ωe. – 1981. – 33, # 3. – S. 291 – 296.
19. Malan\yna H. A., Xlebutyna V. Y., Íevcov H. S. Koneçn¥e mynymal\n¥e ne vpolne fakto-
ryzuem¥e hrupp¥ // Mat. zametky. – 1972. – 12, # 2. – S. 157 – 162.
Poluçeno 09.11.09,
posle dorabotky — 30.07.10
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-2966 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:33:42Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/60/5874da5c205b47b8571f74b66844ce60.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29662020-03-18T19:41:19Z On groups with a small number of classes of conjugate noncomplemented subgroups О группах с малым числом классов сопряженных педополняемых подгрупп Bilotskii, N. N. Baryshovets, P. P. Билоцкий, Н. Н. Барышовец, П. П. Билоцкий, Н. Н. Барышовец, П. П. We give a description of finite nonprimary groups that contain at most two classes of conjugate noncomplemented subgroups. Наведено опис скінченних непримарпих груп, які містять не більше двох класів спряжених недоповшованих підгруп. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2966 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 10 (2010); 1420–1427 Український математичний журнал; Том 62 № 10 (2010); 1420–1427 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2966/2682 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2966/2683 Copyright (c) 2010 Bilotskii N. N.; Baryshovets P. P. |
| spellingShingle | Bilotskii, N. N. Baryshovets, P. P. Билоцкий, Н. Н. Барышовец, П. П. Билоцкий, Н. Н. Барышовец, П. П. On groups with a small number of classes of conjugate noncomplemented subgroups |
| title | On groups with a small number of classes of conjugate noncomplemented subgroups |
| title_alt | О группах с малым числом классов сопряженных
педополняемых подгрупп |
| title_full | On groups with a small number of classes of conjugate noncomplemented subgroups |
| title_fullStr | On groups with a small number of classes of conjugate noncomplemented subgroups |
| title_full_unstemmed | On groups with a small number of classes of conjugate noncomplemented subgroups |
| title_short | On groups with a small number of classes of conjugate noncomplemented subgroups |
| title_sort | on groups with a small number of classes of conjugate noncomplemented subgroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2966 |
| work_keys_str_mv | AT bilotskiinn ongroupswithasmallnumberofclassesofconjugatenoncomplementedsubgroups AT baryshovetspp ongroupswithasmallnumberofclassesofconjugatenoncomplementedsubgroups AT bilockijnn ongroupswithasmallnumberofclassesofconjugatenoncomplementedsubgroups AT baryšovecpp ongroupswithasmallnumberofclassesofconjugatenoncomplementedsubgroups AT bilockijnn ongroupswithasmallnumberofclassesofconjugatenoncomplementedsubgroups AT baryšovecpp ongroupswithasmallnumberofclassesofconjugatenoncomplementedsubgroups AT bilotskiinn ogruppahsmalymčislomklassovsoprâžennyhpedopolnâemyhpodgrupp AT baryshovetspp ogruppahsmalymčislomklassovsoprâžennyhpedopolnâemyhpodgrupp AT bilockijnn ogruppahsmalymčislomklassovsoprâžennyhpedopolnâemyhpodgrupp AT baryšovecpp ogruppahsmalymčislomklassovsoprâžennyhpedopolnâemyhpodgrupp AT bilockijnn ogruppahsmalymčislomklassovsoprâžennyhpedopolnâemyhpodgrupp AT baryšovecpp ogruppahsmalymčislomklassovsoprâžennyhpedopolnâemyhpodgrupp |