The order law of large numbers of the Marcinkiewicz - Zygmund
The Marcinkiewicz - Zygmund order law of large numbers is established for random variables in Banach lattices. Similar results are obtained also for the maximum scheme.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2984 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508992991657984 |
|---|---|
| author | Akbash, K. S. Matsak, I. K. Акбаш, К. С. Мацак, І. К. |
| author_facet | Akbash, K. S. Matsak, I. K. Акбаш, К. С. Мацак, І. К. |
| author_sort | Akbash, K. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:41:53Z |
| description | The Marcinkiewicz - Zygmund order law of large numbers is established for random variables in Banach
lattices. Similar results are obtained also for the maximum scheme. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
К. С. Акбаш, I. K. Mацак (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПОРЯДКОВИЙ ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ
ТИПУ МАРЦИНКЕВИЧА – ЗИҐМУНДА
The Marcinkiewicz – Zygmund order law of large numbers is established for random variables in Banach
lattices. Similar results are obtained also for the maximum scheme.
Для случайных величин в банаховых решетках установлен порядковый закон больших чисел Марцин-
кевича – Зиґмунда. Подобные результаты получены и для схемы максимума.
1. Вступ. Основнi результати. Нехай ξ, ξ1, ξ2, . . .— незалежнi однаково розподiленi
випадковi величини (н. о. р. в. в.) в R. У роботi Марцинкевича, Зиґмунда [1] було
одержано таке узагальнення закону великих чисел (ЗВЧ) Колмогорова: для 1 6 p <
< 2 майже напевно (м. н.)
lim
n→∞
1
n1/p
n∑
i=1
ξi = 0,
якщо E|ξ|p <∞ i Eξ = 0.
Нехай (Xi) — послiдовнiсть незалежних копiй випадкового елемента (в. е.) X
зi значеннями в сепарабельному банаховому просторi B i Sn =
∑n
i=1
Xi. Вiдомо
[2, с. 259], що для банахових просторiв типу p, 1 6 p < 2, за умов
E‖X‖p < ∞ (1)
i EX = 0 також виконується ЗВЧ Марцинкевича – Зиґмунда вигляду
lim
n→∞
1
n1/p
‖Sn‖ = 0 м. н. (2)
Далi через B позначатимемо сепарабельну банахову ґратку з модулем | · |.
Нexай 1 6 p < ∞. Банаxова ґратка B називається p-опуклою, якщо iснує така
стала D(p) = D(p)(B), що для будь-якого n i для будь-якиx елементiв (xi)
n
1 ⊂ B∥∥∥∥∥∥
(
n∑
i=1
|xi|p
)1/p
∥∥∥∥∥∥ 6 D(p)
(
n∑
i=1
‖xi‖p
)1/p
i, аналогiчно, q-вгнутою (1 6 q < ∞), якщо для деякої сталої D(q) = D(q)(B)
виконується обернена нерiвнiсть(
n∑
i=1
‖xi‖q
)1/q
6 D(q)
∥∥∥∥∥∥
(
n∑
i=1
|xi|q
)1/q
∥∥∥∥∥∥ .
Для послiдовностi Xi, i > 1, незалежних копiй випадкового елемента (в. е.) X iз
значеннями в B покладемо
c© К. С. АКБАШ, I. K. MАЦАК, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12 1587
1588 К. С. АКБАШ, I. K. MАЦАК
Sn =
n∑
i=1
Xi, S∗n = sup
k6n
|Sk|, n = 1, 2, . . . .
У роботi [3] показано, що при умовi (1) ЗВЧ (2) у випадку p-опуклих (1 6 p < 2)
та q-вгнутих (1 6 q <∞) банахових ґраток можна пiдсилити до рiвностi
lim
n→∞
1
n1/p
‖S∗n‖ = 0 м. н.
У банаховiй ґратцi поряд iз збiжнiстю за нормою можна розглядати порядко-
ву збiжнiсть (o-збiжнiсть). Нагадаємо, що послiдовнiсть елементiв (xn) банахової
ґраткиB називається o-збiжною до елемента x, x = o−limn→∞ xn, якщо iснує така
послiдовнiсть (vn), що |x− xn| < vn i vn ↓ 0, тобто v1 > v2 > . . . i infn>1 vn = 0
[4, 5].
Для в. е. X зi значеннями у банаховiй ґратцi (з EX = 0) можна розглянути
порядковий закон великих чисел (o-ЗВЧ) Марцинкевича – Зиґмунда
o− lim
n→∞
Sn
n
1
p
= 0 м. н. (3)
При p = 1 маємо звичайний порядковий закон великих чисел у банаховiй ґратцi,
який вивчався у роботi [6].
Основним результатом даної роботи є така теорема.
Теорема 1. Нехай 1 6 p < p′ 6 2, B — сепарабельна банахова ґратка,
p′-опукла i q-вгнута при деякому q, 1 6 q < ∞, X — випадковий елемент iз
значеннями в B, EX = 0. Тодi еквiвалентнi такi умови:
i) X задовольняє закон великих чисел (2);
ii) X задовольняє порядковий закон великих чисел (3);
iii) виконується умова (1).
Наслiдок 1. Нехай 1 6 p < 2, p < p′ <∞, X — випадковий елемент iз значен-
нями у просторi Lp′ (lp′), EX = 0. Тодi умови i) – iii) теореми 1 еквiвалентнi.
Зауваження 1. Контрприклад, наведений у п. 4, показує, що у просторi `p,
1 6 p < 2 (який має тип p), iснує в. е., який задовольняє нерiвнiсть (1) i разом
з тим для нього не виконується порядковий закон великих чисел Марцинкевича –
Зиґмунда (3).
У наступнiй теоремi розглядаємо випадок, коли (Xn) — послiдовнiсть незалеж-
них в. е., не обов’язково однаково розподiлених.
Теорема 2. Нехай 1 6 p < p′ 6 2, B — сепарабельна банахова ґратка, p′-
опукла i q-вгнута при деякому q, 1 6 q < ∞, (Xn) — послiдовнiсть незалежних
випадкових елементiв зi значеннями в B i EXn = 0 для кожного n. Тодi умова∑
n>1
1
np′/p
E‖Xn‖p
′
<∞ (4)
є достатньою для справедливостi порядкового закону великих чисел (3).
Зазначимо, що близькi до теореми 1 результати отримано i для схеми максимуму
(див. п. 3).
2. Доведення теореми 1. Еквiвалентнiсть умов i) та iii) — це вiдомий резуль-
тат [2].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПОРЯДКОВИЙ ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ ТИПУ МАРЦИНКЕВИЧА – ЗИҐМУНДА 1589
Покажемо еквiвалентнiсть умов ii) та iii). Неважко помiтити, що якщо викону-
ється порядковий закон великих чисел (3), то
sup
n>1
‖Xn‖
n
1
p
6 2 sup
n>1
‖Sn‖
n
1
p
6 2
∥∥∥∥ sup
n>1
|Sn|
n
1
p
∥∥∥∥ <∞ м. н.
Легко перевiрити, що з умови
sup
n>1
‖Xn‖
n
1
p
<∞ м. н.
випливає E‖X‖p <∞.
Залишилося встановити зворотну iмплiкацiю iii) ⇒ ii).
Сепарабельна σ-повна банахова ґратка порядково iзометрична деякому банахо-
вому iдеальному простору (БIП). Оскiльки q-вгнута банахова ґратка звичайно буде
σ-повною, то без обмеження загальностi можна вважати, що B — сепарабельний
q-вгнутий БIП, заданий на деякому вимiрному просторi (T,Λ, µ), µ(T ) = 1 (див.
[4, 5]).
Для такого простору умови
µ
(
t ∈ T : lim
n→∞
xn(t) = x(t)
)
= 1, (5)
iснує y = (y(t), t ∈ T ) ∈ B такий, що
µ(t ∈ T : |xn(t)| 6 y(t)) = 1, (6)
достатнi для o-збiжностi послiдовностi (xn) до x [7].
Нехай
Xn = (Xn(t), t ∈ T ), Sn = (Sn(t), t ∈ T ),
τ =
∥∥∥∥sup
n>1
|Sn|
n
1
p
∥∥∥∥ .
Щоб встановити умови (5), (6), достатньо показати, що
µ
(
t ∈ T : lim
n→∞
Sn(t)
n
1
p
= 0
)
= 1 м. н., (7)
τ <∞ м. н. (8)
Спочатку доведемо оцiнку (8). При цьому скористаємось методом iз роботи [6].
Припустимо спочатку, що X — симетричний в. е. Тодi можна вважати, що X =
= εX̂, де X̂ i ε незалежнi, X̂ — копiя X, ε — симетрична в. в. Бернуллi.
Нехай (Xn), (X̂n), (εn) — послiдовностi незалежних копiйX, X̂ та ε вiдповiдно.
Покладемо
X̄n = X̂nI(‖X̂n‖ 6 n
1
p ), X̃n = X̂nI(‖X̂n‖ > n
1
p ),
S̄n =
n∑
i=1
εiX̄i, S̃n =
n∑
i=1
εiX̃i.
Зрозумiло, що Xn = εn(X̄n + X̃n) i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1590 К. С. АКБАШ, I. K. MАЦАК
τ 6
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n|
n
1
p
∥∥∥∥+
∥∥∥∥∥sup
n>1
|S̃n|
n
1
p
∥∥∥∥∥ м. н. (9)
Вiдомо [8, с. 278], що з умови (1) випливає обмеженiсть ряду∑
n>1
P(‖Xn‖ > n
1
p ) <∞ .
За лемою Бореля – Кантеллi це означає, що м. н. лише скiнченне число в. е. X̃n
вiдмiнне вiд 0, тобто ∥∥∥∥∥sup
n>1
|S̃n|
n
1
p
∥∥∥∥∥ <∞ м. н.
Оцiнка (8) буде правильною, якщо ми покажемо, що перший доданок у правiй
частинi нерiвностi (9) є обмеженим. Для цього достатньо показати, що
EX̂
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n|
n
1
p
∥∥∥∥q <∞ м. н., (10)
де через EX̂(ξ) позначено математичне сподiвання в. в. ξ при фiксованiй послi-
довностi (X̂n).
При доведеннi нерiвностi (10) використаємо двi оцiнки з наступних лем.
Лема 1 [9]. НехайB — сепарабельний q-вгнутий, 1 6 q <∞, банахiв iдеальний
простiр, Y = (Y (t), t ∈ T ) — випадковий елемент iз значеннями в B. Тодi
(E‖Y ‖q)1/q 6 D(q)‖(E|Y (t)|q)1/q‖.
Лема 2. Нехай (ai) — послiдовнiсть дiйсних чисел, α > 0. Тодi
max
16k6n
1
kα
∣∣∣∣∣
k∑
i=1
ai
∣∣∣∣∣ 6 2 max
16k6n
∣∣∣∣∣
k∑
i=1
ai
iα
∣∣∣∣∣.
Лема 2 — окремий випадок вiдомої нерiвностi (див. роботи [1, 10]).
Iз лем 1, 2 маємо(
EX̂
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n|
n
1
p
∥∥∥∥q)1/q
6 D(q)
∥∥∥∥∥
(
EX̂ sup
n>1
∣∣∣∣ S̄n(t)
n
1
p
∣∣∣∣q)1/q
∥∥∥∥∥ 6
6 2D(q)
∥∥∥∥∥∥
(
EX̂ sup
n>1
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
εiX̄i(t)
i
1
p
∣∣∣∣∣
q)1/q
∥∥∥∥∥∥ . (11)
Далi скористаємось нерiвностями Левi [2, c. 48] та Хiнчина [11, c. 251] для симет-
ричних в. в. Бернуллi(
EX̂ sup
n>1
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
εiX̄i(t)
i
1
p
∣∣∣∣∣
q)1/q
6
(
2EX̂
∣∣∣∣∣
∞∑
n=1
εnX̄n(t)
n
1
p
∣∣∣∣∣
q)1/q
6
6 Cq
( ∞∑
n=1
∣∣∣∣X̄n(t)
n
1
p
∣∣∣∣2
)1/2
. (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПОРЯДКОВИЙ ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ ТИПУ МАРЦИНКЕВИЧА – ЗИҐМУНДА 1591
Оскiльки при p′ 6 2 у банаховiй ґратцi виконується нерiвнiсть(
n∑
i=1
|xi|2
)1/2
6
(
n∑
i=1
|xi|p
′
)1/p′
,
то, враховуючи (11) та (12), одержуємо
(
EX̂
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n|
n
1
p
∥∥∥∥q)1/q
6 C(B)
( ∞∑
n=1
‖X̄n‖p
′
n
p′
p
)1/p′
. (13)
Залишилося показати, що збiгається ряд у правiй частинi нерiвностi (13). Маємо
∞∑
n=1
E‖X̄n‖p
′
n
p′
p
=
∞∑
n=1
1
n
p′
p
∞∫
0
P(‖X̄n‖p
′
> t)dt =
=
∞∑
n=1
1
n
p′
p
n
p′
p∫
0
P(‖Xn‖p
′
I(‖Xn‖ 6 n
1
p ) > t)dt 6
6
∞∑
n=1
1
n
p′
p
n
p′
p∫
0
P(‖X‖p
′
> t)dt =
∞∫
0
P(‖X‖p
′
> t)βp(t)dt, (14)
де βp(t) =
∑
n
p′
p >t
1
n
p′
p
.
Оскiльки при p′ > p > 1 i t→∞
∑
n>t
1
n
p′
p
∼
p′
p
− 1
t
p′
p −1
,
то
βp(t) ∼
p′
p
− 1
t
1− p
p′
.
Вiдповiдно скiнченнiсть останнього iнтеграла в (14) еквiвалентна умовi
∞∫
0
P(‖X‖p
′
> t)t
p
p′−1dt <∞. (15)
Пiдставляючи у вiдому рiвнiсть [8, с. 178]
E|ξ|α = α
∞∫
0
P(|ξ| > t)tα−1dt,
α =
p
p′
, ξ = ‖X‖p′ , одержуємо, що умова (15) еквiвалентна умовi (2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1592 К. С. АКБАШ, I. K. MАЦАК
Дiйсно,
p
p′
∞∫
0
P(‖X‖p
′
> t)t
p
p′−1dt = E(‖X‖p
′
)
p
p′ = E‖X‖p <∞.
Оскiльки можна вважати, що 1 6 p < p′ 6 2 6 q <∞, то з (13) – (15) маємо
E
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n|
n
1
p
∥∥∥∥p
′
6 C(B)E‖X‖p. (16)
Отже, оцiнка (8) є правильною.
Залишилося довести рiвнiсть (7).
Для порядково обмеженої послiдовностi (xn) елементiв σ-повної банахової
ґратки верхню границю можна визначити рiвнiстю (див. [12, с. 504])
lim sup
n→∞
xn = inf
m
( sup
n>m
xn) .
В умовах теореми 1 простiр B буде σ-повною банаховою ґраткою. А згiдно з
оцiнкою (8) (|Sn|/n
1
p ) буде порядково обмеженою послiдовнiстю. Тому в B iснує
випадковий елемент Q:
Q = lim sup
n→∞
|Sn|
n
1
p
.
Зрозумiло, що умова (7) випливатиме з рiвностi
‖Q‖ = 0 м. н. (17)
Покажемо, що вона справдi виконується.
Iз оцiнок (14), (15) випливає збiжнiсть ряду
∑∞
n=1
E‖X̄n‖p
′
n
p′
p
. Тому для будь-
якого ε > 0 iснує n0 таке, що
∑
n>n0
E‖X̄n‖p
′
n
p′
p
< εp
′
. (18)
Покладемо
S̄n1 =
n∑
i=1
εiX̄i1, S̄n2 =
n∑
i=1
εiX̄i2 ,
де
X̄i1 =
{
X̄i при i 6 n0,
0 при i > n0,
а X̄i2 =
{
0 при i 6 n0,
X̄i при i > n0.
Зрозумiло, що Sn = S̄n1 + S̄n2 + S̃n i
Q 6 lim sup
n→∞
1
n1/p
|S̄n1|+ sup
n>1
1
n1/p
|S̄n2|+ lim sup
n→∞
1
n1/p
|S̃n| м. н. (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПОРЯДКОВИЙ ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ ТИПУ МАРЦИНКЕВИЧА – ЗИҐМУНДА 1593
Як було зазначено вище, послiдовнiсть (X̃n) м. н. мiстить лише скiнченне число
ненульових членiв, а послiдовнiсть (X̄n) мiстить n0 ненульових елементiв, тому
lim sup
n→∞
1
n1/p
|S̃n| = lim sup
n→∞
1
n1/p
|S̄n1| = 0 м. н. (20)
Неважко побачити, що оцiнка (13) залишається правильною при замiнi послiдов-
ностi (S̄n) на (S̄n2). Тому
(
EX̂
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n2|
n
1
p
∥∥∥∥q)1/q
6 C(B)
( ∞∑
n=1
‖X̄n2‖p
′
n
p′
p
)1/p′
= C(B)
( ∞∑
n>n0
‖X̄n‖p
′
n
p′
p
)1/p′
.
Звiдси
E
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n2|
n
1
p
∥∥∥∥ 6 E
(
EX̂
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n2|
n
1
p
∥∥∥∥q)1/q
6 C(B)
( ∞∑
n>n0
E‖X̄n‖p
′
n
p′
p
)1/p′
. (21)
Збираючи разом оцiнки (18) – (21), маємо
E‖Q‖ < C(B)ε ,
де C(B) — абсолютна константа, яка залежить лише вiд B. Внаслiдок довiльностi
ε звiдси випливає (17).
Таким чином, iмплiкацiю iii)⇒ ii) теореми 1 встановлено для симетричних в. е.
Загальний випадок зведемо до симетричного, використавши стандартну проце-
дуру симетризацiї. Для цього нам потрiбнi два допомiжних твердження.
Лема 3 (Хофман – Йоргенсен). Нехай (Yn) — послiдовнiсть незалежних випад-
кових елементiв у сепарабельному банаховому просторi B, ряд
∑
n>1
Yn збiга-
ється в B м. н. i 0 < r <∞. Тодi еквiвалентнi умови:
i) E supn ‖Yn‖r <∞;
ii) E‖
∑
n>1
Yn‖r <∞
(див. [11, с. 231], наслiдок 2).
Лема 4. Нехай (ξi) — послiдовнiсть незалежних копiй випадкової величини ξ
в R, 0 < r < p <∞. Тодi
E sup
n>1
∣∣∣∣ ξnn1/p
∣∣∣∣r < p
p− r
(E|ξ|p)r/p.
Ця лема мiститься у твердженнi 1 роботи [13].
Нехай EXn = 0. Так само, як i в симетричному випадку, основний момент
доведення — встановлення оцiнки типу (16).
Позначимо
X̄n = XnI(‖Xn‖ 6 n
1
p ),
X̄(s)
n = XnI(‖Xn‖ 6 n
1
p )−X ′nI(‖X ′n‖ 6 n
1
p ),
S̄(s)
n =
n∑
i=1
X̄
(s)
i , S̄n =
n∑
i=1
X̄i,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1594 К. С. АКБАШ, I. K. MАЦАК
(X ′n) — незалежна копiя послiдовностi (Xn).
Далi скористаємось оцiнкою (16)) у симетричному випадку та вiдомою момент-
ною оцiнкою в банаховому просторi ([11, c. 222], лема 3.4). Маємо
(
E
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n|
n1/p
∥∥∥∥p
′) 1
p′
6 4+
E
∥∥∥∥∥sup
n>1
| ¯
S
(s)
n |
n1/p
∥∥∥∥∥
p′
1
p′
6 4+ C(B)(E‖X‖p)
1
p′ ,
(22)
де
4 =
∥∥∥∥∥∥sup
n>1
∣∣∣∣∣∣
∑n
k=1
EXkI(‖Xk‖ < k1/p)
n1/p
∣∣∣∣∣∣
∥∥∥∥∥∥ .
Оцiнимо величину 4 зверху. Iз леми 2 отримуємо
4 6 2
∥∥∥∥∥sup
n>1
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
EXkI(‖Xk‖ > k1/p)
k1/p
∣∣∣∣∣
∥∥∥∥∥ 6 2
∥∥∥∥∥
∞∑
k=1
E|Xk|I(‖Xk‖ > k1/p)
k1/p
∥∥∥∥∥ 6
6 2E
∥∥∥∥∥
∞∑
k=1
|Xk|I(‖Xk‖ > k1/p)
k1/p
∥∥∥∥∥ . (23)
Останнiй ряд в оцiнцi (23) мiстить лише скiнченне число вiдмiнних вiд нуля
доданкiв, а отже, збiгається м. н. Тодi за лемою 3 права частина в (23) буде обмеже-
ною, якщо
E sup
n>1
‖Xn‖
n1/p
I(‖Xn‖ > n1/p) <∞. (24)
Але остання нерiвнiсть в умовах теореми безпосередньо випливає iз леми 4 (слiд
покласти r = 1, ξn = ‖Xn‖)
E sup
n>1
‖Xn‖
n1/p
6
p
p− 1
(E‖X‖p)1/p <∞
i, звичайно, (24) також виконується.
Звiдси та з (22) – (24) випливає обмеженiсть величини
E
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n|
n
1
p
∥∥∥∥p
′
.
Подальший перехiд до оцiнок (6), (7) в основному повторює симетричний випадок.
Лему доведено.
Доведення теореми 2 легко випливає з наведених вище мiркувань, тому ми його
не наводимо.
3. o-ЗВЧ для схеми максимуму. Для послiдовностi (Xi) незалежних копiй
випадкового елемента (в. е.) X зi значеннями у банаховiй ґратцi B покладемо
Zn = max16i6n |Xi|. Тодi можна розглянути порядковий закон великих чисел типу
Марцинкевича – Зиґмунда для схеми максимуму
o− lim
n→∞
Zn
n
1
p
= 0 м. н. (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПОРЯДКОВИЙ ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ ТИПУ МАРЦИНКЕВИЧА – ЗИҐМУНДА 1595
Простi достатнi умови для виконання o-ЗВЧ Марцинкевича – Зиґмунда для схе-
ми максимуму знайдено в роботi [13]:
для сепарабельної q-вгнутої банахової ґратки, 1 6 q < ∞, 0 < p < 2, i при
1 6 p < 2, EX = 0 будь-яка з умов:
i) якщо p < q i iснує Sq(X),
ii) якщо p = q, φ(t) = |t|q ln(1 + |t|q) i iснує Sφ(X),
iii) якщо p > q i iснує Sp(X),
є достатньою для виконання o-ЗВЧ (25) (де Sq(X) та Sφ(X) — середнє вiдхилення
степеня q та вiдповiдно середнє ψ-вiдхилення в. е. X, див. [13]).
Метод, наведений вище, дозволив одержати критерiй для виконання o-ЗВЧ (25)
в банахових ґратках навiть без умови q-вгнутостi.
Теорема 3. Нехай B — сепарабельна σ-повна p′-опукла банахова ґратка,
1 6 p < p′ < ∞, X — випадковий елемент iз значеннями в B. Тодi умова (1)
еквiвалентна рiвностi (25).
Доведення теореми 3 фактично мiститься у доведеннi теореми 1, q-вгнутiсть
банахової ґраткиB використовується лише в оцiнках (11) та (12). Вiдповiдна оцiнка
для теореми 3 матиме вигляд
sup
n>1
∣∣∣∣ X̄n
n1/p
∣∣∣∣ 6
( ∞∑
n=1
∣∣∣∣ X̄n
n1/p
∣∣∣∣p
′)1/p′
.
Ця оцiнка буде правильною для довiльної банахової ґратки. Далi необхiдно повто-
рити мiркування з доведення теореми 1.
4. Приклад. Нехай 1 6 p < 2. Побудуємо приклад в. е. X iз значеннями у
просторi `p (вiн має тип p, але не буде p′-опуклим при p′ > p), який при будь-
якому m > 0 задовольняє нерiвнiсть
E‖X‖m <∞ (26)
i разом з тим для нього ∥∥∥∥sup
n>1
∣∣∣∣Xn
n
1
p
∣∣∣∣∥∥∥∥
lp
=∞ м. н., (27)
де (Xn) — послiдовнiсть незалежних копiй в. е.X. Iз рiвностi (27) випливає, що для
в. е. X не виконується порядковий закон великих чисел Марцинкевича – Зиґмун-
да (3).
Наведений нижче приклад є невеликою модифiкацiєю прикладу iз роботи [6].
Покладемо L(t) = ln t при t > 2 i L(t) = 1 при t 6 2,
θ =
∑
k>1
1
kL2(k)
, pk =
1
θkL2(k)
, k > 1.
Вiдповiдно
∑
k>1
pk = 1. Нехай (ξk) — послiдовнiсть н. в. в., для яких
P(ξk = +1) = P(ξk = −1) = pk/2, P(ξk = 0) = 1− pk.
Тодi очевидно, що в. е. X = (ξk) м. н. лежить у просторi lp i задовольняє умови
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1596 К. С. АКБАШ, I. K. MАЦАК
E|ξk|p = pk, E ‖X‖plp =
∑
k>1
pk = 1. (28)
Спочатку покажемо, що в. е. X задовольняє умову (26). Використаємо рiвно-
мiрну по n оцiнку для сум обмежених н. в. в. [14, c. 22].
Лема 5 [14]. Нехай η1, . . . , ηn — послiдовнiсть незалежних випадкових вели-
чин, Sn =
∑n
i=1
ηi i
|ηi| 6 1 м. н., i = 1, 2, . . . , n.
Якщо iснує таке a, що
P(|Sn| > a) 6
1
8e
,
то для m > 0
E|Sn|m 6 Lm(a+ 1)m.
Iз рiвностi (28) та нерiвностi Маркова при a = 8e одержуємо
P(‖X‖plp > a) 6
E ‖X‖plp
a
=
1
8e
.
Отже, згiдно з лемою 3 для будь-якого m > 0 в. е. X задовольняє умову (26).
Залишилось перевiрити рiвнiсть (27). Нехай (ξnk) — незалежнi копiї послiдов-
ностi (ξk). Запишемо норму з рiвностi (27) у виглядi
∥∥∥∥sup
n>1
∣∣∣∣Xn
n
1
p
∣∣∣∣∥∥∥∥
lp
=
∑
k>1
sup
n>1
∣∣∣∣ξnk
n
1
p
∣∣∣∣p
1
p
=
∑
k>1
sup
n>1
|ξnk|p
n
1
p
. (29)
Степiнь 1/p не впливає на збiжнiсть ряду (29). Оскiльки |ξnk|p = |ξnk| 6 1, то ряд∑
k>1
sup
n>1
|ξnk|p
n
збiгається тодi i лише тодi, коли збiгається ряд∑
k>1
E sup
n>1
|ξnk|
n
<∞.
Але в роботi [6] було доведено, що останнiй ряд розбiгається. Це i означає справед-
ливiсть рiвностi (27).
Таким чином, моментнi умови типу (26) не достатнi для справедливостi по-
рядкового закону великих чисел Марцинкевича – Зиґмунда (3) в банахових ґратках
типу p.
1. Marcinkiewicz J., Zygmund A. Sur les fonctions indépendantes // Fund. math. – 1937. – 29. – P. 60 – 90.
2. Ledoux M., Talagrand M. Probability in Banach spaces. – Berlin: Springer, 1991. – 480 p.
3. Мацак I. К., Плiчко А. М. Про закон великих чисел Марцинкевича – Зиґмунда у банахових ґратках
// Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 4. – С. 504 – 513.
4. Lindenstraus J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. – Berlin etc.: Springer, 1979. – 243 p.
5. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1984. – 752 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПОРЯДКОВИЙ ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ ТИПУ МАРЦИНКЕВИЧА – ЗИҐМУНДА 1597
6. Мацак I. К. Зауваження до порядкового закону великих чисел // Теорiя ймовiрностей та мат.
статистика. – 2005. – Вип. 72. – С. 84 – 92.
7. Бухвалов А. В., Векслер А. И., Гейлер В. А. Нормированные решетки // Итоги науки. Мат. анализ. –
1980. – Вып. 18. – С. 125 – 184.
8. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. – М.: Мир, 1984. – Т. 2. – 752 с.
9. Мацак I. К., Плiчко А. М. Про максимуми незалежних випадкових елементiв у функцiйнiй банаховiй
гратцi // Теорiя ймовiрностей. та мат. статистика. – 1999. – Вип. 61. – С. 105–116.
10. Wellner J. A. A martingale inequality for the empirical process // Ann. Probab. – 1977. – № 2. –
P. 303 – 308.
11. Ваxания Н. Н., Тариеладзе В. И., Чобанян С. А. Вероятностные распределения в банаxовыx про-
странстваx. – М.: Наука, 1985. – 368 с.
12. Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967. – 624 с.
13. Мацак I. К. Оцiнки моментiв супремуму нормованих сум незалежних випадкових величин // Теорiя
ймовiрностей. та мат. статистика. – 2002. – Вип. 67. – С. 104 – 116.
14. Скороход А. В. Случайные процессы с независимыми приращениями. – М.: Наука, 1964. – 278 с.
Одержано 11.03.10,
пiсля доопрацювання — 28.09.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-2984 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:01Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ac/0ca3b5f551004b1a555e8c4f907a13ac.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29842020-03-18T19:41:53Z The order law of large numbers of the Marcinkiewicz - Zygmund Порядковий закон великих чисел типу Марциикевича - Зигмунда Akbash, K. S. Matsak, I. K. Акбаш, К. С. Мацак, І. К. The Marcinkiewicz - Zygmund order law of large numbers is established for random variables in Banach lattices. Similar results are obtained also for the maximum scheme. Для случайных величин в банаховых решетках установлен порядковый закон больших чисел Марцинкевича-Зигмунда. Подобные результаты получены и для схемы максимума. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2984 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 12 (2010); 1587-1597 Український математичний журнал; Том 62 № 12 (2010); 1587-1597 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2984/2718 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2984/2719 Copyright (c) 2010 Akbash K. S.; Matsak I. K. |
| spellingShingle | Akbash, K. S. Matsak, I. K. Акбаш, К. С. Мацак, І. К. The order law of large numbers of the Marcinkiewicz - Zygmund |
| title | The order law of large numbers of the Marcinkiewicz - Zygmund |
| title_alt | Порядковий закон великих чисел типу Марциикевича - Зигмунда |
| title_full | The order law of large numbers of the Marcinkiewicz - Zygmund |
| title_fullStr | The order law of large numbers of the Marcinkiewicz - Zygmund |
| title_full_unstemmed | The order law of large numbers of the Marcinkiewicz - Zygmund |
| title_short | The order law of large numbers of the Marcinkiewicz - Zygmund |
| title_sort | order law of large numbers of the marcinkiewicz - zygmund |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2984 |
| work_keys_str_mv | AT akbashks theorderlawoflargenumbersofthemarcinkiewiczzygmund AT matsakik theorderlawoflargenumbersofthemarcinkiewiczzygmund AT akbašks theorderlawoflargenumbersofthemarcinkiewiczzygmund AT macakík theorderlawoflargenumbersofthemarcinkiewiczzygmund AT akbashks porâdkovijzakonvelikihčiseltipumarciikevičazigmunda AT matsakik porâdkovijzakonvelikihčiseltipumarciikevičazigmunda AT akbašks porâdkovijzakonvelikihčiseltipumarciikevičazigmunda AT macakík porâdkovijzakonvelikihčiseltipumarciikevičazigmunda AT akbashks orderlawoflargenumbersofthemarcinkiewiczzygmund AT matsakik orderlawoflargenumbersofthemarcinkiewiczzygmund AT akbašks orderlawoflargenumbersofthemarcinkiewiczzygmund AT macakík orderlawoflargenumbersofthemarcinkiewiczzygmund |