On one extremal problem of Pompeiu sets
We determine upper bounds for the least radius of a ball in which a given set is a Pompeiu set (the set considered is a half right circular cone). The obtained estimates significantly improve known results.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3001 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509015645093888 |
|---|---|
| author | Elets, L. V. Masharov, P. A. Елец, Л. В. Машаров, П. A. Елец, Л. В. Машаров, П. A. |
| author_facet | Elets, L. V. Masharov, P. A. Елец, Л. В. Машаров, П. A. Елец, Л. В. Машаров, П. A. |
| author_sort | Elets, L. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:07Z |
| description | We determine upper bounds for the least radius of a ball in which a given set is a Pompeiu set (the set considered is a half right circular cone). The obtained estimates significantly improve known results. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.28.988
Л. В. Елец (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк),
П. А. Машаров (Донец. нац. ун-т)
ОБ ОДНОЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ
О МНОЖЕСТВАХ ПОМПЕЙЮ
Upper estimates are established for the smallest radius of a ball, in which a given set is the Pompeiu set. As
the set, the half of the straight circular cone is considered. Estimates obtained essentially improve the known
results.
Знайдено оцiнки зверху найменшого радiуса кулi, в якiй дана множина є множиною Помпейю. В якостi
множини розглянуто половину прямого кругового конуса. Отриманi оцiнки значно уточнюють вiдомi
ранiше.
1. Введение. Пусть Rn — вещественное евклидово пространство размерности
n > 2 с евклидовой нормой | · |, M(n) — группа движений Rn, BR = {x ∈
∈ Rn : |x| < R}. Для компактного множества A ⊂ Rn и области B ⊂ Rn положим
Mot(A, B) = {λ ∈ M(n) : λA ⊂ B}. Компакт A называется множеством Пом-
пейю в области B (будем обозначать это A ∈ Pomp(B)), если любая локально
суммируемая функция f : B → C, для которой
∫
λA
f(x) dx = 0 ∀λ ∈ Mot(A, B), (1)
равна нулю почти всюду в B. Классическая проблема Помпейю состоит в описа-
нии класса Pomp(Rn). Она изучалась во многих работах (см. [1, 2]). Из результата
Вильямса [3] следует, что если граница множества A липшицева, но не веществен-
но аналитическая, то A ∈ Pomp(Rn). В. В. Волчков построил примеры множеств
A ∈ Pomp(B) с нелипшицевой (и даже фрактальной) границей, одним из которых
является „снежинка Кох” [4].
Если некоторое множество A ∈ Pomp(Rn), то возникает вопрос: будет ли
A ∈ Pomp(BR) при достаточно большом R > 0? В. В. Волчков доказал, что ответ
на этот вопрос положителен (см. [5]). В [6] (ч. 4, гл. 1) поставлена следующая
задача.
Задача 1. Для данного множества A найти
R(A) = inf
{
R > 0: A ∈ Pomp(BR)
}
.
Первые результаты, содержащие оценки сверху для величины R(A), получены
в работе [7]. По поводу нижних оценок для R(A) см. [6] (ч. 4, теорема 1.6). В [6]
(ч. 4) содержится достаточно полная история данного вопроса и близких к нему.
Отметим, что множества A, для которых в настоящее время известны точные
значения величины R(A), можно разбить на следующие типы по структуре их
границ:
1) граница состоит из отрезков или плоских участков (многоугольники, мно-
гогранники (см. [6], ч. 4, гл. 2, 3, [8]);
2) эллипсоиды, отличные от шара [6] (ч. 4, гл. 4);
3) полушар [6] (ч. 4, гл. 5.1);
4) граница содержит отрезки и дуги окружностей (секторы [9], треугольник
Рело [10]);
c© Л. В. ЕЛЕЦ, П. А. МАШАРОВ, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1 61
62 Л. В. ЕЛЕЦ, П. А. МАШАРОВ
5) цилиндры в R3, в основании которых лежат круговые сегменты [11].
В данной работе впервые изучается случай, когда граница множества A со-
держит участок конической поверхности. В частности, получена оценка сверху
величины R(A) для множества
A =
{
(x, y, z) ∈ R
3 : 0 6 z 6 h
(
1 −
√
x2 + y2
)
, y > 0
}
, (2)
где h > 0 фиксировано (см. ниже теорему 1). Множество A является половиной
прямого кругового конуса в R3 с радиусом основания 1 и высотой h. Результаты
такого типа находят многочисленные применения в теории аппроксимации, комп-
лексном анализе и теории отображений, сохраняющих меру (см. [6] (ч. 5), а также
п. 6 данной работы).
2. Формулировка основного результата. Всюду в дальнейшем предполага-
ется, что n = 3 и множество A имеет вид (2). Следуя [6] (ч. 4), введем следующие
классы функций. Пусть B(A, B) — множество функций из Lloc(B), удовлетворяю-
щих (1). Для k = 1, 2, . . . ,∞ положим B
k(A, B) = B(A, B) ∩ Ck(B). Кроме того,
пусть α = arctgh, l =
√
h2 + 1, β = arccos
(
l/(2R)
)
.
Для компактного множества K обозначим через r∗(K) = inf
{
R > 0: λK ⊂
⊂ BR, λ ∈ M(n)
}
наименьший из радиусов замкнутых шаров, содержащих K.
Тогда
r∗(A) =
(h2 + 1)/(2h), h > 1,
1, h 6 1.
(3)
В связи с дальнейшими результатами (см. п. 4) естественно ввести следующие
обозначения:
MAXABC(R, h) =
√
R2 −
(
r∗(A)
)2
, (4)
MINB(R, h) = max
{
h −
√
R2 − 1; 0
}
, (5)
MINA(R, h) =
max{2 − R; 0}, 2R cosα > l,
max{l − R; 0}, l + 2R cos 2α 6 0,
√
R2 + 4 − 4R cos(α − β) в остальных случаях,
(6)
MAXAC(R, h) =
√
R2 − 1, MINAC(R, h) = max{h − R; 0}, (7)
MAXAB(R, h) =
√
R2 − (l/2)2, 2Rh > 1 + h2,
R sin
(
α + arccos(1/R)
)
, 2Rh 6 1 + h2,
(8)
MINAB(R, h) =
max
{
(2h/l)− R; 0
}
, R sin α > 1,
R sin
(
α − arccos(1/R)
)
, R sin α 6 1.
(9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБ ОДНОЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ О МНОЖЕСТВАХ ПОМПЕЙЮ 63
Кроме того, положим
P(A) = inf
{
R > 0: [0; MAXABC ] ∪ [MINAB ; MAXAB] ∪
∪ [MINAC ; MAXAC ] ∪ [min{MINA; MINB}; R] = [0; R]
}
. (10)
Основным результатом работы является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть h > 0, R > P(A) и f ∈ B(A, BR). Тогда f = 0.
Непосредственными вычислениями получаем явный вид P(A):
P(A) =
√
1 + h2/
(
1 +
√
h2 + 1
)2
при h < 1 (11)
и
P(A) =
5h2 + 1
8h
при h > 3. (12)
Значения P(A) для каждого h ∈ [1; 3] можно легко вычислить с любой на-
перед заданной точностью ε с помощью компьютера. Идея алгоритма состоит в
том, чтобы, проверяя для данного h все значения R, начиная с r∗(A), с шагом ε,
найти первое (наименьшее) из тех, при которых объединение множеств в форму-
ле (10) равно [0; R]. Результаты реализации описанного алгоритма при ε = 10−6
приведены в таблице. В ней для каждого h ∈ [1; 3] ∩ {h : 10h ∈ N} найдено та-
кое R, что R ∈
[
P(A);P(A) + 10−6
]
, или, что то же, найдено R, при котором
P(A) ∈ [R − 10−6; R].
Таким образом, в работе получена оценка R(A) 6 P(A). Заметим, что изве-
стные ранее оценки К. А. Беренстейна и Р. Гэя давали лишь оценку R(A) 6 2r∗(A).
Из формул (3), (11), (12) и таблицы видно, что новая оценка существенно улучшает
известную ранее для каждого h. Доказательство теоремы 1 приводится в п. 5, а в
пп. 3 и 4 развивается необходимый аппарат.
3. Интегральные формулы. Рассмотрим дифференциальные операторы D =
= y · ∂
∂x
− x · ∂
∂y
, p =
∂
∂x
, q =
∂
∂z
, l1 =
∂
∂z
− 1
h
∂
∂x
, l2 =
∂
∂z
+
1
h
∂
∂x
. Пусть
вершины полуконуса A имеют координаты A = v1 = (−1, 0, 0), B = v2 = (0, 0, h),
C = v3 = (1, 0, 0) (см. рис. 1, a).
а б в
Рис. 1. Обозначения вершин, дальнее и ближнее положения грани ABC.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
64 Л. В. ЕЛЕЦ, П. А. МАШАРОВ
Приближенные значения P(A) для h ∈ {t/10: t ∈ 10, 30}
h 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
R ≈ P(A) 1,082393 1,093477 1,104254 1,128990 1,169882 1,213531
2r∗(A) 2,000000 2,009091 2,033333 2,069231 2,114286 2,166667
h 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1
R ≈ P(A) 1,259438 1,307217 1,345363 1,379312 1,414214 1,450001
2r∗(A) 2,225000 2,288235 2,355556 2,426316 2,500000 2,576190
h 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7
R ≈ P(A) 1,486607 1,523976 1,562050 1,612501 1,673077 1,733797
2r∗(A) 2,654545 2,734783 2,816667 2,900000 2,984615 3,070370
h 2,8 2,9 3,0
R ≈ P(A) 1,794643 1,855604 1,916667
2r∗(A) 3,157143 3,244828 3,333333
Лемма 1. Пусть f ∈ C2(A). Тогда
∫
A
(D p f)(x, y, z) dx dy dz =
h
∫
0
(
1 − z
h
)
f
(
1 − z
h
, 0, z
)
dz −
−
h
∫
0
( z
h
− 1
)
f
( z
h
− 1, 0, z
)
dz −
h
∫
0
dz
1−(z/h)
∫
(z/h)−1
f(x, 0, z) dx. (13)
Доказательство. В интеграле, стоящем слева в (13), осуществляется переход
к повторному интегралу исходя из равенств
∫
A
g(x, y, z) dx dy dz =
h
∫
0
dz
1−(z/h)
∫
0
dy
√
(1−(z/h))2−y2
∫
−
√
(1−(z/h))2−y2
g(x, y, z) dx =
=
h
∫
0
dz
1−(z/h)
∫
(z/h)−1
dx
√
(1−(z/h))2−x2
∫
0
g(x, y, z) dy,
выполненных для любой g ∈ L(A).
Выбирая тот порядок интегрирования, который позволяет вычислить внутрен-
ний интеграл, получаем
∫
A
(Df)(x, y, z) dx dy dz =
h
∫
0
dz
1−(z/h)
∫
0
yf
(
√
(1 − (z/h))2 − y2, y, z
)
dy −
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБ ОДНОЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ О МНОЖЕСТВАХ ПОМПЕЙЮ 65
−
h
∫
0
dz
1−(z/h)
∫
0
yf
(
−
√
(1 − (z/h))2 − y2, y, z
)
dy −
−
h
∫
0
dz
1−(z/h)
∫
(z/h)−1
xf
(
x,
√
(1 − (z/h))2 − x2, z
)
dx +
+
h
∫
0
dz
1−(z/h)
∫
(z/h)−1
xf(x, 0, z) dx.
Выполняя в полученных интегралах замены: в первом и втором y = (1 −
− (z/h)) cos t, в третьем x = (1 − (z/h)) sin t, имеем
∫
A
(Df)(x, y, z) dx dy dz =
= −
h
∫
0
dz
0
∫
−π/2
−
(
1 − z
h
)2 sin 2t
2
f
((
1 − z
h
)
sin t,
(
1 − z
h
)
cos t, z
)
dt −
−
h
∫
0
dz
0
∫
−π/2
(
1 − z
h
)2 sin 2t
2
f
(
−
(
1 − z
h
)
sin t,
(
1 − z
h
)
cos t, z
)
dt −
−
h
∫
0
dz
π/2
∫
−π/2
(
1 − z
h
)2 sin 2t
2
f
((
1 − z
h
)
sin t,
(
1 − z
h
)
cos t, z
)
dt +
+
h
∫
0
dz
1−(z/h)
∫
(z/h)−1
xf(x, 0, z) dx.
После замены t → −t во втором интеграле первый, второй и третий интегралы
взаимно уничтожаются. Таким образом,
∫
A
(Df)(x, y, z) dx dy dz =
h
∫
0
dz
1−(z/h)
∫
(z/h)−1
xf(x, 0, z) dx.
Отсюда, заменяя f на pf и интегрируя внутренний интеграл по частям, получа-
ем (13), что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть f ∈ C7(A). Тогда
∫
A
(Dpql21l
2
2 f)(x, y, z) dx dy dz =
= −
1
∫
−1
(l21l
2
2 f)(x, 0, 0) dz − (ql1l
2
2 f)(v3) − (ql2l
2
1 f)(v1)+
+
[
(ql21 f)(v2) − (ql21 f)(v1) + (ql22 f)(v2) − (ql22 f)(v3) +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
66 Л. В. ЕЛЕЦ, П. А. МАШАРОВ
+ (l21l2 f)(v1) − (l21l2 f)(v2) + (l1l
2
2 f)(v2) − (l1l
2
2 f)(v3)
]
/
h. (14)
Доказательство. В равенстве (13) заменим f на l21l
2
2 f и вычислим отдельно
первый и второй интегралы в правой части полученного выражения. Поскольку
операторы l1 и l2 являются дифференциальными операторами с постоянными ко-
эффициентами, они коммутируют. Применяя формулу интегрирования по частям,
получаем
h
∫
0
(1 − (z/h))(l21(l
2
2 f))(1 − (z/h), 0, z) dz =
= −(l1l
2
2 f)(v3) +
[
(l22 f)(v2) − (l22 f)(v3)
]
/h
и
h
∫
0
((z/h) − 1)(l22(l
2
1 f))((z/h) − 1, 0, z) dz =
= (l2l
2
1 f)(v1) −
[
(l21 f)(v2) − (l21 f)(v1)
]
/h.
(Здесь использован тот факт, что если g1(z) = f(1−(z/h), 0, z) и g2(z) = f((z/h)−
− 1, 0, z), то их дифференциалы имеют вид dg1(z) = (l1 f)(1 − (z/h), 0, z) dz,
dg2(z) = (l2 f)((z/h) − 1, 0, z) dz.)
Таким образом,
∫
A
(Dpl21l
2
2 f)(x, y, z) dx dy dz =
= −
h
∫
0
dz
1−(z/h)
∫
(z/h)−1
(l21l
2
2 f)(x, 0, z) dx − (l1l
2
2 f)(v3) −
−(l2l
2
1 f)(v1) +
[
(l21 f)(v2) − (l21 f)(v1) + (l22 f)(v2) − (l22 f)(v3)
]
/h. (15)
Заменим в полученном равенстве f на q f. Учитывая, что оператор q коммути-
рует с l1 и l2, вычисляем отдельно повторный интеграл:
h
∫
0
dz
1−(z/h)
∫
(z/h)−1
(ql21l
2
2 f)(x, 0, z) dx =
1
∫
−1
dx
h(1−|x|)
∫
0
(ql21l
2
2 f)(x, 0, z)dz =
=
0
∫
−1
(l21l
2
2 f)(x, 0, h(1 + x)) +
1
∫
0
(l21l
2
2 f)(x, 0, h(1 − x)) −
1
∫
−1
(l21l
2
2 f)(x, 0, 0) =
= −
1
∫
−1
(l21l
2
2 f)(x, 0, 0) dx +
+
[
(l21l2 f)(v2) − (l21l2 f)(v1) + (l22l1 f)(v3) − (l22l1 f)(v2)
]
/h. (16)
Подставляя (16) в полученное из (15), приходим к (14).
Лемма 2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБ ОДНОЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ О МНОЖЕСТВАХ ПОМПЕЙЮ 67
Лемма 3. Пусть f ∈ C6(A). Тогда
∫
A
(Dp2l22l1 f)(x, y, z) dx dy dz =
1
h
h
∫
0
(pl22 f)
(
1 − z
h
, 0, z
)
dz +
+ (pl1l2 f)(v1) − (pl22 f)(v3) − (l22 f)(v2) + (l22 f)(v3) −
−(l1 l2 f)(v2) + (l1l2 f)(v2) +
[
(pl1 f)(v2) − (pl1 f)(v1)
]
/h. (17)
Доказательство. Заменим в равенстве (13) функцию f на p f. Учитывая, что
при g3(z) = f(x, 0, z) дифференциал dg3(z) равен p f(x, 0, z) dz, имеем
∫
A
(Dp2 f)(x, y, z) dx dy dz =
h
∫
0
(
1 − z
h
)
(p f)
(
1 − z
h
, 0, z
)
dz −
−
h
∫
0
( z
h
− 1
)
(p f)
( z
h
− 1, 0, z
)
dz −
−
h
∫
0
f
(
1 − z
h
, 0, z
)
dz +
h
∫
0
f
( z
h
− 1, 0, z
)
dz.
Поскольку p, l1 и l2 коммутируют, заменяя в полученном равенстве последователь-
но f на l2 f, а затем f на l1 f и используя формулу интегрирования по частям,
получаем
∫
A
(Dp2l22 f)(x, y, z) dx dy dz =
h
∫
0
(
1 − z
h
)
(l22p f)
(
1 − z
h
, 0, z
)
dz −
−
h
∫
0
(l22 f)
(
1 − z
h
, 0, z
)
dz − (l2 f)(v1) + (l2 f)(v2) +
+ (pl2 f)(v1) −
[
(p f)(v2) − (p f)(v1)
]
/h,
откуда после подобных преобразований следует (17).
Лемма 3 доказана.
Заменяя в равенстве (15) f на p f, получаем следующее утверждение.
Лемма 4. Пусть f ∈ C7(A). Тогда
∫
A
(Dp2l22l
2
1 f)(x, y, z) dx dy dz = (l1l
2
2 f)(v3) − (l1l
2
2 f)(v2) + (l2l
2
1 f)(v2) −
− (l2l
2
1 f)(v1) − (l1l
2
2p f)(v3) + (l2l
2
1p f)(v1) +
+
[
(l22p f)(v2) − (l22p f)(v3) − (l21p f)(v2) + (l21p f)(v1)
]
/h. (18)
Правую часть равенства (18) можно переписать в виде
∑3
ν=1
(
Pν(∂) f)(vν),
где оператор ∂ =
(
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
и Pν : R3 → C — соответствующие многочлены
степеней не выше четвертой. Далее для каждого ν ∈ {1, 2, 3} и ε > 0 положим
Ων,ε =
{
x ∈ R
3 : |vν | − ε < |x| < |vν | + ε
}
.
Применяя предложение 1.5.6 из [6], получаем такое следствие.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
68 Л. В. ЕЛЕЦ, П. А. МАШАРОВ
Следствие 1. Пусть ε > 0 и f ∈ B(A, BR), где BR — наименьший шар,
содержащий
⋃3
ν=1 Ων,ε. Тогда справедливо равенство
3
∑
ν=1
(
Pν(∂) f)(x + vν) = 0, x ∈ Bε. (19)
4. Геометрические конструкции. Описав около полуконуса A шар при раз-
личных значениях h, убеждаемся, что формула (3) верна. Заметим также, что ве-
личина r∗(A) равна значению r∗(K), где K — равнобедренный треугольник с
основанием 2 и высотой h, проведенной к основанию.
Пусть вершины полуконуса A расположены в соответствии с рис. 1, а и BR =
= {x ∈ R3 : |x| 6 R}. Докажем, что формулы (4) – (9) верны, где MAX∗(R, h)
и MIN∗(R, h) — соответственно наибольшее и наименьшее расстояние от цент-
ра шара BR до объекта ∗ (вершины, ребра или грани) полуконуса λA при всех
возможных движениях λ ∈ Mot(A, BR). На рис. 1, б, в показано, при каком поло-
жении полуконуса достигаются значения MAXABC и MINABC , откуда следует (4)
и MINABC ≡ 0.
Для определения остальных величин заметим, что эти экстремальные рассто-
яния достигаются при расположениях треугольника ABC в наибольшем сечении
шара, т. е. в круге, содержащем центр шара. Поэтому далее будут рассматриваться
положения треугольника ABC в круге радиуса R. Поскольку в этом треугольнике
углы ∠A = ∠C острые, то MAXA(R, h) = MAXC(R, h) = R.
а б
в г
Рис. 2. Ближнее положение вершин B и A.
Решив геометрические задачи по нахождению упомянутых расстояний для со-
ответствующих экстремальных положений λA в BR, изображенных на рис. 2 – 5,
приходим к следующим результатам. Из рис. 2, а, б получаем (5), из рис. 2, в, г —
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБ ОДНОЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ О МНОЖЕСТВАХ ПОМПЕЙЮ 69
а б
в г
Рис. 3. Ближнее положение вершины A и дальнее положение стороны AC.
первую строку, из рис. 3, а, б — вторую, из рис. 3, в — третью строку формулы (6).
Из рис. 3, г получаем значение MAXAC(R, h) в (7).
Из рис. 4, а, б находим значение MINAC(R, h) в (7), из рис. 4, в — первую
строку, из рис. 4, д — вторую строку формулы (8).
Из рис. 5, а, б получаем первую строку, из рис. 5, в — вторую строку форму-
лы (9). Отметим, что на рис. 5, в изображено такое положение треугольника ABC
в круге, что его высота, проведенная из вершины C, содержит центр O.
5. Доказательство основного результата. Перед доказательством основного
результата приведем несколько вспомогательных утверждений. Заметим, что из
геометрических соображений следует MaxAB(R, h) > MaxAC(R, h). Далее, как
обычно, ∆ =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
— оператор Лапласа в R3, Ba,b = {x ∈ R3 : a <
< |x| < b} — кольцо с радиусами a и b, где a, b ∈ R. Исследуем некоторые свойства
функций, имеющих нулевые интегралы по заданным множествам.
Лемма 5. Пусть 0 < a < b < d < R, f ∈ L(0; R), f = 0 в (a; b) ∪ (d; R) и
при некоторых a1, a2 таких, что a < a1 < a2 < b,
√
d2−x2
∫
0
f
(
√
x2 + y2
)
dy = 0
для всех x ∈ (a1, a2). Тогда f = 0 в Ba,R.
Доказательство. Выполним в данном интеграле замену t =
√
x2 + y2. Тогда
для всех перечисленных условий на входящие в интеграл параметры получаем
равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
70 Л. В. ЕЛЕЦ, П. А. МАШАРОВ
а б
в г
Рис. 4. Ближнее положение стороны AC и дальнее положение стороны AB.
а б в
Рис. 5. Ближнее положение стороны AB.
0 =
d
∫
x
f(t)t√
t2 − x2
dt ∀x ∈ (a1; a2).
Поскольку функция f(t) = 0 при t ∈ (a; b), то
0 =
d
∫
b
f(t)t√
t2 − x2
dt ∀x ∈ (a1; a2). (20)
Разложим в ряд Лорана функцию
t√
t2 − x2
=
(
1 −
(x
t
)2
)−1/2
= 1 +
∞
∑
j=1
(2j − 1)!!
(2j)!!
(x
t
)2j
, |t| > x.
Подставляя разложение в (20), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБ ОДНОЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ О МНОЖЕСТВАХ ПОМПЕЙЮ 71
0 =
∞
∑
j=0
d
∫
b
f(t)
t2j
dt
(2j − 1)!!x2j
(2j)!!
∀x ∈ (a1; a2).
Таким образом,
d
∫
b
f(t)
t2j
dt = 0 для всех j ∈ Z+.
Выполним в полученном интеграле замену z = 1/t2. В результате получим
∫ 1/b2
1/d2
zj−1 f(1/
√
z )√
z
dz = 0. Поскольку система многочленов
{
1, z, z2, . . .
}
замк-
нута в пространстве C(1/d2; 1/b2), то f(1/
√
z )/
√
z = 0 в (1/d2; 1/b2), откуда
непосредственно следует, что f(t) = 0 в (b, d). Учитывая равенство нулю функции
f в (a; b) ∪ (d; R), получаем требуемое утверждение леммы.
Обозначим E(R) =
{
λvj : λ ∈ Mot(A, BR), j ∈ {1, 2, 3}
}
. Из теоремы 4.3.2
из [6] с учетом следствия 1 получаем следующий результат.
Лемма 6. Пусть R > r∗(A), функция f принадлежит B(A, BR) и явля-
ется радиальной. Тогда существует ненулевой полином P : R1 → C такой, что
P (∆)f = 0 в E(R).
Если множество E(R) является кольцом, то это кольцо с радиусами min{MINA,
MINB} и R. Если это объединение колец, то, применяя лемму 5, получаем следу-
ющее утверждение.
Лемма 7. Пусть R > r∗(A), функция f принадлежит B
∞(A, BR) и являет-
ся радиальной. Тогда существует ненулевой полином P : R
1 → C такой, что
P (∆) f = 0 в Bmin{MINA,MINB},R.
Далее докажем следующую лемму.
Лемма 8. Пусть R > P(A), функция f принадлежит B
∞(A, BR) и являет-
ся радиальной. Тогда существует ненулевой полином P : R
1 → C такой, что
P (∆) f = 0 в BR.
Доказательство. Пусть F = P (∆)f = 0 в Bmin{MINA,MINB},R, где P —
ненулевой полином из предыдущей леммы. Доопределим F нулем вне BR. Из
лемм 1 – 4 и определения P(A) следует, что интегралы от F по всем прямым,
расстояние до которых от начала координат не менее a = min{MINAC , MINAB},
равны нулю. Отсюда по лемме 1.8.3 из [6] получаем F = 0 в Ba,R. Из (13) следует,
что интегралы от F по всем плоскостям равны нулю. Тогда по лемме 1.8.3 из [6]
получаем F = 0 в BR, что завершает доказательство леммы.
Доказательство теоремы 1. Поскольку R > P(A), функцию f можно счи-
тать принадлежащей классу B
∞(A, BR) (общий случай получаем отсюда приме-
нением стандартного метода сглаживания, см., например, §1.3.3 в [6]). Повторяя
рассуждения из доказательства предложения 1.5.9 (там же) и учитывая (19), ви-
дим, что теорему достаточно доказать для радиальной функции. Повторяя теперь
рассуждения из доказательства леммы 4.3.7 из [6] и используя лемму 8, получаем
утверждение теоремы.
6. Применения полученного результата. Теорема 1 позволяет получить до-
статочное условие замкнутости в пространстве Lp(BR), 1 6 p < ∞, системы
функций
{
χA(λ−1x) : λ ∈ Mot(A, BR)
}
. (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
72 Л. В. ЕЛЕЦ, П. А. МАШАРОВ
Здесь, как обычно, χA — индикатор (характеристическая функция) множества A,
т. е.
χA(x) =
{
1, x ∈ A,
0, x /∈ A.
Теорема 2. Пусть h > 0, R > P(A). Тогда система функций (21) замкнута
в пространстве Lp(BR) при любом 1 6 p < ∞.
Доказательство. Пусть ϕ — линейный непрерывный функционал на про-
странстве Lp(BR) такой, что ϕ
(
χA(λ−1x)
)
= 0 при всех λ ∈ Mot(A, BR). По
теореме Рисса существует функция f ∈ Lq(BR), q = p/(p − 1), такая, что ϕ(g) =
=
∫
BR
f(x)g(x) dx для любой g ∈ Lp(BR). Подставляя вместо g функции из (21),
получаем
∫
λA
f(x) dx = 0 для всех λ ∈ Mot(A, BR), что означает f ∈ B(A, BR).
Отсюда, учитывая R > P(A), по теореме 1 получаем f = 0, значит, ϕ — нулевой
функционал. Отсюда следует замкнутость системы (21) в Lp(BR).
Теорема 2 доказана.
Отметим, что теорема 2 теряет силу при p = ∞, так как ненулевые тождествен-
ные константы не могут быть аппроксимированы указанным в теореме 2 способом.
Рассмотрим также применение теоремы 1 в теории отображений, сохраняющих
меру. Здесь под meas E понимается мера Лебега множества E.
Теорема 3. Пусть h > 0, R > P(A) и f — C1-диффеоморфизм BR на
область Ω ⊂ R3. Тогда если meas f(λA) = measλA ∀λ ∈ Mot(A, BR), то
meas f(E) = measE для любого измеримого множества E ⊂ BR.
Доказательство. Пусть Jf — якобиан отображения f. По условию
∫
λA
dx =
=
∫
f(λA)
dx =
∫
λA
|Jf | dx для всех λ ∈ Mot(A, BR). Отсюда
∫
λA
(
|Jf | − 1) dx = 0
∀λ ∈ Mot(A, BR). По теореме 1, |Jf | = 1 в BR, откуда
∫
E
dx =
∫
E
|Jf |dx =
∫
f(E)
dx
для любого измеримого множества E⊂BR, что и требовалось доказать.
1. Zalcman L. A bibliographic survey of Pompeiu problem // Approxim. Solutions Partial Different. Equat.
/ Eds B. Fuglede et al. – 1992. – P. 185 – 194.
2. Zalcman L. Supplementary bibliography to ‘A bibliographic survey of Pompeiu problem’ in Radon
Transforms and Tomography // Comtemp. math. – 2001. – 278. – P. 69 – 74.
3. Williams S. A. A partial solution of the Pompeiu problem // Math. Ann. – 1976. – 223. – P. 183 – 190.
4. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. New results in integral geometry // Comtemp. math. – 2005. – 382. –
P. 417 – 432.
5. Volchkov V. V.,Volchkov Vit. V. Geometric aspects of the mean periodicity. – Donetsk: Donetsk Nat. Univ.
Press, 2007. – 166 p.
6. Volchkov V. V. Integral geometry and convolution equations. – Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ., 2003.
– 454 p.
7. Berenstein C. A., Gay R. Le probleme de Pompeiu locale // J. Anal. Math. – 1989. – 2. – P. 133 – 166.
8. Волчков В. В. О функциях с нулевыми интегралами по кубам // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 6.
– С. 859 – 863.
9. Машаров П. А. Экстремальные задачи о множествах с локальным свойством Помпейю // Доп.
НАН України. – 2001. – № 7. – С. 25 – 29.
10. Машаров П. А. Решение локального варианта проблемы Помпейю для треугольника Рело // Вiсн.
Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 2001. – Вип. 6. – С. 72 – 81.
11. Машаров П. А. Про цилiндри з локальною властивiстю Помпейю // Вiсн. Донец. нац. ун-ту. Сер. А.
Природ. науки. – 2000. – № 1. – C. 21 – 25.
Получено 08.02.08,
после доработки — 17.05.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-3001 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:23Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/79/17e47fbd6b6322f2d8daf70a9ab6c079.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30012020-03-18T19:43:07Z On one extremal problem of Pompeiu sets Об одной экстремальной задаче о множествах Помпейю Elets, L. V. Masharov, P. A. Елец, Л. В. Машаров, П. A. Елец, Л. В. Машаров, П. A. We determine upper bounds for the least radius of a ball in which a given set is a Pompeiu set (the set considered is a half right circular cone). The obtained estimates significantly improve known results. Знайдено оцінки зверху найменшого радiуса кулі, в якій дана множина є множиною Помпейю. В якості множини розглянуто половину прямого кругового конуса. Отримані оцінки значно уточнюють відомі раніше. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3001 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 1 (2009); 61-72 Український математичний журнал; Том 61 № 1 (2009); 61-72 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3001/2751 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3001/2752 Copyright (c) 2009 Elets L. V.; Masharov P. A. |
| spellingShingle | Elets, L. V. Masharov, P. A. Елец, Л. В. Машаров, П. A. Елец, Л. В. Машаров, П. A. On one extremal problem of Pompeiu sets |
| title | On one extremal problem of Pompeiu sets |
| title_alt | Об одной экстремальной задаче о множествах Помпейю |
| title_full | On one extremal problem of Pompeiu sets |
| title_fullStr | On one extremal problem of Pompeiu sets |
| title_full_unstemmed | On one extremal problem of Pompeiu sets |
| title_short | On one extremal problem of Pompeiu sets |
| title_sort | on one extremal problem of pompeiu sets |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3001 |
| work_keys_str_mv | AT eletslv ononeextremalproblemofpompeiusets AT masharovpa ononeextremalproblemofpompeiusets AT eleclv ononeextremalproblemofpompeiusets AT mašarovpa ononeextremalproblemofpompeiusets AT eleclv ononeextremalproblemofpompeiusets AT mašarovpa ononeextremalproblemofpompeiusets AT eletslv obodnojékstremalʹnojzadačeomnožestvahpompejû AT masharovpa obodnojékstremalʹnojzadačeomnožestvahpompejû AT eleclv obodnojékstremalʹnojzadačeomnožestvahpompejû AT mašarovpa obodnojékstremalʹnojzadačeomnožestvahpompejû AT eleclv obodnojékstremalʹnojzadačeomnožestvahpompejû AT mašarovpa obodnojékstremalʹnojzadačeomnožestvahpompejû |