Generalized separation of variables and exact solutions of nonlinear equations
We consider the generalized procedure of separation of variables of the nonlinear hyperbolic-type equations and the Korteweg - de Vries-type equations. We construct a wide class of exact solutions of these equations which cannot be obtained with the use of the S. Lie method and the method of conditi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2010
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2985 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508994904260608 |
|---|---|
| author | Barannyk, T. A. Barannyk, A. F. Yuryk, I. I. Баранник, Т. А. Баранник, А. Ф. Юрик, І. І. |
| author_facet | Barannyk, T. A. Barannyk, A. F. Yuryk, I. I. Баранник, Т. А. Баранник, А. Ф. Юрик, І. І. |
| author_sort | Barannyk, T. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:41:53Z |
| description | We consider the generalized procedure of separation of variables of the nonlinear hyperbolic-type equations and the Korteweg - de Vries-type equations. We construct a wide class of exact solutions of these equations which cannot be obtained with the use of the S. Lie method and the method of conditional symmetries. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9:519.46
A. F. Barannyk (In-t matematyky, Pomor. akademiq, Slups\k, Pol\wa),
T. A. Barannyk (Poltav. derΩ. ped. un-t),
I. I. Gryk (Nac. un-t xarç. texnolohij, Ky]v)
UZAHAL|NENE VIDOKREMLENNQ ZMINNYX
I TOÇNI ROZV’QZKY NELINIJNYX RIVNQN|
We consider the generalized procedure of separation of variables of the nonlinear hyperbolic-type
equations and the Korteweg – de Vries-type equations. We construct a wide class of exact solutions of
these equations which cannot be obtained with the use of the S. Lie method and the method of
conditional symmetries.
Rassmatryvaetsq obobwennaq procedura razdelenyq peremenn¥x nelynejn¥x uravnenyj hyper-
bolyçeskoho typa y uravnenyj typa Korteveha – de Fryza. Postroen ßyrokyj klass toçn¥x re-
ßenyj πtyx uravnenyj, kotor¥e nel\zq poluçyt\ metodom S. Ly y metodom uslovn¥x sym-
metryj.
1. Vstup. Odnym iz efektyvnyx metodiv pobudovy toçnyx rozv’qzkiv linijnyx
rivnqn\ matematyçno] fizyky [ metod vidokremlennq zminnyx. Dlq rivnqn\ z
dvoma nezaleΩnymy zminnymy x, t i ßukano] funkci] u cej metod ©runtu[t\sq
na poßuku toçnyx rozv’qzkiv u vyhlqdi dobutku funkcij riznyx arhumentiv:
u = a x b t( ) ( ) . (1)
U roboti [1] vykladeno metod pobudovy toçnyx rozv’qzkiv nelinijnyx rivnqn\
z çastynymy poxidnymy, qkyj uzahal\ng[ klasyçnyj metod vidokremlennq zmin-
nyx. Rozv’qzky ßukagt\sq u vyhlqdi skinçenno] sumy k dodankiv:
u x t( , ) = f t a xi i
i
k
( ) ( )
=
∑
1
, (2)
de f ti ( ) , a xi ( ) — hladki funkci], qki neobxidno vyznaçyty. Toçni rozv’qzky z
uzahal\nenym vidokremlennqm zminnyx, qki mistqt\ bil\ße dvox dodankiv,
navedeno u robotax [2, 3].
Pidstanovku (1) moΩna rozhlqdaty qk anzac, qkyj reduku[ doslidΩuvane riv-
nqnnq do zvyçajnoho dyferencial\noho rivnqnnq z nevidomog funkci[g a =
= a x( ) (abo z nevidomog funkci[g b = b t( ) ). U roboti [4] zaproponovano take
uzahal\nennq anzacu (1) dlq nelinijnyx rivnqn\:
u = ω i i
i
m
t a x f x t( ) ( ) ( , )+
=
∑
1
, m ≥ 1. (3)
Anzac (3) mistyt\ nevidomu funkcig f x t( , ) , m nevidomyx funkcij a xi ( ) i m
nevidomyx funkcij ω i t( ) , qki vyznaçagt\sq z umovy, wo anzac (3) reduku[ roz-
hlqduvane rivnqnnq do systemy m zvyçajnyx dyferencial\nyx rivnqn\ z nevi-
domymy funkciqmy ω i t( ) . ZnaxodΩennq ci[] systemy rozhlqnuto na prykladax
nelinijnyx xvyl\ovyx rivnqn\. Qkwo v anzaci (3) m = 1, to taka systema zvo-
dyt\sq do zvyçajnoho dyferencial\noho rivnqnnq z nevidomog funkci[g ω1( )t .
Dana robota [ prodovΩennqm doslidΩen\, vykladenyx u [4]. V nij porqd z
anzacem (3) my rozhlqda[mo anzac, qkyj oderΩu[t\sq z anzacu (3) v rezul\tati
pidstanovky u x� , x u� , t t� :
x = ω i i
i
m
t a u f u t( ) ( ) ( , )
=
∑ +
1
. (4)
© A. F. BARANNYK, T. A. BARANNYK, I. I. GRYK, 2010
1598 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
UZAHAL|NENE VIDOKREMLENNQ ZMINNYX I TOÇNI ROZV’QZKY … 1599
Rozv’qzky (3), (4) budemo nazyvaty rozv’qzkamy z vidokremlenymy zminnymy, a
sam metod ]x pobudovy — uzahal\nenog procedurog vidokremlennq zminnyx.
Zaznaçymo, wo my ne naklada[mo vymohu na funkcig f x t( , ) v anzaci (3) buty
podanog u vyhlqdi skinçenno] sumy (2).
U danij roboti budemo vykorystovuvaty anzacy typu (3), (4) dlq pobudovy
toçnyx rozv’qzkiv nelinijnoho rivnqnnq hiperboliçnoho typu
∂
∂
2
2
u
t
= au
u
x
b
u
x
c
∂
∂
+
∂
∂
+
2
2
2
(5)
i rivnqnnq typu Korteveha – de Friza (KdF)
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
u
t
F u
u
x
u
x
k
( )
3
3 = 0, (6)
de k — dijsnyj parametr. U rivnqnni (5) zavΩdy moΩna poklasty a = 1 , vy-
korystavßy lokal\ne peretvorennq. Rivnqnnq (5) bulo predmetom doslidΩen\
u robotax [5, 6], a rivnqnnq (6) za dopomohog metodu umovno] symetri] vyvçalos\
u roboti [7]. My rozhlqda[mo takoΩ taki uzahal\nennq rivnqn\ (5) (dlq c = 0 )
iP(6):
∂
∂
2
2
u
t
= au
u
x
b
u
x
t u
∂
∂
+
∂
∂
+
2
2
2
Φ( ) ,
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
u
t
F t u
u
x
u
x
k
( , )
3
3 = 0.
Rozv’qzky cyx rivnqn\, qki navedeni u danij roboti, ne moΩna otrymaty metodamy
hrupovoho analizu [8].
2. Vidokremlennq zminnyx dlq rivnqnnq (5). Dlq pobudovy toçnyx roz-
v’qzkiv rivnqnnq (5) vykorysta[mo anzac
u = ω ( ) ( , )t f x t+ , (7)
qkyj [ çastynnym vypadkom zahal\noho anzacu (3). Cej anzac [ uzahal\nennqm
pidstanovky
u x t( , ) = ϕ ψ( ) ( )x t+ ,
qka çasto vykorystovu[t\sq dlq poßuku toçnyx rozv’qzkiv nelinijnyx rivnqn\
matematyçno] fizyky. Pidstavyvßy (7) v (5), oderΩymo rivnqnnq
′′ +ω ftt = a f f bf cxx x( )ω + + +2 , (8)
qke povynno buty zvyçajnym dyferencial\nym rivnqnnqm z nevidomog funkci-
[g ω = ω ( )t . Zvidsy otrymu[mo, wo koefici[nt afxx pry ω v rivnqnni (8)
moΩna podaty u vyhlqdi afxx = 2 2a tµ ( ) , a tomu
f = µ µ µ2
2
1 0( ) ( ) ( )t x t x t+ + � ,
de �µ0( )t , µ1( )t , µ2( )t — deqki funkci] vid t . Na pidstavi (7) oderΩymo anzac
u = µ µ µ2
2
1 0( ) ( ) ( )t x t x t+ + , µ0( )t = �µ ω0( ) ( )t t+ . (9)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
1600 A. F. BARANNYK, T. A. BARANNYK, I. I. GRYK
Pislq pidstanovky (9) u rivnqnnq (5) znaxodymo systemu rivnqn\ dlq vyznaçennq
funkci] µi t( ) :
′′µ2 = ( )2 4 2
2a b+ µ ,
′′µ1 = ( )2 4 1 2a b+ µ µ ,
′′µ0 = 2 0 2 1
2a b cµ µ µ+ + .
Danu systemu rivnqn\ inßymy metodamy otrymano v [5].
Rozhlqnemo çastynnyj vypadok rivnqnnq (5):
∂
∂
2
2
u
t
= au
u
x
b
u
x
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
. (10)
Dlq pobudovy toçnyx rozv’qzkiv rivnqnnq (10) vykorysta[mo anzac
u = ω ( ) ( ) ( , )t d x f x t+ , (11)
qkyj [ çastynnym vypadkom zahal\noho anzacu (3). Anzac (11) reduku[ (10) do
rivnqnnq
′′ − + ′ + ′′ − ′′ + ′ +ω ω ωd af d bf d afd add bd fxx x( ) ( )2 2 2
ttt xx xaff b f− − 2 = 0. (12)
Rivnqnnq (12) povynno buty zvyçajnym dyferencial\nym rivnqnnqm z nevidomog
funkci[g ω = ω ( )t . Zvidsy vyplyva[, wo
add bd′′ + ′2 = β d , β ∈R , (13)
adf bd f ad fxx x+ ′ + ′′2 = �γ ( )t d . (14)
V rezul\tati zadaça znaxodΩennq toçnyx rozv’qzkiv vyhlqdu (11) dlq rivnqnnq
(10) zvelas\ do intehruvannq systemy dvox zvyçajnyx dyferencial\nyx rivnqn\,
odne z qkyx [ nelinijnym. Rivnqnnq (13) ma[ takyj çastynnyj rozv’qzok:
d = xα , a =
α
α1 −
b , β = 0, α ≠ 1. (15)
Pidstavyvßy d = xα
v rivnqnnq (14), matymemo
x f x f fxx x
2 2 1 1+ − + −( ) ( )α α α = γ ( )t x2 , (16)
de γ ( )t =
1 − α
γ
b
t� ( ) .
Rozhlqnemo try vypadky.
VypadokP1: α = 2. Z (15) vyplyva[, wo a = – 2 b . Zahal\nym rozv’qzkom
rivnqnnq (16) dlq α = 2 [ funkciq
f = γ β δ( ) ln ( ) ( )t x x t x t x2 2+ +� ,
a tomu na pidstavi (11)
u = γ β δ( ) ln ( ) ( )t x x t x t x2 2+ + , β( )t = �β ω( ) ( )t t+ . (17)
Pidstavyvßy (17) u rivnqnnq (10), znajdemo δ ( )t = 0 i systemu rivnqn\ dlq vy-
znaçennq funkcij β( )t i γ ( )t :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
UZAHAL|NENE VIDOKREMLENNQ ZMINNYX I TOÇNI ROZV’QZKY … 1601
′′γ = – 2 2βγ , ′′β = – 2 2b bβγ γ+ . (18)
Systemu (18) moΩna rozv’qzaty povnistg v neqvnomu vyhlqdi. Qkwo γ = γ ( )t [
rozv’qzkom perßoho rivnqnnq systemy (18), to funkci] γ ( )t ,
1
2γ γ
dt
∫ utvorg-
gt\ fundamental\nu systemu rozv’qzkiv odnoridnoho rivnqnnq ′′β = – 2bβγ
[6]. Tomu zahal\nyj rozv’qzok druhoho rivnqnnq systemy (18) moΩna znajty çe-
rez rozv’qzok perßoho rivnqnnq (u kvadraturax).
Systema (18) ma[ takyj çastynnyj rozv’qzok:
γ = –
3 2
b
t− , β = c t c t
b
t t1
3
2
2 29
5
+ −− − ln .
V rezul\tati znaxodymo takyj toçnyj rozv’qzok rivnqnnq (10) a = – 2 b :
u = –
3 9
5
2 2
1
3
2
2 2 2
b
t x x c t c t
b
t t x− − −+ + −
ln ln ,
de c1 , c2 — dovil\ni stali.
VypadokP2: α = 3. Z (15) vyplyva[, wo a = –
3
2
b . Zahal\nym rozv’qzkom
rivnqnnq (16) dlq α = 3 [ funkciq
f = – γ β δ( ) ln ( ) ( )t x x t x t x2 2 3+ + � ,
a tomu na pidstavi (11)
u = – γ β δ( ) ln ( ) ( )t x x t x t x2 2 3+ + , δ ( )t = �δ ω( ) ( )t t+ . (19)
Pidstavyvßy (19) u rivnqnnq (10), znajdemo γ ( )t = 0 i systemu rivnqn\ dlq vy-
znaçennq funkcij β( )t i δ ( )t :
′′δ = 0, ′′β = bβ2 . (20)
Systema (20) ma[ takyj çastynnyj rozv’qzok:
δ = c t c1 2+ , β =
6 2
b
t− ,
a tomu toçnym rozv’qzkom rivnqnnq (10) dlq a b= −
3
2
[ funkciq
u =
6 2 2
1 2
3
b
t x c t c x− + +( ) ,
de c1 , c2 — dovil\ni stali.
Anzac u = β δ( ) ( )t x t x2 3+ [ çastynym vypadkom bil\ß zahal\noho anzacu
u = µ µ µ µ3
3
2
2
1 0( ) ( ) ( ) ( )t x t x t x t+ + + . (21)
Pislq pidstanovky anzacu (21) u rivnqnnq (10) znaxodymo systemu rivnqn\ dlq
vyznaçennq funkcij µi t( ) :
′′µ3 = 0,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
1602 A. F. BARANNYK, T. A. BARANNYK, I. I. GRYK
′′µ2 = b bµ µ µ2
2
1 33− ,
′′µ1 = b bµ µ µ µ1 2 0 39− ,
′′µ0 = − +3 0 2 1
2b bµ µ µ .
Zaznaçymo, wo anzac (21) bulo rozhlqnuto v [9].
VypadokP3: α ≠ 1; 2; 3. Zahal\nym rozv’qzkom rivnqnnq (16) [ funkciq
f =
γ
α α
µ µα α( )
( )( )
( ) ( )
t
x t x t x
− −
+ + − +
2 3
2
2 0
1� ,
a tomu na pidstavi (11)
u = µ µ µα α
1
2
2 0
1( ) ( ) ( )t x t x t x+ + − + , (22)
de nevidomi funkci] µ0( )t , µ
γ
α α1
2 3
( )
( )
( )( )
t
t
=
− −
, µ µ ω2 2( ) ( ) ( )t t t= +� ne-
obxidno vyznaçyty. Pidstavyvßy (22) u rivnqnnq (10), znajdemo µ0( )t = 0 i sy-
stemu rivnqn\ dlq vyznaçennq funkcij µ1( )t i µ2( )t :
′′µ1 = ( )2 4 1
2a b+ µ , (23)
′′µ2 = −
+
+
+
+
a b
a b
a ab
a b
2
2
2
1 2
2 6
( )
µ µ . (24)
Çastynnym rozv’qzkom rivnqnnq (23) [ funkciq
µ1 =
3
2
2
a b
t
+
− . (25)
Pidstavyvßy (25) v (24) i vykorystavßy (15), otryma[mo linijne rivnqnnq dlq
vyznaçennq funkci] µ2( )t :
t2
2′′µ = ( )9 3 2
2α α µ− . (26)
Rivnqnnq (26) ma[ taki rozv’qzky:
µ2 = t c t c t1 2
1 2
/ [ cos( ln ) sin( ln )]σ σ+ , qkwo σ2 = 3 9
1
4
2α α− − > 0,
µ2 = t c t c t1 2
1 2
/ [ ]σ σ+ − , qkwo σ2 =
1
4
3 92− +α α > 0,
µ2 = t c c t1 2
1 2
/ [ ln ]+ , qkwo α =
9 2 21
6
±
,
de c1 , c2 — dovil\ni stali.
OtΩe, rivnqnnq (10) ma[ taki toçni rozv’qzky:
u =
3
2
2 2 1 2
1 2
a b
t x t x c t c t
+
+ +− / [ cos( ln ) sin( ln )]α σ σ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
UZAHAL|NENE VIDOKREMLENNQ ZMINNYX I TOÇNI ROZV’QZKY … 1603
qkwo σ2 = 3 9
1
4
2α α− − > 0,
u =
3
2
2 2 1 2
1 2
a b
t x t x c t c t
+
+ +− −/ [ ]α σ σ ,
qkwo σ2 =
1
4
3 92− +α α > 0, i
u =
3
2
2 2 1 2
1 2
a b
t x t x c c t
+
+ +− / [ ln ]α ,
qkwo α =
9 2 21
6
±
> 0, de c1 , c2 — dovil\ni stali.
Vidmitymo, wo anzac u = µ µ1
2
2
4x x+ [ çastynym vypadkom bil\ß zahal\-
noho anzacu
u = µ µ µ µ µ4
4
3
3
2
2
1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )t x t x t x t x t+ + + + ,
de funkci] µi t( ) zadovol\nqgt\ systemu rivnqn\
′′µ4 = − +
8
3
2 4 3
2b bµ µ µ ,
′′µ3 =
4
3
82 3 1 4b bµ µ µ µ− ,
′′µ2 =
4
3
2 162
2
1 3 0 4b b bµ µ µ µ µ− − ,
′′µ1 =
4
3
81 2 0 3b bµ µ µ µ− ,
′′µ0 = − +
8
3
0 2 1
2b bµ µ µ .
Danyj anzac bulo rozhlqnuto v [9].
Rezul\taty, otrymani dlq rivnqnnq (10), moΩna uzahal\nyty na rivnqnnq
∂
∂
2
2
u
t
= au
u
x
b
u
x
t u
∂
∂
+
∂
∂
+
2
2
2
φ( ) . (27)
Ma[mo taki vypadky.
VypadokP1: a = − 2b . Anzac
u = γ β( ) ln ( )t x x t x2 2+
reduku[ rivnqnnq (27) do systemy
′′γ = − +2 2bγ φγ , ′′β = − + +2 2bβγ βγ φβ .
VypadokP2: a = −
3
2
b . Anzac
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
1604 A. F. BARANNYK, T. A. BARANNYK, I. I. GRYK
u = β δ( ) ( )t x t x2 3+
reduku[ rivnqnnq (27) do systemy
′′δ = φδ , ′′β = bβ φβ2 + .
VypadokP3: a b≠ − ; − 2b ; −
3
2
b . Anzac
u = µ µ α
1
2
2( ) ( )t x t x+ ,
de α =
a
a b+
, reduku[ rivnqnnq (27) do systemy
′′µ1 = ( ) ( )2 4 1
2
1a b+ +µ φ µ ,
′′µ2 = −
+
+
+
+
+
a b
a b
a ab
a b
2
2
2
1 2 2
2 6
( )
( )µ µ φ µ .
3. Vidokremlennq zminnyx dlq rivnqnnq (6). Z’qsu[mo, dlq qkyx funkcij
F u( ) rivnqnnq (6) dopuska[ anzac vyhlqdu
x = ω ω1 2( ) ( ) ( )t d u t+ . (28)
Funkci] ω1( )t , ω2( )t i d u( ) budemo vyznaçaty z umovy, wo anzac (28) reduku[
rivnqnnq (6) do systemy dvox zvyçajnyx dyferencial\nyx rivnqn\ z nevidomymy
funkciqmy ω1 = ω1( )t , ω2 = ω2( )t . Pidstavymo (28) u rivnqnnq (6):
–
ω
ω
ω
ω ω ω
1
1
2
1 1 1
3
1 1 1′
′
−
′
′
+
′
− ′′′
′
d
d d
F u
d
d
dk k
( )
( ) ( ))
( )
( )4
1
3
2
5
1 3
+ ′′
′ω
d
d
= 0. (29)
Funkci]
d
d ′
,
1
′d
pry −
′ω
ω
1
1
, −
′ω
ω
2
1
u rivnqnni (29) [ linijno nezaleΩnymy.
Nexaj u rivnqnni (29) k ≠ 3. Naklademo vymohu na koefici[nty pry funkciqx
1
1ωk
,
1
1
3ω
, wob ]x moΩna bulo podaty u vyhlqdi linijno] kombinaci] nad polem
dijsnyx çysel funkcij
d
d ′
,
1
′d
. Ma[mo
− ′′′
′
+ ′′
′
d
d
d
d( )
( )
( )4
2
53 = λ µ
d
d d′
+
′
1
, λ, µ ∈ R,
abo
− ′ ′′′ + ′′d d d3 2( ) = λ µd d d( ) ( )′ + ′4 4 . (30)
Vraxovugçy (30), z rivnqnnq (29) znaxodymo
F u( ) = [ ] ( ) [ ]ω ω λω ω ω µω1 1
1
1
3 1
2 1
1
1
3′ − ′ + ′ −− − − − −k k k k kd d (( )′ −d k 1 ,
a tomu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
UZAHAL|NENE VIDOKREMLENNQ ZMINNYX I TOÇNI ROZV’QZKY … 1605
ω ω λω1 1
1
1
3′ −− −k k = λ1 , ω ω µω2 1
1
1
3′ −− −k k = λ2 ,
de λ1 , λ2 — stali. OtΩe, u vypadku k ≠ 3 rivnqnnq (6) dopuska[ anzac (28),
qkwo funkciq F u( ) ma[ vyhlqd
F u( ) = λ λ1
1
2
1d d dk k( ) ( )′ + ′− − , (31)
de d = d u( ) [ dovil\nym rozv’qzkom rivnqnnq (30). U vypadku λ = 0 rivnqnnq
(30) moΩna povnistg zintehruvaty. Rozhlqnemo taki çastynni rozv’qzky
rivnqnnq (30):
a) d = ln u , qkwo λ = 0, µ = 1;
b) d = u1 2/ , qkwo λ = µ = 0;
c) d = arcsin u, qkwo λ = 0, µ = – 1;
d) d = arcsinh u, qkwo λ = 0, µ = 1.
U vypadku a) na pidstavi (31) znaxodymo
F u( ) = ( ln )λ λ1 2
1u u k+ − , (32)
a rozv’qzkamy rivnqnnq (6) [ funkci]
u = exp
( )
( )
/
( )/ / /−
−
+ +
−
− − −k k
k
t ct k k t
k
k k kλ
λ1
3
3 1
1
1
2
kk x −
λ
λ
2
1
, k ≠ 2,
u = exp ( ) ln ( )/ / / /− + + −− − − −2 21
3 2 1 2 1 2
1
1 2 2λ λ
λ
t t ct t x
λλ1
, k = 2,
de c — dovil\na stala. Perßa z cyx funkcij [ rozv’qzkom rivnqnnq (6) i u
vypadku k = 3 (cej vypadok bude rozhlqnuto nyΩçe).
U vypadku b)
F u( ) = ′ + ′− −λ λ1
2 2
2
1 2u uk k( )/ ( )/ , ′λ1 = 21
1
−k λ , ′λ2 = 21
2
−k λ , (33)
u vypadku c)
F u( ) = ( arcsin ) ( )( )/λ λ1 2
2 1 21u u k+ − − (34)
i u vypadku d)
F u( ) = ( ) ( )( )/λ λ1 2
2 1 21arcsinhu u k+ + − . (35)
Funkci] (32) – (35) i rozv’qzky rivnqnnq (6), qki ]m vidpovidagt\, bulo otrymano
metodom umovno] symetri] v [7].
Nexaj k = 3 u rivnqnni (6). Z rivnqnnq (29) znaxodymo
F u( ) = ω ω ω ω1 1
2 2
2 1
2 2
23′ ′ + ′ ′ + ′′′
′
− ′′
′
d d d
d
d
d
d
( ) ( )
( )
( )22 ,
a tomu vnaslidok linijno] nezaleΩnosti funkcij d d( )′ 2
i ( )′d 2
ω ω1 1
2′ = λ1 , ω ω2 1
2′ = λ2 , (36)
de λ1 , λ2 — dovil\ni stali.
OtΩe, u vypadku k = 3 rivnqnnq (6) dopuska[ anzac (28), qkwo funkciq
F u( ) ma[ vyhlqd
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
1606 A. F. BARANNYK, T. A. BARANNYK, I. I. GRYK
F u( ) = λ λ1
2
2
2
2
2
3
d d d
d
d
d
d
( ) ( )
( )
( )
′ + ′ + ′′′
′
− ′′
′
, (37)
de d = d u( ) [ dovil\nog hladkog funkci[g. Qkwo, napryklad, d = exp u, to
na pidstavi (37) otrymu[mo
F u( ) = λ λ1 23 2 2exp( ) exp( )u u+ − ,
i tomu rivnqnnq
∂
∂
+ + −
∂
∂
+
∂u
t
u u
u
x
u
[ exp( ) exp( ) ]λ λ1 2
3 3
3 2 2
∂∂x 3 = 0
ma[ v sylu (28), (36) toçnyj rozv’qzok
u = ln
( ) /
x c
t c
+
+
−
1
1 2
1 3
2
13λ
λ
λ
,
de c1 , c2 — dovil\ni stali.
Rezul\taty, otrymani dlq rivnqnnq (6), moΩna uzahal\nyty na rivnqnnq
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
u
t
F t u
u
x
u
x
k
( , )
3
3 = 0. (38)
Ma[ misce taka teorema.
Teorema. Rivnqnnq (38) dopuska[ anzac (28) todi i til\ky todi, koly vyko-
nu[t\sq odna z takyx umov:
1) funkciq F t u( , ) ma[ vyhlqd
F t u( , ) = f t d d g t dk k( ) ( ) ( ) ( )′ + ′− −1 1 ,
de d = d u( ) — dovil\nyj rozv’qzok rivnqnnq (30), f t( ) , g t( ) — funkci] vid
zminno] t, a ω1 = ω1( )t , ω2 = ω2( )t zadovol\nqgt\ systemu rivnqn\
′ −− −ω ω λω1 1
1
1
3k k = f t( ) , ′ −− −ω ω µω2 1
1
1
3k k
= g t( ) ; (39)
2) k = 3 i funkciq F t u( , ) ma[ vyhlqd
F t u( , ) = f t d d g t d
d
d
d
d
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
′ + ′ + ′′′
′
− ′′
′
2 2
2
2
3
de d = d u( ) — dovil\na hladka funkciq, f t( ) , g t( ) — funkci] vid zminno] t,
a ω1 = ω1( )t , ω2 = ω2( )t zadovol\nqgt\ systemu rivnqn\
′ω ω1 1
2 = f t( ) , ′ω ω2 1
2 = g t( ) .
V p.P2 dano] teoremy moΩna vvaΩaty, wo d = d u( ) [ dovil\nog hladkog
funkci[g, qka [ rozv’qzkom rivnqnnq (30).
Rozhlqnemo takyj çastynnyj rozv’qzok rivnqnnq (30): d u= ln , qkwo
λ = 0 , µ = 1. Systema (39) nabyra[ vyhlqdu
′ −ω ω1 1
1k = f t( ) , ′ −− −ω ω ω2 1
1
1
3k k = g t( ) ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
UZAHAL|NENE VIDOKREMLENNQ ZMINNYX I TOÇNI ROZV’QZKY … 1607
i ]] zahal\nym rozv’qzkom [ funkci]
ω1 = k f t dt c
k
( )
/
+ ∫ 1
1
, (40)
ω2 = ∫ ∫ ∫ ∫+ + +
− −
k f t c dt g t k f t c
k k
( ) ( ) ( )
/ (
1
2
1
1 ))/k
dt c+ 2 , (41)
de c1 , c2 — dovil\ni stali.
U c\omu vypadku
F t u( , ) = f t u g t u k( ) ln ( )+[ ] −1
i rozv’qzkom rivnqnnq
∂
∂
+ +[ ] ∂
∂
+
∂
∂
−u
t
f t u g t u
u
x
u
x
k
k
( ) ln ( ) 1
3
3 = 0
[ funkciq
u = exp
( )
( )
( )
1
1
2
1ω
ω
ωt
x
t
t
−
,
de ω1 , ω2 vyznaçagt\sq formulamy (40), (41).
Analohiçno pokazu[mo, wo u vypadku d = u1 2/ , λ = µ = 0
F t u( , ) = f t u g t uk k
1
2 2
1
1 2( ) ( )( )/ ( )/− −+ ,
f t1( ) = 21−k f t( ) , g t1( ) = 21−k g t( ) ,
a rozv’qzkom rivnqnnq (38) [ funkciq
u =
1
1
2
1
2
ω
ω
ω( )
( )
( )t
x
t
t
−
;
u vypadku d = arc sin u, λ = 0, µ = – 1
F t u( , ) = f t u g t u k( ) arcsin ( ) ( )( )/+[ ] − −1 2 1 2 ,
a rozv’qzkom rivnqnnq (38) [ funkciq
u = sin
1
1
2
1ω
ω
ω( )
( )
( )t
x
t
t
−
i u vypadku d = arc sinh u , λ = 0, µ = 1
F t u( , ) = f t u g t u k( ) ( ) ( )( )/arc sinh +[ ] + −1 2 1 2 ,
a rozv’qzkom rivnqnnq (38) [ funkciq
u = sinh
1
1
2
1ω
ω
ω( )
( )
( )t
x
t
t
−
,
de ω1 , ω2 vyznaçagt\sq formulamy (40), (41).
4. Vysnovky. Uzahal\nenu proceduru vidokremlennq zminnyx, vykladenu v
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
1608 A. F. BARANNYK, T. A. BARANNYK, I. I. GRYK
danij roboti, moΩna vykorystaty dlq znaxodΩennq rozv’qzkiv ßyrokoho klasu
nelinijnyx dyferencial\nyx rivnqn\, zokrema nelinijnyx xvyl\ovyx rivnqn\.
Pryklady takyx rivnqn\ rozhlqnuto v roboti [4]. Za dopomohog anzacu (3) i an-
zaciv, qki otrymugt\sq z n\oho v rezul\tati perestanovky zminnyx u, x, t, moΩ-
na pobuduvaty rozv’qzky, qki ne moΩut\ buty otrymani metodamy hrupovoho ana-
lizu. Rozv’qzky rivnqnnq (5), navedeni v p.P2, magt\ vyhlqd (2) z kil\kistg do-
dankiv 2, 3, 4 i 5, a tomu prqmyj poßuk ]x u vyhlqdi sumy (2) [ neefektyvnym.
Anzac (3) moΩna zastosuvaty, qk pravylo, do rivnqn\ z polinomial\nog neli-
nijnistg. Qkwo poßuk rozv’qzku u vyhlqdi (3) [ nemoΩlyvym, to spoçatku ßu-
ka[mo peretvorennq, qke zvodyt\ doslidΩuvane rivnqnnq do rivnqn\ z polinomi-
al\nog nelinijnistg, i rozv’qzok c\oho ostann\oho ßuka[mo u vyhlqdi (3). Taki
peretvorennq v bahat\ox vypadkax moΩna znajty, qkwo rivnqnnq dopuska[ anzac
typu (4).
1. Galaktionov V. A., Posashkov S. A., Svirshchevskii S. R. Generalized separation of variables for
differential equations with polynomial nonlinearities // Different. Equat. – 1995. – 31 . –
P. 233 – 240.
2. Pokhozhaev S. I. On a problem of L. V. Ovsyannikov // Zh. Prikl. Mekh. i Tekhn. Fiz. – 1989. – 2.
– S. 5 – 10 (in Rusian).
3. Galaktionov V. A., Posashkov S. A. New exact solutions of parabolic equations with quadratic
nonlinearities // U.S.S.R. Comput. Math. and Math. Phys. – 1989. – 29. – P. 112 – 119.
4. Barannyk A. F., Barannyk T. A., Yuryk I. I. Generalized procedure of separation of variables and
reduction of nonlinear wave equations // Ukr. Mat. Zh. – 2009. – 61, # 7. – S. 892 – 905 (in
Ukranian).
5. Galaktionov V. A. Invariant subspace and new explicit solutions to evolution equations with
quadratic nonlinearities // Proc. Roy. Soc. Edinburgh A. – 1995. – 125, # 2. – P. 225 – 246.
6. Polyanin A. D., Zajcev V. F. Handbook of nonlinear mathematical physics equation. – Moscow:
Fizmat, 2002.
7. Fushchich W. I., Serov N. I., Ahmerov T. K. On the conditional symmetry of the generalized KdV
equation // Rep. Ukr. Acad. Sci. A. – 1991. – # 12.
8. Olver P. J. Applications of Lie groups to differential equations. – Second ed. // Grad. Texts Math.
– New York: Springer, 1993. – Vol. 107.
9. Galaktionov V. A., Svirshchevskii S. R. Exact solutions and invariant subspaces of nonlinear partial
differential equations in mechanics and physics // Chapman and Hall / CRC Appl. Math. and
Nonlinear Sci. Ser. – 2007. – 498 p.
OderΩano 26.11.09,
pislq doopracgvannq — 06.10.10
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 12
|
| id | umjimathkievua-article-2985 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:03Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0b/cf9f220840011d60b07370223141760b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29852020-03-18T19:41:53Z Generalized separation of variables and exact solutions of nonlinear equations Узагальнене відокремлення змінних і точні розв'язки нелінійних рівнянь Barannyk, T. A. Barannyk, A. F. Yuryk, I. I. Баранник, Т. А. Баранник, А. Ф. Юрик, І. І. We consider the generalized procedure of separation of variables of the nonlinear hyperbolic-type equations and the Korteweg - de Vries-type equations. We construct a wide class of exact solutions of these equations which cannot be obtained with the use of the S. Lie method and the method of conditional symmetries. Рассматривается обобщенная процедура разделения переменных нелинейных уравнений гиперболического типа и уравнений типа Кортевега - де Фриза. Построен широкий класс точных решений этих уравнений, которые нельзя получить методом С. Ли и методом условных симметрий. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2010-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2985 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 62 No. 12 (2010); 1598 - 1609 Український математичний журнал; Том 62 № 12 (2010); 1598 - 1609 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2985/2720 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2985/2721 Copyright (c) 2010 Barannyk T. A.; Barannyk A. F.; Yuryk I. I. |
| spellingShingle | Barannyk, T. A. Barannyk, A. F. Yuryk, I. I. Баранник, Т. А. Баранник, А. Ф. Юрик, І. І. Generalized separation of variables and exact solutions of nonlinear equations |
| title | Generalized separation of variables and exact
solutions of nonlinear equations |
| title_alt | Узагальнене відокремлення змінних і точні розв'язки нелінійних рівнянь |
| title_full | Generalized separation of variables and exact
solutions of nonlinear equations |
| title_fullStr | Generalized separation of variables and exact
solutions of nonlinear equations |
| title_full_unstemmed | Generalized separation of variables and exact
solutions of nonlinear equations |
| title_short | Generalized separation of variables and exact
solutions of nonlinear equations |
| title_sort | generalized separation of variables and exact
solutions of nonlinear equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2985 |
| work_keys_str_mv | AT barannykta generalizedseparationofvariablesandexactsolutionsofnonlinearequations AT barannykaf generalizedseparationofvariablesandexactsolutionsofnonlinearequations AT yurykii generalizedseparationofvariablesandexactsolutionsofnonlinearequations AT barannikta generalizedseparationofvariablesandexactsolutionsofnonlinearequations AT barannikaf generalizedseparationofvariablesandexactsolutionsofnonlinearequations AT ûrikíí generalizedseparationofvariablesandexactsolutionsofnonlinearequations AT barannykta uzagalʹnenevídokremlennâzmínnihítočnírozv039âzkinelíníjnihrívnânʹ AT barannykaf uzagalʹnenevídokremlennâzmínnihítočnírozv039âzkinelíníjnihrívnânʹ AT yurykii uzagalʹnenevídokremlennâzmínnihítočnírozv039âzkinelíníjnihrívnânʹ AT barannikta uzagalʹnenevídokremlennâzmínnihítočnírozv039âzkinelíníjnihrívnânʹ AT barannikaf uzagalʹnenevídokremlennâzmínnihítočnírozv039âzkinelíníjnihrívnânʹ AT ûrikíí uzagalʹnenevídokremlennâzmínnihítočnírozv039âzkinelíníjnihrívnânʹ |