Approximation of conjugate differentiable functions by their Abel–Poisson integrals
We obtain the exact values of upper bounds of approximations of classes of periodic conjugate differentiable functions by their Abel–Poisson integrals in uniform and integral metrics.
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3002 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509014753804288 |
|---|---|
| author | Zhyhallo, K. M. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, К. М. Харкевич, Ю. І. |
| author_facet | Zhyhallo, K. M. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, К. М. Харкевич, Ю. І. |
| author_sort | Zhyhallo, K. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:07Z |
| description | We obtain the exact values of upper bounds of approximations of classes of periodic conjugate differentiable functions by their Abel–Poisson integrals in uniform and integral metrics. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
K. M. Ûyhallo, G. I. Xarkevyç (Volyn. nac. un-t, Luc\k)
NABLYÛENNQ SPRQÛENYX
DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ
}X INTEHRALAMY ABELQ � PUASSONA*
We obtain the exact values of upper bounds of approximations on the classes of periodic conjugate
differentiable functions by their Abel – Poisson integrals in the uniform metric and integral metric.
Poluçen¥ toçn¥e znaçenyq verxnyx hranej pryblyΩenyj na klassax peryodyçeskyx soprqΩen-
n¥x dyfferencyruem¥x funkcyj yx yntehralamy Abelq � Puassona v ravnomernoj y ynte-
hral\noj metrykax.
Nexaj C � prostir 2π-periodyçnyx neperervnyx funkcij, u qkomu norma zada-
[t\sq za dopomohog rivnosti
f C = max ( )
t
f t ,
L∞ � prostir 2π-periodyçnyx neperervnyx vymirnyx sutt[vo obmeΩenyx funk-
cij z normog
f ∞ = ess sup ( )
t
f t ,
L � prostir 2π-periodyçnyx sumovnyx na periodi funkcij, de norma zadana ta-
kym çynom:
f L = f 1 =
0
2π
∫ f t dt( ) .
Çerez Wp
r (p = 1 ta p = ∞) poznaçymo mnoΩynu 2π-periodyçnyx funkcij f,
qki magt\ absolgtno neperervni poxidni do (r – 1)-ho porqdku vklgçno i
f r
p
( ) ≤ 1, p = 1, ∞ ; çerez Wp
r — klas funkcij, sprqΩenyx do funkcij iz
klasu Wp
r , tobto
Wp
r = f f x f x t t dt f Wp
r: ( ) – ( ) ,
–
= + ∈
∫1
2 2π
π
π
ctg . (1)
Nexaj dali Λ = λδ( )k{ } poznaça[ mnoΩynu funkcij natural\noho arhumen-
tu, zaleΩnu vid parametra δ, qkyj zming[t\sq na deqkij mnoΩyni E
Λ
� R, wo
ma[ prynajmni odnu hranyçnu toçku i, krim toho, λδ( )0 = 1 ∀δ ∈ E
Λ
. Zauva-
Ωymo, wo u vypadku, koly δ ∈N , çysla λδ( )k = : λn k, [ elementamy neskin-
çenno] prqmokutno] matryci Λ = λn k,{ }, n, k = 0, 1, … ; λn,0 = 1, n N∈ U 0{ }.
Za dopomohog mnoΩyny λδ( )k{ } koΩnij funkci] f x( ) postavymo u vidpovid-
nist\ rqd
a0
2
0λδ( ) +
k
k kk a kx b kx
=
∞
∑ +( )
1
λδ( ) cos( ) sin( ) , δ ∈EΛ ,
de a0, ak , bk � koefici[nty Fur�[ funkci] f. Qkwo cej rqd pry koΩnomu
* Vykonano za pidtrymky DerΩavnoho fondu fundamental\nyx doslidΩen\ Ukra]ny (hrant
F25.1/043).
© K. M. ÛYHALLO, G. I. XARKEVYÇ, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1 73
74 K. M. ÛYHALLO, G. I. XARKEVYÇ
λδ ∈Λ , δ ∈EΛ , [ rqdom Fur�[ deqko] neperervno] funkci], to budemo ]] pozna-
çaty çerez U fδ( ; x; Λ), a u vypadku, koly δ ∈N U 0{ }, � çerez U fn( ; x; Λ).
Za umovy, wo poslidovnist\ λδ( ) ,k k{ } = ∞0 [ takog, wo rqd
K tδ( ; )Λ = 1
2
+
k
k kt
=
∞
∑
1
λδ( ) cos (2)
[ rqdom Fur�[ deqko] sumovno] funkci], analohiçno do [1, s. 46] moΩna pokazaty
pravyl\nist\ rivnosti
U f xδ( ; ; )Λ = 1
π
π
π
δ
–
( ) ( ; )∫ +f x t K t dtΛ . (3)
Zadaçu pro vidßukannq asymptotyçnyx rivnostej dlq velyçyny
� �; ( , )U f Xδ Λ( ) =
sup ( ) – ( ; ; )
f
Xf x U f x
∈�
δ Λ , (4)
de X � normovanyj prostir, � ⊆ X � zadanyj klas funkcij, U fδ( ; x ; Λ),
δ ∈EΛ , � operatory, porodΩeni konkretnym metodom U fδ( , )Λ pidsumovuvan-
nq rqdiv Fur�[, budemo nazyvaty, naslidugçy O. I. Stepancq [2, s. 198], zadaçeg
Kolmohorova � Nikol\s\koho. Qkwo v qvnomu vyhlqdi znajdeno funkcig
ϕ δ( ) = ϕ �( ; U fδ( , )Λ ; δ) taku, wo pry δ → δ0 (de δ0 � hranyçna toçka mno-
Ωyny EΛ )
� �; ( , )U f Xδ Λ( ) = ϕ δ( ) + o ϕ δ( )( ) ,
to kaΩut\, wo rozv�qzano zadaçu Kolmohorova � Nikol\s\koho dlq klasu � i
metodu U fδ( , )Λ .
S. M. Nikol\s\kym [3] bulo vstanovleno isnuvannq tisnoho vza[mozv�qzku miΩ
velyçynamy
� W r
1( ; Un( )Λ )1 i
� W r
∞( ; Un C
( )Λ ) u vypadku, koly Λ = λn k,{ }, n =
= 0, 1, … ; k = 0, 1, … , n, � dovil\na neskinçenna trykutna matrycq. DoslidΩen-
nq S. M. Nikol\s\koho bulo prodovΩeno v roboti S. B. St[çkina ta S. O. Telq-
kovs\koho [4]. Najbil\ß povni rezul\taty dlq trykutnyx Λ-metodiv pidsumovu-
vannq rqdiv Fur�[ otrymav V. P. Motornyj u roboti [5].
Wo Ω stosu[t\sq operatoriv, wo porodΩugt\sq Λ-metodamy, qki oznaçeni za
dopomohog sukupnosti Λ = λδ( )k{ } neperervnyx na 0, ∞[ ) funkcij, zaleΩnyx
vid dijsnoho parametra δ, to v c\omu zv�qzku slid zhadaty rezul\taty P. Pych
[7], a same, nastupni lemy.
Lema 1. Qkwo funkciq
Q t( ; )δ = –
– ( )
sin
k
k
k
kt
=
∞
∑
1
1 λδ
peretvorg[t\sq v nul\ lyße v toçkax t = k π, k = 0, ±1, ±2, … , dlq bud\-qkyx
δ ∈EΛ , to dlq dovil\nyx cilyx r ≥ 1 vykonu[t\sq rivnist\
� W Ur
C∞( ); ( )δ Λ = � W Ur
1 1
( ); ( )δ Λ .
Lema 2. Qkwo funkciq
Q t( ; )δ =
k
k
k
kt
=
∞
∑
1
1 – ( )
cos
λδ
ma[ ne bil\ße odnoho korenq v intervali 0, π( ], to dlq cilyx r ≥ 2 ma[ misce
rivnist\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
NABLYÛENNQ SPRQÛENYX DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ }X INTEHRALAMY … 75
� W Ur
C∞( ); ( )δ Λ =
� W Ur
1 1
( ); ( )δ Λ .
Qkwo u spivvidnoßenni (2) poklasty λδ( )k = e k– /δ , δ > 0, to operatory ty-
pu (3) nazyvatymemo intehralamy Abelq � Puassona i poznaçatymemo P f xδ( , ) ,
tobto
P f xδ( , ) = 1 1
2 1π
π
π
δ
–
– /( ) cos∫ ∑+ +
=
∞
f x t e kt dt
k
k . (5)
Vidpovidno P f xδ( , ) � sprqΩenyj intehral Abelq � Puassona, tobto
P f xδ( , ) = 1
1π
π
π
δ
–
– /( ) sin∫ ∑+
=
∞
f x t e kt dt
k
k . (6)
Velyçyny typu (4) u vypadku U fδ( ; x; Λ) = P f xδ( , ) , � = W r
∞ abo � = W r
∞ u
rivnomirnij metryci vyvçalys\ u robotax [8 – 18].
Metog dano] roboty [ znaxodΩennq pry koΩnomu δ > 0 toçnyx znaçen\ dlq
velyçyn
� W Pr
C∞( ); δ = sup ( ) – ( , )
f W
Cr
f x P f x
∈ ∞
δ , (7)
� W Pr
1 1
( ); δ = sup ( ) – ( , )
f W r
f x P f x
∈ 1
1δ . (8)
Zaznaçymo, wo z roboty [10] dlq velyçyn (7) pry r = 1 dlq vsix δ > 0 vyply-
va[ rivnist\
� W P
C∞( )1; δ = 4
π
δ
0
1/
arctg∫ e dtt– .
Çerez Kn i K̃n , qk ce pryjnqto, my v podal\ßomu budemo poznaçaty vidomi
konstanty Û. Favara � N. I. Axi[zera � M. H. Krejna z teori] najkrawyx nably-
Ωen\:
Kn = 4 1
2 10
1
1π m
m n
nm=
∞ +
+∑ +
(– )
( )
( )
, n = 0, 1, 2, … ,
K̃n = 4 1
2 10
1π m
mn
nm=
∞
+∑ +
(– )
( )
, n N∈ .
Teorema 1. Qkwo r = 2l, l N∈ , to pry koΩnomu δ > 0 magt\ misce riv-
nosti
� W Pr
C∞( ); δ =
� W Pr
1 1
( ); δ =
i
r
r i ii
K
=
+∑
1
2
2 1 2 1
1
2 1
1
/
– –( – )! δ
–
�
i
r
r i ii
K
=
∑
1
2
2
2 2
1
2
1
–
–( )!
˜
δ
– αδ
( )r , (9)
de
αδ
( )r = 2 1
1
0
1
0 0
1 2
2 1
1π
δ/ –
–ln
–∫ ∫ ∫… + …
t t t
t n
n e
e
dt dt dt .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
76 K. M. ÛYHALLO, G. I. XARKEVYÇ
Dovedennq. PokaΩemo spoçatku spravedlyvist\ teoremy dlq vypadku riv-
nomirno] metryky. Vraxovugçy (1) i (6), ma[mo
f x( ) – P f xδ( , ) = – ( ) – sin
–
– /1 1
2 2 1π
π
π
δ∫ ∑+
=
∞
f t x t e kt dt
k
kctg .
Zvidsy v rezul\tati r-kratnoho intehruvannq çastynamy otrymu[mo
f x( ) – P f xδ( , ) = 1 1 1
21π
π
π
π δ
–
( )
– /
( )
–
cos
( )∫ ∑+ + +
=
∞
f t x
e
k
kt
r
dtr
k
k
r .
Tomu
� W Pr
C∞( ); δ = 1
π
π
π
δsup ( ) ( )
–
( )
,
f W
r
r
r
f t F t dt
∈ ∞
∫ ,
de
F tr, ( )δ =
k
k
r
e
k
kt
r
=
∞
∑ + +
1
1 1
2
–
cos
( )– /δ π
.
Oskil\ky f W r∈ ∞ i F tr, ( )δ [ neparnog pry r = 2l, l N∈ , to
� W Pr
C∞( ); δ ≤ 2
0
π
π
δ∫ F t dtr, ( ) .
Z inßoho boku, qkwo sign F tr, ( )δ( ) = ±signsin t , to funkciq f taka, wo f tr( ) ( ) =
= sign F tr, ( )δ( ), t ∈ – ,π π[ ] , neperervno i periodyçno prodovΩu[t\sq na R i nale-
Ωyt\ do klasu W r
∞ [6, s. 104 – 106]. OtΩe, pry r = 2l, l N∈ ,
� W Pr
C∞( ); δ ≥ 2
0
π
π
δ∫ F t dtr, ( )
i, takym çynom,
� W Pr
C∞( ); δ = 2
0
π
π
δ∫ F t dtr, ( ) = 2
0
π
π
δ∫ F t dtr, ( ) . (10)
Rivnist\ sign F tr, ( )δ( ) = ±signsin t pry r = 2l, l N∈ , t ∈ – ,π π[ ] vyplyva[ iz
nastupnyx mirkuvan\.
Oçevydno, wo pry r = 2l, l N∈ , ma[mo Fr, ( )δ 0 = Fr, ( )δ π = 0. OtΩe, u pry-
puwenni, wo F tr, ( )δ = 0 we pry deqkomu t0 ∈ ( , )0 π , zastosovugçy r – 1 raz
teoremu Rollq, pryxodymo do vysnovku, wo dlq funkci] F t1, ( )δ =
= –
k
ke
k=
∞ −
∑ −
1
1 /δ
coskt isnugt\ tr −1
1( ) , tr −1
2( ) ∈ ( , )0 π , tr −1
1( ) ≠ tr −1
2( ) taki, wo
F tr1 1
1
,
( )
δ −( ) = F tr1 1
2
,
( )
δ −( ) = 0.
Ale ce supereçyt\ tomu, wo zhidno zi spivvidnoßennqmy (1.441.2) i (1.448.2) z ro-
boty [19] funkcig F t1, ( )δ moΩna podaty u vyhlqdi
F t1, ( )δ = 1
2
2 1
1 2 1 2ln
( – cos )
– cos– / – /
t
e t eδ δ+
, t ∈ ( , )0 π ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
NABLYÛENNQ SPRQÛENYX DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ }X INTEHRALAMY … 77
i lehko pereviryty, wo na intervali ( , )0 π rivnqnnq F t1, ( )δ = 0 ma[ lyße odyn
korin\.
Takym çynom, vyxodqçy iz spivvidnoßennq (10), pry r = 2l, l N∈ , δ > 0 oder-
Ωu[mo
� W Pr
C∞( ), δ = 4 1
2 10
2 1
1π
δ
k
k
r
e
k=
∞
+
+∑ −
+
–
( )
.
Vvedemo do rozhlqdu funkcig, vyznaçenu na 0, ∞[ ) :
ϕn x( ) = 4 1
2 10
2 1
1π k
k x
n
e
k=
∞ +
+∑ −
+
–( )/
( )
, n ≥ 1.
Dana funkciq dopuska[ zobraΩennq
ϕn x( ) = 2 1
1
0
1
1
2
1
1π
/ –
–ln
–
x
t t
t
t n
n
e
e
dt dt∫ ∫ ∫
∞ ∞
… + … ,
zokrema
ϕ1( )x = 2 1
1
0
1
1
1
1π
/ –
–ln
–
x t
t
e
e
dt∫ +
.
Dijsno, oskil\ky
ln
–
–
–
1
1
1
1
+ e
e
t
t = 2
2 10
2 1 1
k
k te
k=
∞ +
∑ +
–( )
,
to ma[mo
2 1
1
0
1
1 2 1
3 2
1
1π
/ –
–ln
–
x
t t t
t
t n n
n
e
e
dt dt dt dt∫ ∫ ∫ ∫
∞ ∞ ∞
−… + … =
= 4
2 1
0
1
0
2 1
1 2 1
3 2
1
π
/ –( )x
t t t k
k t
n n
n
e
k
dt dt dt dt∫ ∫ ∫ ∫ ∑
∞ ∞ ∞
=
∞ +
−…
+
… =
= 4
2 1
0
1
0
2 1
2 2 1
3
2
π
/ –( )
( )
x
t t k
k t
n n
n
e
k
dt dt dt∫ ∫ ∫ ∑
∞ ∞
=
∞ +
−…
+
… = …
… = 4
2 1
0
1
0
2 1
π
/ –( )
( )
x
k
k t
n n
e
k
dt
n
∫ ∑
=
∞ +
+
= 4 1
2 10
2 1
1π k
k x
n
e
k=
∞ +
+∑ +
–
( )
–( )/
= ϕn x( ).
Vykona[mo deqki peretvorennq funkci] ϕn x( ), n > 1:
ϕn x( ) = 2 1
1
0
1
1
2
1
1π
/ –
–ln
–
x
t t
t
t n
n
e
e
dt dt∫ ∫ ∫
∞ ∞
… + … =
= 2 1
1
0
1
0
1
1 2
1
1π
/ –
–
–
ln
–
x
t t
t
t n
n
e
e
dt dt∫ ∫ ∫ ∫
∞ ∞ ∞
… + … –
– 2 1
1
0
1
0
1
1 2
1
1π
/ –
–
–
ln
–
x t
t t
t
t n
n
n
e
e
dt dt∫ ∫ ∫ ∫
∞ ∞
… + … =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
78 K. M. ÛYHALLO, G. I. XARKEVYÇ
= ϕn
x
ndt–
/
( )1
0
1
0 ∫ – 2 1
1
0
1
0
1 1
1 2
1
1π
/ –
– –
–
ln
–
x t
t t
t
t n n
n
n
e
e
dt dt dt∫ ∫ ∫ ∫
∞ ∞
… + … ,
pislq çoho za rekurentnymy spivvidnoßennqmy
ϕn x( ) = ϕn
x
dt–
/
( )1
0
1
0 ∫ –
0
1
1
1
/
–
x
n t
dt∫
ϕ
otryma[mo
ϕn x( ) = ϕn
x
dt–
/
( )1
0
1
10 ∫ –
0
1
1
1
1
1
/
–
x
n t
dt∫
ϕ =
= ϕn
x
dt–
/
( )1
0
1
10 ∫ – ϕn
x t
dt dt–
/
( )2
0
1
0
1 20
1
∫ ∫ +
0
1
0
2
2
1 2
1
1
/
–
x t
n t
dt dt∫ ∫
ϕ = …
… =
k
n
k
n k
x t t
k
k
dt dt
=
∑ ∫ ∫ ∫… …
1
1
1
0
1
0 0
11 0
1 1–
–
–
/
(– ) ( )
–
ϕ +
+ (– ) –
/
–
–
–
1 2 11
0
1
0 0
1
1
1 1
1 2
n
x t t
n
n
n
t
dt dt
π
ϕ∫ ∫ ∫…
… =
=
k
n
k
n k
x t t
k
k
dt dt
=
∑ ∫ ∫ ∫… …
1
1
1
0
1
0 0
11 0
1 1–
–
–
/
(– ) ( )
–
ϕ +
+ (– ) ln
–
–
/ –
– –1 2 1
1
1
0
1
0 0
1 1
2 1
1
n
x t t t
t n n
n e
e
dt dt dt
π ∫ ∫ ∫… + … .
Tobto
ϕn x( ) =
k
n k
n k kk x=
− −
∑
1
1 11
0 1(– )
!
( )–ϕ + (– ) – ( )1 1n
x
nα , (11)
de
ϕn( )0 =
K n l
K n l
n
n
, – ,
˜ , ,
=
=
2 1
2
l N∈ .
Pry r = 2l, l N∈ , ma[mo
� W Pr
C∞( ), δ = ϕ δr( ) =
k
r k
r k kk=
− −
∑
1
1 11
0 1(– )
!
( )–ϕ
δ
– αδ
( )r =
=
i
r
r i ii
K
=
+∑
1
2
2 1 2 1
1
2 1
1
/
– –( – )! δ
–
i
r
r i ii
K
=
∑
1
2 2
2 2
1
2
1
( – )/
–( )!
˜
δ
– αδ
( )r .
Takym çynom, rivnist\ (9) dlq vypadku rivnomirno] metryky vykonu[t\sq.
Spravedlyvist\ spivvidnoßennq (9) pry p = 1 vyplyva[ z lemy 2 z uraxuvannqm
toho, wo funkciq Q t( ; )δ = – ( ),F t1 δ ma[ lyße odyn korin\ na promiΩku 0, π( ].
Teoremu 1 dovedeno.
Teorema 2. Qkwo r = 2l + 1, l N∈ , to pry koΩnomu δ > 0 magt\ misce
rivnosti
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
NABLYÛENNQ SPRQÛENYX DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ }X INTEHRALAMY … 79
� W Pr
C∞( ), δ =
� W Pr
1 1
( ), δ =
i
r
r i ii
K
=
+∑
1
1 2
2 1 2 1
1
2 1
1
( – )/
– –( – )! δ
–
–
i
r
r i ii
K
=
∑
1
1 2
2 2
1
2
1
( – )/
–( )!
˜
δ
+ βδ
( )r , (12)
de
βδ
( )r = 4
2
1
1π
δ
0
1/
0 0
arctg∫ ∫ ∫… …
t t
t
r
r
e dt dt– .
Dovedennq. PokaΩemo, wo spivvidnoßennq (12) ma[ misce u vypadku rivno-
mirno] metryky. Vraxovugçy, wo
–
( ) ( )
π
π
∫ f tr dt = 0, oderΩu[mo
� W Pr
C∞( ), δ = 1
π
π
π
δsup ( ) ( )
–
( )
,
f W
r
r
r
f t F t dt
∈ ∞
∫ =
= 1
2π
π
π
π
δ δsup ( ) ( ) –
–
( )
, ,
f W
r
r r
r
f t F t F dt
∈ ∞
∫
.
Oskil\ky f W r∈ ∞ , F tr, ( )δ [ parnog pry r = 2l + 1, l N∈ , to
� W Pr
C∞( ), δ ≤ 2
2
0
π
π
π
δ δ∫
F t F dtr r, ,( ) – .
Z inßoho boku, qkwo sign F tr, ( )δ
– Fr,δ
π
2
= ± sign cos t, to funkciq f taka,
wo f tr( )( ) = sign F tr, ( )δ
– Fr,δ
π
2
, t ∈ – ,π π[ ] , neperervno i periodyçno pro-
dovΩu[t\sq na R i naleΩyt\ do klasu W r
∞ [6, s. 187, 188]. OtΩe, pry r = 2l +
+ 1, l N∈ ,
� W Pr
C∞( ), δ ≥ 2
2
0
π
π
π
δ δ∫
F t F dtr r, ,( ) –
i, takym çynom,
� W Pr
C∞( ), δ = 2
2
0
π
π
π
δ δ∫
F t F dtr r, ,( ) – =
= 2
2 2
0
2
0
2
π
π π π
π
δ δ
π
δ δ
/
, ,
/
, ,( ) – – ( – ) –∫ ∫
F t F dt F t F dtr r r r =
= 2
0
2
π
π
π
δ δ
/
, ,( ) – –∫ ( )( )F t F t dtr r . (13)
Rivnist\ sign F tr, ( )δ
– Fr,δ
π
2
= ± sign cos t vyplyva[ iz nastupnyx mir-
kuvan\.
U prypuwenni, wo F tr, ( )δ – Fr,δ
π
2
= 0, r = 2l + 1, l N∈ , pry deqkomu t0 ∈
∈ ( , )0 π , t0 ≠ π
2
, zhidno z teoremog Rollq isnu[ t1 ∈ ( , )0 π take, wo ′F tr, ( )δ 1 = 0,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
80 K. M. ÛYHALLO, G. I. XARKEVYÇ
zvidky F tr – , ( )1 1δ = 0. Ale ce supereçyt\ tomu, wo sign F tr – , ( )1 δ( ) = ± sign sin t
pry r = 2l + 1, l N∈ . OtΩe, t = π
2
� [dynyj rozv�qzok rivnqnnq F tr, ( )δ –
– Fr,δ
π
2
= 0 na promiΩku 0,π[ ]. I oskil\ky sign ′( )F tr, ( )δ = ± sign sin t pry r =
= 2l + 1, l N∈ , to funkciq F tr, ( )δ – Fr,δ
π
2
[ monotonnog na ( , )0 π .
OtΩe, vyxodqçy iz spivvidnoßennq (13), pry r = 2l + 1, l N∈ , oderΩu[mo
� W Pr
C∞( ), δ = 4 1
2 1
2 1
0
2
0
2 1
π
π δ/ –
–
( )
cos( )∫ ∑
=
∞
+
+
+
k
k
r
e
k
k t dt .
Takym çynom, pry r = 2l + 1, l N∈ , δ > 0 ma[mo
� W Pr
C∞( ), δ = 4 1
1
2 10
2 1
1π
δ
k
k
k
r
e
k=
∞ +
+∑ +
(– )
–
( )
–( )/
.
Vvedemo do rozhlqdu funkcig, wo vyznaçena na 0, ∞[ ) :
ψn x( ) = 4 1
1
2 10
2 1
1π k
k
k x
n
e
k=
∞ +
+∑ +
(– )
–
( )
–( )/
, n ≥ 1.
Funkciq ψn x( ) dopuska[ zobraΩennq
ψn x( ) = 4
0
1
1
2
1
π
/
–
x
t t
t
n
n
e dt dt∫ ∫ ∫
∞ ∞
… …arctg ,
zokrema
ψ1( )x = 4
0
1
1
1
π
/
–
x
te dt∫ arctg .
Dijsno, oskil\ky
arctge t– 1 =
k
k
k te
k=
∞ +
∑ +0
2 1
1
2 1
1
(– )
–( )
,
to
4
0
1
1 2 1
3 2
1
π
/
–
–
x
t t t
t
n n
n
e dt dt dt dt∫ ∫ ∫ ∫
∞ ∞ ∞
… …arctg =
= 4 1
2 1
0
1
0
2 1
1 2 1
3 2
1
π
/ –( )
–(– )
x
t t t k
k
k t
n n
n
e
k
dt dt dt dt∫ ∫ ∫ ∫ ∑
∞ ∞ ∞
=
∞ +
…
+
… =
= 4 1
2 1
0
1
0
2 1
2 2 1
3
2
π
/ –( )
–(– )
( )
x
t t k
k
k t
n n
n
e
k
dt dt dt∫ ∫ ∫ ∑
∞ ∞
=
∞ +
…
+
… = …
… = 4
2 1
0
1
0
2 1
π
/ –( )
( )
x
k
k t
n n
e
k
dt
n
∫ ∑
=
∞ +
+
= 4 1
1
2 10
2 1
1π k
k
k x
n
e
k=
∞ +
+∑ +
(– )
–
( )
–( )/
= ψn x( ) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
NABLYÛENNQ SPRQÛENYX DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ }X INTEHRALAMY … 81
Vykona[mo deqki peretvorennq funkci] ψn x( ) , n > 1:
ψn x( ) = 4
0
1
1
2
1
π
/
–
x
t t
t
n
n
e dt dt∫ ∫ ∫
∞ ∞
… …arctg =
= 4
0
1
0
1
1 2
1
π
/
–
–
x
t t
t
n
n
e dt dt∫ ∫ ∫ ∫
∞ ∞ ∞
… …arctg –
– 4
0
1
0
1
1 2
1
π
/
–
–
x t
t t
t
n
n
n
e dt dt∫ ∫ ∫ ∫
∞ ∞
… …arctg =
= ψn
x
dt–
/
( )1
0
1
0 ∫ – 4
0
1
0
1
1 2
1
π
/
–
–
x t
t t
t
n
n
n
e dt dt∫ ∫ ∫ ∫
∞ ∞
… …arctg .
Dali, skorystavßys\ rekurentnymy spivvidnoßennqmy
ψn x( ) = ψn
x
dt–
/
( )1
0
1
0 ∫ –
0
1
1
1
/
–
x
n t
dt∫
ψ ,
otryma[mo
ψn x( ) = ψn
x
dt–
/
( )1
0
1
10 ∫ –
0
1
1
1
1
1
/
–
x
n t
dt∫
ψ =
= ψn
x
dt–
/
( )1
0
1
10 ∫ – ψn
x t
dt dt–
/
( )2
0
1
0
1 20
1
∫ ∫ +
0
1
0
2
2
1 2
1
1
/
–
x t
n t
dt dt∫ ∫
ψ = …
… =
k
n
k
n k
x t t
k
k
dt dt
=
∑ ∫ ∫ ∫… …
1
1
1
0
1
0 0
11 0
1 1–
–
–
/
(– ) ( )
–
ψ +
+ (– ) –
/
–
–
–
1 2 11
0
1
0 0
1
1
1 1
1 2
n
x t t
n
n
n
t
dt dt
π
ψ∫ ∫ ∫…
… =
=
k
n
k
n k
x t t
k
k
dt dt
=
∑ ∫ ∫ ∫… …
1
1
1
0
1
0 0
11 0
1 1–
–
–
/
(– ) ( )
–
ψ +
+ (– ) –
/
–
–1 41
0
1
0 0
1 1
2
1n
x t t
t
n n
n
e dt dt dt
π ∫ ∫ ∫… …arctg .
Tobto
ψn x( ) =
k
n k
n k kk x=
−
−∑
1
1 11
0 1(– )
!
( )
–
ψ + (– ) – ( )1 1n
x
nβ ,
de
ψn( )0 =
K n l
K n l
n
n
, ,
˜ , ,
=
= +
2
2 1
l N∈ .
OtΩe, pry r = 2l + 1, l N∈ , otryma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
82 K. M. ÛYHALLO, G. I. XARKEVYÇ
� W Pr
C∞( ), δ = ψ δr( ) =
k
r k
r k kk=
−
−∑
1
1 11
0 1(– )
!
( )
–
ψ
δ
+ βδ
( )r =
=
i
r
r i ii
K
=
+∑
1
1 2
2 1 2 1
1
2 1
1
( – )/
– –( – )! δ
–
i
r
r i ii
K
=
∑
1
1 2
2 2
1
2
1
( – )/
–( )!
˜
δ
+ βδ
( )r .
Takym çynom, rivnist\ (12) u vypadku rivnomirno] metryky vykonu[t\sq. Pry
p = 1 spravedlyvist\ spivvidnoßennq (12) vyplyva[ z lemy 2.
Teoremu 2 dovedeno.
1. Stepanec A. Y. Klassyfykacyq y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj. � Kyev: Nauk.
dumka, 1987. � 268 s.
2. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyq. � Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥,
2002. � Ç. I. � 427 s.
3. Nykol\skyj S. M. PryblyΩenye funkcyj tryhonometryçeskymy polynomamy v srednem //
Yzv. AN SSSR. Ser. mat. � 1946. � 10, # 6. � S. 207 � 256.
4. Steçkyn S. B., Telqkovskyj S. A. O pryblyΩenyy dyfferencyruem¥x funkcyj tryho-
nometryçeskymy polynomamy v metryke L // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. � 1967. � 88. �
S. 20 � 29.
5. Motorn¥j V. P. PryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj tryhonometryçeskymy mnohoçle-
namy v srednem // Mat. zametky. � 1974. � 16, # 1. � S. 15 � 26.
6. Kornejçuk N. P. ∏kstremal\n¥e zadaçy pryblyΩenyq. � M.: Nauka, 1976. � 320 s.
7. Pych P. Approximation of functions in L- and C-metrics // Ann. Soc. Math. Pol. – 1967. – 1,
# 11. – P. 61 – 76.
8. Natanson Y. P. O porqdke pryblyΩenyq neprer¥vnoj 2π-peryodyçeskoj funkcyy pry
pomowy ee yntehrala Puassona // Dokl. AN SSSR. � 1950. � 72. � S. 11 � 14.
9. Tyman A. F. Toçnaq ocenka ostatka pry pryblyΩenyy peryodyçeskyx dyfferencyruem¥x
funkcyj yntehralamy Puassona // Dokl. AN SSSR. � 1950. � 74. � S. 17 � 20.
10. Nagy B. Sz. Sur l’ordre de l’approximation d’une fonction par son integrale de Poisson // Acta
math. Acad. sci. hung. – 1950. – 1. – P. 183 – 188.
11. Malej L. V. Toçnaq ocenka pryblyΩenyq kvazyhladkyx funkcyj yntehralamy Puassona //
Dokl. AN BSSR. Ser. fyz.-tex. � 1961. � # 3. � S. 25 � 32.
12. Bausov L. Y. Lynejn¥e metod¥ summyrovanyq rqdov Fur\e s zadann¥my prqmouhol\n¥my
matrycamy. I // Yzv. vuzov. � 1965. � 46, # 3. � S. 15 � 31.
13. Ítark ∏. L. Polnoe asymptotyçeskoe razloΩenye dlq verxnej hrany uklonenyq funkcyj
yz Lip1 ot yx synhulqrnoho yntehrala Abelq � Puassona // Mat. zametky. � 1973. � 13, # 1.
� S. 21 � 28.
14. Baskakov V. A. O nekotor¥x svojstvax operatorov typa operatorov Abelq � Puassona // Tam
Ωe. � 1975. � 17, # 2. � S. 169 � 180.
15. Baskakov V. A. Asymptotyçeskye ocenky pryblyΩenyq soprqΩenn¥x funkcyj soprqΩen-
n¥my yntehralamy Abelq � Puassona // Prymenenye funkcyonal\noho analyza v teoryy
pryblyΩenyj. � Kalynyn, 1975. � V¥p. 5. � S. 14 � 20.
16. Falaleev L. P. PryblyΩenye soprqΩenn¥x funkcyj obobwenn¥my operatoramy Abelq �
Puassona // Mat. zametky. � 2000. � 67, # 4. � S. 595 � 602.
17. Falaleev L. P. O pryblyΩenyy funkcyj obobwenn¥my operatoramy Abelq � Puassona //
Syb. mat. Ωurn. � 2001. � 42, # 4. � S. 926 � 936.
18. Ûyhallo K. M., Xarkevyç G. I. Povna asymptotyka vidxylennq vid klasu dyferencijovnyx
funkcij mnoΩyny ]x harmonijnyx intehraliv Puassona // Ukr. mat. Ωurn. � 2002. � 54, # 1. �
S. 43 � 52.
19. Hradßtejn Y. S., R¥Ωyk Y. M. Tablyc¥ yntehralov, summ, rqdov y proyzvedenyj. � M.:
Fyzmatyz, 1963. � 1100 s.
OderΩano 15.06.07,
pislq doopracgvannq � 21.03.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1
|
| id | umjimathkievua-article-3002 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:22Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5b/4cc51364f6f5db4de76214b3cd391b5b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30022020-03-18T19:43:07Z Approximation of conjugate differentiable functions by their Abel–Poisson integrals Наближення спряжених диференційовних функцій їх інтегралами Абеля - Пуассона Zhyhallo, K. M. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, К. М. Харкевич, Ю. І. We obtain the exact values of upper bounds of approximations of classes of periodic conjugate differentiable functions by their Abel–Poisson integrals in uniform and integral metrics. Получены точные значения верхних граней приближений на классах периодических сопряженных дифференцируемых функций их интегралами Абеля - Пуассона в равномерной и интегральной метриках. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3002 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 1 (2009); 73-82 Український математичний журнал; Том 61 № 1 (2009); 73-82 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3002/2753 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3002/2754 Copyright (c) 2009 Zhyhallo K. M.; Kharkevych Yu. I. |
| spellingShingle | Zhyhallo, K. M. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, К. М. Харкевич, Ю. І. Approximation of conjugate differentiable functions by their Abel–Poisson integrals |
| title | Approximation of conjugate differentiable functions by their Abel–Poisson integrals |
| title_alt | Наближення спряжених диференційовних функцій їх
інтегралами Абеля - Пуассона |
| title_full | Approximation of conjugate differentiable functions by their Abel–Poisson integrals |
| title_fullStr | Approximation of conjugate differentiable functions by their Abel–Poisson integrals |
| title_full_unstemmed | Approximation of conjugate differentiable functions by their Abel–Poisson integrals |
| title_short | Approximation of conjugate differentiable functions by their Abel–Poisson integrals |
| title_sort | approximation of conjugate differentiable functions by their abel–poisson integrals |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3002 |
| work_keys_str_mv | AT zhyhallokm approximationofconjugatedifferentiablefunctionsbytheirabelpoissonintegrals AT kharkevychyui approximationofconjugatedifferentiablefunctionsbytheirabelpoissonintegrals AT žigallokm approximationofconjugatedifferentiablefunctionsbytheirabelpoissonintegrals AT harkevičûí approximationofconjugatedifferentiablefunctionsbytheirabelpoissonintegrals AT zhyhallokm nabližennâsprâženihdiferencíjovnihfunkcíjíhíntegralamiabelâpuassona AT kharkevychyui nabližennâsprâženihdiferencíjovnihfunkcíjíhíntegralamiabelâpuassona AT žigallokm nabližennâsprâženihdiferencíjovnihfunkcíjíhíntegralamiabelâpuassona AT harkevičûí nabližennâsprâženihdiferencíjovnihfunkcíjíhíntegralamiabelâpuassona |