Mixed problem for the Petrovskii well-posed equation in a cylindrical domain
We study the problem of existence and uniqueness of the solution of a mixed problem for the Petrovskii well-posed equation in a cylindrical domain and the behavior of this solution for large values of time.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3014 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509029047992320 |
|---|---|
| author | Iskenderov, B. A. Guseinova, É. S. Искендеров, Б. А. Гусейнова, Э. С. Искендеров, Б. А. Гусейнова, Э. С. |
| author_facet | Iskenderov, B. A. Guseinova, É. S. Искендеров, Б. А. Гусейнова, Э. С. Искендеров, Б. А. Гусейнова, Э. С. |
| author_sort | Iskenderov, B. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:20Z |
| description | We study the problem of existence and uniqueness of the solution of a mixed problem for the Petrovskii well-posed equation in a cylindrical domain and the behavior of this solution for large values of time. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.957
Б. А. Искендеров, Э. С. Гусейнова (Ин-т математики и механики НАН Азербайджана, Баку)
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО
ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
We study the existence and uniqueness of a solution of a mixed problem for the Petrovskii well-posed equation
in a cylindrical domain and the behavior of this solution for large values of time.
Вивчено iснування, єдинiсть розв’язку мiшаної задачi для коректного за Петровським рiвняння у цилiнд-
ричнiй областi та його поведiнку при великих значеннях часу.
1. Введение. При изучении распространения возмущений в вязком газе возникает
уравнение (
∂2
∂t2
− ω ∂
∂t
∆3 − a2∆3
)
u(t, x) = 0,
x =
(
x1, x2, x3
)
∈ R3, t > 0,
(1)
где ω =
4
3
ν, ν — кинематический коэффициент вязкости, a — скорость звука в газе,
∆3 — оператор Лапласа по (x1, x2, x3) [1]. В работе [2], как результат исследования
решения задачи Коши для операторно-дифференциального уравнения, приведено
достаточное условие стабилизации при больших значениях времени решения зада-
чи Коши для уравнения (1) с периодическими начальными данными. В работе [3]
изучена смешанная задача для уравнения (1) в ограниченной области многомерно-
го пространства, а в работе [4] — поведение решения задачи Коши для уравнения
типа (1) в многомерном пространстве при больших значениях времени.
В настоящей работе изучаются существование, единственность решения сме-
шанной задачи для корректного по Петровскому уравнения в цилиндрической об-
ласти и асимптотика решения смешанной задачи при больших значениях времени.
2. Определения, обозначения и теорема о единственности решения смешан-
ной задачи. Обозначим через Rn+m(x, y) (n+m)-мерное евклидово пространст-
во с элементами (x, y) = (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym), через E = Rn(x) × Ω —
цилиндрическую область в Rn+m, где Ω — ограниченная область в Rm(y) с доста-
точно гладкой границей ∂Ω. В Q = (0,∞)× E рассмотрим смешанную задачу(
∂2
∂t2
− ω ∂
∂t
∆n,m − a2∆n,m
)
u(t, x, y) = f(t, x, y) (2.1)
с начальными функциями
u(0, x, y) = ϕ0(x, y),
∂
∂t
u(0, x, y) = ϕ1(x, y) (2.2)
и краевым условием
u(t, x, y)|∂E = 0, t > 0, (2.3)
где ϕj(x, y), f(t, x, y), j = 0, 1, — заданные функции, а
c© Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА, 2009
214 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ . . . 215
∆n,m =
∂2
∂x2
1
+
∂2
∂x2
2
+ . . .+
∂2
∂x2
n
+
∂2
∂y2
1
+
∂2
∂y2
2
+ . . .+
∂2
∂y2
m
.
Условия на данные задачи будут сформулированы ниже. Отметим, что уравне-
ние (2.1) является корректным по Петровскому.
Введем пространство функций H(α,β) (E, ρ(x)), элементы которого имеют про-
изводные в смысле Соболева – Слободецкого по x до порядка α, а по y до порядка
β, для которых
∫
E
ρ(x)
α∑
|θ|=0
β∑
|j|=0
(
D(θ)
x D(j)
y v(x, y)
)2
dE ≤ C,
где ρ(x) ≥ 0 — измеримая и растущая на бесконечности функция, α, β ≥ 0 —
целые числа, C > 0 — некоторая постоянная. Это пространство является банаховым
пространством, норма элементов которого определяется следующим образом:
‖v(x, y)‖H(α,β)(E,ρ(x)) =
∫
E
ρ(x)
α∑
|θ|=0
β∑
|j|=0
(
D(θ)
x D(j)
y v(x, y)
)2
dE
1/2
.
Через C2
[
[0,∞), H(α,β) (E, ρ(x))
]
будем обозначать пространство функций
u(t, x, y), непрерывно дифференцируемых по t до второго порядка включитель-
но и при каждом t > 0 принадлежащих пространству H(α,β) (E, ρ(x)) .
Через C2
ε
[
[0,∞),
◦
H (α,β) (E, ρ(x))
]
обозначим подпространство пространства
C2
[
[0,∞), H(α,β) (E, ρ(x))
]
, элементы которого при каждом t > 0 удовлетворяют
граничному условию (2.3) и неравенству∥∥u(t, x, y)
∥∥
H(α,β)(E,ρ(x))
≤ Ceεt, (2.4)
где ε > 0 — достаточно малое число, C — некоторая постоянная.
Определение. Под решением задачи (2.1) – (2.3) будем понимать функцию
u(t, x, y) ∈ C2
ε
[
[0,∞),
◦
H (2,2) (E, ρ(x))
]
, удовлетворяющую уравнению (2.1) и на-
чальным данным (2.2) почти всюду.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2.1. Если решение однородной задачи, соответствующей зада-
че (2.1) – (2.3), существует, то оно почти всюду равно нулю.
Доказательство. Умножим однородное уравнение на u(t, x, y) и проинтегри-
руем по (0, t) × ER, где ER = Ω × σR(x), σR(x) — шар радиуса R с центром в
начале координат:
εR(t) =
t∫
0
∫
ER
(
∂2
∂t2
u(t, x, y)
)
u(t, x, y)dERdt −
− ω
t∫
0
∫
ER
(
∂
∂t
∆n,mu(t, x, y)
)
u(t, x, y)dERdt −
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
216 Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА
− a2
t∫
0
∫
ER
(∆n,mu(t, x, y))u(t, x, y)dERdt ≡
≡ ε1R(t) + ωε2R(t)− a2ε3R(t) = 0. (2.5)
Рассмотрим каждое слагаемое в (2.5) в отдельности. Интегрируя в ε1R(t) один раз
по t по частям и учитывая равенство нулю начальных функций для однородной
задачи, получаем
ε1R(t) = −
∫
ER
(
∂
∂t
u(t, x, y)
)2
dER.
Устремляя R к бесконечности в ε1R(t), находим
ε1(t) = −
∫
ER
(
∂
∂t
u(t, x, y)
)2
dER. (2.6)
Рассмотрим второе слагаемое в (2.5). По первой формуле Грина [5] имеем
ε2R(t) = −
n∑
i=1
t∫
0
∫
ER
∂
∂xi
(
∂
∂t
u(t, x, y)
)
∂
∂xi
u(t, x, y)dERdt −
−
m∑
j=1
t∫
0
∫
ER
∂
∂yj
(
∂
∂t
u(t, x, y)
)
∂
∂yj
u(t, x, y)dERdt +
+
t∫
0
∫
∂ER
∂
∂ν
(
∂
∂t
u(t, x, y)
)
u(t, x, y)dsRdt ≡ ε(1)
2R(t) + ε
(2)
2R(t) + ε
(3)
2R(t),
где ∂ER = ∂Ω× σR(x) ∪Ω× ∂σR(x), σR(x) — шар радиуса R с центром в начале
координат, ∂ΩR — поверхность шара ΩR, ds — элемент поверхности ∂ER, ∂ν —
внешняя нормаль к поверхности ∂ER.
Учитывая граничное условие (2.3), получаем
ε
(3)
2R(t) =
t∫
0
∫
Ω×∂σ
R
(x)
(
∂
∂ν
∂
∂t
u(t, x, y)
)
u(t, x, y)dsdt.
Поскольку
∂
∂ν
= cos(ν, x1)
∂
∂x1
+ . . .+ cos(ν, xn)
∂
∂xn
,
применяя неравенство Коши – Буняковского к ε(3)
2R(t), имеем
ε
(3)
2R(t) ≤
t∫
0
∫
Ω×∂σ
R
(x)
u2(t, x, y)dsdt
1/2
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ . . . 217
×
n∑
i=1
t∫
0
∫
Ω×∂σ
R
(x)
(
∂
∂t
∂
∂xi
u(t, x, y)
)2
dsdt
1/2
.
Используя теорему вложения Соболева [6], оцениваем первый интеграл в ε(3)
2R(t) :∫
Ω×∂σ
R
(x)
u2(t, x, y)ds ≤ e−c0R
∫
Ω×∂σ
R
(x)
ec0|x|u2(t, x, y)ds ≤
≤ Ce−c0R
∥∥u(t, x, y)
∥∥
H(2,2) (E, ρ(x)) .
Устремляя R к бесконечности, получаем∫
Ω×∂σ
R
(x)
u2(t, x, y)ds→ 0 при R→∞ и любом t > 0. (2.7)
Аналогично показываем, что∫
Ω×∂σ
R
(x)
∂
∂t
∂
∂xi
u(t, x, y)ds→ 0 при R→∞ и любом t > 0. (2.8)
Учитывая, что для однородной задачи ϕ0(x, y) ≡ 0, ϕ1(x, y) ≡ 0, имеем
ε
(1)
2R(t) = −1
2
n∑
i=1
∫
ER
(
∂
∂xi
u(t, x, y)
)2
dER, (2.9)
ε
(2)
2R(t) = −1
2
m∑
j=1
∫
ER
(
∂
∂yj
u(t, x, y)
)2
dER. (2.10)
Применяя первую формулу Грина [5] и учитывая нулевое граничное условие, на-
ходим
ε3R(t) = −
n∑
i=1
t∫
0
∫
ER
(
∂
∂xi
u(t, x, y)
)2
dER −
m∑
j=1
t∫
0
∫
ER
(
∂
∂yj
u(t, x, y)
)2
dER.
(2.11)
Введем обозначения
n∑
i=1
∫
E
(
∂
∂xi
u(t, x, y)
)2
dE = ‖∇xu(t, x, y)‖2L2(E) , (2.12)
m∑
j=1
∫
E
(
∂
∂yj
u(t, x, y)
)2
dE = ‖∇yu(t, x, y)‖2L2(E) . (2.13)
Переходя в (2.5) – (2.10) к пределу приR→ +∞ и учитывая (2.12), (2.13), получаем
ε(R) = −
∫
E
(
∂
∂t
u(t, x, y)
)2
dE− ω
2
‖∇xu(t, x, y)‖2L2(E)−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
218 Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА
−ω
2
‖∇yu(t, x, y)‖2L2(E) − a
2
t∫
0
‖∇xu(t, x, y)‖2L2(E) dt −
− a2
t∫
0
‖∇yu(t, x, y)‖2L2(E) dt = 0 (2.14)
при любом t > 0. Учитывая значения начальных данных для однородной задачи и
граничное условие (2.3), имеем
u(t, x, y) ≡ 0
при любом t > 0.
Теорема 2.1 доказана.
3. Построение функции Грина стационарной задачи. Для построения реше-
ния смешанной задачи (2.1) – (2.3) изучим стационарную задачу, соответствующую
задаче (2.1) – (2.3). С учетом оценки (2.4) выполним преобразование Лапласа над
задачей (2.1) – (2.3). В результате получим(
k2 − kω∆n,m − a2∆n,m
)
V (k, x, y) = F(k, x, y), (3.1)
V (k, x, y)|∂E = 0, (3.2)
где Re k ≥ ε > 0, V (k, x, y) — преобразование Лапласа по t от u(t, x, y), знак ∧
над функцией обозначает преобразование Лапласа по t этой функции, а
F(k, x, y) = f̂(k, x, y) + ϕ1(x, y) + (k − ω∆n,m)ϕ0(x, y).
Учитывая оценку (2.4), применяем к задаче (3.1), (3.2) преобразование Фурье
по x. Тогда(
k2 +
(
ωk + a2
)
|s|2
)
Ṽ (k, s, y)− (ωk + a2)∆mṼ (k, s, y) = F̃(k, s, y), (3.3)
Ṽ (k, s, y)|∂Ω = 0, (3.4)
где знак ∼ над функцией обозначает преобразование Фурье по x.
Рассмотрим дифференциальный оператор L, порожденный дифференциальным
выражением L̃ = ∆m, с областью определения
D(L) =
{
u(y) : u(y) ∈W 1
2 (Ω), L̃u ∈ L2(Ω)
}
.
Оператор L отрицательно-самосопряженный, спектр его дискретен и для собствен-
ных значений λl имеет место неравенство
0 > λ1 ≥ . . . ≥ λl ≥ . . . , lim
l→+∞
λl = −∞.
Собственные функции ψl(y) оператораL, соответствующие собственным значе-
ниям λl, образуют базис в пространстве L2(Ω) [7]. Использовав этот факт, докажем
следующую теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ . . . 219
Теорема 3.1. Функция Грина задачи (3.1), (3.2) является аналитической функ-
цией от комплексного параметра k в полуплоскости Re k ≥ ε, и для нее имеет
место представление
G(k, x, y, z) =
i
4
(2π)−n/2
|x|1−n/2
a2 + ωk
∞∑
l=1
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×H(1)
n/2−1
(
i|x|
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
ψl(y)ψl(z), (3.5)
где H(1)
n/2−1(z) — функция Ханкеля первого рода.
При |x| ≥ δ > 0 ряд в (3.5) сходится равномерно по (k, x, y, z) в каждом
компакте из {Re k ≥ ε} × E× Ω и его можно дифференцировать по (x, y) любое
число раз. Функция (3.5) допускает аналитическое продолжение в полуплоскость
Re k < ε, в которой имеет точки ветвления
k
(l)
1,2 = −|λl|ω
2
±
√
|λl|2ω
4
− |λl|a2,
из которых k(l)
1 → −
a2
ω
, k
(l)
2 → −∞ при l→ +∞. При нечетных n точки ветвле-
ния являются алгебраическими, а при четных n — трансцендентными.
Доказательство. Используя теорему 3.6 из [7] для решения задачи (3.3), (3.4),
имеем
Ṽ (k, s, y) =
∞∑
l=1
Cl(s, k)ψl(y)
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
,
где
Cl(s, k) =
1
(2π)n
∫
Ω
F̃(k, s, y)ψl(y)dy. (3.6)
Решение задачи (3.1), (3.2) определяется как обратное преобразование Фурье
от (3.6):
V (k, x, y) =
1
(2π)n
∞∑
l=1
ψl(y)
∫
Rn
Cl(s, k)e−i(s,x)ds
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
. (3.7)
Здесь интегрирование законно в силу равномерной сходимости ряда в (3.6), которая
будет показана ниже.
Вычислим интегралы в (3.7). Подставляя выражение Cl(s, k) из (3.6) в (3.7),
получаем
V (k, x, y) =
1
(2π)n
∞∑
l=1
ψl(y)
∫
Rn
Fl(k, ξ)
∫
Rn
ei(s,x−ξ)ds
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
dξ,
(3.8)
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
220 Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА
Fl(k, ξ) =
∫
Ω
F(k, ξ, y)ψl(y)dy.
Теперь вычислим интеграл в (3.8). Обозначим τ = x− ξ и
Jl(τ, k) =
1
(2π)n
lim
N→+∞
∫
|s|≤N
ei(s,τ)ds
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
. (3.9)
Переходя в (3.9) к сферическим координатам и учитывая при этом сферическую
симметричность подынтегральной функции, находим
Jl,N (τ, k) = (2π)−(n/2+1)|τ |1−n/2
N∫
0
|s|n/2Jn/2−1 (|τ ||s|) d|s|
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
, (3.10)
где Jn/2−1(z) — функции Бесселя порядка n/2− 1.
Далее, вычислим интеграл в (3.10). Пусть n— нечетное число. Тогда zn/2Jn/2−1(z)
есть четная функция. Поэтому
Jl,N (τ, k) =
1
2
(2π)−(n/2+1)|τ |1−n/2
N∫
−N
|s|n/2Jn/2−1 (|τ ||s|) d|s|
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
. (3.11)
Используем формулу
Jn/2−1(z) =
1
2
(
H
(1)
n/2−1(z) +H
(2)
n/2−1(z)
)
(3.12)
из [8], где H(1,2)
ν (z) — функции Ханкеля I и II рода. Подставляя (3.12) в (3.11),
получаем
Jl,N (τ, k) =
=
1
4
(2π)−(n/2+1)|τ |1−n/2
N∫
−N
|s|n/2H(1)
n/2−1 (|τ ||s|) d|s|
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
+
+
N∫
−N
|s|n/2H(2)
n/2−1 (|τ | |s|) d|s|
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
≡
≡ J (1)
l,N (τ, k) + J
(2)
l,N (τ, k). (3.13)
Подынтегральные функции в (3.13) имеют полюсы в точках
|s|(l)1,2 = ±i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
.
При Re k > 0 корни |s|(l)1,2 расположены поровну в верхней и нижней полуплос-
костях, симметрично относительно вещественной оси.
Учитывая асимптотику функции Ханкеля H(1,2)
ν (z) [9] при больших значениях
аргумента, получаем, что подынтегральная функция в J (1)
l,N (τ, k) в полуплоскости
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ . . . 221
Im|s| > 0, |s| → ∞, экспоненциально убывает. Выходя в верхнюю полуплоскость
и применяя метод вычетов, находим
J
(1)
l,N (τ, k) =
i
8
(2π)−n/2
|τ |1−n/2
a2 + ωk
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×H(1)
n/2−1
(
i|τ |
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
.
Выходя в нижнюю полуплоскость Im|s| < 0, аналогичным образом имеем
J
(2)
l,N (τ, k) = − i
8
(2π)−n/2
|τ |1−n/2
a2 + ωk
×
×
(
−i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
H
(2)
n/2−1
(
−i|τ |
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
.
Учитывая формулу
H
(2)
n/2−1(−z) = (−1)n/2−1H
(1)
n/2−1(z), (3.14)
из [9] получаем
J
(1)
l,N (τ, k) = J
(2)
l,N (τ, k). (3.15)
Подставляя значения J (1)
l,N (τ, k), J (2)
l,N (τ, k) в (3.13), учитывая (3.14) и устремляя
N к бесконечности, находим
Jl(τ, k) =
i
4
(2π)−n/2
|τ |1−n/2
a2 + ωk
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×H(1)
n/2−1
(
i|τ |
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
. (3.16)
Пусть теперь n — четное число. Выражая функцию Бесселя через функции Ханкеля
по формуле (3.12), имеем
Jl,N (τ, k) =
(2π)−(n/2+1)
2
|τ |1−n/2
N∫
0
|s|n/2
(
H
(1)
n/2−1 (|τ | |s|) +H
(2)
n/2−1 (|τ | |s|)
)
d|s|
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
.
(3.17)
Поскольку при четных n
H
(2)
n/2−1(z) = (−1)n/2H(2)
n/2−1(z),
интеграл в (3.17) можно привести к виду
Jl,N (τ, k) =
(2π)−(n/2+1)
2
|τ |1−n/2
N∫
−N
|s|n/2H(1)
n/2−1 (|τ ||s|) d|s|
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
222 Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА
При Im |s| > 0, действуя так же, как при вычислении J (1)
l,N (τ, k), и устремляя N к
бесконечности, получаем
Jl(τ, k) =
i
4
(2π)−n/2
|τ |1−n/2
a2 + ωk
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×H(1)
n/2−1
(
i|τ |
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
.
При Im |s| < 0, используя формулу (3.14), интеграл в (3.17) можно привести к виду
Jl,N (τ, k) =
(2π)−(n/2+1)
2
|τ |1−n/2
N∫
−N
|s|n/2H(2)
n/2−1 (|τ | |s|) d|s|
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
.
Далее, применяя метод вычетов, при этом выходя в нижнюю полуплоскость Im |s| <
< 0, и устремляя N к бесконечности, находим
Jl(τ, k) = − i
4
(2π)−n/2
|τ |1−n/2
a2 + ωk
(
−i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×H(2)
n/2−1
(
−i|τ |
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
.
Учитывая четность и формулу (3.14), получаем
Jl(τ, k) =
i
4
(2π)−n/2
|τ |1−n/2
a2 + ωk
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×H(1)
n/2−1
(
i|τ |
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
,
т. е. формулу (3.16).
Таким образом, для Jl(τ, k) при нечетных и четных n получили одну и ту же
формулу (3.16). Подставляя (3.16) в (3.8) и выделяя F(k, ξ, z), имеем
V (k, x, y) =
∫
E
G(k, x− ξ, y, z)F(k, ξ, z)dE, (3.18)
где
G(k, x, y, z) =
i
4
(2π)−n/2
|x|1−n/2
a2 + ωk
∞∑
l=1
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×H(1)
n/2−1
(
i|x|
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
ψl(y)ψl(z). (3.19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ . . . 223
Функция G(k, x, y, z) называется функцией Грина задачи (3.1), (3.2). Изучим
теперь сходимость ряда в (3.19). Обозначим через Oδ
(
−a
2
ω
)
δ-окрестность точки
k = −a
2
ω
.
Тогда в любом компакте K ⊂ C\Oδ
(
−a
2
ω
)
при достаточно большом l имеем
Re
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
≥ |λl|1/2(1− ε),
где ε > 0 — достаточно малое число. Используя асимптотику функции Ханкеля
H
(1)
n/2−1(z) при больших значениях |z| [9], в компакте K получаем
∣∣G(k, x, y, z)
∣∣ ≤ C(n, ω, ε)
|k|
∞∑
l=1
|λl|(n−3)/4e−|x|(1−ε)|λl|
1/2
‖ψl(y)‖2C(Ω) . (3.20)
Здесь C(σ, ε, n) — некоторая константа, зависящая от σ, ε, n. В [8] получена сле-
дующая оценка собственных функций оператора L :∥∥ψl(y)
∥∥
Cν(Ω)
≤ C|λl|([m/2]+1+ν)/2. (3.21)
Известно [10], что
C0l
2/m ≤ |λl| ≤ C1l
2/m, (3.22)
где C0, C1 — константы, не зависящие от l. Тогда из (3.21) и (3.22) имеем∥∥ψl(y)
∥∥
Cν(Ω)
≤ Cl([m/2]+1+ν)/m.
Из (3.20) и (3.21) при ν = 0 находим
∣∣G(k, x, y, z)
∣∣ ≤ C(n, ω, δ)
|k|
∞∑
l=1
|λl|((n−3)/4+[m/2]+1)/2e−|x|(1−ε)|λl|
1/2
. (3.23)
Пусть теперь |x| ≥ δ > 0. Тогда в силу оценки (3.22) ряд в (3.23) сходится
равномерно в каждом компакте K1 ⊂ {Re k ≥ ε} × E × Ω. Используя формулу
дифференцирования функций Ханкеля [9] и их асимптотику при больших зна-
чениях аргумента так же, как и выше, можно показать, что ряд в (3.19) можно
дифференцировать по (x, y) любое число раз. Остальные утверждения теоремы
следуют из представления (3.5).
Теорема 3.1 доказана.
4. Существование решения смешанной задачи (2.1) – (2.3) и его оценка при
больших значениях времени. Решение смешанной задачи (2.1) – (2.3) определя-
ется как обратное преобразование Лапласа от V (k, x, y):
u(t, x, y) =
1
2πi
ε+i∞∫
ε−i∞
V (k, x, y)ektdk. (4.1)
Подставляя в (4.1) выражение V (k, x, y) из (3.18), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
224 Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА
u(t, x, y) =
1
2πi
ε+i∞∫
ε−i∞
ekt
∫
E
G(k, x− ξ, y, z)×
×
[
f̂(k, ξ, z) + ϕ1(ξ, z) + (k − ω∆n,m)ϕ0(ξ, z)
]
dE dk ≡
≡
3∑
ν=1
uν(t, x, y). (4.2)
Как следует из формулы (4.2), uν(t, x, y) являются обратным преобразованием Лап-
ласа по t от Vν(k, x, y), определяемых по формуле
V1(k, x, y) = G(k, x, y, z) ∗ f̂(k, x, y),
V2(k, x, y) = G(k, x, y, z) ∗ ϕ1(x, z), (4.3)
V3(k, x, y) = G(k, x, y, z) ∗ (k − ω∆n,m)ϕ0(x, z),
где свертка совершается по цилиндру E.
Рассмотрим каждое слагаемое в (4.2) в отдельности. Для изучения сходимости
интегралов, входящих в эти слагаемые, докажем следующую лемму.
Лемма 4.1. При |Im k| ≥ N, Re k ≥ 0 имеет место неравенство
Re
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
≥ α1
(
|λl|+
Re k
ω
)1/2
+ α2
(
|Im k|
ω
)1/2
,
где N — достаточно большое число, α1 =
√√
2 + 1
25/4
, α2 =
1
25/4
.
Доказательство. Поскольку для достаточно больших |k|
k2
a2 + ωk
∼ k
ω
,
при |Im k| ≥ N, Re k ≥ 0 имеем
Re
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
∼ Re
√
|λl|+
k
ω
=
=
√√√√√√
√(
|λl|+
Re k
ω
)2
+
(
Im k
ω
)2
+ |λl|+
Re k
ω
2
. (4.4)
При любых вещественных a и b√
a2 + b2 ≥ |a|√
2
+
|b|√
2
. (4.5)
Дважды применив неравенство (4.4) к (4.3), получим
Re
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
≥
√√
2 + 1
25/4
(
|λl|+
Re k
ω
)1/2
+
1
25/4
(
|Im k|
ω
)1/2
.
Лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ . . . 225
В дальнейшем будем полагать, что ρ(x) = eC0|x|, где 0 < C0 <
√(
1 +
1√
2
)
|λ1|,
λ1 — первое собственное значение задачи Дирихле для оператора Лапласа в области
Ω. Имеет место следующая теорема.
Будем считать n ≥ 3 и положим
β =
[
n− 3
2
]
, если n нечетное,[
n− 3
2
]
+ 1, если n четное.
Теорема 4.1. Пусть ∂Ω ∈ C(2m+β), f(t, x, y) = f(x, y)eiω
∗t, f(x, y),
∆n,mϕ0(x), ϕ1(x, y) ∈ H(0,β) (E, ρ(x)) .
Тогда для решения u(t, x, y) задачи (2.1) – (2.3) имеет место принцип предель-
ной амплитуды, т. е. при t→ +∞
u(t, x, y) = V (iω∗, x, y)eiω
∗t +W (t, x, y),
где V (iω∗, x, y) — решение стационарной задачи (3.1), (3.2) при k = iω∗ с правой
частью f(x, y), ω∗ — любое вещественное число,∥∥W (t, x, y)
∥∥
L2(E,ρ(x))
≤
≤ Ceδt
[
‖∆n,mϕ0(ξ, z)‖H(0,β)(E,ρ(ξ)) + ‖ϕ1(x, y)‖H(0,β)(E,ρ(x))
]
,
C — некоторая константа, зависящая от ω, a, n, m; −a
2
ω
< δ < 0.
Доказательство. Рассмотрим
V1(k, x, y) =
i
4
(2π)−n/2
1
a2 + ωk
∞∑
l=1
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×
∫
E
H
(1)
n/2−1
(
i|x− ξ|
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
ψl(y)ψl(z)f̂(k, ξ, z),
в силу равномерной сходимости ряда в (3.19)
f̂l(ξ, k) =
∫
Ω
f̂(k, ξ, z)ψl(z)dz.
Тогда
V1(k, x, y) =
i
4
(2π)−n/2
1
a2 + ωk
∞∑
l=1
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×
∫
Rn
H
(1)
n/2−1
(
i|x− ξ|
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
ψl(y)f̂l(ξ, k)dξ,
(4.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
226 Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА
u1(t, x, y) =
1
2πi
ε+i∞∫
ε−i∞
ektV1(k, x, y)dk =
=
(2π)−n/2−1
4
ε+i∞∫
ε−i∞
ekt
a2 + ωk
∞∑
l=1
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×
∫
Rn
H
(1)
n/2−1
(
i|x− ξ|
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
ψl(y)
fl(ξ)
k − iω
dξdk.
Выберем число δ так, чтобы −a
2
ω
< δ < 0, и рассмотрим в комплексной
плоскости C контур
Γ = T−N ∪ [δ − iN, α+ iN ] ∪ TN ,
где T−N , TN — лучи, выходящие из точек k = ±iN и составляющие с мнимой
осью углы ±π
6
. Учитывая лемму 4.1 и то, что функция Ханкеля при |Im k| → ∞
экспоненциально убывает, контур интегрирования в (4.6) можно заменить на Γ, где
−a
2
ω
< δ < 0. Меняя в (4.6) порядок интегрирования и применяя теорему Коши,
получаем
u1(t, x, y) = V1(iω∗, x, y)eitω
∗
+
+
∫
Γ
ektV1(k, x, y)dk ≡ V1(iω∗, x, y) + u1,δ(t, x, y).
Оценим норму u1,δ(t, x, y) при больших t:
I1,δ(t) =
∫
E
eC0|x|u2
1,δ(t, x, y)dE =
=
∫
E
eC0|x|
1
2πi
∫
Γ
ekt
(k − iω) (a2 + ωk)
∞∑
l=1
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×
∫
Rn
|x− ξ|1−n/2H(1)
n/2−1
(
i|x− ξ|
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
ψl(y)fl(ξ)dξ
dk
2
dE.
(4.7)
Поскольку ψl(y) образуют ортонормированный базис в пространстве L2(Ω), то
I1,δ(t) =
= − 1
4π2
∫
Rn
eC0|x|
∞∑
l=1
∫
Γ
ekt
(k − iω∗)(a2 + ωk)
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ . . . 227
×
∫
Rn
|x− ξ|1−n/2H(1)
n/2−1
(
i|x− ξ|
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
fl(ξ)dξ
dk
2
dx.
(4.8)
Теперь оценим интегралы в (4.7). При больших |Im k|
I1,δ(t) ≤
≤ C
∫
Rn
eC0|x|
∞∑
l=1
∫
Γ
etRe k 1
|k − iω∗| |a2 + ωk|
×
×
(
|λl|(n/2−1)/2 +
∣∣∣∣ kω
∣∣∣∣(n/2−1)/2
)
×
×
∫
Rn
|x− ξ|1/2−n/2 1
|k − iω|
∣∣∣∣∣
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
∣∣∣∣∣
×
× e−|x−ξ|(α1|λl|1/2+α2|Im k/ω|1/2)
∣∣fl(ξ)∣∣dξ∣∣dk∣∣
2
dx ≡
≡ C
∫
Rn
eC0|x|
∞∑
l=1
[(
I
(1)
1,δ,l(x, t)
)2
+
(
I
(2)
1,δ,l(x, t)
)2
]
dx,
I
(1)
1,δ,l(x, t) =
1√
2π
∫
Γ
etRe k |λl|(n/2−1)/2
|k − iω||a2 + ωk|
×
×
∫
Rn
|x− ξ|(1−n)/2 1∣∣∣∣∣
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
∣∣∣∣∣
×
×e−|x−ξ|(α1|λl|1/2+α2|Im k/ω|1/2) |fl(ξ)| dξ |dk| , (4.9)
I
(2)
1,δ,l(x, t) =
1√
2π
∫
Γ
etRe k 1
|k − iω| |a2 + ωk|
∣∣∣∣ kω
∣∣∣∣(n/2−1)/2
×
×
∫
Rn
|x− ξ|(1−n)/2 1∣∣∣∣∣
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
∣∣∣∣∣
×
×e−|x−ξ|(α1|λl|1/2+α2|Imk/ω|1/2) |fl(ξ)| dξ |dk| . (4.10)
Оценивая внешний интеграл в (4.10), при больших t имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
228 Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА
I
(1)
1,δ,l(x, t) ≤ Ce
δt|λl|n/4−1
∫
Rn
|x− ξ|(1−n)/2e−α1|λl|1/2|x−ξ| |fl(ξ)| dξ.
Применяя неравенство Коши – Буняковского, находим
I
(1)
1,δ,l(x, t) ≤ Ce
δt|λl|n/4−1
∫
Rn
|x− ξ|1−ne−α1|λl|1/2|x−ξ|dξ
1/2
×
×
∫
Rn
e−α1|λl|1/2|x−ξ|f2
l (ξ)dξ
1/2
≤
≤ Ceδt|λl|β/2e−α1|λ1|1/2|x|
∫
Rn
eα1|λ1|1/2|ξ|f2
l (ξ)dξ
1/2
.
Аналогичным образом получаем
I
(2)
1,δ,l(x, t) ≤ Ce
δte−α1|λ1|1/2|x|
∫
Rn
eα1|λ1|1/2|ξ|f2
l (ξ)dξ
1/2
. (4.11)
Подставляя (4.11) в (4.9), имеем
I1,δ(t) ≤ Ce2δt
∫
Rn
e(C0−2α1|λ1|1/2)|x|×
×
∞∑
l=1
(
|λl|β + 1
) ∫
Rn
eα1|λ1|1/2|ξ|f2
l (ξ)dξ
dx. (4.12)
В силу условий на функцию f(x, y), меняя порядок суммирования и интегри-
рования и учитывая формулу (35) из [10], находим
I1,δ(t) ≤ Ce2δt
∫
Rn
eα1|λ1|1/2|ξ| ‖f(ξ, z)‖2Hβ(Ω) dξ ≤
≤ Ce2δt ‖f(ξ, z)‖2H(0,β)(E,ρ(ξ)) ,
где Hβ(Ω) — пространство Соболева – Слободецкого. Отсюда получаем∥∥u1,δ(t, x, y)
∥∥
L2(E,ρ(x))
≤ Cδt
∥∥f(ξ, z)
∥∥
H(0,β)(E,ρ(ξ))
, (4.13)
u2(t, x, y) и u3(t, x, y) оцениваются точно так же, как u1δ(t, x, y). Поэтому при
больших t > 0 имеем∥∥u2(t, x, y)
∥∥
L2(E,ρ(x))
≤ Cδt
∥∥ϕ1(ξ, z)
∥∥
H(0,β)(E,ρ(ξ))
,∥∥u3(t, x, y)
∥∥
L2(E,ρ(x))
≤ Cδt
∥∥∆n,mϕ0(ξ, z)
∥∥
H(0,β)(E,ρ(ξ))
.
(4.14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ . . . 229
Из (4.13) и (4.14) следует доказательство теоремы 4.1.
Теперь рассмотрим задачу (2.1) – (2.3) в случае, когда правая часть уравне-
ния (2.1) f(t, x, y) не является периодической функцией от времени. Имеет место
следующая теорема.
Теорема 4.2. Если f(t, x, y) ∈ C0
[
[0,∞), H(0,β)(E, ρ(x))
]
и выполнены ос-
тальные условия теоремы 4.1, то для решения смешанной задачи (1.1) – (1.3) при
больших t имеет место оценка
∥∥u(t, x, y)
∥∥
L2(E,ρ(x))
≤ C
t∫
0
∥∥f(t, x, y)
∥∥2
H(0,β)(E,ρ(x))
dt
1/2
+
+ eδt
[∥∥∆n,mϕ0(ξ, z)
∥∥
H(0,β)(E,ρ(x))
+ ‖ϕ1(x, y)‖H(0,β)(E,ρ(x))
] .
Доказательство. Поскольку {ψl(y)} образует ортонормированный базис в
L2(Ω), по формуле Парсеваля имеем
∫
Ω
u2
1(t, x, y)dy =
∞∑
l=1
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
ε+i∞∫
ε−i∞
ekτ
a2 + ωk
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×
∫
Rn
|x− ξ|1−n/2H(1)
n/2−1
(
i|x− ξ|
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
fl(t− τ, ξ)dξ
dτ
∣∣∣∣∣∣
2
.
Здесь также применена формула Эфроса. Рассуждая так же, как при оценке I1,δ(t),
получаем ∫
Ω
u2
1(t, x, y)dy ≤ C(ω, δ, n)e−2α1|λ1|1/2|x|×
×
t∫
0
∫
Rn
eα1|λ1|1/2|ξ|
( ∞∑
l=1
(
1 + |λ1|β
)
f2
l (t− τ, ξ)
)
dξ
dτ ≤
≤ C(ω, δ, n)e−2α1|λ1|1/2|x|
t∫
0
∥∥f(t− τ, ξ, y)
∥∥2
H(0,β)(E,ρ(ξ))
dτ. (4.15)
Умножая обе части (4.15) на eC0|x| и интегрируя по Rn, находим∫
E
eC0|x|u2
1(t, x, y)dE ≤
≤ C(ω, δ, n)
∫
Rn
e(C0−2α1|λ1|1/2)|x|dx
t∫
0
∥∥f(t− τ, ξ, y)
∥∥2
H(0,β)(E,ρ(x))
dτ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
230 Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА
Отсюда при C0 < 2α1|λ1|1/2
‖u1‖L2(E,ρ(x)) ≤ C(ω, δ, n)
t∫
0
∥∥f(τ, ξ, y)
∥∥2
H(0,β)(E,ρ(x))
dτ
1/2
. (4.16)
Из (4.2), (4.14), (4.16) следует доказательство теоремы 4.2.
Замечание . Как следует из формулы (4.15), если f(t, x, y) ≡ 0, то∥∥u(t, x, y)
∥∥
L2(E,ρ(x))
при больших t экспоненциально убывает.
1. Войт С. С. Распространение начальных уплотнений в вязком газе // Уч. зап. МГУ им. М. В. Ло-
моносова. Механика. – 1954. – 5, № 172. – С. 125 – 142.
2. Горбачук М. Л., Кочубей А. Н., Шкляр А. Я. О стабилизации решений дифференциальных урав-
нений в гильбертовом пространстве // Докл. РАН. – 1995. – 341, № 6. – С. 734 – 736.
3. Iskenderov B. A., Huseynova E. S. On a mixed problem in boundary domain for one equation correct by
Petrovskii and estimate of its solution // Trans. NAS Azerbaijan. Ser. Phys.-Techn., Math. Sci. – 2005. –
25, № 7. – P. 31 – 40.
4. Huseynova E. S. On a behaviour of the solution of Cauchy problem for one correct by Petrovsky equation
at large time // Ibid. – 2006. – 26, № 7. – P. 85 – 96.
5. Владимиров В. С. Уравнение математической физики. – М.: Наука, 1981. – 512 с.
6. Смирнов В. И. Курс высшей математики. – М.: Физматгиз, 1959. – Т. 5. – 655 с.
7. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. – М.: Мир, 1977. – 504 c.
8. Iskenderov B. A. Principles of radiation for elliptic equation in the cylindrical domain // Colloq. math.
sic. Janos Bolyai. Szeged, Hungary. – 1988. – P. 249 – 261.
9. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Основы теории специальных функций. – М.: Наука, 1974. – 303 с.
10. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.: Наука, 1983. – 424 c.
Получено 09.10.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-3014 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:36Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fa/789a13d5caff4dc5248f3d68e7ade6fa.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30142020-03-18T19:43:20Z Mixed problem for the Petrovskii well-posed equation in a cylindrical domain Смешанная задача для корректного по Петровскому уравнения в цилиндрической области Iskenderov, B. A. Guseinova, É. S. Искендеров, Б. А. Гусейнова, Э. С. Искендеров, Б. А. Гусейнова, Э. С. We study the problem of existence and uniqueness of the solution of a mixed problem for the Petrovskii well-posed equation in a cylindrical domain and the behavior of this solution for large values of time. Вивчено існування, єдиність розв'язку мїшаної задачї для коректного за Петровським рївняння у циліндричній обдастї та його поведінку при великих значеннях часу. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3014 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 2 (2009); 214-230 Український математичний журнал; Том 61 № 2 (2009); 214-230 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3014/2777 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3014/2778 Copyright (c) 2009 Iskenderov B. A.; Guseinova É. S. |
| spellingShingle | Iskenderov, B. A. Guseinova, É. S. Искендеров, Б. А. Гусейнова, Э. С. Искендеров, Б. А. Гусейнова, Э. С. Mixed problem for the Petrovskii well-posed equation in a cylindrical domain |
| title | Mixed problem for the Petrovskii well-posed equation in a cylindrical domain |
| title_alt | Смешанная задача для корректного по Петровскому
уравнения в цилиндрической области |
| title_full | Mixed problem for the Petrovskii well-posed equation in a cylindrical domain |
| title_fullStr | Mixed problem for the Petrovskii well-posed equation in a cylindrical domain |
| title_full_unstemmed | Mixed problem for the Petrovskii well-posed equation in a cylindrical domain |
| title_short | Mixed problem for the Petrovskii well-posed equation in a cylindrical domain |
| title_sort | mixed problem for the petrovskii well-posed equation in a cylindrical domain |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3014 |
| work_keys_str_mv | AT iskenderovba mixedproblemforthepetrovskiiwellposedequationinacylindricaldomain AT guseinovaes mixedproblemforthepetrovskiiwellposedequationinacylindricaldomain AT iskenderovba mixedproblemforthepetrovskiiwellposedequationinacylindricaldomain AT gusejnovaés mixedproblemforthepetrovskiiwellposedequationinacylindricaldomain AT iskenderovba mixedproblemforthepetrovskiiwellposedequationinacylindricaldomain AT gusejnovaés mixedproblemforthepetrovskiiwellposedequationinacylindricaldomain AT iskenderovba smešannaâzadačadlâkorrektnogopopetrovskomuuravneniâvcilindričeskojoblasti AT guseinovaes smešannaâzadačadlâkorrektnogopopetrovskomuuravneniâvcilindričeskojoblasti AT iskenderovba smešannaâzadačadlâkorrektnogopopetrovskomuuravneniâvcilindričeskojoblasti AT gusejnovaés smešannaâzadačadlâkorrektnogopopetrovskomuuravneniâvcilindričeskojoblasti AT iskenderovba smešannaâzadačadlâkorrektnogopopetrovskomuuravneniâvcilindričeskojoblasti AT gusejnovaés smešannaâzadačadlâkorrektnogopopetrovskomuuravneniâvcilindričeskojoblasti |