Analog of the Cayley–Sylvester formula and the Poincaré series for an algebra of invariants of ternary form
An explicit formula is obtained for the number $ν_d(n)$ of linearly independent homogeneous invariants of degree $n$ of a ternary form of order $d$. A formula for the Poincaré series of the algebra of invariants of the ternary form is also deduced.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2980 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508989500948480 |
|---|---|
| author | Bedratyuk, L. P. Бедратюк, Л. П. |
| author_facet | Bedratyuk, L. P. Бедратюк, Л. П. |
| author_sort | Bedratyuk, L. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:41:38Z |
| description | An explicit formula is obtained for the number $ν_d(n)$ of linearly independent homogeneous invariants of degree $n$ of a ternary form of order $d$. A formula for the Poincaré series of the algebra of invariants of the ternary form is also deduced. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:33:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.745, 512.815.4
Л. П. Бедратюк (Хмельниц. нац. ун-т)
АНАЛОГ ФОРМУЛИ КЕЛЛI – СИЛЬВЕСТРА ТА РЯД
ПУАНКАРЕ АЛГЕБРИ IНВАРIАНТIВ ТЕРНАРНОЇ ФОРМИ
An explicit formula for the number νd(n) of linearly independent homogeneous invariants of degree n of the
d-order ternary form is found. A formula for the Poincaré series of the algebra of invariants of the ternary
form is also obtained.
Найдены явная формула для числа νd(n) линейно независимых однородных инвариантов степени n
тернарной формы порядка d и формула для ряда Пуанкаре алгебры инвариантов тернарной формы.
1. Вступ. Розглянемо алгебру многочленiв C[Xd] := C[t, x1, x2, . . . , xd] над полем
комплексних чисел C. Породжуючi елементи
(
0 0
1 0
)
,
(
0 1
0 0
)
комплексної ал-
гебри Лi sl2 дiють на алгебрi полiномiальних функцiй C[Xd] диференцiюваннями
D1, D2, де
D1 := t
∂
∂x1
+ 2x1
∂
∂x2
+ . . .+ d xd−1
∂
∂xd
,
D2 := dx1
∂
∂t
+ (d− 1)x2
∂
∂x1
+ . . .+ xd
∂
∂xd−1
.
Множина C[Xd]
sl2 =
{
f ∈ C[Xd] | D1(f) = D2(f) = 0
}
утворює скiнченнопо-
роджену алгебру, яка, на мовi класичної теорiї iнварiантiв, називається алгеброю
iнварiантiв бiнарної форми порядку d. Задачу явного опису алгебри iнварiантiв
C[Xd]
sl2 уперше сформулював Буль [1] у 1843 роцi, i загалом вона залишається
нерозв’язаною до цього часу. Зокрема, не встановлено навiть кiлькiсть однорiдних
породжуючих (полiномiально незалежних) елементiв алгебри C[Xd]
sl2 для d > 10.
У зв’язку з цим заслуговує на увагу формула Келлi – Сильвестра, за якою знаходять
кiлькiсть лiнiйно незалежних iнварiантiв степеня n для бiнарної форми довiльного
порядку d. Ця кiлькiсть дорiвнює рiзницi
ωd
(
n,
d n
2
)
− ωd
(
n,
d n
2
− 1
)
,
де ωd(n, i) — число цiлих додатних розв’язкiв системи рiвнянь
α1 + 2α2 + . . .+ dαd =
dn− i
2
,
α1 + α2 + . . .+ αd = n.
Сильвестр у роботi [2], узагальнюючи iдеї Келлi [3], вперше анонсував цю фор-
мулу, щоправда без доведення. Бiльш того, вiн вважав, що цю формулу не доведуть
ще довгий час. Проте доведення цiєї формули можна знайти вже в лекцiях Гiль-
берта [4] з теорiї iнварiантiв, якi вiн прочитав у 1897 роцi в Гьоттiнгенi. Сильвестр,
використавши цю формулу, обчислив ряди Пуанкаре алгебр iнварiантiв бiнарної
форми для d ≤ 10 i d = 12, а також дав оцiнку кiлькостi породжуючих елемен-
тiв цих алгебр. Тому, зважаючи на викладене вище, доцiльно було б узагальнити
формулу Келлi – Сильвестра i на випадок iнварiантiв тернарних форм.
c© Л. П. БЕДРАТЮК, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1561
1562 Л. П. БЕДРАТЮК
Дамо означення алгебри iнварiантiв тернарної форми. Розглянемо векторний
C-простiр Td тернарних форм степеня d:
u(x, y, z) =
∑
i+j≤d
d!
i!j!(d−(i+ j))!
ai,j x
d−(i+j)yizj ,
де ai,j ∈ C. Координатну алгебру C[Ad] простору Td ототожнимо з iзоморфною їй
алгеброю многочленiв Ad вiд
1
2
(d+ 1)(d+ 2) змiнних ai, j , i+ j ≤ d. Стандартна
дiя групи SL3 пiдстановками на просторi Td iндукує дiю групи SL3 (та алгебри
Лi sl3) i на алгебрi Ad. Вiдповiдна алгебра iнварiантiв ASL3
d = A
sl3
d називається
алгеброю iнварiантiв тернарної форми порядку d. Алгебра Asl3
d є градуйованою:
A
sl3
d = (A
sl3
d )0 + (A
sl3
d )1 + . . .+ (A
sl3
d )n + . . . .
Тут (A
sl3
d )n — векторний простiр, породжений однорiдними iнварiантами степе-
ня n.
Формальний степеневий ряд
P
(
A
sl3
d , z
)
=
∞∑
i=0
dim(A
sl3
d )i z
i
називається рядом Пуанкаре алгебри iнварiантiв Asl3
d .
Про структуру алгебри Asl3
d ми знаємо небагато. Вiдомо [4], що вона є скiнчен-
нопородженою алгеброю Коена – Маколея. Для невеликих d знайдено мiнiмальнi
системи породжуючих елементiв. Зокрема, для d ≤ 3 породжуючi алгебри iнва-
рiантiв були обчиcленi ще Горданом [5], а для d = 4 мiнiмальну систему iз 331
породжуючих обчислено в докторськiй дисертацiї Е. Ньотер [6].
Метою даної роботи є обчислення розмiрностi простору (R
sl3
d )n, тобто кiль-
костi однорiдних, лiнiйно незалежних iнварiантiв степеня n для тернарної форми
порядку d. Методами теорiї зображень алгебри Лi sl3 отримано формулу, яка є
узагальненням вiдомої класичної формули Келлi – Сильвестра на випадок iнварiан-
тiв тернарної форми. Також встановлено формулу для обчислення ряду Пуанкаре
алгебри iнварiантiв тернарної форми.
2. Формула Келлi – Сильвестра. Спочатку наведемо коротке й елементарне
доведення формули Келлi – Сильвестра для iнварiантiв бiнарної форми. Iдею цього
доведення ми використаємо пiзнiше при встановленнi аналогiчного результату для
iнварiантiв тернарної форми.
Розглянемо незвiдне зображення Vd = 〈v0, v1, ..., vd〉, dimVd = d + 1, алгебри
sl2. Базиснi елементи
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
1 0
0 −1
)
алгебри sl2 дiють на Vd
диференцiюваннями D1, D2, E за правилом
D1(vi) = i vi−1, D2(vi) = (d− i) vi+1, E(vi) = (d− 2 i) vi.
Ця дiя природним чином продовжується з Vd на симетричну алгебру S(Vd). Алгеб-
ра Id,
Id = S(Vd)
sl2 =
{
v ∈ S(Vd)|D1(v) = 0, D2(v) = 0
}
,
iзоморфна алгебрi iнварiантiв бiнарної форми порядку d.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
АНАЛОГ ФОРМУЛИ КЕЛЛI – СИЛЬВЕСТРА ТА РЯД ПУАНКАРЕ . . . 1563
Оскiльки група SLn є лiнiйно редуктивною, то будь-яке її зображення, а отже
i зображення вiдповiдної алгебри Лi, є напiвпростим, тобто розкладається в пряму
суму незвiдних зображень. Симетрична алгебра S(Vd) є градуйованою:
S(Vd) = S0(Vd) + S1(Vd) + . . .+ Sn(Vd) + . . . ,
до того ж кожна компонента Sn(Vd) є цiлком звiдним зображенням алгебри sl2 i
тому має мiсце розклад
Sn(Vd) ∼= γd(n, 0)V0 + γd(n, 1)V1 + . . .+ γd(n, d n)Vdn. (1)
Тут γd(n, i) — кратнiсть, з якою компонента Vi входить у розклад Sn(Vd). Зокрема,
кратнiсть γd(n, 0) тривiального зображення V0 дорiвнює числу однорiдних лiнiйно
незалежних iнварiантiв степеня n бiнарної форми порядку d. Встановимо формулу
для обчислення γd(n, 0).
Оскiльки картанiвська пiдалгебра алгебри Лi sl2 є одновимiрною, то ми може-
мо ототожнити ваги довiльного зображення W iз власними значеннями вагових
векторiв вiдносно картанiвської пiдалгебри, породженої елементом E. Множину
всiх ваг зображення W позначимо ΛW , зокрема ΛVd = {−d,−d+ 2, . . . , d}.
Характером Char(W ) зображення W називається формальна сума
Char(W ) =
∑
i∈ΛW
nW (i)qi,
де nW (i) позначає кратнiсть ваги i, тобто розмiрнiсть пiдпростору в W, породже-
ного векторами ваги i. Кратнiсть кожної ваги зображення Vd, очевидно, дорiвнює
одиницi, тому
Char(Vd) = q−d + q−d+2 + . . .+ qd =
qd+1 − q−(d+1)
q − q−1
.
Характер Char(Sn(Vd)) зображення Sn(Vd) дорiвнює Hd(q
−d, q−d+2, . . . , qd),
(див. [7]), де Hd(x0, x1, . . . , xd) є повним симетричним многочленом
Hd(x0, x1, . . . , xd) =
∑
|α|=n
xα0
0 xα1
1 . . . xαdd , |α| =
∑
i
αi.
Поклавши xi = qd−2 i, i = 0, . . . , d, i зiбравши коефiцiєнти при однакових
степенях, отримаємо вираз для характеру Char(Sn(Vd)):
Char(Sn(Vd)) =
∑
|α|=n
(qd)α0(qd−2·1)α1 . . . (qd−2 d)αd =
=
∑
|α|=n
qdn−2(α1+2α2+...+dαd) =
dn∑
i=−dn
ωd(n, i)q
dn−2 i.
Тут ωd(n, i) — число цiлих невiд’ємних розв’язкiв рiвняння α1 + 2α2 + . . .+ dαd =
=
dn− i
2
при умовi |α| = n. Зокрема, коефiцiєнт бiля q0 (кратнiсть нульової ваги)
дорiвнює ωd
(
n,
d n
2
)
, а коефiцiєнт бiля q2 — ωd
(
n,
d n
2
− 1
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
1564 Л. П. БЕДРАТЮК
З iншого боку, згiдно з розкладом (1), має мiсце рiвнiсть характерiв
Char(Sn(Vd)) = γd(n, 0)Char(V0) + γd(n, 1)Char(V1) + . . .+ γd(n, d n)Char(Vdn).
Звiдси легко отримати доведення теореми Келлi – Сильвестра.
Теорема 1 (Келлi – Сильвестр). Maє мiсце рiвнiсть
γd(n, 0) = ωd
(
n,
d n
2
)
− ωd
(
n,
d n
2
− 1
)
.
Доведення. Нульова вага зустрiчається з одиничною кратнiстю в кожному зо-
браженнi Vi для парного i, тому
ωd
(
n,
d n
2
)
= γd(n, 0) + γd(n, 2) + γd(n, 4) + . . . .
Вага 2 зустрiчається в кожному незвiдному зображеннi (крiм нульового) Vi для
парного i також з одиничною кратнiстю, тому
ωd
(
n,
d n
2
− 1
)
= γd(n, 2) + γd(n, 4) + . . . .
Звiдси
ωd
(
n,
d n
2
)
− ωd
(
n,
d n
2
− 1
)
= γd(n, 0),
що i потрiбно було довести.
Для довiльного многочлена f ∈ C[q, q−1] позначимо через [qi]f його коефiцiєнт
бiля qi. Можна показати (див. [4]), що
γd(n, 0) =
[
q
n d
2
](
(1− q)
[
d
n
]
q
)
,
де
[
d
n
]
q
— q-бiномiальний коефiцiєнт (многочлен Гаусса):
[
d
n
]
q
:=
(1− qd+1)(1− qd+2) . . . (1− qd+n)
(1− q)(1− q2) . . . (1− qn)
.
3. Формула розмiрностi для iнварiантiв тернарної форми. В комплекснiй
алгебрi Лi sl3 позначимо через Ei j матричнi одиницi, тобто такi матрицi, у яких
на перетинi i-го рядка i j-го стовпчика знаходиться одиниця, а на всiх iнших
мiсцях знаходяться нулi. Матрицi H1 := E1 1−E2 2, H2 := E2 2−E3 3 породжують
картанiвську пiдалгебру h в sl3.
Визначимо Li ∈ h∗, поклавши Li(Ej,j) = δi,j . Нехай βi,j = Li − Lj , 1 6 i <
< j 6 3, — додатнi коренi алгебри sl3 i φ1 = L1, φ2 = L1 + L2 — фундаментальнi
ваги. Легко бачити, що φi(Hj) = δi,j . Позначимо через λ = (λ1, λ2) вагу
λ1φ1 + λ2φ2, λ1, λ2 ∈ Z.
Можна показати (див. [8]), що матрицi H1, H2 дiють на Ad як лiнiйнi диферен-
цiальнi оператори
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
АНАЛОГ ФОРМУЛИ КЕЛЛI – СИЛЬВЕСТРА ТА РЯД ПУАНКАРЕ . . . 1565
H1(ai,j) = (n− (2i+ j))ai,j , H2(ai,j) = (i− j)ai,j .
Безпосередня перевiрка показує, що кожен моном aα := a
α0,0
0,0 a
α1,0
1,0 . . . a
α0,d
0,d сте-
пеня n є власним вектором лiнiйних операторiв H1, H2 iз власними значення-
ми вiдповiдно nd − (2ω1(α) + ω2(α)) та ω1(α) − ω2(α), де ω1(α) =
∑
i
i αi,j ,
ω2(α) =
∑
j
j αi,j , |α| :=
∑
i,j
αi,j = n. Оскiльки λ(Hi) = λi, то набiр
(nd− (2ω1(α) + ω2(α)), ω1(α)− ω2(α))
буде вагою зображення Ad. Вiдомо [9], що множина ваг довiльного незвiдного
зображення напiвпростої алгебри Лi є лiнiйно впорядкованою множиною i мак-
симальнi елементи вiдносно цього впорядкування (старшi ваги) з точнiстю до
iзоморфiзму визначають це зображення. Незвiдне зображення з старшою вагою
λ = (m1,m2) позначимо через Γλ, множину його ваг — через Λλ, а множину його
додатних ваг — через Λ+
λ . Легко бачити, що мають мiсце iзоморфiзми зображень
C3 ∼= Γ1,0, Ad ∼= (Sd(Γ1,0))∗ ∼= Γ0,d (детальнiше див. у [7]).
Нагадаємо означення формального характеру зображення алгебри Лi sl3. Нехай
Λ — решiтка ваг всiх скiнченновимiрних зображень sl3, а Z(Λ) — її групове кiльце.
Z(Λ) є вiльним Z-модулем з базисними елементами e(λ), λ = (λ1, λ2) ∈ Λ, до
того ж e(λ)e(µ) = e(λ + µ), e(0) = 1. Нехай Λλ — множина всiх ваг зображен-
ня Γλ. Тодi формальний характер Char(Γλ) визначається (див. [9]) як елемент∑
µ∈Λλ
nλ(µ)e(µ) ∈ Z(Λ), де nλ(µ) — кратнiсть ваги µ в зображеннi Γλ. Напри-
клад, для старшої ваги λ = (1, 1) маємо
Λ(1,1) = {(1, 1), (−1, 2), (1,−2), (0, 0), (−2, 1), (−1,−1)},
до того ж кратностi всiх ваг дорiвнюють одиницi, крiм нульової ваги, для якої
кратнiсть дорiвнює двом. Тодi
Char(Γ(1,1)) = e(1, 1) + e(−1, 2) + e(1,−2) + 2 e(0, 0) + e(−2, 1) + e(−1,−1).
Базиснi елементи ai,j простору Ad мають вагу (d − (2 i + j), i − j), i + j ≤ d,
кратностi 1, тому
Char(Γ0,d) =
∑
i+j≤d
e(d− (2 i+ j), i− j).
Характер симетричного степеня Sn(Γ0, d) зображення Γ0, d є повним симетричним
многочленом степеня n вiд e(d− (2 i+ j), i− j), i+ j ≤ d (див. [7]), тому
Char(Sn(Γ0,d)) =
∑
|α|=n
e(0, 0)α0,0e(1, 0)α1,0 . . . e(0, d)αd,0 , |α| =
∑
i,j
αi,j .
Пiсля нескладних перетворень отримуємо
Char(Sn(Γ0,d)) =
∑
|α|=n
e(nd− 2ω1(α)− ω2(α), ω1(α)− ω2(α)) =
=
∑
(i,j)∈Λ(nd,0)
cd(n, i, j)e(i, j),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
1566 Л. П. БЕДРАТЮК
де cd(n, i, j) — число невiд’ємних розв’язкiв системи рiвнянь
2ω1(α) + ω2(α) = dn− i,
ω1(α)− ω2(α) = j,
|α| = n,
або, пiсля спрощення,
ω1(α) =
dn
3
− i− j
3
,
ω2(α) =
dn
3
− i+ 2j
3
,
|α| = n.
При i = j = 0 одержуємо ω1(α) = ω2(α) i nd = 3ω1(α), тобто має мiсце
спiввiдношення nd = 0 mod 3. Додавши першi два рiвняння, будемо мати i−j = 0
mod 3, звiдки i i+ 2 j = 0 mod 3. Отже,
dn
3
,
i− j
3
,
i+ 2j
3
— цiлi числа.
На кожному зображеннi Γλ визначимо число
Eλ = nλ(0, 0) + nλ(3, 0) + nλ(0, 3)− 2nλ(1, 1)− nλ(2, 2).
При цьому будемо вважати, що кратнiсть nλ(i, j) дорiвнює 0, якщо (i, j) /∈ Λλ.
Наступна теорема вiдiграє ключову роль у подальших обчисленнях.
Теорема 2.
Eλ =
1, λ = (0, 0),
0, λ 6= (0, 0).
Доведення. Вагова дiаграма Γ(i,j), i, j 6= 0, геометрично зображується на пло-
щинi у виглядi послiдовностi вкладених концентричних опуклих шестикутникiв,
якi при i 6= j вироджуються у трикутник, а при i = j — у точку [7, 9]. На кожнiй iз
сторiн зовнiшнього шестикутника розмiщено почергово i та j ваг. Кратностi всiх
ваг найпершого зовнiшнього шестикутника дорiвнюють одиницi, а потiм кратнос-
тi зростають у напрямку до середини на одиницю на кожному концентричному
шестикутнику вагової дiаграми i є константами на внутрiшньому трикутнику. На-
приклад, якщо i = j, то вагова дiаграма має вигляд концентричних рiвностороннiх
шестикутникiв, якi вироджуються у точку, що вiдповiдає вазi (0, 0). Кратнiсть усiх
ваг найбiльшого зовнiшнього шестикутника, на кожнiй iз сторiн якого розмiщено
рiвно i ваг, дорiвнює 1, а кратнiсть ваги (0, 0) — i + 1. Якщо i або j дорiвнює
нулю, то вагова дiаграма утворює трикутник, i тодi кратнiсть кожної ваги дорiвнює
одиницi.
Для доведення теореми достатньо розглянути три випадки: |i − j| = 0, 1, 2,
|i− j| > 3 i |i− j| = 3. Для λ = (0, 0) твердження є очевидним, оскiльки кратностi
всiх ваг з Λλ дорiвнюють нулю, крiм кратностi nλ(0, 0), яка дорiвнює 1.
Нехай i− j = 0, тобто λ = (m,m) для деякого m > 0. Тодi nλ(0, 0) = m+ 1, i
легко бачити, що nλ(1, 1) = m i nλ(3, 0) = nλ(2, 2) = nλ(0, 3) = m− 1. Звiдси
Eλ = m+ 1 +m− 1 +m− 1− 2m− (m− 1) = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
АНАЛОГ ФОРМУЛИ КЕЛЛI – СИЛЬВЕСТРА ТА РЯД ПУАНКАРЕ . . . 1567
Якщо |i− j| = 1, або |i− j| = 2, то ваг (0, 0), (3, 0), (0, 3), (1, 1), (2, 2) немає у
ваговiй дiаграмi зображення Γ(i,j). Тому Eλ = 0.
Нехай λ = (m, k), |m − k| > 3. Тодi всi ваги (0, 0), (3, 0), (0, 3), (1, 1), (2, 2)
потрапляють у внутрiшнiй трикутник вагової дiаграми зображення Γ(i,j), їхнi кра-
тностi nλ(0, 0), nλ(3, 0), nλ(1, 1), nλ(2, 2), nλ(0, 3) дорiвнюють min(m, k) + 1 i,
отже, Eλ = 0.
Нехай λ = (m, k), m − k = 3. Тодi nλ(0, 0) = nλ(3, 0) = nλ(1, 1) = k + 1 i
nλ(2, 2) = nλ(0, 3) = k, звiдки Eλ = 0.
Якщо ж λ = (m, k), k − m = 3, то nλ(0, 0) = nλ(0, 3) = nλ(1, 1) = m + 1 i
nλ(2, 2) = nλ(3, 0) = m, звiдки Eλ = 0.
Теорему доведено.
Тепер ми можемо довести основне твердження цiєї статтi.
Теорема 3. Число νd(n) лiнiйно незалежних однорiдних iнварiантiв тернар-
ної форми порядку d i степеня n дорiвнює
νd(n) = cd(n, 0, 0) + cd(n, 3, 0) + cd(n, 0, 3)− 2 cd(n, 1, 1)− cd(n, 2, 2). (2)
Доведення. Число νd(n) дорiвнює кратностi γd(0, 0) тривiального зображення
Γ0,0, з яким воно входить у симетричний степiнь Sn(Γ0, d). Розглянемо розклад
Sn(Γ0,d) = γd(0, 0)Γ0,0 + . . .+ γd(0, n d)Γ0,n d =
∑
λ∈Λ+
(0,n d)
Γλ.
Отже,
Char(Sn(Γ0,d)) = γd(0, 0)Char(Γ0,0) + . . .+ γd(0, n d)Char(Γ0,n d).
Тому ∑
(i,j)∈Λ(0,n d)
cd(n, i, j)e(i, j) =
∑
λ
γd(λ)Char(Γλ) =
=
∑
(i,j)∈Λ(0,n d)
∑
λ
γd(λ)nλ(i, j)e(i, j).
Звiдси знаходимо cd(n, i, j) =
∑
λ γd(λ)nλ(i, j). Використавши попередню теоре-
му, отримаємо
cn(n, 0, 0) + cd(n, 3, 0) + cd(n, 0, 3)− 2 cd(n, 1, 1)− cd(n, 2, 2) =
=
∑
λ
γd(λ)Eλ = γd(0, 0).
Враховуючи рiвнiсть γd(0, 0) = νd(n), завершуємо доведення теореми.
4. Ряд Пуанкаре. Встановимо формулу для практичного обчислення νd(n).
Iз простих комбiнаторних мiркувань випливає, що число cd(n, 0, 0) невiд’ємних
цiлих розв’язкiв системи рiвнянь
ω1(α) =
dn
3
,
ω2(α) =
dn
3
,
|α| = n
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
1568 Л. П. БЕДРАТЮК
дорiвнює коефiцiєнту бiля zn(pq)
d n
3 у розкладi ряду
Rd =
∏
k+l≤d
1
1− zpkql
.
Позначимо цей факт так: cd(n, 0, 0) =
[
zn(pq)
d n
3
]
Rd.
Число cd(n, 3, 0) невiд’ємних цiлих розв’язкiв системи рiвнянь
ω1(α) =
dn
3
− 1,
ω2(α) =
dn
3
− 1,
|α| = n
дорiвнює
[
zn(pq)
d n
3 −1
]
Rd =
[
zn(pq)
d n
3
]
p qRd. Тут ми використали очевидну
формальну властивiсть [xi−1]f(x) = [xi]xf(x), яка справедлива для довiльного
ряду f(x). Аналогiчними мiркуваннями знайдемо
cd(n, 0, 3) =
[
zn(pq)
d n
3
] q2
p
Rd,
cd(n, 1, 1) =
[
zn(pq)
d n
3
]
qRd,
cd(n, 2, 2) =
[
zn(pq)
d n
3
]
q2Rd.
Отже, врахувавши (2), отримаємо
νd(n) =
[
zn(pq)
d n
3
] 1 + p q +
q2
p
− 2 q − q2∏
k+l≤d
(
1− zpkql
) . (3)
Теорема 4. Ряд Пуанкаре алгебри iнварiантiв тернарної форми обчислю-
ється за формулою
P
(
A
sl3
d , z
)
=
1
(2πi)2
∮
|q|=1
∮
|p|=1
1 + p3 q3 +
q6
p3
− 2 q3 − q6∏
k+l≤d
(
1− zp3kq3l
) dp
p
dq
q
. (4)
Доведення. Маємо
P
(
A
sl3
d , z
)
=
∞∑
i=0
dim(A
sl3
d )i z
i =
∞∑
i=0
[zi(pq) d i3 ] 1 + p q +
q2
p
− 2 q − q2∏
k+l≤d
(
1− zpkql
)
zi =
=
∞∑
i=0
[(z(pq)3
)i] 1 + p3 q3 +
q6
p3
− 2 q3 − q6∏
k+l≤d
(
1− zp3kq3l
)
zi =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
АНАЛОГ ФОРМУЛИ КЕЛЛI – СИЛЬВЕСТРА ТА РЯД ПУАНКАРЕ . . . 1569
=
∞∑
i=0
[zi] 1 + p3 q3 +
q6
p3
− 2 q3 − q6∏
k+l≤d
(
1− zp3k−3q3l−3
)
zi =
=
∞∑
i=0
1
(2πi)2
[
zi
] ∮
|q|=1
∮
|p|=1
1 + p3 q3 +
q6
p3
− 2 q3 − q6∏
k+l≤d
(
1− zp3k−3q3l−3
) dp
p
dq
q
zi =
=
1
(2πi)2
∮
|q|=1
∮
|p|=1
1 + p3 q3 +
q6
p3
− 2 q3 − q6∏
k+l≤d
(
1− zp3kq3l
) dp
p
dq
q
.
При доведеннi використано три очевиднi формальнi тотожностi
[
(zpq)i
]
f(z, q, p) =
[
zi
]
f
(
z
pq
, q, p
)
,
∞∑
i=0
([
zi
]
f(z, q, p)
)
zi = f(z, q, p),
[
zi
]
f(z, q, p) =
1
(2πi)2
[
zi
] ∮
|q|=1
∮
|p|=1
f(z, q, p)
dp
p
dq
q
.
Теорему доведено.
Наведемо кiлька перших членiв ряду Пуанкаре для алгебри iнварiантiв тернар-
ної форми порядкiв 3, 4, 5, 6, 7, що отриманi за формулою (3):
P
(
A
sl3
3 , z
)
= 1 + z4 + z6 + z8 + z10 + 2z12 + z14 + 2z16+
+2z18 + 2z20 + 2z22 + 3z24 + . . . ,
P
(
A
sl3
4 , z
)
= 1 + z3 + 2z6 + 4z9 + 7z12 + 11z15 + 19z18+
+29z21 + 44z24 + 67z27 + . . . ,
P
(
A
sl3
5 , z
)
= 1 + 2z6 + z9 + 19z12 + 24z15 + 178z18 + 383z21+
+1470z24 + 3331z27 + . . . ,
P
(
A
sl3
6 , z
)
= 1 + z3 + z4 + z5 + 4z6 + 5z7 + 8z8 + 17z9+
+28z10 + 48z11 + 99z12 + . . . ,
P
(
A
sl3
7 , z
)
= 1 + 3z6 + 13z9 + 421z12 + 4992z15+
+60303z18 + 548966z21 + . . . .
У випадку d = 4 початковi члени ряду Пуанкаре збiгаються з початковими
членами ряду, який отримується з вiдомої явної формули Шiоди для P
(
A
sl3
4 , z
)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
1570 Л. П. БЕДРАТЮК
(див. [10]). Для d > 4 результати є новими. Проблеми обчислення iнтеграла (4) у
явному виглядi та асимптотичної поведiнки ряду P
(
A
sl3
d , z
)
є окремими важливими
задачами теорiї iнварiантiв тернарної форми.
1. Boole G. Exposition of a general theory of linear transformations, parts I, II // Cambridge Math. J. –
1843. – 3. – P. 1 – 20, 106 – 119.
2. Sylvester J. J. Proof of the hitherto undemonstrated fundamental theorems of invariants // Phil. Magazine.
– 1878. – P. 178 – 188.
3. Cayley A. A second memoir upon quantic // Phil. Trans. Roy. Soc. London. – 1856. – 146. – P. 101 – 126.
4. Hilbert D. Theory of algebraic invariants // Lectures. – Cambridge Univ. Press, 1993.
5. Gordan P. Über die Theorie der ternären cubischen Formen // Clebsch Ann. – 1869. – 1. – S. 57 – 89.
6. Noether E. Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form // J. Math. – 1908.
– 134. – S. 23 – 90.
7. Fulton W., Harris J. Representation theory: a first course. – New York, Inc.: Springer, 1991.
8. Бедратюк Л. П. Теорема Робертса для тернарних форм // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика.
– 2007. – 349. – С. 1 – 13.
9. Humphreys J. Introduction to Lie algebras and representation theory. – New York, Inc.: Springer, 1978.
10. Shioda T. On the graded ring of invariants of binary octavics // Amer. J. Math. – 1967. – 89. –
P. 1022 – 1046.
Одержано 30.03.10,
пiсля доопрацювання — 26.07.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2980 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:33:58Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/60/4b3742aa32e2ddc4cfc23616c86cbf60.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29802020-03-18T19:41:38Z Analog of the Cayley–Sylvester formula and the Poincaré series for an algebra of invariants of ternary form Аналог формули Келлі - Сильвестра та ряд Пуанкаре алгебри інваріантів тернарної форми Bedratyuk, L. P. Бедратюк, Л. П. An explicit formula is obtained for the number $ν_d(n)$ of linearly independent homogeneous invariants of degree $n$ of a ternary form of order $d$. A formula for the Poincaré series of the algebra of invariants of the ternary form is also deduced. Найдены явная формула для числа $ν_d(n)$ линейно независимых однородных инвариантов степени $n$ тернарной формы порядка $d$ и формула для ряда Пуанкаре алгебры инвариантов тернарной формы. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2980 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 11 (2010); 1561–1570 Український математичний журнал; Том 62 № 11 (2010); 1561–1570 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2980/2710 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2980/2711 Copyright (c) 2010 Bedratyuk L. P. |
| spellingShingle | Bedratyuk, L. P. Бедратюк, Л. П. Analog of the Cayley–Sylvester formula and the Poincaré series for an algebra of invariants of ternary form |
| title | Analog of the Cayley–Sylvester formula and the Poincaré series for an algebra of invariants of ternary form |
| title_alt | Аналог формули Келлі - Сильвестра та ряд Пуанкаре алгебри інваріантів тернарної форми |
| title_full | Analog of the Cayley–Sylvester formula and the Poincaré series for an algebra of invariants of ternary form |
| title_fullStr | Analog of the Cayley–Sylvester formula and the Poincaré series for an algebra of invariants of ternary form |
| title_full_unstemmed | Analog of the Cayley–Sylvester formula and the Poincaré series for an algebra of invariants of ternary form |
| title_short | Analog of the Cayley–Sylvester formula and the Poincaré series for an algebra of invariants of ternary form |
| title_sort | analog of the cayley–sylvester formula and the poincaré series for an algebra of invariants of ternary form |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2980 |
| work_keys_str_mv | AT bedratyuklp analogofthecayleysylvesterformulaandthepoincareseriesforanalgebraofinvariantsofternaryform AT bedratûklp analogofthecayleysylvesterformulaandthepoincareseriesforanalgebraofinvariantsofternaryform AT bedratyuklp analogformulikellísilʹvestratarâdpuankarealgebriínvaríantívternarnoíformi AT bedratûklp analogformulikellísilʹvestratarâdpuankarealgebriínvaríantívternarnoíformi |