Algebraic-geometric operators and Galois differential theory
We show that, by using the Galois differential theory, one can substantially improve the description of algebraic-geometric operators. In particular, we give a complete description of all elementary algebraic-geometric operators, present simple relations for the construction of all second-order oper...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2997 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509009182720000 |
|---|---|
| author | Grigorenko, N. V. Григоренко, Н. В. Григоренко, Н. В. |
| author_facet | Grigorenko, N. V. Григоренко, Н. В. Григоренко, Н. В. |
| author_sort | Grigorenko, N. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:07Z |
| description | We show that, by using the Galois differential theory, one can substantially improve the description of algebraic-geometric operators. In particular, we give a complete description of all elementary algebraic-geometric operators, present simple relations for the construction of all second-order operators of this type, and give a criterion for testing the algebraic-geometric properties of a linear differential operator with meromorphic coefficients. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 512.628.2
N. V. Hryhorenko (Nac. ahrar. un-t, Kyev)
ALHEBRO-HEOMETRYÇESKYE OPERATORÁ
Y DYFFERENCYAL|NAQ TEORYQ HALUA
We show that, by applying the Galois differential theory, one can essentially improve the description of
algebraic geometric operators. In particular, we obtain the complete description of all elementary
algebraic geometric operators, present simple formulas for the construction of all such second-order
operators, and give a criterion for testing algebraic geometric properties of a linear differential operator
with meromorphic coefficients.
Pokazano, wo, vykorystovugçy dyferencial\nu teorig Halua, moΩna sutt[vo pokrawyty opys
alhebro-heometryçnyx operatoriv. Zokrema, otrymano povnyj opys usix elementarnyx alhebro-
heometryçnyx operatoriv, navedeno prosti formuly dlq pobudovy vsix takyx operatoriv druhoho
porqdku, nadano kryterij perevirky na alhebro-heometryçnist\ dlq linijnoho dyferencial\noho
operatora z meromorfnymy koefici[ntamy.
Yzuçenye kommutyrugwyx lynejn¥x dyfferencyal\n¥x operatorov b¥lo na-
çato Floke [1] ewe v 1879 h. V konce proßloho stoletyq ynteres k yx yzuçe-
nyg snova vozobnovylsq. ∏to svqzano s tem, çto takye operator¥ poqvlqgtsq
(uΩe pod nazvanyem alhebro-heometryçeskyx) v tak naz¥vaem¥x parax Laksa dlq
predstavlenyq system Hel\fanda � Dykoho. Odna yz nedavnyx rabot R. Vajkar-
da [2] soderΩyt vse neobxodym¥e opredelenyq y osnovn¥e rezul\tat¥. Bolee
podrobnoe yzloΩenye tex Ωe voprosov moΩno najty v stat\e [3].
Nesmotrq na dlytel\n¥j peryod yzuçenyq, alhebro-heometryçeskye opera-
tor vse Ωe yssledovan¥ malo. Ne reßena, naprymer, zadaça postroenyq vsex al-
hebro-heometryçeskyx operatorov vtoroho porqdka. Po-vydymomu, πto obæqsnq-
etsq tem, çto v yssledovanyqx pred¥duwyx let, v osnovnom, preobladal analy-
tyçeskyj podxod.
Cel\ nastoqwej rabot¥ � pokazat\, çto, prymenqq dyfferencyal\nug
teoryg Halua, moΩno suwestvenno uluçßyt\ opysanye alhebro-heometryçeskyx
operatorov. V çastnosty, m¥ opys¥vaem vse πlementarn¥e alhebro-heometry-
çeskye operator¥ y pryvodym prost¥e formul¥ dlq heneracyy takyx operato-
rov porqdka 2.
Sledugwyj texnyçeskyj rezul\tat polezen v pryloΩenyqx.
Teorema 1. Pust\ M � dyfferencyal\noe pole xarakterystyky nul\ s
polem konstant C, H � podhruppa hrupp¥ dyfferencyal\n¥x avtomorfyz-
mov polq M nad polem C , MH � pole ynvaryantov H, F � syl\nonormal\-
noe rasßyrenye MH v pole M ( MH ⊂ F ⊂ M ), H F � ohranyçenyq avtomor-
fyzmov yz H do yzomorfyzmov F , HF � zam¥kanye HF v hruppe Halua
Gal ( F / MH
). Tohda
Gal ( F / MH
) = HF .
Dokazatel\stvo. Polq ynvaryantov hrupp HF y Gal ( F / MH
) sovpadagt,
poπtomu, sohlasno teoreme 3(b) [4, s. 398], sovpadagt y πty hrupp¥.
Teorema 2. Pust\ C � pole kompleksn¥x çysel y W = C ( ρ ( z ), ρ ′ ( z ) ),
hde ρ ( z ) � πllyptyçeskaq funkcyq Vejerßtrassa. Lgboe syl\nonormal\noe
rasßyrenye polq W v pole funkcyj, meromorfn¥x v kompleksnoj ploskosty,
ymeet kommutatyvnug hruppu Halua.
Dokazatel\stvo. Oboznaçym çerez M pole funkcyj, meromorfn¥x v
kompleksnoj ploskosty, a çerez H reßetku peryodov ρ ( z ). Reßetka H dej-
stvuet na M po formule f ( z ) a f ( z + h ), h ∈ H, f ∈ M , y, sohlasno teoryy
© N. V. HRYHORENKO, 2009
14 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
ALHEBRO-HEOMETRYÇESKYE OPERATORÁ … 15
πllyptyçeskyx funkcyj (sm. [5], § 20.1), M
H = W. Esly F � syl\no-
normal\noe rasßyrenye W v pole M, to sohlasno teoreme 1 Gal ( F / W ) = HF ,
no hruppa H kommutatyvna, poπtomu kommutatyvna hruppa HF
, sledovatel\no,
kommutatyvna alhebrayçeskaq hruppa HF , kak zam¥kanye kommutatyvnoj
hrupp¥.
Dokazatel\stva sledugwyx dvux teorem polnost\g analohyçn¥ dokazatel\-
stvu teorem¥ 2, poπtomu m¥ yx opuskaem.
Teorema 3. Pust\ p ∈ C* y Lp � pole vsex meromorfn¥x funkcyj dan-
noho peryoda p. Lgboe syl\nonormal\noe rasßyrenye polq Lp v pole mero-
morfn¥x funkcyj ymeet kommutatyvnug hruppu Halua.
Teorema 4. Lgboe syl\nonormal\noe rasßyrenye polq kompleksn¥x çysel v
pole meromorfn¥x funkcyj ymeet kommutatyvnug hruppu Halua.
Zameçanye 1. Yzvestnaq (sm., naprymer, [2], teorema 4) teorema Pykara
utverΩdaet, çto esly lynejn¥j dyfferencyal\n¥j operator nad W ymeet
tol\ko meromorfn¥e nuly, to on obladaet nulem, kotor¥j qvlqetsq πllypty-
çeskoj funkcyej vtoroho roda. Teorema 2 utoçnqet teoremu Pykara y pozvolq-
et opysat\ vse nuly takoho operatora. Çtob¥ πto pokazat\, nam potrebugtsq
sledugwye dve lemm¥, v kotor¥x m¥ yspol\zuem oboznaçenyq yz teorem¥ 2.
Lemma 1. Pust\ f ( z ) ∈ M y f ′ ( z ) ∈ M. Tohda
f ( z ) = c1 ζ ( z ) + c2 z + g ( z ),
hde c1 , c2 ∈ C, g ( z ) ∈ W y ζ ( z ) � dzeta-funkcyq Vejerßtrassa.
Dokazatel\stvo. Sohlasno teoryy πllyptyçeskyx funkcyj (sm. [5],
§ 20.52), f ′ ( z ) moΩet b¥t\ predstavlena v vyde
f ′ ( z ) = c z a ckj
j
k
k
n
j
m
ζ( )
==
( − ) +∑∑
10
2,
hde a1 , … , an � nepryvodym¥e otnosytel\no reßetky peryodov polgs¥ f ′ ( z ),
a ckj , c2 � nekotor¥e konstant¥. Poskol\ku f ′ ( z ) � proyzvodnaq meromorf-
noj funkcyy, ck 0 = 0 dlq lgboho k, sledovatel\no, ona moΩet b¥t\ zapysana
v vyde
f ′ ( z ) = − ( − ) − ( − ) +
=
( )
==
∑ ∑∑c z a c z a ck k
k
m
kj
j
k
j
n
k
m
1
1 11
2ρ ρ .
Qsno, çto dvojnaq summa predstavlqet soboj proyzvodnug ot nekotoroj πl-
lyptyçeskoj funkcyy g̃ z( ), poπtomu, yntehryruq pred¥duwee ravenstvo, po-
luçaem
f ′ ( z ) = c z a c z g zk k
k
m
1
1
2ζ( − ) + + ( )
=
∑ ˜ .
Uçyt¥vaq, çto raznost\ ζ ( z – ak ) – ζ ( z ) ynvaryantna otnosytel\no reßetky
peryodov H, posledngg summu moΩno zamenyt\ odnym slahaem¥m c1 ζ ( z ), t. e.
f ( z ) = c1 ζ ( z ) + c2 z + g ( z ) dlq podxodqwyx konstant c1 , c2 y πllyptyçeskoj
funkcyy g ( z ).
Sledstvye. Lgboe rasßyrenye Pykara � Vessyo polq W v pole M s uny-
potentnoj hruppoj Halua soderΩytsq v pole W ( z, ζ ( z ) ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
16 N. V. HRYHORENKO
Lemma 2. Pust\ f ( z ) ∈ M y t = f ′ / f. Funkcyq t ( z ) tohda y tol\ko tohda
πllyptyçeskaq, kohda
t ( z ) = m z a ck k
k
m
ζ( − ) +
=
∑
1
,
hde a1 , … , an � çysla, nepryvodym¥e otnosytel\no reßetky peryodov H, c ∈
∈ C, mk ∈ Z y mkk
n
=∑ 1
= 0.
Dokazatel\stvo. Pust\ t ( z ) ∈ W y a1 , … , an � sovokupnost\ nepryvody-
m¥x polgsov t ( z ). Poskol\ku t ( z ) � loharyfmyçeskaq proyzvodnaq mero-
morfnoj funkcyy, ee hlavnaq çast\ vblyzy polgsa ak ravna mk ( z – ak )
–
1, hde
mk ∈ Z. Tak kak summa v¥çetov πllyptyçeskoj funkcyy v qçejke ravna nulg,
poluçaem mkk
n
=∑ 1
= 0. V¥raΩaq, kak v lemme 1, funkcyg t ( z ) çerez ζ ( z ),
poluçaem
t ( z ) = m z a ck k
k
n
ζ( − ) +
=
∑
1
.
Obratno, pust\ t ( z ) = m z a ck kk
n ζ( − ) +=∑ 1
, hde a1 , … , an � kompleksn¥e
çysla, nepryvodym¥e otnosytel\no reßetky peryodov H , c ∈ C, m k ∈ Z y
mkk
n
=∑ 1
= 0. PoloΩym
f ( z ) = σ( − ) ( )
=
∏ z a czk
m
k
n
k
1
exp ,
hde σ ( z ) � ob¥çnaq σ-funkcyq (sm. [5], § 20.42). Lehko proveryt\, çto f ( z ) ∈
∈ M y t = f ′ / f. Netrudno ubedyt\sq, çto t ( z ) ynvaryantna otnosytel\no re-
ßetky peryodov H, poπtomu t ( z ) ∈ W.
Lemma dokazana.
Teorema 5. Pust\ f ( z ) � πlement Pykara � Vessyo nad W y f ( z ) ∈ M .
Tohda
f ( z ) ∈ W[ ]( ) … … ( ) … ( )− −z z z zn n m, , , , , , , , exp , , expζ η η η η µ µ1 1
1 1
1 ,
hde η1 = σ ( z – a1 ) / σ ( z ) , … , ηn = σ ( z – an ) / σ ( z ), a1 , … , an � kompleksn¥e çys-
la, nepryvodym¥e otnosytel\no reßetky peryodov H, y µ1 , … , µm ∈ C
*.
Dokazatel\stvo. Tak kak f ( z ) � πlement Pykara � Vessyo nad W, on
soderΩytsq v nekotorom rasßyrenyy F polq W v pole M. Sohlasno teore-
me 2, hruppa Halua πtoho rasßyrenyq kommutatyvna. ∏to oznaçaet [6], çto F
poroΩdaetsq nad W prysoedynenyem nekotoroho çysla prymytyvn¥x y
πksponencyal\n¥x πlementov, kotor¥e, v sootvetstvyy s predloΩenyem 10.2 [7,
s. 4148], poroΩdagt kol\co R πlementov Pykara � Vessyo polq F nad polem
W. Sohlasno lemmam 1 y 2, vse takye πlement¥ poluçagtsq yz funkcyj
z z z zn n m, , , , , , , , exp , , expζ η η η η µ µ( ) … … ( ) … ( )− −
1 1
1 1
1 s pomow\g kol\cev¥x ope-
racyj. Poskol\ku ′η ηi i/ = ζ ( z – ak ) – ζ ( z ) ∈ W, η i — πlement Pykara � Ves-
syo nad W, to
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
ALHEBRO-HEOMETRYÇESKYE OPERATORÁ … 17
R = W[ ]( ) … … ( ) … ( )− −z z z zn n m, , , , , , , , exp , , expζ η η η η µ µ1 1
1 1
1
y f ( z ) ∈ R.
Dalee F vsehda, esly ne ohovoreno protyvnoe, oboznaçaet ob¥knovennoe
dyfferencyal\noe pole xarakterystyky nul\ s polem konstant C y opera-
torom dyfferencyrovanyq δ , � � unyversal\noe dyfferencyal\no-polevoe
rasßyrenye F (sm. [4, s. 133]) y C � alhebrayçeskoe zam¥kanye C v � .
Analohyçno predpolahaetsq, esly net specyal\n¥x utoçnenyj, çto koπffy-
cyent¥ lgboho rassmatryvaemoho lynejnoho dyfferencyal\noho operatora
prynadleΩat �. M¥ yspol\zuem opredelenye alhebro-heometryçeskyx opera-
torov yz [2, s. 3].
Kak pokazal R. Vajkard [2], pry yzuçenyy alhebro-heometryçeskyx operato-
rov moΩno ohranyçyt\sq rassmotrenyem operatorov vyda L ≡ δn + qn – 2 δn
–
2 + …
… + q0 , n ≥ 2. Budem naz¥vat\ operator takoho vyda normalyzovann¥m.
Pust\ L � normalyzovann¥j lynejn¥j dyfferencyal\n¥j operator nad
F. Nazovem operator L πlementarn¥m, esly suwestvugt mnohoçlen p ( x ) nad
F vyda p ≡ xm + am – 1 xm
–
1 + … + a0 y mnohoçlen g ( x ) nad C vyda g ≡ xn +
+ cn – 2 xn
–
2 + … + c0 takye, çto dlq lgboho µ ∈ C suwestvugt λ ∈ C y υ ∈ �*
s takymy svojstvamy: y = p ( λ ) υ � reßenye uravnenyq L ( y ) = µ y, g ( λ ) = µ,
δ υ = λ υ.
Vvedem sledugwee oboznaçenye. Pust\ V � koneçnomernoe vektornoe pros-
transtvo nad polem konstant. Oboznaçym çerez LV lynejn¥j dyfferencyal\-
n¥j operator, opredelenn¥j formuloj
L y
W y
WV
n
n
( ) = ( … )
( … )
η η
η η
1
1
, , ,
, ,
,
hde η1 , … , ηn � bazys V y W � opredelytel\ Vronskoho.
Sledugwaq teorema daet opysanye vsex πlementarn¥x operatorov.
Teorema 6. Pust\ L 0 � normalyzovann¥j lynejn¥j dyfferencyal\n¥j
operator nad polem konstant C xarakterystyky 0, � � kol\co πlementov
Pykara � Vessyo nad C y V � koneçnomernoe C -vektornoe podprost-
ranstvo kol\ca �, ynvaryantnoe otnosytel\no L0 . Tohda ymeet mesto ra-
venstvo L V L0 = L LV dlq nekotoroho operatora L . Operator L , oprede-
lenn¥j πtym ravenstvom, πlementarn¥j, y lgboj πlementarn¥j operator mo-
Ωet b¥t\ poluçen takym sposobom.
Dokazatel\stvo. Dejstvytel\no, tak kak V ynvaryantno otnosytel\no
L0 , lgboj nul\ operatora LV budet nulem operatora LV L0 . ∏to oznaçaet, çto
ymeet mesto ravenstvo LV L0 = L LV dlq nekotoroho operatora L . PokaΩem
teper\, çto L � πlementarn¥j operator. Opredelym mnohoçlen¥ p ( x ) y g ( x )
ravenstvamy p ≡ x m + am – 1 xm
–
1 + … + a0 , g ≡ xn + cn – 2 xn
–
2 + … + c0 , hde
am – 1 , … , a0 y cn – 2 , … , c0 � koπffycyent¥ operatorov LV y L0 sootvet-
stvenno. PredpoloΩym, çto µ � proyzvol\naq konstanta, y v¥berem λ tak,
çtob¥ g ( λ ) = µ. Pust\ υ ∈ U* y δ υ = λ υ. Tohda L ( p ( λ ) υ ) = L ( LV ( υ ) ) =
= LV ( L0 ( υ ) ) = LV ( g ( λ ) υ ) = LV ( µ υ ) = µ LV ( υ ), çto dokaz¥vaet πlementarnost\
operatora L. Obratno, pust\ L � πlementarn¥j operator y p ( x ), g ( x ) � as-
socyyrovann¥e s nym mnohoçlen¥. Opredelym operator¥ L0 y L* çerez koπf-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
18 N. V. HRYHORENKO
fycyent¥ mnohoçlenov g ( x ) y p ( x ) sootvetstvenno. Tohda, kak pokazano v
xode dokazatel\stva teorem¥ 3 yz [2, s. 4], L*
L0 = L L* y ker L* ⊂ �.
Teorema dokazana.
Teorema 7. Lgboj racyonal\n¥j yly prosto peryodyçeskyj alhebro-heo-
metryçeskyj potencyal qvlqetsq πlementarn¥m.
Dokazatel\stvo. Pust\ C � pole kompleksn¥x çysel, F oboznaçaet
lybo pole racyonal\n¥x funkcyj C ( z ), lybo pole peryodyçeskyx funkcyj
C ( exp ( 2π i z / p ) ) prostoho peryoda p, δ = d / dz y L ≡ δ 2 – q ( z ) � alhebro-
heometryçeskyj operator nad F. Sohlasno formule 2.8 [8, s. 512], suwestvugt
sobstvennoe znaçenye λ operatora L y sootvetstvugwaq emu sobstvennaq
funkcyq ϕ ( z ) takaq, çto ϕ2 ∈ F. Sledovatel\no, q ( z ) + λ = ϕ′′ / ϕ, no pravaq
çast\ πtoho ravenstva moΩet b¥t\ predstavlena v vyde
′′ = ′
+ ′
′ϕ
ϕ
1
4
1
2
2h
h
h
h
,
hde h = ϕ2. Rassmatryvaq loharyfmyçeskug proyzvodnug h′ / h y ee proyzvod-
nug, lehko ubeΩdaemsq, çto v¥raΩenye sprava stremytsq k nulg pry z , stre-
mqwemsq k beskoneçnosty, esly h ∈ C ( z ) , y ohranyçeno na koncax polos¥ pe-
ryodov, esly h ∈ C ( exp ( 2π i z / p ) ). Poskol\ku vse reßenyq alhebro-heometry-
çeskoho operatora meromorfn¥ (sm. [3], teorema 1), prymenqq teorem¥ 7 y 8 yz
[2], zaklgçaem, çto L qvlqetsq πlementarn¥m operatorom.
Zameçanye 2. V svqzy s πtoj teoremoj voznykaet vopros: suwestvuet ly
neπlementarn¥j alhebro-heometryçeskyj operator nad F yly, bolee obwo, nad
rasßyrenyem Pykara � Vessyo polq C?
Teorema 8. Pust\ F � dyfferencyal\noe pole xarakterystyky nul\ s po-
lem konstant C , L 0 � alhebro-heometryçeskyj operator nad F y L �
normalyzovann¥j lynejn¥j dyfferencyal\n¥j operator takoj, çto ymeet
mesto ravenstvo HL 0 = L H dlq nekotoroho netryvyal\noho lynejnoho dyf-
ferencyal\noho operatora H. Tohda L qvlqetsq alhebro-heometryçeskym
operatorom.
Dokazatel\stvo. Yz ravenstva HL 0 = L H sleduet, çto L0 ( Ker H ) ⊂ Ker H
y ord L = ord L0 . Uçyt¥vaq koneçnomernost\ Ker H nad C, lehko zaklgçaem,
çto suwestvuet S ∈ C [ L0 ] takoj, çto Ker S ⊃ Ker H. Sohlasno opredelenyg
alhebro-heometryçeskoho operatora, dlq operatora L 0 suwestvuet lynejn¥j
dyfferencyal\n¥j operator T takoj, çto [ T, L0 ] = 0 y ( ord T, ord L0 ) = 1.
PoloΩym P0 = T S, tohda ( ord P0 , ord L ) = 1 y Ker P0 ⊃ Ker H. Poslednee
vklgçenye oznaçaet, çto suwestvuet operator P takoj, çto H P0 = P H y
( ord P, ord L ) = 1. PokaΩem, çto P kommutyruet s L. Dejstvytel\no,
[ ] = − = − = − = [ ]P L H PLH LPH PHL LHP HP L HL P H P L, ,0 0 0 0 0 0 0 0 = 0,
poπtomu [ P, L ] = 0. Sohlasno [2] (teorema 2, sledstvye 2), poslednee ravenstvo
dokaz¥vaet, çto L qvlqetsq alhebro-heometryçeskym operatorom.
Pryvedem (bez dokazatel\stva) sledugwye oçevydn¥e svojstva lynejn¥x
dyfferencyal\n¥x operatorov, kotor¥e potrebugtsq nam v dal\nejßem.
Lemma 3. Pust\ H , K , L , L0 , L*, S � lynejn¥e dyfferencyal\n¥e ope-
rator¥, L*
L0 = L L* y L* ≠ 0. Tohda:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
ALHEBRO-HEOMETRYÇESKYE OPERATORÁ … 19
i) esly K kommutyruet s L*, to L*
( L0 + K ) = ( L + K ) L*;
ii) esly S kommutyruet s L0 y L* = H S, to H L0 = L H;
iii) esly L 0 y L � normalyzovann¥e operator¥ y L* = a0 δm + a1 δm
–
1 +
+ … , to δ a0 = 0.
Lemma 4. Pust\ F � dyfferencyal\noe pole xarakterystyky nul\ s po-
lem konstant C, Ω � kol\co lynejn¥x dyfferencyal\n¥x operatorov nad
F, L ∈ Ω, ord L ≥ 2 y V = Ker L. PredpoloΩym takΩe, çto suwestvuet T ∈
∈ Ω takoj, çto T ( V ) ⊂ V. Tohda hruppa Halua G operatora L soderΩytsq
v centralyzatore Z operatora T v hruppe GL ( V ) . Esly T ≠ A L + λ dlq
lgb¥x A ∈ Ω, λ ∈ C y ord L = 2, to πta hruppa kommutatyvna.
Dokazatel\stvo. Poskol\ku operator T opredelen nad F, dlq lgboho
σ ∈ G ymeem σ σT −1 = T, sledovatel\no, σ ∈ Z. Esly ord L = 2 y T ≠ A L + λ,
to Ωordanova kanonyçeskaq forma dlq T v nekotorom bazyse prostranstva V
ymeet vyd
µ
µ
1
2
0
0
yly
µ
µ
1
0
, hde µ1 ≠ µ2 y µ, µ1 , µ2 ∈ C . Lehko pro-
veryt\, çto πty matryc¥ ymegt kommutatyvn¥e centralyzator¥. V to Ωe vremq
hruppa Halua operatora opredelqetsq v¥borom fundamental\noj system¥ nu-
lej s toçnost\g do soprqΩenyq matrycamy nad C (sm. predloΩenye 13(b) [4,
s. 412]). Sledovatel\no, G � kommutatyvna.
Zameçanye 3. Kak pokaz¥vaet sledugwyj prymer, hruppa Halua moΩet
b¥t\ nekommutatyvnoj, esly porqdok operatora ne raven dvum.
PoloΩym F = C ( z ), δ = d / dz, L0 = δ – z, T = δ2 – z2 y L = L0 T. Netrudno
ubedyt\sq, çto y = exp
1
2
2z
� nul\ L0 y T – 1 odnovremenno. Tohda
T ( ker L ) ⊂ ker L, tak kak ord T < ord L, T ≠ A L + λ dlq lgb¥x A ∈ Ω y λ ∈ C.
Hruppa Halua operatora T yzomorfna S L ( 2 ) (sm. [9, s. 75]), sledovatel\no,
hruppa Halua operatora L nekommutatyvnaq.
Teorema 9. Hruppa Halua lgboho alhebro-heometryçeskoho operatora vto-
roho porqdka kommutatyvna.
Dokazatel\stvo. Pust\ L � alhebro-heometryçeskyj operator vtoroho
porqdka. Tohda, sohlasno opredelenyg alhebro-heometryçeskoho operatora,
suwestvuet kommutyrugwyj s L operator neçetnoho porqdka. Voz\mem takoj
operator T naymen\ßeho porqdka y prymenym lemmu 4. Poskol\ku T kommu-
tyruet s L, T ( Ker L ) ⊂ Ker L. Oçevydno, çto uslovye T ≠ A L + λ v¥polnqetsq,
ybo v protyvnom sluçae A kommutyruet s L y ymeet men\ßyj porqdok, çem T.
Sledovatel\no, hruppa Halua operatora L kommutatyvna.
Teorema 6 ustanavlyvaet zavysymost\ meΩdu koπffycyentamy operatorov
L0 y L çerez koπffycyent¥ operatora svqzy LV
. Dlq operatorov vtoroho po-
rqdka πta zavysymost\ osobenno prostaq. Ee opys¥vaet sledugwaq lemma.
Lemma 5. Pust\ dan¥ operator¥ L 0 = δ2 + q0
, L = δ2 + q , L V = δm +
+ a1 δm
–
1 + a2 δm
–
2 + … y ymeet mesto ravenstvo L LV 0 = L LV . Tohda q0 = q +
+ 2 1′a .
Dokazatel\stvo. V¥çyslym koπffycyent¥ pry δm v levoj y pravoj ças-
tqx operatornoho ravenstva
( + + + …)( + ) = ( + )( + + + …)− − − −δ δ δ δ δ δ δ δm m m m m ma a q q a a1
1
2
2 2
0
2
1
1
2
2 ,
δ δ δ δm m m ma a q+ ++ + + + …2
1
1
2 0 =
= δ δ δ δ δ δm m m ma a q+ − −+ + + + …2 2
1
1 2
2
2
0 ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
20 N. V. HRYHORENKO
δ δ δ δm m m ma a q+ ++ + + + …2
1
1
2 0 =
= δ δ δ δ δ δm m m ma a a a q+ −+ ( + ′ + ′′) + + + …2
1
2
1 1
1
22 ,
δ δ δ δm m m ma a q+ ++ + + + …2
1
1
2 0 =
= δ δ δ δ δm m m m ma a a q+ ++ + ′ + + + …2
1
1
1 22 .
M¥ vydym, çto ymeet mesto ravenstvo a2 + q0 = 2 1′a + a2 + q, yz kotoroho sle-
duet utverΩdenye lemm¥.
Dlq formulyrovky osnovnoj teorem¥ ob πlementarn¥x operatorax vtoroho
porqdka nam neobxodym¥ sledugwye oboznaçenyq.
Pust\ pole C alhebrayçesky zamknuto y p ∈ C [ z ] � mnohoçlen neçetnoj
stepeny. Oboznaçym çerez ˙̇ṗ z( ) posledovatel\nost\ p ( z ), p ′′ ( z ), … , obrazo-
vannug otlyçn¥my ot nulq proyzvodn¥my çetnoho porqdka mnohoçlena p ( z ).
Pust\ λ1 , … , λn ∈ C
* y λi
2 ≠ λ j
2 pry i ≠ j. Oboznaçym çerez exp ( λi z ) (≡ )e izλ
fyksyrovannoe reßenye uravnenyq y′ / y = λi y D
i iλ δ λ= −2 2 , hde δ = d / dz.
PoloΩym
vλ i
= p z p z
i ii iλ λλ λ+ −( ) + (− )exp exp , hde p
iλ
± ∈ C [ z ] y deg p
iλ
+ =
= deg p
iλ
− . Oboznaçym çerez ˙̇v̇λ i
posledovatel\nost\ vλ i
, D
i iλ λ( )v , D
i iλ λ
2 ( )v , … ,
obrazovannug otlyçn¥my ot nulq πlementamy. Zametym, çto v πtoj posledova-
tel\nosty stepen\ mnohoçlenov pry πksponentax ponyΩaetsq na edynycu y u
posledneho çlena posledovatel\nosty ona ravna nulg.
Teorema 10. Vse πlementarn¥e operator¥ vyda δ2 + q opys¥vagtsq for-
muloj
q = 2 1
1
′( ( ) … )
( ( ) … )
′
+
W p z
W p z
cn
n
˙̇˙ , ˙̇˙ , , ˙̇˙
˙̇˙ , ˙̇˙ , , ˙̇˙
v v
v v
λ λ
λ λ
, c ∈ C. (1)
Dokazatel\stvo. Pust\ L = δ2 + q � πlementarn¥j operator. Sohlasno
teoreme 6, suwestvugt operator L0 = δ2 – c, c ∈ C, koneçnomernoe C-vektor-
noe podprostranstvo V kol\ca πlementov Pykara � Vessyo nad C, ynvaryant-
noe otnosytel\no L 0, y assocyyrovann¥j s nym operator LV takye, çto
L LV 0 = L LV . Sohlasno lemme 5, q = c – 2 1′a , hde a1 � vtoroj koπffycyent
operatora LV , kotor¥j pry yzvestnom bazyse η1 , … , ηn prostranstva V
opredelqetsq po formule a1 = − ′( … )
( … )
W
W
n
n
η η
η η
1
1
, ,
, ,
. Poskol\ku prostranstvo V
ynvaryantno otnosytel\no δ2, moΩno sçytat\, çto L0 = δ2, zamenyv L na L +
+ c, esly c ≠ 0. MoΩno takΩe sçytat\, çto operator LV ne ymeet prav¥x
delytelej yz C [ δ ] \ C, tak kak ony, sohlasno lemme 3, ne vlyqgt na znaçenye q.
Tak kak pole C alhebrayçesky zamknuto, prymenqq k L0 obwug teoryg πn-
domorfyzmov vektorn¥x prostranstv (sm. [10, s. 445], sledstvye k teoreme 7) y
yspol\zuq teoryg lynejn¥x dyfferencyal\n¥x operatorov s postoqnn¥my
koπffycyentamy (sm. [11, s. 129]), lehko zaklgçyt\, çto V ymeet bazys vyda
˙̇ṗ z( ) ,
˙̇˙ , , ˙̇˙v vλ λ1
…
n
. Neobxodymo tol\ko pokazat\, çto stepen\ mnohoçlena p ( z )
neçetnaq y deg p
iλ
+ = deg p
iλ
− . Dejstvytel\no, esly stepen\ p ( z ) çetnaq, to,
prymenqq k p ( z ) operator L0 (dyfferencyruq) dostatoçnoe çyslo raz,
poluçaem, çto V soderΩyt nenulevug konstantu. ∏to oznaçaet, çto δ �
prav¥j delytel\ operatora LV . Poluçyly protyvoreçye, sledovatel\no, ste-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
ALHEBRO-HEOMETRYÇESKYE OPERATORÁ … 21
pen\ mnohoçlena p ( z ) neçetnaq. Analohyçno predpoloΩym, çto deg p
iλ
+ >
> deg p
iλ
− , y prymenym k vλ i
operator D
iλ dostatoçnoe çyslo raz. Tohda
poluçym, çto V soderΩyt exp ( λi z ). ∏to oznaçaet, çto δ – λ i � prav¥j
delytel\ operatora LV . Pryßly k protyvoreçyg. Toçno tak Ωe m¥ prydem k
protyvoreçyg, predpoloΩyv, çto deg p
iλ
+ < deg p
iλ
− . Sledovatel\no, deg p
iλ
+ =
= deg p
iλ
− .
Teorema dokazana.
Sledstvye 1. Vse πlementarn¥e operator¥ nad C(z) vyda δ2 + q opys¥-
vagtsq formuloj
q = 2
′( ( ))
( ( ))
′
+W p z
W p z
c
˙̇˙
˙̇˙
, c ∈ C.
Dokazatel\stvo. Sredy mnoΩestva operatorov LV , svqzugwyx operator¥
L0 y L , v¥berem operator s naymen\ßym porqdkom. Sohlasno lemme 3 (iii),
moΩno sçytat\, çto eho starßyj koπffycyent raven edynyce. Poskol\ku q ∈
∈ C ( z ), LV opredelen nad C ( z ). Esly πto ne tak, to suwestvuet dyfferency-
al\n¥j yzomorfyzm σ nad C ( z ) v � takoj, çto operator L V – σ L V takΩe
budet svqz¥vat\ operator¥ L0 y L , no eho porqdok nyΩe, çem porqdok opera-
tora L V . ∏to protyvoreçyt v¥boru L V , sledovatel\no, L V opredelen nad
C ( z ). PredpoloΩym teper\, çto hruppa Halua L V netryvyal\na. Tohda πto tor
y suwestvuet nul\ v πtoho operatora takoj, çto v ′ / v ∈ C ( z ) . Poslednee ozna-
çaet, çto v = p ( z ) exp ( λ z ), hde λ ∈ C* y p ( z ) � mnohoçlen, tak kak v � πle-
ment Pykara � Vessyo nad C. Prymenqq nuΩnoe çyslo raz operator Dλ , polu-
çaem, çto exp ( λ z ) � nul\ L V . ∏to protyvoreçyt v¥boru L V .
Sledstvye 2. Pust\ F � πksponencyal\noe rasßyrenye polq C. Vse πle-
mentarn¥e operator¥ nad F vyda δ2 + q opys¥vagtsq formuloj
q =
2 1
1
′( … )
( … )
′
+
W
W
cn
n
v v
v v
λ λ
λ λ
, ,
, ,
, c ∈ C, deg p
iλ
± = 0, i = 1, … , n.
Esly F = C z( )( )exp µ , hde µ ∈ C*, to 2λi ∈ Z µ, i = 1, … , n.
Dokazatel\stvo. Oboznaçym çerez V0 podprostranstvo V s bazysom
˙̇ṗ z( ) , a çerez V
iλ � s bazysom
˙̇v̇λ i
. Sledstvye budet dokazano, esly m¥ poka-
Ωem, çto V0 = { 0 } y dimV
iλ = 1. Pust\ G � hruppa Halua LV nad F. Qsno,
çto podprostranstvo V0 ynvaryantno otnosytel\no G , sledovatel\no, vse ko-
πffycyent¥ LV0
prynadleΩat F, a vse nuly LV � C ( z ), poπtomu vse koπf-
fycyent¥ LV0
prynadleΩat C ( z ). Odnako F I C ( z ) = C, znaçyt, LV0
opre-
delen nad C, no πto protyvoreçyt v¥boru LV
, poπtomu V0 = { 0 }. Predpo-
loΩym, çto dlyna posledovatel\nosty
˙̇v̇λ i
bol\ße edynyc¥ y V � podpro-
stranstvo V
iλ , poroΩdennoe dvumq poslednymy πlementamy
˙̇v̇λ i
. PokaΩem
teper\, çto GV V⊂ . Oboznaçym çerez U
iλ2 qdro operatora D
iλ
2 , tohda V =
= U
iλ2 I V. Poskol\ku operator D
iλ
2 opredelen nad FGU
iλ2 ⊂ U
iλ2 , to GV ⊂
⊂ GU
iλ2 I G V ⊂ U
iλ2 I V = V . Sledovatel\no, koπffycyent¥ operatora LV
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
22 N. V. HRYHORENKO
prynadleΩat polg F. Poπtomu vronskyan fundamental\noj system¥ nulej
operatora L V prynadleΩyt nekotoromu πksponencyal\nomu rasßyrenyg polq
F, a znaçyt, πksponencyal\nomu rasßyrenyg polq C. Teper\ v¥çyslym πtot
vronskyan neposredstvenno. Prostranstvo V poroΩdaetsq πlementamy u1 =
= ( + )µ ν λ
1 1z e iz + ( + ) −µ ν λ
2 2z e iz y u2 = µ µλ λ
1 2e ei iz z− − , hde µ1
, ν1
, µ2
, ν2 ∈ C
y µ1
µ2 ≠ 0. Poπtomu determynant Vronskoho W ( u1 , u2 ) budet ymet\ vyd
W ( u1 , u2 ) =
=
( + ) + ( + ) −
+ + [( + ) − ( + ) ] [ + ]
− −
− − −
µ ν µ ν µ µ
µ µ λ µ ν µ ν λ µ µ
λ λ λ λ
λ λ λ λ λ λ
1 1 2 2 1 2
1 2 1 1 2 2 1 2
z e z e e e
e e z e z e e e
i i i i
i i i i i i
z z z z
z z
i
z z
i
z z
.
Posle nesloΩn¥x, no neskol\ko hromozdkyx, v¥çyslenyj, poluçym W ( u1 ,
u2 ) = 4 1 2λ µ µi z f+ , hde f ∈ C e ei iz z[ ]−λ λ, . Sledovatel\no, z prynadleΩyt πk-
sponencyal\nomu rasßyrenyg polq C . No πto nevozmoΩno, tak kak z �
prymytyvn¥j πlement nad C. ∏to protyvoreçye dokaz¥vaet, çto razmernost\
prostranstva V
iλ ne bol\ße edynyc¥. PredpoloΩym teper\, çto F =
= C z( )( )exp µ , hde µ ∈ ∈ C*. Tak kak V
iλ poroΩdaetsq odnym πlementom u =
= µ λ
1e iz – µ λ
2e iz− , to dlq lgboho σ ∈ G σ u = θσ
u, hde θσ ∈ C*. No
σ u = µ σ µ σ µ γ µ γ θ µ θ µλ λ
σ
λ
σ
λ
σ
λ
σ
λ
1 2 1 2
1
1 2e e e e e ei i i i i iz z z z z z− = − = −− − − − ,
hde γσ ∈ C*, otkuda sleduet, çto γ σ = γ σ
−1. Poslednee ravenstvo oznaçaet, çto
e iz2λ ∈ F. Sledovatel\no, 2λi ∈ Z µ.
Prymer¥. Pryvedem prost¥e prymer¥ yspol\zovanyq formul yz teorem¥
10 y sledstvyj k nej dlq postroenyq alhebro-heometryçeskyx potencyalov.
Pust\ C � pole kompleksn¥x çysel y i2 = – 1. PoloΩym vi = Sin z, tohda
W ( vi ) = vi = Sin z, y sohlasno teoreme 10 poluçaem q = 2 1[ ]( ′) ′−Sin Sinz z =
= − −2 2Sin z . PoloΩym p ( z ) ≡ z , tohda q = 2 1( ′)−z = − −2 2z . Dlq polynoma
p ( z ) tret\ej stepeny vronskyan W p z( )( )˙̇˙ ymeet vyd W = p p′ ′′ – p ′ p ′′ y qvlq-
etsq polynomom tret\ej stepeny. Kak pokaz¥vaet nesloΩn¥j analyz, v πtom
sluçae nuly W lybo zanymagt na ploskosty odnu toçku, lybo obrazugt pra-
vyl\n¥j treuhol\nyk. Poπtomu q = − −6 2z ( p ( z ) ≡ z 3
) yly q = − (6 3z z +
+ 2 3 2c z c)( − )− ( p ( z ) ≡ z3 + 2c, c ∈ C*
).
Polynom¥ pqtoj stepeny poroΩdagt ewe bol\ßee raznoobrazye typov al-
hebro-heometryçeskyx potencyalov. Dlq potencyalov s naybolee prost¥m raz-
mewenyem polgsov poroΩdagwye polynom¥ ymegt vyd:
1) p ( z ) ≡ z5 � klassyçeskyj odnopolgsn¥j potencyal;
2) p ( z ) ≡ z5 + 2c, c ∈ C* � polgs¥ obrazugt pravyl\n¥j pqtyuhol\nyk s
centrom;
3) p ( z ) ≡ z5 + µ z2, µ ∈ C* � polgs¥ obrazugt dva pravyl\n¥x treuhol\ny-
ka s edyn¥m centrom, povernut¥e na 60 hradusov odyn otnosytel\no druhoho y
koπffycyentom podobyq ravn¥m
7
2
3
2
53 + ;
4) p ( z ) ≡ z5 + µ z2 + c, cµ− =5 3 36 2/ � polgs¥ obrazugt v¥pukl¥j çet¥-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
ALHEBRO-HEOMETRYÇESKYE OPERATORÁ … 23
rexuhol\nyk, dyahonaly kotoroho vzaymno perpendykulqrn¥, odna yz nyx qv-
lqetsq os\g symmetryy y polynom W p z( )( )˙̇˙ ymeet koren\ kratnosty try.
NaxoΩdenye alhebro-heometryçeskyx potencyalov s pomow\g formul¥ (1)
trebuet v¥çyslenyq opredelytelq, poπtomu trudnost\ v¥çyslenyj b¥stro voz-
rastaet s uvelyçenyem porqdka opredelytelq, kotor¥j rastet vmeste so ste-
pen\g poroΩdagweho polynoma. Ewe sloΩnee naxodyt\ raspoloΩenye polg-
sov alhebro-heometryçeskyx potencyalov. Poπtomu dlq postroenyq prost¥x
prymerov alhebro-heometryçeskyx potencyalov luçße yspol\zovat\ teoremu 8
y lemmu 5. PokaΩem na prymerax, kak πto moΩno sdelat\, no vnaçale dokaΩem
sledugwee vspomohatel\noe utverΩdenye.
PredloΩenye 1. Pust\ F � dyfferencyal\noe pole xarakterystyky
nul\ s operatorom dyfferencyrovanyq δ , L0 = δ 2 + q0 � alhebro-heometry-
çeskyj operator nad F y η � nul\ operatora L 0 takoj, çto η′ η–
1 = a ∈ F.
Tohda
q = q0 + 2a′ (2)
� alhebro-heometryçeskyj potencyal nad F.
Dokazatel\stvo. PoloΩym H = δ – a, tohda η � nul\ operatora H L0 y
ymeet mesto ravenstvo H L0 = L H dlq nekotoroho operatora L = δ2 + q. So-
hlasno teoreme 8, L � alhebro-heometryçeskyj operator, y yz lemm¥ 5 polu-
çaem q0 = q + 2 1′a = q – 2a′, sledovatel\no, q = q0 + 2a′.
Preobrazovanyq vyda q → q0 + 2a′ naz¥vagt [8] preobrazovanyqmy Darbu.
S pomow\g πtyx preobrazovanyj netrudno poluçyt\ nekotoroe obobwenye pre-
d¥duwyx prymerov.
1. PokaΩem, çto yz formul¥ (2) sleduet alhebro-heometryçnost\ klassy-
çeskoho odnopolgsnoho potencyala q = – m ( m + 1 ) z–
2. Dejstvytel\no, kak
ustanovleno v¥ße, pry m = 1 πtot potencyal � alhebro-heometryçeskyj. Dlq
lgboho m sootvetstvugwyj operator δ2 – m ( m + 1 ) z–
2 ymeet dva nulq: η1 =
= z–
m y η2 = zm
+
1. Preobrazovanye Darbu, sootvetstvugwee vtoromu nulg, po-
v¥ßaet ranh potencyala y soxranqet eho formu
q = q0 + 2a′ = – m ( m + 1 ) z–
2 – 2 ( m + 1 ) z–
2 = – ( m + 1 ) ( m + 2 ) z–
2.
∏to oznaçaet, çto alhebro-heometryçnost\ klassyçeskoho odnopolgsnoho po-
tencyala sleduet yz soobraΩenyj yndukcyy.
2. Vospol\zuemsq teper\ dlq preobrazovanyq nulem η = zm
+
1 – µ z–
m, µ ∈ C
*.
Tohda
a =
k
m
kz mz
=
+
− −∑ ( − ) −
1
2 1
1 1λ , λk
m2 1+ = µ,
q1 = − ( − ) + − ( + )
=
+
− − −∑2 2 1
1
2 1
2 2 2
k
m
kz mz m m zλ
yly
q1 = − ( − ) − ( − )
=
+
− −∑2 1
1
2 1
2 2
k
m
kz m mzλ .
Yz πtoj formul¥ vydno, çto polgs¥ alhebro-heometryçeskoho potencyala q1
obrazugt pravyl\n¥j ( 2m + 1 ) -uhol\nyk s centrom.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
24 N. V. HRYHORENKO
3. Potencyalu q1 sootvetstvuet nul\ η1 = zm
( z2m
+
1 – µ )
–
1. V¥berem vto-
roj nul\ v vyde
η2 = η η µ µ1 1
2 2 1 1 1 2− + − + −∫ ∫= ( − ) ( − )dz z z z z dzm m m m =
= z z z z z dzm m m m( − ) ( − + )+ − + −∫2 1 1 2 1 2 22µ µ µ( ) =
= z z m z z mm m m m− + + − − + + −( − ) ( + ) − − ( − )[ ]1 2 1 1 1 4 2 2 1 2 12 3 2 1µ µ µ .
Posle razloΩenyq polynoma v kvadratn¥x skobkax na mnoΩytely poluçym
η2 = λ µ µ µz z z zm m m m−( − ) + − + +( − ) ( − )( − )1 2 1 1 2 1
1
2 1
2 ,
hde
µ1, 2 =
µ
2
2 3 2 1
2 3
2 1
m m
m
m
+ ± ( + ) +
−
y λ = ( 2m – 1 )
–
1
( 2m + 3 )
–
1. Vospol\zuemsq teper\ nulem η2 dlq preobrazova-
nyq potencyala q1 . Tohda q2 = q1 + 2a′, hde
a = − ( − ) − ( − ) + ( − ) + ( − )
=
+
− −
=
+
−
=
+
−∑ ∑ ∑
k
m
k
k
m
k
k
m
kz m z z z
1
2 1
1 1
1
2 1
1
1
1
2 1
2
11λ λ λ ,
λk
m2 1+ = µ, λ jk
m2 1+ = µj , j = 1, 2.
Sledovatel\no,
q2 = −( − )( − ) − ( − ) − ( − )−
=
+
−
=
+
−∑ ∑m m z z z
k
m
k
k
m
k2 1 2 22
1
2 1
1
2
1
2 1
2
2λ λ ,
λ jk
m2 1+ = µj , j = 1, 2.
Yz πtoj formul¥ vydno, çto polgs¥ alhebro-heometryçeskoho potencyala q2
obrazugt dva pravyl\n¥x ( 2m + 1 )-uhol\nyka s edyn¥m centrom, povernut¥e na
π / ( 2m + 1 ) hradusov odyn otnosytel\no druhoho y koπffycyentom podobyq
ravn¥m
µ
µ
1
2
2 1m + .
Pust\ M � pole funkcyj, meromorfn¥x v kompleksnoj ploskosty C. Kak
b¥lo otmeçeno ranee, nuly alhebro-heometryçeskoho operatora prynadleΩat
M. Poπtomu pry yzuçenyy alhebro-heometryçeskyx operatorov moΩno ohrany-
çyt\sq rassmotrenyem lyß\ operatorov s meromorfn¥my koπffycyentamy, u
kotor¥x vse osob¥e toçky, prynadleΩawye C, fuksov¥ y ymegt cel¥e po-
kazately. S druhoj storon¥, esly L qvlqetsq alhebro-heometryçeskym ope-
ratorom, to L + λ, λ ∈ C, � takΩe alhebro-heometryçeskyj operator. Poπtomu
alhebro-heometryçeskyj operator moΩno oxarakteryzovat\ kak operator s
parametrom, vse nuly kotoroho meromorfn¥ pry lgbom znaçenyy parametra.
Kak pokazal R. Vajkard [2], pry opredelenn¥x ohranyçenyqx, nalahaem¥x na po-
vedenye koπffycyentov operatora na beskoneçnosty, πtoho svojstva dostatoç-
no, çtob¥ operator s meromorfn¥my koπffycyentamy b¥l alhebro-heomet-
ryçeskym. Lynejn¥e dyfferencyal\n¥e operator¥ nad M , kotor¥e ymegt
tol\ko meromorfn¥e nuly, moΩno oxarakteryzovat\ sledugwym obrazom.
Lemma 6. Pust\ L � lynejn¥j dyfferencyal\n¥j operator nad M.
Hruppa Halua L nad M tryvyal\na tohda y tol\ko tohda, kohda vse osob¥e
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
ALHEBRO-HEOMETRYÇESKYE OPERATORÁ … 25
toçky operatora L , prynadleΩawye C, fuksov¥, ymegt cel¥e poparno raz-
lyçn¥e pokazately y vse xarakterystyçeskye opredelytely v πtyx toçkax rav-
n¥ nulg.
Dokazatel\stvo. Pust\ L ymeet tryvyal\nug hruppu Halua nad M. ∏to
oznaçaet, çto vse nuly operatora L prynadleΩat M. Sledovatel\no, lgbaq
osobaq toçka nulq est\ polgs, poπtomu πto fuksova osobaq toçka dlq koπf-
fycyentov operatora L s cel¥my pokazatelqmy. Poskol\ku otsutstvuet lo-
haryfmyçeskoe vetvlenye, sohlasno teoreme 1 [12], vse xarakterystyçeskye
opredelytely v πtoj toçke ravn¥ nulg. Obratno, pust\ vse osob¥e toçky ope-
ratora fuksov¥, ymegt cel¥e poparno razlyçn¥e pokazately y vse xarakterys-
tyçeskye opredelytely v nyx ravn¥ nulg. Tohda, sohlasno teoreme 1 [12], ope-
rator L ymeet fundamental\nug systemu nulej v C ( ( z ) ), no tak kak osobaq
toçka fuksova, formal\n¥e rqd¥ sxodqtsq, y poπtomu dannaq toçka qvlqetsq
polgsom dlq lgboho nulq operatora L. Poskol\ku vse osob¥e toçky, leΩawye
v koneçnoj ploskosty, takye, lgboj nul\ operatora L qvlqetsq meromorfnoj
funkcyej. Sledovatel\no, hruppa Halua operatora L tryvyal\na.
PredloΩenn¥j v¥ße kryteryj meromorfnosty nulej lynejnoho dyffe-
rencyal\noho operatora nad M dovol\no sloΩno yspol\zovat\ na praktyke v
sluçae operatorov v¥sokoho porqdka. Odnako dlq operatorov vtoroho porqdka
sytuacyq suwestvenno uprowaetsq.
Pust\ q ∈ M � meromorfn¥j potencyal. Polgs z0 potencyala q ( z ) na-
zovem alhebro-heometryçeskym, esly:
v okrestnosty z0 ymeet mesto predstavlenye
q ( z ) = − ( + )( − ) + ( − ) + + ( − ) + ( − ) + …−
−
−n n z z z z z z z z1 0
2
1 0
1
0 1 0 2 0
2µ µ µ µ ,
(3)
hde n ∈ N, µi ∈ C, i = – 1, 0, 1, … ;
xarakterystyçeskyj opredelytel\ χg = det ( aij ), hde i, j = 1, … , 2n + 1,
aij =
µi j i j
j n j n n n j i
j i
− − ≥
( − − )( − − ) − ( + ) − =
− ≥
1
1 2 1 1
0 2
, ,
, ,
, ,
esly
esly
esly
raven nulg y ne zavysyt ot µ0
.
Pry n = 1 xarakterystyçeskyj opredelytel\ lehko v¥çyslqetsq:
χg =
µ
µ µ
µ µ µ
µ µ µ µ
−
−
−
− −
−
− = + +
1
0 1
1 0 1
1
3
1 1 0
2 0
2 4 .
On raven nulg y ne zavysyt ot µ0 tohda y tol\ko tohda, kohda µ– 1 = µ1 = 0.
Pry n = 2 xarakterystyçeskyj opredelytel\ uΩe ne tak lehko v¥çyslqetsq
(dlq eho v¥çyslenyq luçße yspol\zovat\ Mathcad, GAP y t. p.):
χg =
µ
µ µ
µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ µ µ
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1
0 1
1 0 1
2 1 0 1
3 2 1 0 1
4 0 0 0
6 0 0
6 0
4
=
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
26 N. V. HRYHORENKO
= µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ− − − − −+ + + + + +1
5
1
3
0 1
2
1 1 0
2
1 2 1 0 320 84 64 288 192 576 .
Odnako on takΩe raven nulg y ne zavysyt ot µ0 tohda y tol\ko tohda, kohda
µ– 1 = µ1 = µ3 = 0.
Lemma 7. Esly µ– 1 = µ1 = µ3 = … = µ2n – 1 = 0, to xarakterystyçeskyj op-
redelytel\ χg takΩe raven nulg y ne zavysyt ot µ0 .
Dokazatel\stvo. Pust\ µ– 1 = µ1 = µ3 = … = µ2n – 1 = 0, tohda lgboj πle-
ment aij opredelytelq χg s çetnoj raznost\g yndeksov i – j raven nulg.
Sohlasno opredelenyg, χg raven summe proyzvedenyj vyda ± ( )
+∏ ak kk
n
σ
2 1
, hde
σ � perestanovka na mnoΩestve çysel 1, … , 2n + 1. Lehko vydet\, çto dlq
kakoho-to neçetnoho k k – σ ( k ) � çetnoe celoe çyslo, tak kak v mnoΩestve
1, … , 2n + 1 neçetn¥x çysel bol\ße, çem çetn¥x. ∏to oznaçaet, çto kaΩdoe
takoe proyzvedenye soderΩyt nulevoj somnoΩytel\, sledovatel\no,
opredelytel\ χg raven nulg y ne zavysyt ot µ0 .
Kak pokazano v¥ße, dlq mal¥x n spravedlyvo y obratnoe utverΩdenye.
Odnako avtoru ne yzvestno dokazatel\stvo πtoho utverΩdenyq dlq proyzvol\-
noho n. Poπtomu pry proverke polgsa meromorfnoho potencyala na alhebro-
heometryçnost\ voznykaet neobxodymost\ v¥çyslenyq xarakterystyçeskoho
opredelytelq. ∏ty v¥çyslenyq moΩno neskol\ko uprostyt\ v sluçaqx racyo-
nal\noho, prosto peryodyçeskoho (bolee obwo � πlementarnoho) y πllyptyçes-
koho potencyalov. V πtyx sluçaqx potencyal q ( z ) ymeet meromorfn¥j ynteh-
ral, a sledovatel\no, raven nulg koπffycyent µ– 1 v razloΩenyy (3).
Sohlasno lemme 6, vse polgs¥ alhebro-heometryçeskoho potencyala alheb-
ro-heometryçeskye. Obratnoe utverΩdenye, voobwe hovorq, neverno (naprymer,
dlq potencyala Ajry q ( z ) ≡ z ). Odnako dlq πllyptyçeskoho potencyala πto
tak. Bolee toho, suwestvugt dopolnytel\n¥e ohranyçenyq na povedenye ra-
cyonal\noho y prosto peryodyçeskoho potencyala, pry kotor¥x obratnoe ut-
verΩdenye spravedlyvo.
PredloΩenye 2. Pust\ q ( z ) � meromorfn¥j potencyal. Dlq toho çto-
b¥ potencyal q ( z ) b¥l alhebro-heometryçeskym, neobxodymo y dostatoçno,
çtob¥:
1) kaΩd¥j polgs q ( z ) b¥l alhebro-heometryçeskym, esly potencyal q ( z )
� πllyptyçeskyj;
2) kaΩd¥j polgs q ( z ) b¥l alhebro-heometryçeskym y potencyal b¥l ohra-
nyçen pry z → ∞, esly potencyal q ( z ) � racyonal\n¥j;
3) kaΩd¥j polgs q ( z ) b¥l alhebro-heometryçeskym y potencyal b¥l
ohranyçen na koncax polos¥ peryodov, esly potencyal q ( z ) � prosto peryody-
çeskyj.
Dokazatel\stvo. Neobxodymost\ ukazann¥x uslovyj sleduet yz teore-
m¥ 1 [2] y lemm¥ 6 dlq πllyptyçeskoho potencyala. Neobxodymost\ dopolny-
tel\noho uslovyq dlq racyonal\noho y prosto peryodyçeskoho potencyala
sleduet yz teorem¥ 7. Dostatoçnost\ pryvedenn¥x uslovyj sleduet yz lemm¥ 6
y teorem¥ 2 yz [2].
Prymer¥. Sledugwye �kanonyçeskye� potencyal¥ ymegt çetn¥e razlo-
Ωenyq v polgsax y, sohlasno lemme 7, πty polgs¥ alhebro-heometryçeskye:
n n z( + ) −1 2, n n z( + ) −1 2Sin , n n z n n z( + ) ( ) + ( + ) ( − )1 11 1 1ρ ρ ω +
+ n n z n n z2 2 2 3 3 31 1( + ) ( − ) + ( + ) ( − )ρ ω ρ ω ,
hde ρ ( z ) � funkcyq Vejerßtrassa ( ′ = − − )ρ ρ ρ2 3
2 34 g g , ω1 , ω2 � polupe-
ryod¥ y ω3 = ω1 + ω2 (potencyal Trajbyxa � Verd\e). Sohlasno predloΩe-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
ALHEBRO-HEOMETRYÇESKYE OPERATORÁ … 27
nyg 2, vse πty potencyal¥ � alhebro-heometryçeskye.
Pust\ θ1 � kompleksnoe çyslo, otlyçnoe ot polgsov ρ ( z ) y takoe, çto
uravnenye ′ ( ) = − −ρ θ2
1
3
2 34y g y g ymeet koren\ α, otlyçn¥j ot ρ ( θ1 ) . V¥be-
rem θ2 tak, çtob¥ ρ ( θ2 ) = α y ′( )ρ θ1 + ′( )ρ θ2 = 0. Tohda potencyal 2 ( ρ ( z ) +
+ ρ ( z – θ1 ) + ρ ( z – θ2 ) ) � alhebro-heometryçeskyj. Dejstvytel\no, sohlasno
lemme 7, neobxodymo y dostatoçno pokazat\, çto raven nulg koπffycyent µ– 1
v razloΩenyy (3) dlq πtoho potencyala v toçkax 0, θ1 , θ2 . ∏to oznaçaet v¥-
polnenye ravenstv
′( ) + ′( )ρ θ ρ θ1 2 = 0, ′( ) + ′( − )ρ θ ρ θ θ1 1 2 = 0, ′( ) + ′( − )ρ θ ρ θ θ2 2 1 = 0.
Pervoe ravenstvo obespeçeno v¥borom θ2 , a dva druhyx qvlqgtsq sledstvyem
pervoho, tak kak ′( − )ρ θ θ1 2 = − ′( ) − ′( )( )1
2 1 2ρ θ ρ θ sohlasno formule sloΩe-
nyq dlq funkcyy ρ′ ( z ) (sm. [4, c. 124]).
1. Floquet G. Sur la théorie des équations différentielles linéaires // Ann. sci. Ecole norm. supér. –
1879. � 8, suppl. – P. 1 – 132.
2. Weikard R. On commuting differential operators // Electron. J. Different. Equat. – 2000. – Paper
# 19. – P. 1 – 11.
3. Weikard R. On rational and periodic solutions of stationary KdV equations // Doc. Math. J. – 2000.
– 5. – P. 109 – 126.
4. Kolchin E. R. Differential algebra and algebraic groups. – New York, London: Acad. Press, 1973.
– 448 p.
5. Uytteker ∏. T., Vatson DΩ. N. Kurs sovremennoho analyza. � M.: Fyzmathyz, 1963. � Ç. II.
� 515 s.
6. Hryhorenko N. V. Abelev¥ rasßyrenyq v teoryy Pykara � Vessyo // Mat. zametky. � 1975. �
17. � S. 113 � 117.
7. Kovacic J. Geometric characterization of strongly normal extensions // Trans. Amer. Math. Soc. –
2006. – 358. – P. 4135 – 4157.
8. Ohmiya M. Darboux – Lamé equation and isomonodromic deformations // Abstr. Appl. Anal. –
2004. – 6. – P. 511 – 524.
9. Hryhorenko N. V. Kryteryj razreßymosty v kvadraturax y prqmaq zadaça teoryy Halua dlq
lynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj // Teoretyçeskye y prykladn¥e vopros¥ dyffe-
rencyal\n¥x uravnenyj y alhebra. � Kyev: Nauk. dumka, 1978. � S. 71 � 75.
10. Lenh S. Alhebra. � M.: Myr, 1968. � 564 s.
11. Kamke ∏. Spravoçnyk po ob¥knovenn¥m dyfferencyal\n¥m uravnenyqm. � M.: Myr, 1976.
� 576 s.
12. Hryhorenko N. V. Loharyfmyçeskye osobennosty fuksov¥x uravnenyj y kryteryj koneç-
nosty hrupp¥ monodromyy // Mat. zametky. � 1983. � 33. � S. 881 � 884.
Poluçeno 31.10.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
|
| id | umjimathkievua-article-2997 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:17Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/54/15143d5601c3f8a7f75d8a8f187fd454.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29972020-03-18T19:43:07Z Algebraic-geometric operators and Galois differential theory Алгебро-геометрические операторы и дифференциальная теория Галуа Grigorenko, N. V. Григоренко, Н. В. Григоренко, Н. В. We show that, by using the Galois differential theory, one can substantially improve the description of algebraic-geometric operators. In particular, we give a complete description of all elementary algebraic-geometric operators, present simple relations for the construction of all second-order operators of this type, and give a criterion for testing the algebraic-geometric properties of a linear differential operator with meromorphic coefficients. Показано, що, використовуючи диференціальну теорію Галуа, можна суттєво покращити опис алгебро-геометричних операторів. Зокрема, отримано повний опис усіх елементарних алгебро-геометричних операторів, наведено прості формули для побудови всіх таких операторів другого порядку, надано критерій перевірки на алгебро-геометричність для лінійного диференціального оператора з мероморфними коефіцієнтами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2997 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 1 (2009); 14-27 Український математичний журнал; Том 61 № 1 (2009); 14-27 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2997/2743 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2997/2744 Copyright (c) 2009 Grigorenko N. V. |
| spellingShingle | Grigorenko, N. V. Григоренко, Н. В. Григоренко, Н. В. Algebraic-geometric operators and Galois differential theory |
| title | Algebraic-geometric operators and Galois differential theory |
| title_alt | Алгебро-геометрические операторы и дифференциальная теория Галуа |
| title_full | Algebraic-geometric operators and Galois differential theory |
| title_fullStr | Algebraic-geometric operators and Galois differential theory |
| title_full_unstemmed | Algebraic-geometric operators and Galois differential theory |
| title_short | Algebraic-geometric operators and Galois differential theory |
| title_sort | algebraic-geometric operators and galois differential theory |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2997 |
| work_keys_str_mv | AT grigorenkonv algebraicgeometricoperatorsandgaloisdifferentialtheory AT grigorenkonv algebraicgeometricoperatorsandgaloisdifferentialtheory AT grigorenkonv algebraicgeometricoperatorsandgaloisdifferentialtheory AT grigorenkonv algebrogeometričeskieoperatoryidifferencialʹnaâteoriâgalua AT grigorenkonv algebrogeometričeskieoperatoryidifferencialʹnaâteoriâgalua AT grigorenkonv algebrogeometričeskieoperatoryidifferencialʹnaâteoriâgalua |