Fading evolutions in multidimensional spaces
We study fading random evolutions in multidimensional spaces. By reducing multidimensional cases to the one-dimensional case, we calculate the limit distributions of fading evolutions for some semi-Markov media.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2982 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508991900090368 |
|---|---|
| author | Pogorui, A. О. Погоруй, А. О. |
| author_facet | Pogorui, A. О. Погоруй, А. О. |
| author_sort | Pogorui, A. О. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:41:38Z |
| description | We study fading random evolutions in multidimensional spaces. By reducing multidimensional cases to the one-dimensional case, we calculate the limit distributions of fading evolutions for some semi-Markov media. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
A. O. Pohoruj (Ûytomyr. derΩ. un-t im. I. Franka)
ZHASAGÇI EVOLGCI} V BAHATOVYMIRNYX PROSTORAX
We study fading random evolutions in multidimensional spaces. By reducing multidimensional cases to
the one-dimensional case, we calculate the limiting distributions of fading evolutions for some semi-
Markov media.
Yzuçagtsq zatuxagwye sluçajn¥e πvolgcyy v mnohomern¥x prostranstvax. V¥çyslen¥ hra-
nyçn¥e raspredelenyq zatuxagwyx πvolgcyj v nekotor¥x polumarkovskyx sredax putem svede-
nyq mnohomern¥x sluçaev k odnomernomu.
1. Vstup. Zhasagça evolgciq opysu[ rux çastynky, ßvydkist\ qko] pevnym çy-
nom upovil\ng[t\sq, napryklad, pid di[g zovnißnix syl, do povno] zupynky. V
robotax [1 – 3] vyvçalys\ zhasagçi markovs\ki ta napivmarkovs\ki evolgci] na
prqmij abo, inßymy slovamy, odnovymirni zhasagçi evolgci] u markovs\komu ta
napivmarkovs\komu seredovywax iz stepenevym po vidnoßenng do znaçen\ keru-
gçoho procesu upovil\nennqm ßvydkosti. Dlq okremyx vypadkiv, napryklad
pokaznykovoho u roboti [2] ta erlanhivs\koho i rivnomirnoho u [1, 3] vidpovidno,
vdalosq znajty funkci] hranyçnyx rozpodiliv u vyhlqdi zbiΩnyx rqdiv.
U cij statti doslidΩugt\sq zhasagçi evolgci], qki opysugt\ rux çastynky u
bahatovymirnyx prostorax. ZnaxodΩennq hranyçnyx rozpodiliv vypadkovyx
evolgcij u bahatovymirnyx prostorax u deqkyx napivmarkovs\kyx seredovywax
moΩna zvesty do vΩe znajdenyx hranyçnyx rozpodiliv u odnovymirnomu vypadku.
Zokrema, vyvça[t\sq hranyçnyj rozpodil zhasagçyx evolgcij, dlq qkyx peremy-
kagçyj proces ma[ ças perebuvannq, wo rozpodilenyj za Erlanhom çy rozpodi-
lom Maksvella.
2. Zhasagçi evolgci] v bahatovymirnyx prostorax. Nexaj ξ( )t = max :{n
τn t≤ } , t ≥ 0, de τn = θkk
n
=∑ 0
i θk ≥ 0, k = 0, 1, 2, … , — nezaleΩni odnako-
vo rozpodileni vypadkovi velyçyny z funkci[g rozpodilu G t( ) zi wil\nistg
g t
d
dt
G t( ) ( )= .
Rozhlqnemo rux çastynky, qka startu[ z poçatku koordynat (0, 0, … , 0) pros-
toru Rn
, n ≥ 1 , u moment t = 0 i ruxa[t\sq z poçatkovog absolgtnog ßvyd-
kistg v0 u naprqmku vypadkovoho odynyçnoho vektora
→η0
( )n
, poçatok qkoho
znaxodyt\sq v (0, 0, … , 0), a kinec\ ma[ rivnomirnyj rozpodil na odynyçnij
sferi x1
2 + x2
2 + … + xn
2 = 1. U moment çasu τ0 absolgtna ßvydkist\ ças-
tynky [ v1 u naprqmku vypadkovoho vektora
→η1
( )n
, odnakovo rozpodilenoho z
→η0
( )n
i z poçatkom v (0, 0, … , 0) i t.;d.
PoloΩennq çastynky
→
x tn( )( ) u moment çasu t zada[t\sq formulog
→
x tn( )( ) = v vi
i
t
i
n
i t t
n t t
=
∑ → →+ −( )
0
ξ
ξ ξη θ η ξ
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) . (1)
Dali budemo prypuskaty, wo vi
ia= , 0 < a < 1. Zhidno z [1 – 3], u c\omu vy-
© A. O. POHORUJ, 2010
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 11 1577
1578 A. O. POHORUJ
padku
→
x tn( )( ) budemo nazyvaty n-vymirnog zhasagçog evolgci[g. Nas cika-
vyt\ hranyçnyj rozpodil poloΩennq çastynky
→
x tn( )( ) pry t → ∞.
Poznaçymo çerez
→σ( )n
hranycg rqdu ai
i
m
i
n
i=∑ →
0
η θ( )
pry umovi, wo m →
→ + ∞. Dali budemo rozhlqdaty taki
→η i
n( )
, θi , pry qkyx rqd ai
i
m
i
n
i=∑ →
0
η θ( )
zbiha[t\sq z imovirnistg odynycq, tomu budemo poznaçaty
→σ( )n = ai
i i
n
i=
∞∑ →
0
η θ( )
,
magçy na uvazi cg zbiΩnist\.
Xarakterystyçna funkciq vypadkovoho vektora
→σ( )n
vyznaça[t\sq rozpodi-
lom joho proekci] σ na fiksovanu prqmu v Rn
[4]. Vykorystovugçy ce, moΩna
unyknuty analizu v Rn
.
Dovedemo tverdΩennq, qke bude vykorystano dlq znaxodΩennq rozpodilu
proekci]
→σ( )n
na fiksovanu prqmu.
TverdΩennq. Wil\nist\ rozpodilu proekci] ηi vektora
→η i
n( )
, n ≥ 3, na
dovil\nu fiksovanu prqmu prostoru Rn
ma[ vyhlqd
f x
n
n
x x
i
n
η π( )
( ) ,( )/
=
−
− −
Γ
Γ
2
1
2
1 2 3 2 ∈∈ −
∉ −
[ , ],
, [ , ].
1 1
0 1 1x
(2)
Dovedennq. Poznaçymo çerez Sn plowu odynyçno] sfery Ωn = {(x1 ,
x2 , … , xn ) : x1
2 + x2
2 + … + xn
2 = 1}, a çerez Vn ob’[m odynyçno] kuli Bn =
= {(x1 , x2 , … , xn ) : x1
2 + x2
2 + … + xn
2 ≤ 1}.
Dlq n ≥ 3 budemo obçyslgvaty Sn , qk plowu poverxni obertannq pivsfery
Ωn−1 = {(x1 , x2 , … , xn−1) : x1
2 + x2
2 + … + xn−1
2 = 1, xn−1 ≥ 0} navkolo hiper-
plowyny xn−1 = xn = 0. Poznaçagçy f x x xn( , , , )1 2 2… − =
= 1 1
2
2
2
2
2− − − … − −x x xn = xn−1 ≥ 0, ma[mo
Sn =
B
n
n
f x x x
−
∫ … −
2
2 1 2 2π ( , , , ) ×
× 1
1
2
2
2
2
+
∂
∂
+
∂
∂
+ … +
∂
∂
−
f
x
f
x
f
xn
22
1 2 2dx dx dxn… − =
= 2
2
1 2 2π
B
n
n
dx dx dx
−
∫ … − = 2 2πVn− . (3)
Lehko baçyty, wo
f x x x
f
x
f
x
n( , , , )1 2 2
1
2
2
2
1… +
∂
∂
+
∂
∂
+− …… +
∂
∂
−
f
xn 2
2
= 1, (4)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 11
ZHASAGÇI EVOLGCI} V BAHATOVYMIRNYX PROSTORAX 1579
x x x Bn
n
1 2 2
2, , ,… ∈−
−
.
Iz (3), (4) vyplyva[, wo proekciq
→
−η
Bn 2 vektora
→η i
n( )
na Bn−2
ma[ rivnomir-
nyj rozpodil na Bn−2
. Dijsno, qkwo ∆1 , ∆2 ⊂ Bn−2
, do toho Ω ]xni miry
rivni, m( )∆1 = m( )∆2 , de m( )⋅ — mira Lebeha v Rn−2
, to i plowi S i( )∆ =
= 2π
∆i
dx dx dxn∫ … −1 2 2 , i = 1, 2, çastyn sfery Sn , wo proektugt\sq na ∆1 ,
∆2 vidpovidno, [ rivnymy. Napryklad, qk vidomo iz [4], pry n = 3 proekciq
vektora
→η i
( )3
na fiksovanu prqmu ma[ rivnomirnyj rozpodil na vidrizku [ –1, 1] .
Ob’[m odynyçno] kuli Bn−2
obçyslg[t\sq za formulog
Vn−2 =
−
−∫ −
1
1
3
21V x dxn ( ) =
Γ
Γ
n
n
x dxn2
1
2
1
1
1
2 3 2
−
−
−
−∫
π
( )( )/
,
de V xn− −( )3
21 — ob’[m (n – 3) -vymirno] sfery radiusa 1 2− x [5]. Zvidsy
zhidno z pryncypom Kaval\[ri vyplyva[, wo wil\nist\ rozpodilu proekci] ηi
vektora
→η i
n( )
, n ≥ 3, na cg prqmu ma[ vyhlqd (2).
NyΩçe navedeno pryklady, qki pokazugt\ qk znaxodΩennq hranyçnoho roz-
podilu zhasagço] evolgci] u pevnomu napivmarkovs\komu seredovywi u bahatovy-
mirnomu prostori moΩna zvesty do obçyslennq hranyçnoho rozpodilu dlq od-
novymirno] evolgci] u vidpovidnomu napivmarkovs\komu seredovywi.
3. Pryklady. 3.1. Tryvymirnyj vypadok. Rozhlqnemo vypadok n = 3. Qk
vyplyva[ iz (2), dlq vsix i ≥ 1 proekciq ηi vektora
→η i
( )3
na fiksovanu prqmu [
vypadkovog velyçynog z rivnomirnym na vidrizku [ –1, 1] rozpodilom. OtΩe,
proekciq σ vektora
→σ( )3
na cg prqmu ma[ vyhlqd σ =
i
i
i ia
=
∞∑ 0
η θ , de vypad-
kova velyçyna η θi i ma[ rozpodil
F t( ) = P η θi i t≤( ) =
1
2
1
2
0
1
2
0
1
0
1
+
≥
−
∫
∫
G
t
x
dx t
G
t
x
dx t
, ,
, <<
0.
Dlq wil\nosti f t( ) =
d
dt
F t( ) pry t ≥ 0 otrymu[mo f t( ) =
t
g x
x
dx
+∞
∫
1
2
( )
,
zvidky
t
d
dt
f t g t( ) – ( )=
1
2
, t ≥ 0. (5)
Analohiçno pry t < 0
t
d
dt
f t g t( ) ( )= −
1
2
. (6)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 11
1580 A. O. POHORUJ
Nexaj vypadkovi velyçyny θk , k = 0, 1, 2, … , magt\ erlanhivs\kyj rozpodil
g t( ) = λ λ2te t− , λ > 0, t ≥ 0. Z (5), (6) vyplyva[, wo f t( ) =
1
2
λ λe t− | |
, tobto dlq
vsix i ≥ 1 vypadkovu velyçynu η θi i moΩna zobrazyty u vyhlqdi η θi i = ζ ζi i− ′ ,
de ζi , ′ζi — nezaleΩni vypadkovi velyçyny z eksponencial\nym rozpodilom
F xζ( ) = 1 – e t−λ , t ≥ 0, i σ =
i
i
i ia
=
∞∑ 0
η θ zapysu[t\sq u vyhlqdi
σ =
i
i
i
j
j
ja a
=
∞
=
∞
∑ ∑ ′
0 0
ζ ζ– ,
de
i
i
ia
=
∞∑ 0
ζ i
j
j
ja
=
∞∑ ′
0
ζ — nezaleΩni odnakovo rozpodileni vypadkovi ve-
lyçyny.
Funkciq rozpodilu vypadkovo] velyçyny µ =
i
i
ia
=
∞∑ 0
ζ znaxodyt\sq u vy-
hlqdi [2]
F xµ( ) = 1 + c e x
0
−λ + c e
x
a
1
−λ
+ c e
x
a
2
2
−λ
+ c e
x
a
3
3
−λ
+ … , x ≥ 0.
Zvidsy funkciq rozpodilu σ ma[ vyhlqd
F xσ ( ) = F x u dF u
x
µ µ( ) ( )+
−
∞
∫ .
Qkwo θk , k = 0, 1, 2, … , magt\ wil\nist\ rozpodilu Maksvella g t( ) =
= 2 2 22
/ /π t e t−
, to iz (5), (6) vyplyva[, wo vypadkova velyçyna ζi = η θi i ma[
wil\nist\ normal\noho rozpodilu
f t( ) =
1
2
2 2
π
e t− /
.
Oskil\ky normal\nyj rozpodil [ stijkym, to z uraxuvannqm rezul\tativ [3]
wil\nist\ rozpodilu F tσ ( ) vypadkovo] velyçyny σ =
i
i
ia
=
∞∑ 0
ζ [ normal\nog i
ma[ vyhlqd
f tσ ( ) =
1
2 1 2
2
1
1
2
2
π( )−
−
−
a
e
t
a
.
3.2. P’qtyvymirnyj vypadok. Zhidno z tverdΩennqm wil\nist\ f x
iη ( )
rozpodilu proekci] ηi vektora
→η i
( )5
na fiksovanu prqmu v R5
ma[ vyhlqd
f x
iη ( ) =
3
4
1 1 1
0 1 1
2( ), [ , ],
, [ , ].
− ∈ −
∉ −
x x
x
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 11
ZHASAGÇI EVOLGCI} V BAHATOVYMIRNYX PROSTORAX 1581
Funkciq rozpodilu vypadkovo] velyçyny η θi i zobraΩu[t\sq u vyhlqdi
F t( ) = P η θi i t≤( ) =
1
2
3
4
1 0
3
4
0
1
2
0
1
+
− ≥
−
∫
∫
G
t
x
x dx t
G
t
x
( ) , ,
− <
( ) , .1 02x dx t
Prypustymo, wo isnu[ wil\nist\ g t( ) =
dG t
dt
( )
, todi dlq t ≥ 0
f t( ) =
dF t
dt
( )
=
3
4
1
0
1 2
∫
−
g
t
x
x
x
dx
( )
.
Analohiçno dlq t < 0
f t( ) =
dF t
dt
( )
=
3
4
1
0
1 2
∫ −
−
g
t
x
x
x
dx
( )
.
Nexaj vypadkovi velyçyny θk , k = 0, 1, 2, … , magt\ erlanhivs\kyj rozpodil
g t( ) =
1
6
3t e t−
, todi wil\nist\ rozpodilu η θi i ma[ vyhlqd
f t( ) =
1
4
1 +( ) −t e t
.
Zvidsy vyplyva[, wo f t( ) =
1
4 −∞
∞ − − −∫ e e dut u u
, tobto η θi i = ξi + ′ξi , de ξi ,
′ξi — nezaleΩni vypadkovi velyçyny, qki magt\ wil\nist\ Laplasa f tξ ( ) =
=
1
2
e t−
.
Dlq c\oho vypadku znaxodΩennq funkci] rozpodilu F xσ ( ) vypadkovo] vely-
çyny σ =
i
i
i ia
=
∞∑ 0
η θ opysano u poperedn\omu prykladi.
3.3. Dvovymirnyj vypadok. Rozhlqnemo vypadok, koly n = 2. Lehko baçy-
ty, wo dlq c\oho vypadku formula (2) takoΩ spravedlyva, tobto proekciq ηi
vektora
→η i
( )2
na fiksovanu prqmu ma[ wil\nist\ rozpodilu
f x
iη ( ) =
1
1
1
0 1
2π −
≤
>
x
x
x
, ,
, .
Tomu funkciq rozpodilu F t+ ( ) dovΩyny proekci] ζi = η θi i vektora
→η θi i
( )2
na prqmu ma[ vyhlqd
F t+ ( ) =
0
1
2
2
1
∫
−
G
t
x x
dx
π
=
2
0
2
π θ
θ
π /
sin∫
G
t
d , t ≥ 0. (7)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 11
1582 A. O. POHORUJ
Vidomo [4], wo koly isnu[ wil\nist\ f t+ ( ) =
d
dt
F t+ ( ) , to formula (7) ekviva-
lentna nastupnij:
G t( ) = 1 – t f
t d
0
2
2
π
θ
θ
θ
/
sin sin∫ +
. (8)
Pidstavlqgçy u (8) f t+ ( ) =
d
dt
F t+ ( ) =
1 0 1
0 1
, ,
, ,
≤ ≤
>
t
t
otrymu[mo
G t( ) = 1 – t
d
tarc sin
/
sin
π θ
θ
2
2∫ = 1 – 1 2− t .
Zvidsy vyplyva[, wo qkwo vypadkovi velyçyny θk , k = 0, 1, 2, … , magt\ funk-
cig rozpodilu G t( ) = 1 – 1 2− t , to dovΩyna proekci] ζi = η θi i vektora
→η θi i
( )2
na prqmu ma[ rivnomirnyj rozpodil na vidrizku [ –1, 1] .
U c\omu vypadku funkciq rozpodilu F xσ ( ) vypadkovo] velyçyny σ =
=
i i i i=
∞∑ 0
v η θ znaxodyt\sq u vyhlqdi [3]
F xσ ( ) =
n
n
x
a
m
m
x ac e b en m
=
+∞ −
=
+∞
−∑ ∑+
0 1
2 2
.
1. Pohoruj A. O. Stacionarni rozpodily zhasagçyx evolgcij // Ukr. mat. Ωurn. – 2009. – 61,
#;3. – S. 425 – 431.
2. Samojlenko I. V. Zhasagçi markovs\ki evolgci] // Tam Ωe. – 2002. – 54, # 3. – S. 448 – 459.
3. Pogorui A. A., Rodriguez-Dagnino R. M. Limiting distribution of fading evolution in some semi-
Markov media // Tam Ωe. – 2009. – 61, # 12. – S. 1720 – 1724.
4. Feller V. Vvedenye v teoryg veroqtnostej y ee pryloΩenyq. – M.: Myr, 1984. – T. 2. –
751;s.
5. Íylov H. E. Matematyçeskyj analyz. Funkcyy neskol\kyx vewestvenn¥x peremenn¥x. –
M.: Nauka, 1972. – 618 s.
OderΩano 18.02.10,
pislq doopracgvannq — 23.07.10
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 11
|
| id | umjimathkievua-article-2982 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:00Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e9/078c3d745a988d700336dab4dd0dc8e9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29822020-03-18T19:41:38Z Fading evolutions in multidimensional spaces Згасаючі еволюції в багатовимірних просторах Pogorui, A. О. Погоруй, А. О. We study fading random evolutions in multidimensional spaces. By reducing multidimensional cases to the one-dimensional case, we calculate the limit distributions of fading evolutions for some semi-Markov media. Изучаются затухающие случайные эволюции в многомерных пространствах. Вычислены граничные распределения затухающих эволюций в некоторых полумарковских средах путем сведения многомерных случаев к одномерному. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2982 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 11 (2010); 1577–1582 Український математичний журнал; Том 62 № 11 (2010); 1577–1582 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2982/2714 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2982/2715 Copyright (c) 2010 Pogorui A. О. |
| spellingShingle | Pogorui, A. О. Погоруй, А. О. Fading evolutions in multidimensional spaces |
| title | Fading evolutions in multidimensional spaces |
| title_alt | Згасаючі еволюції в багатовимірних просторах |
| title_full | Fading evolutions in multidimensional spaces |
| title_fullStr | Fading evolutions in multidimensional spaces |
| title_full_unstemmed | Fading evolutions in multidimensional spaces |
| title_short | Fading evolutions in multidimensional spaces |
| title_sort | fading evolutions in multidimensional spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2982 |
| work_keys_str_mv | AT pogoruiao fadingevolutionsinmultidimensionalspaces AT pogorujao fadingevolutionsinmultidimensionalspaces AT pogoruiao zgasaûčíevolûcíívbagatovimírnihprostorah AT pogorujao zgasaûčíevolûcíívbagatovimírnihprostorah |