An estimate for the modulus of continuity of a quaternion singular Cauchy integral
We establish an upper bound for the modulus of continuity of a quaternion singular Cauchy integral in terms of the modulus of continuity of the integrand and a metric characteristic of a curve.
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2967 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508974335393792 |
|---|---|
| author | Gerus, O. F. Герус, О. Ф. |
| author_facet | Gerus, O. F. Герус, О. Ф. |
| author_sort | Gerus, O. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:41:19Z |
| description | We establish an upper bound for the modulus of continuity of a quaternion singular Cauchy integral in terms of the modulus of continuity of the integrand and a metric characteristic of a curve. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:33:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
O. F. Herus (Ûytomyr. derΩ. un-t)
OCINKA MODULQ NEPERERVNOSTI
KVATERNIONNOHO SYNHULQRNOHO INTEHRALA KOÍI
We establish an upper estimate for the continuity module of the quaternion singular Cauchy integral in
terms of the continuity module of integrand and a metric characteristic of a curve.
Ustanovlena verxnqq ocenka modulq neprer¥vnosty kvaternyonnoho synhulqrnoho yntehrala
Koßy çerez modul\ neprer¥vnosty pod¥ntehral\noj funkcyy y metryçeskug xarakterystyku
kryvoj.
1. Vstup. A.*Zyhmund [1] uperße vstanovyv ocinku modulq neperervnosti try-
honometryçno sprqΩeno] funkci] na prqmij, wo rivnosyl\na ocinci modulq ne-
perervnosti synhulqrnoho intehrala Koßi na koli. Z ci[] ocinky, zokrema, vy-
plyva[ teorema Plemelq – Pryvalova pro invariantnist\ klasiv Hel\dera vid-
nosno synhulqrnoho intehrala Koßi. Ocinka A.*Zyhmunda uzahal\ngvalas\ na
bil\ß ßyroki klasy kryvyx u robotax L.*H.*Mahnaradze [2, 3], A.*A.*Baba[va ta
V.*V.*Sala[va [4 – 6], P.*M.*Tamrazova [7, 8], O.*F.*Herusa [9 – 11], T.*S.*Salimova
[12], {.*M.*Dyn\kina [13]. Zokrema, z’qsuvalos\, wo najbil\ß ßyrokym klasom
kryvyx (dyv. [6, 9]), dlq qkyx vona ma[ takyj Ωe vyhlqd, qk i na koli, [ klas re-
hulqrnyx kryvyx (u qkyx mira çastyny kryvo], wo potraplq[ v kruh, ne perevy-
wu[ stalo], pomnoΩeno] na radius kruha). Na bil\ß zahal\nyx kryvyx (dyv. [6, 9
– 13]) maΩoranta pohirßu[t\sq i poçyna[ zaleΩaty we i vid kryvo].
V roboti [14] rozhlqnuto uzahal\nennq intehrala typu Koßi v teori] tak zva-
nyx α-hiperholomorfnyx funkcij, qki digt\ z prostoru R2
, nadilenoho pev-
nog strukturog kvaternionnoho mnoΩennq, u alhebru kompleksnyx kvaternio-
niv. OderΩano formuly dlq meΩovyx znaçen\ takoho intehrala na zamknenyx
kuskovo-lqpunovs\kyx kryvyx ta teoremu Plemelq – Pryvalova dlq vidpovidno-
ho synhulqrnoho intehrala, çerez qkyj vyraΩagt\sq meΩovi znaçennq. V roboti
[15] dovedeno analohiçni formuly dlq zamknenyx Ωordanovyx sprqmlgvanyx
kryvyx. Metog dano] roboty [ vstanovlennq ocinky modulq neperervnosti vid-
povidnoho synhulqrnoho intehrala.
2. Kvaterniony. Kvaternionne uzahal\nennq intehrala typu Koßi. Po-
znaçymo çerez H H R= ( ) ta H C( ) vidpovidno alhebry dijsnyx ta kompleksnyx
kvaternioniv, tobto takyx, wo podagt\sq u vyhlqdi a = ak kk
i
=∑ 0
3
, de
ak k{ } ⊂=0
3 R dlq dijsnyx kvaternioniv i ak k{ } ⊂=0
3 C dlq kompleksnyx; i0 = 1,
a i1 , i2 , i3 — uqvni odynyci z pravylom mnoΩennq i1
2 = i2
2 = i3
2 = i i i1 2 3 = – 1;
kompleksnu uqvnu odynycg poznaçatymemo çerez i . H [ nekomutatyvnog aso-
ciatyvnog alhebrog nad polem dijsnyx çysel, wo ne ma[ dil\nykiv nulq, H C( )
— nekomutatyvnog asociatyvnog alhebrog nad polem kompleksnyx çysel, wo
ma[ dil\nyky nulq.
Pid modulem kompleksnoho kvaterniona rozumitymemo joho evklidovu normu
a = a R8 . Dlq dijsnyx kvaternioniv a, b vykonugt\sq rivnosti ab =
= a b , a 2 = aa = aa , de a : = a0 – ak kk
i
=∑ 1
3
— sprqΩenyj kvaternion.
Dlq kompleksnyx kvaternioniv magt\ misce spivvidnoßennq a 2 � aa ta
ab ≤ 2 a b (1)
© O. F. HERUS, 2010
1428 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10
OCINKA MODULQ NEPERERVNOSTI KVATERNIONNOHO SYNHULQRNOHO … 1429
(dyv. lemu 2.1 z roboty [15]).
Nexaj α ∈C , z : = xi1 + yi2 , ζ : = ξi1 + ηi2 — dijsni kvaterniony, qki mis-
tqt\sq v evklidovomu prostori R2
, nadilenomu dodatkovog strukturog kva-
ternionnoho mnoΩennq, Hn
p( )
— funkci] Hankelq rodu p ∈{ }1 2; i porqdku
n*∈* 0 1 2; ;{ } (dyv. [16]). Poznaçymo
Eα
α α
π
α
( ) :
( ) ,
ln ,
( )
z
i
H z
z
p p
=
− ( ) ≠
=
1
4
0
1
2
0
0 pry
pry
de
p =
> >
< <
1 0 0
2 0 0
pry abo
pry abo
Im ( ) ,
Im ( ) .
α α
α α
Vidomo (dyv. napryklad, [17]), wo funkciq Eα [ fundamental\nym rozv’qz-
kom operatora Hel\mhol\ca ∆α2 : = ∆R2 + Mα2
, de ∆R2 = ∂1
2 + ∂2
2
, ∂k =
=
∂
∂xk
, i M a
— operator mnoΩennq na a ∈C .
Kvaternionnym qdrom Koßi Kα nazyva[t\sq fundamental\nyj rozv’qzok
operatora α∂ : = ∂1
1� M i + ∂2
2� M i + Mα
podibno do toho, qk klasyçne qdro
Koßi [ fundamental\nym rozv’qzkom operatora Koßi – Rimana ∂ : =
∂
∂x
+
+ i
y
∂
∂
. Zavdqky faktoryzaci] operatora Hel\mhol\ca (dyv. [18, 15])
∆α α α2 = − ∂ ∂−�
ma[mo
K zα ( ) = − ∂[ ]−α αE ( )z ,
zvidky otrymu[mo
K z
i
H z
z
z
H zp p p
α
α
α α
( )
( ) ( ) ( )
=
− ( ) + ( )
1
4 1 0 pryy
pry
α
π
α
≠
− =
0
2
02
,
.
z
z
(2)
Funkci] Hankelq H tp
0
( )( ) , H tp
1
( )( ) rozvyvagt\sq v rqdy takym çynom (dyv.
[16]):
H tp
0
( )( ) = 1 1
2
2
1
2
2
2− − +
−
( ) ln
( )
( !)
p
k k
k
i t t
kπ
C 22
0k=
∞
∑ +
+
2 1
2
12
2 2
11
i t
k m
k p k
k
m
k
kπ
(– )
( !)
+
==
∞
∑∑ , (3)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10
1430 O. F. HERUS
H tp
1
( )( ) = 1 1
2
2
1
2
2 1
2 1− − +
− +
+( ) ln
( )p
k k
k
i t t
π
C
kk kk !( )!+=
∞
∑
10
+
+ ( )− +
1
2
2
p i
t
it
π π
+
i t
k k m m
k p k
k
m
k
m
k
π
(– )
!( )!
1
2 1
1 12 1
2 1
11
1+ +
+
==
+
+
+ ∑∑∑∑
=
∞
k 1
, (4)
de C — stala Ejlera.
Dlq zamkneno] Ωordanovo] sprqmlgvano] kryvo] Γ ⊂ R2
i neperervno]
funkci] f : Γ → H C( ) kvaternionnyj intehral typu Koßi vyznaça[t\sq formu-
log (dyv. [15])
Φα f z[ ] ( ) : = K z fα ζ σ ζ( ) ( )−∫
Γ
, z ∈R2 \Γ ,
de σ : = dηi1 – dξi2 .
3. Kvaternionnyj synhulqrnyj intehral Koßi. Nexaj δ > 0,
ω δ
δ
Γ
Γ
( , ) : sup ( ) ( )
;
f f z f z
z z
z z
= −
− ≤
{ }⊂
1 2
1 2
1 2
— modul\ neperervnosti funkci] f na Γ,
Ω
Ω
Γ
Γ
Γ
( , , ) :
sup
( , )
,
( , ,
f a b
f t
t
a b
f b
a t b=
< ≤
≤ ≤
ω
pry 0
bb b a) ,pry 0 < <
Γ z,δ : = ζ ∈{ Γ : ζ − z ≤ δ} , θ δz ( ) : = mes Γ z,δ — kryvolinijna mira Lebeha
mnoΩyny Γ z,δ (dyv. [6]),
Θ( , ) :
( ) ( )
z
z z
δ
δ
θ δ θ δ
=
−
2
4
.
Ob’[ktom doslidΩennq v danij roboti [ synhulqrnyj intehral
F f t K t f f t
t
α δ α ζ σ ζ
δ
[ ] = − −( )
→ ∫( ) : lim ( ) ( ) ( )
\ ,
0
Γ Γ
, t ∈Γ ,
z qkym pov’qzane isnuvannq meΩovyx znaçen\ intehrala typu Koßi Φα i v ter-
minax qkoho vyraΩagt\sq ci znaçennq (dyv. teoremu 3.3 roboty [15]).
Dali poznaçatymemo çerez c( )⋅ , … , c( , , )⋅ … ⋅ dodatni stali (moΩlyvo riz-
ni), qki zaleΩat\ lyße vid arhumentiv u duΩkax. Symvolom c bez arhumentiv
poznaçatymemo absolgtni stali.
Teorema. Nexaj funkciq f : Γ → H C( ) zadovol\nq[ umovy
sup , ( , ),
z
d
f z x x dx
∈
( )∫
Γ
ΓΩ Θ
0
< + ∞, (5)
sup ln ( , ) ( )
z
d
zx f x d x
∈
∫
Γ
Γω θ
0
< + ∞. (6)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10
OCINKA MODULQ NEPERERVNOSTI KVATERNIONNOHO SYNHULQRNOHO … 1431
Todi intehral F fα[ ] isnu[ v koΩnij toçci kryvo] Γ i pravyl\nog [ ocinka
ω δαΓ F f[ ]( ), ≤ c f z x x
dx
xz
d
sup , ( , ),
∈
∫ ( )
+Γ
ΓΩ Θ
0
2
1
δ
+
+ c
x f x
f x
f
d
z
d
z( ) sup
ln ( , )
( , )
( , )
α
ω
ω
ω δ
θ
∈ +
∫
Γ
Γ
Γ
Γ
1
4
0
(( )x + c
f x
x
d x
z
d
z( ) sup
( , )
( )α δ
ω
θ
δ∈
∫
Γ
Γ
3
, (7)
de d — diametr kryvo] Γ.
Dovedennq. Zavdqky formulam (2) – (4) qdro Koßi Kα moΩna zapysaty u
vyhlqdi
K zα ( ) = −
z
z2 2π
+
α
π2
ln z + �K zα ( ) , (8)
de
�Kα — neperervna funkciq, wo dorivng[ nulg pry α = 0. Tomu Fα = F +
+ Lα + �Fα , de
F f t[ ] ( ) : = −
−
−
−( )∫
1
2 2π
ζ
ζ
σ ζ
t
t
f f t( ) ( )
Γ
,
L f tα[ ] ( ) : =
α
π
ζ σ ζ
2
ln ( ) ( )
Γ
∫ − −( )t f f t ,
�F f tα[ ] ( ) : = �K t f f tα ζ σ ζ
Γ
∫ − −( )( ) ( ) ( ) , t ∈Γ .
Zhidno z oznaçennqm modulq neperervnosti ma[mo
ω δαΓ F f[ ]( ), ≤ ω δΓ F f[ ]( ), + ω δαΓ L f[ ]( ), + ω δαΓ �F f[ ]( ), .
Intehral F f[ ] zvodyt\sq do vyhlqdu
F f t[ ] ( ) =
i
i1
2
2 π
ζ
ζ
ζ
d
t
f f t
�
� �
� �
−
−( )∫
Γ
( ) ( ) , (9)
de
�ζ = ξ + ηi3 , �t = ν + τi3 . Rozwepyvßy funkcig f na komponenty, otryma[-
mo çotyry kompleksnyx intehraly, v qkyx i3 vidihra[ rol\ uqvno] odynyci. Is-
nuvannq cyx intehraliv vyplyva[ z umovy (5) za teoremog*1 roboty [11]. Zasto-
suvavßy do nyx ocinku (2) z roboty [11], oderΩymo
ω δΓ F f[ ]( ), ≤ c f z x x
dx
xz
d
sup , ( , ),
∈
∫ ( )
+Γ
ΓΩ Θ
0
2
1
δ
. (10)
Isnuvannq intehrala L fα[ ] vyplyva[ z umovy (6) analohiçno isnuvanng
intehrala vyhlqdu (9), dovedenomu v roboti [11]. Ocinymo ω δαΓ L f[ ]( ), . Nexaj
t t1 2;{ } ⊂ Γ , t t1 2− ≤ δ. Todi
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10
1432 O. F. HERUS
L f t L f tα α
π
α
[ ] − [ ]( ) ( )1 2
2
≤ ln ( ) ( )
,
ζ σ ζ
δ
− −( )∫ t f f t
t
1 1
1 3Γ
+
+ ln ( ) ( )
,
ζ σ ζ
δ
− −( )∫ t f f t
t
2 2
1 3Γ
+ ln ( ) ( )
\ ,
ζ
ζ
σ ζ
δ
−
−
−( )∫
t
t
f f t
t
1
2
1
1 3Γ Γ
+
+ ln ( ) ( )
\ ,Γ Γ t
t f t f t
1 3
2 2 1
δ
ζ σ∫ − −( ) = : I1 + I2 + I3 + I4 . (11)
Vraxovugçy ocinku (1), ma[mo
I1 ≤ 2 1 1
1 3
ln ( ) ( )
,
ζ ζ ζ
δ
− −∫ t f f t d
tΓ
≤
≤ 2
0
3
1
ln ( , ) ( )
min ;
x f x d x
d
t
δ
ω θ
{ }
∫ Γ , (12)
I2 ≤ 2
0
4
2
ln ( , ) ( )
min ;
x f x d x
d
t
δ
ω θ
{ }
∫ Γ . (13)
Zavdqky nerivnosti
ln
ζ
ζ
−
−
t
t
1
2
≤
3
1
δ
ζ − t
,
qka vykonu[t\sq dlq ζ ∈ Γ Γ\ ,t1 3δ , otrymu[mo
I3 ≤ 3 2
3
1
δ
ω
θ
δ
Γ ( , )
( )
f x
x
d x
d
t∫ , (14)
I4 ≤ 2
2
2
ω δ θ
δ
Γ ( , ) ln ( )f x d x
d
t∫ . (15)
Z nerivnostej (11) – (15) vyplyva[
ω δαΓ L f[ ]( ), ≤
3 2
1
4
0
α
π
ω
ω
ω δ
θsup
ln ( , )
( , )
( , )
z
d
z
x f x
f x
f
d
∈ +
∫
Γ
Γ
Γ
Γ
(( )x +
+
3 2
2 0
α
π
δ
ω
θsup
( , )
( )
z
d
z
f x
x
d x
∈
∫
Γ
Γ . (16)
Intehral
�F fα[ ] isnu[ zavdqky neperervnosti pidintehral\no] funkci]. Z
formul (2) – (4), (8) vyplyva[ zobraΩennq
�K tα ζ( )− = c( )α + ln ζ ϕ ζ− (t –
– t ) , de funkciq ϕ [ neperervnog na vsij plowyni (pislq dooznaçennq ϕ( )0 =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10
OCINKA MODULQ NEPERERVNOSTI KVATERNIONNOHO SYNHULQRNOHO … 1433
= 0). Tomu ω δαΓ �F f[ ]( ), ocing[t\sq ti[g Ω maΩorantog, wo i ω δαΓ L f[ ]( ), .
Takym çynom, nerivnist\ (7) vyplyva[ z ocinok (10), (16).
Teoremu dovedeno.
Oznaçennq. Zamknena Ωordanova sprqmlgvana kryva Γ nazyva[t\sq rehu-
lqrnog abo K-rehulqrnog, qkwo isnu[ taka dodatna stala K , wo dlq vsix
z ∈Γ i vsix δ > 0 vykonu[t\sq umova θ δz ( ) ≤ Kδ .
Naslidok 1. Nexaj Γ — K-rehulqrna kryva i funkciq f : Γ → H C( ) zado-
vol\nq[ umovu
ωΓ ( , )f x
x
dx
d
0
∫ < +∞ .
Todi intehral F fα[ ] isnu[ v koΩnij toçci kryvo] Γ i pravyl\nog [ ocinka
ω δαΓ ( , )F ≤ c K d
f x
x
x
dx
d
( , , )
( , )
α
ω
δ
Γ
10
2
+
∫ . (17)
Dovedennq. Z monotonnosti modulq neperervnosti ta oznaçennq K-rehu-
lqrno] kryvo] vyplyva[
Ω ΘΓ f z x x, ( , ),( ) ≤
θ θ
ωz zx x
x
f x
( ) ( )
( , )
4
2
−
Γ ≤ 4K
f x
x
ωΓ ( , )
. (18)
Vykorystovugçy intehruvannq çastynamy ta monotonnist\ funkcij ωΓ ( f ,
x) , θz x( ) , otrymu[mo
δ
ω
θ
δ
Γ ( , )
( )
f x
x
d xz
d
3
∫ ≤ 2
2
3
δ
ω
θ
δ
Γ ( , )
( )
f t
t
dt d xz
x
xd
∫∫ ≤
≤ 2 2
3
2
δ
θ ω
δ
z
d
x f x
x
dx
( ) ( , )Γ∫ ≤ 8
10
2
Kd
f x
x
x
dx
d ω
δ
Γ ( , )
+
∫ . (19)
Ocinymo intehral (13) (intehral (12) ocing[t\sq analohiçno). Znovu zastoso-
vugçy intehruvannq çastynamy ta monotonnist\ funkcij ωΓ ( , )f x , θz x( ) , pry
umovi 4δ < 1 ≤ 2d ma[mo
ln ( , ) ( )
min ;
x f x d x
d
t
0
4
2
δ
ω θ
{ }
∫ Γ ≤
ω
θ
δ
Γ ( , )
( )
f t
t
dt d x
x
t
1
0
4
2∫∫ ≤
≤
θ ωδ
t x f x
x
dx2
0
4 ( ) ( , )Γ∫ + θ δ
ω
δ
t
f x
x
dx
2
4
4
1
( )
( , )Γ∫ ≤ 8
10
2
K
f x
x
x
dx
d ω
δ
Γ ( , )
+
∫ . (20)
A qkwo 4δ < 2d ≤ 1, to
ln ( , ) ( )
min ;
x f x d x
d
t
0
4
2
δ
ω θ
{ }
∫ Γ ≤
ω
θ
δ
Γ ( , )
( )
f t
t
dt d x
x
d
t
2
0
4
2∫∫ +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10
1434 O. F. HERUS
+ ln ( , ) ( )2
0
4
2
d f x d xtω θ
δ
Γ∫ ≤ 8
10
2
K
f x
x
x
dx
d ω
δ
Γ ( , )
+
∫ +
+ 16 2 42K d fln ( , )δ ω δΓ ≤ c K d
f x
x
x
dx
d
( , )
( , )ω
δ
Γ
10
2
+
∫ . (21)
Ocinymo druhyj dodanok u nerivnosti (14). Nexaj 2δ < 1 < d. Zastosovugçy
intehruvannq çastynamy, oderΩu[mo
ω δ θ
δ
Γ ( , ) ln ( )f x d x
d
t
2
2∫ = ω δ θ θ δ
δ
Γ ( , ) ( ) ( )f
dt
t
d x
dt
t
dt
x
t
xd
2 2
1
112
1
∫ ∫∫∫ +
≤
≤ ( ln ) ( , )2K Kd d f+ ω δΓ ≤ 4 2
10
2
K d d
f x
x
x
dx
d
( ln )
( , )
+
+
∫
ω
δ
Γ . (22)
U vypadku 2δ < d < 1 mirkuvannq analohiçni i maΩoranta mistytyme pered
znakom intehrala lyße mnoΩnyk 8K .
Ocinka (17) vyplyva[ z nerivnostej (10) – (14), (18) – (22).
Naslidok dovedeno.
Poznaçymo
Hµ ( )Γ : = f f O: ( ) : ( , ) ( ),Γ Γ→ = →{ }H C ω δ δ δµ 0 .
Z poperedn\oho naslidku oçevydnym çynom vyplyva[ nastupne tverdΩennq,
vidome qk teorema Plemelq – Pryvalova (u vypadku, koly Γ — kuskovo-lqpu-
novs\ka kryva, dyv. [14]).
Naslidok 2. Nexaj Γ — K-rehulqrna kryva, 0 < µ < 1 i f H∈ µ ( )Γ . Todi
intehral F fα[ ] isnu[ v koΩnij toçci kryvo] Γ i F f Hα µ[ ] ∈ ( )Γ .
1. Zygmund A. Sur le module de continuité de la somme de la série conjuguée de la s’erie de Fourier
// Pr. mat.-fiz. – 1924. – 33. – P. 125 – 132.
2. Mahnaradze L. H. Ob odnom obobwenyy teorem¥ Plemelq – Pryvalova // Soobw. AN HSSR.
– 1947. – 8, # 8. – S. 509 – 516.
3. Mahnaradze L. H. Ob odnom obobwenyy teorem¥ Y. Y. Pryvalova y eho prymenenyy k
nekotor¥m hranyçn¥m zadaçam teoryy funkcyj y k synhulqrn¥m yntehral\n¥m uravnenyqm
// Dokl. AN SSSR. – 1949. – 68, # 4. – S. 657 – 660.
4. Babaev A. A. Ob osobom yntehrale s neprer¥vnoj plotnost\g // Uç. zap. Azerb. un-ta. Ser.
fyz.-mat. y xym. nauk. – 1965. – # 5. – S. 11 – 28.
5. Babaev A. A., Salaev V. V. Odnomern¥j synhulqrn¥j operator s neprer¥vnoj plotnost\g
po zamknutoj kryvoj // Dokl. AN SSSR. – 1973. – 209, # 6. – S. 1257 – 1260.
6. Salaev V. V. Prqm¥e y obratn¥e ocenky dlq osoboho yntehrala Koßy po zamknutoj kryvoj
// Mat. zametky. – 1976. – 19, # 3. – S. 365 – 380.
7. Tamrazov P. M. Ob ohranyçenn¥x holomorfn¥x funkcyqx v kompleksnoj oblasty // 3-j
sæezd bolh. matem. Rezgmeta na dokladyte III konhres na Bolharskyte matematycy, ç. 1. –
Varna, 1972. – S. 186 – 187.
8. Tamrazov P. M. Hladkosty y polynomyal\n¥e pryblyΩenyq. – Kyev: Nauk. dumka, 1975. –
272 s.
9. Herus O. F. Koneçno-raznostn¥e hladkosty yntehralov typa Koßy // Ukr. mat. Ωurn. –
1977. – 29, # 5. – S. 642 – 646.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10
OCINKA MODULQ NEPERERVNOSTI KVATERNIONNOHO SYNHULQRNOHO … 1435
10. Herus O. F. Nekotor¥e ocenky modulej hladkosty yntehralov typa Koßy // Tam Ωe. –
1978. – 30, # 5. – S. 594 – 601.
11. Herus O. F. Ocenka modulq neprer¥vnosty yntehrala typa Koßy v oblasty y na ee hranyce
// Tam Ωe. – 1996. – 48, # 10. – S. 1321 – 1328.
12. Salymov T. S. Prqmaq ocenka dlq synhulqrnoho yntehrala Koßy po zamknutoj kryvoj //
Nauç. trud¥ MV y SSO AzSSR. Ser. fyz.-mat. nauk. – 1979. – # 5. – S. 59 – 75.
13. D¥n\kyn E. M. Hladkost\ yntehralov typa Koßy // Zap. nauç. sem. LOMY. – 1979. – 92. – S.
115 – 133.
14. Gerus O., Schneider B., Shapiro M. On boundary properties of α-hyperholomorphic functions in
domains of R2 with the piece-wise Liapunov boundary // Progress in Analysis: Proc. 3rd Int.
ISAAC Congr., Berlin, Germany, 20 – 25 August 2001. – World Sci., 2003. – P. 375 – 382.
15. Gerus O. F., Shapiro M. V. On a Gauchy-type integral related to the Helmholtz operator in the
plane // Bol. Soc. mat. Mexicana. – 2004. – 10, # 1. – P. 63 – 82.
16. Hradßtejn Y. S., R¥Ωyk Y. M. Tablyc¥ yntehralov, summ, rqdov y proyzvedenyj. – M.:
Fyzmathyz, 1963. – 1100 s.
17. Vladymyrov V. S. Uravnenyq matematyçeskoj fyzyky. – M.: Nauka, 1981. – 512 s.
18. Rocha-Chávez R., Shapiro M. V., Tovar L. M. On the Hilbert operator for α-hyperholomorphic
function theory in R2 // Complex Variables Theory Appl. – 2000. – 43, # 1. – P. 1 – 28.
OderΩano 01.06.10
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-2967 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:33:44Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b0/25e9dd17e012aebc2c60dd5cc264d8b0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29672020-03-18T19:41:19Z An estimate for the modulus of continuity of a quaternion singular Cauchy integral Оцінка модуля неперервності кватерніонного сингулярного інтеграла Коші Gerus, O. F. Герус, О. Ф. We establish an upper bound for the modulus of continuity of a quaternion singular Cauchy integral in terms of the modulus of continuity of the integrand and a metric characteristic of a curve. Установлена верхняя оценка модуля непрерывности кватериионного сингулярного интеграла Коши через модуль непрерывности подынтегральной функции и метрическую харак теристику кривой. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2967 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 10 (2010); 1428–1435 Український математичний журнал; Том 62 № 10 (2010); 1428–1435 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2967/2684 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2967/2685 Copyright (c) 2010 Gerus O. F. |
| spellingShingle | Gerus, O. F. Герус, О. Ф. An estimate for the modulus of continuity of a quaternion singular Cauchy integral |
| title | An estimate for the modulus of continuity of a quaternion singular Cauchy integral |
| title_alt | Оцінка модуля неперервності кватерніонного сингулярного інтеграла Коші |
| title_full | An estimate for the modulus of continuity of a quaternion singular Cauchy integral |
| title_fullStr | An estimate for the modulus of continuity of a quaternion singular Cauchy integral |
| title_full_unstemmed | An estimate for the modulus of continuity of a quaternion singular Cauchy integral |
| title_short | An estimate for the modulus of continuity of a quaternion singular Cauchy integral |
| title_sort | estimate for the modulus of continuity of a quaternion singular cauchy integral |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2967 |
| work_keys_str_mv | AT gerusof anestimateforthemodulusofcontinuityofaquaternionsingularcauchyintegral AT gerusof anestimateforthemodulusofcontinuityofaquaternionsingularcauchyintegral AT gerusof ocínkamodulâneperervnostíkvaterníonnogosingulârnogoíntegralakoší AT gerusof ocínkamodulâneperervnostíkvaterníonnogosingulârnogoíntegralakoší AT gerusof estimateforthemodulusofcontinuityofaquaternionsingularcauchyintegral AT gerusof estimateforthemodulusofcontinuityofaquaternionsingularcauchyintegral |