On Γ-convergence of integral functionals defined on various weighted Sobolev spaces
We consider weighted Sobolev spaces correlated with a sequence of $n$-dimensional domains. We prove a theorem on the choice of a subsequence $Γ$-convergent to an integral functional defined on a “limit” weighted Sobolev space from a sequence of integral functionals defined on the spaces indicated....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3006 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509019904409600 |
|---|---|
| author | Rudakova, O. A. Рудакова, О. А. |
| author_facet | Rudakova, O. A. Рудакова, О. А. |
| author_sort | Rudakova, O. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:07Z |
| description | We consider weighted Sobolev spaces correlated with a sequence of $n$-dimensional domains. We prove a theorem on the choice of a subsequence $Γ$-convergent to an integral functional defined on a “limit” weighted Sobolev space from a sequence of integral functionals defined on the spaces indicated. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О. А. Рудакова (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
О Γ-СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ,
ОПРЕДЕЛЕННЫХ НА РАЗЛИЧНЫХ ВЕСОВЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА
We consider weighted Sobolev spaces connected with a sequence of n-dimensional domains. We prove the
theorem on the selection from a sequence of integral functionals defined on the given spaces of a subsequence
which Γ-converges to an integral functional defined on a “limit” weighted Sobolev space.
Розглянуто ваговi простори Соболєва, пов’язанi з послiдовнiстю n-вимiрних областей. Доведено тео-
рему про вибiр iз послiдовностi iнтегральних функцiоналiв, визначених на розглядуваних просторах,
пiдпослiдовностi, що Γ-збiгається до iнтегрального функцiонала, визначеного на деякому „граничному”
ваговому соболєвському просторi.
1. Введение. Γ-сходимость — это особая сходимость функционалов, сопровожда-
ющаяся во многих важных случаях сходимостью решений соответствующих ва-
риационных задач. Для функционалов с единой областью определения понятие
Γ-сходимости было введено в статье [1], где также впервые были описаны общие
свойства этого вида сходимости и даны его приложения к вариационным задачам.
Вопросам Γ-сходимости интегральных функционалов с единой областью опреде-
ления посвящены работы многих итальянских математиков (см., например, [2 – 4]
и библиографию в [3, 4]), а также статьи В. В. Жикова [5 – 8]. Основными результа-
тами этих исследований являются теоремы о Γ-компактности для последователь-
ностей функционалов вариационного исчисления и интегральном представлении
их Γ-пределов.
Для функционалов с различными областями определения, в том числе инте-
гральных, понятие Γ-сходимости изучалось, например, в работах [9 – 16]. При этом
функционалы были определены на невесовых пространствах Соболева.
В настоящей статье рассматриваются весовые пространства Соболева, свя-
занные с последовательностью n-мерных областей, и интегральные функционалы,
определенные на этих пространствах. Условие, характеризующее поведение инте-
грантов данных функционалов (см. далее условие (8)), содержит весовую функ-
цию ν и некоторую, вообще говоря, неограниченную последовательность функций
ψs. Основной результат работы (теорема 2) дает достаточные условия на вес ν
и функцию, в определенном смысле мажорирующую последовательность {ψs},
при которых существует подпоследовательность рассматриваемой последователь-
ности интегральных функционалов, Γ-сходящаяся к интегральному функционалу,
определенному на некотором „предельном” весовом соболевском пространстве.
При доказательстве этого результата используются некоторые идеи работ [8, 14,
17, 18]. Отметим, что одним из существенных элементов доказательства (как, на-
пример, и в [14]) является использование специальных локальных характерис-
тик исследуемых функционалов. В невесовом случае подобные характеристики и
связанные с ними условия сходимости точек минимума соответствующих интег-
ральных функционалов, определенных на различных соболевских пространствах,
изучались Е. Я. Хрусловым [18, 19], а также другими авторами (см., например,
[12 – 14, 20, 21]).
c© О. А. РУДАКОВА, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1 99
100 О. А. РУДАКОВА
Результату о Γ-компактности в статье предпослана общая теорема об усло-
виях сходимости решений вариационных задач для функционалов, определенных
на различных весовых пространствах Соболева. Одним из таких условий, кроме
Γ-сходимости функционалов, является сильная связанность рассматриваемых про-
странств. Вообще, понятие сильной связанности последовательности пространств
Соболева (или, в другой терминологии, соответствующих им n-мерных областей)
играет важную роль в вопросах усреднения краевых и вариационных задач в облас-
тях сложной структуры (см. работу [18], где это понятие было введено, а также [8 –
13, 20, 22, 23]). Сильная связанность пространств, используемых при исследовании
сходимости решений краевых и вариационных задач в „переменных” (например,
сильноперфорированных) областях, позволяет перейти от последовательности ре-
шений, каждое из которых содержится в „своем” пространстве, к ограниченной
последовательности в некотором едином пространстве. Это является первым ша-
гом к выделению некоторого предельного элемента исходной последовательности
и последующему доказательству того, что этот элемент есть решение соответст-
вующей усредненной задачи. Кроме того, сильная связанность соболевских про-
странств наряду с другими свойствами ассоциированной с ними последовательно-
сти n-мерных областей влечет коэрцитивность Γ-предельных функционалов или
коэрцитивность и монотонность G-предельных операторов для соответствующих
отображений, определенных на этих пространствах (по этому поводу см., напри-
мер, [10, 22]). Понятие сильной связанности весовых соболевских пространств,
используемое в настоящей работе, достаточно подробно исследовано в статье [24].
Что касается Γ-сходимости интегральных функционалов, определенных на ве-
совых пространствах Соболева, и в целом усреднения вариационных и краевых
задач с вырождениями, отметим, что имеющиеся результаты других авторов отно-
сятся либо к функционалам и операторам с единой областью определения (см.,
например, [17, 25, 26]), либо к операторам задач Дирихле в перфорированных
областях [27 – 29]. В последнем случае, например, привлечение понятия сильной
связанности последовательности соответствующих весовых пространств Соболе-
ва не требуется (такая связанность присутствует „автоматически”). В отличие от
этого „переменные” весовые пространства, рассматриваемые в настоящей рабо-
те, ориентированы на вариационные задачи „неймановского” типа, и для изучения
сходимости решений таких задач требование сильной связанности данных про-
странств является существенным.
Статья имеет следующую структуру. В п. 2 рассматриваются весовые простран-
ства Лебега и Соболева, используемые в дальнейшем изложении. В п. 3 даются
необходимые определения и общая теорема о сходимости решений вариационных
задач для функционалов, заданных на рассматриваемых („переменных”) весовых
соболевских пространствах. Наконец, в п. 4 устанавливается основной результат
работы — теорема о Γ-компактности для интегральных функционалов. Отметим,
что этот результат анонсирован без доказательства в заметке [30].
2. Функциональные пространства. Пусть n ∈ N, n > 2, Ω — ограниченная
область в Rn и p ∈ (1, n). Пусть ν — неотрицательная функция на Ω, причем ν > 0
почти всюду в Ω,
ν ∈ L1
loc(Ω),
(
1
ν
)1/(p−1)
∈ L1
loc(Ω). (1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
О Γ-СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ... 101
Через Lp(ν,Ω) обозначим множество всех измеримых функций u : Ω → R та-
ких, что функция ν|u|p суммируема на Ω. Lp(ν,Ω) есть банахово пространство с
нормой
‖u‖Lp(ν,Ω) =
(∫
Ω
ν|u|pdx
)1/p
.
Заметим, что в силу неравенства Юнга и второго из включений (1) имеем
Lp(ν,Ω) ⊂ L1
loc(Ω). Через W 1,p(ν,Ω) обозначим множество всех функций u ∈
∈ Lp(ν,Ω) таких, что для любого i ∈ {1, . . . , n} существует обобщенная производ-
ная Diu, Diu ∈ Lp(ν,Ω). W 1,p(ν,Ω) есть рефлексивное банахово пространство с
нормой
‖u‖1,p,ν =
∫
Ω
ν|u|pdx+
n∑
i=1
∫
Ω
ν|Diu|pdx
1/p
.
Полнота пространства W 1,p(ν,Ω) устанавливается с использованием второго из
включений (1). Рефлексивность этого пространства есть следствие его равномерной
выпуклости, что доказывается с помощью неравенств Кларксона (относительно
этих неравенств см., например, [31]).
В силу первого из включений (1) имеем C∞0 (Ω) ⊂W 1,p(ν,Ω). Через
◦
W 1,p(ν,Ω)
обозначим замыкание множества функций C∞0 (Ω) в W 1,p(ν,Ω).
◦
W 1,p(ν,Ω) есть
рефлексивное банахово пространство с индуцированной нормой пространства
W 1,p(ν,Ω).
Далее, пусть {Ωs} — последовательность областей в Rn, содержащихся в Ω.
Аналогично пространствам, введенным выше, определим функциональные про-
странства, соответствующие областям Ωs.
Пусть s ∈ N. Через Lp(ν,Ωs) обозначим множество всех измеримых функций
u : Ωs → R таких, что функция ν|u|p суммируема на Ωs. Lp(ν,Ωs) есть банахово
пространство с нормой
‖u‖Lp(ν,Ωs) =
∫
Ωs
ν|u|pdx
1/p
.
В силу второго из включений (1) имеем Lp(ν,Ωs) ⊂ L1
loc(Ωs). Через W 1,p(ν,Ωs)
обозначим множество всех функций u ∈ Lp(ν,Ωs) таких, что для любого
i ∈ {1, . . . , n} существует обобщенная производная Diu, Diu ∈ Lp(ν,Ωs).
W 1,p(ν,Ωs) есть банахово пространство с нормой
‖u‖1,p,ν,s =
∫
Ωs
ν|u|pdx+
n∑
i=1
∫
Ωs
ν|Diu|pdx
1/p
.
Через C̃∞0 (Ωs) обозначим множество всех сужений на Ωs функций из C∞0 (Ω). В
силу первого из включений (1) имеем C̃∞0 (Ωs) ⊂ W 1,p(ν,Ωs). Через W̃ 1,p
0 (ν,Ωs)
обозначим замыкание множества C̃∞0 (Ωs) в W 1,p(ν,Ωs).
Заметим, что если u ∈
◦
W 1,p(ν,Ω) и s ∈ N, то u|Ωs ∈ W̃
1,p
0 (ν,Ωs).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
102 О. А. РУДАКОВА
3. Основные определения и общая теорема о сходимости решений вариа-
ционных задач. Введем обозначение: если s ∈ N, то qs — отображение
◦
W 1,p(ν,Ω)
в W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) такое, что для любой функции u ∈
◦
W 1,p(ν,Ω) qsu = u|Ωs .
Определение 1. Будем говорить, что последовательность пространств
W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) сильно связана с пространством
◦
W 1,p(ν,Ω), если существует после-
довательность линейных непрерывных операторов ls : W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) →
◦
W 1,p(ν,Ω)
такая, что: sup
s∈N
‖ls‖ < +∞; для любых s ∈ N и u ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) имеем qs(lsu) = u
почти всюду на Ωs.
Предложение 1. Пусть вложение
◦
W 1,p(ν,Ω) в Lp(ν,Ω) компактно и после-
довательность пространств W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) сильно связана с пространством
◦
W 1,p(ν,Ω). Пусть для любого s ∈ N us ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs), причем последователь-
ность норм ‖us‖1,p,ν,s ограничена. Тогда существуют возрастающая последо-
вательность {sj} ⊂ N и функция u ∈
◦
W 1,p(ν,Ω) такие, что lim
j→∞
‖usj −
− qsju‖Lp(ν,Ωsj ) = 0.
Доказательство этого предложения изложено в статье [24].
Определение 2. Пусть для любого s ∈ N Is — функционал на W̃ 1,p
0 (ν,Ωs),
I — функционал на
◦
W 1,p(ν,Ω). Будем говорить, что последовательность {Is}
Γ-сходится к функционалу I, если выполняются условия:
1) для любой функции u ∈
◦
W 1,p(ν,Ω) существует последовательность ws ∈
∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) такая, что lim
s→∞
‖ws − qsu‖Lp(ν,Ωs) = 0, lim
s→∞
Is(ws) = I(u);
2) для любой функции u ∈
◦
W 1,p(ν,Ω) и любой последовательности us ∈
∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) такой, что lim
s→∞
‖us− qsu‖Lp(ν,Ωs) = 0, имеем lim inf
s→∞
Is(us) > I(u).
Теорема 1. Пусть вложение
◦
W 1,p(ν,Ω) в Lp(ν,Ω) компактно и последова-
тельность пространств W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) сильно связана с пространством
◦
W 1,p(ν,Ω).
Пусть для любого s ∈ N Is — функционал на W̃ 1,p
0 (ν,Ωs), I — функционал на
◦
W 1,p(ν,Ω) и последовательность {Is} Γ-сходится к функционалу I. Пусть для
любого s ∈ N функция us минимизирует функционал Is на W̃ 1,p
0 (ν,Ωs), причем
последовательность норм ‖us‖1,p,ν,s ограничена. Тогда существуют возрастаю-
щая последовательность {sj} ⊂ N и функция u ∈
◦
W 1,p(ν,Ω) такие, что функ-
ция u минимизирует функционал I на
◦
W 1,p(ν,Ω), lim
j→∞
‖usj − qsju‖Lp(ν,Ωsj ) = 0
и lim
j→∞
Isj (usj ) = I(u).
Доказательство. В силу предложения 1 существуют возрастающая после-
довательность {sj} ⊂ N и функция u ∈
◦
W 1,p(ν,Ω) такие, что lim
j→∞
‖usj −
− qsju‖Lp(ν,Ωsj ) = 0. Тогда в силу Γ-сходимости последовательности {Is} к функ-
ционалу I имеем
lim inf
j→∞
Isj (usj ) > I(u). (2)
Пусть теперь w ∈
◦
W 1,p(ν,Ω). Поскольку последовательность {Is} Γ-сходится
к функционалу I, существует последовательность ws ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) такая, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
О Γ-СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ... 103
lim
s→∞
Is(ws) = I(w). Отсюда и из того, что для любого s ∈ N функция us миними-
зирует функционал Is на W̃ 1,p
0 (ν,Ωs), выводим неравенство
lim sup
j→∞
Isj (usj ) 6 I(w). (3)
Из (2) и (3) следует, что функция u минимизирует функционал I на
◦
W 1,p(ν,Ω).
Кроме того, полагая в (3) w = u, из (3) и (2) получаем lim
j→∞
Isj (usj ) = I(u).
Теорема доказана.
Отметим, что в невесовом случае результаты, подобные теореме 1, были уста-
новлены в [10, 11, 14].
Сделаем несколько замечаний относительно выполнения условий теоремы 1.
Что касается компактности вложения пространства
◦
W 1,p(ν,Ω) в пространство
Lp(ν,Ω), то справедливы следующие предложения.
Предложение 2. Пусть t > 1/(p − 1), t > n/p, t1 > nt/(tp − n), и 1/ν ∈
∈ Lt(Ω), ν ∈ Lt1(Ω). Тогда вложение
◦
W 1,p(ν,Ω) в Lp(ν,Ω) компактно.
Предложение 3. Пусть функция ν есть сужение на Ω некоторой функции
из класса Макенхаупта Ap. Тогда вложение
◦
W 1,p(ν,Ω) в Lp(ν,Ω) компактно.
Подробные доказательства этих предложений даны в работе [24]. Отметим, что
при условиях на весовую функцию такого типа, как в предложении 2, вложения
весовых пространств Соболева в невесовые и весовые пространства Лебега рассма-
тривались, например, в [17, 32 – 35]. Относительно определения класса Макенха-
упта Ap см. [36]. Этому классу принадлежат, например, функции вида w(x) = |x|γ ,
x ∈ Rn \ {0}, где γ ∈ (−n, n(p− 1)).
Сильная связанность последовательности пространств W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) с простран-
ством
◦
W 1,p(ν,Ω) имеет место, например, в случае специальной перфорированной
структуры областей Ωs и определенного поведения функции ν в окрестностях
„дырок” (подробности см. в [24]). Одно из основных условий теоремы 1 — Γ-
сходимость функционалов. С точки зрения приложений наибольший интерес пред-
ставляет исследование Γ-сходимости интегральных функционалов. Установление
Γ-сходимости таких функционалов и получение эффективного представления для
интегранта соответствующего Γ-предела возможно, например, в случае опреде-
ленной периодичности интегрантов исходных функционалов по пространственной
переменной или периодичности структуры областей Ωs (см., например, [6, 8, 12]
относительно интегральных функционалов, определенных на невесовых соболев-
ских пространствах). В общем же случае особый интерес заключается в теоремах
о Γ-компактности. Наконец, условие теоремы 1 об ограниченности последователь-
ности норм минимизантов функционалов Is выполняется, если, например, после-
довательность {Is(0)} ограничена и для любых s ∈ N и u ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) имеем
Is(u) > Φ(‖u‖1,p,ν,s), где Φ: [0,+∞)→ R и Φ(r)→ +∞ при r → +∞. Для инте-
гральных функционалов указанные требования выполняются, если их интегранты
удовлетворяют соответствующим условиям роста и коэрцитивности.
4. Теорема о Γ -компактности для интегральных функционалов. Пусть
b ∈ L1(Ω), b > 0 в Ω, и {ψs} — последовательность функций, удовлетворяющая
следующим условиям:
1) для любого s ∈ N имеем ψs ∈ L1(Ωs) и ψs > 0 в Ωs;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
104 О. А. РУДАКОВА
2) для любого открытого куба Q ⊂ Rn имеем lim sup
s→∞
∫
Q∩Ωs
ψsdx 6
∫
Q∩Ω
bdx.
Пусть c1, c2 > 0 и fs : Ωs × Rn → R, s ∈ N, — последовательность функций
такая, что:
3) для любых s ∈ N и ξ ∈ Rn функция fs(·, ξ) измерима на Ωs;
4) для любого s ∈ N и почти всех x ∈ Ωs функция fs(x, ·) выпукла на Rn;
5) для любого s ∈ N, почти всех x ∈ Ωs и любого ξ ∈ Rn имеем
c1ν(x)|ξ|p − ψs(x) 6 fs(x, ξ) 6 c2ν(x)|ξ|p + ψs(x). (4)
В силу условий 4 и 5 для любого s ∈ N и почти всех x ∈ Ωs функция fs(x, ·)
непрерывна на Rn. Отсюда и из условия 3 следует, что для любого s ∈ N функция
fs удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда в силу условия 5 для любых s ∈ N
и u ∈W 1,p(ν,Ωs) функция fs(x,∇u) суммируема на Ωs.
Введем обозначение: если s ∈ N, то Js — функционал на W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) такой, что
для любой функции u ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs)
Js(u) =
∫
Ωs
fs(x,∇u)dx. (5)
Кроме того, через F обозначим множество всех функций f : Ω × Rn → R,
удовлетворяющих условиям: для любого ξ ∈ Rn функция f(·, ξ) измерима на Ω;
для почти всех x ∈ Ω функция f(x, ·) выпукла на Rn; для почти всех x ∈ Ω и
любого ξ ∈ Rn имеем −b(x) 6 f(x, ξ) 6 c2ν(x)|ξ|p + b(x).
Легко видеть, что для любых f ∈ F и u ∈
◦
W 1,p(ν,Ω) функция f(x,∇u)
суммируема на Ω.
Наконец, введем следующее обозначение: если f ∈ F , то Jf — функционал на
◦
W 1,p(ν,Ω) такой, что для любой функции u ∈
◦
W 1,p(ν,Ω)
Jf (u) =
∫
Ω
f(x,∇u)dx. (6)
Теорема 2. Предположим, что существует последовательность непустых
открытых множеств Ω(k) в Rn такая, что:
а) для любого k ∈ N имеем Ω(k) ⊂ Ω(k+1) ⊂ Ω;
б) lim
k→∞
meas
(
Ω \ Ω(k)
)
= 0;
в) для любого k ∈ N функции ν и b ограничены на Ω(k).
Тогда существуют возрастающая последовательность {sj} ⊂ N и функция f ∈ F
такие, что последовательность {Jsj} Γ-сходится к функционалу Jf .
Доказательство теоремы проведем в несколько шагов. Прежде всего дадим их
краткое описание. На первом шаге вводятся некоторые локальные характеристики
функционалов Js и устанавливаются их свойства, используемые в дальнейшем.
Следующие четыре шага доказательства содержат построения, позволяющие пере-
йти от указанных локальных характеристик к предельным функциям, с помощью
которых определяется некоторая функция f ∈ F . В результате шестого и седьмого
шагов устанавливается одно важное предельное соотношение, связанное с функ-
цией f. Следующие четыре шага заключаются в непосредственном доказательстве
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
О Γ-СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ... 105
Γ-сходимости некоторой подпоследовательности последовательности {Js} к функ-
ционалу Jf . При этом с использованием результатов предыдущих шагов соответ-
ствующие свойства из определения Γ-сходимости сначала устанавливаются для
функций из C∞0 (Ω), а затем уже и для функций из
◦
W 1,p(ν,Ω).
Перейдем теперь к детальному изложению описанных шагов доказательства
теоремы.
Шаг 1. Введем некоторые локальные характеристики функционалов Js. Для
любых y∈Rn и t∈N положим Qt(y) =
{
x ∈ Rn : |xi − yi| < 1/(2t), i = 1, . . . , n
}
,
и пусть для любого t ∈ N Yt =
{
y ∈ Rn : tyi ∈ Z, i = 1, . . . , n
}
.
Заметим, что ∀t ∈ N:
⋃
y∈Yt
Qt(y) = Rn; ∀t ∈ N ∀y, y′ ∈ Yt, y 6= y′: Qt(y) ∩
∩Qt(y′) = ∅.
Далее, для любого t ∈ N положим Y ′t =
{
y ∈ Yt : Qt(y) ⊂ Ω
}
. Ясно, что
существует t0 ∈ N такое, что для любого t ∈ N, t > t0, множество Y ′t непусто.
Пусть для любых t ∈ N, t > t0, s ∈ N и y ∈ Y ′t
Vt,s(y) =
u ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) :
∫
Qt(y)∩Ωs
ν|u|pdx 6 t−n−3p
. (7)
Теперь для любых t ∈ N, t > t0, s ∈ N, y ∈ Y ′t и ξ ∈ Rn положим
Ft,s(y, ξ) = tn inf
u∈Vt,s(y)
∫
Qt(y)∩Ωs
fs(x, ξ +∇u)dx. (8)
Числа Ft,s(y, ξ) представляют собой определенные локальные характеристики
функционалов Js.
В силу условия 5 для любых t ∈ N, t > t0, s ∈ N, y ∈ Y ′t и ξ ∈ Rn имеем
−tn
∫
Qt(y)∩Ωs
ψsdx 6 Ft,s(y, ξ) 6 c2|ξ|ptn
∫
Qt(y)∩Ωs
νdx+ tn
∫
Qt(y)∩Ωs
ψsdx. (9)
Кроме того, справедливы следующие свойства:
(∗1) если t ∈ N, t > t0, s ∈ N, y ∈ Y ′t , ξ, ξ′ ∈ Rn и τ ∈ [0, 1], то Ft,s
(
y, (1 −
− τ)ξ + τξ′
)
6 (1− τ)Ft,s(y, ξ) + τFt,s(y, ξ′);
(∗2) если t ∈ N, t > t0, s ∈ N, y ∈ Y ′t и ξ, ξ′ ∈ Rn, то
∣∣Ft,s(y, ξ)−Ft,s(y, ξ′)∣∣ 6
6 2pc2 (1 + |ξ|+ |ξ′|)p−1 |ξ − ξ′|tn
∫
Qt(y)∩Ωs
νdx+ 2|ξ − ξ′|tn
∫
Qt(y)∩Ωs
ψsdx.
Свойство (∗1) есть следствие условия 4. Оно устанавливается аналогично до-
казательству леммы 1 из [14]. Свойство (∗2) вытекает из (9) и свойства (∗1).
Шаг 2. Используя условие 2, оценку (9) и свойство (∗2), устанавливаем, что
существуют возрастающая последовательность {sj} ⊂ N и последовательность
функций Φt : Rn × Rn → R такие, что для любых t ∈ N, t > t0, y ∈ Y ′t и ξ ∈ Rn
lim
j→∞
Ft,sj (y, ξ) = Φt(y, ξ). (10)
В силу условия 2, оценки (9) и (10) для любых t ∈ N, t > t0, y ∈ Y ′t и ξ ∈ Rn
имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
106 О. А. РУДАКОВА
−tn
∫
Qt(y)
bdx 6 Φt (y, ξ) 6 c2|ξ|ptn
∫
Qt(y)
νdx+ tn
∫
Qt(y)
bdx. (11)
Кроме того, из свойства (∗1) и (10) следует, что для любых t ∈ N, t > t0, y ∈ Y ′t ,
ξ, ξ′ ∈ Rn и τ ∈ [0, 1]
Φt(y, (1− τ)ξ + τξ′) 6 (1− τ)Φt(y, ξ) + τΦt(y, ξ′). (12)
Шаг 3. Пусть для любых t ∈ N и y ∈ Ω таких, что Qt(y) ⊂ Ω, χt,y : Ω → R
— характеристическая функция множества Qt(y).
Для любых k, t ∈ N положим Yk,t = {y ∈ Yt : Qt(y) ⊂ Ω(k)}.
Дадим следующее определение: если k, t ∈ N и Yk,t 6= ∅, то H
(k)
t — функ-
ция на Ω × Rn такая, что для любой пары (x, ξ) ∈ Ω × Rn H
(k)
t (x, ξ) =
=
∑
y∈Yk,t
χt,y(x)Φt(y, ξ); если k, t ∈ N и Yk,t = ∅, то H
(k)
t — функция на
Ω× Rn такая, что для любой пары (x, ξ) ∈ Ω× Rn H
(k)
t (x, ξ) = 0.
Далее, для любого k ∈ N положим nk = sup
x∈Ω(k)
ν(x), mk = sup
x∈Ω(k)
b(x). В силу
условия в) для любого k ∈ N имеем nk,mk ∈ [0,+∞).
Легко видеть, что для любых k, t ∈ N и ξ ∈ Rn функция H(k)
t (·, ξ) измерима на
Ω. Кроме того, в силу оценки (11) для любых k ∈ N, t ∈ N, t > t0, x ∈ Ω и ξ ∈ Rn
имеем
−mk 6 H
(k)
t (x, ξ) 6 c2|ξ|pnk +mk. (13)
Отсюда и из (12) следует, что для любых k ∈ N, t ∈ N, t > t0, x ∈ Ω и ξ, ξ′ ∈ Rn
∣∣H(k)
t (x, ξ)−H(k)
t (x, ξ′)
∣∣ 6 2pc2nk(1 + |ξ|+ |ξ′|)p−1|ξ − ξ′|+ 2mk|ξ − ξ′|. (14)
Шаг 4. Через Qn обозначим множество всех элементов из Rn с рациональ-
ными координатами. Используя оценку (13), устанавливаем, что существуют воз-
растающая последовательность {ti} ⊂ N и функции h(k)
ξ ∈ L2(Ω), k ∈ N, ξ ∈ Qn,
такие, что для любых k ∈ N и ξ ∈ Qn имеем
H
(k)
ti (·, ξ)→ h
(k)
ξ слабо в L2(Ω). (15)
Через E обозначим пересечение множеств лебеговых точек функций ν, b и h(k)
ξ ,
k ∈ N, ξ ∈ Qn. Заметим, что measE = meas Ω.
Для любых k ∈ N, ξ ∈ Qn и z ∈ E имеем
−b(z) 6 h
(k)
ξ (z) 6 c2ν(z)|ξ|p + b(z). (16)
Действительно, пусть k ∈ N, ξ ∈ Qn и z ∈ E. Зафиксируем τ0 ∈ N такое, что
Qτ0(z) ⊂ Ω. Пусть теперь τ ∈ N, τ > τ0. В силу (15)
lim
i→∞
∫
Qτ (z)
H
(k)
ti (·, ξ)dx =
∫
Qτ (z)
h
(k)
ξ dx. (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
О Γ-СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ... 107
Пусть t ∈ N, t > max{t0, 2τ2}. Предположим, что Yk,t 6= ∅. Положим Y = {y ∈
∈ Yk,t : Qt(y) ∩ Qτ (z) 6= ∅} и будем считать, что Y 6= ∅. В силу определения
функции H(k)
t ∫
Qτ (z)
H
(k)
t (·, ξ)dx =
∑
y∈Y
∫
Qt(y)∩Qτ (z)
H
(k)
t (·, ξ)dx =
=
∑
y∈Y
Φt(y, ξ) meas
[
Qt(y) ∩Qτ (z)
]
.
Отсюда, используя оценку (11) и то, что для любого y ∈ Y Qt(y) ⊂ Qτ−1(z),
выводим
−
∫
Qτ−1(z)
bdx 6
∫
Qτ (z)
H
(k)
t (·, ξ)dx 6 c2|ξ|p
∫
Qτ−1(z)
νdx+
∫
Qτ−1(z)
bdx. (18)
Легко видеть, что это неравенство выполняется и в случае Y = ∅, а также если
Yk,t = ∅. В силу (17) и (18) имеем
−τn
∫
Qτ−1(z)
bdx 6 τn
∫
Qτ (z)
h
(k)
ξ dx 6 c2|ξ|pτn
∫
Qτ−1(z)
νdx+ τn
∫
Qτ−1(z)
bdx.
Отсюда, переходя к пределу при τ →∞, получаем неравенство (16).
Аналогично, используя (15), (11) и (12), устанавливаем, что для любых k ∈ N,
ξ, ξ′ ∈ Qn и z ∈ E∣∣∣h(k)
ξ (z)− h(k)
ξ′ (z)
∣∣∣ 6 2pc2ν(z)(1 + |ξ|+ |ξ′|)p−1|ξ − ξ′|+ 2b(z)|ξ − ξ′|. (19)
Шаг 5. В силу (19) для любых k ∈ N, ξ ∈ Rn и x ∈ E существует число
h̃
(k)
ξ (x) такое, что из {ξ(l)} ⊂ Qn и ξ(l) → ξ в Rn следует, что h(k)
ξ(l)
(x)→ h̃
(k)
ξ (x).
Пусть для любых k ∈ N и ξ ∈ Rn g(k)
ξ — функция на Ω такая, что g(k)
ξ (x) =
= h̃
(k)
ξ (x), если x ∈ E, и g(k)
ξ (x) = 0, если x ∈ Ω \ E.
Ясно, что справедливо следующее утверждение:
если k ∈ N, ξ ∈ Rn, x ∈ E, {ξ(l)} ⊂ Qn и ξ(l) → ξ в Rn, то
h
(k)
ξ(l)
(x)→ g
(k)
ξ (x). (20)
Далее, пусть Ω̃ — объединение всех множеств Ω(k), χ : Ω→ R — характеристи-
ческая функция множества Ω̃ и k̄ — отображение Ω в N такое, что k̄(x) = min{k ∈
∈ N : x ∈ Ω(k)}, если x ∈ Ω̃, и k̄(x) = 1, если x ∈ Ω \ Ω̃.
Пусть теперь f — функция на Ω×Rn такая, что для любой пары (x, ξ) ∈ Ω×Rn
f(x, ξ) = χ(x)g(k̄(x))
ξ (x). Используя (20), нетрудно убедиться в том, что для любого
ξ ∈ Rn функция f(·, ξ) измерима на Ω. Кроме того, в силу (20) и оценок (16) и (19)
для любых x ∈ Ω и ξ, ξ′ ∈ Rn имеем
−b(x) 6 f(x, ξ) 6 c2ν(x)|ξ|p + b(x), (21)∣∣f(x, ξ)− f(x, ξ′)
∣∣ 6 2pc2ν(x)(1 + |ξ|+ |ξ′|)p−1|ξ − ξ′|+ 2b(x)|ξ − ξ′|. (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
108 О. А. РУДАКОВА
В силу второго из этих неравенств для любого x ∈ Ω функция f(x, ·) непрерывна
на Rn. Таким образом, функция f удовлетворяет условиям Каратеодори. Заметим
еще, что в силу (12), (15) и (20) для любого x ∈ Ω функция f(x, ·) выпукла на Rn.
Теперь ясно, что f ∈ F .
Шаг 6. Пусть k ∈ N, η ∈ Qn и ϕ ∈ L∞(Ω). Пусть еще m ∈ N, m 6 k, и
z ∈ Ω(m)∩E. Зафиксируем τ ∈ N, τ > 1, такое, чтоQτ−1(z) ⊂ Ω(m), и пусть t ∈ N,
t > 2τ2. Имеем Ym,t 6= ∅. Кроме того, в силу условия а) теоремы Ω(m) ⊂ Ω(k) и,
следовательно, Ym,t ⊂ Yk,t. Используя это, получаем, что H(k)
t (·, η) = H
(m)
t (·, η)
на Qτ (z). Тогда, учитывая (15), устанавливаем, что h(k)
η (z) = h
(m)
η (z). Отсюда и
из (20) следует, что для любого x ∈ Ω(k) ∩ E справедливо равенство h
(k)
η (x) =
= f(x, η). Тогда, учитывая (15), получаем, что интегралы функций H(k)
ti (·, η)ϕ по
Ω(k) сходятся при i→∞ к интегралу функции f(·, η)ϕ по Ω(k).
Отсюда и из (14) и (22) выводим, что для любых k ∈ N, ξ ∈ Rn и ϕ ∈ L∞(Ω)
lim
i→∞
∫
Ω(k)
H
(k)
ti (·, ξ)ϕdx =
∫
Ω(k)
f(·, ξ)ϕdx. (23)
Шаг 7. Введем обозначения: если k, t ∈ N и Yk,t 6= ∅, то Ek,t =
⋃
y∈Yk,t
Qt(y);
если u ∈ C∞0 (Ω), k, t ∈ N и Yk,t 6= ∅, то λ(k)
t (u) =
∑
y∈Yk,t
Φt(y,∇u(y))t−n; если
u ∈ C∞0 (Ω), k, t ∈ N и Yk,t = ∅, то λ(k)
t (u) = 0.
Покажем, что для любых u ∈ C∞0 (Ω) и k ∈ N
lim
i→∞
λ
(k)
ti (u) =
∫
Ω(k)
f(x,∇u)dx. (24)
Действительно, пусть u ∈ C∞0 (Ω) и k ∈ N. Положим µ = sup
x∈Ω
|∇u(x)| и зафикси-
руем произвольное ε ∈ (0, 1). Очевидно, что существует δ ∈ (0, ε) такое, что для
любых x′, x′′ ∈ Ω, удовлетворяющих неравенству |x′ − x′′| 6 δ, имеем |∇u(x′) −
−∇u(x′′)| 6 ε. Кроме того, нетрудно убедиться в том, что существует τ ∈ N такое,
что τ > 2n+2nδ−1, Yk,τ 6= ∅ и meas(Ω(k) \ Ek,τ ) 6 δmeas Ω. Положим Gτ =
=
⋃
z∈Yk,τ
[Qτ−1(z) \Qτ+1(z)]. Поскольку 2n+2n/τ < δ, имеем measGτ 6 δmeas Ω.
Зафиксируем t ∈ N, t > max{t0, 2τ(τ+1)}. Легко видеть, что Yk,t 6= ∅. Для любого
z ∈ Yk,τ положим X(z) = {y ∈ Yk,t : Qt(y) ⊂ Qτ (z)}. Пусть теперь для любо-
го z ∈ Yk,τ R(z) = Qτ (z) \
⋃
y∈X(z)
Qt(y). Поскольку почти все точки множества⋃
z∈Yk,τ
R(z) принадлежат множеству Gτ , имеем
meas
( ⋃
z∈Yk,τ
R(z)
)
6 δmeas Ω. (25)
Положим X = Yk,t \
⋃
z∈Yk,τ
X(z). Будем считать, что X 6= ∅. Имеем
⋃
y∈X
Qt(y) ⊂
⊂ (Ω(k) \Ek,τ ) ∪Gτ . Отсюда и из вышеприведенных оценок мер множеств Ω(k) \
Ek,τ и Gτ получаем
meas
( ⋃
y∈X
Qt(y)
)
6 2δmeas Ω. (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
О Γ-СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ... 109
Далее, имеем
λ
(k)
t (u) =
∑
z∈Yk,τ
∫
Qτ (z)
H
(k)
t (·,∇u(z))dx−
∑
z∈Yk,τ
∫
R(z)
H
(k)
t (·,∇u(z))dx +
+
∑
z∈Yk,τ
∑
y∈X(z)
∫
Qt(y)
{
H
(k)
t (·,∇u(y))−H(k)
t (·,∇u(z))
}
dx +
+
∑
y∈X
∫
Qt(y)
H
(k)
t (·,∇u(y))dx,
∫
Ω(k)
f(x,∇u)dx =
∑
z∈Yk,τ
∫
Qτ (z)
f(·,∇u(z))dx +
+
∑
z∈Yk,τ
∫
Qτ (z)
{f(x,∇u)− f(·,∇u(z))}dx+
∫
Ω(k)\Ek,τ
f(x,∇u)dx.
Из этих равенств, используя (13), (14), (21), (22), (25), (26), а также неравенство
n/τ < δ, имеющуюся оценку для меры множества Ω(k) \ Ek,τ и свойства числа δ,
выводим ∣∣∣∣∣∣λ(k)
t (u)−
∫
Ω(k)
f(x,∇u)dx
∣∣∣∣∣∣ 6
6
∑
z∈Yk,τ
∣∣∣∣∣∣∣
∫
Qτ (z)
H
(k)
t (·,∇u(z))dx−
∫
Qτ (z)
f(·,∇u(z))dx
∣∣∣∣∣∣∣+
+ 8p(1 + µ)p(1 + c2)(nk +mk)εmeas Ω. (27)
Ясно, что это верно и в случае X = ∅. Теперь из (27) и (23) получаем (24).
Перейдем к непосредственному доказательству Γ-сходимости последователь-
ности {Jsj} к функционалу Jf . Через ci, i = 3, 4, . . . , будем обозначать положи-
тельные постоянные, зависящие только от n, p, meas Ω, c1, c2 и ‖b‖L1(Ω).
Шаг 8. Пусть u ∈ C∞0 (Ω), для любого s ∈ N имеем us ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) и
lim
s→∞
‖us − qsu‖Lp(ν,Ωs) = 0. (28)
Покажем, что
lim inf
j→∞
Jsj (usj ) > Jf (u). (29)
Пусть a — предельная точка последовательности {Jsj (usj )}. В силу условий 2
и 5 имеем a ∈ (−∞,+∞]. Если a = +∞, то, очевидно, a > Jf (u). Пусть теперь
a 6= +∞. Ясно, что существует возрастающая последовательность {rl} ⊂ {sj}
такая, что
Jrl(url)→ a. (30)
Отсюда, учитывая, что a ∈ R, и используя условия 2 и 5, получаем, что существует
постоянная c > 1 такая, что для любого l ∈ N имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
110 О. А. РУДАКОВА∫
Ωrl
ν|∇url |pdx 6 c. (31)
Далее, пусть ε ∈ (0, 1). В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега
существует ε1 ∈ (0, ε) такое, что для любого измеримого множества G ⊂ Ω,
measG 6 ε1, имеем
∫
G
bdx 6 ε. Кроме того, в силу условия б) теоремы существует
k∈N такое, что
meas(Ω \ Ω(k)) 6
ε1
2
,
∣∣∣∣∣∣∣
∫
Ω\Ω(k)
f(x,∇u)dx
∣∣∣∣∣∣∣ 6 ε. (32)
Учитывая первое из этих неравенств, находим, что существует t′ ∈ N такое, что
для любого t ∈ N, t > t′, множество Yk,t непусто и
meas(Ω \ Ek,t) 6 ε1. (33)
Очевидно также, что существует δ > 0 такое, что для любых x′, x′′ ∈ Ω, удовле-
творяющих неравенству |x′ − x′′| 6 δ, имеем |∇u(x′)−∇u(x′′)| 6 εn
−1/p
k .
Зафиксируем t ∈ N, t > max{t0, t′, n/δ}. В силу условия 2, неравенства (33) и
свойства числа ε1 имеем
lim sup
s→∞
∫
Ωs\Ek,t
ψsdx 6
∫
Ω\Ek,t
bdx 6 ε. (34)
Для любого s ∈ N положим vs = us − qsu. В силу (28) найдется s′ ∈ N такое,
что для любых s ∈ N, s > s′, и y ∈ Yk,t имеем vs ∈ Vt,s(y). Тогда для любого
s ∈ N, s > s′, выполняется неравенство∑
y∈Yk,t
Ft,s(y,∇u(y))t−n 6
∑
y∈Yk,t
∫
Qt(y)∩Ωs
fs(x,∇u(y) +∇vs)dx. (35)
Зафиксируем s ∈ N, s > s′, и пусть y ∈ Yk,t. Используя условия 4, 5 и свойство
числа δ, получаем, что для почти всех x ∈ Qt(y) ∩ Ωs
fs(x,∇u(y) +∇vs(x)) =
= fs(x, (1− ε)∇us(x) + ε(∇us(x) + ε−1(∇u(y)−∇u(x)))) 6
6 (1− ε)fs(x,∇us(x)) + εfs(x,∇us(x) + ε−1(∇u(y)−∇u(x))) 6
6 fs(x,∇us(x)) + 2pεc2ν(x)|∇us(x)|p + 2pεc2 + 2εψs(x).
Отсюда с учетом условия 5 и неравенства (35) выводим, что для любого s ∈ N,
s > s′,∑
y∈Yk,t
Ft,s(y,∇u(y))t−n 6 Js(us) + 2pεc2
∫
Ωs
ν|∇us|pdx+ 2ε
∫
Ωs
ψsdx +
+
∫
Ωs\Ek,t
ψsdx+ 2pεc2 meas Ω.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
О Γ-СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ... 111
Используя этот результат, а также условие 2 и (10), (30), (31), (34), устанавли-
ваем, что λ(k)
t (u) 6 a + εcc3. Отсюда, учитывая (24) и второе из неравенств (32),
получаем a > Jf (u). Следовательно, неравенство (29) выполняется.
Шаг 9. Пусть u ∈
◦
W 1,p(ν,Ω), для любого s ∈ N имеем us ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) и
верно равенство (28). Покажем, что имеет место неравенство (29).
Действительно, пусть {u(l)} — последовательность функций из C∞0 (Ω) такая,
что
lim
l→∞
‖u(l) − u‖1,p,ν = 0. (36)
Для любых l, s ∈ N положим u
(l)
s = us + qs(u(l) − u). В силу (28) и результата,
установленного на предыдущем шаге, для любого l ∈ N имеем
lim inf
j→∞
Jsj (u
(l)
sj ) > Jf (u(l)). (37)
Кроме того, используя условия 4, 5, получаем, что для любых l, s ∈ N
Js(u(l)
s ) 6 Js(us) +
+ c4
1 +
∫
Ωs
ψsdx+
∫
Ωs
ν|∇us|pdx+ ‖u(l) − u‖p1,p,ν
‖u(l) − u‖1,p,ν .
Отсюда, учитывая условия 2, 5 и (36), (37), а также непрерывность функционала Jf ,
выводим, что если a — конечная предельная точка последовательности {Jsj (usj )},
то a > Jf (u). Это доказывает, что неравенство (29) имеет место.
Шаг 10. Пусть u ∈ C∞0 (Ω). Покажем, что существует последовательность
ws ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) такая, что
lim
s→∞
‖ws − qsu‖Lp(ν,Ωs) = 0, lim sup
j→∞
Jsj (wsj ) 6 Jf (u). (38)
Пусть ε ∈ (0, 1). Учитывая изложенное в соответствующем месте восьмого
шага доказательства, а также условие 2 и (24), получаем, что существуют числа
k ∈ N, δ > 0 и t ∈ N такие, что
∀x′, x′′ ∈ Ω, |x′ − x′′| 6 δ :
∣∣∇u(x′)−∇u(x′′)
∣∣ 6 εn
−1/p
k , (39)
t > max{t0, 1/ε, n/δ}, Yk,t 6= ∅, (40)
λ
(k)
t (u) 6 Jf (u) + 2ε, (41)∫
Ω\Ek,t
ν|∇u|pdx 6 ε, lim sup
s→∞
∫
Ωs\Ek,t
ψsdx 6 ε, (42)
∑
y∈Yk,t
∫
Qt(y)\Qt+1(y)
ν|∇u|pdx 6 ε,
lim sup
s→∞
∑
y∈Yk,t
∫
[Qt(y)\Qt+1(y)]∩Ωs
ψsdx 6 ε.
(43)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
112 О. А. РУДАКОВА
Далее, пусть для любого y ∈ Yk,t ϕy — функция из C∞0 (Ω) такая, что 0 6 ϕy61
на Ω, ϕy = 1 в Qt+1(y), ϕy = 0 на Ω \Qt(y) и |∇ϕy| 6 c0t
2 на Ω (c0 > 0 зависит
только от n), а для любых y ∈ Yk,t и s ∈ N wy,s — функция из Vt,s(y) такая, что∫
Qt(y)∩Ωs
fs(x,∇u(y) +∇wy,s)dx 6 Ft,s(y,∇u(y))t−n + εt−n. (44)
Заметим, что в силу условия 5 и (39), (40), (44) для любых y ∈ Yk,t и s ∈ N
c1
∫
Qt(y)∩Ωs
ν|∇u(y) +∇wy,s|pdx 6
6 2pc2
∫
Qt(y)
ν|∇u|pdx+ 2
∫
Qt(y)∩Ωs
ψsdx+ (2pc2 + 1)t−n. (45)
Теперь для любого s ∈ N положим ws = qsu +
∑
y∈Yk,t
wy,sϕy. Для любого
s ∈ N имеем ws ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs). Кроме того, в силу включений wy,s ∈ Vt,s(y)
(y ∈ Yk,t, s ∈ N) и неравенства t > 1/ε для любого s ∈ N имеем
‖ws − qsu‖Lp(ν,Ωs) 6 ε(meas Ω)1/p. (46)
Ясно также, что для любого s ∈ N
Js(ws) =
∫
Ωs\Ek,t
fs(x,∇u)dx+
∑
y∈Yk,t
∫
Qt(y)∩Ωs
fs(x,∇ws)dx. (47)
В силу условия 5 и неравенств (42) выполняется неравенство
lim sup
s→∞
∫
Ωs\Ek,t
fs(x,∇u)dx 6 (c2 + 2)ε. (48)
Используя условия 4, 5, неравенства (39), (40) и свойства функций ϕy, y ∈ Yk,t,
получаем, что если s ∈ N, y ∈ Yk,t и meas(Qt(y) ∩ Ωs) > 0, то для почти всех
x ∈ Qt(y) ∩ Ωs
fs(x,∇ws(x)) 6 (1− ε)fs(x,∇u(y) + ϕy(x)∇wy,s(x)) +
+ εfs(x,∇u(y) + ϕy(x)∇wy,s(x) + ε−1(∇u(x)−∇u(y) + wy,s(x)∇ϕy(x))) 6
6 fs(x,∇u(y) +∇wy,s(x)) + 4p+1c2(1− ϕy(x))ν(x)|∇u(x)|p +
+ 2(1− ϕy(x))ψs(x) + 2εψs(x) +
+ 4pc2εν(x)|∇u(y) +∇wy,s(x)|p + 4pcp0t
3pc2εν(x)|wy,s(x)|p + 8p+1c2ε.
Тогда, учитывая свойства функций ϕy, y ∈ Yk,t, включенияwy,s ∈ Vt,s(y) (y ∈ Yk,t,
s ∈ N), условие 2, (10) и (43) – (45), находим
lim sup
j→∞
∑
y∈Yk,t
∫
Qt(y)∩Ωsj
fsj (x,∇wsj )dx 6 λ
(k)
t (u) + c5ε
∫
Ω
ν|∇u|pdx+ c6ε.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
О Γ-СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ... 113
Используя это неравенство, а также (41), (47) и (48), устанавливаем, что
lim sup
j→∞
Jsj (wsj ) 6 Jf (u) + c7ε
1 +
∫
Ω
ν|∇u|pdx
. (49)
Учитывая (46) и (49), заключаем, что если l ∈ N, то существуют последова-
тельность w(l)
s ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) и число j(l) ∈ N такие, что
∀s ∈ N : ‖w(l)
s − qsu‖Lp(ν,Ωs) 6 l−1, (50)
∀j ∈ N, j > j(l) : Jsj (w
(l)
sj ) 6 Jf (u) + l−1. (51)
Для любого l ∈ N положим s(l) = l + max
16r6l
sj(r) . Очевидно, что {s(l)} — возра-
стающая последовательность. Пусть теперь {ws} — такая последовательность, что
ws = w
(1)
s , если s 6 s(1), и ws = w
(l)
s , если s(l) < s 6 s(l+1), l = 1, 2, . . . . Тогда
для любого s ∈ N имеем ws ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs). Кроме того, используя (50) и (51),
получаем, что справедливы соотношения (38).
Шаг 11. Пусть u ∈
◦
W 1,p(ν,Ω). Очевидно, что существует последователь-
ность {u(l)} ⊂ C∞0 (Ω) такая, что для любого l ∈ N имеем ‖u(l) − u‖1,p,ν 6 1/(2l),
Jf (u(l)) 6 Jf (u)+1/(2l). Отсюда и из результата, установленного на предыдущем
шаге доказательства, выводим, что если l ∈ N, то существуют последовательность
v
(l)
s ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) и числа s(l)
1 , j
(l)
1 ∈ N такие, что
∀s ∈ N, s > s
(l)
1 : ‖v(l)
s − qsu‖Lp(ν,Ωs) 6 l−1, (52)
∀j ∈ N, j > j
(l)
1 : Jsj (v
(l)
sj ) 6 Jf (u) + l−1. (53)
Для любого l ∈ N положим s̄(l) = l + max
16r6l
s
(r)
1 + max
16r6l
s
j
(r)
1
. Ясно, что {s̄(l)} —
возрастающая последовательность. Пусть теперь {vs} — такая последовательность,
что vs = v
(1)
s , если s 6 s̄(1), и vs = v
(l)
s , если s̄(l) < s 6 s̄(l+1), l = 1, 2, . . . .
Тогда для любого s ∈ N имеем vs ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs). Кроме того, в силу (52) и (53)
справедливы соотношения lim
s→∞
‖vs − qsu‖Lp(ν,Ωs) = 0, lim sup
j→∞
Jsj (vsj ) 6 Jf (u).
Полученный результат и результат, установленный на девятом шаге доказа-
тельства, позволяют заключить, что последовательность {Jsj} Γ-сходится к функ-
ционалу Jf .
Теорема доказана.
В завершение приведем несколько замечаний. Прежде всего отметим, что усло-
вия а) – в) теоремы 2 выполняются, если, например, функции ν и b ограничены в
Ω или непрерывны в Ω, за исключением замкнутого множества меры нуль. Кроме
того, при дополнительных условиях к требованиям теоремы 2, включающих так
называемую регулярную сильную связанность последовательности пространств
W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) с пространством
◦
W 1,p(ν,Ω), интегрант f Γ-предельного функционала
для последовательности функционалов {Jsj} коэрцитивен, т. е. с некоторой кон-
стантой c′ > 0 для почти всех x ∈ Ω и любых ξ ∈ Rn имеет место неравенство
f(x, ξ) > c′ν(x)|ξ|p − b(x). Этот результат установлен в статье [37]. В свою оче-
редь, упомянутые дополнительные условия выполняются в случае весовой фун-
кции ν вида ν(x) = |x|γ , x ∈ Ω \ {0}, с γ ∈ (−n, n(p − 1)) и областей Ωs
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
114 О. А. РУДАКОВА
специальной перфорированной структуры (по этому поводу см. [24]). Отметим
также, что на основе результатов о Γ-сходимости или Γ-компактности для функ-
ционалов Js могут быть получены аналогичные результаты для функционалов вида
Is = Js + Gs, где Gs(u) =
∫
Ωs
g(x, u)dx, u ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs), причем при надлежа-
щих условиях роста и коэрцитивности относительно функции g (например, если
g(x, η) = a0ν(x)|η|p − g0(x)η, a0 > 0 и g0(1/ν)1/p ∈ Lp/(p−1)(Ω)) последова-
тельность норм минимизантов функционалов Is будет ограниченной (это подчер-
кивается в связи с изложенным в конце п. 3). Наконец, заметим, что если ψ —
неотрицательная функция из L1(Q1(0)) и для любого s ∈ N ψs — неотрицатель-
ная функция на Ωs такая, что ψs(x) = ψ(s(x − z)) при x ∈ Qs(z) ∩ Ωs, z ∈ Ys,
то выполняются условия 1 и 2, причем функция b принимает на Ω постоянное
значение, равное интегралу функции ψ по кубу Q1(0).
Автор благодарит А. А. Ковалевского за внимание к работе и полезные реко-
мендации.
1. De Giorgi E., Franzoni T. Su un tipo di convergenza variazionale // Atti Accad. naz. Lincei. Rend. Cl.
sci. fis., mat. e natur. – 1975. – 58, № 6. – P. 842 – 850.
2. Sbordone С. Su alcune applicazioni di un tipo di convergenza variazionale // Ann. Scuola norm. super.
Pisa Cl. Sci. – 1975. – 2. – P. 617 – 638.
3. Dal Maso G. An introduction to Γ-convergence. – Boston: Birkhäuser, 1993. – 337 p.
4. Braides A., Defranceschi A. Homogenization of multiple integrals // Oxford Lect. Ser. Math. and Appl.
– New York: Clarendon Press, 1998. – 12. – 298 p.
5. Жиков В. В. Вопросы сходимости, двойственности и усреднения для одного класса функционалов
вариационного исчисления // Докл. АН СССР. – 1982. – 267, № 3. – C. 524 – 528.
6. Жиков В. В. Вопросы сходимости, двойственности и усреднения для функционала вариационного
исчисления // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1983. – 47, № 5. – C. 961 – 998.
7. Жиков В. В. Усреднение функционалов вариационного исчисления и теории упругости // Там же.
– 1986. – 50, № 4. – C. 675 – 710.
8. Жиков В. В. О переходе к пределу в нелинейных вариационных задачах // Мат. сб. – 1992. – 183,
№ 8. – C. 47 – 84.
9. Ковалевский А. А. Усреднение переменных вариационных задач // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1988.
– № 8. – С. 6 – 9.
10. Ковалевский А. А. О связанности подмножеств соболевских пространств и Γ-сходимости функ-
ционалов с переменной областью определения // Нелинейные граничные задачи. – 1989. – Вып. 1.
– С. 48 – 54.
11. Ковалевский А. А. О некоторых вопросах, связанных с проблемой усреднения вариационных задач
для функционалов с переменной областью определения // Совр. анализ и его прил.: Сб. науч. тр.
– Киев: Наук. думка, 1989. – С. 62 – 70.
12. Ковалевский А. А. Условия Γ-сходимости и усреднение интегральных функционалов с различными
областями определения // Докл. АН УССР. – 1991. – № 4. – С. 5 – 8.
13. Ковалевский А. А. О необходимых и достаточных условиях Γ-сходимости интегральных функцио-
налов с различными областями определения // Нелинейные граничные задачи. – 1992. – Вып. 4. –
С. 29 – 39.
14. Ковалевский А. А. О Γ-сходимости интегральных функционалов, определенных на слабо связанных
соболевских пространствах // Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 5. – С. 614 – 628.
15. Pankratov L. S. Γ-convergence of nonlinear functionals in thin reticulated structures // C.r. Acad. sci.
Paris, Ser. I. – 2002. – 335, № 3. – P. 315 – 320.
16. Amaziane B., Goncharenko M., Pankratov L. ΓD-convergence for a class of quasilinear elliptic equations
in thin structures // Math. Methods Appl. Sci. – 2005. – 28, № 15. – P. 1847 – 1865.
17. Kovalevsky A., Nicolosi F. On the convergence of solutions of degenerate nonlinear elliptic high order
equations // Nonlinear Anal., Theory, Methods, Appl. – 2002. – 49. – Р. 335 – 360.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
О Γ-СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ... 115
18. Хруслов Е. Я. Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи при измельчении
границы области // Мат. сб. – 1978. – 106, № 4. – С. 604 – 621.
19. Хруслов Е. Я. О сходимости решений второй краевой задачи в слабо связанных областях // Теория
операторов в функциональных пространствах и ее приложения. – Киев: Наук. думка, 1981. –
С. 129 – 173.
20. Берлянд Л. В., Чудинович И. Ю. Усреднение краевых задач для дифференциальных операторов
высших порядков в областях с пустотами // Докл. АН СССР. – 1983. – 272, № 4. – С. 777 – 780.
21. Панкратов Л. С. О сходимости решений вариационных задач в слабо связанных областях. –
Харьков, 1988. – 25 с. – (Препринт / АН УССР. Физ.-тех. ин-т низких температур; 53.88).
22. Ковалевский А. А. G-сходимость и усреднение нелинейных эллиптических операторов дивер-
гентного вида с переменной областью определения // Изв. РАН. Сер. мат. – 1994. – 58, № 3. –
С. 3 – 35.
23. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Усредненные модели микронеоднородных сред. – Киев: Наук. думка,
2005. – 550 с.
24. Ковалевский А. А., Рудакова О. А. О сильной связанности весовых пространств Соболева и
компактности последовательностей их элементов // Тр. Ин-та прикл. математики и механики НАН
Украины. – 2006. – 12. – С. 85 – 99.
25. De Arcangelis R., Donato P. Homogenization in weighted Sobolev spaces // Ric. mat. – 1985. – 34. –
P. 289 – 308.
26. De Arcangelis R., Serra Cassano F. On the convergence of solutions of degenerate elliptic equations in
divergence form // Ann. mat. pura ed appl. – 1994. – 167. – P. 1 – 23.
27. Скрыпник И. В., Ларин Д. В. Принцип аддитивности в усреднении вырождающихся нелинейных
задач Дирихле // Укр. мат. журн. – 1998. – 50, № 1. – C. 118 – 135.
28. Ларин Д. В. О сходимости решений вырождающейся квазилинейной задачи Дирихле при измель-
чении границы области // Доп. НАН України. – 1998. – № 8. – С. 37 – 41.
29. Larin D. V. Homogenization of degenerate nonlinear Dirichlet problems in perforated domains of general
structure // Нелинейные граничные задачи. – 2000. – Вып. 10. – С. 117 – 122.
30. Ковалевский А. А., Рудакова О. А. О Γ-компактности интегральных функционалов с вырожден-
ными интегрантами // Нелинейные граничные задачи. – 2005. – Вып. 15. – С. 149 – 153.
31. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. – М.:
Наука, 1988. – 336 с.
32. Murthy M. K. V., Stampacchia G. Boundary value problem for some degenerate elliptic operators // Ann.
mat. pura ed appl. – 1969. – 80. – P. 1 – 122.
33. Guglielmino F., Nicolosi F. Sulle W -soluzioni dei problemi al contorno per operatori ellittici degeneri //
Ric. mat. – 1987. – 36. – P. 59 – 72.
34. Cirmi G. R., Porzio M. M. L∞-solutions for some nonlinear degenerate elliptic and parabolic equations
// Ann. mat. pura ed appl. – 1995. – 169. – P. 67 – 86.
35. Kovalevsky A., Nicolosi F. Boundedness of solutions of variational inequalities with nonlinear degenerated
elliptic operators of high order // Appl. Anal. – 1997. – 65. – P. 225 – 249.
36. Heinonen J., Kilpeläinen T., Martio O. Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations. –
Oxford: Clarendon Press, 1993. – 363 p.
37. Рудакова О. А. О коэрцитивности интегранта Γ-предельного функционала последовательности
интегральных функционалов, определенных на различных весовых пространствах Соболева // Тр.
Ин-та прикл. математики и механики НАН Украины. – 2007. – 15. – С. 171 – 180.
Получено 26.02.08,
после доработки — 07.05.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-3006 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:27Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/da/c9b6082c121e60efe72311ee88c2c3da.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30062020-03-18T19:43:07Z On Γ-convergence of integral functionals defined on various weighted Sobolev spaces On Γ-convergence of integral functionals defined on various weighted Sobolev spaces Rudakova, O. A. Рудакова, О. А. We consider weighted Sobolev spaces correlated with a sequence of $n$-dimensional domains. We prove a theorem on the choice of a subsequence $Γ$-convergent to an integral functional defined on a “limit” weighted Sobolev space from a sequence of integral functionals defined on the spaces indicated. Розглянуто ваговi простори Соболєва, пов'язані з послідовністю $n$-вимірних областей. Доведено теорему про вибір із послідовності інтегральних функціоналів, визначених на розглядуваних просторах, підпослідовності, що $Γ$-збігається до інтегрального функціонала, визначеного на деякому „граничному" ваговому соболєвському просторі. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3006 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 1 (2009); 99-115 Український математичний журнал; Том 61 № 1 (2009); 99-115 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3006/2761 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3006/2762 Copyright (c) 2009 Rudakova O. A. |
| spellingShingle | Rudakova, O. A. Рудакова, О. А. On Γ-convergence of integral functionals defined on various weighted Sobolev spaces |
| title | On Γ-convergence of integral functionals defined on various weighted Sobolev spaces |
| title_alt | On Γ-convergence of integral functionals defined on various weighted Sobolev spaces |
| title_full | On Γ-convergence of integral functionals defined on various weighted Sobolev spaces |
| title_fullStr | On Γ-convergence of integral functionals defined on various weighted Sobolev spaces |
| title_full_unstemmed | On Γ-convergence of integral functionals defined on various weighted Sobolev spaces |
| title_short | On Γ-convergence of integral functionals defined on various weighted Sobolev spaces |
| title_sort | on γ-convergence of integral functionals defined on various weighted sobolev spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3006 |
| work_keys_str_mv | AT rudakovaoa ongconvergenceofintegralfunctionalsdefinedonvariousweightedsobolevspaces AT rudakovaoa ongconvergenceofintegralfunctionalsdefinedonvariousweightedsobolevspaces |