Regular orthoscalar representations of extended dynkin graphs $\widetilde{E}_6$ and $\widetilde{E}_7$ and *-algebras associatedwith them
We obtain a classification of indecomposable orthoscalar representations of the extended Dynkin graphs $\widetilde{E}_6$ and $\widetilde{E}_7$ with a special character and of the *-algebras associated with them, up to the unitary equivalence.
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2971 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508981255995392 |
|---|---|
| author | Livins'kyi, I. V. Лівінський, І. В. |
| author_facet | Livins'kyi, I. V. Лівінський, І. В. |
| author_sort | Livins'kyi, I. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:41:38Z |
| description | We obtain a classification of indecomposable orthoscalar representations of the extended Dynkin graphs $\widetilde{E}_6$ and $\widetilde{E}_7$ with a special character and of the *-algebras associated with them, up to the unitary equivalence. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:33:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 513.88
I. В. Лiвiнський (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ
РОЗШИРЕНИХ ГРАФIВ ДИНКIНА Ẽ6 I Ẽ7 ТА ∗-АЛГЕБР,
АСОЦIЙОВАНИХ З НИМИ
We obtain a classification of regular orthoscalar representations of the extended Dynkin graphs Ẽ6 and Ẽ7
with special character and of ∗-algebras associated with them up to the unitary equivalence.
Получена классификация неразложимых ортоскалярных представлений расширенных графов Дынкина
Ẽ6 и Ẽ7 со специальным характером и ∗-алгебр, ассоциированных с ними, с точностью до унитарной
эквивалентности.
1. Вступ. Ця робота є продовженням роботи [1], позначення i методи з якої ми
в подальшому використовуємо. В [1] одержано класифiкацiю регулярних ортоска-
лярних зображень розширеного графа Динкiна Ẽ8 зi спецiальним характером δẼ8
,
з її допомогою описано трiйки операторiв A, B, C, спектри яких мiстяться у мно-
жинах {0, 1, 2, 3, 4, 5}, {0, 2, 4}, {0, 3} вiдповiдно i для яких A+B + C = 6I, або,
в iнших термiнах, ∗-зображення алгебри A(δẼ8
). Класифiкацiю нерозкладних ∗-
зображень алгебр, що асоцiйованi з розширеними графами Динкiна D̃4, Ẽ6, Ẽ7,
алгебр A(δD̃4
), A(δẼ6
), A(δẼ7
) наведено в [2 – 4].
Використавши результати роботи [5], ми одержимо класифiкацiю нерозкладних
ортоскалярних зображень графiв Ẽ6 i Ẽ7 зi спецiальними характерами δẼ6
i δẼ7
вiдповiдно i, як наслiдок, iншими методами, результати робiт [3, 4].
2. Регулярнi ортоскалярнi зображення графа Ẽ6 i асоцiйованої з ним ∗-
алгебри A(δẼ6
). Ортоскалярнi ∗-зображення графа Ẽ6 збiгаються (див. [5]) з
∗-зображеннями колчана QẼ6
UDC 513.88
I. В. Лiвiнський (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ
РОЗШИРЕНИХ ГРАФIВ ДИНКIНА Ẽ6 I Ẽ7 ТА ∗-АЛГЕБР
АСОЦIЙОВАНИХ З НИМИ
Classification of regular orthoscalar representations of extended Dynkin graphs eE6 and eE7 with special
character and of ∗-algebras associated with them is obtained.
Одержано класифiкацiю нерозкладних ортоскалярних зображень розширених графiв Динкiна eE6 i eE7
зi спецальним характером та ∗-алгебр асоцiйованих з ними з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi.
1. Вступ. Ця робота є продовженням роботи [1], позначення i методи з якої ми
в подальшому використовуємо. В [1] одержано класифiкацiю регулярних ортоска-
лярних зображень розширеного графа Динкiна Ẽ8 зi спецiальним характером δ eE8
,
з її допомогою описано трiйки операторiв A, B, C, спектри яких мiстяться у мно-
жинах {0, 1, 2, 3, 4, 5}, {0, 2, 4}, {0, 3} вiдповiдно, i для яких A + B + C = 6I,
або, в iнших термiнах, ∗-зображення алгебри A(δ eE8
). Класифiкацiя нерозкладних
∗-зображень алгебр, що асоцiйованi з розширеними графами Динкiна D̃4, Ẽ6, Ẽ7,
алгебр A(δ eD4
), A(δ eE6
), A(δ eE7
) проведена в [2 – 4].
Спираючись на результати роботи [5], ми одержимо класифiкацiю нерозкладних
ортоскалярних зображень графiв Ẽ6 i Ẽ7 зi спецiальними характерами δ eE6
i δ eE7
вiдповiдно i, як наслiдок, iншими методами, результати робiт [3, 4].
2. Регулярнi ортоскалярнi зображення графа Ẽ6 i асоцiйованої з ним ∗-
алгебри A(δ eE6
). ∗-зображення графа Ẽ6 спiвпадають (див. [5]) з ∗-зображеннями
колчана Q eE6
УДК 513.88
I.В. Лiвiнський (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
РЕГУЛЯРНIОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗШИРЕ-
НИХ ГРАФIВ ДИНКIНА Ẽ6 I Ẽ7, ТА ∗-АЛГЕБР АСОЦIЙОВА-
НИХ З НИМИ
REGULAR ORTHOSCALAR REPRESENTATIONS OF EXTENDED
DYNKIN GRAPHS Ẽ6 AND Ẽ7 AND OF ∗-ALGEBRAS ASSOCI-
ATED WITH THEM
Анотацiя
Classification of regular orthoscalar representations of extended Dynkin graphs Ẽ6
and Ẽ7 with special character and of ∗-algebras associated with them is obtained.
Одержано класифiкацiю нерозкладних ортоскалярних зображень розширених
графiв Динкiна Ẽ6 i Ẽ7 зi спецальним характером та ∗-алгебр асоцiйованих з ними
з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi.
Получено классификацию неразложимых ортоскалярных представлений ра-
сширенных графов Дынкина Ẽ6 и Ẽ7 со специальным характером и ∗-алгебр ас-
социированных с ними с точностью до унитарной эквивалентности.
1. Вступ. Ця робота є продовженням роботи [1], позначення i методи з якої ми
в подальшому використовуємо. В [1] одержано класифiкацiю регулярних ортоскаляр-
них зображень розширеного графа Динкiна Ẽ8 зi спецiальним характером δẼ8
, з її
допомогою описано трiйки операторiв A, B, C, спектри яких мiстяться у множинах
{0, 1, 2, 3, 4, 5}, {0, 2, 4}, {0, 3} вiдповiдно, i для яких A+B +C = 6I, або, в iнших термi-
нах, ∗-зображення алгебри A(δẼ8
). Класифiкацiя нерозкладних ∗-зображень алгебр, що
асоцiйованi з розширеними графами Динкiна D̃4, Ẽ6, Ẽ7, алгебр A(δD̃4
), A(δẼ6
), A(δẼ7
)
проведена в [2]-[4].
Спираючись на результати роботи [5], ми одержимо класифiкацiю нерозкладних ор-
тоскалярних зображень графiв Ẽ6 i Ẽ7 зi спецiальними характерами δẼ6
i δẼ7
вiдповiдно
i, як наслiдок, iншими методами, результати робiт [3]-[4].
2. Регулярнi ортоскалярнi зображення графа Ẽ6 i асоцiйованої з ним ∗-
алгебри A(δẼ6
). ∗-зображення графа Ẽ6 спiвпадають (див. [5]) з ∗-зображеннями кол-
чана QẼ6
! " ! " !
"
!
! !" "
#
$
a1 a2 z b2 b1
c2
c1
(1)
Знайдемо всi його регулярнi нерозкладнi зображення в категорiї гiльбертових про-
сторiв.
Спочатку знайдемо розмiрностi, в яких iснують регулярнi нерозкладнi зображен-
ня. Мiнiмальний уявний додатний корiнь для Ẽ6 є δẼ6
=
1
2
1 2 3 2 1
(координати
вектора δẼ6
розташовано у вiдповiдностi з вершинами на рисунку (1)).
1
(1)
r b r b r
b
r
- -� �
6
?
a1 a2 z b2 b1
c2
c1
(1)
Знайдемо всi його регулярнi нерозкладнi зображення в категорiї гiльбертових про-
сторiв.
c© I. В. ЛIВIНСЬКИЙ, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1
(1)
Знайдемо всi його регулярнi нерозкладнi зображення в категорiї гiльбертових про-
сторiв.
Спочатку знайдемо розмiрностi, в яких iснують регулярнi нерозкладнi зображен-
ня. Мiнiмальний уявний додатний корiнь для Ẽ6 є δẼ6
=
1
2
1 2 3 2 1
(координати вектора δẼ6
розташовано у вiдповiдностi з вершинами графа в (1)).
Форма Тiтса для QẼ6
має вигляд
q(x) = x2a1 + x2a2 + x2b1 + x2b2 + x2c1 + x2c2 + x2z−
−xa1xa2 − xa2xz − xb1xb2 − xb2xz − xc1xc2 − xc2xz,
лiнiйна форма
c© I. В. ЛIВIНСЬКИЙ, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1459
1460 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
LẼ6
(x) = xa1 + xb1 + xc1 + 3xz − 2xa2 − 2xb2 − 2xc2 .
Крiм розмiрностi δẼ6
(уявний корiнь графа), всi iншi розмiрностi d нерозклад-
них регулярних зображень є дiйсними коренями графа i задовольняють (див. [5])
систему
q(d) = 1,
LẼ6
(d) = 0, (2)
d ≤ δẼ6
.
Систему (2) можна розв’язати безпосереднiм перебором. Розв’язки наведено у таб-
лицi.
χ d(1) d(2) d(3) d(4) d(5) d(6) d(7) d(8) d(9) d(10) d(11) d(12) d(13) d(14)
a1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1
a2 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
b1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1
b2 1 1 0 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 1
c1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0
c2 1 0 1 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1 1
z 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
Використовуючи вiдбиття Кокстера (див. [1]), можна вiдсiяти тi розмiрнос-
тi з таблицi, яким вiдповiдають розкладнi зображення. Залишаються (крiм δẼ6
)
розмiрностi d(1) – d(8).
Зображення колчана QẼ6
задається блочною матрицею T, рядки якої зануме-
ровано непарними вершинами c1, b1, a1, z, а стовпчики — парними вершинами в
порядку a2, b2, c2. Таким чином,
T =
0 0 C1
0 B1 0
A1 0 0
A2 B2 C2
,
де A1 = Ta1,a2 , B1 = Tb1,b2 , C1 = Tc1,c2 , A2 = Tz,a2 , B2 = Tz,b2 , C2 = Tz,c2 .
Ортоскалярнiсть зображення T з характером δẼ6
означає, що виконуються спiввiд-
ношення
c1) A1A
∗
1 = Ia1 , c4) A2A
∗
2 +B2B
∗
2 + C2C
∗
2 = 3Iz,
c2) B1B
∗
1 = Ib1 , c5) A∗
1A1 +A∗
2A2 = 2Ia2 ,
c3) C1C
∗
1 = Ic1 , c6) B∗
1B1 +B∗
2B2 = 2Ib2 ,
c7) C∗
1C1 + C∗
2C2 = 2Ic2 .
(3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗШИРЕНИХ ГРАФIВ ДИНКIНА Ẽ6 I Ẽ7 . . . 1461
Перш нiж, використавши спiввiдношення (3), обчислити матричнi елементи
зображення T (у фiксованiй розмiрностi), зведемо зображення припустимими унi-
тарними перетвореннями (T̃ij = UiTijV
∗
j ) до деякого „канонiчного” вигляду.
Нам буде зручно розглядати деякi „iдеальнi” матрицi: J0,n — „порожня” матриця
з нульовою кiлькiстю рядкiв i n стовпцями, Jn,0 — „порожня” матриця з нульовою
кiлькiстю стовпцiв i з n рядками (див. [1]). Для них Jm,0 ⊕ J0,n = 0m×n, Jm,0 ·
·J0,n = 0m×n. Матриця Jn,0 (J0,n) є матрицею лiнiйного вiдображення з нульового
(вiдповiдно, n-вимiрного простору) в n-вимiрний (вiдповiдно, нульовий) простiр.
Теорема 1. Нерозкладнi зображення розширеного графа Динкiна Ẽ6 з ха-
рактером δẼ6
з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi збiгаються з одним iз
зображень
T (1) =
0 0 1
0 J0,1 0
J0,0 0 0
J1,0
√
2 1
, T (2) =
0 0 J0,0
0 1 0
J0,1 0 0
√
2 1 J1,0
,
T (3) =
0 0 J0,1
0 J0,0 0
1 0 0
1 J1,0
√
2
, T (4) =
0 0 J0,1
0 1 0
J0,0 0 0
J1,0 1
√
2
,
T (5) =
0 0 1
0 J0,0 0
J0,1 0 0
√
2 J1,0 1
, T (6) =
0 0 J0,0
0 J0,1 0
1 0 0
1
√
2 J1,0
,
T (7) =
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
, T (8) =
0 0 J0,1
0 J0,1 0
J0,1 0 0
√
2 −
√
1
2
√
1
2
0
√
3
2
√
3
2
,
T
(9)
t,p,ε з наступними блоками A(9)
i , B
(9)
i , C
(9)
i :
A
(9)
1
A
(9)
2
=
1 0
1 0
0 1
0 1
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
1462 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
B
(9)
1
B
(9)
2
=
√
(2− t)(1− p) −√t+ 2p− tp− 1
√
t 0
√
(2− t)p
√
1− p
p
(t+ 2p− tp− 1)
0 −
√
1
p
(1− t+ tp)eiεθ
,
C
(9)
1
C
(9)
2
=
√
t(1− p) √
1− t+ tp
√
2− t 0
−√tp
√
1− p
p
(1− t+ tp)
0 −
√
1
p
(t+ 2p− tp− 1)e−iεθ
,
де
cos θ =
p
2
√
(t+ 2p− tp− 1)(1− t+ tp)(1− p)
, (4)
ε = 0, якщо cos θ = 1, i ε = ±1 в iнших випадках.
Доведення. Зображення T (1) –T (7) знаходять безпосередньо, розв’язуючи сис-
тему (3). Зображення T (8) припустимими перетвореннями спочатку зводиться до
„канонiчного” вигляду (позначення, пов’язанi з процесом зведення, див. в [1, 5])
T (8) =
0 0 J0,1
0 J0,1 0
J0,1 0 0
a+41 a−42 a+43
0 a+52 a+53
.
Для T (9) „канонiчний” вигляд є таким:
T (9) =
0 0 0 0 a+15 a+16
0 0 a+23 a−24 0 0
a+31 01 0 0 0 0
a+41
−→
0 3 a+43 02 a+45 02
0|2 a+52 a+53 a+54 a−55 a+56
0|2 a+62 0|3 ac64 0↓4 ac66
.
Матричнi елементи знаходять послiдовно з системи (3).
Теорему доведено.
Нехай A = A(δẼ6
) — ∗-алгебра, асоцiйована з графом Ẽ6:
A(δẼ6
) = C
〈
a, b, c|a = a∗, b = b∗, c = c∗, a(a− e)(a− 2e) = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗШИРЕНИХ ГРАФIВ ДИНКIНА Ẽ6 I Ẽ7 . . . 1463
b(b− e)(b− 2e) = 0, c(c− e)(c− 2e) = 0, a+ b+ c = 6e
〉
.
Позначимо через Rep(A, δẼ6
) категорiю скiнченновимiрних ∗-зображень ∗-алгебри
A(δẼ6
). Rep(QẼ6
, δẼ6
) — категорiя ортоскалярних зображень колчана QẼ6
з фiк-
сованим характером δẼ6
. Як i в роботi [1], побудуємо функтор Ψ: Rep(QẼ6
, δẼ6
)→
→ Rep(A, δẼ6
) таким чином. Якщо T ∈ Rep(QẼ6
, δẼ6
), покладемо A = Tz,a2T
∗
z,a2 ,
B = Tz,b2T
∗
z,b2
, C = Tz,c2T
∗
z,c2 , π = (π(a), π(b), π(c)) = (A,B,C) — зображення
алгебри A, Ψ(T ) = π.
Лема 1 [1]. Функтор Ψ є функтором еквiвалентностi категорiй Rep(QẼ6
,
δẼ6
) i Rep(A, δẼ6
).
Як наслiдок, з теореми 1 i леми 1 отримуємо наступне твердження.
Теорема 2. Незвiднi зображення алгебри A(δẼ6
), пов’язаної з розширеним
графом Динкiна Ẽ6, з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi збiгаються iз одним
iз наступних попарно нееквiвалентних зображень π(1) –π(9) (далi будемо вважати
π(i)(a) = A(i), π(i)(b) = B(i), π(i)(c) = C(i), i ∈ 1, 9):
A(1) = 0, B(1) = 2, C(1) = 1,
A(2) = 2, B(2) = 1, C(2) = 0,
A(3) = 1, B(3) = 0, C(3) = 2,
A(4) = 0, B(4) = 1, C(4) = 2,
A(5) = 2, B(5) = 0, C(5) = 1,
A(6) = 1, B(6) = 2, C(6) = 0,
A(7) = 1, B(7) = 1, C(7) = 1,
A(8) =
(
2 0
0 0
)
, B(8) =
1
2
−
√
3
2
−
√
3
2
3
2
,
C(8) =
1
2
√
3
2√
3
2
3
2
, A
(9)
t,p,ε =
1 0 0
0 1 1
0 1 1
,
B
(9)
t,p,ε =
t
√
tp(2− t) 0
√
tp(2− t) 1
p
(t+ 3p− 2tp− 1) −1
p
√
qe−iεθ
0 −1
p
√
qeiεθ
1
p
(1− t+ tp)
,
C
(9)
t,p,ε =
2− t −
√
tp(2− t) 0
−
√
tp(2− t) 1
p
(1− t− p+ 2tp) −1
p
√
qeiεθ
0 −1
p
√
qe−iεθ
1
p
(t+ 2p− tp− 1)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
1464 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
де q = (1− t+ tp)(t+ 2p− tp− 1)(1− p), cos θ = p/2
√
q, ε = 0, якщо cos θ = 1, i
ε = ±1 в iнших випадках.
Тепер вкажемо область змiни незалежних параметрiв t i p. З невiд’ємностi
значень в пiдкореневих виразах отримуємо нерiвностi 0 ≤ t ≤ 2, 0 ≤ p ≤ 1,
1 − t + tp ≥ 0, t + 2p − tp − 1 ≥ 0. Для iснування дiйсного числа θ маємо
нерiвнiсть p2 ≤ 4(t + 2p − tp − 1)(1 − t + tp)(1 − p). Розв’язуючи цю систему
нерiвностей, отримуємо, що p ∈
[
0,
3
4
]
, i при фiксованому p маємо t ∈ [ap, bp], де
ap = 1− 1
2
√
4p3 − 3p2
(1− p)3 , bp = 1 +
1
2
√
4p3 − 3p2
(1− p)3 . При t = ap, або t = bp з формули
(4) маємо cos θ = 1, i зображення реалiзується в дiйсних числах.
При t = 0 отримуємо p =
2
3
, iз зображення прямим доданком видiляється
зображення T (3) (a15 = 0, a43 = 0, a55 = 0), а його доповнення розкладається в
суму зображень T (1) i T (2). Аналогiчно, при t = 2 маємо p =
2
3
, iз зображення
прямим доданком видiляється T (6) (a23 = 0, a45 = 0, a53 = 0), а його доповнення
розкладається в суму зображень T (4) i T (5).
З p = 0 випливає t = 1. При цьому a16 = 0, a24 = 0, a53 = 0, a55 = 0.
Зображення в цьому випадку розкладається в пряму суму зображень T (7) та T (8).
Для iнших припустимих пар незвiднiсть перевiряється безпосередньо. У ви-
падку, коли 0 < p <
3
4
i ap < t < bp, парi (p, t) вiдповiдає два нерозкладних
зображення, одне з яких отримується з iншого замiною eiθ на e−iθ i навпаки.
Нехай
M =
{
(p, t, ε)
∣∣∣∣ 0 < p ≤ 3
4
, ap ≤ t ≤ bp, ε = 0 при t = ap, або t = bp,
ε = ±1 при ap < t < bp, (p, t, ε) 6=
(
2
3
, 0, 0
)
,
(
2
3
, 2, 0
)}
.
Проекцiя множини M на площину (p, t) має вигляд
0
1
t
0
1
t
(1)
Теорема 3. Нерозкладнi зображення T
(9)
p,t,ε (π
(9)
t,p,ε) колчана QẼ6
(алгебри
A(δẼ6
)) параметризуються точками множини M (рiзним точкам вiдповiдають
унiтарно нееквiвалентнi зображення). При (p, t, ε) = (0, 1, 0) зображення T (9)
p,t,ε
(π
(9)
p,t,ε) розкладається в пряму суму зображень T (7) i T (8) (π(7) i π(8)), при
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗШИРЕНИХ ГРАФIВ ДИНКIНА Ẽ6 I Ẽ7 . . . 1465
(p, t, ε) =
(
2
3
, 0, 0
)
— в пряму суму зображень T (1) − T (3) (π(1) –π(3)), а при
(p, t, ε) =
(
2
3
, 2, 0
)
— в пряму суму зображень T (4) − T (6) (π(4) –π(6)).
3. Регулярнi ортоскалярнi зображення графа Ẽ7 i асоцiйованої з ним ∗-
алгебри A(δẼ7
). Для колчана QẼ7
0
2
3
3
4
p
t
2
1
Теорема 3. Нерозкладнi зображення T
(9)
p,t,ε (π(9)
t,p,ε) колчана QẼ6
(алгебри A(δẼ6
)) пара-
метризуються точками множини M (рiзним точкам вiдповiдають унiтарнонееквi-
валентнi зображення). При (p, t, ε) = (0, 1, 0) зображення T
(9)
p,t,ε (π(9)
p,t,ε) розкладається
в пряму суму зображень T (7) i T (8) (π(7) i π(8)); при (p, t, ε) =
(
2
3
, 0, 0
)
в пряму суму
зображень T (1) − T (3) (π(1) − π(3)); при (p, t, ε) =
(
2
3
, 2, 0
)
зображення розкладається в
пряму суму зображень T (4) − T (6) (π(4) − π(6)).
3. Регулярнi ортоскалярнi зображення графа Ẽ7 i асоцiйованої з ним ∗-
алгебри A(δẼ7
). Для колчана QẼ7
" ! " ! " ! "
"
! ! !" " "$
a1 a2 a3 z b3 b2 b1
c
(5)
форма Тiтса має вигляд
q(x) = x2
a1
+x2
a2
+x2
a3
+x2
b1+x2
b2+x2
b3+x2
z−xa1xa2−xa2xa3−xa3xz−xb1xb2−xb2xb3−xb3xz−xcxz ,
i лiнiйна форма LẼ7
(x) = 2xa1 + 2xb1 + 4xz − xa1 − 3xa3 − xb1 − 3xb3 − 2xc. Мiнiмальний
додатний уявний корiнь δẼ7
=
2
1 2 3 4 3 2 1
. Нерозкладнi регулярнi зображен-
ня iснують у розмiрностi, що спiвпадає з цим коренем, а також у розмiрностях, що є
розв’язками системи
q(d) = 1
LẼ7
(d) = 0
d ≤ δẼ7
(6)
Розв’язки системи наведено в наступнiй таблицi
6
(5)
форма Тiтса має вигляд
q(x) = x2a1 + x2a2 + x2a3 + x2b1 + x2b2 + x2b3 + x2z−
−xa1xa2 − xa2xa3 − xa3xz − xb1xb2 − xb2xb3 − xb3xz − xcxz
i лiнiйна форма LẼ7
(x) = 2xa1 +2xb1 +4xz−xa1−3xa3−xb1−3xb3−2xc.Мiнiмаль-
ний додатний уявний корiнь δẼ7
=
2
1 2 3 4 3 2 1
. Нерозкладнi
регулярнi зображення iснують у розмiрностi, що збiгається з цим коренем, а також
у розмiрностях, що є розв’язками системи
q(d) = 1,
LẼ7
(d) = 0, (6)
d ≤ δẼ7
.
Розв’язки системи наведено в наступнiй таблицi.
χ d(1) d(2) d(3) d(4) d(5) d(6) d(7) d(8) d(9) d(10)
a1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0
a2 0 0 1 1 1 1 0 0 2 1
a3 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2
b1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1
b2 1 1 0 0 1 1 0 2 0 1
b3 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1
c 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1
z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
1466 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
χ d(11) d(12) d(13) d(14) d(15) d(16) d(17) d(18) d(19) d(20)
a1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1
a2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2
a3 1 2 1 2 2 2 2 2 2 3
b1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0
b2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1
b3 2 1 2 2 2 3 2 2 2 2
c 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1
z 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
Як i в п. 2, частина розмiрностей вiдсiюється, оскiльки в цих розмiрностях орто-
скалярнi зображення є розкладними. Залишаються розмiрностi d(1) – d(9).
Зображення колчана задається блочною матрицею
T =
A11 A12 0 0 0
0 A22 A23 A24 0
0 0 0 A34 A35
,
де A11 = Ta2,a1 , A12 = Ta2,a3 , A22 = Ta3,z, A23 = Tc,z, A24 = Tz,b3 , A34 =
= Tb2,b3 , A35 = Tb2,b1 . Ортоскалярнiсть зображення з характером δẼ7
означає, що
виконуються спiввiдношення
c1) A∗
11A11 = Ia1 , c5) A∗
23A23 = 2Ic,
c2) A11A
∗
11 +A12A
∗
12 = 2Ia2 , c6) A∗
24A24 +A∗
34A34 = 3Ib3 ,
c3) A∗
12A12 +A∗
22A22 = 3Ia3 , c7) A34A
∗
34 +A35A
∗
35 = 2Ib2 ,
c4) A22A
∗
22 +A23A
∗
23 +A24A
∗
24 = 4Iz, c8) A∗
35A35 = Ib1 .
(7)
Теорема 4. Нерозкладнi зображення розширеного графа Динкiна Ẽ7 з ха-
рактером δẼ7
з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi збiгаються з одним iз
зображень
T (1) =
J0,0 J0,0 0 0 0
0 J1,0
√
2
√
2 0
0 0 0 1 1
,
T (2) =
J0,0 J0,1 0 0 0
0
√
3 J1,0 1 0
0 0 0
√
2 J1,0
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗШИРЕНИХ ГРАФIВ ДИНКIНА Ẽ6 I Ẽ7 . . . 1467
T (3) =
J1,0
√
2 0 0 0
0 1 J1,0
√
3 0
0 0 0 J0,1 J0,0
,
T (4) =
1 1 0 0 0
0
√
2
√
2 J1,0 0
0 0 0 J0,0 J0,0
,
T (5) =
J1,0
√
2 0 0 0
0 1
√
2 1 0
0 0 0
√
2 J1,0
,
T (6) =
1 1 0 0 0
0
√
2 J1,0
√
2 0
0 0 0 1 1
,
T (7) =
J0,0 J0,1 0 0 0
0 0
√
4/3
√
8/3 0
0
√
3 −
√
2/3
√
1/3 0
0 0 0 J0,1 J0,0
,
T (8) =
J1,0
√
2 0 0 0 0
0 1 0 −
√
3/2
√
3/2 0
0 0
√
3
√
1/2
√
1/2 0
0 0 0 0 1 1
,
T (9) =
1 1 0 0 0
0
√
1/2
√
1/2
√
3 0 0
0
√
3/2 −
√
3/2 0 1 0
0 0 0 0
√
2 J1,0
,
T
(10)
t,p,ε з наступними блоками A(10)
ij :
A
(10)
11 A
(10)
12 0
0 A
(10)
22 A
(10)
23
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
1468 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
=
1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0
√
2 0 0
√
t 0
0 0
√
2− p 0 −
√
2− t 0
0 0 −√p
√
1
p
0
√
2− 2− tp2
p(2− p)
0 0 0
√
2− 1
p
0
√
2− tp2
p(2− p)e
iεθ1
,
A
(10)
24 A
(10)
25
0 A
(10)
35
=
√
2− t 0 0 0
√
t
√
p 0 0
0
√
2− p
√
1− tp
2− p 0
0 0 −
√
2− 1− tp
2− p e
iεθ2 0
1 −√tp 0
√
1− tp
0
√
1− tp −1
√
tp
.
Якщо позначити x =
2− tp2
p(2− p) , y =
1− tp
2− p , то ε = 0 при x = 2, або y = 0, а
при 0 < x < 2 i 0 < y < 2 ε = ±1 i
cos θ1 = −
√
(x− y)(2− x)
x(2− x+ y)
,
cos θ2 =
√
y(x− y)
(2− y)(2− x+ y)
,
(8)
t i p — незалежнi параметри (рiзним припустимим трiйкам (p, t, ε) вiдповiдають
унiтарно нееквiвалентнi зображення).
Доведення. Зображення T (1) –T (6) знаходять безпосередньо з системи (6). Зо-
брaження T (7) –T (9) спочатку зводять до „канонiчного” вигляду
T (7) =
J0,0 J0,1 0 0 0
0 0 a−23 a+24 0
0 a+32 a−33 a+34 0
0 0 0 J0,1 J0,0
,
T (8) =
J1,0 a+12 0 0 0 0
0 a+22 0 a−24 a+25 0
0 0 a+33 a+34 a+35 0
0 0 0 0 a+45 a+55
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗШИРЕНИХ ГРАФIВ ДИНКIНА Ẽ6 I Ẽ7 . . . 1469
T (9) =
a+11 a+12 0 0 0
0 a+22 a+23 a+24 0 0
0 a+32 a−33 0 a+35 0
0 0 0 0 a+45 J1,0
,
а потiм матричнi елементи знаходять iз системи. Для зображення T (10) „канонiч-
ний” вигляд є таким:
T (10) =
=
a+11 a+12
−→
0 10
−→
0 10 0 0 0 0 0 0
0↓11 0|9 a+23 a+24 0 0 0 0 0 0
0 a+32 0|1 0|1 a+35 02 a+37 02 02 0
0 0|1 a+43 06 a−45
−→
0 5 a+47 a+48 06 0
0 0|1 a−53 a+54 0↓4 a>0
56 0|3 a+58 a>0
59 0
0 0|1 0↓8 a+64 0↓4 ac66 0|3 0|7 ac69 0
0 0 0 0 0 0 a+77 a−78
−→
0 10 a+7,10
0 0 0 0 0 0 0|9 a+88 a−89 a+8,10
.
Елементи ac66 i ac69 — комплекснi числа. Позначаючи a+35 =
√
t, a+48 =
√
p,
послiдовно знаходимо всi iншi матричнi елементи з системи (7). Нерозкладнiсть
отриманих зображень перевiряється безпосередньо.
Формули (7) отримують з умови ортогональностi 5- i 6-го рядкiв матрицi T (10):
√
(2− x+ y)(x− y) +
√
(2− x)xeiθ1 −
√
(2− y)yeiθ2 = 0.
Теорему доведено.
Тепер розглянемо алгебру A(δẼ7
), асоцiйовану з графом Ẽ7, i побудуємо всi її
нерозкладнi зображення
A(δẼ7
) = C
〈
a, b, c|a = a∗, b = b∗, c = c∗, a(a− e)(a− 2e)(a− 3e) = 0,
b(b− e)(b− 2e)(b− 3e) = 0, c(c− 2e) = 0, a+ b+ c = 4e
〉
,
Rep(A, δẼ7
) — категорiя скiнченновимiрних ∗-зображень ∗-алгебри A(δẼ7
). Ана-
логiчно тому, як це було зроблено в роботi [1], i для алгебри A(δẼ6
) будуємо
функтор Ψ: Rep(QẼ7
, δẼ7
) → Rep(A, δẼ7
). Якщо T ∈ Rep(QẼ7
, δẼ7
), покладемо
A = Tz,a3T
∗
z,a3 , B = Tz,b3T
∗
z,b3
, C = Tz,cT
∗
z,c, π = (π(a), π(b), π(c)) = (A,B,C) —
зображення алгебри A, Ψ(T ) = π.
Лема 2 [1]. Функтор Ψ є функтором еквiвалентностi категорiй Rep(QẼ7
,
δẼ7
) i Rep(A, δẼ7
).
Як наслiдок, з теореми 4 i леми 2 отримуємо наступне твердження.
Теорема 5. Незвiднi ортоскалярнi зображення алгебри A(δẼ7
), пов’язаної з
розширеним графом Динкiна Ẽ7, з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi збiга-
ються з одним iз наступних попарно нееквiвалентних зображень π(1) –π(10) (далi
будемо вважати π(i)(a) = A(i), π(i)(b) = B(i), π(i)(c) = C(i), i ∈ 1, 10) :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
1470 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
A(1) = 0, B(1) = 2, C(1) = 2,
A(2) = 3, B(2) = 1, C(2) = 0,
A(3) = 1, B(3) = 3, C(3) = 0,
A(4) = 2, B(4) = 0, C(4) = 2,
A(5) = 1, B(5) = 1, C(5) = 2,
A(6) = 2, B(6) = 2, C(6) = 0,
A(7) =
(
0 0
0 3
)
, B(7) =
4
3
−2
√
2
3
− 2
√
2
3
2
3
, C(7) =
8
3
2
√
2
3
2
√
2
3
1
3
,
A(8) =
(
1 0
0 3
)
, B(8) =
3
2
√
3
2√
3
2
1
2
, C(8) =
3
2
−
√
3
2
−
√
3
2
1
2
,
A(9) =
1
2
√
3
2√
3
2
3
2
, B(9) =
(
3 0
0 1
)
, C(9) =
1
2
−
√
3
2
−
√
3
2
3
2
,
A
(10)
t,p,ε =
2 0 0 0
0 2− p −
√
p(2− p) 0
0 −
√
p(2− p) p+
1
p
√
1
p
(
2− 1
p
)
0 0
√
1
p
(
2− 1
p
)
2− 1
p
,
B
(10)
t,p,ε =
=
2− t
√
t(2− t) 0 0
√
t(2− t) t+ p
√
p(2− p) 0
0
√
p(2− p) 2− p+ y
√
y(2− y)e−iεθ2
0 0
√
y(2− y)eiεθ2 2− y
,
C
(10)
t,p,ε =
t −
√
t(2− t) 0 0
−
√
t(2− t) 2− t 0 0
0 0 2− x
√
x(2− x)e−iεθ1
0 0
√
x(2− x)eiεθ1 x
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
РЕГУЛЯРНI ОРТОСКАЛЯРНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗШИРЕНИХ ГРАФIВ ДИНКIНА Ẽ6 I Ẽ7 . . . 1471
де x =
2− tp2
p(2− p) , y =
1− tp
2− p , ε = 0 при x = 2, або y = 2, а при 0 < x < 2 i
0 < y < 2 ε = ±1 i
cos θ1 = −
√
(x− y)(2− x)
x(2− x+ y)
,
cos θ2 =
√
y(x− y)
(2− y)(2− x+ y)
,
t i p — незалежнi параметри (рiзним припустимим трiйкам (p, t, ε) вiдповiдають
унiтарно нееквiвалентнi зображення).
Тепер вкажемо область змiни незалежних параметрiв t i p. З невiд’ємностi пiд-
кореневих виразiв у формулах для матричних елементiв зображення легко отриму-
ємо, що p ∈
[
1
2
, 2
]
, i при фiксованому p значення t ∈ [ap, bp], де ap = 2
(
1− 1
p
)2
,
bp =
1
p
.
При t = ap
a>0
56 =
√
2− 2− tp2
p(2− p) = 0, x =
2− tp2
p(2− p) = 2,
i з формул (8) випливає sin θ1 = sin θ2 = 0. При t = bp маємо a>0
59 =
√
1− tp
2− p =
=
√
y = 0 i також sin θ1 = sin θ2 = 0. Таким чином, у цих двох випадках зображе-
ння реалiзуються в дiйсних числах.
При t = 0 iз зображення прямим доданком видiляється зображення T (7) (a35 =
= 0, a47 = 0, a78 = 0, a8,10 = 0), його доповнення розкладається в пряму суму
зображень T (5) i T (6).
З p =
1
2
випливає t = 2, i в цьому випадку a45 = 0, a37 = 0, a64 = 0 i
зображення розкладається в суму зображень T (1) — T (4). З p = 2 випливає, що
t =
1
2
, i в цьому випадку a43 = 0, a58 = 0, a59 = 0, a7,10 = 0, a88 = 0, а
зображення розкладається в пряму суму зображень T (8) i T (9).
Для iнших припустимих пар безпосередньо перевiряється їх незвiднiсть. Заува-
жимо, що при
1
2
< p < 2, ap < t < bp парi (p, t) вiдповiдають два нерозкладних
зображення, одне з яких отримується з iншого замiною eiθ1 та eiθ2 на комплексно
спряженi числа e−iθ1 , e−iθ2 .
Нехай
M =
{
(p, t, ε)
∣∣∣∣
1
2
< p < 2, ap ≤ t ≤ bp, ε = 0 при t = ap, або t = bp,
ε = ±1 при ap < t < bp, (p, t, ε) 6= (1, 0, 0)
}
,
(
ap = 2
(
1− 1
p
)2
, bp =
1
p
)
. Проекцiя множини M на площину (p, t) має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
1472 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
t
0
1
t
0
1
t
14 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
Для iнших припустимих пар безпосередньо перевiряється їх незвiднiсть. Заува-
жимо, що при
1
2
< p < 2, ap < t < bp парi (p, t) вiдповiдають два нерозкладних
зображення, одне з яких отримується з iншого замiною eiθ1 та eiθ2 на комплексно
спряженi числа e−iθ1 , e−iθ2 .
Нехай
M =
(p, t, ε)
1
2
< p < 2, ap ≤ t ≤ bp, ε = 0 при t = ap, або t = bp,
ε = ±1 при ap < t < bp, (p, t, ε) = (1, 0, 0)
,
ap = 2
1− 1
p
2
, bp =
1
p
. Проекцiя множини M на площину (p, t) має вигляд:
0
1 21
2
p
t
1
2
Теорема 6. Нерозкладнi зображення T
(10)
t,p,ε
�
π
(10)
t,p,ε
колчана Q eE7
(алгебри
A(δ eE7
)) параметризуються точками множини M (рiзним точкам вiдповiдають
унiтарнонееквiвалентнi зображення). При (p, t, ε) =
1
2
, 2, 0
зображення T
(10)
t,p,ε
�
π
(10)
t,p,ε
розкладається в пряму суму зображень T (1) –T (4) (π(1) –π(4)); при (p, t, ε) =
=
2,
1
2
, 0
в пряму суму зображень T (8), T (9) (π(8), π(9)); при (p, t, ε) = (1, 0, 0)
зображення розкладається в пряму суму зображень T (5) –T (7)
�
π(5) –π(7)
.
1. С. А. Кругляк, Лiвiнський I. В. Регулярнi ортоскалярнi зображення розширеного графа Динкiна eE8
та ∗-алгебри асоцiйованої з ним // Укр. мат. журн. – 2010. – 62.
2. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representations of finitely presented ∗-
algebras. I // Representations by bounded operators, vol. 11, Rev. Math. & Phys., no. 1. – London:
Gordon & Breach, 1999.
3. Меллит А. С. Когда сумма трех частичных отражений равна нулю // Укр. мат. журн. – 2003. – 55,
№9. – С. 1277 – 1283.
4. Островський В. Л. Зображення алгебри, асоцiйованої з графом Динкiна eE7 // Укр. мат. журн. –
2004. – 56, № 9. – С. 1193 – 1202.
5. Кругляк С. А., Назарова Л. А., Ройтер А. В. Ортоскалярные представления колчанов, соответству-
ющих расширенным графам Дынкина, в категории гильбертовых пространств // Функц. анализ и
прил. – 2010. – 44. – Вып. 2.
Одержано 22.02.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
14 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
Для iнших припустимих пар безпосередньо перевiряється їх незвiднiсть. Заува-
жимо, що при
1
2
< p < 2, ap < t < bp парi (p, t) вiдповiдають два нерозкладних
зображення, одне з яких отримується з iншого замiною eiθ1 та eiθ2 на комплексно
спряженi числа e−iθ1 , e−iθ2 .
Нехай
M =
(p, t, ε)
1
2
< p < 2, ap ≤ t ≤ bp, ε = 0 при t = ap, або t = bp,
ε = ±1 при ap < t < bp, (p, t, ε) = (1, 0, 0)
,
ap = 2
1− 1
p
2
, bp =
1
p
. Проекцiя множини M на площину (p, t) має вигляд:
0
1 21
2
p
t
1
2
Теорема 6. Нерозкладнi зображення T
(10)
t,p,ε
�
π
(10)
t,p,ε
колчана Q eE7
(алгебри
A(δ eE7
)) параметризуються точками множини M (рiзним точкам вiдповiдають
унiтарнонееквiвалентнi зображення). При (p, t, ε) =
1
2
, 2, 0
зображення T
(10)
t,p,ε
�
π
(10)
t,p,ε
розкладається в пряму суму зображень T (1) –T (4) (π(1) –π(4)); при (p, t, ε) =
=
2,
1
2
, 0
в пряму суму зображень T (8), T (9) (π(8), π(9)); при (p, t, ε) = (1, 0, 0)
зображення розкладається в пряму суму зображень T (5) –T (7)
�
π(5) –π(7)
.
1. С. А. Кругляк, Лiвiнський I. В. Регулярнi ортоскалярнi зображення розширеного графа Динкiна eE8
та ∗-алгебри асоцiйованої з ним // Укр. мат. журн. – 2010. – 62.
2. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representations of finitely presented ∗-
algebras. I // Representations by bounded operators, vol. 11, Rev. Math. & Phys., no. 1. – London:
Gordon & Breach, 1999.
3. Меллит А. С. Когда сумма трех частичных отражений равна нулю // Укр. мат. журн. – 2003. – 55,
№9. – С. 1277 – 1283.
4. Островський В. Л. Зображення алгебри, асоцiйованої з графом Динкiна eE7 // Укр. мат. журн. –
2004. – 56, № 9. – С. 1193 – 1202.
5. Кругляк С. А., Назарова Л. А., Ройтер А. В. Ортоскалярные представления колчанов, соответству-
ющих расширенным графам Дынкина, в категории гильбертовых пространств // Функц. анализ и
прил. – 2010. – 44. – Вып. 2.
Одержано 22.02.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
14 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
Для iнших припустимих пар безпосередньо перевiряється їх незвiднiсть. Заува-
жимо, що при
1
2
< p < 2, ap < t < bp парi (p, t) вiдповiдають два нерозкладних
зображення, одне з яких отримується з iншого замiною eiθ1 та eiθ2 на комплексно
спряженi числа e−iθ1 , e−iθ2 .
Нехай
M =
(p, t, ε)
1
2
< p < 2, ap ≤ t ≤ bp, ε = 0 при t = ap, або t = bp,
ε = ±1 при ap < t < bp, (p, t, ε) = (1, 0, 0)
,
ap = 2
1− 1
p
2
, bp =
1
p
. Проекцiя множини M на площину (p, t) має вигляд:
0
1 21
2
p
t
1
2
Теорема 6. Нерозкладнi зображення T
(10)
t,p,ε
�
π
(10)
t,p,ε
колчана Q eE7
(алгебри
A(δ eE7
)) параметризуються точками множини M (рiзним точкам вiдповiдають
унiтарнонееквiвалентнi зображення). При (p, t, ε) =
1
2
, 2, 0
зображення T
(10)
t,p,ε
�
π
(10)
t,p,ε
розкладається в пряму суму зображень T (1) –T (4) (π(1) –π(4)); при (p, t, ε) =
=
2,
1
2
, 0
в пряму суму зображень T (8), T (9) (π(8), π(9)); при (p, t, ε) = (1, 0, 0)
зображення розкладається в пряму суму зображень T (5) –T (7)
�
π(5) –π(7)
.
1. С. А. Кругляк, Лiвiнський I. В. Регулярнi ортоскалярнi зображення розширеного графа Динкiна eE8
та ∗-алгебри асоцiйованої з ним // Укр. мат. журн. – 2010. – 62.
2. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representations of finitely presented ∗-
algebras. I // Representations by bounded operators, vol. 11, Rev. Math. & Phys., no. 1. – London:
Gordon & Breach, 1999.
3. Меллит А. С. Когда сумма трех частичных отражений равна нулю // Укр. мат. журн. – 2003. – 55,
№9. – С. 1277 – 1283.
4. Островський В. Л. Зображення алгебри, асоцiйованої з графом Динкiна eE7 // Укр. мат. журн. –
2004. – 56, № 9. – С. 1193 – 1202.
5. Кругляк С. А., Назарова Л. А., Ройтер А. В. Ортоскалярные представления колчанов, соответству-
ющих расширенным графам Дынкина, в категории гильбертовых пространств // Функц. анализ и
прил. – 2010. – 44. – Вып. 2.
Одержано 22.02.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
14 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
Для iнших припустимих пар безпосередньо перевiряється їх незвiднiсть. Заува-
жимо, що при
1
2
< p < 2, ap < t < bp парi (p, t) вiдповiдають два нерозкладних
зображення, одне з яких отримується з iншого замiною eiθ1 та eiθ2 на комплексно
спряженi числа e−iθ1 , e−iθ2 .
Нехай
M =
(p, t, ε)
1
2
< p < 2, ap ≤ t ≤ bp, ε = 0 при t = ap, або t = bp,
ε = ±1 при ap < t < bp, (p, t, ε) = (1, 0, 0)
,
ap = 2
1− 1
p
2
, bp =
1
p
. Проекцiя множини M на площину (p, t) має вигляд:
0
1 21
2
p
t
1
2
Теорема 6. Нерозкладнi зображення T
(10)
t,p,ε
�
π
(10)
t,p,ε
колчана Q eE7
(алгебри
A(δ eE7
)) параметризуються точками множини M (рiзним точкам вiдповiдають
унiтарнонееквiвалентнi зображення). При (p, t, ε) =
1
2
, 2, 0
зображення T
(10)
t,p,ε
�
π
(10)
t,p,ε
розкладається в пряму суму зображень T (1) –T (4) (π(1) –π(4)); при (p, t, ε) =
=
2,
1
2
, 0
в пряму суму зображень T (8), T (9) (π(8), π(9)); при (p, t, ε) = (1, 0, 0)
зображення розкладається в пряму суму зображень T (5) –T (7)
�
π(5) –π(7)
.
1. С. А. Кругляк, Лiвiнський I. В. Регулярнi ортоскалярнi зображення розширеного графа Динкiна eE8
та ∗-алгебри асоцiйованої з ним // Укр. мат. журн. – 2010. – 62.
2. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representations of finitely presented ∗-
algebras. I // Representations by bounded operators, vol. 11, Rev. Math. & Phys., no. 1. – London:
Gordon & Breach, 1999.
3. Меллит А. С. Когда сумма трех частичных отражений равна нулю // Укр. мат. журн. – 2003. – 55,
№9. – С. 1277 – 1283.
4. Островський В. Л. Зображення алгебри, асоцiйованої з графом Динкiна eE7 // Укр. мат. журн. –
2004. – 56, № 9. – С. 1193 – 1202.
5. Кругляк С. А., Назарова Л. А., Ройтер А. В. Ортоскалярные представления колчанов, соответству-
ющих расширенным графам Дынкина, в категории гильбертовых пространств // Функц. анализ и
прил. – 2010. – 44. – Вып. 2.
Одержано 22.02.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
14 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
Для iнших припустимих пар безпосередньо перевiряється їх незвiднiсть. Заува-
жимо, що при
1
2
< p < 2, ap < t < bp парi (p, t) вiдповiдають два нерозкладних
зображення, одне з яких отримується з iншого замiною eiθ1 та eiθ2 на комплексно
спряженi числа e−iθ1 , e−iθ2 .
Нехай
M =
(p, t, ε)
1
2
< p < 2, ap ≤ t ≤ bp, ε = 0 при t = ap, або t = bp,
ε = ±1 при ap < t < bp, (p, t, ε) = (1, 0, 0)
,
ap = 2
1− 1
p
2
, bp =
1
p
. Проекцiя множини M на площину (p, t) має вигляд:
0
1 21
2
p
t
1
2
Теорема 6. Нерозкладнi зображення T
(10)
t,p,ε
�
π
(10)
t,p,ε
колчана Q eE7
(алгебри
A(δ eE7
)) параметризуються точками множини M (рiзним точкам вiдповiдають
унiтарнонееквiвалентнi зображення). При (p, t, ε) =
1
2
, 2, 0
зображення T
(10)
t,p,ε
�
π
(10)
t,p,ε
розкладається в пряму суму зображень T (1) –T (4) (π(1) –π(4)); при (p, t, ε) =
=
2,
1
2
, 0
в пряму суму зображень T (8), T (9) (π(8), π(9)); при (p, t, ε) = (1, 0, 0)
зображення розкладається в пряму суму зображень T (5) –T (7)
�
π(5) –π(7)
.
1. С. А. Кругляк, Лiвiнський I. В. Регулярнi ортоскалярнi зображення розширеного графа Динкiна eE8
та ∗-алгебри асоцiйованої з ним // Укр. мат. журн. – 2010. – 62.
2. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representations of finitely presented ∗-
algebras. I // Representations by bounded operators, vol. 11, Rev. Math. & Phys., no. 1. – London:
Gordon & Breach, 1999.
3. Меллит А. С. Когда сумма трех частичных отражений равна нулю // Укр. мат. журн. – 2003. – 55,
№9. – С. 1277 – 1283.
4. Островський В. Л. Зображення алгебри, асоцiйованої з графом Динкiна eE7 // Укр. мат. журн. –
2004. – 56, № 9. – С. 1193 – 1202.
5. Кругляк С. А., Назарова Л. А., Ройтер А. В. Ортоскалярные представления колчанов, соответству-
ющих расширенным графам Дынкина, в категории гильбертовых пространств // Функц. анализ и
прил. – 2010. – 44. – Вып. 2.
Одержано 22.02.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
14 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
Для iнших припустимих пар безпосередньо перевiряється їх незвiднiсть. Заува-
жимо, що при
1
2
< p < 2, ap < t < bp парi (p, t) вiдповiдають два нерозкладних
зображення, одне з яких отримується з iншого замiною eiθ1 та eiθ2 на комплексно
спряженi числа e−iθ1 , e−iθ2 .
Нехай
M =
(p, t, ε)
1
2
< p < 2, ap ≤ t ≤ bp, ε = 0 при t = ap, або t = bp,
ε = ±1 при ap < t < bp, (p, t, ε) = (1, 0, 0)
,
ap = 2
1− 1
p
2
, bp =
1
p
. Проекцiя множини M на площину (p, t) має вигляд:
0
1 21
2
p
t
1
2
Теорема 6. Нерозкладнi зображення T
(10)
t,p,ε
�
π
(10)
t,p,ε
колчана Q eE7
(алгебри
A(δ eE7
)) параметризуються точками множини M (рiзним точкам вiдповiдають
унiтарнонееквiвалентнi зображення). При (p, t, ε) =
1
2
, 2, 0
зображення T
(10)
t,p,ε
�
π
(10)
t,p,ε
розкладається в пряму суму зображень T (1) –T (4) (π(1) –π(4)); при (p, t, ε) =
=
2,
1
2
, 0
в пряму суму зображень T (8), T (9) (π(8), π(9)); при (p, t, ε) = (1, 0, 0)
зображення розкладається в пряму суму зображень T (5) –T (7)
�
π(5) –π(7)
.
1. С. А. Кругляк, Лiвiнський I. В. Регулярнi ортоскалярнi зображення розширеного графа Динкiна eE8
та ∗-алгебри асоцiйованої з ним // Укр. мат. журн. – 2010. – 62.
2. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representations of finitely presented ∗-
algebras. I // Representations by bounded operators, vol. 11, Rev. Math. & Phys., no. 1. – London:
Gordon & Breach, 1999.
3. Меллит А. С. Когда сумма трех частичных отражений равна нулю // Укр. мат. журн. – 2003. – 55,
№9. – С. 1277 – 1283.
4. Островський В. Л. Зображення алгебри, асоцiйованої з графом Динкiна eE7 // Укр. мат. журн. –
2004. – 56, № 9. – С. 1193 – 1202.
5. Кругляк С. А., Назарова Л. А., Ройтер А. В. Ортоскалярные представления колчанов, соответству-
ющих расширенным графам Дынкина, в категории гильбертовых пространств // Функц. анализ и
прил. – 2010. – 44. – Вып. 2.
Одержано 22.02.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
14 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ
Для iнших припустимих пар безпосередньо перевiряється їх незвiднiсть. Заува-
жимо, що при
1
2
< p < 2, ap < t < bp парi (p, t) вiдповiдають два нерозкладних
зображення, одне з яких отримується з iншого замiною eiθ1 та eiθ2 на комплексно
спряженi числа e−iθ1 , e−iθ2 .
Нехай
M =
(p, t, ε)
1
2
< p < 2, ap ≤ t ≤ bp, ε = 0 при t = ap, або t = bp,
ε = ±1 при ap < t < bp, (p, t, ε) = (1, 0, 0)
,
ap = 2
1− 1
p
2
, bp =
1
p
. Проекцiя множини M на площину (p, t) має вигляд:
0
1 21
2
p
t
1
2
Теорема 6. Нерозкладнi зображення T
(10)
t,p,ε
�
π
(10)
t,p,ε
колчана Q eE7
(алгебри
A(δ eE7
)) параметризуються точками множини M (рiзним точкам вiдповiдають
унiтарнонееквiвалентнi зображення). При (p, t, ε) =
1
2
, 2, 0
зображення T
(10)
t,p,ε
�
π
(10)
t,p,ε
розкладається в пряму суму зображень T (1) –T (4) (π(1) –π(4)); при (p, t, ε) =
=
2,
1
2
, 0
в пряму суму зображень T (8), T (9) (π(8), π(9)); при (p, t, ε) = (1, 0, 0)
зображення розкладається в пряму суму зображень T (5) –T (7)
�
π(5) –π(7)
.
1. С. А. Кругляк, Лiвiнський I. В. Регулярнi ортоскалярнi зображення розширеного графа Динкiна eE8
та ∗-алгебри асоцiйованої з ним // Укр. мат. журн. – 2010. – 62.
2. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representations of finitely presented ∗-
algebras. I // Representations by bounded operators, vol. 11, Rev. Math. & Phys., no. 1. – London:
Gordon & Breach, 1999.
3. Меллит А. С. Когда сумма трех частичных отражений равна нулю // Укр. мат. журн. – 2003. – 55,
№9. – С. 1277 – 1283.
4. Островський В. Л. Зображення алгебри, асоцiйованої з графом Динкiна eE7 // Укр. мат. журн. –
2004. – 56, № 9. – С. 1193 – 1202.
5. Кругляк С. А., Назарова Л. А., Ройтер А. В. Ортоскалярные представления колчанов, соответству-
ющих расширенным графам Дынкина, в категории гильбертовых пространств // Функц. анализ и
прил. – 2010. – 44. – Вып. 2.
Одержано 22.02.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
Теорема 6. Нерозкладнi зображення T
(10)
t,p,ε
(
π
(10)
t,p,ε
)
колчана QẼ7
(алгебри
A(δẼ7
)) параметризуються точками множини M (рiзним точкам вiдповiдають
унiтарно нееквiвалентнi зображення). При (p, t, ε) =
(
1
2
, 2, 0
)
зображення T (10)
t,p,ε
(
π
(10)
t,p,ε
)
розкладається в пряму суму зображень T (1) –T (4) (π(1) –π(4)),
при (p, t, ε) =
(
2,
1
2
, 0
)
— в пряму суму зображень T (8), T (9) (π(8), π(9)), а при
(p, t, ε) = (1, 0, 0) — в пряму суму зображень T (5) –T (7)
(
π(5) –π(7)
)
.
1. Кругляк С. А., Лiвiнський I. В. Регулярнi ортоскалярнi зображення розширеного графа Динкiна Ẽ8
та ∗-алгебри, асоцiйованої з ним // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 8. – C. 1044 – 1062.
2. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representations of finitely presented ∗-algebras.
I. Representations by bounded operators // Rev. Math. and Phys. – 1999. – 11, № 1. – 261 p.
3. Меллит А. С. Когда сумма трех частичных отражений равна нулю // Укр. мат. журн. – 2003. – 55,
№ 9. – С. 1277 – 1283.
4. Островський В. Л. Зображення алгебри, асоцiйованої з графом Динкiна Ẽ7 // Там же. – 2004. –
56, № 9. – С. 1193 – 1202.
5. Кругляк С. А., Назарова Л. А., Ройтер А. В. Ортоскалярные представления колчанов, соответству-
ющих расширенным графам Дынкина, в категории гильбертовых пространств // Функцион. анализ
и прил. – 2010. – 44, вып. 1. – С. 57 – 73.
Одержано 17.05.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2971 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:33:50Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/23/cdaecaacb10bec7d2071e797af205023.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29712020-03-18T19:41:38Z Regular orthoscalar representations of extended dynkin graphs $\widetilde{E}_6$ and $\widetilde{E}_7$ and *-algebras associatedwith them Регулярні ортоскалярпі зображення розширених графів Динкіна $\widetilde{E}_6$ і $\widetilde{E}_7$ та *-алгебр, асоційованих з ними Livins'kyi, I. V. Лівінський, І. В. We obtain a classification of indecomposable orthoscalar representations of the extended Dynkin graphs $\widetilde{E}_6$ and $\widetilde{E}_7$ with a special character and of the *-algebras associated with them, up to the unitary equivalence. Получена классификация неразложимых ортоскалярных представлений расширенных графов Дынкина $\widetilde{E}_6$ и $\widetilde{E}_7$ со специальным характером и *-алгебр, ассоциированных с ними, с точностью до унитарной эквивалентности. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2971 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 11 (2010); 1459–1472 Український математичний журнал; Том 62 № 11 (2010); 1459–1472 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2971/2692 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2971/2693 Copyright (c) 2010 Livins'kyi I. V. |
| spellingShingle | Livins'kyi, I. V. Лівінський, І. В. Regular orthoscalar representations of extended dynkin graphs $\widetilde{E}_6$ and $\widetilde{E}_7$ and *-algebras associatedwith them |
| title | Regular orthoscalar representations of extended dynkin graphs $\widetilde{E}_6$ and $\widetilde{E}_7$ and *-algebras associatedwith them |
| title_alt | Регулярні ортоскалярпі зображення розширених графів Динкіна $\widetilde{E}_6$ і $\widetilde{E}_7$ та *-алгебр, асоційованих з ними |
| title_full | Regular orthoscalar representations of extended dynkin graphs $\widetilde{E}_6$ and $\widetilde{E}_7$ and *-algebras associatedwith them |
| title_fullStr | Regular orthoscalar representations of extended dynkin graphs $\widetilde{E}_6$ and $\widetilde{E}_7$ and *-algebras associatedwith them |
| title_full_unstemmed | Regular orthoscalar representations of extended dynkin graphs $\widetilde{E}_6$ and $\widetilde{E}_7$ and *-algebras associatedwith them |
| title_short | Regular orthoscalar representations of extended dynkin graphs $\widetilde{E}_6$ and $\widetilde{E}_7$ and *-algebras associatedwith them |
| title_sort | regular orthoscalar representations of extended dynkin graphs $\widetilde{e}_6$ and $\widetilde{e}_7$ and *-algebras associatedwith them |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2971 |
| work_keys_str_mv | AT livins039kyiiv regularorthoscalarrepresentationsofextendeddynkingraphswidetildee6andwidetildee7andalgebrasassociatedwiththem AT lívínsʹkijív regularorthoscalarrepresentationsofextendeddynkingraphswidetildee6andwidetildee7andalgebrasassociatedwiththem AT livins039kyiiv regulârníortoskalârpízobražennârozširenihgrafívdinkínawidetildee6íwidetildee7taalgebrasocíjovanihznimi AT lívínsʹkijív regulârníortoskalârpízobražennârozširenihgrafívdinkínawidetildee6íwidetildee7taalgebrasocíjovanihznimi |