Inverse problem for the strongly degenerate heat equation in a domain with free boundary
In a domain with free boundary, we establish conditions for the existence and uniqueness of a solution of the inverse problem of finding the time-dependent coefficient of heat conductivity. We study the case of strong degeneration where the unknown coefficient tends to zero as $t → +0$ as a power fu...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2998 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509011790528512 |
|---|---|
| author | Ivanchov, N. I. Hryntsiv, N. M. Іванчов, М. І. Гринців, Н. М. |
| author_facet | Ivanchov, N. I. Hryntsiv, N. M. Іванчов, М. І. Гринців, Н. М. |
| author_sort | Ivanchov, N. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:07Z |
| description | In a domain with free boundary, we establish conditions for the existence and uniqueness of a solution of the inverse problem of finding the time-dependent coefficient of heat conductivity. We study the case of strong degeneration where the unknown coefficient tends to zero as $t → +0$ as a power function $t^{β}$, where $β ≥ 1$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
Н. М. Гринцiв, М. I. Iванчов (Львiв. нац. ун-т)
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СИЛЬНОВИРОДЖЕНОГО
РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI
В ОБЛАСТI З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ
In a free-boundary domain, conditions are established for the existence and uniqueness of a solution to the
inverse problem of finding the time-dependent heat conduction coefficient. The case of strong degeneration is
investigated when unknown coefficient tends to zero as t→ +0 similar to a power function tβ , where β ≥ 1.
В области со свободной границей найдены условия существования и единственности решения обрат-
ной задачи определения зависящего от времени коэффициента теплопроводности. Исследован случай
сильного вырождения, когда неизвестный коэффициент стремится к нулю при t → +0 как степенная
функция tβ , где β ≥ 1.
До задач для параболiчних рiвнянь з виродженням, задач з вiльною межею та обер-
нених задач приводить ряд практично важливих процесiв. Кожний iз наведених ти-
пiв задач дослiджено достатньо повно, проте їх поєднання в однiй задачi практично
не розглядалось. Обернену задачу для одновимiрного рiвняння теплопровiдностi в
областi з вiльною межею дослiджено в [1]. Умови iснування та єдиностi розв’язку
оберненої задачi для параболiчного рiвняння з сильним степеневим виродженням
встановлено в [2]. Роботи [3, 4] присвячено вивченню обернених задач вiдповiдно
для гiперболiчного та елiптичного рiвнянь з виродженням. Задачу з вiльною межею
для параболiчної системи з виродженням дослiджено в [5].
У данiй роботi вивчається одновимiрна обернена задача для рiвняння теплопро-
вiдностi iз сильним степеневим виродженням у випадку, коли частина межi областi
невiдома. Аналогiчну задачу для випадку слабкого виродження розглянуто в [6].
1. Формулювання задачi та основнi результати. В областi ΩT = {(x, t) :
0 < x < h(t), 0 < t < T}, де x = h(t) — невiдома функцiя, розглянемо обернену
задачу визначення коефiцiєнта a(t) > 0, t ∈ (0, T ], в рiвняннi теплопровiдностi
ut = a(t)uxx + f(x, t), (x, t) ∈ ΩT , (1)
з початковою умовою
u(x, 0) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ h(0), (2)
крайовими умовами та умовами перевизначення
u(0, t) = µ1(t), u(h(t), t) = µ2(t), (3)
a(t)ux(0, t) = µ3(t), (4)
h(t)∫
0
u(x, t)dx = µ4(t), 0 ≤ t ≤ T. (5)
Замiною змiнних y =
x
h(t)
, t = t задачу (1) – (5) зведемо до оберненої вiдносно
невiдомих (a(t), h(t), v(y, t)) в областi зi сталими межами QT = {(y, t) : 0 < y < 1,
0 < t < T}:
c© Н. М. ГРИНЦIВ, М. I. IВАНЧОВ, 2009
28 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СИЛЬНОВИРОДЖЕНОГО РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI ... 29
vt =
a(t)
h2(t)
vyy +
h′(t)
h(t)
yvy + f(yh(t), t), (y, t) ∈ QT , (6)
v(y, 0) = ϕ(yh(0)), 0 ≤ y ≤ 1, (7)
v(0, t) = µ1(t), v(1, t) = µ2(t), (8)
a(t)
h(t)
vy(0, t) = µ3(t), (9)
h(t)
1∫
0
v(y, t)dy = µ4(t), 0 ≤ t ≤ T, (10)
де v(y, t) = u(yh(t), t).
Пiд розв’язком задачi (6) – (10) будемо розумiти трiйку функцiй (a(t), h(t),
v(y, t)) iз класу C[0, T ]×C1[0, T ]×C2,1(QT )∩C(QT ), vy(0, t) ∈ C(0, T ], h(t) > 0,
t ∈ [0, T ], a(t) > 0, t ∈ (0, T ], яка задовольняє умови (6) – (10) i для якої iснує
скiнченна додатна границя lim
t→+0
a(t)t−β > 0, де β ≥ 1 — фiксоване число.
Умови iснування та єдиностi розв’язку задачi (6) – (10) сформульовано у наступ-
нiй теоремi.
Теорема. Припустимо, що виконуються умови:
1) ϕ ∈ C[0,∞), ϕ(x) ≥ ϕ0 > 0, x ∈ [0,∞), µ4 ∈ C1[0, T ], µ4(t) > 0, t ∈ [0, T ];
2) µi ∈ C1[0, T ], µi(t) > 0, t ∈ [0, T ], i = 1, 2, f ∈ C([0,∞)× [0, T ]), f(x, t) ≥
≥ 0, (x, t) ∈ [0,∞)× [0, T ];
3) ϕ ∈ C1[0, h0], f ∈ C2,0([0, H1] × [0, T ]), де числа h0 та H1 будуть ви-
значенi нижче, µ3 ∈ C[0, T ], µ3(t) > 0, t ∈ (0, T ], iснує скiнченна границя
lim
t→+0
µ3(t)t−
β+1
2 ≡ M > 0, f(0, t) − µ′1(t) > 0, |µ′4(t)| ≤ C2t
β−1
2 +γ , t ∈ [0, T ],
|f(x, t)| ≤ C1t
β−1
2 +γ , (x, t) ∈ [0, H1] × [0, T ], де C1, C2 — деякi додатнi сталi,
γ > 0 — довiльне фiксоване число;
4) ϕ(0) = µ1(0), ϕ(h0) = µ2(0).
Тодi можна вказати таке число T0, 0 < T0 ≤ T, яке визначається вихiдними
даними задачi (6) – (10), що iснує єдиний розв’язок цiєї задачi при y ∈ [0, 1], t ∈
∈ [0, T0].
Означимо числа h0 та H1. Зауважимо спочатку, що згiдно з умовою 1 теореми
iснує єдиний розв’язок h(0) = h0 > 0 рiвняння
h0∫
0
ϕ(x)dx = µ4(0).
Враховуючи це, з припущення 2 теореми за принципом максимуму [7, с. 25] отри-
муємо оцiнку
v(y, t) ≥M0 > 0, (y, t) ∈ QT , (11)
в якiй числоM0 визначається вихiдними даними задачi. Тодi з умови (10) знаходимо
h(t) ≤ 1
M0
max
[0,T ]
µ4(t) ≡ H1 <∞, t ∈ [0, T ]. (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
30 Н. М. ГРИНЦIВ, М. I. IВАНЧОВ
Оцiнюючи розмiри областi i знову застосовуючи принцип максимуму до розв’язку
задачi (6) – (8), отримуємо
v(y, t) ≤M1 <∞, (y, t) ∈ QT . (13)
З оцiнки (13) та умови (10) випливає
h(t) ≥ 1
M1
min
[0,T ]
µ4(t) ≡ H0 > 0, t ∈ [0, T ]. (14)
2. Зведення задачi (6) – (10) до системи рiвнянь. Позначимо b(t) ≡ a(t)
h2(t)
,
p(t) ≡ h′(t), w(y, t) ≡ vy(y, t). Припускаючи, що функцiї b(t), h(t) вiдомi, задачу
(6) – (8) зведемо до еквiвалентної системи iнтегральних рiвнянь
v(y, t) = v0(y, t) +
t∫
0
1∫
0
G1(y, t, η, τ)
ηp(τ)
h(τ)
w(η, τ)dηdτ, (y, t) ∈ QT , (15)
w(y, t) = w0(y, t) +
t∫
0
1∫
0
G1y(y, t, η, τ)
ηp(τ)
h(τ)
w(η, τ)dηdτ, (y, t) ∈ QT , (16)
де Gk(y, t, η, τ), k = 1, 2, — функцiї Грiна першої (k = 1) та другої (k = 2)
крайових задач для рiвняння
vt = b(t)vyy + f(yh(t), t). (17)
Вони визначаються формулою
Gk(y, t, η, τ) =
1
2
√
π(θ(t)− θ(τ))
+∞∑
n=−∞
(
exp
(
− (y − η + 2n)2
4(θ(t)− θ(τ))
)
+
+(−1)k exp
(
− (y + η + 2n)2
4(θ(t)− θ(τ))
))
, k = 1, 2,
де θ(t) =
∫ t
0
b(τ)dτ.
Через v0(y, t) позначено розв’язок рiвняння (17), який задовольняє умови (7),
(8):
v0(y, t) =
1∫
0
G1(y, t, η, 0)ϕ(ηh0)dη +
t∫
0
G1η(y, t, 0, τ) b(τ)µ1(τ) dτ−
−
t∫
0
G1η(y, t, 1, τ) b(τ)µ2(τ)dτ +
t∫
0
1∫
0
G1(y, t, η, τ) f(ηh(τ), τ)dηdτ. (18)
Здиференцiюємо (18) по y. Використовуючи властивостi функцiй Грiна G1y =
= −G2η, G2τ = −b(τ)G2ηη та iнтегруючи частинами, одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СИЛЬНОВИРОДЖЕНОГО РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI ... 31
w0(y, t) = h0
1∫
0
G2(y, t, η, 0)ϕ′(ηh0)dη +
t∫
0
G2(y, t, 0, τ) (f(0, τ)− µ′1(τ)) dτ +
+
t∫
0
G2(y, t, 1, τ) (µ′2(τ)− f(h(τ), τ)) dτ +
+
t∫
0
1∫
0
G2(y, t, η, τ)h(τ)fη(ηh(τ), τ) dη dτ. (19)
З умов (9) i (10) маємо
h(t) =
µ4(t)∫ 1
0
v(y, t)dy
, (20)
b(t)w(0, t) =
µ3(t)
h(t)
, t ∈ [0, T ]. (21)
Диференцiюючи (10) за змiнною t та враховуючи рiвняння (6), знаходимо
p(t) =
(
µ′4(t)− h(t)
1∫
0
f(yh(t), t)dy −
− b(t)h(t)(w(1, t)− w(0, t))
)
µ−1
2 (t), t ∈ [0, T ]. (22)
Отже, задачу (6) – (10) зведено до еквiвалентної системи рiвнянь (15), (16), (20) –
(22) щодо невiдомих b(t), h(t), p(t), v(y, t), w(y, t). Iснування розв’язку вказаної
системи будемо доводити за допомогою теореми Шаудера про нерухому точку
цiлком неперервного оператора. Для цього спочатку встановимо апрiорнi оцiнки
розв’язкiв системи.
3. Апрiорнi оцiнки розв’язкiв системи (15), (16), (20) – (22). Спочатку вста-
новимо поведiнку функцiї |w(y, t)| при t→ +0. Введемо позначення
W (t) = max
y∈[0,1]
∣∣w(y, t)
∣∣, hmin(t) = min
0≤τ≤t
h(τ), hmax(t) = max
0≤τ≤t
h(τ),
b0(t) =
b(t)
tβ
, bmin(t) = min
0≤τ≤t
b0(τ), bmax(t) = max
0≤τ≤t
b0(τ).
Оцiнимо доданки, якi входять до формули (19). Беручи до уваги рiвнiсть∫ 1
0
G2(y, t, η, τ)dη = 1, яку легко безпосередньо перевiрити, маємо∣∣∣∣∣∣
1∫
0
G2(y, t, η, 0)ϕ′(ηh0)dη
∣∣∣∣∣∣ ≤ C3,
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
1∫
0
G2(y, t, η, τ)h(τ)fη(ηh(τ), τ)dηdτ
∣∣∣∣∣∣ ≤ C4.
(23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
32 Н. М. ГРИНЦIВ, М. I. IВАНЧОВ
Використовуючи оцiнку функцiї Грiна [8, с. 12]
G2(y, t, η, τ) ≤ C5 +
C6√
θ(t)− θ(τ)
(24)
для оцiнки двох iнших доданкiв з (19), одержуємо
t∫
0
G2(y, t, 0, τ)(f(0, τ)− µ′1(τ))dτ ≤ C7 + C8
t∫
0
dτ√
θ(t)− θ(τ)
, (25)
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
G2(y, t, 1, τ)(µ′2(τ)− f(h(τ), τ))dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤ C9 + C10
t∫
0
dτ√
θ(t)− θ(τ)
. (26)
Звiдси випливає оцiнка
∣∣w0(y, t)
∣∣ ≤ C11 + C12
t∫
0
dτ√
θ(t)− θ(τ)
. (27)
Враховуючи нерiвнiсть
∫ 1
0
∣∣G1y(y, t, η, τ)
∣∣ dη ≤ C13√
θ(t)− θ(τ)
, з рiвняння (16) зна-
ходимо
W (t) ≤ C11 + C12
t∫
0
dτ√
θ(t)− θ(τ)
+ C14
t∫
0
| p(τ)|W (τ)√
θ(t)− θ(τ)
dτ. (28)
Для оцiнки p(t) використаємо рiвняння (22) та припущення теореми:∣∣p(t)∣∣ ≤ C15t
β−1
2 +γ + C16b(t)W (t), t ∈ [0, T ]. (29)
Оцiнимо iнтеграл
t∫
0
dτ√
θ(t)− θ(τ)
≤ C17√
bmin(t)
t∫
0
dτ√
tβ+1 − τβ+1
≤ C18
t
β−1
2
√
bmin(t)
. (30)
Пiдставляючи (29) та (30) у (28), одержуємо
W (t) ≤ C11 +
C19
t
β−1
2
√
bmin(t)
+
C20
t
β
2
√
bmin(t)
t∫
0
τ
β−1
2 +γW (τ)√
t− τ
dτ+
+
C21
t
β
2
√
bmin(t)
t∫
0
b(τ)W 2(τ)√
t− τ
dτ. (31)
Звiдси випливає, що функцiя w(y, t) поводить себе при t→ +0 як t
1−β
2 .
Оцiнимо w(0, t) знизу. Оскiльки G2(0, t, 1, τ) ≤ C22, то, пiдставляючи (19) в
(16) i використовуючи оцiнки (23), маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СИЛЬНОВИРОДЖЕНОГО РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI ... 33
w(0, t) ≥
t∫
0
G2(0, t, 0, τ)(f(0, τ)− µ′1(τ))dτ − C23 − C24
t∫
0
| p(τ)|W (τ)√
θ(t)− θ(τ)
dτ.
(32)
Враховуючи явний вигляд функцiї Грiна, дану нерiвнiсть зводимо до вигляду
w(0, t) ≥ 1√
π
t∫
0
f(0, τ)− µ′1(τ)√
θ(t)− θ(τ)
dτ − C23 − C24
t∫
0
| p(τ)|W (τ)√
θ(t)− θ(τ)
dτ. (33)
Беручи до уваги встановлену при t→ +0 поведiнку iнтегралiв, якi входять до (33),
робимо висновок, що для довiльного фiксованого q, 0 < q < 1, iснує таке число
t1, 0 < t1 ≤ T, що
C23 + C24
t∫
0
| p(τ)|W (τ)√
θ(t)− θ(τ)
dτ ≤ q√
π
t∫
0
f(0, τ)− µ′1(τ)√
θ(t)− θ(τ)
dτ, t ∈ [0, t1]. (34)
Тодi
w(0, t) ≥ 1− q√
π
t∫
0
f(0, τ)− µ′1(τ)√
θ(t)− θ(τ)
dτ, t ∈ [0, t1].
Пiдставляючи знайдену нерiвнiсть в (21), отримуємо
b(t) ≤
√
πµ3(t)
(1− q)h(t)
∫ t
0
f(0, τ)− µ′1(τ)√
θ(t)− θ(τ)
dτ
≤
≤
√
πµ3(t)
√
bmax(t)
(1− q)
√
1 + β hmin(t)
∫ t
0
f(0, τ)− µ′1(τ)√
tβ+1 − τβ+1
dτ
або
b0(t) ≤
√
πµ3(t)
√
bmax(t)
(1− q)
√
1 + β hmin(t)tβ
∫ t
0
f(0, τ)− µ′1(τ)√
tβ+1 − τβ+1
dτ
, t ∈ [0, t1]. (35)
Позначимо
K(t) ≡
√
πµ3(t)
√
1 + β tβ
∫ t
0
f(0, τ)− µ′1(τ)√
tβ+1 − τβ+1
dτ
. (36)
З умов теореми випливає, що K(t) неперервна та додатна на (0, T ]. Використо-
вуючи теорему про середнє, легко переконуємось в iснуваннi додатної границi
lim
t→+0
K(t). Отже, з (36) маємо
bmax(t) ≤ K2
max(t)
(1− q)2h2
min(t)
, (37)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
34 Н. М. ГРИНЦIВ, М. I. IВАНЧОВ
де Kmax(t) = max
0≤τ≤t
K(τ). Звiдси випливає оцiнка
b(t) ≤ A1t
β , t ∈ [0, t1], (38)
де стала A1 > 0 визначається вихiдними даними задачi.
Для оцiнки b(t) знизу використаємо оцiнку w(0, t) зверху:
w(0, t) ≤ C25 +
1√
π
t∫
0
f(0, τ)− µ′1(τ)√
θ(t)− θ(τ)
dτ + C26
t∫
0
| p(τ)|W (τ)√
θ(t)− θ(τ)
dτ. (39)
Пiдставляючи (39) i (29) в (21) та використовуючи (38), знаходимо
b0(t) ≥ K(t)
√
bmin(t)h−1
max(t)
(
C27t
β−1
2 + 1 + C28t
β−1
2
t∫
0
τ
β−1
2 +γW (τ)√
tβ+1 − τβ+1
dτ+
+C29t
β−1
2
t∫
0
b(τ)W 2(τ)√
tβ+1 − τβ+1
dτ
)−1
. (40)
З оцiнки (38) та поведiнки W (t) при t → +0 випливає iснування такого числа t2,
0 < t2 ≤ T, що справджується нерiвнiсть
C27t
β−1
2 + C28t
β−1
2
t∫
0
τ
β−1
2 +γW (τ)√
tβ+1 − τβ+1
dτ +
+ C29t
β−1
2
t∫
0
b(τ)W 2(τ)√
tβ+1 − τβ+1
dτ ≤ q, t ∈ [0, t2]. (41)
Тодi з (40) отримуємо
b0(t) ≥ K(t)
(1 + q)hmax(t)
√
bmin(t)
або
bmin(t) ≥ K2
min(t)
(1 + q)2h2
max(t)
,
де Kmin(t) = min
0≤τ≤t
K(τ). Остаточно маємо
b(t) ≥ A0t
β , t ∈ [0, t2], (42)
де A0 =
K2
min(T )
(1 + q)2h2
max(T )
> 0.
Оцiнимо функцiю W (t), пiдставивши знайденi оцiнки b(t) в (31):
W (t) ≤ C32
t
β−1
2
+
C33
t
β
2
t∫
0
τ
β−1
2 +γW (τ) + τβW 2(τ)√
t− τ
dτ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СИЛЬНОВИРОДЖЕНОГО РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI ... 35
Домножимо обидвi частини нерiвностi на t
β−1
2 i покладемо W1(t) = W (t)t
β−1
2 .
У випадку γ ≤ 1 одержимо
W1(t) = C32 + C34t
− 1
2
t∫
0
τγ(W1(τ) + 1)2√
t− τ
dτ, (43)
або, позначивши W2(t) = W1(t) + 1,
W2(t) ≤ C35 +
C34√
t
t∫
0
τγW 2
2 (τ)√
t− τ
dτ. (44)
Пiднесемо обидвi частини (44) до квадрату, використавши при цьому нерiвностi
Кошi та Кошi – Буняковського:
W 2
2 (t) ≤ C36 + C37t
γ+ 1
2
t∫
0
τγ−1W 4
2 (τ)√
t− τ
dτ.
В останнiй нерiвностi замiнимо t на σ i, домноживши на
1√
t− σ
, зiнтегруємо її по
σ вiд 0 до t. Матимемо
t∫
0
W 2
2 (σ)√
t− σ
dσ ≤ C38
√
t+ C39t
γ+ 1
2
t∫
0
τγ−1W 4
2 (τ)dτ.
Тодi
W2(t) ≤ C40 + C41
t∫
0
W 4
2 (τ)
τ1−γ dτ. (45)
Позначимо
χ(t) = C40 + C41
t∫
0
W 4
2 (τ)
τ1−γ dτ.
Звiдси знаходимо
χ′(t) ≤ C41
t1−γ
χ4(t).
Розв’язуючи дану нерiвнiсть, отримуємо
χ(t) ≤
C40
3
√
γ
3
√
γ − 3C3
40C41tγ
, t ∈ [0, t3],
де число t3, 0 < t3 ≤ T, задовольняє нерiвнiсть
γ − 3C3
40C41t
γ
3 > 0.
Отже, встановлено оцiнку
W2(t) ≤M2, t ∈ [0, t3]. (46)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
36 Н. М. ГРИНЦIВ, М. I. IВАНЧОВ
У випадку γ > 1 нерiвнiсть (43) зводиться до вигляду
W1(t) ≤ C42 + C43t
− 1
2
t∫
0
τ(W1(τ) + 1)2√
t− τ
dτ
i розв’язується аналогiчно до попереднього.
Отже, маємо оцiнки∣∣w(y, t)
∣∣ ≤ M2
t
β−1
2
,
∣∣p(t)∣∣ ≤M3t
β−1
2 +γ , y ∈ [0, 1], t ∈ [0, t3]. (47)
Таким чином, встановлено апрiорнi оцiнки розв’язкiв системи рiвнянь (15), (16),
(20) – (22).
4. Доведення iснування розв’язку. Введемо функцiю w̃(y, t) = w(y, t)t
β−1
2 i
подамо систему рiвнянь (15), (16), (20) – (22) у виглядi
v(y, t) = v0(y, t) +
t∫
0
1∫
0
G1(y, t, η, τ)
ηp(τ)
h(τ)
w̃(η, τ)
τ
β−1
2
dηdτ, (48)
w̃(y, t) = w0(y, t)t
β−1
2 + t
β−1
2
t∫
0
1∫
0
G1y(y, t, η, τ)
ηp(τ)
h(τ)
w̃(η, τ)
τ
β−1
2
dηdτ, (y, t) ∈ Qt0 ,
(49)
h(t) =
µ4(t)∫ 1
0
v(y, t)dy
, (50)
b(t)w̃(0, t) =
µ3(t)
h(t)
t
β−1
2 , (51)
p(t) =
(
µ′4(t)− h(t)
1∫
0
f(yh(t), t)dy −
− b(t)h(t)(w̃(1, t)− w̃(0, t))
t
β−1
2
)
µ−1
2 (t), t ∈ [0, t0], (52)
де v0(y, t), w0(y, t) визначаються рiвностями (18), (19), а t0 = min{t1, t2, t3}.
Систему рiвнянь (48) – (52) подамо у виглядi операторного рiвняння
ω = Pω,
де ω = (v, w̃, h, b, p), а оператор P визначається правими частинами рiвнянь (48) –
(52). Визначимо множину N =
{
(v, w̃, h, b, p) ∈
(
C(Qt0)
)2 × (C[0, t0]
)3 : M0 ≤
≤ v(y, t) ≤ M1,
∣∣w̃(y, t)
∣∣ ≤ M2, H0 ≤ h(t) ≤ H1, A0 ≤
b(t)
tβ
≤ A1, |p(t)| ≤
≤ M3t
β−1
2 +γ
}
. Очевидно, що множина N замкнена й опукла, а оператор P пере-
водить її в себе. Те, що оператор P цiлком неперервний, доводиться, як в [2, 8].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СИЛЬНОВИРОДЖЕНОГО РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI ... 37
Тодi, згiдно з теоремою Шаудера, iснує розв’язок системи рiвнянь (48) – (52), а
отже, i розв’язок задачi (6) – (10).
5. Доведення єдиностi розв’язку. Припустимо, що iснують два розв’язки
(vi(y, t), wi(y, t), hi(t), bi(t), pi(t)), i = 1, 2, системи рiвнянь (15), (16), (20) – (22).
Позначимо v(y, t) = v1(y, t)− v2(y, t), w(y, t) = w1(y, t)−w2(y, t), h(t) = h1(t)−
−h2(t), b(t) = b1(t)−b2(t), p(t) = p1(t)−p2(t). Цi функцiї задовольняють систему
рiвнянь
v(y, t) = v∗0(y, t) +
t∫
0
1∫
0
(
G
(1)
1 (y, t, η, τ)−G(2)
1 (y, t, η, τ)
)ηp2(τ)
h2(τ)
w2(η, τ)dηdτ +
+
t∫
0
1∫
0
G
(1)
1 (y, t, η, τ)
ηp1(τ)
h1(τ)
w(η, τ)dηdτ +
+
t∫
0
1∫
0
G
(1)
1 (y, t, η, τ)
ηp(τ)
h1(τ)
w2(η, τ)dηdτ−
−
t∫
0
1∫
0
G
(1)
1 (y, t, η, τ)
ηp2(τ)h(τ)
h1(τ)h2(τ)
w2(η, τ)dηdτ, (53)
w(y, t) = w∗0(y, t) +
t∫
0
1∫
0
(
G
(1)
1y (y, t, η, τ)−G(2)
1y (y, t, η, τ)
)ηp2(τ)
h2(τ)
w2(η, τ)dηdτ+
+
t∫
0
1∫
0
G
(1)
1y (y, t, η, τ)
ηp1(τ)
h1(τ)
w(η, τ)dηdτ+
+
t∫
0
1∫
0
G
(1)
1y (y, t, η, τ)
ηp(τ)
h1(τ)
w2(η, τ)dηdτ−
−
t∫
0
1∫
0
G
(1)
1y (y, t, η, τ)
ηp2(τ)h(τ)
h1(τ)h2(τ)
w2(η, τ)dηdτ, (y, t) ∈ QT , (54)
h(t) = −h1(t)h2(t)
µ4(t)
1∫
0
v(y, t)dy, (55)
b(t) = −b1(t)b2(t)h2(t)
µ3(t)
w(0, t)− b2(t)h(t)
h1(t)
, (56)
p(t)µ2(t) = −h1(t)b1(t)(w(1, t)− w(0, t)) −
− h1(t)b(t)(w2(1, t)− w2(0, t))− h(t)b2(t)(w2(1, t)− w2(0, t)) −
− h1(t)
1∫
0
(
f(yh1(t), t)− f(yh2(t), t)
)
dy − h(t)
1∫
0
f(yh2(t), t)dy, t ∈ [0, T ],
(57)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
38 Н. М. ГРИНЦIВ, М. I. IВАНЧОВ
де через G(j)
i , i, j = 1, 2, позначено функцiї Грiна i-ї крайової задачi для рiвняння
vjt = bj(t)vjyy + f(yhj(t), t).
Для доведення єдиностi розв’язку системи рiвнянь (53) – (57) виведемо з рiвнян-
ня (56) з використанням iнших рiвнянь системи iнтегральну нерiвнiсть щодо |b(t)|,
з якої буде випливати b(t) ≡ 0. Для цього спочатку проведемо оцiнки розв’язкiв
системи рiвнянь (53) – (57).
Використовуючи (18), (19), знаходимо
v∗0(y, t) =
1∫
0
(
G
(1)
1 (y, t, η, 0)−G(2)
1 (y, t, η, 0)
)
ϕ(ηh0)dη +
t∫
0
(
G
(1)
1η (y, t, 0, τ)−
−G(2)
1η (y, t, 0, τ)
)
b1(τ)µ1(τ)dτ +
t∫
0
G
(2)
1η (y, t, 0, τ)b(τ)µ1(τ)dτ −
t∫
0
(
G
(1)
1η (y, t, 1, τ)−
−G(2)
1η (y, t, 1, τ)
)
b1(τ)µ2(τ)dτ −
t∫
0
G
(2)
1η (y, t, 1, τ)b(τ)µ2(τ)dτ+
+
t∫
0
1∫
0
G
(1)
1 (y, t, η, τ)(f(ηh1(τ), τ)− f(ηh2(τ), τ))dηdτ+
+
t∫
0
1∫
0
(
G
(1)
1 (y, t, η, τ)−G(2)
1 (y, t, η, τ)
)
f(ηh2(τ), τ)dηdτ, (58)
w∗0(y, t) = h0
1∫
0
(
G
(1)
2 (y, t, η, 0)−G(2)
2 (y, t, η, 0)
)
ϕ′(ηh0)dη+
+
t∫
0
(
G
(1)
2 (y, t, 0, τ)−G(2)
2 (y, t, 0, τ)
)
(f(0, τ)− µ′1(τ))dτ+
+
t∫
0
(
G
(1)
2 (y, t, 1, τ)−G(2)
2 (y, t, 1, τ)
)
(µ′2(τ)− f(h2(τ), τ))dτ−
−
t∫
0
G
(1)
2 (y, t, 1, τ)(f(h1(τ), τ)− f(h2(τ), τ))dτ+
+
t∫
0
1∫
0
G
(1)
2 (y, t, η, τ)h1(τ)(fη(ηh1(τ), τ)− fη(ηh2(τ), τ))dηdτ+
+
t∫
0
1∫
0
G
(1)
2 (y, t, η, τ)h(τ)fη(ηh2(τ), τ)dηdτ+
+
t∫
0
1∫
0
(
G
(1)
2 (y, t, η, τ)−G(2)
2 (y, t, η, τ)
)
h2(τ)f(ηh2(τ), τ)dηdτ. (59)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СИЛЬНОВИРОДЖЕНОГО РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI ... 39
Позначимо V (t) = max
y∈[0,1]
∣∣v(y, t)
∣∣, W (t) = max
y∈[0,1]
∣∣w(y, t)
∣∣, b0(t) =
b(t)
tβ
, b̃max =
= max
0≤τ≤t
∣∣b0(τ)
∣∣, h̃max = max
0≤τ≤t
∣∣h(τ)
∣∣. Використовуючи формулу Лагранжа
f(yh1(t), t)− f(yh2(t), t) = yh(t)
1∫
0
fx(y(h2(t) + σ(h1(t)− h2(t))), t)dσ (60)
та наведенi в [2] оцiнки, одержуємо∣∣v∗0(y, t)
∣∣ ≤ C44b̃max(t) + C45h̃max(t)t
β+1
2 +γ ,
∣∣w∗0(y, t)
∣∣ ≤ C46
b̃max(t)
t
β−1
2
+ C47
h̃max(t)
t
β−1
2
.
(61)
З урахуванням оцiнок (61) з рiвнянь (53), (54) знаходимо
V (t) ≤ C48b̃max(t) + C62t
γ+1h̃max(t) + C49
t∫
0
(
τ
β−1
2 +γW (τ) +
|p(τ)|
τ
β−1
2
)
dτ, (62)
W (t) ≤ C50b̃max(t) + C51h̃max(t)
t
β−1
2
+
C52
t
β
2
t∫
0
τ
β−1
2 +γW (τ) + |p(τ)|τ
1−β
2
√
t− τ
dτ. (63)
З рiвняння (57) отримуємо нерiвнiсть
| p(t)| ≤ C53t
βW (t) + C54t
β+1
2 b̃max(t) + C55t
β−1
2 +γ h̃max(t). (64)
Для оцiнки h(t) пiдставимо (53), (58) в (55) i розглянемо вираз
S1 ≡
1∫
0
ϕ(ηh0)dη
1∫
0
(
G
(1)
1 (y, t, η, 0)−G(2)
1 (y, t, η, 0)
)
dy.
Перетворимо даний вираз, взявши до уваги те, що розв’язком задачi
vt = b(t)vyy, (y, t) ∈ QT , v(y, 0) = 1, y ∈ [0, 1],
v(0, t) = v(1, t) = 1, t ∈ [0, T ],
є функцiя v(y, t) = 1, яку можна подати у виглядi
v(y, t) =
1∫
0
G1(η, t, y, 0)dy −
t∫
0
G1y(η, t, 0, τ)b(τ)dτ +
t∫
0
G1y(η, t, 1, τ)b(τ)dτ.
Звiдси
1∫
0
G1(η, t, y, 0)dy = 1−
t∫
0
G1y(η, t, 0, τ)b(τ)dτ +
t∫
0
G1y(η, t, 1, τ)b(τ)dτ.
Пiдставляючи даний вираз в S1, отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
40 Н. М. ГРИНЦIВ, М. I. IВАНЧОВ
S1 =
1∫
0
ϕ(ηh0)
(
−
t∫
0
(
G
(1)
1y (η, t, 0, τ) −
− G
(2)
1y (η, t, 0, τ)
)
b1(τ)dτ −
t∫
0
G
(2)
1y (η, t, 0, τ)b(τ)dτ +
+
t∫
0
(
G
(1)
1y (η, t, 1, τ)−G(2)
1y (η, t, 1, τ)
)
b1(τ)dτ +
+
t∫
0
G
(2)
1y (η, t, 1, τ)b(τ)dτ
)
dη =
4∑
i=1
S
(i)
1 .
Використовуючи рiвнiсть G1y(η, t, y, τ) = −G2η(η, t, y, τ) та iнтегруючи частина-
ми, знаходимо
S
(1)
1 =
1∫
0
ϕ(ηh0)
t∫
0
(
G
(1)
2η (η, t, 0, τ)−G(2)
2η (η, t, 0, τ)
)
b1(τ)dτ
dη =
=
t∫
0
b1(τ)
(
(G(1)
2 (1, t, 0, τ)−G(2)
2 (1, t, 0, τ)
)
ϕ(h0)−
−
(
G
(1)
2 (0, t, 0, τ
)
−G(2)
2 (0, t, 0, τ))ϕ(0)
)
dτ−
−h0
t∫
0
b1(τ)
1∫
0
(
G
(1)
2 (η, t, 0, τ)−G(2)
2 (η, t, 0, τ)
)
ϕ′(ηh0)dη
dτ.
Враховуючи оцiнки функцiї Грiна, звiдси одержуємо
|S(1)
1 | ≤ C56t
β+1
2 b̃max(t).
Оцiнки iнших виразiв, що входять до S1, проводяться аналогiчно, внаслiдок чого
маємо
|S1| ≤ C57t
β+1
2 b̃max(t).
Розглянемо ще один вираз, що входить до складу h(t):
S2 =
1∫
0
dy
t∫
0
1∫
0
G
(1)
1 (y, t, η, τ)(f(ηh1(τ), τ)− f(ηh2(τ), τ))dηdτ.
Використовуючи (60) та умови теореми, маємо
|S2| ≤ C58h̃max(t)
t∫
0
τ
β−1
2 +γdτ ≤ C59t
β+1
2 +γ h̃max(t).
Дiючи аналогiчно, приходимо до оцiнки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СИЛЬНОВИРОДЖЕНОГО РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI ... 41
h̃max(t) ≤ C59t̃bmax(t) + C60t
β+1
2 W (t) + C61t
γ h̃max(t),
звiдки отримуємо
h̃max(t) ≤ C62t̃bmax(t) + C63t
β+1
2 W (t), t ∈ [0, t4], (65)
де число t4, 0 < t4 ≤ T, визначається з умови C61t
γ
4 ≤ 1/2.
Оцiнка (65) дає змогу звести (62), (63) до системи
V (t) ≤ C64b̃max(t) + C65t
β+1
2 +γW (t) + C66
t∫
0
τ
β+1
2 +γW (τ)dτ, (66)
W (t) ≤ C67
b̃max(t)
t
β−1
2
+ C68tW (t) +
C69
t
β
2
t∫
0
τ
β+1
2 +γW (τ)√
t− τ
dτ. (67)
Вибираючи число t5, 0 < t5 ≤ T, так, щоб 1− C68t5 ≥
1
2
, iз (67) знаходимо
W (t) ≤ C70
b̃max(t)
t
β−1
2
+
C71
t
β
2
t∫
0
τ
β+1
2 +γW (τ)√
t− τ
dτ, t ∈ [0, t5].
Отриману нерiвнiсть домножимо на t
β−1
2 i позначимо W1(t) = W (t)t
β−1
2 :
W1(t) ≤ C72b̃max(t) + C73t
− 1
2
t∫
0
τγW1(τ)√
t− τ
dτ, t ∈ [0, t5]. (68)
У нерiвностi (68) покладемо t = σ i, домноживши на
1√
t− σ
, зiнтегруємо її по σ
вiд 0 до t:
W1(t) ≤ C74b̃max(t) + C75t
γ− 1
2
t∫
0
τγ−1W1(τ)dτ, t ∈ [0, t5]. (69)
З (69) випливає оцiнка W1(t) ≤ C76b̃max(t), або
W (t) ≤ C76
t
β−1
2
b̃max(t), t ∈ [0, t5]. (70)
Згiдно з (65), (66) отримуємо
h̃max(t) ≤ C77t̃bmax(t), V (t) ≤ C78b̃max(t), t ∈ [0, t5]. (71)
Перейдемо до оцiнки |w(0, t)|. Розглянемо вираз
R1 ≡
t∫
0
∣∣G(1)
2 (0, t, 0, τ)−G(2)
2 (0, t, 0, τ)
∣∣(f(0, τ)− µ′1(τ))dτ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
42 Н. М. ГРИНЦIВ, М. I. IВАНЧОВ
=
1√
π
t∫
0
∣∣∣∣ 1√
θ1(t)− θ1(τ)
− 1√
θ2(t)− θ2(τ)
∣∣∣∣(f(0, τ)− µ′1(τ))dτ+
+
2√
π
t∫
0
∞∑
n=1
∣∣∣∣∣ 1√
θ1(t)− θ1(τ)
exp
(
− n2
θ1(t)− θ1(τ)
)
−
− 1√
θ2(t)− θ2(τ)
exp
(
− n2
θ2(t)− θ2(τ)
)∣∣∣∣∣(f(0, τ)− µ′1(τ))dτ ≡
≡ R(1)
1 +R
(2)
1 .
Доданок R(2)
1 подамо у виглядi
R
(2)
1 =
2√
π
t∫
0
(f(0, τ)− µ′1(τ))
∣∣∣∣∣∣∣
θ1(t)−θ1(τ)∫
θ2(t)−θ2(τ)
d
dz
(
1√
πz
∞∑
n=1
exp
(
−n
2
z
))
dz
∣∣∣∣∣∣∣ dτ,
звiдки, врахувавши обмеженiсть пiдiнтегрального виразу та нерiвнiсть
|θ1(t)− θ1(τ)− θ2(t) + θ2(τ)| ≤
t∫
τ
| b0(σ)|σβdσ ≤ tβ+1 − τβ+1
β + 1
b̃max(t), (72)
отримаємо
R
(2)
1 ≤ C79t
β+2b̃max(t).
З (42) випливає оцiнка
θi(t)− θi(τ) =
t∫
τ
bi(σ)dσ ≥ K2
min(t)
(1 + q)2h2
imax(t)
tβ+1 − τβ+1
β + 1
,
використавши яку, матимемо
R
(1)
1 ≤
√
β + 1(1 + q)3b̃max(t)h1 max(t)h2 max(t)
K3
min(t)
(
1
h1 max(t)
+
1
h2 max(t)
) t∫
0
f(0, τ)− µ′1(τ)√
tβ+1 − τβ+1
dτ ≤
≤ (1 + q)3h2
1 max(t)h2
2 max(t)µ3(t)
tβK4
min(t)(h1 max(t) + h2 max(t))
b̃max(t).
Застосовуючи аналогiчнi мiркування, знаходимо∣∣w(0, t)
∣∣ ≤ C80b̃max(t)+
+
(1 + q)3h2
1 max(t)h2
2 max(t)µ3(t)
tβK4
min(t)(h1 max(t) + h2 max(t))
b̃max(t) + C81t
γ− β−1
2 b̃max(t). (73)
Подiлимо рiвнiсть (56) на tβ . Використовуючи (38), отримуємо∣∣b0(t)
∣∣ ≤ K4
max(t)tβh2 max(t)
(1− q)4h2
1 min(t)h2
2 min(t)µ3(t)
|w(0, t)|+ C82h̃max(t),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ СИЛЬНОВИРОДЖЕНОГО РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI ... 43
або, враховуючи (73), (71),
b̃max(t) ≤
(
C83t
β−1
2 +
K4
max(t)h2
1 max(t)h3
2 max(t)(1 + q)4
K4
min(t)h2
1 min(t)h2
2 min(t)(h1 max(t) + h2 max(t))(1− q)4
+
+C84t
γ + C85t
)
b̃max(t), t ∈ [0, t5]. (74)
З того, що lim
t→+0
Kmax(t) = lim
t→+0
Kmin(t), lim
t→+0
himax(t) = lim
t→+0
himin(t) = h0,
i = 1, 2, випливає, що для заданого q, 0 < q < 1, iснує таке число t6, 0 < t6 ≤ T,
що
K4
max(t)h2
1 max(t)h3
2 max(t)
K4
min(t)h2
1 min(t)h2
2 min(t)(h1 max(t) + h2 max(t))
≤ 1 + q
2
, t ∈ [0, t8],
C83t
β−1
2 + C84t
γ + C85t ≤ q, t ∈ [0, t6].
Зафiксуємо число q так, щоб 0 < q <
5
√
2− 1
5
√
2 + 1
. Тодi
C83t
β−1
2 +
K4
max(t)h2
1 max(t)h3
2 max(t)(1 + q)4
K4
min(t)h2
1 min(t)h2
2 min(t)(h1 max(t) + h2 max(t))(1− q)4
+
+ C84t
γ + C85t ≤
(1 + q)5
2(1− q)4
+ q < 1.
Враховуючи останню нерiвнiсть в (74), отримуємо, що b̃max(t) ≤ 0, t ∈ [0, t6], що
неможливо. Отже,
b̃max(t) ≡ 0, t ∈ [0, T0],
де T0 = min{t0, t4, t5, t6}. Звiдси
b(t) ≡ 0, h(t) ≡ 0, p(t) ≡ 0, t ∈ [0, T0],
v(y, t) ≡ 0, w(y, t) ≡ 0, (y, t) ∈ [0, 1]× [0, T0].
Теорему доведено.
1. Iванчов М. I. Обернена задача з вiльною межею для рiвняння теплопровiдностi // Укр. мат. журн.
– 2003. – 55, № 7. – С. 901 – 910.
2. Iванчов М. I., Салдiна Н. В. Обернена задача для параболiчного рiвняння з сильним степеневим
виродженням // Там же. – 2006. – 58, № 11. – С. 1487 – 1500.
3. Елдесбаев Т. Об одной обратной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения второго
порядка // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. – 1987. – № 3. – С. 27 – 29.
4. Гаджиев М. М. Обратная задача для вырождающегося эллиптического уравнения // Применение
методов функцион. анализа в уравнениях мат. физики. – Новосибирск, 1987. – С. 66 – 71.
5. DiBenedetto E., Showalter R. E. A free-boundary problem for a degenerate parabolic system // J.
Different. Equat. – 1983. – 50, № 1. – P. 1 – 19.
6. Гринцiв Н. Обернена задача для рiвняння теплопровiдностi з виродженням в областi з вiльною
межею // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2006. – 49, № 4. – С. 28 – 40.
7. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения
параболического типа. – М.: Наука, 1967.
8. Ivanchov M. Inverse problem for equations of parabolic type. – Lviv: VNTL Publ., 2003.
9. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. – М.: Мир, 1965.
Одержано 28.09.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2998 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:19Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7f/68f76b50ddb98f75476f6d22d763a67f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-29982020-03-18T19:43:07Z Inverse problem for the strongly degenerate heat equation in a domain with free boundary Обернена задача для сильновиродженого рівняння теплопровідності в області з вільною межею Ivanchov, N. I. Hryntsiv, N. M. Іванчов, М. І. Гринців, Н. М. In a domain with free boundary, we establish conditions for the existence and uniqueness of a solution of the inverse problem of finding the time-dependent coefficient of heat conductivity. We study the case of strong degeneration where the unknown coefficient tends to zero as $t → +0$ as a power function $t^{β}$, where $β ≥ 1$. В области со свободной границей найдены условия существования и единственности решения обратной задачи определения зависящего от времени коэффициента теплопроводности. Исследован случай сильного вырождения, когда неизвестный коэффициент стремится к нулю при $t → +0$ как степенная функция $t^{β}$, где $β ≥ 1$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2998 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 1 (2009); 28-43 Український математичний журнал; Том 61 № 1 (2009); 28-43 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2998/2745 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2998/2746 Copyright (c) 2009 Ivanchov N. I.; Hryntsiv N. M. |
| spellingShingle | Ivanchov, N. I. Hryntsiv, N. M. Іванчов, М. І. Гринців, Н. М. Inverse problem for the strongly degenerate heat equation in a domain with free boundary |
| title | Inverse problem for the strongly degenerate heat equation in a domain with free boundary |
| title_alt | Обернена задача для сильновиродженого рівняння
теплопровідності в області з вільною межею |
| title_full | Inverse problem for the strongly degenerate heat equation in a domain with free boundary |
| title_fullStr | Inverse problem for the strongly degenerate heat equation in a domain with free boundary |
| title_full_unstemmed | Inverse problem for the strongly degenerate heat equation in a domain with free boundary |
| title_short | Inverse problem for the strongly degenerate heat equation in a domain with free boundary |
| title_sort | inverse problem for the strongly degenerate heat equation in a domain with free boundary |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2998 |
| work_keys_str_mv | AT ivanchovni inverseproblemforthestronglydegenerateheatequationinadomainwithfreeboundary AT hryntsivnm inverseproblemforthestronglydegenerateheatequationinadomainwithfreeboundary AT ívančovmí inverseproblemforthestronglydegenerateheatequationinadomainwithfreeboundary AT grincívnm inverseproblemforthestronglydegenerateheatequationinadomainwithfreeboundary AT ivanchovni obernenazadačadlâsilʹnovirodženogorívnânnâteploprovídnostívoblastízvílʹnoûmežeû AT hryntsivnm obernenazadačadlâsilʹnovirodženogorívnânnâteploprovídnostívoblastízvílʹnoûmežeû AT ívančovmí obernenazadačadlâsilʹnovirodženogorívnânnâteploprovídnostívoblastízvílʹnoûmežeû AT grincívnm obernenazadačadlâsilʹnovirodženogorívnânnâteploprovídnostívoblastízvílʹnoûmežeû |